Arno Kret Bachelorscriptie wiskunde onder begeleiding van professor S.J. Edixhoven Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden

    "!#
$%&'

Arno Kret

Bachelorscriptie wiskunde

onder begeleiding van professor S.J. Edixhoven Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden

Op de voorkant: Een compacte en totaal onsamenhangende deelruimte van R² ge¨ınspireerd door de Sierpinskidriehoek. De ruimte is homeomorf met HomK( lim_−→

i∈Z≥1

K³ⁱ, Ks), zie voorbeeld 3.14.

Opgemaakt in TEX, font Computer Modern 12.

Elektronisch beschikbaar via www.math.leidenuniv.nl/∼akret

Inleiding

Hoofdstuk 1: Eindig-dimensionale algebra’s

Productalgebra’s . . . .1

Separabiliteit . . . 2

Hoofdstuk 2: Galoistheorie voor eindig-dimensionale algebra’s De categorie van π-verzamelingen . . . 7

Fundamentele functoren. . . 9

Hoofdstelling . . . 11

Hoofdstuk 3: Algebra¨ısche algebra’s Inductieve- en projectieve limieten . . . 16

G-Ruimten . . . 17

Hoofdstelling . . . 19

Voorbeelden . . . 23

Appendix A: Tensorproducten Het tensorproduct van modulen . . . 27

Uitbreiding van scalairen en het tensorproduct van algebra’s . . . 29

Eigenschappen . . . 31

Appendix B: Inductieve limieten en projectieve limieten Definitie . . . 34

Referenties . . . 36

Index . . . 37

oor een gegeven eindige, normale en separabele lichaamsuitbreiding K ⊂ L (een Galoisuit- breiding) geeft de klassieke Galoistheorie een correspondentie tussen alle deellichamen van L die K omvatten en ondergroepen van AutK(L). De aanpak is hierbij is in zekere zin ‘van boven naar benenden’. Men kijkt namelijk vanuit het bovenste lichaam L naar ‘lager’ gelegen tussen- lichamen die K omvatten. Alexander Grothendieck heeft deze blik omgekeerd, hij kijkt vanuit het lichaam K ‘omhoog’ naar alle lichamen waar K naartoe afbeeldt. Op deze manier verkijg je de categorie van lichamen L (eindig en separabel over K) voorzien van een morfisme K → L.

Voor deze categorie is er ook een Galoiscorrespondentie: De categorie is anti-equivalent met de categorie van transitieve groepswerkingen π × E → E van de absolute Galoisgroep π van K op een eindige verzamelingen E.

De blikwisselling van omlaag naar omhoog heeft een voordeel. Een onnodige voorwaarde die in de klassieke theorie gesteld wordt, wordt zichtbaar. Om de theorie te laten werken hoeven de groepswerkingen π × E → E namelijk niet noodzakelijk transitief te zijn. Grothendieck heeft bewezen dat de categorie van groepswerkingen π × E → E op eindige verzamelingen E anti-equivalent is met de categorie van separabele eindig-dimensionale K-algebra’s. Binnen deze theorie zien we dat de K-algebra’s die lichamen zijn overeenkomen met de transitieve werkingen.

In deze scriptie geven we een bewijs voor Grothendieck’s stelling. In hoofdstuk 1 bouwen we de noodzakelijke theorie op, en in hoofdstuk 2 formuleren en bewijzen we de stelling. We volgen hierbij hoofdstuk 2 van Galois Theory for Schemes van H.W. Lenstra. Een verschil met de aanpak in [GTS] is dat daar de herformulering van Grothendieck wordt afgeleid uit klassieke Galoistheorie, we bewijzen de stelling hier zonder gebruik te maken van Galoistheorie. De lezer die bekend is met het bewijs van de hoofdstelling van Galoistheorie zal overlap ontdekken, maar er zijn wel verschillen. Zo gebruiken we nergens het lemma van Artin-Dedekind.

In klassieke Galoistheorie is een eindige lichaamsuitbreiding K ⊂ L separabel als mini- mumpolynomen f ∈ K[X] van elementen uit L alleen enkelvoudige nulpunten hebben in K.

Deze voorwaarde leent zich niet altijd voor eenvoudige bewijzen. In veel boeken wordt de voorwaarde dan ook snel geherformuleerd in een andere eigenschap, bijvoorbeeld met behulp van de separabiliteitsgraad: het aantal K-inbeddingen van L in een algebra¨ısche afsluiting K van K. Bij eindig dimensionale K-algebra’s hebben we hetzelfde probleem; bewijzen met minimunpolynoomen kunnen ingewikkeld zijn. Voor eindig-dimensionale K-algebra’s kiezen

we om die reden ervoor separabiliteit uit te drukken met behulp tensorproducten. In ap- pendix A hebben we voor lezers die tensorproducten niet kennen alle benodigde ‘tensortheorie’

opgebouwd.

In hoofdstuk 3 vergroten we de categorie van separabele eindig-dimensionale K-algebra’s naar de categorie van separabele algebra¨ısche K-algebra’s. Dit zijn algebra’s die gelijk zijn aan de vereniging van hun eindig-dimensionale K-deelalgebra’s. Uiteindelijk vinden we dat de cate- gorie anti-equivalent is met de categorie van compacte totaal onsamenhangende π-ruimten. We bewijzen deze stelling door Grothendieck’s stelling op de eindig-dimensionale K-deelalgebra’s van een separabele algebra¨ısche K-algebra toe te passen.

          !#"$%'&(

)

ij R een commutatieve ring. We noemen een commutatieve ring B samen met een ringmor- fisme ϕ: R → B een R-algebra. Via het morfisme ϕ is de optelgroep B⁺ van B een R-moduul:

voor b ∈ B⁺ en r ∈ R defini¨eren we r · b = ϕ(r) · b. Gewoonlijk laten we ϕ weg uit de notatie, en noemen we bovenstaande vermenigvuldiging de scalaire vermenigvuldiging. Een morfisme f : B → B⁰ van R-algebra’s is een ringmorfisme z´o dat het diagram

