Lineaire Algebra en Vector Analyse 10. Niet-cartesische co¨ordinatenstelsels Hanneke Paulssen

Lineaire Algebra en Vector Analyse

10. Niet-cartesische co¨ordinatenstelsels

Hanneke Paulssen

Universiteit Utrecht

2020

1 / 19

Samenvatting

I Poolco¨ordinaten I Cilinderco¨ordinaten I Bolco¨ordinaten

I Jacobi matrix, Jacobiaan

I Eenheidsvectoren pool- en cilindercoordinaten

Poolco¨ ordinaten

2DPoolco¨ordinaten: (r , θ) x = r cos θ

y = r sin θ

r =p

x²+ y² θ = arctan

y x



voor −π

2 < arctan

y x



≤ π 2 Voor 0 ≤ θ < 2π:

θ = arctan

y x



als x ≥ 0, y ≥ 0 (1e kwadrant)

= arctan

y x



+ π als x < 0 (2e, 3e kwadrant)

= arctany x



+ 2π als x > 0 y < 0 (4e kwadrant)

Maak figuur met locatie punt. Check of hoek in juiste kwadrant.

3 / 19

Cilindrische co¨ ordinaten

3D Cilinderco¨ordinaten: (r , θ, z) x = r cos θ

y = r sin θ z = z

r =p

x²+ y² Voor 0 ≤ θ < 2π:

θ = arctan

y x



als x ≥ 0, y ≥ 0 (1e kwadrant x-y vlak)

= arctan

y x



+ π als x < 0 (2e, 3e kwadrant x-y vlak)

= arctany x



+ 2π als x > 0 y < 0 (4e kwadrant x-y vlak)

Bolco¨ ordinaten

3DBolco¨ordinaten (spherical coordinates): (r , θ, φ) z = r cos θ

x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ r =p

x²+ y²+ z² r ≥ 0 θ = arccosz

r



0 ≤ θ ≤ π

φ = arctany x



x ≥ 0, y ≥ 0

= arctany x



+ π x < 0

= arctan

y x



+ 2π x > 0, y < 0 0 ≤ φ ≤ 2π Let op 1: r_cilinder 6= r_bol en θ_cilinder = φ_bol

Let op 2: De conventie van θ en φ kan ook omgekeerd zijn.

5 / 19

Lengte-, oppervlaktevlakte-element cartesische co¨ ord. (2D)

Van (x , y ) naar (x + dx , y + dy ) Lengte-element ds:

(ds)²= (dx )²+ (dy )² Oppervlakte-element dA:

dA = dxdy

7 / 19

Lengte-element poolco¨ ordinaten

Van (r , θ) naar (r + dr , θ + d θ) Uit figuur:

(ds)²= (dr )²+ (rd θ)²

Mathematisch:

x = r cos θ y = r sin θ dx = ∂x

∂rdr + ∂x

∂θd θ = cos θdr − r sin θd θ dy = ∂y

∂rdr +∂y

∂θd θ = sin θdr + r cos θd θ (ds)² = (dx )²+ (dy )² = . . . = (dr )²+ (rd θ)²

Oppervlakte-element poolco¨ ordinaten

Uit figuur:

dA = dr rd θ = r drd θ

Mathematisch:

dx =∂x

∂rdr + ∂x

∂θd θ dy =∂y

∂rdr +∂y

∂θd θ

 dx dy



= ∂x/∂r ∂x /∂θ

∂y /∂r ∂y /∂θ

  dr d θ



= cos θ −r sin θ sin θ r cos θ



| {z }

Jacobi matrix pool →cart

 dr d θ



Jacobiaan_{pool →cart}: J =    

cos θ −r sin θ sin θ r cos θ

= r dA = |J| drd θ = r drd θ

9 / 19

Lengte-, volume-element cartesische co¨ ordinaten (3D)

Van (x , y , z) naar (x + dx , y + dy , z + dz) Lengte-element ds:

(ds)² = (dx )²+ (dy )²+ (dz)² Volume-element dV :

dV = dxdydz

Lengte-, volume-element cilinderco¨ ordinaten

Van (r , θ, z) naar (r + dr , θ + d θ, z + dz) Lengte-element ds:

