Omrekenen eenheden gewicht ... 7

STC-GROUP

Algemene Operationele Techniek

Inhoud

Onderwerpen en toepassingen ... 4

GROOTHEDEN ... 5

Omrekenen eenheden gewicht ... 7

Omrekenen eenheden-1 ... 8

Omrekenen van eenheden-1.2 ... 9

Omrekenen van eenheden-2 ... 10

Omrekenen van eenheden-3 ... 11

Omrekenen van eenheden ... 12

rekenen met eenheden-1 ... 13

Rekenmachine ,SCI, ENG ... 14

Machten en wortels ... 15

Werken met goniometrische functies ... 21

Bijlage voor de TI-30X II ... 25

Machten van 10 ... 26

Wetenschappelijke notatie ... 27

Technische notatie ... 28

EENHEDEN OMREKENEN-3 ... 30

SIGNIFICANTIE ... 32

MASSA, VOLUME, DICHTHEID ... 35

OEFENINGEN DICHTHEID-1 ... 36

Vragen Dichtheid-2 ... 37

Vragen Dichtheid-3 ... 38

Vragen Wet van Archimedes ... 39

Drijven en zinken ... 40

tabel met dichtheden ... 40

§ 1 Massa, volume en dichtheid ... 41

Opgaven bij § 1 ... 43

§ 2 Archimedes ... 45

Opgaven bij § 2 ... 46

§ 3 Homogene voorwerpen in een vloeistof ... 47

Opgaven bij § 3 ... 48

Opgaven bij § 5 ... 59

§ 6 Opwaartse kracht; wet van Archimedes ... 61

Opgaven bij § 6 ... 63

§ 7 Samenvatting en schematisch overzicht ... 66

Onderwerpen en toepassingen

- Grootheden en eenheden o handelsafspraken o maten en meten o samenwerking - omrekenen eenheden

o verpakkingen

o aanduiding omrekenen naar één eenheid o handel

o logistiek o transport o laboratorium o inkoop - Massa dichtheid

o wegtransportgewicht o Opslaggewicht

o Maximale scheepslading

o Producteigenschap nieuwe producten

o Controle reclamatie producteigenschappen

o Drijvend vermogen in een vloeistof

GROOTHEDEN

1.

Geef van de onderstaande beweringen aan of ze juist of onjuist zijn.

I.

Een grootheid wordt aangeduid door een getal in combinatie met een eenheid.

juist/onjuist

II.

Een eenheid is een maat waarmee de grootheid uitgedrukt wordt.

juist/onjuist

2.

Bij welke van de onderstaande antwoorden hebben alle eenheden met warmte te maken?

a. K, W, J/K, 'C b. K, A, J, 'C

c.

J/K, 'C, J, V

d.

J, 'C, J/K, A

3.

Op een elektromotor staat aangegeven I = 2,2 A. Wat is A?

a.

een samengestelde eenheid

b.

een grootheid

c.

een basisgrootheid

d.

een grondeenheid

4.

Welke van de onderstaande eenheden is geen grondeenheid?

a.

kilogram

b.

seconde

c.

ampere

d.

Newton

5.

250 cm2 is gelijk aan:

6.

120.000 liter is te schrijven als:

a. 1,2 km3 b. 12 m3 c. 120 dam3 d. 120 m3

7.

Een snelheid van 36 m/s komt overeen met:

a. 10 km/h b. 100 km/h c. 130 km/h d. 120 km/h

8.

1 cm3 van een bepaald materiaal weegt 5,8 g. Wat is de dichtheid?

a. 172 kg/m3 b. 5.800 kg/m3 c. 1.720 kg/m3 d. 58 kg/dm3

9.

Een hydrofoorpomp heeft een capaciteit van 2,5 m3/h. Wat is het volume van de verplaatste vloeistof als de pomp 3 uur en 24 minuten heeft gedraaid?

a. 865 hl

b. 8.650 dal

c. 85 hl

d. 85 dal

M mega miljoen 1000000 10⁶

K kilo duizend 1000 10³

H hecto honderd 100 10²

Da deca tien 10 10¹

D deci tiende 0,1 10^-1

C centi honderdste 0,01 10^-2

m milli duizendste 0,001 10^-3

µ micro miljoenste 0,000001 10^-6

Omrekenen eenheden gewicht

32 hg = g

51 dg = mg

43 dag = pond

25 mg = g

72 kg = ons

3, 06 hg = kg

44, 6 hg = g

3, 36 kg = pond

472 kg = ton

22, 6 mg = dg

67 g = dag

39 cg = g

86 kg = pond

45 mg = g

28 dag = ons

6, 86 g = ons

Omrekenen eenheden-1

(Opm. a en b antwoord in wetenschappelijke notatie) a 326 Mm = . . . km

b 346 µg = . . . .mg

c 0,02 dm = . . . .hm

d 2,5 km = . . . m

e 1 dag = . . . s

f 3,6 mg = . . . g

Omrekenen van eenheden-1.2

1 13 L = . . . mL = . . . hL 2 100000 L = . . . .ML

3 In 1 mL gaan 42 druppels water. Bereken het volume van 1 druppel water.

4 25 mA = . . . A

5 1,7 A = . . . mA

6 356 mA = . . . A

7 0,0018 A = . . . mA

Omrekenen van eenheden-2

Groter en kleiner: wat gebeurt er als je andere maten gebruikt ( bijv cm in plaats van m).

Een voorbeeld. Probeer de gestelde vragen te beantwoorden.

Stel er staan 2 huizen naast elkaar, beide hebben ze dezelfde blokvorm.

Het ene huis is groter, de lengte 2 keer zo groot, de breedte 2 keer zo groot en de hoogte ook 2 keer zo groot. Je komt makkelijk in de verleiding om te zeggen dat het huis 2 keer zo groot is, maar is dat wel zo?

De lengte wel, maar wat is er met de oppervlakte gebeurd?

En wat met de inhoud? En waarom mag je hier niet zeggen: Volume?

En als van een kubusvormig stuk ijzer de maten allemaal 2 keer zo groot worden, wat gebeurt er dan met het volume (nu wel!) en de massa?

1. Een suikerklontje heeft de volgende maten:

lengte = 2 cm breedte = 1 cm hoogte = 0,5 cm

De doos waarin de suikerklontjes verkocht worden heeft de volgende binnenmaten:

lengte = 20 cm breedte = 8 cm hoogte = 5 cm

Hoeveel suikerklontjes passen er maximaal in de doos?

2. Van een groentekist worden de volgende buitenmaten opgegeven: 56 cm x 36 cm x 23 cm. De planken waarvan de kist is gemaakt zijn 0,8 cm dik.

a. Hoeveel ruimte neemt de kist in?

b. Welk volume past er in de kist?

Omrekenen oppervlakte:

Oppervlakte: je weet dat 1 m = 100 cm, en dus 1 cm = 0,01 m.

Nu de stap: 1m

²

= ... cm

²

. Iedereen zegt direct: 100 x 100, dus 1m

²

= 10000 cm

²

. En dan zal 1 cm

²

= 0,01 m x 0,01 m = 0,0001 m

²

.

En met mm, km, :m enz. gaat het net zo.

1. 54 m

²

= . . . hm

²

= . . . dm

²

2. 8,76 mm

²

= . . . :m

²

= . . . cm

²

3. 1 ha is 1 hectare, dat is een stuk grond van 100 m bij 100 m.

Hoeveel ha is een tuin van 348 m

²

?

Een stuk bos is 5,38 km

²

. Hoeveel ha is dit?

4. 8500 m

²

= . . . km

²

5. 765500 dm

²

= . . . m

²

Omrekenen van eenheden-3

Volume (of inhoud): 1 m

³

= . . . .cm

³

. Jaa roept iemand, 100 x 100 x100 = 1000000.

Dus 1 m

³

= 1000000 cm

³

. Helemaal juist. Niet moeilijk? Waarom dan zoveel fouten?

