Structuuranalyse van econometrische modellen met behulp van grafentheorie (Deel VIII): Klein-Goldberger model

(1)

Tilburg University

Structuuranalyse van econometrische modellen met behulp van grafentheorie (Deel

VIII)

Derks, W.

Publication date:

1977

Document Version

Publisher's PDF, also known as Version of record

Link to publication in Tilburg University Research Portal

Citation for published version (APA):

Derks, W. (1977). Structuuranalyse van econometrische modellen met behulp van grafentheorie (Deel VIII):

Klein-Goldberger model . (blz. 1-47). (Ter Discussie FEW). Faculteit der Economische Wetenschappen.

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.

(2)

INNhIIIIIIm~IIIhVlIhll~IbANIIpl~p

:ATHOLIEKE HOGESCHOOL TILBURG

REEKS "TER DISCUSSIE"

~fI

~-- ~x~~.~

~ ~L`~.J ~t~..~e~~.,.t c ,r~~ r G~~-~ r~J

(3)

KATHOLIEKE HOGESCHOOL TILBURG REEKS "TER DISCUSSIE"

Voorlopig verslag van gedeelte van onderzoek, dat onder leiding staat van

Prof. Dr. J.J.J. Dalmulder en dat gesubsidieerd is door de Nederlandse Organisatie voor Zuiver-~ Wetenschappelijk Onderzoek, Z.W.O.

No. 77.049

februari 1977

Structuuranalyse van Econometrische Modellen met behulp van Grafentheorie.

Deel VIII Klein-Goldberger model.

Drs. W. Derks

(4)

Inhoud. Inleiding.

VIII.1. Het Klein-Goldberger model. VIII.2. De graaf.

VIII.3. Het dynamisch model. Literatuur.

(5)

Inleiding.

In de vorige delen~) is de structuur van het Model I van Klein geanalyseerd. Op overeenkomstige wijze wordt in dit deel de structuur van het Klein-Gold-berger model [ 8] gea.nalyseerd.

Verwijzingen van de vorm (I ..) tot en met (VII ..) hebben betrekking op de delen I tot en met VII~~).

~t)

Zie: [ 6] en [ 71 .

(6)

2

VIII.1. Het Klein-Goldberger model.

We beschouwen de gelineariseerde vorm van het Klein-Goldberger model, zoals die gegeven is door Goldberger [9j op pagina 22-24.

De variabelen kunnen daarbij beschouwd worden als absolute verschillen:

y-~y-y-y-1

waarbij y het niveau is in jaar t.

(VIII.1.1)

De variabelen worden aangeduid met symbolen.

De betekenis daarvan wordt gegeven in onderstaande symbolenlijst. Voor een uitgebreide definitie wordt verwezen naar Appendix I van Klein-Goldberger [7j pagina 115-131. Symbolenlijst: C Consumption D Depreciation M Imports Xf Farm exports

G Government expenditures and exports

h Hours of work I Investment

il Long-term interest rate is Short-term interest rate

K Capit al stock

L1 Household liquid assets L2 Business liquid assets Lb Percentage excess reserves Y National income

EMs Entrepreneurs

(7)

3

EI~w Employees

NW Nonwage nonfarm income NWc Corporate profits p Price level

pm Import price level pf Farm price level

GNP Gross national product NWf Farm income

SUf Farm subsidies Sb Corporate surplus Sc Corporate savings t Time trend

Tc _{Corporate taxes} TI Indirect t axes

Tnw _{Nonwage nonfarm noncorporate} taxes (less transfers)

Tf Farm taxes (less transfers) Tw Wage t axes (less transfers) w Wage rate

W1 Private wage bill W2 Government wage bill

Endogenous Endogenous Endogenous Endogenous Exogenous Endogenous Endogenous Endogenous Exogencus Endogenous Endogenous Exogenous Exogenous Exogenous Exogenous Exogenous Exogenous Endogencus Endogenous Exogenous

Het model in gelineariseerde vorm kan herschreven worden tot: y-AytBx

waarbij: y: vector van m- 21 endogene variabelen x: vector van n- k3 voorafbepaalde A: mxm matrix van coëfficiënten

ajj - 0 voor elke j

B: mxn matrix van coëfficiënten.

variabelen

(8)

Het stochastisch karakter van het model wordt buiten beschouwing gelaten en voorlopig ook het dynamisch karakter.

