2m = eV,

OPGAVEN WEEK 2 Naam:

DE BROGLIE

Opgave 1: Bepaaldeversnelspanningdienodigisomeen elektroneen deBroglie-golengtevan

1Å te geven. Dit orrespondeert met degroottevande inter-atoomafstanden vaneen kristal.

Oplossing: Dekinetis he energie vanhet elektron isgelijk aan deelektrostatis he energie,

p ²

2m = eV,

⁽¹⁾

met

p, m

^en

e

respe tievelijk de impuls, massa en lading van het elektron. De versnelspanning wordtgerepresenteerddoor

V

^{. DedeBrogliegolengte}

λ

^{staatmetdeimpulsinverbandvolgens}

p = h

λ ,

⁽²⁾

met

h

^{de onstante vanPlan k. Hiermee vinden we voor de} versnelspanning

V = p ² 2me

= h ²

2m · λ ² · e

= (6, 626 × 10 ⁻³⁴ Js) ²

2 · (9, 1 × 10 ⁻³¹ kg) · (10 ⁻¹⁰ m) ² · (1, 6 × 10 ⁻¹⁹ C)

= 151 V.

(3)

Merkopdatdekinetis heenergievan

151

^{eVkleinistenopzi hte vandemassavanhetelektron,}

m = 511

^{keV,endathetgebruikvande}niet-relativistis heuitdrukkingvoordekinetis heenergie dus gere htvaardigd is.

Opgave2: BerekendedeBroglie-golengte vaneenthermis hneutronmeteenenergievan0,05

eV.

Oplossing: Dekinetis heenergievaneenzogenaamdthermis hneutronwordtgegevendoor

3 2 kT

^,

met

k

^{de onstante van Boltzmann en}

T

^de temperatuur. We zien dat een energie van0,05 eV overeenkomt met een temperatuur van

T = 2E

3k

= 2 · (0, 05 eV) 3k

= 2 · (0, 05 eV) · (1, 6 × 10 ⁻¹⁹ C) 2 · (1, 38 × 10 ⁻²³ JK ⁻¹ )

= 387 K.

(4)

We berekenen allereerst de energie vandit neutron. Er geldt

p ² 2m n

= E n = 0, 05 eV = (0, 05 eV) · (1, 6 × 10 ⁻¹⁹ C) = 8, 0 × 10 ⁻²¹ J.

⁽⁵⁾

p = p2m n E n = p2 · (1, 67 × 10 ⁻²⁷ kg) · (8, 0 × 10 ⁻²¹ J) = 5, 2 × 10 ⁻²⁴ kg m/s.

⁽⁶⁾

Voor de de Broglie golengte vinden we

λ = h

p = 6, 6 × 10 ⁻³⁴ Js

5, 2 × 10 ⁻²⁴ kg m/s = 1, 28 × 10 ⁻¹⁰ m.

⁽⁷⁾

Opgave 3: Bereken de energie van een proton meteen golengte van 0,5fm (1 fm=10

−15

m

=10

−5

Å= 1fermi).

Oplossing: Deimpulsvanhet protonwordt gegeven door

p = h

λ = 6, 6 × 10 ⁻³⁴ Js

0, 5 × 10 ⁻¹⁵ m = 1, 32 × 10 ⁻¹⁸ kg m/s.

⁽⁸⁾

Detotale energie (in lusief rustenergie)volgt uit

E ² = p ² c ² + m ² _p c ⁴ → E = q

p ² c ² + m ² _p c ⁴

⁽⁹⁾

en dus

E = p(1, 32 × 10 ⁻¹⁸ kg m/s) ² · (3 × 10 ⁸ m/s) ² + (1, 67 × 10 ⁻²⁷ kg) ² · (3 × 10 ⁸ m/s) ⁴

= 4, 23 × 10 ⁻¹⁰ J.

(10)

Detotale energie is dus

E = (4, 23 × 10 ⁻¹⁰ J) · 10 ⁻⁶

1, 6 × 10 ⁻¹⁹ C = 2.642 MeV

⁽¹¹⁾

en hiervan is 2.642 - 938 = 1.704 MeV de kinetis he energie (938 MeV orrespondeert met de

rustenergievan het proton-

E rust = m p c ²

^).