1. 7,2 dm

³

= . . . m

³

= . . . cm

³

2. 13 hL = . . . m

³

= . . . dm

³

3. Een regenton heeft een oppervlakte van 0,25 m2 en een hoogte van 70 cm.

4. Bereken de inhoud van de ton in L en m

³

. 5. 78 ml = . . . cm

³

6. 7 l = . . . cm

³

7. 843 l = . . . m

³

8. 0,46 m

³

= . . . cm

³

9. 144,67 cm

³

= . . . dm

³

10. 0,0004 m

³

= . . . dm

³

11. 6 m

³

= . . . dm

³

12. 14 dm

³

= . . . cm

³

13. 137 dm

³

= . . . cm

³

Omrekenen van eenheden

Dichtheid: 1 g/cm

³

= ... kg/m

³

. Ook hier moet je weten hoe je het doet en niet alleen maar een regeltje kennen. Dan ga je nadenken: moet ik nu vermenigvuldigen of delen?

En doe je natuurlijk prompt het verkeerde.

Hier de werkwijze:

Je wilt van cm

³

naar m

³

. En je weet dat 1 m

³

een 1000000 maal zoveel is als 1 cm

³

. In 1 m

³

zit dus ook miljoen maal zoveel massa als in 1 cm

³

.

Dus heb je dan ook 1000000 g in 1 m

³

. Of: 1 g/cm

³

= 1000000 g/m

³

.

Je begrijpt al: het staat netter om hier kg van te maken en 1000000 g = 1000 kg.

Waarmee 1 g/cm

³

= 1000 kg/m

³

. Nog een voorbeeld (nu andersom):

1 kg/dm

³

= .... g/cm

³

? Je wilt nu van dm

³

naar cm

³

, en 1 cm

³

= . . . dm

³

(vul in).

Dus 1 cm

³

1/. . . ste deel van 1 dm

³

.

Dan zit in 1 cm

³

ook . . . ste deel van de massa van 1 dm

³

, dus . . . kg in 1 cm

³

(vul in).

In dit geval worden er grammen gevraagd, dus :

1 kg/dm

³

= . . . kg/cm

³

= . . . g/cm

³

.

rekenen met eenheden-1

1. 6 hm + 4 km + 70 m + 5 dam = . . . m 2. 7 km + 30 m + 8 hm + 6 hm = . . . m

3. 570 dm + 160 hm + 63 hm + 350 dm = . . . m 4. Mensen worden gemiddeld ongeveer 75 jaar.

Reken dit om in minuten.

5. Een voetbalwedstrijd duurt twee keer 3 kwartier, met een kwartier pauze er tussen.

Hoeveel seconde is dat in totaal?

6. Per week ga je gemiddeld 30 uur naar school, 40 weken per jaar.

Dit doe je van je 5e tot je 20e.Hoeveel uur breng je in totaal op school door?

7. Groot-Brittannië staat bekend om z'n eigen maten- en gewichtenstelsel.

De eenheid van lengte is de yard, zoals bij ons de meter.

Hieronder staan nog enkele andere Engelse lengtematen.

1 inch = 2,54 cm

1 foot = 12 inch = 30,48 cm 1 yard = 3 feet = 0,9144 m 1 rod = 5½ yard = 5,0292 m 1 chain = 4 rod = 20,117 m 1 furlong = 10 chain = 0,2012 km 1 mile = 8 furlong = 1,609 km

Reken om (met behulp van bovenstaande gegevens):

a 6,8 mile = . . . m

b 3,2 inch = . . . mm

c 8,7 furlong = . . . cm

d 5,3 foot = . . . m

e 4,9 yard = . . . km

f 6,8 m = . . . rod

g 3,2 mm = . . . inch

h 8,7 m = . . . yard

i 5,3 km = . . . furlong

j 4,9 cm = . . . chain

Rekenmachine ,SCI, ENG

De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine fx-82MS. Voor de verschillen met de TI-30X II zie de bijlage achterin.

Onze rekenmachine geeft het resultaat van een berekening in een bepaalde notatie. Normaal wordt het antwoord gegeven in

drijvende komma notatie zoals 3466,98 of 0,004582.

In de wetenschap en techniek werken we vaak met machten van tien. Daarmee kunnen we hele grote en hele kleine getallen eenvoudig weergeven zoals 5,5 10 27 of 5,34 10 -18 . We noemen dat de wetenschappelijke notatie: een getal tussen 1 en 10 gevolgd door een macht van tien.

Onze rekenmachine kunnen we op wetenschappelijke notatie instellen met de SCI-toets. SCI staat voor scientific.

Voor afronding op een bepaald aantal decimalen gebruiken we de FIX-toets. FIX staat voor fixate. Dat instellen is sterk merk- afhankelijk. Als we op een CASIO fx-82

[mode][mode][mode][2][5] intypen krijgen we het antwoord van de berekening in wetenschappelijke notatie met in totaal vijf decimalen dus vier na de komma.

De mode-toets gebruiken we ook weer om onze rekenmachine op de drijvende komma notatie terug te zetten. Na [mode][mode][mode][3][2] wordt alles tussen 10 -9

en 10 10

weer normaal weergegeven.

Met [mode][mode][mode][3][1] kan dat ook maar dat heeft een beperkter bereik: dan wordt alles tussen 10 -2 en 10 10 normaal weergegeven.

In nevenstaand display zien we een decimale komma in plaats van een decimale punt.

De decimale punt is gebruikelijk in de Engelstalige notatie van getallen.

De duizendtallen worden dan door komma s gescheiden zoals in het getal 344,456.8433.

In Europa zijn we gewend om dat net andersom te doen: we gebruiken een decimale komma en

scheiden eventueel de duizendtallen door punten dus 344.456,8433.

Machten en wortels

Reken de volgende opgaven uit met je rekenmachine en geef het antwoord in wetenschappelijke notatie met drie cijfers na de komma:

In de opgaven wordt het vermenigvuldigingsteken aangegeven met de midpunt om verwarring met de variabele x te voorkomen.

1 a) 0,083 0,00053 b) 45,9 87,9 234,9 c) 97,4 6,32 d) 23,56 87,2 654,6 e) 6,98 5,98 65,2 f) 87,22 53,8 63,9 343,1

Een getal als 4,55 10

³

typen we in als [4,55][EXP][3].

Op TI-rekenmachines is dit de EE-toets!

Op de nieuwe fx-82ES heet dit x10

^x

Let goed op dat de EXP-toets de betekenis heeft van maal tien tot de macht . .

Het is dus fout om voor de EXP-toets een 10 te typen!!!

5 10

³

= 5 1000 = 5000 maar het intypen van [5][ ][10][EXP][3][=] levert 50000!

2 a) 45,9 10

³

2345,6 10

⁸

b) 234,5 10

^-5

5,3 10

⁸

c) 56,7 10

⁹

24,9 10

^-3

d) 87,2 10

³

45,6 10

^-8

8733,3 10

^-5

e) 22,2 10

^-6

4,8 10

⁸⁶

f) 897,2 25,53 10

²

53,8 10

^-7

We willen de volgende som op onze rekenmachine uitrekenen:

234 485 843 386

We moeten dan het volgende intypen :

[234][x][485][÷][843][÷][386]

LET OP

386 staat onder de deelstreep.

Dat betekent dat we door 386

moeten delen dus we typen [÷]

Dat tweede deelteken lijkt vreemd omdat er in de opgave voor het getal 386 een maalteken staat. We moeten echter bedenken dat het getal 386 net als 843 in de noemer van de

opgave staat. Daarom moeten we in het verloop van de berekening wel degelijk door 386 delen. We mogen natuurlijk ook typen: [234][x][485][÷][( ][843][x][386][ )] maar dat zijn meer toetsaanslagen.

Als we meerdere berekeningen moeten maken die weinig verschillen maken we gebruik van de replay- toetsen op onze rekenmachine.

fx-82MS fx-82TL

Als we opgave 6 hebben berekend kunnen we met die toetsen eenvoudig de opgaven 7 en 8 uitrekenen.

Naast de wetenschappelijke notatie kennen we ook de technische notatie.

Deze lijkt een beetje op de wetenschappelijke notatie met als bijzonderheid dat de exponent in de macht van tien een veelvoud van drie is:

Zo kunnen we 3,45·10

^-2

(wetenschappelijk) omzetten in 34,5·10

^-3

(technisch).

Op de CASIO fx-82 typen we daartoe in [3,45][EXP][(-)][2][=] en drukken vervolgens op de ENG-toets ( ENGineer).

