E 3)en de tijd iséén-dimensionaal en eu lidis h (E 1).

(1)

1 Inleiding

Gravitatieisuniverseelenwerkt aantrekkendtussen obje tendiemassahebben. Hetbeinvloedt

alle li hamenop dezelfde wijze (dit werdontdekt door GalileoGalileï en wordt totuitdrukking

gebra ht inhet equivalentieprin ipe) en kan niet afges hermd worden, zoals dat wel mogelijkis

voor bijvoorbeeld elektris he velden met een kooi van Faraday. Gravitatie bes hrijft de banen

vanproje tielenop aarde, envanplaneten rond de zon. Gravitatiebeheerstde evolutievan het

universum envoorspeltexotis he obje tenals neutronensterrenen zwartegaten.

De natuurkunde bestudeert materiële systemen zoals planeten, sterren en quasars en de arena

waarin het fysis h gebeuren plaatsvindt is de ruimte en tijd. Ruimte en tijd zijnfundamentele

begrippen inde fysi a. Inde ges hiedenisvan de natuurkundezijn ruwweg vier on epties met

betrekkingtotruimteen tijdteonders heiden.

Ruimte en tijd volgens Aristoteles

Dit beeld komt overeen met het idee dat de `gemiddelde mens' heeft van ruimte en tijd. De

ruimteis drie-dimensionaal en eu lidis h (

E ³

⁾^en ^de ^tijd ^iséén-dimensionaal en eu lidis h (

E ¹

^).

Debewering dat een obje t inrustis heeftindit beeld vanruimteen tijd obje tieve betekenis.

Ruimtetijdishet artesis heprodu t

E ¹ ×E ³

^. ^Een^puntⁱⁿ^ruimtetijd^heeft oördinaten

(t, x, y, z)

en hetstelt duseen gebeurtenisop een s herpbepaalde tijd

t

^en^met ^de^pre
ies ^bepaalde ^plaats

(x, y, z)

^voor. ^Een ^dergelijke gebeurtenis noemen we een puntgebeurtenis. Ruimtetijd is dus de verzamelingvan alle mogelijke puntgebeurtenissen. Voor twee puntgebeurtenissen

(t 1 , ~r 1 )

^en

(t 2 , ~r 2 )

^kunnen ^we ^spreken ^v^an ^de ^afstand

|~r 1 − ~r 2 |

^en ^over ^het tijdvers hil

t 1 − t 2

^van ^beide

puntgebeurtenissen. Afstanden tijdvers hil hebben absolutebetekenis.

Ruimtetijd volgens Galileï

Ditishetbeeldvanruimteentijdzoalsditindeklassiekeme hani avanNewtonvoorkomt. Be-

langrijkhierinishetrelativiteitsprin ipevanGalileï 1

. Ditprin ipewordtalsvolgtgeformuleerd:

er bestaan inertiaalsystemen; inertiaalsystemen bewegen met onstantesnelheid

~v

^ten^opzi
hte

van elkaar en vers hillende inertiaalsystemen zijnequivalent met betrekking tot de wetten van

de klassieke me hani a. We herinnerennog evenaan de denitie van een inertiaalsysteem. Een

inertiaalsysteemiseenreferentiesysteemwaariniedervrijdeeltjeeenparigenre htlijnigbeweegt.

Hetbegriprustverliest hierzijnabsolutebetekenis. Immersalseendeeltje inrustisinéén iner-

tiaalsysteem, is hetniet inrust ten opzi htevan een inertiaalsysteem dat beweegt tenopzi hte

vanhet eersteinertiaalsysteem. Deafstandtussen twee puntgebeurtenissen heeftgeen absolute

betekenismeer. Immersalswetweepuntgebeurtenissen

p

^en

q

^bes
houwen^op^dezelfde^plaats^ten

opzi htevandeaardemeteentijdvers hilvan

1 s

^,^dan^is^de^afstand^tussen^beide

0 m

^. ^De^afstand

vanbeide puntgebeurtenissentenopzi htevan hetinertiaalsysteem datrust tenopzi htevande

zonis

30 km

^,ômdat^deâarde^metêen^snelheid^van

30 km/s

^om^de^zon ^beweegt. Tijdvers hillen hebben nogwel absolutebetekenis.

