Wanneer die vraagg t!Wat die getalsbegri:p van die kind op 'n bepaalde stadium in sy ontwikke- ling?11 of'

5

WYSGERIGE BESKOpiNGE OOR DIE GETAL lQ Inleidi.B£•

Wanneer die vraagg t!Wat die getalsbegri:p van die kind op 'n bepaalde stadium in sy ontwikke- ling?11 of'

₁₁

Hoe ontwikkel die getalsbegrip by die kind?" gestel word, is daar m.i. sekere ander vrae waarop eers 'n antwoord gegee moet word. Hierdie vrae is die volgende: (a) Wat is die getal na sy wese? en (b) Hoe kom die mens tot kennis van die

fi!P~· ·

tal? Op hierdie vrae sal die Wysbegeerte of' Ken- teorie die antwoorde moet gee. In hierdie hoof'stuk wil ons kortliks probeer vasstel watter antwoorde op hierdie twee vrae deur groat denkers in die loop van tyd gegee en daarna wil ons

¹

n eie beskouing van wat die getal is en hoe die mens tot kennis daarvan kom, f'or:r.a.1,1.leero

Die vraag of' die getal t!.berJ:J.aupt op die ge- bied van die Wysbegeerte tuishoort, is deur verskil- lende denkers oorwe en almal dit hieroor met mekaar eens t dit wel die geval is. Locke stel vas:

11

For number applies itself' to men, angels, actions, thoughts-- everything that either doth ex- ist or can be imagined.

¹¹

l) Ook Dooyeweerd beweer dat dit noodsaaklik is dat elke denker oor die Re-

kenkun~e

'n standpunt sal inneem i.v.m. die same- hang-van ruimtelike, bewegings-en getalsy van die werklikheid. Hy vind self's dat die moderne Reken- kunde onmoontlik is sonder dat so 'n besliste stand- punt ingeneem word"' 2) Ook Frege vind dat:

11

Eine

grtlndliche Untersuchung des Zahlbegrif'fes wird im- mer etwas philosophisch ausfallen mlissen."3) Hy wys

daarop dat emand nog daarin geslaag het om 'n be- vredigende

d~1nisie

van die getal te gee nie? maar tog het niemand ook nog oo iets ontdek wat rede gee om te dink dat die tal ondefinieerbaar is nie.

1)

2)

3)'

Locke? John: An essay concerning

h~~an

under- standing9

1~·1.

Dooyeweerd

₉ H~

De Wysbegeerte der We idee, Deel 1, 512.

Frege,G: Die Grundlagen der Arithmetik, v.

Volgens hom het niemand nog ooit 'n aanvaarbare de-·

finisie van die begrip EEN. gegee nie.J..)

Hankel.beweer dat die begrip

11

getal" nie gedefini- eer ~an ^{word nie.}

^{2 )}

Leibnitz beskou die getal as 'n

11

Adequate Idee,

doh~

als eine solche, die es deut- lich ist

9

dass alles was in ihr

vo~kommt,

wieder deutlich · ist o"

³⁾

·op grond van hierdie en ander ui t- sprake word in die volgende paragrawe 'n paging aan- gewend om antwoorde op die.vrae wat aan die begin van hierdie hoofstuk gestel is, te vind. Die ant-

~oorde

word soos volg gegroepeer:

(a) •n Vlugtige historiese oorsig van antwoorde wat in die verle4e gegee is; (b)

¹

n

Idealisties~

standpunt; (c) 'n Formalistiese standpunt; (d) 'n Logisistiese standpunt; (e) Dboyeweerd se standpunt;

(f) tn Eie standpunti

2. Wysgerige beskouinge oor

getal~

(a) 'n Vlugtige historiese oorsig.

In die wysgerige denke van die verlede .word daar slegs hier en daar aanduidings van die heersen- de opvatting aangaande die getal aangetref en daar kan

ei~tlik

nie van ontwikkeling van opvattinge ge- praat word nie.- Ons tref sporndies uitsprake i.v.m.

hierdie probleem

aa~;

daarom sal 'n oorsig ook by wyse van spronge moet geskied en hoofsaaklik bestaan,.

uit grepe uit die verlede.

By primitiewe volke word getal noodwendig rea- listies beskou. 4) Hiervolgens is die fisiese.~mge-'

wing die toessteen van die waarheid. Pythagoras gaan uit van die teenoorgestelde standpunt en verabsolu-

.

^'

teer die getal.. Vi·r hom en sy volgelinge is alles, selfs metafisiese begrippe, herleibaar tot getalle.

11

Alles is getalle.

¹¹ 5)

En hierin het hy 'n lang ry navolgers onder die Griekse wysgere gehad. So beweer

een/~.8•••••••

· 1)

Frega: Die Grundlagen der Ari thmetik.