Opgave 4: Alsjeeen obje twiltobserverendat 2,5Ågroot is,watisdan deminimum energie

vanhet fotondat gebruikt kanworden?

Oplossing: Het oplossend vermogen van een mi ros oop is besproken op bladzijde 15 van de

presentatie over het twee-spleten experiment (zie website). Daar vonden we voor de onzeker-

heidsrelatie

∆x∆p ≈ h.

⁽¹²⁾

Deze relatie volgt ook uit vergelijking (64) op bladzijde 22 in het di taat,

∆x∆k ≈ 2π

^{. Het}

verband tussen impuls en golfgetal is

p = ~k

^{en dus geldt}

∆p = ~∆k

^{. Invullen levert weer}

vergelijking (12).

Wehebbennu

∆x = 2, 5×10 ⁻¹⁰ m

^{. Teneindeditobje ttekunnenobserverenhebbenwedeeltjes}

met eenminimum impuls nodigvan

∆p = h

∆x = 6, 6 × 10 ⁻³⁴ Js

2, 5 × 10 ⁻¹⁰ m = 2, 65 × 10 ⁻²⁴ kg m/s.

⁽¹³⁾

Deenergie van het fotonvolgtuit

E = pc = (2, 65 × 10 ⁻²⁴ kg m/s) · (3 × 10 ⁸ m/s) = 7, 9 × 10 ⁻¹⁶ J.

⁽¹⁴⁾

E = 7, 9 × 10 ⁻¹⁶ J

1, 6 × 10 ⁻¹⁹ C = 4, 96 keV.

⁽¹⁵⁾

Opgave 5: Berekenopgave 4 nogmaals, maarnuvoor elektronen in plaats vanfotonen.

Oplossing: Voor elektronen geldt ook weerdat

∆p = h

∆x = 2, 65 × 10 ⁻²⁴ kg m/s.

⁽¹⁶⁾

Debijbehorende energie volgt uit

E = (∆p) ²

2m = (2, 65 × 10 ⁻²⁴ kg m/s) ²

2 · (9, 1 × 10 ⁻³¹ kg) = 3, 9 × 10 ⁻¹⁸ J.

⁽¹⁷⁾

Dit komt overeen met

E = 3, 9 × 10 ⁻¹⁸ J

1, 6 × 10 ⁻¹⁹ C = 24 eV.

⁽¹⁸⁾

Opgave 6: Thermis he neutronen vallen in op een NaCl (zout) kristal (interatomaire afstand

2,81Å).Deneutronenondergaaneerste-ordedira tieaandeBraggvlakkenondereenhoekvan

20

◦

. Wat is deenergie van dezeneutronen?

Oplossing: Voor Braggsedira tiegeldt de relatie

2d sin θ = nλ,

⁽¹⁹⁾

met

d

^de rooster onstante van het kristal,

θ

^de diratiehoek en

n

^{de orde van dira tie. Voor}

eerste-ordedira tie geldtdat

n = 1

^{. Invullen levert voor degolengte,}

λ = 2d sin θ = 2 · (2, 81 × 10 ⁻¹⁰ m) · sin 20 ^◦ = 1, 92 × 10 ⁻¹⁰ m.

⁽²⁰⁾

Deimpuls van de neutronenis dan

p = h

λ = 6, 6 × 10 ⁻³⁴ Js

1, 92 × 10 ⁻¹⁰ m = 3, 45 × 10 ⁻²⁴ kg m/s.

⁽²¹⁾

Dekinetis he energie van dezeneutronen bedraagt

E n = p ² 2m n

= (3, 45 × 10 ⁻²⁴ kg m/s) ²

2 · (1, 67 × 10 ⁻²⁷ kg) = 3, 55 × 10 ⁻²¹ J.

⁽²²⁾

Dit komt overeen met

E = 3, 55 × 10 ⁻²¹ J

1, 6 × 10 ⁻¹⁹ C = 0, 022 eV.