De direkte-invloedmatrix van de graaf van model (VIII.1.3) kan aldus worden onderverdeeld: D -y x y x y D1 0 21 y A' 0 21 x D2 0 x B' 0 21 21 {VIII. 1 .1~)

Voor het Klein-Goldberger - zoals gegeven is door Goldberger [91 pagina 22-2~x) - is D1 en D2 uit (VIII.1.4) gegeven in de volgende tabellen:

~) Pagina 22 bevat de volgende fouten:

het element (7,K) is 0 en moet zijn: -0.0800 het element (21,D) is 0 en moet zijn: -1.0000

het element (21,W1) is -1.000 en moet zijn: 0. Pagina 23 bevat de volgende fout:

het element (9,Fr) is 0.0120 en moet zijn: 0 het element (lO,Fr) is 0 en moet zijn: 0.0120. Pagina 2~ bevat de volgende fouten:

(9)

(10)

(11)

-7-Matrix D2 - B': direkte invloed van voorafbepaalde variabelen op endogene variabelen.

(12)

(13)

9

In absolute waarde de grootste eigenwaarden van D1 in (VIII.1.5) is gelijk aan:

-0.27k9 t O.SglO i

(VIII.1.7)

De absolute waarde van (VIII.1.7) is 0.93 en is dus kleiner dan êén. De totale-invloedmatrix mag dus berekend worden zoals in (I.5.25).

De totale-invloed van de voorafbepaalde variabelen op de endogen variabelen is ook gegeven in de gereduceerde vorm~).

(14)

VIII.2. De graaf.

De bereikbaarheidsmatrix van de endogene graaf van het Klein-Goldberger mo-del is gelijk aan:

7 R -

E

Gk ~`

k-1

waarbij:

en waarbij r.. - 1 voor i is: ii i. 1. C 7. EMw 16. K 3. sc 8. w 18. NW 4. NWc 9. M 19. Y 5. D 10. NWf 20. p 6. W1 11. pf 21. GNP (VIII.2.1)

(VIII.2.2)

(VIII.2.3) Deze variabelen liggen dus op een circuit.

Ze behoren allemaal tot dezelfde sterk-verbonden component. In de graaf van dit model is dus maar een sterk verbonden component, bests.ande uit 15 pun-ten. De grootte van het bereik van deze punten is 18.

Het punt 2: I heeft ook een bereik van 18 en beïnvloedt dus de sterk verbon-den component. De punten 14: il,en 15: is,hebben een bereik van 1 en de pun-ten 12: L1, 13: L2 en 17: Sb hebben een bereik van 0.

(15)

(16)

De graaf (VIII.2.4) bevat de volgende circuits:

nr. lengte waarde variabelen en gewichten van pijlen

(17)

(18)

(19)

!} 7

10 -0.0020

48

11

-o.oooo

49

11 -0.0000

50

11

0.0009

51

12 -0.0000

52

12 0.0000

53

13 o.oooo

Y,GNP,W1,p,pf,NWf,NW,NWc,Sc,C,Y 1.OOx0.24(-2.2836)2.32x0.0080(-1.00)0.68x0.72 (-0.41)1.00

Y,GNP,D,K,EMw,w,p,pf,NWf,NW,C,Y

l.ooxo.o440(-1.00)(-0.0352)o.74xo.765;x2.32xo.o080

(-1.00)o.41x1.oo

Y,GNP,D,K,EMw,p,NWf,NW,NWc,Sc,C,Y

1.OOx0.0440(-1.00)(-0.0352)3.11~11(-0.0105)(-1.00)

o.68xo.72(-0.41)l.00

Y,GNP,EMw,w,p,pf,NWf,NW,NWc,Sc,C,Y

l.ooxo.4397xo.74xo.7655x2.32xo.oo80(-1.00)o.68xo.72

(-0.41)1.00

Y,GNP,D,K,EMw,w,p,NWf,NW,NWc,Sc,C,Y

1.OOx0.0440(-1.00)(-0.0352)0.74x0.7655(-0.0105)(-1.00)

o.68xo.72(-0.41)1.00

Y,GNP,D,K,EMw,p,pf,NWf,NW,NWc,Sc,C,Y

1.o0x0.0440(-1.00)(-0.0352)3.1411x2.32x0.0080(-1.00)

o.68xo.72(-0.41)l.00

Y,GNP,D,K,EMw,w,p,pf,NWf,NW,NWc,Sc,C,Y

l.ooxo.o440(-1.00)(-0.0352)o.74xo.7655x2.32xo.oo80

(-1.00)0.68x0.72(-0.41)1.00 (VIII.2.5) Volgens (VIII.2.5) bevat de graaf 53 circuits. De graaf bevat verder 59 deel-grafen, bestaande uit twee gescheiden circuits en 12 deelgrafen bestaande uit drie gescheiden circuits. Voor de berekening van de multiplier M hebben we dus 53 t 59 t 12 - 124 deelgrafen nodig.

