HC2MFEMeten van verschillen Statistiek

(1)

Statistiek

HC2MFE

Meten van verschillen

(2)

Verschillen meten

 De ene groep heeft dieet A gevolgd, de andere groep heeft dieet B gevolgd. Is er verschil in het gewicht?

Berust dit verschil op toeval?

 Is er een verschil ? Toeval?

ziek niet ziek

Chinees (VD1) 10 6

Piet Patat (VD2) 20 17

(3)

Populatie en steekproef

X

μ

x

(4)

Doel van de toets

 Het doel van een toets is: uitvinden of je experiment nauwkeurig genoeg was, om tot de conclusie te komen dat een gevonden verschil ook echt bestaat, en dus niet toevallig is.

 H0: er is geen verschil

 H₁: er is wel een verschil

Een toets leidt tot 2 mogelijke conclusies:

1. Er is voldoende reden om aan te nemen dat er echt een verschil is

2. Er is niet voldoende reden om aan te nemen dat er echt een verschil is

(5)

Wanneer welke toets

 De toetskeuze hangt af van de testvariabele

 Nominaal: Chi-kwadraat

 Ordinaal: Mann-Whitney (rangorde), tekentoets (+ of - )

 Interval / ratio: t-toets

 Als een interval/ratio-variabele te weinig waarnemingen bevat, en ook nog eens niet normaal verdeeld is, mag je geen t-toets gebruiken.

 In dat geval geef je iedere waarneming een rangnummer (bij twee groepen) of een + cq. – (bij 1 groep) en gebruik je een toets voor ordinale variabelen.

(6)

De juistheid van de toets

 Een toets geeft geen zekerheid …

 Het significantieniveau ^α geeft aan hoe groot de kans is dat je een fout mag maken. α is vaak 1% of 5%.

 Meer precies vertelt de α je, hoe groot de toegestane kans is dat je tot de conclusie komt dat een gevonden verschil echt bestaat, terwijl er eigenlijk helemaal geen verschil is …

(7)

Stappenplan toets

 Bepaal de meetniveaus van de variabelen

 Kies een toets

 Bepaal α en bepaal of de toets 1- of 2 zijdig is

 Bereken de toetsstatistiek

 Bepaal de kritieke waarde

 Trek een conclusie

(8)

Voorbeeld

 Een onderzoek: 75 mensen (een steekproef) krijgen drie verschillende drankjes: AA-drink, cola en strorum. Daarna lopen ze 10 km hard. Er wordt gevraagd hoe het ging. Is er

echt een verschil tussen de mensen die verschillende drankjes dronken? mening * drankje Crosstabulation

18 7 5 30

72,0% 28,0% 20,0% 40,0%

7 18 20 45

28,0% 72,0% 80,0% 60,0%

25 25 25 75

100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

Count

% within drankje Count

% within drankje leuk

echt niet tof mening

Total

AA-drink cola strorum drankje

Total

(9)

Toetsen met de chi-kwadraat-toets

 Dranksoort is een nominale (splitsings)variabele

 Mening is een nominale (test)variabele

 Handig: de splitsingsvariabele in de kolommen

 Van de mensen die het leuk vonden heeft 72% AA-drink gehad, 28% cola en 20% strorum. Is er tussen de

groepen drinkers echt een verschil ?

(10)

 Essentie van de chi-kwadraat-toets: frequenties die je hebt

gevonden vergelijken met frequenties die je zou verwachten op basis van toeval. Als het verschil groot genoeg is, kun je de H0

verwerpen

Gevonden celfrequentie: fcel Verwachte celfrequentie: ecel

aa-

drink cola stro-

rum tot.

leuk 18 7 5 30

niet

leuk 7 18 20 45

25 25 25 75

aa-

drink cola stro-

rum tot.

leuk niet leuk

(11)

 De ecel bereken je door het kolomtotaal met het rijtotaal te vermenigvuldigen, en dit te delen door het algemene totaal.

aa-drink cola strorum tot.

leuk (25*30)75 10 10 30

niet leuk 15 15 15 45

tot. 25 25 25 75

(12)