27-4.

1.

2)

Ibid: 2T. - .,. .

3) Ibidf 41.

4) Curry: Outlines of a formalist Philosophy of Mathe-

matics~

3-4.

5)

Van Os: Getal en Kosmos, 449 Be,ll: The Magic of Num'l?ers, 110.

I

7

een vnn hulle,Philolaos:

11

De natuur vc.n het getal schept kennis, leidt en leert voor elkeen by elk ding, die hem twyfelachtig of onbekend voorkomn.

t •. ₁

Want niets van de dingen zou iemand klaar en

~uide­

lyk kunnen zyn, indien het getal niet ware en zyn wezen .. ul) Ook.Plato heg besondere waarde aan die

getal en dit pas goed by sy ideeleer aan.Die idee getal' is abstrak,

11

rebelling against the introduction of

visible or tangible objects into the argument.

112 )

Die Grieke oor die algemeen, beskou getal as 'n hoe- veelheid9 saamgestel uit eenhede. Hierdie omskry- wing het nie bevredig

^nie~

ooa, omdat die eenhede verskillend is in

versk~llende

gevalle waarin tog

eselfde getal voorkom, Om die moeilikheid te oor- brug9 die eenhede veronderstel om slegs in die bo-sinlike

w~reld

te bestaan. Aristoteles beskou getal in prinsipe dieselfde as hoeveelheid, mits mens jou losmaak van alle eienskappe waardeur eenhede van die hoeveelhede hulle van mekaar en van eenhede van ander hoeveelhede onderskei. 3) Ook hierdie verkla-

_,

ring gaan nie meer

op

as die getalle so groot word dat die gedagte van nhoevee_lheid" verlore gaan nie.

Bell wys daarop dat eeuelank

11

there is a blank in which neither mathematicians nor logicians could sa-

tisfy themselves ;,hat two is on its own.merits .. 114 )

I

Selfs lank na die tyd van die Grieke vind ons filo- sowe soos Locke en Hume wat die getal herlei tot .die waargenome werklikheid. Volgens hulle kom alle

menslike kennis deur middel van die sintuie - ook

·kennis van die tal wat dan herlei word tot die u:it- koms van empiries waargenome veelvuldigheid. Hume ,· stel di t soos

volg~

uThe only solid foundation we

:can give to this science itself must be laid on ex- ... perience and observa on.

u5)

Hy beskou die get~l ^as ':bestaande ui t die menslike vermoe om eenhede te on-

derskei/ •••••••• ,.

1 2 ) Van Os: Getal en Kosmos

₉

80.

) Eby and Arrowood: tory and Philosophy of Edu-

·cation, 373.

3l Van Os: Getal en Kosmos, 90-91 •

. 4

Bell~ Eo

T ..

~

The magic of

numbers~

18. .

5 Hume,D:. A Treatise of Human Nature, Vol.l, 5.

' _: . _'·-.

,•

8

onderskei en noem twee getalle gelyk

11

when they a:n so c·ombined as that the one has always an unit an- swering to every unit tl1e other

9

nl)

Locke beweerg

11

Number is that which the mind:

makes use of in measuring all things that by us.are measurable.·n 2 ) Die tal ontwikkel~ volgens hom, .

deur herhaalde byvoeging van een en deur aan e.f- ke nuwe groep 'n naam te e waardeur dit van die een wat voorafgegaan en die een wat volg onderskei kan word. en wat kan bytel en aftrek met een is dan

11

capable of all the ideas of numbers within the compass of his language. 113 ) Die opvatting ~an

talozzi sluit hierby anne Hy beskou ge as 'n geestesbeeld wat afgelei word van sintuiglike waar- neming. Sintuiglike prikkels word

op ¹

n een-een- grondslag met die getalname afgepaar en so ontstaan die getal~4)Die beskouing van Stanley Ha+l

₉

wat die getal tot ri tme herlei, is nou aan erdie opva··

ting verwant. Hy stel dit nl. d.at, ucounting is the rythmical punctuation of the stree.m conscious- ness. '

¹

Die oorsprong van tal is dus die mensli- ke es .. 5) Klapper die volgende inisie: nNum- ber the total of the relationships in a

group. Number an idea which the mind evolves and applies to expe ences." 6)

In die meeE3te van hie voorgaande omskry- winge vor.m die getal eintlik en deel van 'n

^vol~

dige wysgerige stelsel e maar word in die verby- gaan genoem en word dikwels meer igologies as wys-

·gerig

besien~

b.·

¹

n

Ideal~~e~.e_st_8;_nCl.:12:9:nt.

