Marjolein Kool, Die conste vanden getale · dbnl

Die conste vanden getale

Een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van

rekenkundige termen

Marjolein Kool

bron

Marjolein Kool,Die conste vanden getale. Een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen. Verloren, Hilversum

1999

Zie voor verantwoording: http://www.dbnl.org/tekst/kool006cons01_01/colofon.htm

© 2007 dbnl / Marjolein Kool

5

Woord vooraf

Voor een wiskundelerares met belangstelling voor de Middeleeuwen en hart voor de Nederlandse taal is de rekenwoordenschat uit de vijftiende- en zestiende-eeuwse rekenboeken een prachtig promotie-onderwerp. De jaren waarin ik dit onderwerp met veel enthousiasme bestudeerd heb, heb ik in de eerste plaats ervaren als een periode van persoonlijke groei.

Mijn wetenschappelijke groei is gestimuleerd door maar liefst drie excellente promotoren. Prof. Dr. Henk Bos, Prof. Dr. Wim Gerritsen en Mw. Prof. Dr. Ria Jansen-Sieben hebben mij gevoed met hun kennis en ervaring op zeer uiteenlopende terreinen van wetenschap. Hun constructieve commentaar was kritisch, maar ik ben blij dat ze niet met minder genoegen hebben genomen.

Mijn groei van geloof in eigen kunnen was minstens zo belangrijk. Op de lange weg naar zelfvertrouwen mocht ik verscheidene malen neerstrijken in de rozentuin van Mw. Prof. Dr. Ria Jansen-Sieben die mij, temidden van deze bloemenpracht, door een uitgekiende combinatie van gastvrijheid en peptalk wist te overtuigen van mijn ‘promoveerbaarheid’.

Een onderwijsbaan laat zich niet altijd eenvoudig combineren met wetenschappelijk onderzoek. Ik stond mezelf niet toe concessies te doen op een van beide terreinen.

Dr. Jan van Maanen werd mijn voorbeeld en leerde me hoe je deze combinatie kunt uitbuiten en maken tot meer dan de som der delen. Een continue stroom van waardevolle inhoudelijke kanttekeningen, gekruid met stimulerende adviezen, vloeide in de afgelopen jaren via e-mail, papier en telefoon van Groningen naar Schalkwijk.

Op het gebied van historische lexicografie en middeleeuws Latijn was ik een onbeschreven blad. Mw. Drs. Katrien Depuydt en Prof. Dr. Arpád Orbán hebben met grenzeloos geduld mijn eerste schreden op deze gebieden begeleid en ondersteund zonder ooit te lachen om mijn beginnersfouten.

Toon de Wit werd mijn persoonlijke computerdokter, die met menig gratis consult technisch onheil wist te voorkomen of op te lossen. Drs. Vincent Jonker bracht mij in contact met Drs. Jeroen Fokker, een briljant informaticus, die mijn statische glossarium tot een dynamisch onderzoeksinstrument omtoverde. Elke zin in dit proefschrift werd op stijl, spelling en interpunctie gecontroleerd door Mw. Drs. Willy van Royen en Mw. Drs. Lambertha Souman.

Stimulerend was de belangstelling van mijn broers, zussen en collega's en de steun van mijn vrienden, uit binnen- en buitenland, van jong tot over de honderd.

Zonder de liefdevolle zorg van mijn ouders die mijn vasthoudende bevlogenheid niet altijd konden volgen, maar die waardering voor mijn keuzes hadden en vertrouwen in de goede afloop, was ik nooit zo ver gekomen.

6

Ik voel me bevoorrecht dat ik op deze plaats zoveel mensen oprecht en welgemeend mag bedanken. Het doel is bereikt. Nu wordt het hoog tijd om weer eens een gedicht te schrijven.

13

Inleiding

Onderzoek op het gebied van de geschiedenis van de wiskunde richt zich vaak op de grote wiskundigen en hun belangrijke werken, die een duidelijk zichtbare bijdrage hebben geleverd aan wiskundige ontwikkelingen. Hoe waardevol dit onderzoek ook is, het zou tekortschieten als men daarnaast niet ook de blik zou richten op de wiskundige werken die geen spectaculaire nieuwigheden bevatten, maar wel inzicht kunnen verschaffen in de oorzaken en gevolgen van belangrijke wiskundige ontdekkingen. Zij hebben immers de weg bereid voor de grote ontdekking en eraan meegewerkt dat de nieuwe vondst onder een breder publiek verbreid werd. Dat maakt de ‘kleine’ werken tot een minstens even belangrijk onderwerp van studie als de ‘grote’.

De Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw behoren tot de ‘kleine’ werken. Deze boeken zijn niet geschreven door grote wiskundigen, ze bevatten geen nieuwe wiskundige ontdekkingen en hun rekenkundige inhoud maakt in de loop van de zestiende eeuw slechts een zeer geringe ontwikkeling door.

Toch hebben deze rekenboeken een belangrijke rol gespeeld in de geschiedenis van de wiskunde.

In de eerste plaats hebben ze een nieuwe wiskundige ontwikkeling verbreid. De auteurs onderwijzen het rekenen met Hindoe-Arabische getallen en leggen uit hoe men deze rekenmethode kan toepassen bij het oplossen van vraagstukken in de handel en allerlei technische, administratieve en financiële beroepen. Deze

rekenboeken dragen ertoe bij dat de nieuwe cijfers en de nieuwe rekenmethode op den duur de plaats gaan innemen van de Romeinse cijfers en het traditionele penningrekenen.

Tevens kan men de auteurs van de Nederlandse rekenboeken zien als wegbereiders van nieuwe wiskundige ontwikkelingen, want hoe groter de groep wordt die in staat is om met de nieuwe getallen te rekenen, hoe groter de kans is dat er zich onder deze rekenaars mensen zullen bevinden die de nieuwe

rekenmethode gaan toepassen op nieuwe wiskundige terreinen. Zo wordt

bijvoorbeeld in de Italiaanse rekenboeken door het oplossen van steeds complexere rekenkundige vraagstukken de basis gelegd voor algebraïsche oplosmethoden.

Ook in de Nederlandse rekenboeken creëren dergelijke vraagstukken een toenemende behoefte aan andere, algebraïsche, oploswijzen, maar over het algemeen speelt algebra in de Nederlandse boeken nog maar een zeer bescheiden rol.

Een ander voorbeeld betreft wiskundige notaties. De modere wiskundige symbolen, zoals + - × : = √ ontbreken nog vrijwel geheel in de Nederlandse rekenboeken, maar de auteurs zijn wel op zoek naar een alternatieve schrijfwijze waarmee ze hun uitvoerige volzinnen kunnen verkorten. Hun experimenten maken de weg vrij voor de latere symbolische wiskunde.

14

Ook op het gebied van de Nederlandse rekenwoordenschat leveren de

zestiende-eeuwse auteurs een belangrijke bijdrage. Bij hun pogingen om de nieuwe rekenmethode zo begrijpelijk en duidelijk mogelijk aan hun leerlingen te onderwijzen, gaan ze op zoek naar geschikte rekentermen, die aanvankelijk in het Nederlandse taalgebied met beschikbaar zijn. Ze verbasteren en vertalen Latijnse en buitenlandse rekentermen en vormen vele nieuwe Nederlandse rekenwoorden.

De auteurs van de rekenboeken kan men dus enerzijds zien als verbreiders van een nieuwe wiskundige ontwikkeling en anderzijds als wegbereiders van toekomstige wiskundige ontwikkelingen. Dat maakt een nader onderzoek van hun boeken zeer de moeite waard. Tevens kan een onderzoek van deze historische bronnen nieuw licht werpen op zaken als het rekenonderwijs in de zestiende eeuw, didactische opvattingen die im- of expliciet door de auteurs van de rekenboeken gehanteerd werden, de soorten vraagstukken waar kooplieden en beoefenaars van technische, administratieve en financiële beroepen in hun praktijk mee geconfronteerd werden, het bronnengebruik van de auteurs en de onderlinge relaties tussen de rekenboeken.

Al deze aspecten zullen in deze studie aan bod komen. De centrale onderzoeksvraag is tweeledig:

- Welk rekenonderwijs blijkt uit de rekenboeken? Dat wil zeggen, wat werd onderwezen, aan wie, door wie en op welke wijze?

