FRACTRAN A Simple Universal Programming Language for Arithmetic

FRACTRAN

A Simple Universal Programming Language

for Arithmetic Jens Bossaert PRIME, 24 november 2015

Definitie ²

Een FRACTRAN-programma (F , n) bestaat uit:

I een eindige lijst F = (f_i)_i van positieve breuken;

I een natuurlijk getal n als invoerwaarde.

Het programma loopt door n herhaaldelijk als volgt te updaten:( n 7! n · fj met j = min{i : n · fi 2 N};

return n indien j niet bestaat (8i : n · fi 62 N).

Zo definieert (F , ·) een parti¨ele functie N ! N.

Basisprogramma’s ³

Optelling F =

✓3 2

◆

2^a· 3^b 7! · · · 7! 3^a+b

A�rekking F =

✓1 6

◆

2^a· 3^b 7! · · · 7! 3^{b a} (voor a < b)

Basisprogramma’s ⁴

Minimum F =

✓5 6,1

2,1 3

◆

2^a· 3^b 7! · · · 7! 5^min(a,b)

Maximum F =

✓5 6,5

2,5 3

◆

2^a· 3^b 7! · · · 7! 5^max(a,b)

Basisprogramma’s ⁵

Verdubbeling F =

✓9 2

◆

2^a 7! · · · 7! 3^2a

Halvering F =

✓3 4,1

2

◆

2^a 7! · · · 7! 3^ba/2c

Ingewikkeldere programma’s ⁶

Vermenigvuldiging F =

✓455 33,11

13, 1 11,3

7,1 2,1

3

◆

2^a· 3^b 7! · · · 7! 5^a·b

huidige

toestand indicator condities acties volgende toestand

A (default)

v7 > 0 v7 1

v3 + 1 A !3

7

v7 = 0

v2 > 0 v2 1 B !1

2

v7 = 0 v2 = 0 v3 > 0

v3 1 A !1

3

v7 = 0 v2 = 0 v3 = 0

HALT

B v11, v13 v3 > 0

v3 1 v5 + 1 v7 + 1

B !5 · 7 · 13

3 · 11 ,11 13

v3 = 0 / A ! 1

11

Ingewikkeldere programma’s ⁸

Deling (met rest) F =

✓91 66,11

13, 1 33,85

11, 57 119,17

19,11 17,1

3

◆

2^a· 3^b· 11 7! · · · 7! 5^a//b· 7^{a mod b}

Ingewikkeldere programma’s ⁹

Grootste gemeenschappelijke deler F =

✓7 13,39

35,2 7,11

19,38 55, 3

11,5 6,7

2,11 3

◆

2^a· 3^b 7! · · · 7! 5^gcd(a,b)

Ingewikkeldere “programma’s” ¹⁰ PRIMEGAME

F =

✓17 91,78

85,19 51,23

38,29 33,77

29,95 23,77

19, 1 17,11

13,13 11,15

2 ,1 7,55

1

◆

2 7! ₁₅ 7! 82 ₅

725 7!

7!

5 192

75 22

7!

425 7!^{390 7!}₃₃₀ 7!2

907!

07! 77 910 17 7!

07!

1567!

132^{7!116 7! 3087!}

364 7!68 4 7!

7! 7!30 7! 225 3712

57!10

8757!

288757! 25375 7!

673757!

79625

7!

14875

7!13 7!2 650

5507!

23407!1980

7!17407!4620 7! 4060 7! 107807!

12740

7!23807!

21847!

4087!15

27!927!380

7!

2307!

9507!

5757!23757!96257!11375 7!2125 7! 1950 7!16507!14507!38507!45507!8507!7807!6607!5807!15407!18207!3407!3127!2647!2327!6167!7287!1367!87!607!450 7!33757!185625 7!163125 7!433125 7! 380625 7!10106257!· ··

2 7! · · · 7! 2²7! · · · 7! 2³ 7! · · · 7! 2⁵7! · · · 7! 2⁷ 7! · · · 7! 2¹¹ 7! · · · 7! 2¹³ 7! · · · 7! 2¹⁷ 7! · · ·

Machten van twee in uitvoer corresponderen juist met de priemgetallen, in oplopende volgorde!

These van Church–Turing ¹²

“Elke intu¨ıtief berekenbare functie is berekenbaar op een Turingmachine.”

Turingmachine Minsky register machinem

m FRACTRAN

Dus: “Elke intu¨ıtief berekenbare functie is berekenbaar via FRACTRAN”.

“Universele computer” ¹³

POLYGAME

F = 0 BB

@ 583 559,629

551,437 527, 82

517,615 329,371

129, 1 115,53

86,43 53,23

47,341 46 , 41

43,47 41,29

37,37 31,299

29,47 23,161

15 ,527 19 ,159

7 , 1 17, 1

13,1 3

1 CC A

“Universele computer” ¹⁴

Stelling (Conway) Definieer een parti¨ele functie fc :N ! N als volgt:

fc(n) =

(m als POLYGAME c · 2²ⁿ 7! 2^2m; ongedefinieerd anders.

Dan komt elke berekenbare functie voor in de lijst f₀, f₁, f₂. . .!

I “Catalogusgetallen” c voor berekenbare functies.

I Voorbeeld: c = 2268945 ) fc(n) = n +1.