R

~~~~~~~

A A AA AA A

B ^f // B⁰

commuteert. De R-algebra’s samen met de R-algebramorfismen vormen nu een categorie: de categorie van R-algebra’s. Veel eigenschappen van de categorie¨en van ringen en R-modulen gelden ook voor de categorie van R-algebra’s. Zo gaat men eenvoudig na dat producten, cokernen, inductieve en projectieve limieten voor gerichte systemen (zie hoofdstuk 3) bestaan in de categorie van R-algebra’s. Met wat meer moeite hebben we in appendix A bewezen dat eindige coproducten (sommen) bestaan in de categorie van R-algebra’s (stelling A.6).

Als R = K een lichaam is, dan is B⁺ een K-vectorruimte met een dimensie, en deze dimensie gebruiken we ook voor B als algebra. Zodoende defini¨eren we dim_K(B) := dim_K(B⁺).

In de komende twee hoofdstukken zullen we de categorie van eindig-dimensionale K-algebra’s bestuderen. Voor een eindig-dimensionale K-algebra B hebben we het volgende lemma.

Lemma 1.1 Zij B een eindig dimensionale K-algebra. Stel B is een domein, dan is B een lichaam.

Bewijs Zij b ∈ B\{0} en beschouw de K-lineaire afbeelding ϕb: B → B gegeven door x 7→ b·x.

Als b · x = 0, dan volgt x = 0, dus is ϕb injectief. De dimensie van het beeld Im(ϕb) is gelijk aan dimK(B), en de enige deelruimte van B met deze dimensie is B zelf, dus Im(ϕb) = B. Het origineel ϕ⁻¹_b 1 ∈ B van 1 ∈ B is een inverse van b.

Dankzij bovenstaand lemma kunnen we iets zeggen over de structuur van alle eindig-dimen- sionale K-algebra’s.

2 Eindig-dimensionale algebra’s: Separabiliteit

Stelling 1.2 Zij B een eindig-dimensionale K-algebra. Dan heeft B eindig veel priemidealen p₁, . . . , p_t ⊂ B, en voor zekere k ∈ {1, . . . , dim_K(B)} groot genoeg is de natuurlijke afbeelding B →Qt

i=1B/p^k_i met b 7→ (i 7→ b mod pi) een isomorfisme. Bovendien zijn de K-algebra’s B/p^k_i lokaal (de algebra heeft precies 1 maximaal ideaal) met nilpotent maximaal ideaal pi mod p^k_i.

[GTS, pagina 22]

Bewijs Laat I het Jacobsonradicaal van B zijn (dus I = T

m⊂Bm, de doorsnede van alle maximale idealen m ⊂ B). Omdat de de dimensie van I eindig is, is de keten I¹ ⊃ I² ⊃ · · · vanaf zekere k ≤ dim_K(B) stabiel. Uit Nakayama’s lemma (zie [ICA], [Lang] of [Eisenbud]) volgt I^k = 0. Zij p ⊂ B een priemideaal. Er geldt dimK(B) = dimK(p) + dimK(B/p), en dimK(B/p) is eindig. Wegens lemma 1.1 is B/p een lichaam, en ieder priemideaal van B is maximaal, dus T

p⊂Bp = I. Elk tweetal priemmachten van twee verschillende priemen is copriem, en de Chinese reststelling stelt dat het natuurlijke K-morfisme B → Q

pB/p^k een surjectie is met kern I^k = 0. De afbeelding is dus een isomorfisme. Het aantal priemidealen van B moet eindig zijn, en voor elke p ⊂ B priem is B/p^k lokaal met nilpotent maximaal ideaal p mod p^k.

•

Separabiliteit

In deze sectie gebruiken we tensorproducten. Lezers die tensorproducten niet kennen raden we aan eerst appendix A te lezen. De meeste stellingen uit appendix A zullen we gebruiken.

Zij B een eindig-dimensionale K-algebra, en K een vaste algebra¨ısche afsluiting van K.

Door de scalairen van B uit te breiden naar K verkrijgen we een eindig-dimensionale K-algebra B := K ⊗_K B, waarop we volgende propositie kunnen toepassen:

Propositie 1.3 Stel C is een eindig-dimensionale K-algebra, dan is het K-morfisme ϕ: C → Q

ϕ∈Hom_K(C,K)K met c 7→ (ϕ 7→ ϕc) een surjectie met kern nil(C).

Bewijs De kernen van de K-morfismen f ∈ Hom_K(C, K) zijn maximale idealen, en de lichaamsuitbreiding K → C/ker(f ) is eindig, dus van graad 1. Alle K-morfismen C → K zijn dus gegeven door quoti¨entafbeeldingen C → C/p met p ⊂ C maximaal. Wegens stelling 1.2 zijn er slechts eindig veel priemen p ⊂ C, en wegens de Chinese reststelling is Φ een surjectie met kern T

p⊂C p = nil(C).

Gevolg 1.4 Zij B een eindig-dimensionale K-algebra, en B = K ⊗K B. Het K-morfisme Φ: B → Q

ϕ∈HomK(B,K)K met λ ⊗K b 7→ (ϕ 7→ λ · ϕ(b)) is een surjectie met kern nil(B).

Bewijs We gebruiken de universele eigenschap van het tensorproduct K ⊗K B. Beschouw

Eindig-dimensionale algebra’s: Separabiliteit 3 het diagram:

K //



B

ϕ





K //

Id_K

++

B

ϕ⁰

K

Wegens propositie A.6 wordt door ieder K-morfisme ϕ: B → K een K-morfisme ϕ⁰ = ϕ⊗KId_K ge¨ınduceerd z´o dat het diagram commuteert. Andersom, als we een K-morfisme B → K hebben dan verkrijgen we uit het diagram ook een K-morfisme B → K. De afbeelding HomK(B, K) → Hom_K(B, K) met ϕ 7→ (λ ⊗_K b 7→ λ · ϕ(b)) is een bijectie, en dus geldt Φ = ϕ, waarbij C = B en ϕ is als in gevolg 1.3.

Gevolg 1.5 Stel B is een eindig dimensionale K-algebra, dan geldt de gelijkheid: dim_K(B) =

#HomK(B, K) + dim_K(nil(B)).

We zijn in het bijzonder ge¨ınteresseerd in de K-algebra’s waarvoor nil(B) = 0.

Een algebra¨ısche lichaamsuitbreiding K → L wordt separabel genoemd als van elk element x ∈ L het minimumpolynoom over K een polynoom is met alleen enkelvoudige nulpunten in K. Dit is precies hetzelfde als #HomK(L, K) = dimK(L) ingeval K → L eindig is (stelling 1.8 + 1.5), en door bovenstaande propositie is de uitbreiding K → L separabel dan en slechts dan als K ⊗K L een gereduceerde ring is. We generaliseren deze eigenschap naar de definitie van separabiliteit van eindig-dimensionale K-algebra’s:

Definitie 1.6 Een eindig-dimensionale K-algebra B noemen we separabel als de ring B gereduceerd is. Ofwel, als nil(B) = 0.

We gaan na dat definitie 1.6 overeenkomt met de definitie van separabiliteit van lichaamsuit- breidingen. Hiervoor hebben we eerst een lemma nodig.

Lemma 1.7 Stel K → M → L is een toren van eindige lichaamsuitbreidingen, waarbij we M en K identificeren. Veronderstel dat K ⊗ML en M ⊗KM gereduceerd zijn, dan is K ⊗KL gereduceerd.

Bewijs Er geldt: K ⊗KL ∼= K ⊗KM ⊗ML ∼= K^{dimK(M )}⊗_ML ∼= (K ⊗ML)^{dimK(M )}(propositie A.9 + propositie A.11) en dus is K ⊗_K L gereduceerd.

Stelling 1.8 Zij K → L een algebra¨ısche lichaamsuitbreiding. Dan is K ⊗K L gereduceerd dan en slechts dan als voor alle x ∈ L het polynoom f_K^x ∈ K[X] geen dubbele nulpunten heeft.

4 Eindig-dimensionale algebra’s: Separabiliteit

