• No results found

Mathematisch Instituut Universiteit Leiden

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Mathematisch Instituut Universiteit Leiden"

Copied!
1
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Mathematisch Instituut Universiteit Leiden

Tentamen Algebra 2, donderdag 15 maart 2018, 14.00–17.00 uur Motiveer steeds je antwoord, en vermeld welke stellingen je gebruikt.

1. Zij Z[i] de ring van gehele getallen van Gauss.

a. Bepaal de ggd van 85 en 5 − 3i in Z[i].

b. Hoeveel verschillende ringhomomorfismen Z[i] → Z/85Z bestaan er?

2. Beschouw de afbeelding h: Z[X] → (Z/4Z) × (Z/4Z) gedefinieerd door h(f ) = (f (0)mod4, f (2)mod4).

a. Laat zien dat h een ringhomomorfisme is.

b. Is h surjectief?

c. Geef voortbrengers voor de kern I van h.

d. Is I een priemideaal?

3. Bepaal voor elk van de volgende drie idealen in welk van de ringen Z[X], Q[X] en F

19

[X] het priem is:

(X

2018

+ 3X + 15), (X

2018

+ 3X + 15, X − 1), (X

2018

+ 3X + 15, 19).

(Motiveer je 3 × 3 = 9 antwoorden!) 4. Definieer de ondergroepen A, B ⊂ Z

3

door

A = {(a, b, c) ∈ Z

3

: a + b − 5c = 0};

B = {(a, b, c) ∈ Z

3

: a + 2b − 5c ≡ 0 mod 10}.

Geef een minimaal stel voortbrengers voor A, voor B, en voor A + B = {x + y: x ∈ A, y ∈ B}.

5. Zij M = (a

ij

)

2018i,j=1

de complexe matrix met co¨effici¨enten

a

ij

=  0 voor i + j oneven;

1 voor i + j even.

Bepaal het karakteristieke polynoom, het minimumpolynoom en de Jordan-normaal-

vorm van M .

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

Ga van de volgende afbeeldingen van V naar zichzelf na of ze

Cokes wordt in de hoogoven met stoom (H 2 O) omgezet in reducerend synthese gas. Ook treedt de zgn. Cokes wordt op zijn beurt geproduceerd uit speciale steenkool, die in

Naast koelwater is zoetwater nodig voor drinkwaterbereiding, irrigatie voor de land- en tuinbouw, en als industriewater (denk bijvoorbeeld aan de produktie van bier,

In a quadratic order every ideal can be generated by 2 elements and in a quartic order by 4 elements, so we are led to wonder if the behaviour of the norm is related to the number

To prove this result we consider two elliptic fibration of W defined over the ra- tionals and we show that any smooth fiber with at least one rational point, viewed as an

Klanten komen aan bij een tabakswinkel volgens een Poisson proces met een intensiteit van per uur. Naar verwachting koopt een kwart van de klanten een lot; de bedieningstijd die

Let op: het cijfer voor dit tentamen is min{10, 1 + (aantal punten)/10}, waarbij het aantal punten gebaseerd is op de vijf opgaven waarvoor je de meeste punten hebt.. (15

- Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische rekenmachine of smartphone!. - Laat bij elke opgave zien hoe je aan je