4 B-splines

4 B-splines

4.a Definities en elementaire eigenschappen

In plaats van de berekening van een spline-benadering via een lokale-polynoomrepresentatie per deelinterval, kunnen we ook een basis kiezen in de ruimte M^p,p−1(∆) van splines van graad p en een benadering schrijven als een lineaire combinatie van deze basiselementen. Een geschikte basis wordt gevormd door de B-splines van een graad p.

0 0.5 1

0 5

+ + + + + + + 0

0.5 1

0 5

+ + + + + + +

0 0.5 1

0 5

+ + + + + + + 0

0.5

0 5

+ + + + + + +

Figure 2: B-splines van graad 0, 1, 2 en 3 op de punten {0 , .5 , 2.2 , 3 , 4 , 4.5 , 6}.

Voor definitie van B-splines en afleiding van eigenschappen veronderstellen we (voorlopig) dat we beschikken over een oneindige serie knopen {t_i}^∞_i=−∞,

· · · < t−2 < t−1 < t0 < t1 < t2 < t3 < · · · . We defini¨eren de B-spline van graad 0 op de knopen tk en tk+1 door

B⁰(t_k, t_k+1; x) :=





1 als tk≤ x < tk+1,

0 elders. (4.1)

Vervolgens defini¨eren we recursief de B-spline van graad p op de punten t_k, t_k+1,· · · , t_k+p+1 door B^p(t_k,· · · , t_k+p+1; x) := x− tk

t_k+p− t_k B^p−1(t_k,· · · , t_k+p; x) + t_k+p+1− x

t_k+p+1− t_k+1 B^p−1(tk+1,· · · , tk+p+1; x) .

(4.2)

Voor p = 1 betekent dit bijvoorbeeld:

B¹(tk, t_k+1, t_k+2; x) = x− tk

t_k+1− t_kB⁰(tk, t_k+1; x) + t_k+2− x

t_k+2− t_k+1B⁰(tk+1, t_k+2; x) =

=

















x− t_k t_k+1− tk

als t_k≤ x ≤ t_k+1, t_k+2− x

t_k+2− t_k+1 als t_k+1≤ x ≤ t_k+2,

0 elders.

(4.3)

Notatie: Voor het gemak zullen we in het vervolg de notatie afkorten en schrijven: B_k^p(x) i.p.v.

B^p(tk,· · · , tk+p+1; x) , tenzij de lange notatie beter is voor de duidelijkheid.

Opmerking. In de praktijk laten we bij het uitrekenen van B_k^p de recursie liever niet lopen tot op het niveau p = 0, omdat B_k⁰niet continu is in de knopen en een kleine verschuiving van x (b.v. door een afrondfout) een verschil van orde 1 tot gevolg kan hebben.

Uit de definitie (4.1) zien we dat het interval [t_k, t_k+1] de drager van B_k⁰ is, dit is de afsluiting van verzameling punten waar de funktie niet nul is. Bovendien is B_k⁰op die drager niet-negatief. Uit (4.3) zien we dat [tk, t_k+2] de drager van B_k¹ is en dat ook deze daar (en dus overal) niet-negatief is. Verder zien we, dat B_k¹ continu is en stuksgewijs een polynoom van graad 1. Uit de recursieve definitie (4.2) zien we vervolgens, dat voor alle p de B-spline B_k^p van graad p de drager [t_k, t_k+p+1] heeft, dat hij nergens negatief is, en dat hij stuksgewijs een polynoom van graad p is. Bovendien heeft B^p_k p−1 continue afgeleiden, zoals vogt uit de volgende stelling:

Stelling: De afgeleide van B_k^p voldoet aan de recursie:

d

dxB_k^p(x) = p t_k+p− tk

B_k^p−1(x) − p t_k+p+1− tk+1

B^p−1_k+1(x) (4.4) bewijs. Met volledige induktie naar p. Voor p = 1 (en x 6∈ {t_k, t_k+1, t_k+2}) volgt (4.4) trivialiter uit (4.1) en (4.3). Voor p > 1 voeren we de differentiatie van formule (4.2) direkt uit en gebruiken vervolgens de induktieaanname voor _dx^dB_k^p−1(x) :

d

dxB_k^p(x) = 1

t_k+p− t_kB_k^p−1(x) − 1

t_k+p+1− t_k+1B_k+1^p−1(x) + x− tk

t_k+p− t_k d

dxB_k^p−1(x) + t_k+p+1− x t_k+p+1− t_k+1

d

dxB_k+1^p−1(x)

= · · ·

de eerste regel heeft reeds de goede vorm; in de tweede gebruiken we de induktieaaname op het niveau p− 1

+ x− tk

t_k+p− t_k

à p− 1

t_k+p−1− t_kB_k^p−2(x) − p− 1

t_k+p− t_k+1B_k+1^p−2(x)

!

+ tk+p+1− x t_k+p+1− t_k+1

à p− 1

t_k+p− t_k+1B_k+1^p−2(x) − p− 1

t_k+p+1− t_k+2B_k+2^p−2(x)

!

= · · ·

op de plaatsen van de twee mintekens voegen we geschikte veelvouden van B_k+1^p−2toe, die samen met de eerste en de laatste term B_k^p−1resp.

B_k+1^p−1 vormen; de middentermen sommeren tot nul.

+ p− 1 t_k+p− t_k

à x− tk

t_k+p−1− t_kB_k^p−2(x) + t_k+p− x

t_k+p− t_k+1B_k+1^p−2(x)

!

− p− 1 t_k+p− t_k

à t_k+p− x

t_k+p− t_k+1 + x− tk

t_k+p− t_k+1

!

B_k+1^p−2(x)

+ p− 1

t_k+p+1− t_k+1

Ãt_k+p+1− x

t_k+p− t_k+1 + x− tk+1

t_k+p− t_k+1

!

B^p−2_k+1(x)

− p− 1

t_k+p+1− t_k+1

à x− tk+1

t_k+p− t_k+1B_k+1^p−2(x) + t_k+p+1− x

t_k+p+1− t_k+2B_k+2^p−2(x)

!

= p

t_k+p− t_kB_k^p−1(x) − p

t_k+p+1− t_k+1B_k+1^p−1(x)

Het gevolg van deze stelling is, dat B_k^p een stuksgewijs polynoom van graad p met p − 1 con- tinue afgeleiden, zodat B_k^p ∈ M^p,p−1(∆) en dus met recht een spline genoemd kan worden. We

zullen bewijzen, dat we met B_k^p een basis kunnen vormen. Hiervoor bewijzen we de volgende twee stellingen.

Stelling: De verzameling B-splines van graad p vormen een partitie van de eenheid:

X∞ k=−∞

B_k^p(x) = 1 ∀x ∈ IR . (4.5)

bewijs. Met volledige induktie naar p. Voor p = 0 zijn de dragers van B⁰_ken B_j⁰ disjunkt als k 6= j en B_k⁰= 1 op zijn drager; hun som is dus ook gelijk aan 1. Voor p > 1 passen we de definitie (4.2) toe en verschuiven de index in de tweede som van het rechterlid met 1:

X∞ k=−∞

B^p_k = X∞ k=−∞

x− t_k t_k+p− tk

B_k^p−1(x) + X∞ k=−∞

t_k+p+1− x t_k+p+1− tk+1

B_k+1^p−1(x)

= X∞ k=−∞

x− tk

t_k+p− t_kB_k^p−1(x) + X∞ k=−∞

t_k+p− x

t_k+p− t_kB_k^p−1(x)

= X∞ k=−∞

B_k^p−1(x) = 1 volgens de induktieaanname.

Hieruit volgt de geldigheid van (4.5) voor alle p.