Die idealisme le near dat kenbare, alle ervaarbare dinge na hulle regte en oorspronklike we- sa

¹

n inhoud van die bewussyn is

⁰

Sommige ideaJ.iste

besko~

hierdie bewussyn as behorende tot

¹

n bepaalae -indiwidu

en/Q.t~oo;

•••

l)Hume1^D~

A Treatese of Human Nature,Vol.I

₉

75.

2)Lockeg An essay concerning Human understanding

₉

142.

3)Ibid: 142e ·

4)Klapper: The Teaching of Arithmetic, 224.

5)Ibid: 226

₉

Hall: Psychological Problems? 387.

6)Klapper~

The Teaching of Arithmetic, 227o

en hulle idealisme kan ons subjektief noem9 e.:nder weer spreek in algemene taal oor idees sonder te ^ver~

wys na 'n subj ek tot wie se gees hierdie idees be-·

hoort en hulle idealis:rne kan objekt::i_ef genoem. wordo Kant se idealisme word transendentaaJ_ genoem omdat hy sleg~s die formele elemente van kennis as ¹ n oar-·

spronklike besitting van die menslike gees beskou?

maar die ma teriele as gegewens l:Jeskou en op ¹ n rea-·

listiese wyse interpreteer" l)

Plato:~

die groat va- der van die idealisme~ gaan uit van·die standpunt dat alle ware kennis aangebore is. Hierdie ware kennis is dit waaraan nie getwyfel kan word nie en wa t deur elke normale vers tand aanvaar vrord., :Di t

sluit alle matenatiese waarheid asook alle alge~ene

en abstrakte idees in. Eierdie ken:::1is is die eien- dom van die siel voor die geboorte maar deur die ge- boorte vvord di t vergeet en worcl eers later terugge-

roep~ Kennis kom op tweenaniere~ (a) rn sensorie- se proses wat van die voorwerp o~tsprin~ on (b) die herstel van die begrip of algemene idee 1,vat al:;_~eeds

in die gees·aanwesig iso

Volgens Plato bestaan daar twee wgrelde~ die wgreld van idees en die wereld.van sinlike dinge. Slegs die ideE:He bestaan wel"'klik --~ di t ir:1 ·cyr~loos ₉ I'1Iim- teloos en onveranderlik.2) Die idee van die k1as- sieke Wiskunde het dan ook vo1gens hom ¹::1. or..afhan.l{- like bestaan en volgens die ^id~alisme in die a1ge- meen het die WiskuncJ.e t8 doen r1.et geestesbee1cle van

een of ander aard.3) Die idealistiese

beskouin~

^van

die geta1 is noodwendig tot die psigo1ogiese ^beperl~

aangesien die bui te--mens1ike aspekte van die Wiskun-'

de in hulle beskouinge ui tgeslui t j_s ^c

As verteenwoordiger van die Idealisms word

L. E. J. Brouwer hie:~ volled:i_ger be::;preek omda t hy die enigste (saver my bekend.) denker j_s wat ¹n volledigo

verklari::g/ •• ~ • " •• " ••

---"-·· ---·.

^---~--· ---·~··----·---

l) KUlpe~ Introduction to Philosophy ^s :::..94--5 ..

2) Eby and Arrowoocl~ History and P¹'1ilosophy r·:':' Edu·- cation1

350-2.

3) Curry~ Outlines of a formalist Philoso-p!1y of Mathematics₉

5.

verklaring vir die ontstaan van getal en Wiskunde · vanuit suiwer idealistiese standpunt uitgewerk het.

Sy skool word ge'noem die Intuisioniste omda t hulle die matematiese intuisie as toassteen vir wiskundi- ge waarheid aanvaar. 1 )

Volgens hierdie denkers besit die intuisie e vol- gende kenmerke

~

(i) dit 'n denkaktiwiteit; (ii) dit het 'n ^{a prio-}

ri-waarheidskarakter; (iii) dit is onafhanklik van taal; (iv) dit het 'n objektiewe bestaan - is die- selfde vir alle denkende wesens.

²)

Brouwer se standpunt berus op 'n a prio basiese intuisie van waardeur die mens in staat is om dinge uitmekaar te dink as reekseo3) Hierop word later vollediger teruggekom. Hy neem

verd~r

aan dat die ry klanke en ook die

ry

simbole vir e ordina- le getalle intuitief duidelik • 4 1 Die oer-intuisie van.die Wiskunde (en van alle werking van e intel- lek) is die

11

van kvvali tei t ontdane substraa t van alle waarneming van verandering, een eenheid van con-

tinu en discreet? een mogelykheid van samendenken van meerdere eenheden

₉

verbonden door een

₉

tusschen' dat door inschakeling van nuwe eenheden zich nooit ui tput;

lr 5)