Wat gebeurt er als we nogmaals op de ENG-toets drukken?

Wat gebeurt er als we op SHIFT en de ENG-toets drukken?

De technische notatie wordt veel in de techniek gebruikt als we een antwoord moeten

uitdrukken in bijvoorbeeld k of F. De diverse voorvoegsels zoals de k in k of de µ in µF gaan namelijk uit van veelvouden van drie.

Weten we het nog?

1 GV = 10

⁹

V (giga) 1 MV = 10

⁶

V (mega) 1 k = 10

³

(kilo)

1 mH = 10

^-3

H (milli) 1 F = 10

^-6

F (micro) 1 nA = 10

^-9

A (nano = min negen) 1 pF = 10

^-12

F

Meer over voorvoegsels kunnen we vinden in het moduul eenheden en voorvoegsels.

Reken de volgende sommen uit met je rekenmachine en geef het antwoord in de technische

notatie met vijf cijfers in totaal:

Reken de volgende sommen uit met je rekenmachine en geef het antwoord in de technische notatie met vijf cijfers in totaal:

Werken met goniometrische functies

We hebben misschien wel eens kennis gemaakt met de goniometrische functies sinus, cosinus, tangens en cotangens. We komen daar nog uitgebreid op terug.

Als we bijvoorbeeld de sinus van 45 willen berekenen moeten we eerst weten in welke eenheid die hoek van 45 is uitgedrukt.

Dat kan zijn in graden (DEG), radialen (RAD) of decimale graden (GRA).

In het graden-stelsel is een rechte hoek 90°.

Onze rekenmachine staat normaal op graden (DEG).

We kunnen hem altijd opnieuw op graden instellen met [mode][mode][1]. Omdat de sinus van een rechte hoek altijd één is geldt sin(90°) =1, probeer maar.

In het radialen-stelsel is een rechte hoek π /2 rad.

Stel je machine maar eens in op radialen met [mode][mode][2].

Bereken nu de sinus va n π /2 rad [sin] [(] [π] [÷] [2] [)] [=]

Wat is het logische resultaat?

Het decimale graden-stelsel is er op gebaseerd dat een rechte hoek 100 decimale graden of 100 gon is. Dat stelsel wordt onder andere gebruikt in de landmeetkunde en bij de artillerie. Stel je machine maar eens in op decimale graden met [mode][mode][3].

Bereken nu de sinus van 100 gon, wat is het resultaat?

Op het toetsenbord van onze rekenmachine vinden we de sinus, cosinus en tangens-toets. Als we echter de cotangens van 50º willen berekenen hebben we daarvoor geen aparte toets.

We moeten echter bedenken dat de cotangens het omgekeerde van de tangens is.

cotan(x) =

1

tan(x)

Dat betekent dat we bijvoorbeeld cotan(50º) moeten berekenen met 1 ÷ tan(50º). Na intypen van [1][÷][tan][50][=] volgt dat cotan(50º) = 0,84.

Denk erom dat de hoekmaat wel op graden staat!

Op dezelfde manier berekenen we bijvoorbeeld cotan(70 gon) = 0,51. Denk erom dat de hoekmaat wel op gon staat!

Reken de volgende sommen uit met je rekenmachine en geef het antwoord in drijvende komma notatie met drie cijfers na de komma.

Deze notatie kunnen we instellen met FIX 3 [mode][mode][mode][1][3].

23 a) sin(34°) b) cos(1,3

^rad

) c) tan(56

^gon

) d) sin(2,5

^rad

) e) tan(340°) f) cotan(78

^gon

) g) cos(3,4

^rad

) h) cotan(78°)

Geef het antwoord van de volgende sommen in de technische notatie met vijf cijfers in totaal:

TIP: kijk van te voren op welke hoekmaat (DEG, RAD of GRA) je rekenmachine moet staan.

Het wordt ingewikkelder als in een vraagstuk meer dan één hoekmaat voorkomt.

We bekijken het volgende voorbeeld:

sin(23°)

⁵

56,4 10

⁴

cos(45

^gon

)

In dergelijke gevallen kunnen we het best gebruik maken van de [DRG ]-toets.

Hiermee kunnen we bij elke hoekgrootte de bijbehorende hoekmaat vastleggen, ongeacht de met [mode][mode] ingestelde hoekmaat.

Met [DRG ] ( SHIFT + Ans ) komen we in een submenu waar we de hoekmaat kunnen vastleggen. We kunnen daarom ons voorbeeld als volgt intypen:

Geef het antwoord van de volgende sommen in wetenschappelijke notatie met zes cijfers in

totaal:

2nd DRG

Bijlage voor de TI-30X II

Vergeleken met de CASIO fx-82MS heeft de TI-30X IIB dezelfde mogelijkheden maar die zijn soms onder andere toetsen te vinden. De belangrijkste verschillen zijn:

DRG : voor-instelling van graden, radialen of gon.

: instelling van drijvende komma notatie, wetenschappelijke notatie of technische notatie.

2nd · : instellen van het aantal cijfers na de komma, deze voorziening noemen we de FIX-functie.

: instellen van graden, radialen of gon binnen een goniometrische functie zoals in sin(12 rad).

2nd x

^-1

: maal tien tot de macht . Deze EE-functie werkt dus hetzelfde als de EXP-toets bij CASIO-rekenmachines.

Net als bij de CASIO geldt trouwens dat na EE een geheel getal moet volgen: intypen van bijvoorbeeld

[3][X][6][EE][7.1][=] geeft een SYNTAX Error.

2nd : omrekenen van rechtshoekscoördinaten (R) in poolcoördinaten (P) en omgekeerd, Let op dat we bij het invoeren de komma als getalscheider gebruiken, enkele voorbeelden:

[R Pr(][3][,][4][)][=] levert als uitkomst 5,0000 (ingebouwde stelling van Pythagoras).

[R P (][3][,][4][)][=] levert als uitkomst 53,1301º [P Rx(][5][,][53.1301][)][=] levert als uitkomst 3,0000 [P Ry(][5][,][53.1301][)][=] levert als uitkomst 4,0000

Voor het opslaan van getallen in het geheugen gebruiken we de STO -toets.

We hebben daarbij de beschikking over vijf geheugenplaatsen A, B, C, D en E.

De inhoud van de geheugenplaatsen krijgen we terug met 2nd STO .

We noemen dat de RCL (recall)-functie.

Machten van 10

Gewone getallen om te zetten in machten van 10

Getallen groter dan of gelijk aan 1 kun je schrijven als een macht van 10 met een positieve exponent. In wezen verschuif je de komma.

Voorbeelden met positieve exponent:

20 = 2 ∙ 10 = 2 ∙ 10

¹

komma 1 naar links, dus exponent is 1 2500 = 2,5 ∙ 1000 = 2,5 ∙ 10

³

komma 3 naar links, dus exponent is 3 4.320.000 = 4,32 ∙ 1.000.000 = 4,32 ∙ 10

⁶

komma 6 naar links, dus exponent is 6 4.320.000 = 43,2 ∙ 100.000 = 43,2 ∙ 10

⁵

komma 5 naar links, dus exponent is 5 4.320.000 = 432 ∙ 10.000 = 432 ∙ 10

⁴

komma 4 naar links, dus exponent is 4 4.320.0 4320 ∙ 1.000 = 4320 ∙ 10

³

komma 3 naar links, dus exponent is 3 1 = 1 ∙ 1 = 1 ∙ 10

⁰

komma 0 naar links, dus exponent is 0

1) Schrijf als een macht van tien waarbij het getal voor de macht geen nullen bevat

a 100 d 58.700,00

b 98.000 e 4

c 170.000.000 f 3.000.000.000.000.000

2) Opgave

a Hoeveel maal is 3,2 ∙ 10

⁹

groter dan 3,2 ∙ 10

⁴

? Schrijf als macht van 10.

b Hoeveel maal is 125.000 groter dan 1.250? Schrijf als macht van 10.

c Hoeveel maal is 120.000 groter dan 3.000? Schrijf als macht van 10.

Met negatieve exponent

Getallen kleiner dan 1 kun je schrijven als een macht van 10 met een negatieve exponent.

Ook hier verschuif je in wezen de komma.