We merken op, dat in de som (4.5) voor iedere x er hoogstens p+1 termen ongelijk aan nul zijn, omdat de drager van B_k^p zich slechts uitstrekt over p+1 deelintervallen. Als we op een begrensd deel van IR kijken zijn er daar dan ook slechts een eindig aantal B-splines ongelijk aan nul; uit de volgende stelling volgt, dat deze lineair onafhankelijk zijn.:

Stelling: Als ∀x ∈ [t0, t_n] geldt

S(x) :=

X∞ k=−∞

ckB^p_k(x) = 0 , (4.6)

dan geldt: c−p= c−p+1= · · · = cn−3= cn−2 = cn−1= 0 .

bewijs. met volledige induktie. Voor p = 0 is de bewering triviaal, omdat alle dragers disjunkt zijn.

Voor p > 0 kunnen we (4.6) differenti¨eren, gebruik maken van formule (4.4) en de sommatieindex in de tweede som verschuiven,

S^′(x) = X∞ k=−∞

c_k d

dxB_k^p(x) = X∞ k=−∞

c_kp

t_k+p− t_kB_k^p−1(x) − X∞ k=−∞

c_kp

t_k+p+1− t_k+1B^p−1_k+1(x)

= X∞ k=−∞

ckp

t_k+p− t_kB^p−1_k (x) − X∞ k=−∞

ck−1p

t_k+p− t_kB_k^p−1(x)

= X∞ k=−∞

(c_k− c_k−1) p

t_k+p− t_k B^p−1_k (x) = 0 . Volgens de induktieaanname zijn de co¨effici¨enten in de laatste expressie nul,

c−p+1− cp = c−p+2− cp+1= · · · = cn−3− cn−2= cn−2− cn−1

zodat alle betrokken co¨effici¨enten c_k (k = −p · · · n−1) aan elkaar gelijk zijn. Volgens (4.5) is S(x) dan constant op het interval [t0, t_n] en gelijk aan cp, zodat cp = 0 .

Het gevolg van deze stelling is, dat de collectie B-splines {B^p−p, B₋^p_p+1,· · · , B_n−2^p , B^p_n−1} een onafhankelijke verzameling van n + p funkties vormt in M^p,p−1(∆). Omdat dit aantal gelijk is aan de dimensie, vormt deze collectie dus een basis in deze ruimte.

Opmerking. Een discontinu¨ıteit in een spline-benadering of haar afgeleide in een knooppunt kunnen we cre¨eren door zo’n knoop twee- (of meer-)voudig in de knopenlijst op te nemen. In de recursie (4.2) moeten we daar natuurlijk wel rekening mee houden; als er een noemer nul is, is de teller ook nul en kunnen we betreffende term nul stellen, mits we er in formule (4.3) voor zorgen dat steeds geldt B_k¹(tk+1) = 1 als tk < t_k+2 (immers, als we tk+1 vast houden en tk van beneden of t_k+2 van boven naar t_k+1 laten lopen, blijft steeds B¹_k(t_k+1) = 1). De afleidbaarheid wordt dan verminderd, daar in (4.4) een noemer nul wordt, zodat de formule niet geldig is in dat punt. Als we dus bijvoorbeeld in een kubische-splinebenadering een knik willen leggen in een punt tk, dan leggen we in dit punt een drievoudige knoop, zodat we continu¨ıteit van eerste en tweede afgeleide in dat punt verliezen. Dit recept kunnen we ook toepassen in een randpunt van een interpolatie- interval; in plaats van het kiezen van een aantal kunstmatige knopen buiten het interval maken we de randknoop meervoudig, zie fig. 3 en 4.

0 0.5 1

0 5

+ + + +++ + + + 0

0.5 1

0 5

+ + + +++ + + +

Figure 3: B-splines van graad 2 (links) en 3 (rechts) op de knopen {0 , 1 , 2 , 4 , 4 , 4 , 6 , 7 , 8} met een drievoudige knoop 4 . Duidelijk is, dat de B² discontinu zijn in 4 en dat de B³ er een knik vertoont.

