Jo van den Brand Les 1: 5 november 2015
Algemene relativiteitstheorie
HOVO cursus
Copyright (C) Vrije Universiteit 2015
Overzicht
• Docent informatie
• Jo van den Brand, Gideon Koekoek
• Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
• 0620 539 484 / 020 598 7900
• Kamer: T2.69
• Rooster informatie
• Hoorcollege: dinsdag 13:30 – 15:15, HG-0G30 (totaal 5 keer)
• Boek en website
• Dictaat: in ontwikkeling …
• Zie website URL: www.nikhef.nl/~jo
• Response op college
Copyright (C) Vrije Universiteit 2009
Inhoud
• Speciale relativiteitstheorie
• Inertiaalsystemen
• Bewegende waarnemers
• Relativiteitsprincipe
• Ruimtetijd
• Minkowski ruimtetijd
• Tensoren
• Gekromde ruimtetijd
• Algemene coördinaten
• Covariante afgeleide
• Algemene
relativiteitstheorie
• Einsteinvergelijkingen
• Newton als limiet
• Toepassingen ART
• Zwarte gaten
• Kosmologie
• Gravitatiestraling
Relatieve beweging
Einstein 1905:
Alle natuurwetten blijven dezelfde (zijn invariant) voor alle waarnemers die eenparig rechtlijnig t.o.v. elkaar bewegen.
De lichtsnelheid is invariant – heeft voor alle waarnemers dezelfde waarde.
Einstein 1921 Inertiaalsysteem: objecten bewegen in rechte lijnen als er geen
krachten op werken (Newtons eerste wet).
Indien een systeem met constante snelheid t.o.v. een inertiaalsysteem beweegt, dan is het zelf ook een inertiaalsyteem.
Lorentztransformaties
Transformaties laten lichtsnelheid invariant
Lorentz 1902 Waarnemers in O en O’ bewegen met snelheid v t.o.v. elkaar.
Systemen vallen samen op t = t’ = 0.
Waarnemer in S kent (x, y, z, t) toe aan het event.
Waarnemer in S’ kent (x’, y’, z’, t’) toe aan hetzelfde event Wat is het verband tussen de coördinaten voor dit zelfde event?
Lorentztransformaties
Inverse transformatie
(snelheid v verandert van teken) Lorentztransformatie
Relativiteit van gelijktijdigheid
Stel dat in systeem O twee events, A en B, op dezelfde tijd, tA= tB, gebeuren, maar op verschillende plaatsen, xAxB.
Invullen levert
Events vinden niet simultaan plaats in systeem O’
Waarnemers O en O’ hebben verschillend besef van wat het “nu” is In 1905 werkt Einstein nog met verschillende tijden en 3D ruimten voor beide waarnemers en gebruikt de Lorentztransformaties om de ervaringen (meetgegevens) van beide waarnemers te relateren
Er bestaan oneindig veel van deze inertiale waarnemers en evenveel tijden en 3D ruimten
Er is één enkele ruimtetijd in de SRT
deeltje in rust ct
deeltje met willekeurige snelheid deeltje naar rechts bewegend met constante snelheid
deeltje met lichtsnelheid Het belang van fotonen m.b.t. structuur van ruimtetijd:
empirisch vastgestelde universaliteit van de voortplanting in vacuum
Onafhankelijk van
bewegingstoestand van de bron golflengte
intensiteit
polarisatie van EM golven
In 1908 introduceerde Minkowski het begrip ruimtetijd: een vierdimensionale wereld
Minkowskiruimte – inproduct
waarnemerDefinitie:
Afspraak:
tijden voor P negatief tijden na P positief
2 1
) 2
,
(
PQ PQ c
Q P
E O
1
2
We kennen de vector toe aan de geordende events P en Q
PQ
P
Q
1
2
0
P
Q
2
1
0
P Q
c22
P
Q
10
2
0
P
Q
1
2
0
P en Q gelijktijdig als 12
Dankzij het bestaan van een metriek (inproduct) kunnen we nu afstanden bepalen. Ruimtetijd heeft een metriek
Lorentzinvariantie Minkowski-metriek
Waarnemer A
Volgens A: (PQ PQ, )c2 1 2
Q P
A1 A2
1
2
Dat wil zeggen is onafhankelijk van de inertiele waarnemer door P(PQ PQ, )
Waarnemer B
2 '
1'
B1
B2 Volgens B: (PQ PQ, )c2 1' 2'
Er geldt
1 1
1 1
1 1'
PA k PB k
2 2 2 2'
PA k PB k
1 2 1' 2'
Scalair product is Lorentzinvariant Definitie:(PQ,PQ)c212
Met afspraak over het teken!