Voorbeelden met negatieve exponent:

0,2 = 2 ∙

0,1 = 2 ∙ 10

^-1

komma 1 naar rechts, dus exponent is -1

0,025 = 2,5 ∙ 0,01 = 2,5 ∙ 10

^-2

komma 2 naar rechts, dus exponent is -3

0,000432 = 4,32 ∙ 0,0001 = 4,32 ∙ 10

^-4

komma 4 naar rechts, dus exponent is -4

0,000432 = 43,2 ∙ 0,00001 = 43,2 ∙ 10

^-5

komma 5 naar rechts, dus exponent is -5

0,000432 = 432 ∙ 0,000001 = 432 ∙ 10

^-6

komma 6 naar rechts, dus exponent is -6

3) Opgave

Schrijf als een macht van tien waarbij het getal voor de macht geen komma bevat

a 0,01 d 0,000005400

b 0,000013 e 0,9

c 0,00301 f 0,0000000000003210

4) Opgave

a. Met welke macht van 10 moet je 0,0065 vermenigvuldigen om 0,000065 te krijgen?

b. Met welke macht van 10 moet je 1,17 ∙10

^-7

vermenigvuldigen om 1,17 ∙10

^-2

te krijgen ?

Wetenschappelijke notatie

Eén van de manieren om zeer grote of zeer kleine getallen op te schrijven is de

wetenschappelijke notatie. De wetenschappelijke notatie heeft diverse voordelen boven de

"gewone" notatie. Zo kunnen zeer grote of zeer kleine getallen worden weergegeven met gebruikmaking van veel minder cijfers, en als gevolg daarvan veel makkelijker

vergelijkbaar, door simpelweg naar de grootte van de exponent te kijken. Bij de

wetenschappelijke notatie schrijven we een getal als een macht van 10, waarbij het getal voor de macht vanaf 1 tot 10 ligt, dus:

±a ∙ 10b met a vanaf 1 tot 10 en b een geheel getal

Voorbeelden getal omzetten in wetenschappelijke notatie:

0,0000234 = 2,34 ∙ 10

^-5

-0,0013 = - 1,3 ∙ 10

^-3

1.234.000.000 = 1,234 ∙ 10

⁹

9.900.000.000.000.000.000.000.000 = 9,9 ∙ 10

²⁴

5) Opgave

Schrijf in de wetenschappelijke notatie

a -0,00000546 e 3

b 0,1 f 12.000.000.000,00

c 0,000002304 g 30.078.000.000

d -5792 h 16.700.000

Technische notatie

De ingenieursnotatie of technische notatie is een bijzondere vorm van de

wetenschappelijke notatie, waarin een decimaal getal x genoteerd wordt in de vorm:

waarin de exponent w een drievoud is en de mantisse s (ook wel significant genoemd) ligt in het interval van 1 tot en met 999,9999..., zoals beschreven in het internationale

eenhedenstelsel SI. Dit in tegenstelling tot de gebruikelijke wetenschappelijke notatie waarbij de significant ligt in het interval van 1 tot en met 9,9999... In de ingenieursnotatie komen bijvoorbeeld de getallen 3,8∙10

³

, 56,7∙10

⁶

en 458,9∙10

^-9

voor, maar niet een uitdrukking zoals 2,5678∙10

²

.

Doordat de exponent een drievoud is, kan deze direct worden omgezet in een SI-prefix.

Bijvoorbe eld: 123∙10

⁶

watt komt overeen met 123 megawatt.

Zoals de naam al laat zien, wordt de ingenieursnotatie vooral in de techniek gebruikt.

Veel rekenmachines kunnen schakelen tussen de verschillende weergavevormen van getallen. De gebruikelijke wetenschappelijke notatie, met een significant in één decade, wordt dan bijvoorbeeld aangeduid met SCI en de ingenieursnotatie, waarbij de significant in drie decaden kan liggen, met ENG.

dus:

±a ∙ 10b met a vanaf 1 tot 1000 en b is een drievoud.

Een drievoud is een geheel getal die deelbaar is door 3, dus: …, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, Voorbeelden getal omzetten in technische notatie:

2900 = 2,9 ∙ 10

³

7.890.000 = 78,9 ∙ 10

⁶

0,0000008981 = 898,1 ∙ 10

^-9

0,0072 = 7,2 ∙ 10

^-3

Doordat de exponent een drievoud is, kan deze direct worden omgezet naar een voorvoegsel van het SI-stelsel.

Let op: de voorvoegsels hecto, deca, deci

en centi zijn onderdeel van het SI-stelsel, maar geen machten van 10 met als exponent een drievoud. Zie tabel hierna.

SI-Voorvoegsels Voorvoegsel

Betekenis Voorvoegsel Betekenis

Y (yotta) 10

²⁴

d (deci) 10

^-1

Z (zetta) 10

²¹

c (centi) 10

^-2

E (exa) 10

¹⁸

m (milli) 10

^-3

P (peta) 10

¹⁵

μ (micro)

10

^-6

T (tera) 10

¹²

n (nano) 10

^-9

G (giga) 10

⁹

p (pico) 10

^-12

M (mega) 10

⁶

f (femto) 10

^-15

k (kilo) 10

³

a (atto) 10

^-18

h (hecto) 10

²

z (zepto) 10

^-21

da (deca) 10

¹

y (yocto) 10

^-24

6) Zet om in technische notatie en maak gebruik van SI-voorvoegsel

a 4000 m d 0,00004 m

b 82.000.000 N e 0,000086 g

c 721.000.000 s f 0,000000796 s

EENHEDEN OMREKENEN-3

1 Zet om naar gewone getallen a 0,7643 ∙ 10

⁵

= b 904,3 ∙ 10

^―6

=

2 a Hoeveel maal is 321.000.000 groter dan 0,00000321?

Schrijf antwoord als een macht van 10.

b Met welke macht van 10 moet je 9,54 ∙ 10

^―14

vermenigvuldigen om 9,54 ∙ 10

⁵

te krijgen?

3 Bereken en geef het antwoord in wetenschappelijke en technische notatie a 0,23 ∙ 10

²

+ 4,1 ∙ 10

^―2

=

wetenschappelijke notatie:

technische notatie:

b 3,489 ∙ 10

^―21

9,8 ∙ 10

⁴³

= wetenschappelijke notatie:

technische notatie:

4 Bereken en geef weer in de juiste significantie a 0,048 ― 0,13 + 1 + 0,08 =

b 357 ∙ 975 : 12,3 =

c 2,006 ― 18,0 34 ∙ 0,05 =

5 Wat bedoelen we met a 19,8 ± 0,2 cm b 2000 ± 3 kg

6 Wat is de relatieve fout bij

a 125,5 ± 1 N

b 1,000 ± 0,03 s

7 Een witte A4- formaat papier heeft een massa van 8,5 ∙ 10

^―3

g/cm

²

. De afmetingen zijn 29,6 × 21,0 cm.

a Bereken de oppervlakte in cm

²

en geef de significantie.

b Bereken de massa van het A4-tje en geef weer de significantie.

8 In een straat staan 3 woningen. In de tabel hieronder staan de gegevens van het gas- en waterverbruik.

Woning Gasverbruik Waterverbruik

1 2,30460 ∙ 10

³

m

³

110,58 ∙ 10

²

l

2 30,0209 ∙ 10

²

m

³

9,20 ∙ 10

³

l

3 109931 ∙ 10

^―2

m

³

1,03 ∙ 10

⁴

l

a Bereken het totale gasverbruik

b Bereken het gemiddelde waterverbruik van de drie woningen

SIGNIFICANTIE

Inhoud

1 Significante cijfers bepalen

1.1 Methoden om duidelijk significante cijfers aan te geven 2 Significante cijfers tijdens metingen

3 Omgaan met gehele getallen, aantallen en constanten 4 Rekenen met significante cijfers 4.1 Afronden

Significante cijfers bepalen

De standaardregels voor significante cijfers zijn als volgt.

Alle cijfers behalve voorafgaande nullen zijn significant: 87,636 heeft

bijvoorbeeld vijf significante cijfers; 7,636 heeft er vier; 0,636 heeft er drie;

en 0,036 heeft er twee. Afsluitende nullen worden als significant gezien: 87,000;

87,600 en 87,630 hebben allemaal vijf significante cijfers. Als een getal geen komma bevat, is het in het geval van een of meer nullen aan het eind, zoals 3620, 3600 en 3000, niet duidelijk of daar significante bij zijn, en zo ja hoeveel.