Enige Wiskunde. word dan opgebou deur een-

,

voudige juxtap osisie van voorstellingseenhede of deur die vorming van reekse. of continuao Geen Wis- kunde wat op hierdie wyse intuitief opgebou is, kan bestaan

nie~

·By hierdie opbou is die enigste moontlike grondslag van die vak die vraag wat die in-

tuisie toelaat en wat nie,

6) 11

Den menschen is een vermogen eigen dat al hun wisselwerkingen met de natuur begel dt

₉

het vermogen n.l. tot wiskundig bekyken van hun leven. Het oer-phenomeen is

daarby/.o•o••••••

1) Brouwer: Over de Grondslagen der Wiskunde

₁

77.

2)

Curry: Outlines of a formalist Philosophy of Mathe- matic·s, 5-6.

3) Brouwer: Over de Grondslagen der Wiskunde

9

81-82.

4)

Ibid~

3.

5)

Ibid~

8;

6) Ibid:

77~

daarby de tydsintuisie zonder meer

₉

waarin herha- ling als ,ding in den tyd en nog eens ding' mogelyk is

1

en op grond waarvan levensmomenten uiteenvallen als volgreeksen van qualitatief verschillende

din~

gen

₉

die vervolgens zich in het intellect concen-

, I

treeren tot niet Yevoelde doch

~aargenomeg

wiskundi- ge volgreeksen.

¹¹¹

Die abstrakte Wiskunde word deur die intellek uit sy oer-intuisie opgebou en so kry ons 'n voorraad

11

onwerkelyk causale

volgreeksen~ti

Die eenvoudigste hiervan is uhet door de telhande- ling verkregen klankbeeld of schriftteeken van aan- tal of het door de maathandeling verkregen klank- beeld van maatgetal. 112 ) Hy verwerp met nadruk die stelling dat die Wiskunde uit die Logika opgebou is.

11

Is dus de Wiskunde niet afhankelyk van de logika, de logica is wel afhankelyk van de

Wiskunde~

voor- eerst het intuitief logisch redeneeren is dat be- zondere wiskundige redeneeren dat overblyft

₁

als men by

he~

bekyken der wiskundige systemen zich uit- sluitend beperkt tot relaties van geheel en

deel~

de beschouwde wiskundige systemen zelf dragen in geen opzicht een speciaal elementair karakter, dat een prioriteit van logisch redeneeren ten opzichte

·van gewoonwiskundig redeneeren zou kunnen wettigen. 113 ) Hy noem verder sowel Logika as Logistiek empiriese wetenskappe en toepassings van die Wiskunde. 4 )Deur die Logika het die mens geen hoop om die gronds1ae van die Wiskunde te le nie.5) Taal is slegs

¹

n mid- del1 en

¹

n gebrekkige middel? om Wiskunde aan ander mee te deel en het met die Wiskunde self niks uit- staande nie. 6 ) nHoe men zich draait of wendt

₁

de grond van de Wiskunde b1yft de

^W~skunde

en die groat over haar gehee1e gebied vry en intuitief.

¹¹

7) As

grondstel1ing/.~*·•6o•••

1) Brouwer: Over de Grondslagen der Wiskunde,Sl-2, 2) Ibid: 83-4o

3)

Ibid~

127.

4) Ibid::

130~

5)

Ibid: 132.

6) Ibid: 141.

7) Ibid: 161.

I

grondstelling van die Rekenkunde sien Brouwer die fei t da t

¹

n reeks wa t eenmaal getel is

₉

dieselfde·.

uitkoms sal gee as dit in enige ander volgorde ge- , tel word, Prosesse van o:ptelling, Cook van negatie-

we getalle) sowel as vermenigvuldiging en

magsver~.

heffing

₉

word herlei tot telwerkq . 'n Rasionale ge- tal

~ord

gedefinieer as

¹

n

11

:paar

¹¹

ordinal.e getalle geskryf in die vorm a/b waarvan die noemer :positief

is~

en die negatiewe getal is die ordinale getal na links deur te tel in twee rigtingsol) Irrasionale getalle is ueen symbolisch agglomoraat ':an reeds in- gevoerde getallen te schryven en daarin verder te lezen een verdeeling der reeds ingevoerde getallen in twee klassen

₉

de tweede waarvan geheel ·OP de eer- ste volgt en geen eerste element heeft.," 2) Die ge- heel van die getalle wat

op

elke punt ingevoer word, is orals

11

dig"

₉

d.w.s. tussen enige twee le nog ver- dere elemente.3) .

'n Be:paalde benaderingsreeks van 'n punt het geen.

eerste of laaste ·:punt nie .... kan nooi t as

1

iklaar

¹¹

ge- dink word nie ..