Ruimtetijd volgens Einstein - Minkowski

Dit is het ruimtetijd beeld van de spe iale relativiteitstheorie (Einstein 1905). Het is ontstaan

uitde onfrontatie vandeklassieke me hani avanNewtonende elektrodynami a van Maxwell.

Spe ialerelativiteitstheorie steunt op hetvolgende tweetal postulaten:

•

Relativiteitsprin ipevanEinstein: erbestaaninertiaalsystemenendezezijnequivalentmet betrekking totalle fysis hevers hijnselen.

1

GalileoGalileï heefteenbelangrijkeinvloedopdeontwikkelingvanwetens hapgehad: hijwasvanmening

datwetens hapgebaseerddiendetezijnopzorgvuldigexperimenteelonderzoek. Ookbes hreefhijwaarnemingen

wiskundig. Hijformuleerdehetequivalentieprin ipe,lietziendatdeversnellingvandezwaartekra htuniformis

(

g = 9.8

^m/s²^), ^toonde ^dathorizontale enverti alebewegingenafzonderlijk bes hrevenkunnenworden,engaf

(2)

•

Êr ^bestaat êen êindige ^maximale signaalsnelheid en deze is gelijk aan de voortplantings- snelheidvan li ht inva uüm.

Inhetbijzonderkanli ht li ht nietinhalen. Indespe ialerelativiteitstheorie ishetgeboden om

ruimte en tijd niet meer apart te bes houwen. In de woorden van H. Minkowski: "M.H.! Die

Ans hauungen über Raum und Zeit, die i h Ihnen entwi keln mö hte, sind auf experimentell-

physikalis hen Boden erwa hsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz is eine radikale. Von

Stundean sollen Raumfür si h und Zeit für si h völligzu S hatten herabsinken, und nur no h

eineArt UnionderbeidesollSelbständigkeit bewahren".

We zullen zien datinde spe ialerelativiteitstheorie naastafstanden ooktijdvers hillen hun ab-

solutebetekenisverliezen. Inplaatsvanbeidekomt deminkowskimetriek,diewèleeninvariante

betekenis heeft. Het mathematis he model voor ruimtetijd is de minkowskiruimte, dit is een

vier-dimensionale vlakkeruimte met een indeniete metriekmetsignatuur

−2

^.

Ruimtetijd volgens Einstein

Dit is het ruimtetijd beeld van de algemene relativiteitstheorie. Einstein formuleerde haar in

1915. Deze theorie is ontstaan uit de onfrontatie van de spe iale relativiteitstheorie en de

theorievandegravitationele wisselwerking. Ruimtetijdisindealgemenerelativiteitstheorie een

riemannseruimtemetsignatuur

−2

^. ^In^het^spe
iale^geval^dat^gravitatie^teverwaarlozenis, krijgt mende minkowskiruimte terug. Eendrastis h vers hiltussen de ruimtetijd inde spe ialeen de

algemene relativiteitstheorie is dat in de laatste de stru tuur van ruimtetijd (in het bijzonder

de metriek)wordtbepaalddoor de materie. Hetbegripmaterie wordt hiergebruikt ineen zeer

ruime betekenis en hetomvat naastdeeltjes ookhetelektromagnetis he veld,et .

Inhetvolgendezullen weaspe tenvandealgemenerelativiteitstheoriebespreken. Hierbijspelen

drie essentiëleideeën een rol. Het eersteis dat,zoals gezegd, ruimtetijd bes hreven kanworden

alseen gekromde,vier-dimensionale wiskundigestru tuurdiewe eenpseudo-riemannse variëteit

noemen,dat iseen dierentieerbare variëteitmeteen metriekmetsignatuur

−2

^. ^Het^komt ^erop

neerdattijdenruimtesameneengekromdevier-dimensionaleniet-eu lidis hegeometrievormen.