bewijs (⇒) Voor alle x ∈ L hebben we een inclusie K(x) → L, en wegens propositie A.10 is de ge¨ınduceerde afbeelding K ⊗_K K(x) → K ⊗_KL injectief. De surjectie K[X] → K(x) heeft kern (f_K^x), en wegens propositie A.10 is de ge¨ınduceerde afbeelding K ⊗KK[X] → K ⊗KK(x) ook surjectief met kern K ⊗K(f_K^x) = f_K^xK[X], en dus K ⊗KK(x) ∼= K[X]/(f_K^x). Het polynoom f_K^x ontbindt volledig in K[X], en uit de Chinese reststelling volgt:

K[X]/(f_K^x) ∼=

n

Y

i=1

K[X]/(X − α_i)^ei,

voor zekere n, e₁, e₂, . . . , e_n ∈ Z_≥1 en onderling verschillende α₁, α₂, . . . , α_n ∈ K. Als ´e´en van de exponenten ei voor een zekere x ∈ L groter is dan 1, dan heeft de ring K[X]/(f_K^x) een nilpotent element ongelijk 0 en de ring K ⊗K L ook.

(⇐) Zij K → L een algebra¨ısche lichaamsuitbreiding waarbij elk element ` ∈ L een min- imumpolynoom over K heeft met alleen enkelvoudige nulpunten over K. Stel x 6= 0 is een nilpotent element van K ⊗_K L. Er geldt x = Pn

i=1λ_i ⊗ `_i voor zekere λ₁, . . . , λ_n ∈ K en

`<sub>1</sub>, . . . , `n ∈ L. Neem nu L⁰ = K(`<sub>1</sub>, . . . , `n). Dan is er een injectie L⁰ → L, en wegens proposi- tie A.10 een injectie K ⊗K L⁰ → K ⊗K L. Het element x =P

iλi⊗ `i ∈ K ⊗K L⁰ is niet nul en nilpotent. We kunnen dus zonder verlies der algemeenheid aannemen dat de uitbreiding K → L eindig is.

Neem `<sub>1</sub>, . . . , `n ∈ L een verzameling voortbrengers van L over K. Dan wordt L verkregen uit de toren K → K(`<sub>1</sub>) → K(`₁, `<sub>2</sub>) → · · · → K(`₁, . . . , `n) = L, met in elke stap enkelvoudige lichaamsuitbreidingen. Zij M → M (`_k) met M = K(`<sub>1</sub>, . . . , `_k−1) een stap uit bovenstaande toren. Dan geldt M (`k) ∼= M [X]/(f`k) met f`k ∈ M [X] het minimpolynoom van `k over M . Dit polynoom is separabel want het is een deler van het minimumpolynoom van `k over K, en dus is K ⊗K M (`k) ∼= K[X]/(f`k) gereduceerd. Met inductie volgt nu uit lemma 1.7 dat K ⊗KL gereduceerd is.

Zij B een eindig dimensionale K-algebra en b ∈ B een element. Beschouw het K-morfisme ϕ: K[X] → B met X 7→ b. Omdat B eindig-dimensionaal is terwijl K[X] oneindig-dimensionaal is, kan ϕ niet injectief zijn. De kern ker(ϕ) = (f ) wordt voortgebracht door een zeker monisch polynoom f ∈ K[X] van graad ≥ 1. Dit polynoom noemen we het minimumpolynoom van b over K. Separabiliteit van de algebra B in termen van minimumpolynomen is wegens de komende proposities compleet analoog aan de definitie die we al kennen voor lichaamsuitbrei- dingen.

Propositie 1.9 Zij B een eindig-dimensionale K-algebra, en ϕ: B→^∼ Qt

i=1B_ide decompositie uit stelling 1.2. Dan is B = K ⊗K B separabel dan en slechts dan als K → Bi voor elke i een

separabele lichaamsuitbreiding is. [GTS, pagina 23]

Eindig-dimensionale algebra’s: Separabiliteit 5 Bewijs Er geldt K ⊗KB ∼= K ⊗KQt

i=1Bi ∼=Qt

i=1(K ⊗KBi) (propositie A.9 en stelling 1.2).

Elke term in het product is gereduceerd dan en slechts dan als het hele product gereduceerd is.

Het is dus voldoende om te bewering te bewijzen voor lokale eindig-dimensionale K-algebra’s B. De implicatie (⇐) is dan een direct gevolgt van stelling 1.8. Voor (⇒), beschouw de injectie K ⊗_K nil(B) → B ge¨ınduceerd door de inclusie nil(B) ,→ B (gevolg A.10). De elementen van K ⊗K nil(B) beelden af naar nilpotente elementen in B en dus K ⊗K nil(B) = 0. Er geldt 0 = dim_K(K ⊗Knil(B)) = dimK(nil(B)) (propositie A.9), en B is gereduceerd. Het maximale ideaal m van B is gelijk aan het nilradicaal van B (stelling 1.2), en dus geldt m = 0 en B is een lichaam.

Propositie 1.10 De K-algebra B is separabel dan en slechts dan als voor elk element b ∈ B het polynoom fb ∈ K[X] een separabel polynoom is.

Bewijs Zij B ∼=Qt

i=1Bi de decompositie van B uit stelling 1.2.

(⇒) We passen propositie 1.9 toe. Zij b ∈ Qt

i=1Bi een element. Laat bide projectie van b op de i-de co¨ordinaat zijn. Het minimumpolynoom fbi ∈ K[X] is separabel. De projectie B → B_i is een K-morfisme, en fbi deelt fb ∈ K[X], het minimumpolynoom van b ∈ B. Andersom, het polynoom g = kgv(fbi : i) heeft alle fbi als deler, en g(b) = 0 en dus fb = g. Het kleinst gemene veelvoud van een collectie separabele polynomen is separabel en fb is een separabel polynoom.

(⇐) Elke Bi is een lichaamsuitbreiding van K, want nilpotente elementen 6= 0 hebben een inseparabel minimumpolynoom. Wegens stelling 1.8 en propositie 1.9 is B separabel.

Definieer Ks ⊂ K als de verzameling van separabele elementen in K over K:

K_s^def= x ∈ K|x is separabel over K .

Propositie 1.11 De deelverzameling Ks ⊂ K is een deellichaam, en een algebra¨ısche lichaamsuitbreiding Ks → L is separabel over Ks dan en slechts dan als [L : Ks] = 1.

Bewijs Zijn α, β ∈ Ks twee elementen, dan verkrijgen we uit de universele eigenschap van het tensorproduct K(α) ⊗K K(β) een surjectief K-morfisme ϕ: K(α) ⊗K K(β) → K(α, β), en ook een surjectie Id_K⊗Kϕ: K ⊗K(K(α)⊗KK(β)) → K ⊗KK(α, β) (propositie A.10). Wegens proposities A.9 en A.11 geldt K ⊗K(K(α) ⊗KK(β)) ∼= Kdeg(α)·deg(β)

, en dus is K ⊗KK(α, β) isomorf met een quoti¨ent van Kdeg(α)·deg(β) en gereduceerd. Voor elk tweetal elementen α, β ∈ Ks is het lichaam K(α, β) een deelverzameling van Ks, en Ks is een deellichaam van K.

Zij Ks → L een separabele algebra¨ısche uitbreiding. Zij α ∈ L, en M het deellichaam voortgebracht door de co¨efficienten van het minimumpolynoom van α over Ks. Dan is de toren K → M → M (α) separabel, en wegens lemma 1.7: α ∈ K_s.

Stel C is een Ks-algebra, en beschouw de afbeelding Φ: C →Q

ϕ:Hom_Ks(C,K)K met c 7→ (ϕ 7→

ϕ(c)) uit stelling 1.3. De kern van deze afbeelding is het nilradicaal van C, en het beeld is

6 Eindig-dimensionale algebra’s: Separabiliteit

gegeven door Ks^dimKs(C) ⊂ K^dimKs(C) dan en slechts dan als C separabel is (propositie 1.9 + propositie 1.11). In dat geval geldt nil(C) = 0, en de afbeelding Φ is een isomorfisme op Ks^dimKs(C).

Een K-algebra B kunnen we uitbreiden naar een Ks-algebra via uitbreiding van scalairen (definitie A.6): Bs := Ks⊗_KB. Op deze algebra kunnen we bovenstaande observatie toepassen:

B_s is separabel dan en slechts dan als Φ een isomorfisme is. De K-morfismen ϕ: B → K_s gaan bijectief naar de Ks-morfismen Bs→ Ks door ϕ 7→ (λ ⊗ b 7→ λ · ϕ(b)), en we concluderen met de stelling:

Stelling 1.12 Een K-algebra B is separabel dan en slechts dan als Φ: Ks⊗_KB → Ks^dimK(B)