⁽²³⁾

Opgave 7: Bepaal de interatomaire afstand voor een NaCl kristal als de di htheid van NaCl

gelijkisaan2,16

×

¹⁰

³

^kg/m

³

^endeatoomgewi hten voornatriumen hloorgelijkzijnaan23,00 en 35,46, respe tievelijk.

Oplossing: Om deze vraag te kunnen beantwoorden, dienen we het kristalrooster van NaCl te

begrijpen. Zoals guur 1 toont, zijner diverse kristalroosters. Het rooster van NaCliskubis h.

Hetatoomgewi ht van NaClbedraagt

M NaCl = 23, 00 + 35, 46 = 58, 46.

⁽²⁴⁾

Dit betekent dat58,46 gram van het zout,

N _A = 6, 022 × 10 ²³

^{NaClmole ulenbevat. Hierbijis}

N A

^{het getal van Avogadro.}

Figuur2toont datNaCleen kubis h kristalrooster heeft, waarbijde eenheids el een ribbeheeft

metlengte

2d

^{, waarbij}

d

^{degezo hte} rooster onstante is. Er bevindenzi h8 mole ulen (infeite Cl-ionen)opde hoekpuntenvande eenheids el. E hter, elkvandezemole ulen isonderdeelvan

8 zulke kubussen. Deze mole ulen tellen dus voor

(8 × ¹ 8 ) = 1

^{. Verder heeft de} eenheidskubus nog 6 mole ulen die zi h in het entrum van de zijvlakken bevinden. Elk van deze mole ulen

wordtdoor2kubussengedeeld. Dezemole ulen tellendusvoor

(6 × ¹ 2 ) = 3

^{. We vindenhiermee}

dat de eenheids el een di htheid heeftvan

ρ kubus = massa van (8 × ¹ 8 + 6 × ¹ 2 = 1 + 3 =) 4 NaCl moleculen celvolume = (2d) ³

= 58, 46 × 4 amu 8d ³

= 58, 46 · (1, 66 × 10 ⁻²⁷ kg) 2d ³

= 9, 7 × 10 ⁻²⁶ kg 2d ³ ,

(25)

met

d

^de rooster onstante. Dedi htheid van de kubusdient gelijk te zijn aande di htheid van NaClen we vinden voor de rooster onstante

d = ³

s 9, 7 × 10 ⁻²⁶ kg

2 · (2, 16 × 10 ³ kg/m ³ ) = 2, 82 × 10 ⁻¹⁰ m.

⁽²⁶⁾

Opgave 8: Bepaal de fotonux van een bundel mono hromatis h li ht met een golengte van

3.000Å en een intensiteitvan3

×

¹⁰

⁻¹⁴

^W/m

²

^.

Oplossing: De fotonux is het aantal fotonen per oppervlakte- en per tijdeenheid. De energie

vaneen fotonmet een golengte van3.000 Åbedraagt

E = hν = hc

λ = (6, 6 × 10 ⁻³⁴ Js) · (3 × 10 ⁸ m/s)

3, 0 × 10 ⁻¹⁰ m = 6, 62 × 10 ⁻¹⁹ J.

⁽²⁷⁾

Na Cl

2d a)

b)

4 cellen 2 cellen

Figuur2:HetroostervanNaCl. Weziendatde8mole ulendiezi hopdehoekpuntenbevinden,

onderdeelzijnvan8 ellen. Verderzijnde6mole uleninhetmiddenvandezijvlakken,onderdeel

van6 ellen.

Defotonux dieovereenkomt met eenintensiteit van3

×

¹⁰

⁻¹⁴

^W/m

²

^bedraagt

N = ˙ 3 × 10 ⁻¹⁴ W/m ²

6, 62 × 10 ⁻¹⁹ J = 4, 5 × 10 ⁴ Hz/m ² .

⁽²⁸⁾

Maakzoveelmogelijkopgaven. De orre tgemaakteopgaven wordenals redit bijhet tentamen

gebruikt (maximum 25 %).