4)

I

Die groot waarde van die vak le

9

volgens Brouwer

₉

daarin dat, in die plek van

¹

n wonderlike verskynsel,

1

n minder wonderlike gestel word.5) Die vak kry sy . groot mag deur die samevatting van

¹

n groat aantal volgreekse onder een gesigspunt of wet of sisteem, deur matematiewe induksie o:pgebou.

⁶)

.Die diskrete waarnemings word aangevul tot kontinue funksies -

'n willekeurige daad wat blyk te werk en dus gehand- haaf word,?)

Heyting bou die werk van Brouwer verder uit, . ' Hy stel die standpunt van die IntuJ:s16niste soos

volg~ ₁₁

Die Mathematik (hat) inhaltliche Bedeutung und entsteht durch eine konstruktive

T~tigkeit

urcsores

Verstailds.

¹¹

l) / ... •.

l) Brouwer: Over de Grondslagen der Wiskunde

₉

5.

2) Ibid~ 6.

3l

Ib~d.~ 7.

4

^Ib~d~

10, 5 Ibid: 91.

6) Ibid: 844

7)

Ibidg 85

I

Verstands."l) Volgens hom berus die Intuisionisme op die volgende grondwette: (aY Matesis het nie al- leen formele nie, maar ook inhoudelike betekenis en (b) die matematiese voorwerpe (Gegenstande) word deur die denkende gees direk gesnap;· die matematie- se insig (Erkenntnis) is dus onafhanklik van erva- ringo2) Hy beskou Poincare as een van die voorlo- pers van qie Intuisionisme. Hoevel lg, die vry- heid van teespraak nie as 'n bewys in alle Wiskun- de aanvaar nie~ ₁₁betrachtet er die Widerspruchs- freihei t der Lehre von den na tUrl.iche Zahlen₉ als durch ihre intui tiv.e Klarhei t gewahrleistet.¹¹3)

Ook Borel beskou die natuurlike getal as so duidelik dat misverstand onmoontlik is. 4 )11Nach Brouwer ist die Mathematik identisch mit dem exak-

ten Teil v..nseres Denkens.n5) Hy herlei dit tot11die Fahigkeit bestimmte Begriffe und Schli.isset die im gewohnlichen Denken regelmaszig auftreten₉ geson- dert zu betrachten. 116 ) Heyting 'beskou die grond- slag van die na tuurlike getal u'l galee in die een- heid, d.w.s. ¹n voorwerp of ondervinding wat ons vir ons self as afgesonder van die res van die we- reld kan beskou; tweedens kan ons so 'n eenheid van 'n ander onderskei en derdens kan ons vir ons

'n onbeperkte herhaling van die proses voorstel.

Sodoende ontstaan die ry van die natuur1ike geta1- le.7)

Uit hierdie kort uiteensetting word dit duide- 1ik dat die Intuisioniste die getal sien as 'n be- grip wat aan die mens eie en deur sy intuisie op- gebou is. Die hele geta1leleer en Wiskunde word deur hierdie, intu:Lsie verder ontwikke1 en die mate-•

matisse intu:Lsie is die toets van reg of verkeerd.

Die vermoe om in die tyd te onderskei maak die vor- ming/ ... ..

1) Heyting~ Mathematische Grundlagenforschung intui- tionismus Beweistherie, 2.

2) Heyting₉ Mathematisohe Grund1agenforsohung intti..- ti?nismus Beweistheoriet 3 •.

3) Ibld~ 3 4-J Ib2d: 5.

5) Ib~d~ 11 6) Ibidg 12q

7)

Ibid~ 13.

14

ming van re

G

moontlik en grondliggende reeks die van e natuurlike getal.

Die Intuisioniste is deur ander denkers op ver- skillende punte aangeval en aan kritiek onderwe:rp.

Die iealistiese verklaring van getal bevat, vol- gens Curry, 'n teenstrydigheid aangesien dit meta- fisiese opvattinge veronderstel waarvan die Wiskun- de volgens

¹

n idealistiese beskouing vry behoort te weesol)

Volgens Von Freytag kan die volgende punte van kri- tiek op die standpunt van die Intuisionis inge- bring wordg

(a).Volgens die idealistiese beskouing word die ge-

'

tal psigies verklaar en dan ontstaan die vraag di-

rek~

Waarom dit dan dies de vir alle mense?

Hierdie argument kan egter met ewe veel reg ten gunste van

. word.

e idealistiese standpunt aangevoer

I

(b) Intuisie is slegs die middel waardeur die mens met die getal kennis maak. Dit veronderstel dus

1

n eie bestaan of syn van getal buite die menslike es. Hiervan gee e intuisioniste geen verkla- ring nie.