- Welke bijdrage hebben de rekenboeken geleverd aan de ontwikkeling van de wiskunde, het onderwijs, de didactiek en de rekenterminologie in het

Nederlandse taalgebied?

Voor het onderzoek waren 36 Nederlandstalige rekenboeken beschikbaar: 12 handschriften en 24 gedrukte boeken. Drie van deze rekenboeken dateren uit de vijftiende eeuw, de overige 33 zijn uit de zestiende eeuw afkomstig. De oudste tekst is geschreven in 1445, de jongste is gedrukt in 1600. Het jaartal 1600 is als een kunstmatige scheidslijn gekozen om de omvang van het onderzoek enigszins binnen de perken te houden, maar er zijn ook in de zeventiende eeuw nog veel vergelijkbare rekenboeken geschreven. Elf van de 36 rekenboeken zijn een herdruk of een woordelijk afschrift van een eerder werk uit het corpus. Van de overige 25

rekenboeken is geen woordelijk overeenkomstige voorganger gevonden, maar er zijn vaak wel een of meer relaties gesignaleerd met werken binnen of buiten het corpus. Een groot aantal auteurs heeft bij de samenstelling van hun werk fragmenten uit eerdere rekenboeken afgeschreven, vertaald of bewerkt. Een overzicht van het corpus is achter in deze studie te vinden in bijlage II.

De beschrijving van de resultaten van het onderzoek is als volgt ingedeeld:

De eerste twee hoofdstukken schetsen het historische decor waarin de rekenboeken een rol gespeeld hebben. In het eerste hoofdstuk gaat het om de verbreiding van de Hindoe-Arabische cijfers en de bijbehorende rekenmethode in Europa. Het tweede hoofdstuk geeft een beeld van scholen en onderwijs, met name van het rekenonderwijs waarbinnen de rekenboeken gebruikt zijn.

In de hoofdstukken 3 en 4 wordt het wiskundige gedachtegoed van de auteurs gepresenteerd zoals dat uit hun rekenboeken valt af te leiden. Hun doelstelling is, hun leerlingen te leren rekenen met Hindoe-Arabische cijfers en vervolgens die

15

rekenvaardigheid toe te passen op allerlei vraagstukken. In deze hoofdstukken wordt beschreven welke onderwerpen daarbij aan de orde komen, welke vraagstukken opgelost worden en welke wiskundige oplosmethoden worden gehanteerd.

Om de lezer van deze studie de gelegenheid te geven zoveel mogelijk rechtstreeks in contact te treden met het wiskundig denken van de auteur, is ervoor gekozen om een zeer groot aantal citaten en afbeeldingen uit de rekenboeken op te nemen.

De vele citaten zijn voor een zo objectief mogelijke presentatie van het wiskundig denken van de rekenmeesters onontbeerlijk, maar ze vormen een probleem. De interpretatie van vijftiende- en zestiende-eeuwse rekenteksten is voor de moderne lezer uitermate lastig. Dat zit hem niet in het niveau van de wiskunde, maar in de voor hedendaagse lezers ongebruikelijke wijze waarop de rekenkunde weergegeven is. Zelfs als alle woorden verklaard zijn, blijft het moeilijk om uit de volzinnen zonder symbolen en formules af te leiden welke rekenkundige handelingen er beschreven worden.

In deze studie is geprobeerd dit probleem zoveel mogelijk te ondervangen. Het wiskundige gedachtegoed in de rekenboeken wordt uitvoerig beschreven. De structuur van deze beschrijving komt grotendeels overeen met de ordening van de onderwerpen in de rekenboeken, zodat de lezer in staat wordt gesteld in nauw contact te treden met de historische bronnen. Vandaar dat deze beschrijving ook in twee delen is gesplitst. Net als in de rekenboeken behandelt het eerste deel - hoofdstuk 3 - de basis van de rekenkunde, dat wil zeggen de hoofdbewerkingen voor ‘gehele’ getallen en breuken, en gaat het tweede deel - hoofdstuk 4 - over de rekenregels waarmee allerlei vraagstukken opgelost worden. Voor de beschrijving van de rekenkunde is gebruik gemaakt van moderne wiskundige bewoordingen, notaties, symbolen, formules, letters voor onbekenden, enz. Ook al doen deze moderne aspecten op het eerste gezicht misschien weinig recht aan de wijze waarop de historische auteurs hun gedachten genoteerd hebben, het is voor de hedendaagse lezer een herkenbare en toegankelijke aanduiding van de wiskunde, die het meest verwant is aan wat in de oorspronkelijke bronnen tot uiting komt. Vervolgens worden elk wiskundig onderwerp en elke wiskundige regel en oplosmethode die in de rekenkundige beschrijving aan de orde komen, onmiddellijk gevolgd door een citaat en/of afbeelding uit een van de bronnen. Zo is het mogelijk de voorgaande

interpretatie te staven, een voorbeeld ter illustratie te raadplegen en vooral de eigen bewoordingen van de auteur over deze kwestie te vernemen. Aldus wordt het verschil met de huidige manier van denken en noteren duidelijk.

De citaten staan steeds na de beschrijving van een bepaald rekenkundig

onderwerp. Het nadeel daarvan is dat van een volkomen objectieve weergave van het historisch materiaal geen sprake kan zijn: de voorafgaande beschrijving, ook al is deze nog zo zorgvuldig en behoedzaam opgesteld, richt de blik van de lezer.

Toch is bewust voor deze volgorde gekozen omdat deze verschillende voordelen biedt:

- de voorafgaande informatie geeft steun bij het interpreteren van het citaat, waardoor de toegankelijkheid ervan aanmerkelijk vergroot wordt;

- aard en functie van het citaat worden vooraf verduidelijkt. Soms geeft een citaat

16

een bepaalde rekenregel in algemene bewoordingen weer. De lezer herkent dan in de woorden van de historische auteur de voorafgaande beschrijving.

Veel vaker is het citaat een voorbeeld van een berekening die vooraf in algemene moderne bewoordingen is weergegeven. Soms representeert een citaat een stukje wiskundig denken dat in veel bronnen is aangetroffen, dan weer is het een opvallende uitzondering.

Een lezer die weet wat de functie van een citaat is en op het spoor is gezet van het wiskundig denken dat erin aangetroffen wordt, zal dat citaat ervaren als een verhelderend contact met de oorspronkelijke bron.

Overigens zijn er in de citaten in deze studie verschillende ingrepen gedaan om de toegankelijkheid te vergroten:

- de spelling van u, v en w en van i en j is aangepast aan het hedendaags gebruik;

- moderne interpunctie is toegevoegd;

- het gebruik van hoofdletters is gemoderniseerd;

- abbreviaturen zijn opgelost en niet aangeduid;

- als in een citaat een woord ontbreekt, wordt het tussen rechte haken, niet-gecursiveerd toegevoegd;

- drie punten in een citaat duiden aan dat op die plaats tekst is weggelaten;

- als een zin aan het eind van een citaat wordt afgebroken, wordt dat citaat met drie punten afgesloten en als een citaat in het midden van een zin begint, wordt dat citaat met drie punten geopend;

- moeilijk te begrijpen woorden en uitdrukkingen worden rechts van het citaat verklaard.

De beschrijving van de rekenkundige inhoud van de rekenboeken in de hoofdstukken 3 en 4 maakt duidelijkwat er onderwezen werd. Daaruit rijzen nieuwe vragen, zoals:

door wie werd de rekenkunde onderwezen? Aan wie? Op welke wijze? Deze vragen vormen het uitgangspunt van hoofdstuk 5.

Veel auteurs waren zelf rekenmeester en maken in hun rekenboek melding van hun doelgroep. Uit de ordening en opbouw van hun werk, hun wijze van instrueren, uitleggen en repeteren, hun keuze van voorbeelden, vraagstukken en oplosmethodes en hun manier van noteren, kan men afleiden welke doelstellingen zij nastreefden en welke didactische opvattingen zij bewust of onbewust hanteerden. Soms is het zelfs mogelijk om uit de rekenboeken iets af te leiden over de gang van zaken tijdens de rekenles in de klas. Zo blijkt bijvoorbeeld dat het memoriseren van kennis hoog in het vaandel stond.