met λ ⊗ b 7→ (ϕ 7→ λ · ϕ(b)) een isomorfisme van Ks-algebra’s is. [GTS, pagina 23]

Samenvatting Een eindig-dimensionale K-algebra B is separabel dan en slechts dan als de algebra ´e´en van de volgende equivalente eigenschappen heeft:

• B = K ⊗K B is gereduceerd (per definitie);

• dimK(B) = #HomK(B, K);

• Alle minimumpolynomen fb ∈ K[X] voor b ∈ B zijn separabel;

• Bs en Ks^dimK(B) zijn isomorf als Ks algebra’s;

• B is gereduceerd;

• B en K^dimK(B) zijn isomorf als K algebra’s;

• B is een eindig product van eindig-dimensionale separabele lichaamsuitbreidingen van K.

    $%    $           !!#" $ '&(

)

ij K een lichaam, K een vaste algebra¨ısche afsluiting van K en Ks ⊂ K de separabele afs- luiting van K binnen K (zie propositie 1.11). De groep πK := AutK(Ks) van K-automorfismen van Ks heeft een topologie via de inclusie πK ⊂ K_s^Ks, waarbij Ks de discrete topologie heeft en K_s^Ks de producttopologie. Samen met deze topologie is πK een topologische groep en wordt de absolute Galoisgroep van K genoemd (zie [Alg. III, §28]). Ingeval er geen verwarring over het lichaam K bestaat laten we deze weg uit de notatie, en noteren we π := π_K.

Propositie 2.1 De groep π is compact en totaal onsamenhangend¹.

[Alg III, §28, lemma 28.4]

Bewijs De productruimte K_s^Ks is totaal onsamenhangend, en π als deelruimte ook. Om te bewijzen dat π compact is hebben we de stelling van Tychonoff nodig (zie [Top 1]). Beschouw de inclusie π ⊂ K_s^Ks. Een K-morfisme f : Ks → K_s is injectief, en surjectief omdat Ks een separabele uitbreiding is van het beeld f [Ks] (propositie 1.11). Dit betekent dat een afbeelding f : Ks → Ksniet in π ligt in ´e´en van de volgende gevallen: (1) f (x+y) 6= f (x)+f (y) voor zekere x, y ∈ Ks, (2) f (x · y) 6= f (x) · f (y) voor zekere x, y ∈ Ks of (3) f (k) 6= k voor zekere k ∈ K.

De verzamelingen {g: K_s → K_s|g(x + y) 6= g(x) + g(y)}, {g: K_s→ K_s|g(x · y) 6= g(x) · g(y)} en {g: Ks→ Ks|g(k) 6= k)} zijn in de gevallen (1), (2) respectievelijk (3) open omgevingen van f binnen K_s^Ks die disjunct zijn van π ⊂ Ks. De verzameling π is dus een gesloten deelverzameling van K_s^Ks.

Als we nu een compacte T ⊂ K_s^Ks kunnen vinden die π omvat, dan zijn we klaar want π is gesloten in T en dus compact. Definieer αx ⊂ Ks voor x ∈ Ks als de (eindige) verzameling geconjugeerden van x, en neem T = {f ∈ K_s^Ks : ∀xf (x) ∈ αx}. Dan geldt duidelijk π ⊂ T , en T is compact wegens de stelling van Tychonoff.

In de volgende twee hoofdstukken bestuderen we de continue acties van π op topologische ruimten. Om dit te kunnen, hebben we een aantal algemene eigenschappen van continue acties van topologische groepen nodig.

1 Een compacte topologische ruimte X is totaal onsamenhangend dan en slechts dan als voor elk tweetal punten x, y ∈ X een open en gesloten T ⊂ X bestaat met x ∈ T en y ∈ T^c

8 Galoistheorie voor eindig-dimensionale algebra’s: De categorie vanπ-verzamelingen

Definitie 2.2 Zij G een topologische groep. Een topologische ruimte E met een continue werking G × E → E noemen we een G-ruimte. Een morfisme van G-ruimten f : E → E⁰ is een continue afbeelding die compatibel is met de twee werkingen G × E → E en G × E⁰ → E⁰, ofwel: ∀g ∈ G ∀e ∈ E : f (g · e) = g · f (e). Ingeval E een verzameling is voorzien van de discrete topologie, dan spreken we over een G-verzameling.

In dit hoofdstuk bekijken we enkel de categorie van G-verzamelingen, en later in hoofdstuk 3 bekijken G-ruimten. Hierom zijn een aantal lemma’s die we bewijzen soms algemener dan we nu nodig hebben.

Lemma 2.3 In een compacte topologische groep G is een gesloten ondergroep H open dan en slechts dan als [π : H] < ∞.

Bewijs (⇒) De nevenklassen van H in G vormen een disjuncte open overdekking van G, deze overdekking moet eindig zijn want π is compact.

(⇐) Als de index [G : H] eindig is, dan is het complement van H ⊂ π een eindige vereniging van nevenklassen van H, en dus gesloten.

Lemma 2.4 Stel E is discreet, dan is de werking η: G × E → E continu dan en slechts dan als voor elk punt e ∈ E de stabilisator πe := {σ ∈ π|σ · e = e} open is. [GTS, opgave 1.19]

Bewijs (⇒) De afbeelding ηe: G → E gegeven door σ 7→ σ · e is continu, en η_e⁻¹({e}) = Ge is open in G.

(⇐) Zij e ∈ E een punt. Dan is

η⁻¹(e) = {(σ, e⁰) ∈ G × E|σe⁰= e} = [

(σ,e⁰)∈η⁻¹(e)

(σ · G_e⁰) × {e⁰},

een open overdekking van het inverse beeld η⁻¹(e).

Gevolg 2.5 Stel E is een G-verzameling en de G-banen G · e = {σ · e|σ ∈ G} voor e ∈ E zijn eindig. Dan is de werking η: G × E → E continu dan en slechts dan als stabilisatoren van punten gesloten zijn in π.

Lemma 2.6 Laat E compacte G-ruimte zijn, en E⁰ een Hausdorff G-ruimte. Stel f : E → E⁰ is een bijectief G-morfisme. Dan is f een isomorfisme.

Bewijs De afbeelding f is gesloten, want het continue beeld van gesloten is compact, en compact is gesloten in een Hausdorffruimte. De afbeelding f is dus een homeomorfisme. Zij e⁰ ∈ E⁰, en g ∈ G, dan geldt e⁰ = f (e) voor zekere e ∈ E, en dus:

f⁻¹(g · e⁰) = f⁻¹(g · f (e)) = f⁻¹(f (g · e)) = g · e = g · f⁻¹(e⁰), en f⁻¹ is G-equivariant.

Galoistheorie voor eindig-dimensionale algebra’s: Fundamentele functoren 9 Als {Ei}_I een collectie G-ruimten is, dan is de disjuncte vereniging `

i∈I Ei met de natuurlijke werking de som of het coproduct van {E_i}_I in de categorie van G-ruimten. Het productQ

i∈IE_i, is de productruimte met de productwerking: (σ, (i 7→ ei)) 7→ (i 7→ σ(ei). Ingeval {Ei}I een collectie G-verzamelingen is, dan zijn product en som ook G-verzamelingen. Bovendien is elke G-verzameling E (als G-verzameling) isomorf met de som `

i∈IE_i van alle G-banen E_i in E.

•

Fundamentele functoren

In hoofdstuk 1 hebben we de categorie A van separabele eindig-dimensionale K-algebra’s beschreven, en in het vorige hoofdstuk de categorie V van eindige π-verzamelingen. We zullen een anti-equivalentie van categorie¨en tussen deze twee aangeven (stelling 2.10). Zo’n anti- equivalentie bestaat uit een paar contravariante functoren A: V → A en V : A → V, de funda- mentele functoren genaamd. Dit zijn functoren z´o dat de samengestelde functoren A◦V : A → A en V ◦ A: V → V als functoren isomorf zijn met de identiteitsfunctoren A → A en V → V. Dit betekent dat voor ieder object B ∈ A er een isomorfisme θB: B → A(V (B)) bestaat z´o dat voor ieder morfisme B → B⁰ in A het diagram