(20)

16

Berekening van de multiplier M van de endogene graaf (VII.2.4).

( ~ )

(~')

(;i)

(~})

(5)

(6)

(7)

(8)

deelgrafen: L L

u nr. cir- Lu Au _{(- 1) u~u} _{1}E(-1) u~u}

(6) - M ~ x 100

cuits

u

(VIII.2.5) cumulatief

1.0000

78

1

6

1 0.4100

-0.4100

0.5900

1.6949

132

2

14

1 -0.2007

to.2oo7

0.7907

1.2647

98

3 8 1 0.1320 - 0.1320 0.6587 1.5181 118

4

11

1 -0.0984

f0.0984

0.7571

1.3208

103

5

4

1 -0.054o

fo.o540

0.8111

1.2329

₉₆

6

2

1 -0.050o

t0.05o0

0.8611

1.1613

90

7

26

1 0.0482

-0.0482

0.8129

1.2302

96

8

1

1 0.0440

-O.o44o

0.7689

1.3006

lol

)

5

1 -0.0440

to.o440

0.8129

1.2302

96

10

9

1 0.0264

-0.0264

0.7865

1.2715

₉₉

11 6,2 2 - 0.0205 - 0.0205 0.7660 1.3055 102

12

7

1 0.0184

-0.0184

0.7476

1.3376

l04

13 6,1

2 0.018o

fo.ol80

0.7656

1.3ob2

102

(21)

(22)

In (VIII.2.6) zien we, dat met de 25 grootste deelgrafen de multiplier M op ongeveer één procent nauwkeurig bepaald kan worden. Na 58 deelgrafen is de waarde van flu, op drie plaatsen achter de komma afgerond, gelijk aan nul. Na

ongeveer 92 deelgrafen is de waarde van 11u, op vier plaatsen achter de komma afgerond, gelijk aan nul. Ter voorkoming van afrondings-fouten is de waarde van :

124 1 f E n

u-1 u

(VIII.2.7)

berekend met de computer. (VIII.2.7) is immers gelijk aan de determinant II-AI. De multiplier, M, is gelijk aan

1 1

M -

I-A

- 0.7788 -

1.2840

(VIII.2.8)

De grootste bijdrage aan M wordt geleverd in circuit 6: de consumptieve be-stedings-multiplier via het niet looninkomen. Deze wordt voor ongeveer de helft gecompenseerd in circuit 14: besparingslek. De consumptieve bestedings-multiplier via het looninkomen (circuit 8) is aanzienlijk kleiner dan die multiplier via het niet-looninkomen (circuit 6). Zoals Goldberger [9~ Pag. 32 opmerkt, wordt dit veroozaakt door de vertraagde reactie van het looninkomen

(W1) op het bruto nationaal produkt (GNP). Bij herschatting, zonder vertra-ging, zijn de bestedingsmultipliers ongeveer aan elkaar gelijk.

Circuit 8 en 6 worden gedeeltelijk gecompenseerd in 11, omdat het looninkomen een negatieve invloed heeft op het niet-looninkomen.

Hiermee is de betekenis aangegeven va.n de vier belangrijkste circuits.

Goldberger [9~ Pag. 31 besteed uitgebreid aandacht aan de totale invloed van de overheidsbestedingen, G, op het bruto nationaal produkt, GNP:

t(G,GNP) (VIII.2.9)

Ten behoeve van een beter inzicht in de opbouw van de ws,arde van (VIII.2.9),

berekenen we

t(G,GNP) met de formule van Mason uit de graaf (VIII.2.4) met

gebruikmaking van (VIII.2.p): M - 1.2840.