Wie de rekenboeken met elkaar vergelijkt, vindt opvallend veel overeenkomstige fragmenten en vraagstukken. De aard en omvang van die overeenkomsten variëren.

Soms is er sprake van een enkele overeenkomstige alinea of een overeenkomstig vraagstuk, dan weer blijkt de overeenkomst zich over vele tientallen bladzijden en vraagstukken uit te strekken. Soms zijn de fragmenten woordelijk gelijk, dan weer zijn er onderling kleine of grote verschillen. Er bestaan hoe dan ook relaties tussen de rekenboeken. Deze worden in hoofdstuk 6 onderzocht en beschreven. Over de aard van de relaties kan men slechts met grote behoedzaamheid

17

uitspraken doen, maar één ding is duidelijk: vrijwel elke auteur heeft bij het schrijven van zijn rekenboek op een of andere manier gebruik gemaakt van het werk van een of meer voorgangers.

De auteurs van de rekenboeken schreven hun werk in de volkstaal. Dat is bijzonder, omdat in de Middeleeuwen het Latijn de taal van onderwijs en wetenschap was.

Bovendien schreven ze over een nieuwe rekenmethode. Dit bracht een probleem met zich mee: er bestond geen Nederlandse rekenwoordenschat om over dit onderwerp te schrijven. Het is fascinerend om te zien hoe de auteurs dit probleem oplossen. Sommige rekenkundige begrippen worden alleen maar omschreven en krijgen verder geen benaming, de meeste begrippen worden juist op allerlei verschillende manieren benoemd. Die benamingen variëren van zuiver Latijnse rekentermen tot nieuw gevormde Nederlandse woorden. In hoofdstuk 7 wordt beschreven hoe de Nederlandse rekenwoordenschat in de zestiende eeuw wordt uitgebreid. Synoniemen stapelen zich op, maar voor de overdracht van de

rekenkunde blijkt dat niet bezwaarlijk te zijn. Veel van de hedendaagse rekentermen hebben hun oorsprong in de zestiende-eeuwse rekenboeken.

Wie op zoek is naar de herkomst of betekenis van een zestiende-eeuwse rekenterm, zoekt over het algemeen tevergeefs in het Middelnederlandsch

Woordenboek of in het Woordenboek der Nederlandse Taal. Van de overvloedige voorraad van zestiende-eeuwse rekentermen is maar een uiterst klein deel in deze woordenboeken terug te vinden. Om dit hiaat te vullen, is aan deze studie een diskette toegevoegd waarop zich een glossarium van rekentermen bevindt, afkomstig uit de rekenboeken van het corpus. Van elke rekenterm zijn betekenis, vindplaatsen, citaten, e.d. opgenomen, waardoor het glossarium een aanvulling op de bestaande woordenboeken vormt. Tevens maakt de weergave van het glossarium op diskette met het daaraan toegevoegde computerprogramma het mogelijk, om het materiaal van het glossarium ook op andere wijze te ordenen en te onderzoeken, zodat daarmee het antwoord op allerlei vragen snel verkregen kan worden. Nadere informatie volgt in hoofdstuk 8.

In deze studie is een verzameling van historische documenten vanuit zeer

verschillende perspectieven bestudeerd en onderzocht. De resultaten werpen nieuw licht op deze werken en het tijdvak waaruit ze afkomstig zijn en kunnen in de toekomst het uitgangspunt vormen van nieuw onderzoek op verschillende terreinen van wetenschap.

18

De speurtocht naar de bronnen

Het proefschrift van Smeur vormde aanvankelijk het uitgangspunt voor de samenstelling van het onderzoekscorpus.¹Smeurs bibliografie van rekenboeken bevatte 23 Nederlandstalige werken over het rekenen met Hindoe-Arabische cijfers, die voor dit onderzoek in aanmerking kwamen: D-Man-1508, D-Man-1510,

D-Hoe-1537, D-Hoe-1545, D-Hey-1561, D-Pet-1567, D-Guc-1569, D-Hel-1569, D-Man-1569, D-Cre-1577, D-Rae-1580, D-Pet-1583, D-Ste-1585, D-Dij-1591, D-Pet-1591, D-Guc-1594, D-Sto-1595, D-Pet-1596, D-Rae-1597, D-Pet-1598, D-Wen-1599, D-Dij-1600, D-Sch-1600.²

Om nog meer Nederlandstalige rekenboeken uit de zestiende en zelfs enkele uit de vijftiende eeuw te vinden, werden vele bibliotheken, archieven en instanties bezocht en aangeschreven, wat resulteerde in de vondst van een aantal

rekenhandschriften en het eerste contact met Mw. Prof. Dr. Ria Jansen-Sieben. Zij bleek voor haarRepertorium van de Middelnederlandse artes-literatuur onder andere ook op zoek te zijn naar Nederlandstalige rekenboeken. Uitwisseling van wederzijdse vondsten bracht het onderzoekscorpus op 33 rekenboeken. De tien rekenboeken die werden toegevoegd waren: H-BaU-1445, H-KHA-1453, H-BrS-1463, H-GeU-1532, H-GrU-1558, H-BKB-1568, H-TSB-1578, H-BSA-1584, H-GeU-1584, H-GeU-1592.

De complete lijst werd in 1989 door Mw. Jansen-Sieben in haarRepertorium gepubliceerd.³

Ten slotte werden er na 1989 nog drie rekenboeken gevonden, namelijk:

D-Man-1546, H-ANE-1562 en H-GKB-1564. Tevens werd ontdekt dat het

Rekenboecksken van Robrecht van Heusden dat door Mw. Jansen-Sieben ‘na 1550’

werd gedateerd vermoedelijk rond 1658 werd gedrukt en dus buiten het

onderzoekscorpus valt.⁴Op fol. 15r staat:Rekeninghe der onkosten ghedaen in de keucken. Sondag den 20. mey 1658.

36 rekenboeken waren uiteindelijk beschikbaar voor dit onderzoek. Hoeveel rekenboeken er werkelijk in de vijftiende en zestiende eeuw geschreven zijn is niet bekend, maar aangezien ze als gebruiksvoorwerpen gehanteerd werden en soms als naslagwerk mee op handelsreis gingen, zijn er vermoedelijk vele verloren gegaan.

1 SMEUR1960.

2 In bijlage II bevindt zich een overzicht van het onderzoekscorpus met volledige titelbeschrijvingen van de rekenboeken die hierboven en in het vervolg in code zijn weergegeven.

3 JANSEN-SIEBEN1989, p. 157-165.

4 JANSEN-SIEBEN1989, p. 159.

19

Hoofdstuk 1

De verbreiding van de Hindoe-Arabische cijfers en de bijbehorende rekenmethode in Europa

Vanaf de vroege Middeleeuwen is in Europa het rekenen met penningen op een rekenbord de gebruikelijke rekenmethode. In de twaalfde eeuw komt daar een nieuwe rekenmethode bij, die gebruik maakt van tien cijfers en een decimaal plaatswaardesysteem. Dit rekenen met Hindoe-Arabische cijfers dankt zijn naam aan de vermoedelijke oorsprong in India¹en de transmissie naar het Westen door de Arabieren. In Europa blijft gedurende lange tijd zowel de oude als de nieuwe rekenmethode in gebruik, maar op den duur verdwijnt het traditionele rekenen met penningen en blijft het moderne rekenen met de pen alleen over. Op vergelijkbare wijze raken de Romeinse cijfers langzamerhand steeds meer in onbruik, tot na verloop van tijd in geschreven documenten uitsluitend Hindoe-Arabische cijfers voorkomen.

Dit leidt tot de volgende vragen:

- Hoe zijn de Hindoe-Arabische cijfers en de bijbehorende rekenmethode alom in gebruik geraakt in Europa?

- Welke factoren hebben ertoe bijgedragen dat het traditionele penningrekenen uiteindelijk volledig verdwijnt?

- Hoe komt het dat er voor de Romeinse cijfers ten slotte slechts een marginale rol overblijft?

Deze vragen zullen in dit hoofdstuk aan de orde komen.