(c) Intuisie is

¹

n twyfelagtige herkenningsmiddel en dit mag ons verkeerd lei* Dit kan dus nooit 'n bewysmiddel word nie. 2 ) Ook hierdie punt van kri- tiek is aanvegbaar

9

omdat die mens tog dikwels van intuitiewe wete as bewysmiddel gebruik maak, bv.

in geloof, en by primitiewe volke in baie dinge soos die onderskeiding van goed en

kwaad~

Vir skrywer hiervan is die Intuisionisme nie aanneemlik as

¹

n verklaring vir die ontstaan en wese van getal nie, maar wel as verklaring vir die

ontwikkeling en uitbou van die Rekenkunde en getal- leleer. In die laaste paragraaf van hierdie hoof- stuk word hierop teruggekom.

c.Die Formalisme/ •••.••••••

1) Curryg Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics, 5 ..

2) Von Freytag: e ontologischen Grundlagen der Mathematik,

12~

I

c. Die Formalisme. 15 Die Formalisme gaan uit van sekere voorop- gestelde aksiomas en definisies. Hieruit moet, en kan

9

alle wiskundige wette en

re~ls

afgelei en be-

v~s

word. Daar word vooraf 'n oer-stelsel opgestel waarin 'n noukeurige omskrywing van terme voorkom;

daar word vasgestel watter maniere daar is om nuwe terme te vorm;

¹

n lys van die moontlike

manipul~­

sies met die soort argumente wa t v·ir elk aange- voer kan word

₉

word opgestel9 die eenvoudige voor- opgestelde stellings

₉

aksiomas en

re~ls

van prose- dura word noukeurig vasgestel9 e verskillende prose·sse en begrippe word deur middel van simbole voorgestel

₉

en e verklaring van erdie simbole vorm 'n el van die oorspronklike raamwerk •.

Hier~

I

die uiteensetting moet wees 9 d.w.s. rme, stel- lings9 aksiomas sowel as alle prosesse moet

^volle~

dig wees. Die stels verkry hieraeur 'n morfolo- giese sowel as 'n teoretiese karakter. Hierdie prim.ere wette, aksiomas en postula word beskou as waar volgens definisie. 1 )

^{< •}

Hilbert kan as een van e toonaangewende Formalis beskou word. Hy het begin deur die

Euk~

lidiese Meetkunde van ·onnodige en/of onsuiwere de- finisies9 postulate en aksiomas te suiwer en die kleinste aantal noodsaaklike aksiomas vir die opbou

'

van die Wiskunde te formuleer. Baldus stel dit soos volgg die Formalis

11

ist Axiomatiker in der vor- her gekennzeichneten abstrakter We e

₉

halt zur Vollendung des Beweis.es der Widerspruchslosigkeit der Geometrie den Beweis der derspruchslosigkeit der Arithmetik der ganzen Zahlen fur notig, glaubt an die Losbarkeit jedes matematischen Problems, benutzt ununterbrochen den Satz vom ausgeschlossen Dritten und laszt reine Existenzialaussagen gel- ten."2)

Di·e grondva:vara van die formalisme kom neer

op~

(a) Is e aksiomas van e stelsel vry van

te~spraak?

en

.(b)/ ••••• ^{0 • • • •}

1)

Curry~

Outlines of a forl:nalist Philosophy of

Mathematics

₉

ch. IV.

2)

Baldus~

Formalismus und Intuitionismus in der

Mathematik

₉

18. ·

(b) Is e aksiomas van hanklik?l)

e stelsel onderling onaf- Hilbert sien geta,.lle as

11

Zeichen ohne deutung~"

²

)

en beweer verder

11

die Existenz mathematischer Ge- gestande sei ihre Widerspruchsfreiheit, sonst nichts.n3) Enige konsekwente,aksiomatikus sedan

ook~ ₁₁

bestaan

=

niet-strydig-zyn." Die probleem van 'n formalistiese be'NYS kom dus op die volgende

ne~r:·

11

We moeten een systeem van bestaande dingen aanwy- zen, die

₉

op de juiste wyze met de dingen van ons systeem in correspondentie gebracht

₉

aan in ons systeem gestelde axiomata blyken voldoen .• de rekenkunde .q. volgens Hilbert. 114 ) Om dus seker- heid vir sy bewysgronde te he, moet die Formalisme

e Rekenkunde self weer

formeel~aksiomaties grond~

ves en opbou.5) Die formaliste stuit altyd noodwen- dig op die probleem om die natuurlike getal op se- kere aksiomas te fundeer en dan die ·vryheid van teespraak hierhit te bew-ys. 6 ) Bulle herlei wiskundi- ge redenering tot die toepassing van suiwer meganie- se rekenwerk.7)