(23)

19 a

t( G, GNP )- k~ 1~k~M

In (VIII.2.4) gaat er slechts één enkelvoudig pad van G naar GNP: (G,Y,GNP)

In (VIII.2.10) is a dus gelijk aan één en voor II, geldt: 1I1 - 1.00 x 1.00 - 1.00

De waarde van ml wordt in onderstaande tabel berekend.

Berekening van ml voor het pad (G,Y,GNP).

(VIII.2.10) (VIII.2.11) (VIII.2.12) ml -v deelgraaf _{L( l,v) n(1.v)} _{(-1)L(1~v)~(1~v)} 1tE(-1)L(1'v)~(l,v) v 1.0000

1 4. (Nw,Nwf,Nw)

1 -0.054o

t0.0540

1.0540

2 2. (D,K,D) 1 -0.0500 t0.0500 1.1040 3 9. (NW,NWc,Sc,NWf,NW) 1 f0.0264 -0.0264

1.0776

4 4. en 2. 2 t0.0027 t0.0027 1.0803 5 2. en 9. 2 -0.0013 -0.0013 1.0790 (VIII.2.13) Uit (VIII.2.6) en (VIII.2.10) tot en met (VIII.2.13) volgt dat:

t(G,GNP) -

B1m1M - l.oox1.o79ox1.2840 - 1.oox1.3855 - 1.3855

(24)

Er gaat ook slechts een enkelvoudig pad van G naar Y. De totale invloed van G op Y is dus gelijk aan:

t(G~Y) - II1m1M - 1.00 m1 1.2840

De waarde van m1 wordt in onderstaande tabel berekend. Berekening van ml voor het pad (G,Y).

(VIII.2.15) v deelgraaf L(1,v) n(1 v)_~ (-1)L(1,v)~(1 v ~ ) m1 -1}y~-1)L(l,v)~(1 v v ~ ~ 1.0000

1

4. (NW,NWf,NW)

1 -0.054

_to.o540

_1.0540

2 2. (D,K,D) 1 -0.050 f0.0500 1.1040 3 1. (D,GDP,D) 1 0.0440 -0.0440 1.0600 4 9. (NW,NWc,Sc,NWf,NW 1 0.0264 -0.0264 1.0336 5 4 en 2 2 0.0027 t0.0027 1.0363 6 4 en 1 2 -0.0024 -0.0024

_1.0339

7 2 en 9 2 -0.0013 -0.0013 1.0326 8 1 er. 9 ? 0.0012 f0.0012 1.0338 (VIII.2.16) Uit (VIII.2.15) en (VIII.2.16) volgt dat:

t(G~Y) - 1.o0x1.0338x1.2840 - 1.OOx1.3274 - 1.3274 (VIII.2.17) Voor het model I van Klein geldt~).

t(G~Y) - 1.OOx1.o0x1.7578 - 1.o0X1.7578 - 1.7578

(VIII.2.18)

Door de hogere waarde van M wordt in het model I van Klein de invloed van de overheidsbestedingen op het nationaal inkomen meer versterkt dan in het Klein-Goldberger model.

(25)

VIII.3. Het dynamisch model.

Wanneer we het Klein-Goldberger model cl,ynamisch beschouwen heeft het de vol-gende vorm:

y- Ay } C1y-1

f C2y-2 f C3y-3 f C~y-~ t C5y-5 t ECz t

Elz-1

(VIII.3.1) De matrix C~ bestaat geheel uit nullen en de matrices C2, C3 en C5 bevatten slechts één element dat ongelijk is aan nul respectievelijk het element

(w,p-2) - -0.52, het element (il,is-3) - 0.41~ en (il,is-5) - 0.26.

De eigenwaarden van~).

[I-A]-1C1 [I-A]-1C2 [I-A]-1C3 [I-A]-1C4 [I-A]-1C5

I 0 0 0 0

[[I-A]-1C5]21x5 -

0 ₀

0

(VIII.3.2) zijn bepalend voor de interne c~m amiek.