1.1 Het traditionele penningrekenen

Vijfhonderd jaar voor Christus maken de Grieken hun berekeningen met behulp van schijfjes van glas, been of ivoor op een rekenbord met verticale lijnen. Dit rekenen met schijfjes is vermoedelijk overgenomen uit Azië, Mesopotamië of India²en het bereikt via de Romeinen ten slotte West-Europa, waar het gedurende de

Middeleeuwen steeds meer in gebruik raakt. Het bord waarop men de berekening uitvoert, wordtabacus genoemd.

De methode ondergaat in de loop der tijden wel enige wijzigingen. De schijfjes worden van metaal gemaakt en de verschillende volkstalen ontwikkelen er hun

1 Er wordt ook wel verondersteld dat de cijfers meer naar het Oosten - in China - hun oorsprong hebben. Zie WANG LING1954.

2 PULLAN1970, p. X.

20

eigen benamingen voor:jeton, counter, Rechenpfennig, reken- of legpenning.

Bovendien wordt het bord een kwartslag gedraaid zodat de lijnen horizontaal lopen.³ Een penning op de onderste lijn is 1 waard, een penning op de tweede lijn is 10 waard, op de derde lijn 100, enz. Een penning tussen twee lijnen krijgt de helft van de waarde van de lijn waar hij onder ligt. Dat houdt dus in dat de velden tussen de lijnen op het rekenbord respectievelijk 5, 50, 500, enz. waard zijn. Zie bijvoorbeeld figuur 1.1 waar de rekenaar in de linkerkolom van zijn lijnenschema (voor de kijker rechts) het getal 26 heeft neergelegd.

Figuur 1.1. Rekenen met penningen. Afbeelding van de titelpagina van KÖBEL1514.

3 MENNINGER1969, p. 340.

21

Hoe men precies met penningen heeft gerekend, wordt uitgelegd in hoofdstuk 3.⁴ Maar hier is het van belang om alvast op te merken, dat men voor het

penningrekenen geen pen en papier nodig heeft. Men hoeft dus niet te kunnen lezen en schrijven. Het penningrekenen past daarom uitstekend in de vroeg-Middeleeuwse samenleving, waarin de meeste mensen niet geletterd zijn. Als het noodzakelijk is om een rekenresultaat, een paginanummer of een datum schriftelijk vast te leggen, gebruikt men Romeinse cijfers, die voor dit doel toereikend zijn. Met Romeinse cijfers worden geen berekeningen gemaakt, alleen maar rekenresultaten genoteerd.

De rekenpenningen worden door geestelijken en kloosterlingen gebruikt bij het maken vancomputusberekeningen. Dat zijn berekeningen waarmee men de datum van het paasfeest kan vaststellen. Deze berekeningen zijn tamelijk gecompliceerd en kunnen niet uit het hoofd gemaakt worden.⁵Ook kooplieden gebruiken

rekenpenningen voor berekeningen die niet uit het hoofd uitgevoerd kunnen worden.

In de twaalfde eeuw verschijnt naast de traditionele rekenmethode met penningen een nieuwe rekenmethode die met de pen moest worden uitgevoerd. Deze methode doet langs twee wegen haar intrede.

1.2 De nieuwe rekenmethode met Hindoe-Arabische cijfers: een tweetakkig begin

In 1202 schrijft de Italiaan Leonardo van Pisa (ook Fibonacci genoemd, ca.

1170-1240) zijnLiber abaci.⁶Hoewel de titel anders doet vermoeden, heeft dit werk niets met de traditionele abacus of het penningrekenen te maken. Het woordabacus betekent in het dertiende-eeuwse Italië ‘de kunst van het rekenen’. Leonardo van Pisa behandelt in zijn uitvoerige werk van 400 pagina's onder andere het rekenen met Hindoe-Arabische cijfers. De tekst is in het Latijn geschreven en bevat zeer veel voorbeelden en vraagstukken, ook op het gebied van de algebra, die overigens vrijwel allemaal ook in Arabische werken te vinden zijn.

Leonardo van Pisa schrijft in zijn werk dat hij de nieuwe rekenmethode geleerd heeft in Noord-Afrika, waar hij zijn jeugd heeft doorgebracht. Later maakte hij als koopman reizen door de Arabische wereld, waar hij wederom met deze

rekenmethode in aanraking kwam.

Latere auteurs hebben hetLiber abaci veelvuldig gebruikt. De moeilijkere passages, met name die over algebra, nemen ze niet over, maar vooral de eerste zeven hoofdstukken worden al snel in het Italiaans vertaald en als bron gebruikt voor nieuwe boeken over het rekenen met Hindoe-Arabische cijfers. In deze abacus-boeken zijn de wiskundige bewijzen die Leonardo van Pisa van zijn oplosmetho-

4 Zie paragraaf 3.8.

5 Zie p. 41.

6 Uitgegeven in BONCOMPAGNI1857.

22

des gaf, achterwege gelaten, maar de vele vraagstukken zijn gretig overgenomen en aangevuld met andere.⁷

Opvallend in de abacusboeken zijn de vele commerciële vraagstukken, die zich moeten hebben voorgedaan in het dagelijkse leven van de dertiende-eeuwse Italiaanse koopman, die juist in deze tijd, waarin de handel een enorme bloei doormaakt, behoefte krijgt aan een goed rekensysteem. Er zijn nog enkele honderden Italiaanse abacusboeken uit de veertiende tot en met de zestiende eeuw

overgeleverd.⁸Het werkelijke aantal abacusboeken dat in die tijd geproduceerd is, moet bijzonder groot zijn geweest.

De abacusboeken worden onder andere gebruikt op descuole of botteghe d'abaco.

Op deze speciale rekenscholen onderwijzen demaestri d'abaco de nieuwe rekenmethode met name aan koopmanszonen. Voorzover bekend is de eerste rekenschool in 1284 in Verona gesticht, later ontstonden ze ook in grote

handelssteden als Venetië, Milaan, Pisa, Siena en Lucca. In Florence zijn in 1343 zes van dergelijke scholen.⁹

Via handelsbetrekkingen verspreidt de rekenmethode met Hindoe-Arabische cijfers en zijn vele praktische toepassingen zich vanuit Italië over de rest van Europa.

In de veertiende eeuw worden Duitse koopmanszonen naar Italië gestuurd om daar de nieuwe rekenkunde te leren. Ze bezoeken onder andere rekenscholen in Venetië.¹⁰

Later worden in Duitse handelssteden als Hamburg, Lübeck en Neurenberg rekenscholen naar Italiaans voorbeeld opgericht. In 1457 zijn er in Neurenberg al drie van dergelijke scholen. Dat aantal groeit uit tot 48 rekenscholen in 1613. Dan wordt er een gilde van rekenmeesters opgericht en wordt het aantal scholen tot 28 teruggebracht.¹¹

De praktische, Italiaanse abacusboeken, die hun oorsprong hebben in hetLiber abaci van Leonardo van Pisa, vormen niet de enige weg waarlangs de

Hindoe-Arabische cijfers in Europa doordringen. Het Westen heeft op veel meer manieren in contact gestaan met het Oosten en Noord-Afrika.¹²In de twaalfde eeuw zijn enige Arabische rekentractaten via handelsroutes door het

Middellandse-zeegebied in Europa, met name in Spanje en Sicilië terechtgekomen.

Daar worden ze in het Latijn vertaald.¹³Het bekendste Arabische werk over

rekenkunde dat deze weg heeft afgelegd is het negende-eeuwse rekentractaat van al-Khwarizmi (ca. 780-850). Deze geleerde was verbonden aan het hof van al-Mansur in Bagdad. Het is niet zeker wie zijn rekentractaat in het Latijn vertaald heeft. Mogelijk was dat Adelard van Bath (1116-1142) of Robert van Chester (twaalfde eeuw).¹⁴ Het ori-

7 HetLiber abaci lag weliswaar ten grondslag aan deze abacusboeken, maar omdat het veel wiskundiger is en in het Latijn geschreven is, wordt het zelf niet tot de abacusboeken gerekend.