B //

θB



B⁰

θ_B0

A(V (B)) // A(V (B⁰)),

commuteert, en voor ieder object E ∈ V een isomorfisme ηE: E → V (A(E)) z´o dat voor ieder morfisme E → E⁰ in V het diagram

E //

ηE



E⁰

θ_E0

A(V (E)) // A(V (E⁰)),

commuteert. In deze sectie defini¨eren we A en V .

De functor V . Zij B ∈ A een eindig-dimensionale en separabele K-algebra. We defini¨eren V (B) = HomK(B, Ks). De verzameling V (B) is een π-verzameling door samenstelling

τ : π × V (B) −→ V (B) (σ, f ) 7−→ σ ◦ f.

Voor een K-morfisme g: B → B⁰ definieren we V (g) als:

V (g): V (B⁰) −→ V (B) f 7−→ f ◦ g.

10 Galoistheorie voor eindig-dimensionale algebra’s: Fundamentele functoren

Propositie 2.7 De toekenning V is een contravariante functor A → V. (Met andere wo- orden: (1) De verzameling V (B) samen met de werking τ is een object in V; (2) voor elk morfisme f : B⁰ → B⁰ in A is V (f ): V (B⁰) → V (B) een morfisme van π-verzamelingen; en (3) V respecteert de eenheid en samenstelling van morfismen.)

Bewijs De cardinaliteit van V (B) is gelijk aande dimensie dimK(B) (gevolg 1.5) en is eindig.

Zij f ∈ V (B) een punt, dan geldt πf = Aut_f[B](Ks) en Aut_f[B](Ks) = π_f[B] ⊂ π is compact (stelling 2.1) en gesloten, want π is Hausdorff. Wegens gevolg 2.5 is de werking τ continu.

Zij nu g: B → B⁰ een K-morfisme. Dan geldt:

V (g)(σf ) = (σf ) ◦ g = σ ◦ f ◦ g = σ(f ◦ g) = σV (g)(f ),

voor alle σ ∈ π en f ∈ V (B⁰), en V (g) is een morfisme van π-verzamelingen. De toekenning V stuurt samenstellingen naar samenstellingen V (Id) = Id, en V is contravariante functor.

De functor A. Voor we de functor A kunnen defini¨eren hebben we eerst een lemma nodig.

Lemma 2.8 De verzameling K_s voorzien van de discrete topologie is een π-verzameling onder de automorfismewerking.

Bewijs De π-baan van een element x ∈ K_s is eindig, en de stabilisator π_x wordt gegeven door Aut_K(x)(Ks) = π_K(x) en is compact en dus gesloten. Wegens lemma 2.5 is Ks een π-verzameling.

Als E ∈ V een object is, dan is de verzameling Homπ(E, Ks) een K-algebra onder de punts- gewijze algebrastructuur:

(f + g)(e)^def= f (e) + g(e);

(f g)(e)^def= f (e)g(e);

(k · g)(e)^def= k · g(e);

1(e)^def= 1,

voor alle f, g ∈ Homπ(E, Ks), k ∈ K en e ∈ E. We defini¨eren nu A(E) als Homπ(E, Ks) samen met bovenstaande K-algebrastructuur. Voor een morfisme f : E → E⁰ in V definieren we A(f ) als:

A(f ): A(E⁰) −→ A(E) g 7−→ g ◦ f.

Propositie 2.9 De toekenning A: V → A is een contravariante functor.

Bewijs We laten zien dat A een eindige π-verzameling daadwerkelijk stuurt naar een eindig- dimensionale separabele K-algebra. De afbeelding A(E) → Q

e∈EK_s^πe met f 7→ (e 7→ f (e)) is

Galoistheorie voor eindig-dimensionale algebra’s: Hoofdstelling 11 een injectief K-algebramorfisme. Het lichaam Le := K_s^πe is voor alle e ∈ E separabel, en als het lichaam ook eindig-dimensionaal is, dan zijn we klaar. De actie van π op Hom_K(L_e, K_s) is transitief, en AutLe(Ks) is de stabilisator van de inclusie Le → Ks. Het is niet duidelijk dat AutLe(Ks) = πe, maar wel dat πe ⊂ Aut_Le(Ks). Omdat πe ⊂ π open is, heeft de ondergroep eindige index en Aut_Le(K_s) ook. De verzameling Hom_K(L_e, K_s) is dus eindig, en dimK(Le) = #HomK(Le, Ks) is ook eindig.

Zij f : E → E⁰ een morfisme in V. Er geldt:

(A(f )(1))(e⁰) = (1 ◦ f )(e⁰) = 1;

(A(f )(g + h))(e⁰) = (g ◦ f )(e⁰) + (h ◦ f )(e⁰) = (A(f )(g))(e⁰) + (A(f )(h)))(e⁰);

(A(f )(g · h))(e⁰) = (g ◦ f )(e⁰) · (h ◦ f )(e⁰) = (A(f )(g))(e⁰) · (A(f )(h)))(e⁰);

(A(f )(k · g))(e⁰) = ((k · g) ◦ f )(e⁰) = k · (A(f )(g))(e⁰),

voor alle e⁰ ∈ E⁰, f, g ∈ A(E⁰) en k ∈ K, en A(f ): A(E⁰) → A(E) is een K-algebramorfisme.

De toekenning A respecteert samenstellingen van morfismen en A(Id) = Id, en A is een contravariante functor.

•

Hoofdstelling

Stelling 2.10 Het paar functoren

A =

( eindig − dimensionale separabele K−algebra⁰s

) V

−−−−−−−−−−−→

←−−−−−−−−−−−−−−

A

( eindige π−verzameling met continue actie

)

= V

B Homπ(E, Ks)

7−−−−−−−−−−−→

←−−−−−−−−−−−7

HomK(B, Ks) E,

beschreven in de vorige sectie, is een anti-equivalentie van categorie¨en. [GTS, stelling 2.9]

Bewijs Definieer voor ieder object B ∈ A de afbeelding θB als:

θ_B: B −→ A(V (B)) = Hom_π(Hom_K(B, K_s), K_s) b 7−→ (f 7→ f (b)),

en analoog voor ieder object E ∈ V de afbeelding ηE als:

η_E: E −→ V (A(E)) = Hom_K(Hom_π(E, K_s), K_s) e 7−→ (f 7→ f (e)).

In het vervolg van het bewijs laten we zien dat ηE en θB aan alle eisen van een equivalentie van categorie¨en voldoen (zie de vorige sectie, ‘Fundamentele functoren’). We beginnen met de

12 Galoistheorie voor eindig-dimensionale algebra’s: Hoofdstelling

eenvoudige. Laat f : B → B⁰ en f⁰: E → E⁰ twee morfismen zijn. We moeten nagaan na dat de diagrammen

B ^f //

θB



B⁰

θ_B0

A(V (B))

A(V (f ))// A(V (B⁰)) en

E ^f

0

//

ηE



E⁰

η_E0

A(V (E))

A(V (f⁰))// A(V (E⁰)) commuteren. Zij b ∈ B een element, dan geldt:

[A(V (f ))](θB)(b)) = A(V (f ))(g 7→ g(b)) = [k 7→ k ◦ (h 7→ h ◦ f )](h 7→ h((b))

= (h 7→ h(f (b)) = θB⁰(f (b)),

en het linker diagram commuteert. Het bewijs dat het rechter diagram commuteert is analoog.

In het vervolg van deze paragraaf gaan we na dat ηE en θB isomorfismen zijn.

We beginnen met θB, hiervoor hebben we twee lemma’s nodig.

Lemma 2.11 Het invariantenlichaam K_s^πK is voor elk lichaam K gelijk aan K.

Bewijs Het is duidelijk dat K ⊂ K_s^πK. We bewijzen de andere inclusie. Zij f ∈ K[X] een irreducibel separabel polynoom, en α₁, . . . , α_n ∈ K_sde nulpunten van f ∈ K_s[X]. Voor elke i is er de afbeelding ϕi: K[X]/(f ) → Ksmet X 7→ αi, en K-isomorfismen ϕj◦ϕ⁻¹_i : K(αi) → K(αj) voor alle paren i, j ∈ {1, . . . , n}. Een algebra¨ısche afsluiting van K(αj) is ook een algebra¨ısche afsluiting van K(α_i), en we verkrijgen een σ_i,j ∈ π z´o dat het diagram

K

σi,j

// K(αj)

K(αi)^ϕj◦ϕ

−1 i //

OO

K(αj)

OO

commuteert. Als α ∈ Ks graad minstens twee heeft, dan is er dus een σ ∈ π met σα 6= α, en K_s^π = K.

Lemma 2.12 Zij B een K-algebra, en M een K-vectorruimte waarop een eindige groep G werkt. Dan is de afbeelding B ⊗_K (M^G) → (B ⊗_K M )^G, b ⊗ m 7→ b ⊗ m een isomorfisme van K-vectorruimten.

