massaverdeling  gravitatieveld

massaverdeling  gravitatieveld

Continu:

 



 N

i i

i i

P

r

r G m

g

1 2

ˆ

m_i



r_i

[m]=kg P Diskreet:

r r dv g G

volume

P

ˆ

2

 



 

r

 dv

[]=kg/m³ P

 





 N

i i

i i

P

r

r G mm

g m F

1 2

ˆ

 

m_i

r_i

[m]=kg P Gravitatiewet:

m

Coördinaatsystemen

e_ z

r

r

e_ Z

e_



Z

Y X

e_z

e_y e_x

e_z e_r

Z

e_



 e_r

(x,y,z) (r,,z) (r,,)

e_z

e_r e_ e_z

e_y e_x

e_r

e_r

Volume integraal:

bol coördinaten

r

Z

d





d

dv=(rd) (rsind) (dr)

=r²sin  dddr

rsin

dr

4

Voorbeeld: bol inhoud

Integratie domein:

r: [0,R]

: [0,]

: [0,2] r=R

r=0





y z

x

Om de bol inhoud te bepalen integreer je de functie “1” over het bol volume:

Integraal:

   

r R

r dr dr

r d

dr d r d

dV

R

R R

R bol

3 0

3

0 0

2 0 0

2 0 2

0 0 2

0 2

3

| 4 3

4

cos 2

sin sin 1

|

|





















  

 





 



  

  









 

Wet van Gauss

De gravitatieflux De wet van Gauss

Voorbeeld

Flux F _g

O

Og g

e do

g o F d

O oppervlak

n O oppervlak g

  



  



 ˆ ˆ

e do o

d ˆ  ˆ

) 0 , ˆ

( g d o 

 

g

  



O oppervlak

g do g

F

 ( g  , d o ˆ )



90

O g



ˆ Og

e g F do

O oppervlak

g ⁿ



 



 

 ( g  , d o ˆ )

O

 g O

] / [l s do

O oppervlak

water :

Flux"

"



Verband tussen:

– open/dicht van de kraan – “flux” door oppervlak O

Waterkraan:

Gevolg wet van gravitatiewet

GM GM

d d GM

r d

d R R

GM

o d g R do

o GM d

F g

bol bol

g



















 

 

4 4

sin

) (

sin

) //

(

0 2

0 0

2

0

2 2

2







  





  



 

  

    

Flux F_g door boloppervlak wordt:

De essentie:

- g  1/r²

- boloppervlak  r²

F_g =-4GM geldt voor ieder omsluitend oppervlak;

niet alleen voor bol met M in middelpunt!

M

do

g Massa M in middelpunt bol

R

Wet van Gauss:

F_g  4









 0 F

 

  



V in

ˆ 4 G M

o d

F g

O oppervlak

g

^ 

M Massa M omsloten door

een boloppervlak

M Massa M omsloten door

willekeurig oppervlak

Massa m buiten een m willekeurig oppervlak

V.b. Gauss: bolvolume





























r R r g G

R r

r g G

R r g

2 3

3 4 ˆ :

3 : 4











 



































 





r G R g

R G

g r R

r

r g G

G r r g

R r M

F G

r g F

omsloten g

g

2 3 3

2

3 2

2

3 4 3

4 4 4

:

3 4 3

4 4 4

: 4

4



 









 









 : Gauss van

Wet : Flux



Bol

Bolvolume:

– massaverdeling:  kg/m³

R

– “Gauss box”: bolletje

r

r

|g|

R

g

– symmetrie: g  bol, g(r)

g

Stelling van Gauss (wiskunde)

De divergentie

De stelling van Gauss

Voorbeeld

Divergentie:

 

) , , ( 4

4 G ρdv G dxdydz x y z z g y

g x

dxdydz g

(x,y,z) g

dx,y,z) (x

g dydz

(x,y,z) dy,z) g

g (x,y dzdx

(x,y,z) g

dz) (x,y,z

g dxdy o

d g

volumetje

y z x

x x

y y

z z

e oppervlakj





  























 

























  



 







 







z g y

g x

g g^{x y z}







 



 



 

Compactere notatie via

“divergentie”:

z g y

g x

g g^{x y z}















 

Dus: g do 4 G (r)dv g(r) 4 G (r)

volumetje e

oppervlakj





 





        

 

 

  

volume oppervlak

dv G

o d

g  4

 

dx dy

g(x+dx,y,z)

dz

g(x,y,z)

Beschouw lokaal de uitdrukking (Gauss):

De link: wiskunde & natuurkunde

M.b.v. Stelling van Gauss kan je “integrale” verband tussen g- veld en massaverdeling omzetten in “differentiaal verband:



  



volume O

oppervlak

g

g d o G dv

F  ˆ 4  

: Gauss van

Wet

M.b.v. gravitatiewet gevonden:

M







 G dv g G

o d g dv

g

volume oppervlak

volume

4

4      







     

   

Wiskunde:

Gauss Natuurkunde:

gravitatie/Gauss

M

gravitatiepotentiaal







 G dv g G

o d g dv

g

volume oppervlak

volume

4

4      







     

   

) ˆ (

1 2 r m r

r G mm g

m

F ^N

i

i i

i P



 







 









m_i

r_i

[m]=kg P Gravitatiewet:

m

) ( )

( r r

g   







) ˆ (

2r r

r dv g G

volume P

  



 dv

[]=kg/m³ P

) ( 4

) ( )

( )

( r r

r G r

g     





























14

Volume integraal:

cilindercoördinaten

r

Z

d



dz dv=(dz) (rd) dr

=r dzdrd 

z dr

15

Voorbeeld: cilinder inhoud

y z

x

Om de cilinder inhoud te bepalen integreer je de functie “1” over het cilinder volume:

R h dz

R d

dz r d

dz d

rdr dV

h h h h

R h

h

R cilinder

2 2 /

2 /

2 0

2 2 1 2

/ 2 /

2

0 0

2 2 1 2 /

2 /

2 0 0

|

1





















 

 

 

 

 

 

  

Integraal:

Integratie domein:

z: [h/2,+h/2]

r: [0,R]

: [0,2] z=+h/2

z=h/2

r=0 r=R

z

 r

16

V.b.: hoeveel m

H

O ongeveer op aarde?

Straal aarde:  6.40010⁶ m Gemiddelde H₂O laag:  10³ m

 integratie domein:

r: [Ri6.39910⁶ m, Ro6.40010⁶ m]

: [0,]

: [0,2]

Natuurlijk zelfde als volume van een 10³ m dikke bolschil bij r= 6.40010⁶ m:

H₂O  4(6.40010⁶)² 10³  5.1510¹⁷ m³

   

_{Ro Ri}  _m

r

r dr dr

r d

dr d r d

dV

Ro Ri

Ro Ri Ro

Ri

Ro bolschil Ri

3 3 17

3 3

0 2

0

2 0 2

0 2

0 2

15 10 . 3 5

| 4 3

4

cos 2

sin

sin 1

|

|















 





 



  

  





















  

 