0 0.5 1

0 5

+ + +

+ + + + + + 0

0.5 1

0 5

+ + +

+ + + + + +

Figure 4: B-splines van graad 2 (links) en 3 (rechts) op de knopen {0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} met een meervoudige randknoop.

4.b Het rekenen met B-splines

De eerste vraag is om waarde van een lineaire combinatie S(x) van B-splines voor een gegeven waarde van x uit te rekenen. Laat S gegeven zijn door

S(x) = X∞ k=−∞

c^p_kB_k^p(x). (4.7)

We merken om te beginnen op, dat er hier voor iedere x in feite maar een eindige som staat, omdat voor x ∈ [tj, t_j + 1] alleen de B-splines B_j−p^p (x), · · · , B_j^p(x) ongelijk aan nul zijn. Om (4.7) te

evalueren maken we gebruik van recursie (4.2) en verschuiven de sommatieindex in de tweede som:

S(x) = X∞ k=−∞

c^p_kB^p_k(x)

= X∞ k=−∞

c^p_k x− tk

t_k+p− t_kB_k^p−1(x) + X∞ k=−∞

c^p_k t_k+p+1− x

t_k+p+1− t_k+1 B_k+1^p−1(x)

= X∞ k=−∞

c^p_k x− tk

t_k+p− t_kB_k^p−1(x) + X∞ k=−∞

c^p_k−1 t_k+p− x

t_k+p− t_k B_k^p−1(x)

= X∞ k=−∞

c^p−1_k B_k^p−1(x)

(4.8)

waarbij c^p_k−1 gedefini¨eerd is door

c^p−1_k := c^p_k x− tk

t_k+p− t_k + c^p_k−1 t_k+p− x

t_k+p− t_k . (4.9)

Hiermee hebben we de som (4.7) van B-splines van graad p herleid tot een van graad p − 1. Dat de co¨effici¨enten impliciet van x afhangen is niet belangrijk, omdat we x toch vast houden in deze afleiding. Dezelfde recursieslag als (4.8) kunnen we nu opnieuw toepassen van graad p − 1 naar p− 2 en we kunnen doorgaan tot we bij graad nul zijn en vinden:

S(x) = X∞ k=−∞

c⁰_kB⁰_k(x) = c⁰_j als x∈ [tj, t_j+ 1] .

Voor de berekening van c⁰_j en dus van S(x) hebben we dus niet meer nodig, dan het driehoekig tableau

c^p_k c^p_k−1 c^p_k−2 c^p_k−3

· · ·

-

©©©* -

©©©* -

©©©* -

c^p−1_k c^p−1_k−1 c^p−1_k−2

· · ·

-

©©©* -

©©©* -

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

-

©©©* -

©©©* c¹_k c¹_k−1

-

©©©* c⁰_k

(4.10)

waarin de kolommen van links naar rechts berekend worden met formule (4.9).

Toepassing: Collocatie voor een tweepuntsrandwaardeprobleem.

We willen de oplossing van het tweepuntsrandwaardeprobleem op het interval [0, 1]

a(x) u^′′+ b(x) u^′+ c(x) u = f (x) met u(0) = α , u(1) = β . (4.11) benaderen met kubische splines. We kiezen daartoe een verdeling ∆ van het interval in n deelin- tervallen (en aan weerszijden 3 deelintervallen erbuiten). Laat {B₋₃³ ,· · · , B_n−1³ } de B-spline basis zijn voor M^3,2(∆). Schrijf de benadering uit in deze basis,

u∆=

n−1X

k=−3

c_kB_k³(x) (4.12)

met n + 3 te bepalen parameters. Deze benadering moet aan de randvoorwaarden voldoen, zodat c−3B₋₃³ + c−2B₋₂³ + c−1B₋₁³ = α , en c_n−3B_n−3³ + c_n−2B_n−2³ + c_n−1B³_n−1= β . (4.13) De benadering u∆ kan natuurlijk niet overal (exact) aan de differentiaalvergelijking voldoen; om een goede benadering te verkrijgen is het voldoende dat u∆ aan de vergelijking voldoet in de