Als bijzonder geval heeft het getal nul 1 significant cijfer.

Methoden om duidelijk significante cijfers aan te geven

Om exact aan te geven welke cijfers significant zijn, kan een getal als 3000 in de wetenschappelijke notatie worden genoteerd. Als alleen de eerste 2 cijfers — de '3' en de eerste '0' — significant zijn, dat wil zeggen de echte waarde ligt ergens tussen 2950 en 3050, is de notatie 3,0 × 10³. Als drie cijfers significant zijn — de waarde ligt tussen 2995 en 3005 — noteert men 3,00 × 10³. Zijn vier cijfers significant — de waarde ligt tussen 2999,5 en 3000,5 —, dan zijn zowel 3000 als 3,000 × 10³ mogelijk. Met vijf significante cijfers wordt het 3000,0 of 3,0000 × 10³.

miljoen heeft twee significante cijfers, terwijl 12.000.000 er 8 heeft. In de meeste praktijksituaties kunnen afsluitende nullen meestal maar het beste als niet significant worden gezien: 12.000.000 is waarschijnlijk een getal tussen

11.500.000 en 12.500.000 in plaats van tussen 11.999.999,5 en 12.000.000,5.

Soms wordt een streepje boven een afsluitende nul gebruikt om significantie aan te geven: bijvoorbeeld 3000 met een streepje boven de tweede nul: 30\overline{0}0.

Dit getal lijkt vier significante cijfers te hebben, maar het streepje geeft aan dat de tweede nul het laatste significante cijfer is.

Significante cijfers tijdens metingen

Zoals hierboven geïllustreerd is aan de hand van het voorbeeld met de liniaal, houdt de methode van significante cijfers in dat wanneer een niet-elektronisch meetinstrument gebruikt wordt, de waarnemer moet schatten tot op 1/10 van de schaalverdeling van het instrument. Neem een pipet die streepjes heeft voor elke milliliter (ml). De waarnemer meet dan het volume tot de op een tiende milliliter.

Om aan te geven tot welke nauwkeurigheid een meting is gedaan, worden decimale getallen gebruikt. Wanneer gebruikgemaakt is van de regels voor significante getallen, moet worden aangenomen dat het laatste significante cijfer geschat is.

Als in het vorige voorbeeld de waarnemer de hoeveelheid vloeistof afleest als exact 12 ml, dan schrijft hij 12,0 ml op, hetgeen betekent dat de nauwkeurigheid tot op een tiende milliliter is, waarbij de nul geschat is. Als de pipet streepjes had gehad tot iedere tiende milliliter, dan had de waarnemer het getal genoteerd als 12,00 ml.

Een alternatieve manier om een meetnauwkeurigheid aan te geven is deze expliciet te vermelden: bijvoorbeeld 12,0 ± 0,2 ml of 11,5 ± 1 ml. Dit is ook de manier waarop met digitale meetinstrumenten moet worden omgegaan. De onzekerheid in de meting is te vinden in de handleiding. Als een digitale weegschaal aangeeft 1,421 kg, betekent dat niet dat het gewicht tussen de 1,4205 en 1,4215 kg ligt, maar dat het bijvoorbeeld moet zijn 1,42 ± 0,02 kg: de meetonnauwkeurigheid is ± 20 gram.

Omgaan met gehele getallen, aantallen en constanten

Merk op dat gehele getallen, verkregen door discrete objecten te tellen, niet onder de regels van significante getallen vallen. In de berekening van de

onzekerheid in het resultaat worden ze behandeld alsof ze geen onzekerheid hebben.

Evenzo hebben mathematische constanten, zoals π, geen significante cijfers — ze

Rekenen met significante cijfers

Bij het optellen en aftrekken van meetwaarden moet je ook afronden. De uitkomst heeft dan evenveel cijfers achter de komma als de meetwaarde met het kleinste aantal cijfers achter de komma. Bijvoorbeeld: 65 kg + 2,17 kg = 67 kg (65 heeft geen cijfers achter de komma; het kleinste aantal is dus 0, dus het antwoord moet ook geen cijfers achter de komma hebben). Bij delen en vermenigvuldigen geldt de regel dat de uitkomst evenveel significante cijfers bevat als de meetwaarde met het kleinste aantal significante cijfers. Bijvoorbeeld 6,221 cm x 5,34 cm = 33,2 cm² (5,34 en 33,2 hebben beiden 3 significante cijfers). Of als voorbeeld de snelheid van de sprinter die 10000,0 cm aflegt in 11,71 seconde: de gemiddelde snelheid is dan 8,540 m/s (4 significante cijfers) en niet 8,53970965 zoals weergegeven op een rekenmachine.

Afronden

Als er gerekend wordt met meetwaardes met verschillende aantallen cijfers dient alleen de einduitkomst afgerond te worden en niet de oorspronkelijke meetwaardes.

Als je eerst de meetwaardes afrondt en dan gaat rekenen kan de einduitkomst behoorlijk afwijken, zoals blijkt uit onderstaand voorbeeld.

Stel, je hebt acht zakken potgrond die volgens het etiket 12,5 kg wegen (drie significante cijfers). Een van de zakken is halfvol, je hebt dus 7,5 zakken (twee significante cijfers). Je wilt uitrekenen hoeveel die zakken gezamenlijk wegen.

Het resultaat van die berekening moet uitgedrukt worden in twee significante cijfers.

Vooraf afronden geeft het volgende resultaat:

13 kg × 7,5 = 97,5 kg, afgerond op twee significante cijfers is dat 98 kg

Achteraf afronden geeft het volgende resultaat:

12,5 kg × 7,5 = 93,75 kg, afgerond op twee significante cijfers is dat 94 kg

MASSA, VOLUME, DICHTHEID

stof goud hout ijzer zout kurk lood tetra water zink dichtheid (g/cm

³

) 19,3 0,8 7,9 2,2 0,24 11,3 1,6 1,0 7,1

NU DE ONDERSTAANDE TABEL INVULLEN

nummer massa (gram) volume (cm

³

) dichtheid (g/cm

³

) Stof

1 9,6 12

2 0,4 0,18

3 0,42 2,1

4 26,9 3,4

5 504 7,1

6 99 11

7 7,1 7,1

8 4,4 2,2

9 0,3 ijzer

10 14 tetra

11 0,88 zink

12 94,6 goud

13 0,96 hout

14 1,2 water

15 8,3 0,73

16 96,5 19,3

17 2,2 11

18 4,5 tetra

19 2,8 1,6

20 22 ijzer

OEFENINGEN DICHTHEID-1

1. Paul en Daniëlle bepalen de dichtheid van alcohol als volgt: Ze nemen een lege maat- cilinder (100 ml) en bepalen de massa daarvan. De massa is 140 g.

Daarna vullen ze de maatcilinder met 100 cm3 spiritus en bepalen ze opnieuw de massa.

De massa is 230 g.

a W at is de massa van 100 cm3 spiritus in g en in kg

b Bereken de dichtheid van spiritus in g/cm3 en kg/m3.

2. a. Wat is de massa van 100 cm3 spiritus in g en in kg..

b. Bereken de dichtheid van spiritus in g/cm3 en kg/m3.

c. 1,30 g/cm3 = . . . kg/m3 = . . . kg/dm3 d. 1,29 kg/m3 = . . . g/cm3 = . . . g/dm3 e. 12,7 g/cm3 = . . . kg/m3 = . . . kg/L 3. Een baksteen heeft een massa van 2,8 kg.

De afmetingen zijn 7 cm bij 10 cm bij 20 cm..

a. Bereken het volume van de baksteen in cm3 en m3.

b. Bereken de dichtheid van de baksteen in g/cm3 en kg/m3.

Vragen Dichtheid-2

1 Een stukje metaal van 5 cm

³

heeft een massa van 44,5 g.

Bereken de dichtheid in kg/m

³

.

2 Bereken de massa in kg van 50 liter petroleum.

3 Bereken het volume van 12,8 kg methaan.

4 Een metalen staaf heeft een diameter van 51 mm, een lengte van 145 mm en een massa van 2,6 kg.

a Bereken de dichtheid van het metaal.

b Van welk metaal is de staaf waarschijnlijk gemaakt?