Bewijs De rij 0 → M^G → M →^ϕ L

g∈GM met ϕ gegeven door m 7→ (g 7→ (gm − m) is exact. Wegens de proposities A.5 en A.9 is de ge¨ınduceerde rij 0 → B ⊗K M^G → B ⊗_K M → L

g∈GB ⊗_KM ook exact, waarin de laatste afbeelding ϕ⁰ gegeven wordt door a ⊗_Km 7→ (g 7→

g(a ⊗Km) − a ⊗Km). De kern van ϕ⁰ is gelijk aan (B ⊗KM )^G, en dus (B ⊗KM )^G is isomorf met B ⊗K (M^G) door de afbeelding b ⊗ m 7→ b ⊗ m.

Galoistheorie voor eindig-dimensionale algebra’s: Hoofdstelling 13 Propositie 2.13 De afbeelding θB: B → A(V (B)) is een isomorfisme.

Bewijs Het K_s-morfisme Φ: K_s ⊗_K B → Q

ϕ∈V (B)K_s met λ ⊗_K b 7→ (ϕ 7→ λ(ϕb)) is een isomorfisme van Ks-algebra’s wegens propositie 1.12. De groep π werkt op Ks ⊗K B door ϕ(λ ⊗Kb) = ϕ(λ) ⊗Kb, voor σ ∈ π. Via Φ werkt π opQ

ϕ∈V (B)Ks door σ · (`ϕ)ϕ = (σ(`ϕ))σϕ

voor alle (`_ϕ) ∈Q

ϕ∈V (B)K_s en σ ∈ π, want:

σ · (λϕ(b))ϕ = (σ(λ)ϕ(b))ϕ = (σ(λσ⁻¹ϕ(b)))ϕ = (σ(λϕ(b)))σϕ,

voor alle λ ∈ Ks, en b ∈ B. Wegens de lemma’s 2.11, 2.12 en propositie A.8 is de afbeelding B → (Ks⊗_KB)^π, b 7→ 1 ⊗K b een isomorfisme van K-algebra’s. Door π-invarianten te nemen we vinden we de samenstelling van isomorfismen B→(K^∼ _s⊗_K B)^π→(^∼ Q

ϕ∈V (B)Ks)^π, gegeven door b 7→ (ϕ 7→ ϕb). Als we vervolgens (Q

ϕ∈V (B)Ks)^π identificeren met A(V (B)) door (`ϕ)ϕ 7→ (ϕ 7→ `_ϕ) vinden we precies de afbeelding θB terug, en dus is θB een isomorfisme.

We bewijzen dat ηE een isomorfisme is. Met de volgende lemma’s kunnen we dit afleiden uit propositie 2.13.

Lemma 2.14 Voor elke H ⊂ π open is er een eindige uitbreiding K ⊂ L ⊂ Ks z´o dat AutL(Ks) ⊂ H en σL = L voor alle σ ∈ π.

Bewijs Neem N =T

σ∈πσHσ⁻¹ ⊂ π, de grootste normaaldeler van G bevat in H. Voor alle σ ∈ π zijn er eindig veel linkernevenklassen σH van H en eindig veel rechternevenklassen van σH in π. De doorsnedeT

σ∈πσHσ⁻¹ ⊂ π is dus een eindige doorsnede van open verzamelingen en dus open. Neem O = Q

x∈KsOx
∩ π ⊂ N een open omgeving van IdKs ∈ π met Ox 6=

Ks alleen voor x in een zekere eindige verzameling {x₁, . . . , xn} ⊂ K_s. Neem L ⊂ Ks het deellichaam voortgebracht door de elementen σx voor σ ∈ π en x ∈ {x₁, . . . , x_n}. Dan is L eindig dimensionaal over K en σL = L voor alle σ ∈ π. Als σ ∈ AutL(Ks) dan σ ∈ O en dus σ ∈ H.

Lemma 2.15 Voor elke H ⊂ π open is er een element x ∈ K_s z´o dat π_x = H.

Bewijs We bewijzen de bewering eerst voor |K| = ∞. Neem L zoals in bovenstaand lemma, en G = π/AutL(Ks). De groep G is een eindige groep die werkt op L, en de kern T

x∈LGx

van de werking is triviaal. Voor elke ondergroep S 6= 1 van G geldt dus L^S 6= L, en:

[

16=S⊂G,ondergroep

L^S 6= L,

want L is niet een eindige vereniging van strikte deelruimten van L (L is oneindig). Zij x ∈ L een element buiten deze deelruimten. Dan is x een element met G_x = 1, en de werking van G op G · x is trouw en transitief. Schrijf H · x = {x₁, . . . , xd} ⊂ L, met de xi verschillend, en a0, . . . , ad−1 voor de co¨efficienten van het polynoom f = (T − x1)(T − x2) · · · (T − xd) =

14 Galoistheorie voor eindig-dimensionale algebra’s: Hoofdstelling

X^d − a_d−1X^d−1 + · · · (−1)^da0 ∈ L[T ]. De groep G werkt op de polynoomring L[T ] door te defini¨eren: g · T = T voor alle g ∈ G, en door de werking van G op L additief en multiplicatief voort te zetten. Omdat de werking van G trouw en transitief is, is H precies de stabilisator van het polynoom f , ofwel, H is de stabilisator van het element a := (a0, . . . , ad−1) ∈ L^d.

Als er een element k = (k₀, . . . , k_d−1) ∈ K^d is z´o dat het π-morfisme p_k: L^d → L met (y₀, . . . , y_d−1) 7→ k₀y₀ + · · · + k_d−1y_d−1 injectief is op G · a, dan is het beeldpunt van a in L ⊂ Ks een element met stabilisator H, en zijn we klaar.

De verzameling G · a = {g₁, . . . , g_n} ⊂ L^d is eindig. Als p_k niet injectief is op G · a, dan is k een element van ´e´en van de d − 1-dimensionale deelruimten {k ∈ K^d : pk(gi) = pk(gj)} ⊂ K^d voor i, j ∈ {1, . . . , n} met i 6= j. De oneindige vectorruimte K^d is niet een eindige vereniging van d − 1-dimensionale deelruimten, en dus bestaat er een k ∈ K^d z´o dat pk injectief is op G · a.

Voor |K| < ∞ bewijzen we de stelling met behulp van de stelling van het primitieve element, welke voor eindige lichamen eenvoudig te bewijzen is. Dus stel K → L is een eindige uitbreiding van eindige lichamen. Beschouw het polynoom f = X^#L∗− 1 ∈ L[X]. De orde van elk element van L^∗ is een deler van #L^∗, en dus is elk element van L nulpunt van f · X ∈ L[X].

Voor d|#L^∗ deelt het polynoom X^d − 1 ∈ L[X] het polynoom f , en dus heeft X^d− 1 ∈ L[X]

precies d nulpunten. De ondergroepen in L^∗ van vaste orde d|#L^∗ bestaan en zijn uniek, en L^∗ is cyclisch. Een element x ∈ L^∗ met hxi = L^∗ is zeker een voortbrenger van L over K als lichaam.

Zij H ⊂ π open. Het lichaam L = K_s^H is eindig-dimensionaal over K, en er is een x ∈ L met K(x) = L. Schrijf H · x = {x1, . . . , xd} met de x_i verschillend. Nu is H de stabilisator van het polynoom f = Qd

i=1(T − xi) ∈ L[T ], en dus H = Td

i=1πai waarbij a₀, . . . , ad de co¨efficienten van f zijn. Definieer M = K(a₀, . . . , ad). We zien H = AutM(Ks), neem nu a ∈ M z´o dat K(a) = M , en dan volgt H = πa.

Propositie 2.16 De afbeelding ηE: E → A(V (E)) is voor alle eindige π-verzamelingen E een π-isomorfisme.

Bewijs De verzameling E is een vereniging van π-banen: E =`

i∈IEi. Er geldt V (A(E)) =

`

i∈IV (A(Ei)), en ηE =`

i∈IηEi. We kunnen zonder verlies der algemeenheid aannemen dat de werking π × E → E transitief is. Zij e₀ ∈ E een basispunt en H = πe0 de stabilisator van e0, en x ∈ Ks z´o dat H = πx (lemma 2.15). Voor het deellichaam B = K(x) ⊂ Ks geldt E ∼= V (B), en dus is V (θB): V (A(V (B))) → V (B) een isomorfisme wegens propositie 2.13. Zij h ∈ V (B), dan geeft berekening:

V (θB) ◦ ηV(B)(h) = V (θB)(ϕ 7→ ϕ(h)) = (b 7→ (f 7→ f (b))(h)) = (b 7→ h(b)) = h, dus V (θB) ◦ η_V(B) = Id_V(B) en η_V(B) is een isomorfisme.

Opmerkingen 2.18 De functoren uit de anti-equivalentie van 2.10 sturen linker limieten naar rechter limieten, en omgekeerd. Zo corresponderen tensorproducten van algebra’s in de