16,3 e =

) e -

= (f chi

cel cel 2 cel cel

2 ∑

f_cel e_cel (f_cel-e_cel) (f_cel-e_cel)²

18 10 8 64 6.4

7 15 -8 64 4.2666

7 10 -3 9 0.9

18 15 3 9 0.6

5 10 -5 25 2.5

20 15 5 25 1,6667

16,3

cel cel 2 cel

e ) e - (f

(13)

 De chi-kwadraat is dus 16,3

 Vrijheidsgraden (degrees of freedom, df) = (r-1)(k-1) = 1*2=2

 Significantieniveau α stellen op 5%

 Zie bijlage 2

 5,99

(14)

 16,3 is dus veel groter dan 5,99 (de kritieke waarde). H0 wordt verworpen. Er is voldoende reden om aan te nemen dat er

echt een verschil is in de meningen van degenen die AA-drink, cola en strorum hebben gehad.

(15)

Toetsen met de Mann-Whitney U-toets

 Nominale (splitsings)variabele

 Dit voorbeeld: groep (dichotoom: A of B)

 Cijfer is een minstens een ordinale (test)variabele.

 Dit voorbeeld: cijfer (ratio)

 Is er echt een verschil ?

(16)

groep A rang groep B rang

6 8 4 5

7 9 5 6,5

8 10 3 3,5

5 6,5 2 2

1 1 3 3,5

10 11

34,5 31,5

score 1 2 3 3 4 5 5 6 7 8 10

rang 1 2 3,5 3,5 5 6,5 6,5 8 9 10 11

groep A B B B B A B A A A B

1 1 2 1

1 - R

2

1) + (n

+ n n

n

= U

(17)

 R1=34,5 (hoogste som)

 n1=5

 n2=6

10.5

= 34,5 2 -

6

* + 5

30

= U

(18)

 Bewijs met SPSS

Test Statistics^b

10,500 31,500 -,825 ,409 ,429^a Mann-Whitney U

Wilcoxon W Z

Asymp. Sig. (2-tailed) Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)]

cijfer

Not corrected for ties.

a.

Grouping Variable: groep b.

Ranks

5 6,90 34,50

6 5,25 31,50

11 groep

A B Total cijfer

N Mean Rank Sum of Ranks

(19)

 De Mann-Whitney U is dus 10,5.

 Is dit significant ?

 Zie bijlage 3

 Waarschijnlijkheidswaarde = 0,241.

 Dit is groter dan 0.05 (de gekozen α), dus geen significant

verschil. H0 wordt niet verworpen. Er is onvoldoende reden om aan te nemen dat er, wat betreft het cijfer, echt een verschil is tussen de groepen A en B.

(20)

Toetsen met de t-toets

 Drie vormen:

 gemiddelde van een steekproef vergelijken met een vaste waarde (One-Sample T-test)

 gemiddelden van twee onafhankelijke steekproeven met elkaar vergelijken (Independent-Samples T-test)

 gemiddelden van twee afhankelijke steekproeven met elkaar vergelijken (Paired Samples T-test)

(21)

Toetsen met de t-toets

 Een nominale (splitsings)variabele

 In dit voorbeeld: leeftijd (jonger dan 25 of ouder dan 25)

 Dit zijn de twee groepen

 Een (test)variabele op rationiveau

 In dit voorbeeld: BMI

 Heeft de oudere groep een hoger BMI dan de jongere groep? En zo ja, is dit verschil toevallig?

(22)

Toetsen met de Independent-Samples T- toets

 M1 = gemiddelde steekproef ‘jongeren’

 n1 = omvang steekproef ‘jongeren’

 s₂₁ = variantie steekproef ‘jongeren’

 M2 = gemiddelde steekproef ‘ouderen’

 n2 = omvang steekproef ‘jongeren’

 s₂₂ = variantie steekproef ‘jongeren’

( )

) s n + s

)(n n

+ (n

2) n

+ (n n

M n - M

=

t ₂

2 2 2

1 1 2

1

2 1

2 2 1

1

-

(23)