5 Om soldeer te maken mengt men 1,02 kg lood met 0,44 kg tin.

a Bereken het massapercentage van het lood en het tin.

b Bereken het volumepercentage van het lood en het tin.

6 Een brons legering bestaat uit 0,9 m

³

koper en 0,5 m

³

tin.

Bereken de dichtheid van het brons.

Vragen Dichtheid-3

1. De dichtheid van zwavelzuur is 1800 kg/m

³

en g = 9,8 N/kg.

a) Bereken de massa van 12 liter zwavelzuur.

b) Bereken ook het gewicht.

2. Een lichaam heeft een gewicht van 2,8 N.

De lengte van het lichaam is 8 cm, de breedte 4 cm en de dikte 1 cm.

-Bereken de dichtheid van het lichaam (g = 9,8 N/kg).

Men smelt samen 60 gram koper en 195 gram aluminium tot een legering.

-Bereken de dichtheid van deze legering.

In een afloopvat dat geheel gevuld is met alcohol, brengt men een gouden ring met een massa van 80 g.

-Hoeveel gram alcohol loopt uit het afloopvat?

3. Men mengt 90 liter spiritus met 30 liter water.

De dichtheid van spiritus is 825 kg/m

³

en die van water is 1000 kg/m

³

. -Bereken de dichtheid van het mengsel.

4. Een mengsel bevat 7 liter water en 3 liter alcohol. De dichtheid van het mengsel is 937 kg/m

³

en die van water is 1000 kg/m

³

.

-Bereken de dichtheid van de alcohol.

Vragen Wet van Archimedes

1. Geef de formule van de wet van Archimedes?

2 . Een blok beton (ρ = 2500 kg/m

³

) met een lengte van 1,2 m, een breedte van 0,75 m en een dikte van 0,45 m wordt geheel onder zeewater (ρ = 1040 kg/m

³

)

gehouden.

a) Bereken het gewicht van het betonblok.

b) Bereken de opwaartse kracht die het blok ondervindt.

c) Bereken het schijnbare gewicht van het betonblok.

3. Een houten bak, 5 m lang, 2,5 m breed en 0,65 m hoog, heeft een massa van 450 kg. De bak drijft in water. Hoeveel kg kan deze bak vervoeren, als hij 0,50 m diep in het water mag zakken?

4. Bepaal de massa van de bolletjes indien deze 5 cm

³

zijn. Zoek de dichtheden op van water. Bij gegeven temperatuur is de dichtheid van water gelijk aan de “dichtheid”

van het bolletje. In dit voorbeeld is de

dichtheid van water groter dan ρ-water (16 °C)

Drijven en zinken

tabel met dichtheden

stof dichtheid (g/cm

³

)

aluminium 2,70

chroom 7,19

goud 19,3

koper 8,96

kwik 13,5

lood 11,3

nikkel 8,90

platina 21,5

ijzer 7,87

zilver 10,50

zink 7,2

brons 8,9

messing 8,5

diamant 3,52

kurk 0,20 – 0,35

perspex 1,2

was 0,95

ijs (-4

^o

C) 0,917

aceton 0,79

alcohol 0,80

benzine 0,72

chloroform 1,49

ether 0,71

glycerol 1,26

olijfolie 0,92

spiritus 0,85

tetra 1,59

water 1,00

zeewater (30% zout) 1,024

§ 1 Massa, volume en dichtheid

Massa

De massa van een voorwerp geeft aan hoe zwaar dat voorwerp is.

De massa wordt vaak uitgedrukt in:

kilogram (afgekort kg) gram (afgekort g)

Het verband tussen deze eenheden is: 1 kg = 1000 g.

Het symbool voor massa is m. Als een auto een massa heeft van bijvoorbeeld 1100 kg, schrijven we: m = 1100 kg.

Volume

Het volume van een voorwerp geeft aan hoeveel ruimte dat voorwerp inneemt.

Het volume wordt vaak uitgedrukt in:

kubieke meter (afgekort m

³

)

kubieke decimeter (afgekort dm

³

). Dit is gelijk aan een liter (afgekort L).

kubieke centimeter (afgekort cm

³

). Dit is gelijk aan een milliliter (afgekort mL). Het verband tussen deze eenheden is: 1 m

³

= 1000 dm

³

en 1 dm

³

= 1000 cm

³

Het symbool voor volume is V. Als een auto een volume heeft van bijvoorbeeld 4 m

³

, schrijven we: V = 4 m

³

.

Dichtheid

Hiernaast zijn een stuk aluminium en een stuk lood getekend.

Het stuk aluminium heeft een massa van 27,0 g en het stuk lood heeft een massa van 22,6 g.

Kun je hieruit concluderen dat aluminium als stof zwaarder is dan lood? Het antwoord is natuurlijk: nee! Dit komt doordat het volume van het stuk aluminium (10 cm³) veel groter is dan het volume van het stuk lood (2 cm³).

De vraag welke stof zwaarder is, kan worden beantwoord door van beide stoffen de massa per kubieke centimeter uit te rekenen.

Voor aluminium wordt dit: 2,70 g/cm³ (berekend door 27,0 te delen door 10) Voor lood wordt dit: 11,3 g/cm³ (berekend door 22,6 te delen door 2)

Door de uitkomsten met elkaar te vergelijken blijkt dat de stof lood zwaarder is dan aluminium.

We noemen 2,70 g/cm³ de "dichtheid" van aluminium en 11,3 g/cm³ de dichtheid van lood. Het symbool voor dichtheid is de Griekse letter ρ. Dit wordt opgeschreven als (voor lood): ρ = 11,3 g/cm³ en

Samenvatting

De massa van een voorwerp geeft aan hoe zwaar dit voorwerp is.

Het volume van een voorwerp geeft aan hoeveel ruimte dit voorwerp inneemt. De dichtheid van een stof geeft aan hoe zwaar deze stof is.

De dichtheid is de massa van de stof (uitgedrukt in g) per eenheid van volume (cm³).

In de volgende tabel zijn de drie grootheden en bijbehorende eenheden opgesomd.

Grootheid Eenheid m = massa g = gram

V = volume cm

³

= kubieke centimeter

ρ = dichtheid g/cm

³

= gram per kubieke centimeter

Als een voorwerp met massa m en volume V overal dezelfde samenstelling heeft, dan kunnen we de dichtheid ρ van de stof uitrekenen met de volgende formule.

ρ = m V

Voorbeeld van het uitrekenen van de dichtheid

Een brok nikkel met een massa van 30 g heeft een volume van 3,37 cm³. De dichtheid van nikkel kan dan op de volgende manier berekend worden.

ρ = m / V = 30 g

/

3,37 cm³ = 8,90 g/cm³.

De twee andere vormen van de formule

In sommige situaties moet de massa of het volume van een voorwerp uitgerekend worden in plaats van de dichtheid. Dan moet de bovenstaande formule in een andere vorm geschreven worden. De twee andere vormen van de formule zijn:

V = m

m = ρ ×V _{en ρ}

Voorbeeld van het uitrekenen van de massa

De massa van 20 mL kwik kan als volgt berekend worden.

ρ = 13,5 g/cm³ (opzoeken in de tabel) m = ρ • V = 13,5 g/cm³ • 20 cm³ = 270 g.

Voorbeeld van het uitrekenen van het volume

Het volume van een diamant met een massa van 2,2 gram kan als volgt berekend worden.

ρ = 3,52 g/cm³ (opzoeken in de tabel)

V = m / ρ = 2,2 g

/

3,52 g/cm³ = 0,625 cm³.

Opgaven bij § 1

Opgave 1

Wat geeft de massa van een voorwerp aan?

Opgave 2

Wat geeft het volume van een voorwerp aan?

Opgave 3

Wat geeft de dichtheid van een stof aan?

Opgave 4

Vul op de open plekken in: voorwerp of stof.

De massa is een eigenschap van een .

Het volume is een eigenschap van een .

De dichtheid is een eigenschap van een _.