Lorentzcoördinaten
Waarnemer A (inertieel) E is verzameling puntgebeurtenissen die
gelijktijdig zijn met O (t.o.v. A)
0 s Definieer basisvector
Dat is de 3-dim euclidische ruimte op t.o.v. A e0 OE
0
M
Er geldt
Er geldt ( ,e e0 0) 1
1 s
2 s
1 s
2 s
O E Eis verzameling puntgebeurtenissen die
gelijktijdig zijn met
, 0 (A )
Q OE OQ l
lA
e0
e1
Orthonormaal stelsel vectoren in E met beginpunt O
e e e1, 2, 3
Er geldt en ( , )e e1 1 1 ( ,e ei j)ij
En ook ( , )e e0 i 0
Voor cartesische coordinaten
Minkowski meetkunde
Het invariante lijnelement
Notatie bevat metriek en coordinaten Minkowskimetriek
Lijnelement uitschrijven
Dezelfde tijd: Ruimtelijke termen: Stelling van Pythagoras Inverse Basisvectoren mete 0,1, 2, 3
We hebben gevonden dat
1 als 0 ( , ) 1 als
0 overige gevallen
e e i
Nieuw symbool
( ,e e )
Minkowskiruimte
• Ruimtetijd geometrie
Welke zijde van driehoek ABC is het langst? Welk de kortste? Wat zijn de lengten?
A B
C
A’
C’
B’
ct
x 2
2
2 ( )
)
(s ct x
Wat is het kortste pad tussen punten A en C? De rechte lijn tussen A en C, of het pad ABC?
Idem voor driehoek A’B’C’
|AB| = 5, |BC| = 3, |AC| = wortel(-32 + 52) = 4
Rechte pad AC is kortste pad tussen A en C
|A’B’| = |B’C’| = wortel(-32+32) = 0 en |A’C’| = 6 Pad is A’B’C’ met lengte 0.
t c x
x t c s
0 )
( )
( 2 2 2
Tweelingparadox
2 2 2 2
(s) (c t) x (c )
Tweelingparadox
A=(0,0) C=(20,0)
B=(10,8) ct
x
Smith en Jones zijn tweelingen, beiden 30 jaar oud. Jones vliegt naar Sirius en reist met 8/10 van de lichtsnelheid. Als hij Sirius bereikt, komt hij meteen terug.
Jones, gaat snel, maar Sirius is ver. Jones is 20 jaar weg en als hij terugkeert is Smith 50.
Hoe oud is Jones?
2 2 2 2
(s) (c t) x (c )
S J
Minkowskiruimte: causale structuur
tijdachtig: ds2negatief lichtachtig: ds2= 0
ruimteachtig: ds2positief toekomst
verleden
Binnen de lichtkegel kunnen gebeurtenissen causaal verbonden zijn met gebeurtenis P.
Er buiten kan geen causaal verband bestaan.
P
Minkowskiruimte
• Bewegende waarnemers
2 2 2
2 ct x
s
) ( '
) ( '
vt x x
cx ct v ct
Voor de x’ as: stel ct’=0. Dan volgt ct = bx.
Voor de schaal op de x’ as: stel x’=1 en ct’=0.
Dan volgt x=.
Voor de ct’ as: stel x’=0. Dan volgt ct = x/b.
Voor de schaal op de ct’ as: stel ct’=1 en x’=0.
Dan volgt ct=.
Minkowski ruimtetijd
Gebeurtenis (event) 1 heeft coöordinaten Waarnemer O: (ct1, x1)
Volgorde voor gebeurtenissen 2 en 3 is verschillend voor beide waarnemers Dit lijkt schokkend: het kan ons begrip van causaliteit omver werpen Voor waarnemer O is de volgorde
van de events: 0, 2, 3, 1
event 0 op (0,0)
x ct
event 2
event 3 event 1 Waarnemer O’: (ct’1, x’1)
Lees (ct’1, x’1) in O’ af door lijnen //
aan ct’ en x’ assen te trekken Voor waarnemer O’ gebeurt event 1 op dezelfde tijd als event 2
Voor waarnemer O’ is de volgorde van de events: 0 en 3 gelijktijdig, dan 1 en 2 gelijktijdig
De SRT respecteert causaliteit mits we geen signalen met snelheden > c toestaan!
x1
ct1
en op dezelfde plaats als event 3
Lichtkegels zijn van groot belang: event 2 in kegel van 0, en 1 in kegel van 3