(ds)²= (dr )²+ (rd θ)²+ (dz)² Volume-element dV :

dV = dr rd θ dz = r drd θdz



 dx dy dz



=





∂x /∂r ∂x /∂θ ∂x /∂z

∂y /∂r ∂y /∂θ ∂y /∂z

∂z/∂r ∂z/∂θ ∂z/∂z







 dr d θ dz



=





cos θ −r sin θ 0 sin θ r cos θ 0

0 0 1





| {z }

Jacobi matrix cil →cart



 dr d θ dz





Jacobiaan_{cil →cart}: J =      

cos θ −r sin θ 0 sin θ r cos θ 0

0 0 1

= r

dV = |J| drd θdz = r drd θdz

11 / 19

Lengte-, volume-element bolco¨ ordinaten

Van (r , θ, φ) naar (r +dr , θ+d θ, φ+d φ) Lengte-element ds:

(ds)²= (dr )²+ (rd θ)²+ (r sin θd φ)² Volume-element dV :

dV = dr rd θ r sin θd φ = r²sin θ drd θd φ

Jacobiaanbol →cart : J = r²sin θ (zie boek hoofdstuk 5 eq. (4.14)) dV = |J| drd θd φ = r²sin φ drd θd φ

13 / 19

Eenheidsvectoren, vectorelement cartesische co¨ ordinaten

Cartesisch co¨ordinatenstelsel: eenheidvectoren ˆı,ˆ, ˆk

Vectorelement tussen d~s tussen



 x y z



 en



 x + dx y + dy z + dz



: d~s = dx ˆı + dy ˆ + dz ˆk

Lengte vand~s (vector) isds (scalar): ds = |d~s | (ds)² = d~s · d~s (dot product)

Eenheidsvectoren in poolco¨ ordinaten

Logische eenheidsvectoren voor een punt in poolco¨ordinaten zijn

• in radi¨ele richting ˆer (figuur: ˆr )

• in ”θ”richting ˆe_θ (figuur: ˆθ )

ˆer = cos θ ˆı + sin θ ˆ

ˆe_θ= − sin θ ˆı + cos θ ˆ

Zijn ˆer en ˆeθ eenheidsvectoren?

Bijv: ˆe_r · ˆe_r = cos²θ + sin²θ = 1 Ja

Ga zelf na dat ˆe_r en ˆe_θ orthogonaal zijn(onderling loodrecht)

Let op: Richting van ˆe_r en ˆe_θ varieert van punt tot punt!

15 / 19

Vectorelement poolco¨ ordinaten

Mathematische afleiding van ˆe_r en ˆe_θ m.b.v. vectorelement d~s.

x = r cos θ y = r sin θ d~s = dx ˆı + dy ˆ

= ∂x

∂rdr +∂x

∂θd θ



ˆı + ∂y

∂rdr + ∂y

∂θd θ

 ˆ

= (cos θdr − r sin θd θ) ˆı + (sin θdr + r cos θd θ) ˆ

= dr (cos θ ˆı + sin θ ˆ) + rd θ (− sin θ ˆı + cos θ ˆ)

= dr ˆe_r + rd θ ˆe_θ

(ds)² = d~s · d~s = (dr )²+ (rd θ)²

Eenheidsvectoren, vectorelement cilinderco¨ ordinaten

Eenheidsvectoren punt cilinderco¨ordinaten ˆer = cos θ ˆı + sin θ ˆ (figuur: ˆr ) ˆe_θ= − sin θ ˆı + cos θ ˆ (figuur: ˆθ ) ˆez = ˆk (figuur: ˆz)

Vectorelement d~s:

d~s = dr ˆe_r + rd θ ˆe_θ+ dz ˆe_z Lengte-element ds:

(ds)² = (dr )²+ (rd θ)²+ (dz)²

17 / 19

Eenheidsvectoren in bolco¨ ordinaten

ˆer = sin θ cos φ ˆı + sin θ sin φ ˆ + cos θ ˆk ˆe_θ= cos θ cos φ ˆı + cos θ sin φ ˆ − sin θ ˆk ˆe_φ= − sin φ ˆı + cos φ ˆ

d~s = dr ˆer + rd θ ˆeθ+ r sin θd φ ˆeφ

(ds)² = (dr )²+ (rd θ)²+ (r sin θd φ)²

19 / 19