Opgave 5 Vul in:

1 kg = g 1 g = kg

1 liter = dm³ 1 mL = cm³ 1

liter = mL 1 dm³ = cm³ 1

m³ = liter

Opgave 6

Jan pakt een bolletje klei uit de kleidoos en voegt hier net zoveel klei aan toe dat het volume wordt verdubbeld.

Kies in de onderstaande zin uit: "wordt verdubbeld" of "wordt gehalveerd" of "blijft gelijk". De massa van de klei en de dichtheid van de klei

.

Opgave 7

Welke stof is zwaarder: goud of lood? Gebruik de tabel met dichtheden.

Opgave 8

Een blokje zink van 13 g heeft een volume van 1,8 cm³. Bereken de dichtheid van zink.

Opgave 9

Bereken de massa van 16 cm³ water. Gebruik de tabel.

Opgave 10

Bereken het volume van 3,5 g goud. Gebruik de tabel.

Opgave 11

Een lege beker heeft een massa van 230 g. Koos schenkt 160 mL limonadesiroop in de beker. De massa van de beker plus inhoud wordt dan 470 g. Bereken de dichtheid van de limonadesiroop.

Opgave 12

De limonadesiroop uit de vorige opgave wordt verdeeld over tien kleine plastic bekertjes. Elk bekertje bevat dan 16 mL. Verandert de dichtheid van de limonadesiroop daardoor? Zo ja, hoe?

Opgave 13

Sommigen denken dat lucht niets weegt (beter gezegd: geen massa heeft). Dat dit onzin is, blijkt uit het volgende proefje.

Met een vacuümpomp wordt alle lucht uit een kolf gezogen. Daarna wordt de massa van de kolf bepaald met een balans. Deze bedraagt 230,2 gram. Zie de figuur hiernaast. Vervolgens wordt het kraantje van de kolf geopend. De kolf vult zich dan met 1 liter

lucht (1 liter = 1000 cm³). Ten slotte wordt de massa van de kolf opnieuw bepaald.

Deze is nu 231,5 gram.

Beantwoord nu de volgende vragen.

a.

Bepaal de massa van de lucht in de kolf.

b.

Bereken de dichtheid van de lucht in de kolf.

Opgave 14

Een gouden schaakstuk wordt ondergedompeld in een maatcilinder met water.

Zie de figuur hiernaast (links voor en rechts na onderdompeling). Bereken de massa van het schaakstuk. Laat je berekening zien.

§ 2 Archimedes

Archimedes was een Griekse wiskundige, die leefde van 287 tot 212 voor Christus in de havenplaats Syracuse. Syracuse behoort nu tot Italië en ligt op het eiland Sicilië. Toentertijd behoorde Sicilië echter tot het Griekse rijk en werd geregeerd door koning Hieron.

Over het leven van Archimedes is tamelijk veel bekend, wat een uitzondering is voor oude wijsgeren. Archimedes is bekend vanwege zijn prestaties op wiskundig gebied maar ook vanwege zijn praktische uitvindingen. Bovendien bestaan er veel anekdotes over zijn persoon.

Een van de bekendste verhalen over Archimedes is het volgende.

Ter gelegenheid van het slagen van een onderneming wil koning Hieron een tiara (een soort krans; zie de figuur

hieronder) aan de goden wijden. Hij geeft een goudsmid de opdracht om de tiara te maken. Deze

moet bestaan uit een bepaalde hoeveelheid puur goud.

Als de tiara klaar is en aan de koning wordt aangeboden, gaat het gerucht dat de goudsmid geen zuiver goud heeft gebruikt maar een mengsel van goud en zilver. Zilver is veel goedkoper dan goud en op deze manier zou de smid veel meer winst maken. De koning heeft echter een probleem. Aan de kleur valt niet te zien of de smid gesjoemeld heeft. Bovendien blijkt na weging dat de tiara

de juiste massa heeft. Ten einde raad vraagt de koning Archimedes om raad.

Kan hij – zonder de tiara te smelten – uitmaken of de tiara wel of niet van zuiver goud gemaakt is?

Archimedes denkt hierover na terwijl hij in een bad stapt, dat tot aan de rand toe gevuld is. Hij merkt op dat de hoeveelheid water die over de rand loopt, gelijk is aan het volume van dat deel van zijn lichaam dat ondergedompeld is. Dan krijgt Archimedes een idee. Door niet zelf in bad te stappen maar de tiara onder te dompelen, kan hij het volume van de tiara bepalen. Daarmee kan hij het probleem van de tiara oplossen. Een tiara die bestaat uit een mengsel van goud en zilver heeft namelijk een groter volume dan een even zware tiara van zuiver goud.

Archimedes is zeer blij dat hij het probleem van de koning kan oplossen. In opperste vreugde springt hij uit het bad en rent, zonder zich aan te kleden, naar de koning. Terwijl hij rent roept hij luidkeels dat hij heeft gevonden wat hij zocht, in het Grieks: “Eureka, eureka”. Uiteindelijk blijkt dat het volume van de door de smid gemaakte tiara te groot is. De smid ontloopt zijn straf niet.

Archimedes werd gedood toen de Romeinen in 212 v. Chr. Syracuse innamen (na een belegering van meer dan twee jaar).

Opgaven bij § 2

Opgave 1

In welk land leefde Archimedes volgens de atlas van tegenwoordig?

Opgave 2

Leg uit hoe Archimedes het volume van de tiara bepaalde.

Opgave 3

Welke stof heeft een grotere dichtheid: puur goud of een mengsel van goud en zilver?

Opgave 4

Stel dat de tiara van zuiver goud gemaakt is en een massa van 400 g heeft. Stel verder dat Archimedes deze tiara in een bad laat zakken dat tot de rand toe gevuld is. Bereken dan hoeveel milliliter water over de rand stroomt.

Opgave 5

Stel dat de tiara een massa van 500 g heeft en dat, als deze tiara in een tot de rand toe gevuld bad

ondergedompeld wordt, er 40 mL water over de rand stroomt. Zit er dan meer goud of meer zilver in de tiara?

Laat je berekening zien.

§ 3 Homogene voorwerpen in een vloeistof

Homogeen voorwerp in een vloeistof

Als een voorwerp zich in een vloeistof bevindt, dan zijn er drie mogelijkheden. Het voorwerp kan namelijk drijven, zinken of zweven in de vloeistof. Zweven is de overgangssituatie tussen drijven en zinken.

In deze paragraaf kijken we alleen naar homogene voorwerpen in een vloeistof. Een homogeen voorwerp is een voorwerp, dat in elk punt van het voorwerp dezelfde samenstelling heeft. Een glazen ruit is bijvoorbeeld wel homogeen en een appel niet (het klokhuis en het vruchtvlees hebben verschillende samenstellingen). Bij homogene voorwerpen is de dichtheid in elk punt natuurlijk gelijk.

We maken nu de volgende afspraak.

Het symbool voor de dichtheid in het voorwerp is ρ. Het symbool voor de dichtheid van de vloeistof is ρVV.

Door de dichtheid in het voorwerp te vergelijken met de dichtheid van de vloeistof, kun je voorspellen of het voorwerp drijft, zinkt of zweeft. Er geldt namelijk het volgende.

•

Het voorwerp drijft in de vloeistof als: ρ kleiner is dan ρVV.

•

Het voorwerp zinkt in de vloeistof als: ρ groter is dan ρVV.

•

Het voorwerp zweeft in de vloeistof als: ρ gelijk is aan ρVV.

Opmerking

In volgende paragrafen wordt de dichtheid van de vloeistof ook voorgesteld door het symbool ρVV. De afkorting vv betekent “verplaatste vloeistof”.

Voorbeelden

In de onderstaande figuren is te zien dat ijs drijft in water, zinkt in benzine en zweeft in olijfolie. Ga na dat dit klopt met de waarden van de dichtheden.

Opgaven bij § 3

Opgave 1

Wat verstaan we onder een homogeen voorwerp?

Opgave 2

Een blok ijzer wordt in een bad met kwik gegooid. Zal het ijzer drijven, zweven of zinken? Leg je antwoord uit.

Opgave 3

Een blok perspex wordt in een bad met aceton gegooid. Zal het perspex drijven, zweven of zinken? Leg je antwoord uit.

Opgave 4

Een stuk was wordt in een bad met stookolie (dichtheid 0,95 g/cm³) gegooid. Zal de was drijven, zweven of zinken? Leg je antwoord uit.