deelpunten t0 = 0, t1,· · · , t_n−1, t_n = 1, de zogenaamde collocatiepunten. Dit geeft n + 1 vergelij- kingen; tesamen met (4.13) zijn dit er precies voldoende om de n + 3 onbekende co¨effici¨enten in u∆ te bepalen. Omdat in het deelpunt t_j alleen B_j−3³ , B_j−2³ en B_j−1³ ongelijk aan nul zijn, geeft de j-de collocatievergelijking een betrekking tussen c_j−3, c_j−2 en c_j−1. Het resulterende stelsel vergelijkingen heeft dus de vorm:

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

. .. . .. . ..

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗

(4.14)

Vanwege de recurrente betrekking (4.2) kunnen de berekeningen zeer effici¨ent ge¨ımplementeerd worden.

De zo verkregen benadering is van orde O(h⁴), als f etc. voldoend glad zijn. Het idee achter het bewijs van deze foutschatting is, dat de kubische B-splines in het linkerlid van de differentiaal- vergelijking (4.11) tweemaal gedifferentieerd worden. We interpoleren het rechterlid dus als het ware met stuksgewijs lineaire splines die een benaderingsorde O(h²) geven. Tweemaal integreren geeft dan, bij gebruik van de randvoorwaarden, de gewenste orde O(h⁴).

4.c B´ezier-polynomen en controlepunten

Op zoek naar een manier om gladde krommen in het platte vlak (IR²) op een eenvoudige manier te beschrijven kwam B´ezier (ingenieur bij Renault) rond ’60 met een methode waarbij de gezochte kromme niet beschreven wordt als een funktie y = f (x) maar in parametrische vorm, x = f (t), y = g(t), t ∈ IR . Als f en g gladde funkties zijn, dan is (g^′(t) , −f^′(t)) de richting van de raaklijn, tenzij deze nul is. De geparametriseerde kromme (f (t) , g(t)) is dus glad, tenzij de afgeleiden van f en g tegelijk nul zijn.

Standaard-voorbeelden van geparametriseerde krommen zijn de cycloide en de epicycloiden, geschetst in fig. 5. Als we een cirkel met straal 1 laten rollen over een rechte (fig 5A), dan beweegt een vast punt op die cirkel zich over een (epi-)cycloide. Als de cirkel over een afstand t is voortgerold, dan is deze ook over een hoek t gedraaid. De baan van zo’n vast punt op de cirkel, dat op een afstand r van het middelpunt staat wordt dus beschreven door (t + r sin t , 1 − r cos t). De richting van de raaklijn is dus (−r sin t , 1 + r cos t), hetgeen nul is als r = 1 en t = ±π. De cycloide in fig 5B heeft dan ook een knik, terwijl de epicycloiden (met r 6= 1) van fig 5C en fig 5D overal glad zijn.

Als we n + 1 punten {p_k := (x_k, y_k)|k = j · · · n + j} gegeven hebben, dan kunnen we hierbij de kromme van graad n in parametervorm defini¨eren door

Pⁿ_j(t) :=

n+jX

k=j

Ãn k

!

(1 − t)^n−kt^kpk met t∈ [0, 1] . (4.15) Dit is een polynoom van graad n in de parameter t. Deze formule definieert ieder punt van de kromme als een convexe lineaire combinatie van de controlepunten, omdat P_jⁿ(t) = ^Pc_kp_k met c_k≥ 0 en ^Pc_k= 1 (ga na!). Vanwege de bekende recursie voor binomiaalco¨effici¨enten geldt:

Pⁿ_j(t) = (1 − t) Pⁿ⁻¹_j (t) + t Pⁿ⁻¹_j+1(t) . (4.16) Dit geeft een eenvoudig en snel algoritme om de waarde van de kromme voor iedere t te berekenen.