8 EGMOND1980, p. 15.

9 VILLANI1969, deel III, p. 324.

10 SWETZ1987, p. 10.

11 VOGEL1950, p. 240.

12 GIBSON1995, p. 316.

13 De Hindoe-Arabische cijfers komen al eerder in het Westen voor, namelijk in het werk van Gerbert van Aurillac en in Spanje in twee tiende-eeuwse Latijnse manuscripten. In deze werken wordt echter niet met de Hindoe-Arabische cijfers gerekend. Zie p. 35.

14 FOLKERTS1997, p. 159.

23

ginele werk en zijn vertaling zijn verloren gegaan, maar er is wel een twaalfde-eeuwse bewerking van de Arabische rekentekst overgeleverd, die begint met de woorden Dixit algorizmi...¹⁵Sinds die tijd wordt de termalgorismus eeuwenlang gebruikt om de nieuwe rekenmethode aan te duiden. Ook de thans nog gebruikelijke term algoritme vindt hier zijn oorsprong.

Van het rekenboek van al-Khwarizmi zijn verschillende latere bewerkingen gemaakt. Deze rekenteksten hebben op hun beurt dertiende-eeuwse geleerden geïnspireerd tot het schrijven van eigen werken over de nieuwe rekenkunde. Rond 1230 schrijft Johannes van Sacrobosco (Sacro Busto, Holywood of Halifax)¹⁶zijn Algorismus vulgaris. Het werk van deze Engelsman, die van 1231 tot aan zijn dood aan de universiteit van Parijs wiskunde doceert, is in een groot aantal manuscripten overgeleverd en veel gebruikt aan universiteiten in Frankrijk, Engeland, Duitsland en Italië. De docent dicteerde tijdens zijn college steeds een paar zinnen uit het algorismustractaat en voorzag deze vervolgens van commentaar en voorbeelden.

Er zijn veel afschriften en bewerkingen van Sacrobosco's werk overgeleverd. Het bekendste is het commentaar van Petrus de Dacia (eind dertiende eeuw), dat vier keer zo omvangrijk is als het originele werk van Sacrobosco.

HetCarmen de algorismo van de Fransman Alexander de Villa Dei (Alexandre de Villedieu, eerste helft dertiende eeuw) heeft een vergelijkbare rol gespeeld. Het werk is geheel in hexameters geschreven, vermoedelijk om mnemotechnische redenen. De Hindoe-Arabische cijfers komen alleen aan het begin van het werk voor. Daarna worden de getallen in woorden gegeven. Hoewel de tekst op sommige plaatsen moeilijk te doorgronden is, is hij veel gebruikt en net als het werk van Sacrobosco in enkele honderden manuscripten overgeleverd.

Een vergelijking van de dertiende-eeuwse algorismustractaten en de Italiaanse abacustractaten uit dezelfde tijd levert meer verschillen dan overeenkomsten op.

Beide tekstsoorten behandelen de basisprincipes van het rekenen met

Hindoe-Arabische cijfers. Beide hebben een belangrijke rol gespeeld in de verbreiding van de nieuwe rekenmethode in Europa. Maar de auteurs hebben twee totaal verschillende doelgroepen op het oog waardoor vorm en inhoud van beide tekstsoorten sterk verschillen.

De abacustractaten zijn geschreven in de volkstaal en bevatten tientallen rekenregels waarmee vooral praktische vraagstukken opgelost worden. De meeste abacustractaten zijn zeer uitgebreid. Honderden pagina's met vraagstukken en hun oplossing zijn eerder regel dan uitzondering. De boeken worden gebruikt op rekenscholen om kinderen, met name koopmanszonen, de nieuwe rekenmethode met haar praktische toepassingen te onderwijzen.

De algorismustractaten zijn in het Latijn geschreven en veel theoretischer van

15 Deze bewerking is in twee dertiende-eeuwse manuscripten overgeleverd: een fragment in Cambridge (University Library, Ii. 6.5, fol. 104r-111v) en de volledige tekst in New York (Hispanic Society of America, HC 397/726, fol. 17r-24v). Folkerts verzorgde een editie van beide teksten, zie FOLKERTS1997.

16 Sacrobosco is waarschijnlijk rond 1200 in Halifax geboren. Hij is gestorven in Parijs. Het jaar van zijn dood kan zowel 1244 als 1256 zijn; een vers op zijn grafsteen geeft geen zekerheid:

M Christi bis C quarto deno quater anno: 1000 + 200 + 4 + (10 × 4) = 1244 of 1000 + 200 + (4 + 10) × 4 = 1256. GUMBERT-HEPP1987, p. 16.

24

aard. Dat wil zeggen dat de auteurs wél de rekenkundige bewerkingen met Hindoe-Arabische cijfers behandelen, maar die slechts met een enkel voorbeeld toelichten. Die voorbeelden gaan niet uit van een toepassingssituatie, laat staan dat er sprake is van een realistische handelscontext. Omdat rekenregels en praktische toepassingen van de rekenkunde ontbreken, zijn de

algorismusmanuscripten over het algemeen niet langer dan ongeveer tien bladzijden.

Ze worden aan de universiteit gebruikt. In de loop van de zestiende eeuw verdwijnt de algorismus-traditie. Slechts enkele algorismusboeken worden gedrukt of in de volkstaal vertaald.¹⁷

De abacusboeken verschijnen daarentegen steeds vaker in druk. Het begin daarvan ligt ergens tussen 1471 en 1482. In deze tijd wordt in Bamberg een blokboek in de Duitse taal gedrukt over de nieuwe rekenmethode met haar praktische toepassingen. De pagina's van dit rekenboek zijn in hun geheel uit een blok hout gesneden.¹⁸In Treviso wordt in 1478 voor het eerst een rekenboek met losse letters gedrukt. Dit boek is in de Italiaanse taal geschreven.¹⁹In 1482 drukt men in Bamberg met losse letters het Duitse rekenboek van Ulrich Wagner.²⁰

In de loop van de zestiende eeuw worden ook in de andere Europese landen steeds meer rekenboeken gedrukt. Deze boeken bevatten naar Italiaans voorbeeld veel vraagstukken en toepassingen van de rekenkunde. Naarmate het papier goedkoper wordt en de boekdrukkunst zich verder ontwikkelt, neemt het aantal vraagstukken, en daarmee de omvang van de boeken, toe. Ze zijn geschreven in de verschillende volkstalen. Alleen al in de Nederlandse taal zijn er van vóór 1601 maar liefst 24 gedrukte boeken over de nieuwe rekenmethode overgeleverd. De eerste gedrukte tekst in de Nederlandse taal over dit onderwerp verschijnt in 1508 te Brussel bij Thomas van der Noot.²¹

De boekdrukkunst draagt ertoe bij dat veel vraagstukken uit de abacustraditie wijd verbreid worden en soms zelfs nog in de hedendaagse reken- en

wiskunde-boeken voorkomen. Dat geldt bijvoorbeeld voor het vraagstuk over de tijd waarin een badkuip gevuld kan worden met behulp van twee verschillende

waterpijpen. Dit probleem, dat al in negende-eeuwse bronnen uit India voorkomt,²² wordt eveneens aangetroffen in het rekenboek van Filippo Calandri uit 1491, maar ook, in iets gemoderniseerde vorm, in een hedendaags wiskundeboek.²³Leerlingen van tegenwoordig weten vaak niet dat ze soms vraagstukken oplossen die al minstens 1000 jaar als opgave in omloop zijn.²⁴

17 EGMOND1976, p. 317. Het Nederlandse rekenboek H-BaU-1445 past qua vorm en inhoud in de traditie van de algorismustractaten. Het is het enige overgeleverde algorismustractaat in de Nederlandse taal.

18 SCHRÖDER1996, p. 31.

19 Swetz verzorgde een Engelse vertaling van deze zogeheten Treviso-arithmetica, zie SWETZ

1987.

20 Er is slechts een fragment van dit boek overgeleverd, bestaande uit 26 vraagstukken. Een jaar later verschijnt bij dezelfde drukker in Bamberg nog een Duits rekenboek. Vermoedelijk is ook dit boek door Ulrich Wagner geschreven. In dit rekenboek wordt de nieuwe

rekenmethode uitvoerig uitgelegd en toegepast. Zie SCHRÖDER1996, p. 29.