De eigenwaarden van (VIII.3.2) kan men vinden door het oplossen van de vol-genden karakteristieke vergelijking:

I[[ I-A] -1 C5] _{21 x}5-aI I- 0

(VIII.3.3)

De oplossingen van (VIII.3.3) zijn gelijk aan de oplossingen van:

~[ I-A]-1C5 f a[ I-A] -1C~ t a2[ I-A] -1C3 t a3[ I-A] -1C2 f a~[ I-A]

-1C1

- aSI~ - 0

(VIII.3.4)

(26)

We zullen dit aantonen voor:

I[[ I-A] -1_{C2] 21 x2-aI}I- 0 _(VIII.3.5) (VIII.3.5) is gelijk aan:

[ [ I-A] -1C1-aI] [ I-A] -1 C2

I -aI

a maal de eerste 21 kolommen opgeteld bij de tweede 21 kolommen geeft:

[ [ I-A] -1C1-aI] [ [ I-A] -1C2 t a[ I-A]-1C1 - ~2I]

I 0

Uit (VIII.3.7) volgt dat: I[I-A]-1C2

f a[I-A]-1C1 - 12II - 0

(VIII.3.6)

(VIII.3.8)

Op gelijke wijze kan de overgang van (VIII.3.3) naar (VIYI.3.~) verduidelijkt

wor de n .

(VIII.3.8) kan herschreven worden tot: I[Í-A]-1[C2 f aCl - a2[A]]

(27)

(VIII.3.11) Uit (VI.II.3.11) volgt dat:

II - A-~ C1 -~2 C2~ - 0

a

Uit (VIII.3.12) volgt dat:

II-[At~CI f ~2C2~'~ -0. a

(VIII.3.12)

(VIII.3.13)

De determinant in (VIII.3.13) kan berekend worden uit de graaf inet directe-invloedmatrix:

[ A~ ~ C 1 t 12 C2~ ~

a

Analoog aan ( IV.1~ . 6) geldt :

(VIII.3.1~)

L

I I-[ A f ~ C 1 f 12 C2~ ' I - 1 f E(-1 ) uAu - 0 ( VI I I. 3. 15 )

a u

Voor het Klein-Goldberger model gaat (VIII.3.15) volgens (VIII.3.~) over in:

T

II -[A t ~ C

_a

₁

f 1

_~2

C

₂

f ~ C t 1

_~3

₃

_a~

C

_~

t~ C]'I - 1 t E(-1)Lul1 - 0

~5

5 u

u

(VIII.3.1ó)

De graaf inet als directe-invloedmatrix:

[A t~ C1 t 12 C2 f ~3 C3 f~ C~ t 15 C5)' ( VIII.3.17)

a a a ~

(28)

(29)

In (VIII.3.18) ligt alleen het punt il niet in een sterk-verbonden component. Dit betekent dat het punt il dus niet op een circuit ligt. De pijl van het punt "is" naar het punt "il", met gewicht 0.44 ~3 f 0.26 ~5 is dus niet van belang voor de berekening van (VIII.3.16). De wortels van (VIII.3.16) zijn

dus gelijk aan de wortels van:

L

~I -~A f~ C1 t ~2 C2]'I - 1 f E(-1) ullu - 0

~ u

(VIII.3.19) Er zijn twee sterk-verbonden componenten respectievelijk bestaande uit: 1. alle punten, behalve "il" en "is"

2. het punt "is".

Op grond hiervan kan (VIII.3.19) analoog aan (II.1.21) aldus geschreven wor-den:

(1 - 0.9815 ~)(1 t rest) - 0 (VIII.3.20) Uit (VIII.3.20) volgt dat:

1- 0.9815 ~- 0-. a- 0.9815

(VIII.3.21)

Er is dus een eigenwaarde die gelijk is aan de directe invloed van "is"1 op

"is".

(30)

26

j a. - a. f b.i

J J J la.~ -J a2 f b?J J periode

1 o.y829 t o.0099 i

o.9829

~~,.~:~

2 0.9829 - 0.0099 i

o.9829

;

i

3 0.9815

0.9815

~

0.8721 f o.2440

0.9056

;.~~

5 0.8721 - 0.2~40

0.9056

~

6 0.8195

0.8195

i

~

P

7 0.5525

0.5525

'

I

8 0.3673 t 0.1189

0.3860

~

.

i

9 0.3673 - 0.1189

0.3860

~

i

10 0.2233 0.2233 ~ ;

11 -0.0765

0.0765

12 0.0088

0.0088

(VIII.3.22)

Het irnaginaire deel van a1 en a2 is zeer klein.

Hier is dus bijna een dubbele eigenwaarde aanwezig en is voor de bepaling van de gevoeligheid van die eigenwaarden nauwelijks voldaan aan (VII.4.5) tot en

met (VII.~.7). a3 komt overeen met (VIII.3.21).