De belangrijkste eigenschappen (die we niet zullen bewijzen) zijn:

x x x

A: Voortbrengende cirkel. B: cycloide; straal=1

C: epicycloide; straal=0.6 D: epicycloide; straal=1.4

Figure 5: Epicycloiden. A: Voortbrenging door vaste punten (x) op een rollende cirkel. B: De cycloide (r = 1). C-D: Epicycloiden.

1) Pⁿ_j(0) = p_j en Pⁿ_j(1) = p_n+j.

2) In t = 0 (het beginpunt) raakt de kromme aan de rechte door p_j en p_j+1 en in t = 1 (het eindpunt) raakt de kromme aan de rechte door p_n+j−1 en p_n+j.

3) De kromme ligt geheel binnen het convexe omhulsel van {p_j · · · p_n+j}, dit is het kleinste convexe polygoon, dat al deze punten omvat. Dit volgt eenvoudig uit de definitie (4.15), die P_jⁿ(t) geeft als een convexe lineaire combinatie van de controlepunten.

Het concept van controlepunten tesamen met de eenvoudige recursie (4.16) maken dit soort krom- men een aantrekkelijk interactief grafisch hulpmiddel. Cre¨eren, verschuiven en weglaten van con- trolepunten kan eenvoudig met een muis gebeuren. Een nadeel van deze B´ezierpolynomen is, dat de graad nogal hoog kan oplopen en dat de krommen daardoor mogelijk ongewenst hard gaan kro- nkelen, als we veel controlepunten kiezen. Het alternatief van stuksgewijze B´ezierpolynomen is ook niet aantrekkelijk omdat de overgang van een stuk naar een volgend stuk moeilijk glad te maken is. Zie fig. 6 voor enige voorbeelden.

0 0.5 1 1.5

0.4 0.6

x x

x

x

1 2

3

4 0

0.5 1 1.5

0.4 0.6

x

x x

1 x

2 3

4

Figure 6: B´ezierpolynomen van graad 3 met (genummerde) controlepunten. Uit de figuur is te zien, dat de volgorde belangrijk is.

Dit soort B´ezier-krommen wordt bijvoorbeeld gebruikt in de “postscript” functie “curveto”. De opdracht “x1 y1 x2 y2 x3 y3 curveto” tekent een B´ezier-kromme van de graad 3 van het actuele punt (x, y) naar het punt (x3, y3) met intermediaire controlepunten (x1, y1) en (x2, y2) zoals in fig. 6.

4.d B-spline-krommen en controlepunten

Punten op een B´ezierkromme worden, zoals we zagen in §4.c, gevormd als een convexe lineaire combinatie van controlepunten. Aangezien B-splines volgens formule (4.5) ook een partitie van de eenheid vormen, kunnen we ook met B-splines zo’n convexe lineaire combinatie vormen. Als B_k^p(t) := B^p(k, k + 1, · · · , k + p + 1 ; t) de B-spline van graad p is die leeft op [k , k + p + 1], dan is ^P_k B_k^p(t) = 1 voor alle t. Met een collectie controlepunten {p_k∈ IR²| k ∈ ZZ} kunnen we dan de kromme S^p(t) in het vlak vormen als de convexe lineaire combinatie

S^p(t) :=

X∞ k=−∞

p_kB_k^p(t) . (4.17)

Aangezien de drager van iedere B_k^p beperkt is tot [k , k + p + 1], staat hier altijd een eindige som van hoogstens p + 1 termen,

S^p(t) :=

X∞ k=−∞

p_kB_k^p(t) = Xj k=j−p

p_kB_k^p(t) als t∈ [j, j + 1] . (4.18)

Hierdoor heeft de B-spline-kromme S^p naast de vaste (lage) graad een behoorlijke mate van lokaliteit, ongeacht het aantal controlepunten. Natuurlijk is de parametrisering (en dus ook de kromme) niet oneindig glad; voor t geheel sluiten de stukken hoogstens p − 1 maal continu differ- entieerbaar aan elkaar aan. In vergelijking met B´ezierkrommen leveren we dus gladheid in voor lage graad en lokaliteit. Evenals de B´ezierkromme is de B-spline-kromme S^p niet interpolerend in de controlepunten (gaat niet door die punten).