Opgave 5

Een bekerglas is voor de helft met aceton gevuld. Er wordt water bij geschonken. Er ontstaan twee vloeistoflagen, want water mengt niet met aceton. Welke vloeistof zit boven? Leg je antwoord uit.

Opgave 6

In een leeg bekerglas wordt 275 cm³ van een onbekende vloeistof geschonken. De massa van deze hoeveelheid vloeistof bedraagt 420 g. Vervolgens wordt een blokje perspex in de vloeistof

gegooid. Zal dit blokje dan drijven, zweven of zinken? Laat zien hoe je aan je antwoord komt.

Opgave 7

Piet vult een reageerbuis voor minder dan de helft met water. Voorzichtig giet hij daar een laag spiritus op.

Tenslotte laat hij een druppeltje olijfolie in de reageerbuis vallen. Wat zal Piet waarnemen? Leg je antwoord uit.

Opgave 8

Klaas legt een ongepeld ei in een bekerglas met water. Het ei zinkt. Geleidelijk voegt hij, al roerend, keukenzout toe. Na enige tijd stijgt het ei op. Leg uit hoe dat komt.

Opgave 9

Een pedaalemmerzak van dun plastic wordt boven een gasvlam gehouden met de opening naar beneden. Warme lucht stroomt in de zak. Als de zak daarna wordt losgelaten, dan stijgt deze op tot aan het plafond. Verklaar dat.

Gebruik daarbij het woord dichtheid.

Opgave 10

Sommige winkels verkopen spullen waarmee je proefjes kunt doen. Zoals een lange zak die gemaakt is van zeer dun zwart plastic. Je moet zo’n zak vullen met lucht (zie figuur a) en daarna snel afsluiten (figuur b). Als de zon op de zak schijnt, wordt deze verwarmd en zal hierdoor opzwellen. Vervolgens stijgt de zak op en kan een hoogte bereiken van enkele kilometers.

Leg uit waarom de zak opstijgt.

Leg uit waarom de zak op een gegeven moment niet verder stijgt. Neem hierbij aan dat het volume van de zak tijdens het stijgen gelijk blijft.

§ 4 Drijvende voorwerpen

Proef

Je vult een maatcilinder tot de rand toe met water. Daarna weeg je de maatcilinder plus inhoud op een weegschaal. De massa blijkt 500 g te zijn. Zie de eerste figuur hiernaast.

Vervolgens laat je een reageerbuis (met wat zand erin) voorzichtig in de maatcilinder zakken. Hierdoor loopt er water uit de maatcilinder. Je laat de reageerbuis net zo ver dalen totdat deze in het water drijft. Zie de tweede figuur hiernaast. Ten slotte weeg je de maatcilinder plus inhoud (maar zonder het uitgestroomde water) nog een keer. Opnieuw blijkt de massa 500 g te zijn!!!

Blijkbaar is de massa van de reageerbuis even groot als de massa van het water dat uit de maatcilinder gestroomd is. Algemener gezegd: de massa van het drijvende voorwerp is gelijk aan de massa van de verplaatste vloeistof.

Getallenvoorbeeld

In de figuur hiernaast bevinden zich vier balletjes in een bak met water. De balletjes zijn even groot en hebben een volume van 20 cm³. Ieder balletje is echter van een

andere stof gemaakt. Daarom zijn de massa’s van de balletjes verschillend. In dit voorbeeld zijn de massa’s 4 g, 10 g, 16 g en 20 g.

Elk balletje verplaatst een hoeveelheid water. Neem als voorbeeld het eerste (linker) balletje. Hiervan bevindt zich 4 cm³ onder water en 16 cm³ boven water. Zie ook de figuur. Het eerste balletje

verplaatst dan dus 4 cm³ water. Op dezelfde manier verplaatsen het tweede, het derde en het vierde balletje achtereenvolgens 10 cm³, 16 cm³ en 20 cm³ water. Ga dat in de figuur na.

Wat nu opvalt is dat de massa van het verplaatste water steeds gelijk is aan de massa van het balletje. Neem weer het eerste balletje als voorbeeld. Er wordt 4 cm³ water verplaatst. Omdat de dichtheid van water 1,0 g/cm³ bedraagt, heeft dit verplaatste water een massa van 4 g. En dat is precies gelijk aan de massa van het balletje. Ga na dat dit ook voor de andere balletjes geldt.

Uit de figuur blijkt dat hoe zwaarder het balletje is, dit des te dieper in het water ligt en des te meer water verplaatst. Het vierde (zwevende) balletje vormt hierbij de uiterste grens. Dit balletje verplaatst de maximale hoeveelheid water die mogelijk is namelijk 20 g. Balletjes die zwaarder zijn dan 20 g (bij een volume van 20 cm³) zullen zinken.

Nog een getallenvoorbeeld

Een balletje met een volume van 30 cm³ en een massa van 16 g wordt eerst in een bakje met water gegooid en daarna in een bakje met tetra. In beide vloeistoffen blijft het balletje drijven. Zie de figuur hiernaast. In tetra ligt het balletje echter hoger in de vloeistof. Dat komt doordat tetra zwaarder is dan water. Tetra heeft namelijk een dichtheid van 1,6 g/cm³ en water van 1,0 g/cm³.

In water is 16 cm³ van het balletje onder het vloeistofoppervlak en in tetra slechts 10 cm³. Toch is de massa van de verplaatste vloeistof in beide gevallen gelijk namelijk 16 g (ga dat na). Dat is precies gelijk aan de massa van het balletje.

Theorie (algemeen)

Stel dat een voorwerp in een vloeistof drijft zoals hiernaast in de figuur is getekend. Dan bevindt een deel van het voorwerp zich onder het

vloeistofoppervlak. Dit deel heeft een hoeveelheid vloeistof verplaatst. Hiervoor geldt het volgende.

De massa van het drijvende voorwerp is gelijk aan de massa van de verplaatste vloeistof.

Kort opgeschreven wordt dit:

m = m _VV

Hierbij hebben de symbolen de volgende betekenis:

m = de massa van het drijvende voorwerp mVV = de massa van de verplaatste vloeistof

Bijvoorbeeld geldt voor het balletje in het laatste voorbeeld: m = mVV = 16 g, Voor de massa van de verplaatste vloeistof geldt ook nog:

m _VV = ρ VV · V _VV

Hierbij geldt:

ρVV = de dichtheid van de (verplaatste) vloeistof VVV

= het volume van de verplaatste vloeistof Je kunt dit ook als volgt omschrijven.

VVV = het volume van dat deel van het voorwerp dat zich onder de vloeistofspiegel bevindt.

Bijvoorbeeld geldt voor het balletje in tetra in het laatste getallenvoorbeeld: mVV = ρ^VV • VVV = 1,6 g/cm³ • 10 cm³ = 16 g

Voorbeeld van een opgave

Een plastic bal met een volume van 30 cm³ drijft in spiritus. De helft van dit volume bevindt zich onder het vloeistofoppervlak. Zie de

figuur hiernaast. Bereken de massa van de (hele) bal.

Uitwerking

gegeven: VVV = 15 cm³ (want 30 / 2 = 15) ρVV = 0,85 g/cm³ (zie de tabel bij spiritus) gevraagd: m

oplossing: m

VV

= ρ

^VV

• V

VV

= 0,85 g/cm

³

• 15 cm

³

= 12,75 g m = m

VV

= 12,75 g

Nog een voorbeeld van een opgave

Een blok glas heeft een massa van 169 g. Dit wordt in een bad met kwik gelegd. Zie de figuur hiernaast.

Bereken het volume van het glas dat zich onder het kwikoppervlak bevindt.

Uitwerking

gegeven: m = 169 g

ρVV = 13,5 g/cm³ (zie de tabel bij kwik) gevraagd:

VVV (= volume verplaatste vloeistof) oplossing: mVV = m = 169 g

V

VV

= m

VV

/ ρ

^VV

= 169 g / 13,5 g/cm

³

= 12,5 cm

³

Opgaven bij § 4

Opgave 1

In deze opgave drijven balletjes in vloeistoffen.

Maak bij elk balletje gebruik van m = mVV = ρVV • VVV.