(VIII.3.19) is volgens (VIII.3.22) een twaalfde graads vergelijking:

1 1 1

a0 } al a} a2 ~2 t... f a12 ~ 12 - 0 (VIII.3.23)

a0 is hierbij, evenals in (VII.2.7) gelijk aan één gedeeld door de multiplier van de endogene graaf en is dus gelijk aan

a0 - II-A~ - 0.7788

(VIII.3.2~)

(31)

Het aantal circuits in (VIII.3.18) is veel groter da.n dat aant al in

(VIII.2.4):

aantal circuits in: lengte

(VIII.2.4) cumulatief (VIII.3.18) cumulatief

(32)

De graaf (VIII.3.18) bevat de volgende circuits: nr. 1 2

3

5

6

7

8

9

10 11 12

13

lengte 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 waarde

-0.076~

0.24~ 1.00~ 1 .00~

0.61~

0.9815~

1.00~ 1.00~

-0.073~

-0.028~

0.0~4

-0.05 - 0.05~

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

104 105 106

107

108

109

110 111 112 113 114

lt5

116 117

118

11g 120 121 122

123

124

7

8

Y,GNP,EMw,p,NWf,W1,C,Y Y,GNP,EMw,p,pf,NWf,C,Y Y,GNP,EMw,p,pf,NWf,I,Y Y,NW,NWc,Sc,NWf,W1,C,Y Y,NW,NWf,W1,P,L2,I,Y Y,NW,I,K,D,WI,C,Y Y,NW,I,K,EMw,p,M,Y K,EMw,w,p,NWf,NW,I,K K,EMw,w,p,pf,NWf,I,K K,EMw,p,NWf,W1,L2,I,K I{,EMw,p,NWf,W1,NW,I,K K,EMw,p,pf,NWf,NW,I,K NWf,NW,I,K,D,GNP,W1,iVWf NWf,NW,I,K,D,W1,p,NWf NWf,I,K,D,GNP,WI,NW,NWf NWf,I,K,D,GNP,W1,p,NWf NWf,I,K,D,GNP,EMw,p,NWf NWf,I,K,D,W1,p,pf,NWf I,K,D,GNP,W1,p,L2,I I,K,D,GNP,EMw,p,L2,I (VIII.3.26) In (~rIII.3.26) zijn de circuits gegeven van (VIII.3.18) met lengte kleiner

of gelijk aan zeven. In onderstaande tabel worden de coëfficiënten va.n

(40)

Berekening van de coëfficiënten van (VIII.3.23).

(1)

(2)

(3)

(4)

(5;

(6)

u deelgraaf~) L A L (-1) uA L 1tE(-1) uA u u u u u cumulatief ~t~e ) 1 . 00

1

19

1

0.41 -0.41

0.59

2 27 1 0.1320 -0.1320 0.458

3

36

1 -0.0984

to.o984

0.5564

4 12 1 0.0440 -0.0440 0.5124

5

21

1 -0.044o

fo.o440

0.5564

6 19,12

2 0.0180

fo.ol80

0.5744

---7

---40

---1

---0.2007 - 0.0212~

---f0.2007 f 0.0212~

---0.7751 t 0.0212~

8

16

1 -0.054o t o.0069~

to.o540 - 0.006~

0.8291 t o.o143á

9

13

1 -0.0500 - 0.0500~

fo.o5oo f o.0500~

0.8791 t o.064~

10

93

1 0.0482 t o.0051~

-0.0~;82 - 0.0051~

0.8309 t o.0592~

(41)

11

12

13

15

16

17

18

19 19, 13

25

4

5

7

1

2

1 1

1

1 1 1 1 0.0264 - 0.0006~ -0.0004~2

a

-0.0205 - 0.o2o5á

c,.o18u - 0.0023~

l.oo~

1.00~

0.9815~

0.78~

-0.0264 t o.0006~

to.0004~2

a

-0.0205 - 0.0205~ -0.0184 t 0.002 }

-0.9815~

-c.78~

0. 8045 t o. 059~

t0.00041~

~

0.784o t o.0393~

t0.0004~2

a

0.76,6 t o.0416~

t0.0004~2

a

0.7656 - 0.9584~

t0.000412

a

0.7656 - 1.9584~

t0.000412

a

0.7656 - 2.9584~

t0.000412

a

0.7656 - 3.9584~

t0.0004~2 ~

0.7656 - 4.9399~

t0.000412

a

0.7656 - 5.7199~

t0.0004~2 ~ f , ~ , ~ . .