Voor de eenvoud van de formulering is in (4.17) een oneidig aantal controlepunten gebruikt.

Als er echter precies n controlepunten {p_k∈ IR²| k = 0, · · · , n − 1} gegeven zijn, willen we slechts een eindige som

Se^p(t) :=

n−1X

k=0

p_kB_k^p(t)

beschouwen. Als funktie van de parameter t hebben beide componenten vanS^epde drager [0 , n+p], maar slechts voor p ≤ t ≤ n is de eindige som, zie fig. 7, ^Pn−1_k=0 B_k^p(t) = 1 een partitie van de eenheid (immers, de dragers van de eerste weggelaten termen B₋₁^p en B_n^p links en rechts zijn [−1 , p]

resp. [n , n+p+1]). Voor t = 0 en t = n+p geldt bijvoorbeeldS^ep(0) =S^ep(n+p) = (0, 0). Het gevolg is, dat we voor 0 ≤ t < p en n < t ≤ n + p geen convexe combinatie van de controlepunten hebben, zodat de grafiek in het begin en eind niet goed aansluit. Dit probleem kunnen we oplossen, door aan de knopenverzameling {p , p + 1 , · · · , n}, zoals in fig. 4, de randknopen p en n multipliciteit p+ 1 te geven. Hierdoor loopt de kromme inderdaad van het eerste naar het laatste controlepunt, zoals we zien in fig. 8.

x x x x x x x x x x x x x 9

6 3

0 12

x x x x x x

x x x x x x xxxxxxx

9 6

3

Figure 7: Getekend zijn de kubische B-splines B_k³ voor k = 1 · · · 9 en hun som. In de linkerfiguur is de knopenverzameling {0, 1, 2, · · · , 12} gebruikt en in de rechter {3, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9}.

Tengevolge van de 4-voudige randknopen liggen in de rechterfiguur alle dragers binnen het interval [3, 9] waar de negen B-splines een partitie van de eenheid vormen.

-1 0 1

-1 0 1

+ +

+ +

+

+

+ +

+

+

+

1 2

3 4

5 6

7 8 9

10 11 -1

0 1

-1 0 1

+ +

+ +

+

+

+ +

+

+

+

1 2

3 4

5 6

7 8 9

10 11

Figure 8: Gestippeld is de lissajousfiguur {(cos t, sin 2t)| − π < t < π} en elf genummerde con- trolepunten daarop. Langs die controlepunten is de B-spline-kromme van graad 3 getrokken. In de linkerfiguur zijn de knooppunten van de parametrisering 0 · · · 14 gekozen. In de rechter zijn randknopen met multipliciteit 4 gekozen. De rechterkromme loopt dan ook van het eerste naar het laatste controlepunt, terwijl de linker ergens in de buurt van de tweede en de voorlaatste ophoudt.

References

[1] M. Hestenes & E. Stiefel, Methods of conjugate gradients for solving linear systems, J. Research NBS, 49, pp. 409 – 436, 1952.

[2] C. Lanczos, An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators, J. Research NBS, 45, pp. 255 – 282, 1950.

[3] J.K. Reid, On the method of conjugate gradients for the solution of large sparse systems of linear equa- tions, Proc. Conf. on Large Sparse Sets of Linear Equations, Academic Press, New York, 1971.

[4] J.A. Meijerink and H.A. van der Vorst, An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is a symmetric M-matrix, Math.of Comp., 31, pp. 148 – 162, 1977.

[5] G.H. Golub & C.F. Van Loan, Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, USA, 1^ste druk, 1983, 2^dedruk, 1988, 3^de druk, 1995.

[6] R. Bulirsch & J. Stoer, Introduction to Numerical Analysis, Springer Verlag, Berlin, 1977. (Ook verkri- jgbaar in een goedkope duitstalige pocketeditie).

[7] D. Kincaid & W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks & Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, USA, 1991; 2de druk, 1996.