21 D-Man-1508. Zie p. 247.

22 TROPFKE1980, p. 578.

23 CALANDRI1491, k3v en ABELS1988, p. 151.

24 Over de rol die vraagstukken uit de abacustraditie kunnen spelen in het hedendaagse wiskundeonderwijs, zie KOOL1992a, 1993, 1994a, 1994b en 1995.

25

Terug nu naar de Middeleeuwen. Dankzij de algorismustractaten dringt de nieuwe rekenmethode in kringen van geleerden door, terwijl de abacustraditie de rekenkunde in bredere lagen van de bevolking verbreidt. In het voorgaande zijn de verschillen tussen beide tekstsoorten behandeld. Deze hangen samen met de verschillende doelgroepen die men op het oog heeft. In het verlengde hiervan zou men verwachten dat ook de auteurs zeer verschillend waren: in het Latijn schrijvende universitaire geleerden voor de theoretische algorismustractaten en in de volkstaal schrijvende rekenmeesters voor de praktische abacusboeken, met wellicht een diepe kloof tussen beiden. Snelders gaat hier inderdaad vanuit, maar in werkelijkheid blijkt er nauwelijks van een kloof sprake te zijn geweest.²⁵Wel zijn er vele auteurs die uitsluitend in de volkstaal over toegepaste rekenkunde schrijven. Zij hebben geen universitaire opleiding genoten en richten zich tot een eenvoudig, dat wil zeggen niet-geleerd publiek. Auteurs als Adriaen van der Gucht,²⁶Bernaert Stockmans,²⁷ Willem Raets²⁸en anderen behoren hier toe.

Stockmans schrijft in de voorrede van zijn rekenboek:

Dit en is den gheleerden niet gheschreven,

+eenvuldighen:

eenvoudigen.

maer den eenvuldighen⁺ alleen ghegheven.²⁹

Naast niet-geleerde auteurs zijn er echter ook auteurs die wel aan de universiteit gestudeerd hebben of daar zelfs doceren, en die zich in hun rekenboeken niet uitsluitend tot geleerden richten, maar ook rekening houden met eeneenvuldig publiek, of zelfs speciaal voor deze doelgroep boeken in de volkstaal over toegepaste rekenkunde schrijven.

Eén van hen is Luca Pacioli (ca. 1445-1514). Hij doceert wiskunde aan verschillende Italiaanse universiteiten en kent dus ongetwijfeld de

25 SNELDERS1983, p. 214.

26 Adriaen van der Gucht schrijft in 1569 een Nederlands rekenboek, D-Guc-1569, dat in 1594 herdrukt wordt. Uit de titel van het rekenboek blijkt dat hij schoolmeester in Brugge is. Daar is hij waarschijnlijk de rest van zijn leven blijven wonen. Zie SMEUR1960, p. 42.

27 Het Nederlandse rekenboek van Bernaert Stockmans dat is overgeleverd, is uit 1595, D-Sto-1595, maar de voorrede wordt afgesloten met de datum 20 juli 1589. Mogelijk stamt de eerste uitgave van het boek uit 1589. Het werk is in de zeventiende eeuw herhaaldelijk herdrukt. Stockmans werd in 1572 opgenomen in het gilde van schoolmeesters van Antwerpen.

Hij vertrok waarschijnlijk in 1575 naar Noord-Nederland waar hij in 1591 schoolmeester te Dordrecht was. In de voorrede van zijn rekenboek noemt hij zichzelffrancoysche meester.

In 1593 keert hij weer terug naar Antwerpen, waar hij brouwer wordt. Zie GROOTE1967, p.

305.

28 Van Willem Raets (gest. tussen 1566 en 1576) is een Nederlands rekenboek uit 1580 overgeleverd, D-Rae-1580. Dit boek is een door Michiel Coignet verzorgde heruitgave van een rekenboek uit 1566 dat niet meer is teruggevonden. Volgens BIERENS DE HAAN1887, XXIII, p. 146-147 is Willem Raets wijnroeier te Maastricht. (Een wijnroeier bepaalt met behulp van een wijnroede, dat is een stok voorzien van een specifieke maatverdeling, de diepte van een ton. Op basis van dat gegeven berekent hij de inhoud van de ton.) Aan het rekenboek van Raets is inderdaad een tractaat over wijnroeien toegevoegd, maar uit het stadsarchief van Antwerpen blijkt dat Raets twee maal heeft deelgenomen aan een ‘examen’ voor officieel wijnroeier, maar nooit geschikt werd bevonden (SAA Pk 1409, fol. 15r-17v). Het tractaat over de wijnroede is mogelijk door Coignet toegevoegd. Raets is koopman en drijft handel samen met zijn vrouw (SAA Pk 639-640, fol. 97r-v en 99r). Zie MESKENS1993, p. 26. (SAA = Stadsarchief Antwerpen).

29 D-Sto-1595, inleiding.

algorismustractaten. Maar in zijn ItaliaanseSumma³⁰besteedt hij ook veel aandacht aan de praktische

30 PACIOLI1491.

26

rekenkunde.³¹In Duitsland zijn er in de vijftiende en zestiende eeuw verschillende auteurs die aan de universiteit doceren en toch ook Duitse rekenboeken in de stijl van de rekenmeesters publiceren. Het zijn Johannes Widman (1489), Heinrich Schreyber (1518) en Peter Apian (1527).³²Ook Gielis van den Hoecke, auteur van een Nederlands rekenboek, heeft een universitaire opleiding genoten.³³Hij begint zijn werk met een Latijnse opdracht aan de wiskundige Guilhelmus Rhetius. Stevin heeft aan de universiteit van Leiden gestudeerd en richt zich inDe Thiende tot koop- en ambachtslieden.³⁴

Voorgaande voorbeelden tonen aan dat zestiende-eeuwse geleerden niet uitsluitend theoretische werken voor publiek uit eigen kring schrijven, maar ook toegepaste rekenkunde voor een niet-geleerd publiek behandelen. Bovendien blijken geleerden op den duur zelf steeds meer belangstelling te krijgen voor de

toepassingen van de rekenkunde. Johan Scheubel (1494-1570) is verbonden aan de universiteit van Tübingen. Hij schrijft in 1545 een uitvoerig rekenboek van 255 folia in het Latijn. Aan de titel voegt hij toe:

Non solum ad usum quendam vulgarem, sed etiam

cognitionem et scientiam exquisitiorem arithmeticae

+Non...accomodatum: Niet alleen voor een of ander eenvoudig gebruik, maar ook geschikt om meer uitgelezen kennis en wetenschap van de rekenkunde te verwerven.

accomodatum.⁺³⁵

Scheubel is er kennelijk van overtuigd dat toepassingen van de rekenkunde kunnen leiden tot meer kennis en wetenschap van dat vak. Hij draagt zijn werk op aan deDoktoren und Magistern des Senats der Universität Tübingen.³⁶

Ook Johannes Noviomagus, Gemma Frisius en Petrus Beausardus publiceren Latijnse rekenboeken³⁷waarin het rekenen met Hindoe-Arabische cijfers wordt behandeld, gevolgd door toepassingen van de rekenkunde in de vorm van

rekenregels en vraagstukken. Men vermoedt dat het werk van Gemma Frisius, dat zeer vaak herdrukt is, aan de universiteiten gebruikt werd.³⁸Daar zijn geen bewijzen van, maar het is duidelijk dat werken als die van Gemma Frisius en zijn collega's de toegepaste rekenkunde in geleerde kringen verbreiden.

Ten slotte blijkt dat sommige auteurs ertoe overgaan om in Nederlandstalige re-

31 CIFOLETTI1992, p. 10.

32 REICH1996, p. 187.

33 Gielis van den Hoecke (ca. 1505-...) noemt zichzelf in zijn voorrede Aegidius Hoecke. Hij wordt in 1521 ingeschreven aan de universiteit van Leuven. In 1535 woont hij in Gent, waar hij een kantoor heeft, almanakken verkoopt en misschien les geeft aan de school van zijn oom Eligius Houcarius. In 1537 schrijft hij een Nederlands rekenboek, D-Hoe-1537, dat in 1545 herdrukt wordt. Zie BOCKSTAELE1985, p. 5-9.