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

56 ~e )

7,~6

2

-0.0530~

-0.053~

0.7656 - 5.7699~

-0.2098'z t o.008~~

a

57

58

59

60

62

63

64

65 5,4

8,4

8,5

9,5

9,8

7,5

7,8

2 2 2 2 2 2 2 2

2 ~ .

oo-'-~-~`

1 .00'2

a

i.o~

a

1.Oa'2

a

1.0012

a

o.98i5~2

a

0.98~5~2

a

o.98i5~2

a

1.00'2

a

~3

x) De absolute waarde van de coëfficiënt van ~ in deelgraaf 56 (kolom 4) is kleiner dan 1q van de coëfficiënt van ~ in kolom 6. We veronderstellen daarom dat hiermee a~ voldoende benaderd is. De volgende deelgrafen worden geplaatst in de volgorde van grootte van de absolute waarde van de coëfficiënt van ~2 .

(47)

(48)

(49)

Tabel ( VIII.3.27) kan uitgebreid worden met de deelgrafen voor de benadering van a2 tot en met a12 in (VIII.3.23). Deelgraaf 1 tot en met 13 geven een be-nadering van a0. Deelgraaf 14 tot en met 56 geven een bebe-nadering van a1. Het is duidelijk dat er nog zeer veel deelgrafen zullen volgex~ voor de benadering van a2 tot en met a12.

(50)

Literatuur.

1. Derks, W.: Structuuranalyse van econnmetrische modellen met behulp van grafentheorie.

Deel I. Inleiding in de grafentheorie. in: Reeks "Ter Discussie" 76.031. 1976.

2. Derks, W.: Structuuranalyse van econometrische modellen met behulp van grafentheorie.

Deel II. Formule van Mason.

in: Reeks "Ter Discussie" 76.032. 1976.

3. Derks, W.: Structuuranalyse van econometrische modellen met behulp van

grafentheorie.

Deel III. De graaf van dynamische modellen met één vertraging.

in: Reeks "Ter Discussie" 76.03~. 1976.

1~. Derks, W.: Structuuranal,yse van econometrische modellen met behulp van grafentheorie.

Deel IV. Formule van Mason en dynamische modellen met één vertraging.

in: Reeks "Ter Discussie" 76.035. 1976.

Deel V. De graaf van dynamische modellen met meerdere ver-tragingen.

in: Reeks "Ter Discussie" 76.037. 1976.

6. Derks, W.: Structuuranalyse van econometrische modellen met behulp van grafentheorie.

(51)

47 Deel VII. Model I van Klein, dynamisch.

in: Reeks "Ter Discussie" 77.047. 1977.

8. Klein, L.R. and Goldberger A.S.: An econometric model of the United

States, 1929-1952. 1955.

9. Goldberger, A.S.: Impact multipliers and c~ynamic properties of the Klein-Goldberger model. 1959.

(52)

In de Reeks ter Discussie ziin verschenen: 1.H.H. '~iegelaar 2.J.P.C.Kleijnen 3.J.J, t~L"ienS 4. L. R. J. Westermann j.W. var. Hulst J.Th. :~~ T.ieshout 6.M.H.C.Paardekooper 7.J.P.C. Kleijnen ~.J. KriAn~ y.L.R..~. Westermann 10.B.C.J. van Velthoven 11.J.P.C. Kleijnen 1 ~ . F. J . '~ s.ndamme 1 3. A. va.n Schaik 14.J.vanLieshout J.Ritzen J.Roemen 15.J.P.C.Kleijnen 1b.J.P.C. Kleijnen 17.J.P.C. Kleijnen 18.F.J. Vandamme 19.J.P.C. Kleijnen 20.H.H. Tigelaar 21.J.F.~:. Kleijnen 22. W. Derks

23.B. Diederen

`I~ll. R21,]S W. ~crk~ ~~~.J.P.C. Kleijnen 2~ , u, vAn Velthoven Spectraalanalyse en stochastische lineaire differentievergelijkingen. De rol van simulatie in de algeme-ne econometrie.