BMIjong (X-Xgem) (X-Xgem)2 BMIoud (X-Xgem) (X-Xgem)2

30,0 9,0 81,4 22,3 -2,0 3,8

23,0 2,0 4,1 22,0 -2,3 5,1

21,2 0,2 0,0 23,8 -0,4 0,2

21,0 0,0 0,0 22,0 -2,3 5,1

20,3 -0,7 0,5 26,0 1,8 3,1

19,0 -2,0 3,9 38,0 13,8 189,1

20,8 -0,2 0,0 22,0 -2,3 5,1

22,6 1,6 2,6 19,9 -4,4 18,9

21,0 0,0 0,0 27,0 2,8 7,6

22,5 1,5 2,3 25,0 0,8 0,6

18,0 -3,0 8,9 20,0 -4,3 18,1

22,1 1,1 1,3 23,0 -1,3 1,6

21,0 0,0 0,0

24,0 3,0 9,1

1510,4 291,2 291,0 258,0

M1= 21,0 M2= 24,3

var1=4,0 var2= 21,5

n1=72 n2= 12,0

(24)

( )

-4.05 46132.296 =

70848 3,272

-

= t

257,990) +

(291,204

* 84

82

* 3,272 864

-

= t

) s n + s

)(n n

+ (n

2) - n + (n n

M n - M

=

t ₂

2 2 2

1 1 2

1

2 1

2 2 1

1

(25)

 De t-waarde is dus -4,05.

 Betekent dit een significant verschil?

 Vrijheidsgraden df = n1 + n2 – 2 = 82

 Zie bijlage 4

(26)

 4,05 is dus groter dan 1,66 (de kritieke waarde). H0 wordt verworpen. Er is voldoende reden om aan te nemen dat de BMI van ‘jonge’ respondenten echt lager is dan van

‘oude’ respondenten.

(27)

Group Statistics

72 20,978 2,0252 ,2387

12 24,250 4,8429 1,3980

leeftijddich 24 jaar en jonger 25 jaar en ouder wat is je BMI?

N Mean Std. Deviation

Std. Error Mean

Independent Samples Test

8,934 ,004 -4,055 82 ,000 -3,2722 ,8069 -4,8775 -1,6670

-2,307 11,649 ,040 -3,2722 1,4183 -6,3727 -,1718

Equal variances assumed Equal variances not assumed

wat is je BMI? F Sig.

Levene's Test for Equality of Variances

t df Sig. (2-tailed)

Mean Difference

Std. Error

Difference Lower Upper 95% Confidence

Interval of the Difference t-test for Equality of Means

(28)

Toetsen met de one-sample T-toets

Let op: niet in het leerboek Methoden en Technieken

 n = aantal cases

 Xgem = steekproefgemiddelde

 a = waarde uit de nulhypothese

 s = standaarddeviatie steekproef

s a - n X

=

t

(29)

 Stel, je meet de BMI van een VD1-klas. Je wilt weten of de gevonden BMI-waarden significant verschillen met het gemiddelde BMI van 23 uit de populatie.

 H₀: µBMI_populatie = 23

 H₁: µBMI_populatie ≠ 23

(30)

 n = 30

 Xgem = 19,9

 a = 23

 s = 2

 df = n -1 = 29

 zie bijlage 4

BMI (X) (X-Xgem) (X-Xgem)^2

18.0 -1.9 3.5

17.0 -2.9 8.2

19.0 -0.9 0.8

20.0 0.1 0.0

25.0 5.1 26.4

22.0 2.1 4.6

21.0 1.1 1.3

22.0 2.1 4.6

19.0 -0.9 0.8

18.0 -1.9 3.5

19.0 -0.9 0.8

20.0 0.1 0.0

21.0 1.1 1.3

18.0 -1.9 3.5

20.0 0.1 0.0

22.0 2.1 4.6

25.0 5.1 26.4

19.0 -0.9 0.8

20.0 0.1 0.0

21.0 1.1 1.3

22.0 2.1 4.6

19.0 -0.9 0.8

20.0 0.1 0.0

19.0 -0.9 0.8

18.0 -1.9 3.5

17.0 -2.9 8.2

19.0 -0.9 0.8

115.5

s a - n X

= t

2 8.49 23 - 30 19,9

=

t  

(31)

 Bewijs met SPSS

(32)

 Tweezijdig toetsen

 De t-waarde is veel kleiner dan -2,045. H0 verwerpen. Er is onvoldoende reden om aan te nemen dat het

gemiddelde van de VD1-klas echt verschilt van dat van de populatie