34 D-Ste-1585, p. 3. Simon Stevin (1548?-1620) wordt in Brugge geboren. Vermoedelijk maakt hij reizen door Polen, Pruisen en Noorwegen voordat hij zich in 1581 in Leiden vestigt, waar hij zich in 1583 inschrijft aan de universiteit. Hij schrijft onder andere over wiskunde, natuurkunde, astronomie, boekhouden, vestingbouw en rechtsgeleerdheid. In 1585 verschijnt De Thiende, D-Ste-1585, een boekje over het rekenen met decimale breuken. Stevin heeft een goede relatie met Prins Maurits. In 1600 krijgt hij de opdracht om een instructie samen te stellen voor een aan de Leidse universiteit te verbinden ingenieursschool. Zie SMEUR1965, p. 12-13.

35 SCHEUBEL1545, titelpagina.

36 REICH1996, p. 187.

37 NOVIOMAGUS1539, FRISIUS1540 en BEAUSARDUS1573.

38 SMEUR1960, p. 21.

27

kenboeken Latijnse passages op te nemen³⁹of enkele onderwerpen te behandelen die speciaal voor geleerden bestemd zijn, zoals algebra, getallenleer en het trekken van wortels van een hogere macht dan drie. De verschillen tussen praktische rekenboeken in de volkstaal en theoretische rekenboeken in het Latijn zijn in sommige gevallen erg klein.

1.3 Rekenen met de pen of rekenen met penningen?

In de vorige paragraaf is beschreven hoe naast de traditionele rekenmethode van het rekenen met penningen, het rekenen met de pen in gebruik komt. Deze nieuwe rekenmethode wordt in de loop van de zestiende eeuw weliswaar door steeds meer mensen geleerd, maar dat betekent niet dat de traditionele rekenmethode snel in onbruik raakt. Het betekent evenmin dat buiten de rekenboeken in officiële

documenten, kasboeken, rekeningen en dergelijke de Romeinse cijfers al snel door de Hindoe-Arabische worden vervangen. Daar gaan meer dan vijf eeuwen overheen.

Al in de twaalfde eeuw wordt het werk van al-Khwarizmi in het Latijn vertaald. Al in 1202 schrijft Leonardo van Pisa zijnLiber abaci, maar in 1698 worden in de Zuidelijke Nederlanden nog rekenpenningen geslagen⁴⁰en in 1707 behandelt Leonhard Sturm in zijnKurtzer Begriff der gesamten Mathesis nog steeds het penningrekenen.

Eeuwenlang zijn het rekenen met de pen en het penningrekenen naast elkaar in gebruik geweest en de vraag doet zich voor hoe de verstandhouding was tussen de beoefenaars van de traditionele rekenmethode en de nieuwlichters. In de literatuur wordt het nogal eens voorgesteld alsof ze als concurrenten tegenover elkaar stonden.

Swetz schrijft: ‘In the late Middle Ages and early Renaissance, a bitter controversy raged between the advocates of the Hindu-Arabic system - the algorists - and the abacists.’⁴¹Volgens Boyer stelt de afbeelding op de titelpagina van het rekenboek van Adam Ries (1492-1559) een wedstrijd voor tussen de oude en de nieuwe rekenmethode.⁴²Zie figuur 1.2.

Ries rept in zijn boek met geen woord over een wedstrijd. Hij behandelt beide rekenmethodes en schrijft dat het penningrekenen een goede voorbereiding op de nieuwe rekenmethode vormt. Mensen die eerst met penningen hebben leren reke-

39 Dat doet bijvoorbeeld Christianus van Varenbraken in H-GeU-1532, fol. 157r-v en 160r-v.

Van Christianus van Varenbraken is niet meer bekend dan wat hij over zichzelf schrijft in handschrift 2141 van de universiteitsbibliotheek van Gent. Hij schrijft dat hij meester in de zeven vrije kunsten is en verschillende ongeletterden heeft leren lezen en spellen. In het handschrift in Gent bevindt zich een rekentractaat van zijn hand, H-GeU-1532, maar daarnaast ook een tractaat over geometrie, een muziektractaat (zie BRAEKMAN1981) en twee

spellingtractaten (zie BRAEKMAN1978). Het is niet bekend of Van Varenbraken auteur of scribent van deze tractaten is.

40 BARNARD1916, p. 90.

41 SWETZ1987, p. 30.

42 BOYER1968, p. 309.

28

Figuur 1.2. Rekenaars met de pen (in dit geval krijt of houtskool) en rekenaars met de penningen gebroederlijk aan één tafel. Afbeelding van de titelpagina van RIES1533.

nenmügen alsdann mit geringer Mühe auff den Ziffern ihre Rechnung vollbringen.⁴³ Peeter Heyns gebruikt in zijn rekenboek op elke linkerpagina Romeinse cijfers en op elke rechterpagina Hindoe-Arabische cijfers.⁴⁴Waarschijnlijk wil hij zijn leerlingen beide getalsystemen leren. Overigens vermeldt Heyns op de titelpagina van zijn rekenboek dat hij zijn werk schrijft...

43 MENNINGER1969, p. 431.

44 Peeter Heyns (1537-1598) is in 1574-1575, 1579-1580 en 1584-1585 deken van het gilde van schoolmeesters in Antwerpen. Tevens is hij van 1579 tot 1585 wijkmeester in deze stad.

Dat houdt in dat hij het contact tussen het stadsbestuur en de bevolking moet onderhouden en allerlei administratieve taken moet verrichten, met name het aanleggen van een wijkregister, de inning van de honderdste en vijfde penning, zorgen voor inkwartiering van troepen, uitvoeren van volks- en andere tellingen, enz. Zie MESKENS1994, p. 33. Heyns bestuurt lange tijd samen met zijn vrouw Anna Smits een school in Antwerpen. Na de val van de stad in 1585 komt hij via Frankfurt en Stade (Duitsland) rond 1595 in Haarlem terecht, waar hij samen met zijn schoonzoon Offermans een school houdt. Zie SMEUR1960, p. 34. In 1561 schrijft Heyns een Nederlandstalig rekenboek, D-Hey-1561, en in 1584 een Franstalig rekenboek (HEYNS1584).

Bovendien publiceert hij nog een schoolboek over schoonschrijven (HEYNS1568) en een aardrijkskundeboek (HEYNS1577). Zie RESOORT1989, p. 79.

29

Tot profyte van die willen leeren lustich rekenen met penninghen oft penne.⁴⁵

Dit suggereert dat hij zowel het penningrekenen als het schriftelijk rekenen behandelt.

Dat blijkt niet zo te zijn. In zijn rekenboek gebruikt hij weliswaar de Hindoe-Arabische cijfers, maar hij rekent er niet mee. Het penningrekenen is de enige methode die Heyns aan de orde stelt. Maar het ziet er niet naar uit dat hij deze keuze gemaakt heeft om zich tegen de nieuwe rekenmethode af te zetten.

Ook uit andere voorbeelden blijkt dat conservatieven en nieuwlichters niet tegenover elkaar staan. Integendeel. Verschillende mensen in de zestiende eeuw kennen en gebruiken beide rekenmethodes. Dat geldt bijvoorbeeld voor Petrus Ramus (1515-1572) die in zijnArithmetica libri tres (1555) het rekenen met Hindoe-Arabische cijfers behandelt, maar voor zijn persoonlijke rekenwerk het rekenbord trouw blijft.⁴⁶

Er zijn ook verschillende rekenboekauteurs - zoals de hiervoor genoemde Adam Ries - die in hun werk beide methodes behandelen. Vaak blijkt dat al uit de titel. Zo schrijft bijvoorbeeld Christoff Rudolff in 1526Künstliche rechnung mit der Ziffer vnd mit den zal pfenningen sampt der wellischen Practica. In 1510 verschijnt een uitgebreide herdruk van het eerste gedrukte rekenboek in de Nederlandse taal uit 1508. Aan de uitleg van het rekenen met Hindoe-Arabische cijfers is een instructie over penningrekenen toegevoegd:Die maniere om te leeren cijfferen ende rekenen metter pennen ende metten penningen Na die gherechte conste Algorismi. Int gheheele ende int ghebroken.⁴⁷Verschillende Nederlandse rekenboeken volgen, waarin beide rekenmethodes worden uitgelegd.⁴⁸De oude rekenmethode wordt daarin minder uitvoerig behandeld dan de nieuwe, maar afgezien daarvan worden beide methodes als gelijkwaardige alternatieven gepresenteerd.