Hettweedeideeisdateropelkruimtetijdpunt,dusopelkepuntgebeurtenis, eenlokaalinertiaal

referentiesysteembestaatdat orrespondeertmetlokaalvlakke oördinatendiegedragenworden

door waarnemers die in vrije val zijn. Voor deze waarnemers is de natuurkunde bes hreven

door de algemene relativiteitstheorie niet te onders heiden van diebes hreven door de spe iale

relativiteitstheorie. Ditishetberoemdesterkeequivalentieprin ipevanEinsteinenditmaaktde

algemene relativiteitstheorie toteen extensievan de spe ialerelativiteitstheorie voor gekromde

ruimtetijd. Hetderdeideeisdatmassa(enookenergieenimpulsux)krommingvanruimtetijd

veroorzaakt opeen wijzedie bes hreven wordtdoor de tensorveldvergelijkingen van Einstein.

We zullen deonderliggende ideeënindevolgende hoofdstukken bespreken. Klassieke me hani a

wordtbesprokeninhoofdstuk2,waarwezullenziendatzoweldeafbuigingvanli htronddezon

alsookhetbestaan vanzwarte gatenmogelijkzijnbinnen deklassieke natuurkunde. Ook wordt

hier het formalisme van Lagrange besproken met het bijbehorende prin ipe van extreme a tie.

We besluitenmet een dis ussievanhetprin ipe vanMa h. Vervolgens geven we inhoofdstuk3

eenoverzi ht vanastrofysis heobje tenenfenomenen dieeenquantumme hanis he bes hrijving

behoeven. Inhoofdstuk4deniëren weruimtetijdopeenmathematis hewijze. Alsbelangrijkste

obje tvanruimtetijdvindenwedemetriek. Alswedemetriekkennen,dankunnenweeengoede

bes hrijvinggevenvanruimtetijd. Alsvoorbeeldbehandelenwedemetriekvandelegeruimtetijd,

de minkowskimetriek, en leiden hieruit de postulaten van de spe ialerelativiteitstheorie (SRT)

af in hoofdstuk 5. Conventioneel wordt de SRT gemotiveerd door uit te gaan van Einsteins

twee postulaten, enwordt opbasisdaarvande wiskundeontwikkeld, en dan metnamede vorm

van de metriek. Wij bewandelen hier een omgekeerde route: hier zal eerst de metriek worden

(3)

deze `omgekeerde' aanpak is de volgende: inde algemene relativiteitstheorie (ART) (de latere

hoofdstukken)ishetvrijwelaltijdzo dateerst demetriekbekend is,voordatde restvolgt. SRT

isookomdezeredenspe iaalte noemen: hetiseen vandeweinigevoorbeeldeninderelativiteit

datdemetriekaf teleiden isuitgeda htenexperimenten; vrijwelinalleanderegevallenzijnzulke

geda htenexperimentenniet uittevoeren,en isde metriekniet een gevolg, maareen startpunt.

Hetis omdezeredendat indithoofdstukookdezeroute bewandeldzal worden. Als demanier

van redeneren dan begrepen is, is de overstap naar de ART inaansluitende hoofdstukken, snel

gemaakt.

Dewiskundigebes hrijvingvansystemeningekromde oördinaten,maarvoorvlakkeeu lidis he

ruimten, wordtgegeveninhoofdstuk6. Inhoofdstuk7 beginnenwe metde behandelingvande

ART.We behandelen debewegingvanobje teninde ART, terwijlookdeeinsteinvergelijkingen

worden besproken in dit hoofdstuk. In hoofdstuk 8 starten we met de Friedmann metriek en

geven weeen uiteenzetting vande huidige inzi hten metbetrekkingtot kosmologie. Deoerknal

en danmet nameinatie wordtbehandeldinhoofdstuk9.

In appendix A zullen we de dierentiaalmeetkunde in historis h perspe tief plaatsen. Diverse

eigens happen van gekromderuimten warenreeds ontdekt door wiskundigen alsC.F. Gauss,J.

Bolyai,N.I.Loba hevskienB.Riemann. Webesprekenaspe tenvanmeetkundeineu lidis heen

niet-eu lidis heruimten. Lineairealgebraeneigens happenvanve torruimtenwordenbesproken

inappendix B. Fundamentele natuur onstantenzijngegeveninappendixC. Oefenopgaven met

uitwerkingen zijn het onderwerp van appendix E, terwijl een beknopt overzi ht van tensoren