A stratification procedure for typical auditing problems. On bounds for Eigenvalues Investment~financial planning with endogenous lifetimes: a heuristic approach to mixed integer programming.

Distribution of errors among input and output variables.

Design and analysis of simulation Practical statistical techniques. Accountantscontrole met behulp van steekproeven.

A note on the regula falsi

Analoge simulatie van ekonomische modellen.

Het ekonomisch nut van nauwkeurige informatie: simulatie van onder-nemingsbeslissingen en informatie. Theory change, incompatibility and non-deductibility.

De arbeidswaardeleer onderbouwd? Input-ouputanalyse en gelaagde planning.

Robustness of multiple ranking procedures: a Monte Carlo ex-periment illustrating design

and analysis techniques. Computers and operations research: a survey.

Statistical problems in the simulation of computer systems. Towards a more natural deontic logic.

Design and analysis of simulation: practical, statistical techniques. Identifiability in models with lagged variables.

Quantile estimation in regenerative simulation: a case study.

Inleiding tot econometrische mo-dellen van landen van de E.E.G. Econometrisch model van België. Principles of Economics for com-puters.

(53)

2E,.F. Cole F'orecesting by exponential september '76 smootliin}: , the li~x t~tid Jenkins

proceciure and spectrr~l analy-sis. l1 simulatiun study.

.''(.f~. Ileul,s c;ome rei'urmuLa~tions atid extensions juli ''j6 in the univariate Box-Jenkins

Lime series analysis. ~ 2ti.W, lierks Vier econometrische modellen.

2U.J. Frijns i:stimation methods for multi- oktober '76 variate dytiamic models.

30.P. Meulendijks Keynesiaanse theorieën van oktober '76 handelsliberalisatie.

31.W. Derks Structuuranalyse van econometrische september '76 modellen met behulp van

Grafentheo-rie. Deel I: inleiding in de Grafentheorie.

32.W. Derks Structuuranalyse van econometrische oktober '76 modellen met behulp van

Grafentheo-rie. Deel II: Formule van Mason. 33. A. van Schaik ren direct verband tussen economischc~

veroudering en

bezettingsgraadver-liezen. september '76

3}t. W. Derks Structuuranalyse van Econometrische Modellen met behulp van Grafentheorie. Deel IIT.De graaf van dynamische

modellen met één vertraging. oktober '76 35. W- Derks Structuuranalyse van Econometrische

Modellen met behulp van Grafentheorie. Deel IV. Formulé van Mason en

dyna-mische modellen met éé.n vertraging. oktober '76 36. J. Roemen De ontwikkeling van de

omvangsverde-ling in de levensmiddelenindustrie

in de D.D.R. oktober '76 37. W. Derks Structuuranalyse van Econometrische

modellen met behulp van grafentheo-rie.

Deel V. De graaf van dynamische

mo-dellen met meerdere vertragingen. oktober '76 3t3, A. vun Sc}iaik 1?en direkt verbanci tussen

economi-sche veroudering en bezettings-graadverliezen.

Deel II: gevoeligheidsanalyse. december '7t, 3;). W. Derks Structuuranalyse van

Econometri-sche modellen met behulp van Grafentheorie.

lleel VI. Model I van Klein,

sta-tisch. december '76

40. J. Kleijnen Information Economics: Tnleiding

en kritiek november '76 41. M. v.d. Tillaart. De spectrale representatie van

mutivariate zwak-stationaire stochastische processen met

dis-crete ti j dparameter . november ''(f; 42. W. Groenendaal Een econometrisch model van

Th. Dunnewijk Engeland december '"(Fi 43. R. Heuts Capital market models for

portfo-lio selection september '"(r~

(54)

44. J. Kleijnen en _{A critical analysis of IBM's inventory}

P. Rens package impact. _{december '76}

45. J. Kleijnen en _{Computerized inventory management:}

P. Rens _{A critical analysis of IBM's impact}

system. _{december '76}

46. A. Willemstein _{Evaluatie en foutenanalyse van}

eco-nometrische modellen.

Deel I.

Een identificatie methode voor een li-neair discreet systeem met atoringen

op input, output en structuur. januari '77 47. W. Derks _{Structuuranalyse van econometrische}

modellen met behulp van grafentheorie.

Deel VII. Model I van Klein, dynamisch.februari '77

48. L. Westermann On systems of linear inequalities

(55)