Galoistheorie voor eindig-dimensionale algebra’s: Hoofdstelling 15 categorie A via de functor V met eindige producten van π-verzamelingen in de categorie V, en eindige productalgebra’s in A met eindige disjuncte verenigingen in V. Injecties en surjecties zijn ook duaal: als f : B → B⁰ een injectie respectievelijk een surjectie is in A, dan is V (f ) een surjectie respectievelijk injectie in V, en dit geldt net zo voor morfismen in de categorie V. In het volgende hoofdstuk passen we deze observaties toe op inductieve systemen van algebra’s, en projectieve systemen van π-ruimten.

!#" $   !!#" $ '&(



e eindige Galoistheorie kan worden veralgemeniseerd naar de zogenaamde oneindige Ga- loistheorie, hierin staat men oneindige Galoisuitbreidingen K ⊂ L toe: algebra¨ısche lichaams- uitbreidingen die normaal en separabel zijn, maar niet noodzakelijk eindig-dimensionaal. Om deze stelling af te leiden, kan men proberen de bewering te reduceren naar eindige Galoisthe- orie; elk tussenlichaam K ⊂ M ⊂ L is namelijk de vereniging (i.e. de inductieve limiet met inclusiemorfismen) van eindig-dimensionale tussenlichamen K ⊂ M⁰ ⊂ M en de correspon- derende Galoisgroep Aut_K(M ) is de projectieve limiet van de Galoisgroepen Aut_K(M⁰). Voor een uiteenzetting van de oneindige Galoistheorie zie [Alg III, §28], [GTS], of [Topics].

In dit hoofdstuk passen we dezelfde strategie toe op de hoofdstelling (2.10). We nemen weer K een lichaam, K een vaste algebra¨ısche afsluiting van K, Ks ⊂ K de separabele afsluiting van K binnen K en π := AutK(Ks) de absolute Galoisgroep van K. We bekijken de algebra¨ısche K-algebra’s. In analogie met de oneindige Galoistheorie defini¨eren we deze algebra’s precies z´o dat ze ´o´ok verenigingen zijn van hun eindig-dimensionale delen: de eindig-dimensionale K-deelalgebra’s.

Definitie 3.1 Een K-algebra B is algebra¨ısch als voor elke b ∈ B de afbeelding K[X] → B met X 7→ b niet injectief is. De monische voortbrenger van de kern van de afbeelding K[X] → B noemen we het minimumpolynoom van b ∈ B over K. De algebra B is separabel als B := K⊗KB gereduceerd is.

Propositie 3.2 Een algebra¨ısche K-algebra B is separabel dan en slechts dan alle eindige K-deelalgebra’s B⁰ ⊂ B separabel zijn.

Bewijs (⇒) Stel B⁰ ⊂ B is een eindige K-deelalgebra. Wegens propositie A.10 is de afbeeld- ing B⁰ → B met λ ⊗ b 7→ λ ⊗ b injectief, en dus is B⁰ gereduceerd.

(⇐) Stel x = Pn

i=1λi ⊗ x_i ∈ B met λ₁, . . . , λn ∈ K en b₁, . . . , bn ∈ B is nilpotent. De K-algebra B⁰ ⊂ B voortgebracht door de elementen x₁, . . . , x_n is eindig-dimensionaal en dus Pn

i=1λi⊗ xi = 0 ∈ B⁰. Omdat de afbeelding B⁰ → B met λ ⊗ b 7→ λ ⊗ b injectief is, volgt x = 0 en B is gereduceerd.

Gevolg 3.3 Een algebra¨ısche K-algebra B is separabel dan en slechts dan voor alle b ∈ B het minimumpolynoom f_b ∈ K[X] een separabel polynoom is.

Bewijs Pas proposities 1.9 en 3.2 toe.

Algebra¨ısche algebra’s: G-Ruimten 17 Stelling 3.4 Een K-algebra B is isomorf met een inductieve limiet van eindig-dimensionale K-algebra’s dan en slechts dan als B algebra¨ısch is.

Bewijs (⇒) Stel B is de inductieve limiet van een inductief systeem F : I → (e.d. K- algebra’s). Zij b ∈ B, dan is er een zekere i ∈ I en een zekere b⁰ ∈ F (i) z´o dat b⁰ afbeeldt op b onder de natuurlijke afbeelding Bi → B. Het diagram

K[X] ^X7→b //

X7→b⁰

F##F FF FF

FF B

F (i)

>>

||

||

||

||

commuteert, en dus is de afbeelding K[X] → B niet injectief.

(⇐) We laten zien dat het systeem F : I → (K-algebra’s) van eindig-dimensionale K-deel- algebra’s in B een gericht systeem is. Zodra we dat bewezen hebben, bestaat de inductieve limiet van F en dan volgt de bewering direct uit de opmerking dat elke x ∈ B bevat is in de kleinste K-deelalgebra B_x die x bevat; deze algebra is eindig-dimensionaal want K[X] → B_x met X 7→ x is surjectief, maar niet injectief. Laat B₁, B₂ ⊂ B twee eindig-dimensionale K- algebra’s zijn, en B₃ ⊂ B de kleinste K-deelalgebra die B₁ en B₂ omvat. Het tensorproduct B₁ ⊗_K B₂ beeldt af naar B₃, en het beeld omvat de deelalgebra’s B₁ en B₂. De afbeelding is dus surjectief. Omdat B₁ en B₂ eindig-dimensionaal zijn, is B₁⊗K B₂ eindig-dimensionaal (propositie A.9), en de algebra B₃ is ook eindig-dimensionaal.

• G

-Ruimten

We herhalen de definitie uit Hoofdstuk 2. Zij G een topologische groep. Een topologische ruimte E en een continue werking G × E → E noemen we een G-ruimte. Een morfisme van G-ruimten f : E → E⁰ is een continue afbeelding die compatibel is met de twee werkingen G × E → E en G × E⁰ → E⁰, ofwel: ∀σ ∈ G ∀e ∈ E : f (g · e) = g · f (e).

In hoofdstuk 2 hebben we gekeken naar discrete G-ruimten, en daarom spraken we over G-verzamelingen. We bekijken nu het geval dat E compact en totaal onsamenhangend is.

We bewijzen dat een dergelijke ruimte isomorf is met een projectieve limiet van eindige G- verzamelingen. Voor we dit kunnen bewijzen hebben we eerst een aantal algemene feiten van topologische ruimten met continue groepsacties nodig.

Propositie 3.5 Projectieve limieten bestaan in de categorie van G-ruimten.

Bewijs Het bewijs van dit lemma is een recht-toe-recht-aan verificatie, en gebruikt dezelfde constructie voor projectieve limieten van topologische ruimten, verzamelingen, groepen en ringen. We geven een bewijsschets. Zij F : I → (G-ruimten) een projectief systeem. Definieer

18 Algebra¨ısche algebra’s: G-Ruimten de verzameling

P = (

f : I →a

i∈I

F (i)|∀g ∈ Hom(i, j) : F (g)(f (j)) = f (i) )

⊂Y

i∈I

Ei,

met de werking η: G × P → P gegeven door (σ, f ) 7→ (i 7→ σf (i)), en de natuurlijke surjecties P → Ei. DoorQ

i∈IEite voorzien van de producttopologie, en P van de ge¨ınduceerde topologie is P een G-ruimte, en de projectieve limiet van F .

Zij E een G-ruimte, dan werkt de groep G als een automorfismengroep op E: de groepswerking induceert een groepsmorfisme G → Aut(E) = ({f : E → E|f homeomorfisme}, ◦). Een open verzameling O ⊂ E gaat door linksvermenigvuldiging met g naar g · O = {g · e|e ∈ O}, en deze verzameling is weer open. De topologische groep G werkt dus als groep, behalve op E, ook op de topologie T (E) = {U ⊂ E|U is open} van E.

Propositie 3.6 Zij G een topologische groep en E een topologische ruimte met een continue werking η: G × E → E en stel de projectie pG: G × E → E is een gesloten afbeelding. Zij O ∈ T (E) een open en gesloten verzameling, dan is de stabilisator G_O ⊂ G onder de werking van G op T (E) open.