₁₁

An die Stelle des matematischen Denkens treten damit formale Gesetzmaszigkeiten," 8 ) Hilbert verabsoluteer n6g die Wiskunde

₉

n6g e Lo- gika·maar wil qie twee gesamentlik aksiomaties op- bou.9) In die.Metawiskunde of bewysteorie, moet die dooie tekens lewe ingeblaas word en

teespraakv~J-

heid bewys word. Hiervoor die natuurlike getal nodig en moet volledige induksie gebruik word.lO)

As verklaring vir die wese van die getal

₉

be- vredig die Formalisme nie. Vryheid van teespraak

^h~t

betrekking/ ••

~.t9·~4·

1)

Baldus~

Formalismus und Intuitionismus

₉

17.

2) Freytag: Die ontologischen Grundlagen der l\t1athe- matik1 10.

3) Ibidg 10. .

4)

Koksma: Wiskunde en Waarheid

₉

19.

5) Ibid: 20.

6) Baldus: Formalismus und Intuitionismus in der Mathematik, 19, ook Koksma: Wiskunde en Waar-

heid9 20 921

⁹

36.

7) Kosma.g Wiskunde en Waarheid, 35.

8)

Baldus~

Formalismus und Intui onismus in derMa- thematik, 23.

9)

Koksma~

vViskunde en Waarheid, 35o

10) Ibidg J6o

17

betrekking op

¹

n matematiese stelsel en nie op die wese, die syn, van dinge nie. tal was lank voor die aksiomas en bestaan onafhanklik van die aksio- mas voort. formalistiese Wiskunde berus op die

11

gestaltlichen Eigenschaften von Zeichen.", iets wat meeste denkers nie bevredig e. For.malisme sluit 'n realist e opvatting van getalle nie uit nie en gee dus s nie 'n f antwoord op e grondvrae i.v.m. getalle nie. 1 e formalis ese aksiomas is dikwels gekunsteld en nie evident nie?

²)

en die ovgebqude stelsels moet weer op die Rekenkunde

¹

n beroep doen vir bevvysgronde -- moet dus weer e Rekenkunde formeel-aksiomaties grondves en opbou. Tiie probleem is om weer iets te vind waarop hierdie aksiomas gegrond kan word.

Enige poging om die Rekenkunde op iets anders te

grond~ moet lei tot in

i₁

Vi tieusen cirkel.

n3)

grootste struikelblok in die van die Formalis- me is dan ook om die teespraakvryheid van die na-

tuurlike ge te bewys.

4 )

Ook Frege wys daarop dat daar in die Meetku:r;tde gemaklik die teenoorge- stelde van een of ander pos neergele kan

wordt~r

wille van

redenering~

maar as dieselfde op die terrein van die getal gedoen word, al is dit slegs in verband met een feit

₉

tree algehele ver-

warri~g_ ^in.5)

^S

t.o.v. die Meetkunde bevr~

die standpunt van die formaliste nie. Tiie postula- te en aksiomas word so opgestel.dat dit die ge wens van die Euklidiese Mee

die bevindings van die klassi

insluit en tot Wiskunde lei, of anders word die vooropgestelde raamwerk gewys

om d.i t in "te slui t, As di t geval was

e₁

..

sou eenvoudiger postulate .opges

1

kon word en e hele stelsel so vereenvoudig kon word.

⁶)

Tiie

formalistiesv/ ••••••

~···

1) Von Freytag: e ontologie Grundslagen der

·Mathematik,

10.

2) Ko~sma~

Wiskunde en Waarheid

₉ 25.

3) Ibld: 20, 35.

4) Baldus~

Formalismus und onismus in der Mathematik

₁

19.

5) Frege~

e Grundlagen der Ari thmetik

₉

i_ve.

6)

Baldus: Formalismus und Intuitionismus in der Mathe-·

matik, 14.

18

for.malistiese stelsel word dus aan die klassieke Wiskunde getoets en nie andersom nie.,

'n Laaste beswaar teen die Formalisme is dat Hil- bert ~y grondbegrippe nie definieer·nie en die he-.

le stelsel bly dus vaag en onbevredigend as verkla- ring van die wese van die getal of die Wiskunde.1

) d. 'n Logisistiese Standpunt.

Die Logisisme is nou verwant aan die Forma- lisme9 maar by e.g. val die nadruk op die logiese redenering en objektiewe denke.

·As voorbeeld van hierdie denkrigting, word Bertrand Russell, een van die ·toonaangewende wiskundige fi- losowe, hier bespreek₉ met kort verwysings na 'n paar minder bekendes.