Wat is er de oorzaak van dat het zo lang duurt voordat het rekenen met de pen de oude rekenmethode volledig heeft vervangen? Er zijn verschillende oorzaken aan te wijzen, maar de belangrijkste heeft te maken met het alfabetiseringsproces dat zich gedurende de Middeleeuwen in de Nederlanden heeft voltrokken. Zolang men niet kan schrijven, is het natuurlijk uitgesloten dat men leert rekenen met de pen.

In de vroege Middeleeuwen kunnen de meeste mensen niet lezen en schrijven, maar over het algemeen ervaren ze hun ongeletterdheid niet als problematisch.

Geschreven teksten spelen in hun leven nauwelijks een rol. Aanvankelijk komt geletterdheid voornamelijk voor bij geestelijken en monniken. Zij lezen religieuze geschriften en geven de inhoud daarvan mondeling door aan de ongeletterden.

Daarnaast moeten landheren steeds vaker officiële documenten, brieven en kronieken kunnen lezen. Langzaam maar zeker neemt de behoefte om te leren lezen

45 D-Hey-1561, titelpagina.

46 VERDONK1966, p. 129.

47 D-Man-1510.

48 H-GeU-1532, D-Hoe-1537, D-Pet-1567, H-BKB-1568 en D-Guc-1569.

30

toe. De concilies van 1179 en 1215 stimuleren de oprichting van parochiescholen en inderdaad komen die al spoedig in groten getale voor. Maar op deze scholen ligt de nadruk op het memoriseren van de teksten die veelvuldig gebruikt worden tijdens de kerkdiensten. De jonge leken worden opgevoed tot devote gelovigen en trouwe kerkgangers en slechts enkele leerlingen leren echt goed lezen.⁴⁹

Met het ontstaan en de ontwikkeling van steden krijgt men steeds meer te maken met ambtelijke voorschriften en wettelijke regels waarvan men kennis moet nemen.

Natuurlijk kan men zich laten voorlezen, maar op den duur gaat het steeds meer voordelen bieden als men zelf kan lezen. Tegelijkertijd ondergaan de geschreven teksten enkele veranderingen. Aan zakelijke documenten stelt men andere eisen dan aan religieuze geschriften. Ze moeten sneller en goedkoper gemaakt worden en dus gaat men kleinere stukken perkament beschrijven, zonder illustraties en in een sneller - cursief - handschrift.⁵⁰Gaandeweg ontdekt men de kracht en het gemak van het geschreven woord boven het gesproken woord en het geheugen.

Vooral kooplieden gaan bij de toenemende handel in de vijftiende en zestiende eeuw de voordelen van geschreven documenten ervaren. Ze bemerken vooral het nut van lees- en schrijfvaardigheid op het moment dat ze niet langer meer zelf met hun handelswaar op reis gaan, maar in plaats daarvan met partners gaan werken en commissionairs op pad sturen, voorzien van handels- en wisselbrieven. Hun gecompliceerde handelstransacties kunnen ze schriftelijk vastleggen en als ze eenmaal kunnen schrijven is de stap naar de nieuwe rekenmethode met de pen niet meer zo groot.

Rond 1600 kan in de Nederlanden 40% van de vrouwen en 60% van de mannen haar of zijn handtekening zetten. Dit wordt wel als een indicatie voor de mate van geletterdheid van de Nederlandse bevolking gehanteerd,⁵¹maar iemand die zijn handtekening kan zetten, hoeft nog niet per definitie te kunnen lezen en schrijven.

En als hij of zij misschien wel de techniek van het lezen heeft geleerd, is dat nog geen waarborg voor geletterdheid, die immers tevens het begrip van de gelezen tekst impliceert. Aan het eind van de zestiende eeuw lag het functionele alfabetisme ongetwijfeld veel lager dan de bovenvermelde percentages wellicht suggereren.

Daar komt nog bij dat in het zestiende-eeuwse onderwijs het leren lezen aan het leren schrijven vooraf ging en dat voor schrijfonderwijs meer schoolgeld betaald moest worden. Veel ouders namen hun kinderen van school af tegen de tijd dat ze aan schrijven toe waren.⁵²

Voor mensen die niet kunnen schrijven, maar wel willen leren rekenen blijft er maar een mogelijkheid over: het traditionele penningrekenen. Van Varenbraken geeft in zijn rekenboek expliciet aan dat hij het penningrekenen uitlegt voor degenen die niet kunnen schrijven:

49 DODDE1997, p. 13. Zie p. 43.

50 CLANCHY1979, p. 100.

51 DODDE1997, p. 9.

52 BOOY1977, p. 55. De Booy onderzocht het plattelandsonderwijs in de provincie Utrecht.

Mogelijk kwamen stadskinderen vaker aan het schrijfonderwijs toe, maar in de zestiende eeuw waren er desondanks veel mensen die niet konden schrijven.

31

+Om dies wille dat: omdat.

Om dies wille dat veel⁺ persoonen niet scriven en connen dien nochtans de conste der rekeninghe wel van noode es te weten, so sal ic de selve conste hier naer bescriven... hoemen

+penninghen ende legghelde:

rekenpenningen.

die metten penninghen ende⁺

+orboren: beoefenen.

legghelde orboren sal.⁺⁵³

Wie wel kan schrijven, kan leren rekenen met de pen, maar ook onder geletterden zijn er velen die de traditionele rekenmethode met penningen blijven hanteren, zoals bijvoorbeeld de eerder genoemde Petrus Ramus.⁵⁴

Sommige rekenboekauteurs laten de keuze voor een van beide rekenmethodes afhangen van de omstandigheden. Van Halle⁵⁵geeft aan dat het penningrekenen voordelen heeft bij het toepassen van de Welsche of Italiaanse praktijk:⁵⁶

Dese rekeninghe is seer

+licht: gemakkelijk.

licht metter pennen, maer⁺ noch veel lichter metten

+legpenninghen:

rekenpenningen.

legpenninghen.⁺⁵⁷

Hij licht deze uitspraak niet nader toe. Van der Gucht beweert dat het penningrekenen handig kan zijn als je geen pen op zak hebt:

+Ghelijckt: omdat het.

Ghelijckt dicwils ghebuert,⁺ dat de coop-lieden wel wat

+wat paeyements: wat aan betaalmiddel [bedoeld wordt: muntgeld].

paeyements ofte ghelts over⁺

+over hemlieden: bij zich.

hemlieden hebben ende⁺

+hint: inkt.

juuste gheen penne en hint⁺

+greffie-boucxken:

notitieboekje.

ofte greffie-boucxken, zo⁺

+dien: [verwijst hier naar penningrekenen].

volght hier naer van dien⁺ een corte instructie.⁵⁸

Het penningrekenen blijft nog lange tijd een goed alternatief, omdat het nu eenmaal bepaalde voordelen heeft ten opzichte van het rekenen met de pen. Zo kunnen getallen met behulp van penningen aanschouwelijk voorgesteld worden.

Het getal vier bijvoorbeeld wordt door vier penningen weergegeven en niet door een abstract symbool. Bij de bewerking ‘optellen’ worden echt penningen toegevoegd en bij ‘aftrekken’ worden ze weggehaald. Dat is concreter dan wat cijfertjes onder elkaar plaatsen.

53 H-GeU-1532, fol. 185r.

54 Zie p. 29.

55 Over Peter van Halle (1550-...) is weinig bekend. Er is een Nederlands rekenboek van hem overgeleverd, H-BKB-1568. Uit een inleidend gedicht in dit boek blijkt dat hij het in 1568 op achttienjarige leeftijd in Mechelen heeft geschreven.

56 Een toelichting op de Welsche of Italiaanse praktijk is te vinden in paragraaf 4.3.

57 H-BKB-1568, fol. 251v.

58 D-Guc-1569, fol. 112r.