Bewijs Definieer A = {g ∈ G|g · O ⊂ O}, en B = {g ∈ G|g · O ⊃ O}. Dan geldt GO = A ∩ B, en het volstaat te bewijzen dat A en B open zijn in G. Er geldt:

A^c = {g ∈ G|∃e ∈ O : g · e ∈ O^c} = p_G(η⁻¹(O^c) ∩ p⁻¹_E (O)),

en A ⊂ G is open. Er geldt B = i(A), met i: G → G het inversiehomeomorfisme: g 7→ g⁻¹. De ondergroep B is ook open, en GO ⊂ G is open.

Zij G een compacte topologische groep, en zij E een compacte totaal onsamenhangende G- ruimte. Definieer I als de verzameling van partities van E in eindig veel open stukken die door G worden gepermuteerd, formeel:

I^def= (

x ⊂ T (E)| a

U∈x

U = E, ∀g ∈ G∀U ∈ x : g · U ∈ x )

.

De verzameling I is geordend door de relatie:

x ≤ y ⇐⇒ (∀U ∈ y∃V ∈ x : U ⊂ V ),

en deze ordening is gericht, want V^∗ ≥ x, y als we V = x ∪ y nemen in het volgende lemma:

Lemma 3.7 Stel V = {Oi}_i∈I is een eindige collectie open verzamelingen die E overdekken, met voor alle i ∈ I, g ∈ G : g · Oi = Oj voor zekere j ∈ I. Voor e ∈ E, definieer ve =T

Oi3eOi,

Algebra¨ısche algebra’s: Hoofdstelling 19 dan is V^∗ = {ve}_e∈E een eindige disjuncte collectie open verzamelingen die E overdekken, met ook voor alle e ∈ E de eigenschap g · v_e∈ V^∗.

Bewijs De overdekking is wegens de constructie disjunct en eindig. Stel g · Oi = Oig voor i ∈ I, dan volgt g ·T

i∈F Oi =T

i∈F Oig, en g · ve = v_g·e.

Als x ≤ y voor twee elementen x, y ∈ I, dan hebben we een natuurlijke surjectie µyx: y → x van G-ruimten: e mod y 7→ e mod x. De toekenning F (x) = x bij objecten x ∈ I, en bij ongelijkheden x ≤ y de morfismen µyx geeft een projectief systeem F : I → (G-ruimten).

Stelling 3.8 Zij G een compacte topologische groep, en zij E een compacte totaal onsamen- hangende G-ruimte, dan is E isomorf met de projectieve limiet P van het systeem F .

Bewijs De natuurlijke afbeeldingen E → x induceren een G-morfisme ϕ: E → P . We be- wijzen dat de afbeelding een isomorfisme van G-ruimten is. Om de notatie te vereenvoudigen beschouwen we P als deelverzameling van het product Q

x∈Ix. Als we dit gedaan hebben, wordt de afbeelding ϕ gegeven door: e 7→ (x 7→ px(e)), waarbij pxe = U ⇔ e ∈ U ∈ x.

De verzameling ϕ[E] ⊂ P is compact, dus gesloten in P . Zij O ⊂ P open, en niet leeg.

Volgt O ⊃ P ∩Q

x∈IOx met Ox = x, tenzij x element is van een zekere eindige verzameling {x₁, . . . , xn} ⊂ I. Laat y ∈ I groter zijn dan alle x_i, P ∈ Oy een niet-lege verzameling uit Oy

zijn, en p ∈ P een punt. Dan volgt ϕ(p) ∈ O, en im(ϕ) ligt dicht in P . Omdat de verzameling im(ϕ) ook gesloten is, is ϕ surjectief. Als ϕ ook injectief is, dan is ϕ een π-isomorfisme wegens lemma 2.6.

Laat e, e⁰ ∈ E twee verschillende punten zijn. Zij T ⊂ E open en gesloten met e ∈ T en e⁰ ∈ T^c. Neem H = GT, dan is H ⊂ G open (lemma 3.6) want de projectieafbeelding pG: G × E → G is een afbeelding van een compacte ruimte naar een Hausdorff ruimte, en dus gesloten. De banen van T en T^c onder de werking van G op T (E) zijn eindig, want de ondergroep H ⊂ G heeft eindige index (lemma 2.3). Laat A ⊂ T (E) en B ⊂ T (E) de H-baan van T respectievelijk de H-baan van T^c zijn. Dan is A ∪ B een eindige overdekking van E, en wegens lemma 3.7 is de verzameling x = {ve =T

O∈A∪B,O3eO|e ∈ E} een element van I. Er geldt px(e) 6= px(e⁰) omdat e ∈ T terwijl e⁰ ∈ T^c, en dus is ϕ injectief.

•

Hoofdstelling

Laat A^∗ de categorie van separabele algebra¨ısche K-algebra’s zijn, en V^∗ de categorie van compacte en totaal onsamenhangende π-ruimten. In deze sectie geven we een anti-equivalentie tussen deze categorie¨en aan. We beginnen met de fundamentele functoren V : A^∗ → V^∗, en A: V^∗ → A^∗.

De functor V . Definieer V : A^∗ → V^∗ door V (B) = HomK(B, Ks) voor B ∈ A^∗, met de

20 Algebra¨ısche algebra’s: Hoofdstelling dezelfde werking als in stelling 2.10:

π × V (B) −→ V (B) (σ, f ) 7−→ σ ◦ f.

De verzameling V (B) is een topologische ruimte door de inclusie V (B) ⊂ K_s^B, waarbij K_s^B de gebruikelijke topologie heeft: Ks discreet, en K_s^B de producttopologie. De ruimte V (B) is dus totaal onsamenhangend; dat de ruimte compact is, is misschien nog niet duidelijk. Laat hiertoe fb ∈ K[X] voor elke b ∈ B het minimumpolynoom van b zijn, en laat αb ⊂ Ks de nulpuntsverzameling van fb zijn. Neem α = Q

b∈Bαb. Dan zien we V (B) ⊂ α ⊂ K_s^B. De nulpuntsverzamelingen α_b zijn eindig, en dus is α compact (stelling van Tychonoff). Is V (B) gesloten in α, dan is V (B) ook compact. Als f ∈ K_s^B\V (B) geen K-algebramorfisme is, dan zijn er een aantal mogelijkheden, bijvoorbeeld kan f (b + b⁰) 6= f (b) + f (b⁰) gelden voor zekere b, b⁰∈ B. In dat geval is verzameling van alle functies g ∈ K_s^B met g(b + b⁰) 6= g(b) + g(b⁰) een open omgeving van f van functies die geen K-algebramorfismen zijn. Analoog kan men open omgevingen van f maken indien f (b · b⁰) 6= f (b) · f (b⁰), f (1) 6= 1, of f (k · b) 6= k · f (b). We concluderen dat V (B)^c ⊂ K_s^B open is, en V (B) is inderdaad compact.

We gaan na dat de werking η: π ×V (B) → V (B) continu is. Een basis voor de topologie op V (B) wordt gegeven door verzamelingen van de vorm Uf,F = {g ∈ V (B)|g|F = f |F}, waarbij f ∈ V (B) en F ⊂ B een zekere eindig-dimensionale K-deelalgebra is. Als (σ, g) ∈ η⁻¹(Uf,F), dan ook (σπ_g|F) × U_σ⁻¹_f,F ⊂ η⁻¹(U_f,F) want voor (τ, h) ∈ (σπ_g|F) × U_σ⁻¹_f,F geldt

τ ◦ h|F = τ ◦ σ⁻¹f |F = τ ◦ g|F = σ ◦ g|F = f |F.

Er geldt g|F ∈ V (F ) en F is een eindig dimensionale K-algebra. Wegens propositie 2.7 is de stabilisator π_g|F ⊂ π open. De verzamelingen (σπ_g|F) × Uσ⁻¹f,F ⊂ π × V (B) zijn open, en dus is het volledig origineel η⁻¹(U_f,E) open.

Als f : B → B⁰een morfisme is, dan defini¨eren we net als in 2.10 het ge¨ınduceerde morfisme V (f ): V (B⁰) → V (B) door g 7→ g ◦ f . Men gaat eenvoudig na dat deze afbeelding continu en π-equivariant is.

De functor A. De functor A: V^∗ → A^∗ defini¨eren we door A(E) = Homπ(E, Ks); de verzamel- ing morfismen E → Ks als π-ruimten, voorzien van de co¨ordinaatsgewijze K-algebrastructuur, gedefinieerd net als in stelling 2.10:

(f + g)(e)^def= f (e) + g(e);

(f g)(e)^def= f (e)g(e);

(k · g)(e)^def= k · g(e);

1(e)^def= 1,