Examen Numerieke Analyse I, lic. Wiskunde & Informatica, 16 juni 01 1
Examen Numerieke Analyse I, lic. Wiskunde & Informatica, 16 juni 01
1. Als A∈ IRn een inverteerbare matrix is, dan kunnen we bij gegeven vector b∈ IRn het stelsel vergelijkingen A x = b oplossen. Geef een schatting voor de onvermijdelijke fout in de oploss- ing x.
2. Laat Hude Householdertransformatie zijn die de vektor x∈ IRnafbeeldt op een veelvoudαe1van de vektor e1,
e1 := ( 1, 0, 0, ..., 0)T ∈ IRn. a. Bepaal formules voor u enα.
b. Laat zien hoe je voor iedere symmetrische matrix A∈ IRn×n met een serie Householdertrans- formaties een orthogonale matrix U kunt construeren zodat A = U T UT met T een tridiago- nale matrix (waarvoor dus geldt Ti, j = 0 als j > i + 1 of j < i− 1 ).
3. Voor de het beginwaardeprobleem y0= f (x, y) , y(x0) = a (voor een vergelijking of voor een stelsel vergelijkingen van eerste orde) met voldoend gladde f beschouwen we de volgende numerieke integratiemethode:
yk−43yk−1+13yk−2=23h f (xk, yk) . (1) Hierin is h een constante stapgroote, xk := x0+ kh , k = 1, 2,··· een rij re¨ele punten en yk de benadering van de oplossing in xk.
a. Is de methode impliciet of expliciet, een- of meerstaps?
b. Bepaal de locale afbreekfout.
c. Is de methode asymptotisch stabiel? (motiveer)
d. Laat zien, dat de gehele negatieve re¨ele as in het stabiliteitsgebied ligt.
4. Voor de het beginwaardeprobleem y0= f (x, y) , y(x0) = a (voor een vergelijking of voor een stelsel vergelijkingen van eerste orde) met voldoend gladde f beschouwen we de volgende numerieke integratiemethode:
yk+1= yk+ h f (xk+12h , 12(yk+ yk+1)) . (2) Hierin is h een constante stapgroote, xk := x0+ kh , k = 1, 2,··· een rij re¨ele punten en yk de benadering van de oplossing in xk.
a. Is de methode impliciet of expliciet, een- of meerstaps?
b. Bepaal de locale afbreekfout.
c. Is de methode asymptotisch stabiel? (motiveer)
d. Laat zien, dat de gehele negatieve re¨ele as in het stabiliteitsgebied ligt.
5. Leg uit hoe de algoritme voor de “Fast Fourier Transform” met behoud van de complexiteit O(n log n) aangepast kan worden als de vectorlengte n = 3k is.