Russell stel hom ten doel~ ₁₁the proof that all pu-:- re mathematics deals exclusiveiy with concepts de~

finable in terms of a very small number of logical concepts₉ and that all its propositions are deduci- ble from a very small number of fundamental logi- cal principles. 112 ) Hy se

verder·~

11I have accepted the non-existential nature of propositions and their .independence of any knowing mind₉ also the pluralism which regards -the world 9 both that of ex- istents and that of entities as composed of an in- finite number of mutually independent entities, with relations that are ultimate, and not reduci- ble to adjectives of their terms or of the whole which these compose."

3 )

Russell wil dan uit 'n paar fundamentele aksiomas deur logiese redenering, sy wiskundige en rekenkundige stelsels opbou. Wan- neer hy by die definisie van die natuurlike getal kom, stel hy voorop dat 'n definisie nie altyd moontlik is nie, want 11given any set of notions7 a

term is definable py these notions when, and only when₉ it is the only term having to certain of the- se notions a certain relation which itself is one

"

of the said notions. 4) Hy beskou sekere logiese grond- be gins e 1 s /. • • • • • •••.•

l)Baldus~ Formalismus und Intuitionismus in der Mathematik9

2) Russellg The Principles of Mathematics, xv. 19~20.

3)

Ibid~ cviii

4)

Ibid~ 111

beginsels as die enigste 'ondefinieerbare gegewens.

1 )

Om tot die definisie van die natuurlike getal te kom, voer hy die begrip van Klasse in.

₁₁

All finite collections .of individuals form classes

9

so that what results is after all the number of a class.

Thus, when any class-concept is givent there is a.

certain

^n~ber

of individuals to which this class- concept is applicable, and the number may therefo- re be regarded as a property of the class.

Nv~bers,

then, are to be regarded as property of classes •..

Two classes have the same number when their terms can be correlated one to one, so that any one term' of either corresponds to one and only one term of the other. 2

) We must not bring in counting where . the definition of numbers is question.3) Mathe-

matically~·

a number is nothing but a class of si- milar classes."4) Deur gebruik te maak van bier-

die definisie, asmede

¹

n aantal logiese denkwette, lei Russell die verdere Rekenkunde en Wiskunde af.

Ook Dedekind beskou die getal as die produk van suiwere denke.

11

Indem ich die Arithmetik nur einen Te der Logik nenne

₁

spreche ich schon aus dasz ich den Zahlbegriff fUr ganzlich unabhangig.

von den Vorstellungen oder Anschauung des Raumes und der Zeit, dasz ich ihn vehlmehr fUr einen un- mittelbaren Ausfliesz der reinen Denkgesetze hal- te. Die Zahlen sind freie

Sch~pfungen

des mensch- lichen Geistes, sie dienen als ein Mittel um die Verscheidenheit der Dinge ichter und scharfer aufzufassen." 5) Die getal is 'n skepping van die menslike gees - word in aansyn geroep deur die den-

ke.

nSo

sind vvir auch schon von unserer Geburt an bestandig und in immer steigendem Masze veran- laszt, Dinge auf Dinge .zu beziehen und dami t die- jenige Fahigkeit des Geistes zu Uben, auf welcher auch die Schopfung der Zahlen beruhto Durch diese ..

Ubung erwerben wir uns auch

1) Russell: The Principles of Mathematics, 112.

2) Ibid: 113.

3) Ibid:

114.

4)

Ibid~ 116,

5) Dedekind~

Gesa:m:rilelte Mathematische Werke,:Band 111

₁

335.

einen Schatz von eigentlich thmetischen Wahrhei- ten

₁

und so kommt es dasz

manche~

eigentlich sehr zusammengesetzte Begriffe falschlich fur einfach geltene

¹¹

l) Alle rekenkundi feite en uitbreidings van e getalleryv is die produk van die menslike rede. ulrm so schoner erscheint es mir z der Mensch, ohne jede Vorstellung von meszbare Groszen

₉

und zwar durch ein endliches System einfacher Denk- schritte sich zur Schopfung des reinen, stetigen

₁

Zahlreihe Aufschwingen kann." 2 ) Dedekind wil

¹

n suiwer, onafhanklike def ie van getal e. nWenn man bei der Betrachtung e s einfach unendlichen,

durch eine Abbildung ¢ geordneten Systems von der besondere Beschaffenhe der Elemente ganzlich ab- sieht9 lediglioh ihre Unterscheidbarkeit festhalt und nur die ]eziehung auffast in die sie duroh die

ordnende Abbildung ¢ zueinander ges t sind, so hieszen diese Elemente naturliche Zahlen

₁

oder Or- dinalzahlen oder auch schleohthin Zahlen.

¹¹

3)

00k Frege beskou getal as die produk van mens- like denke en gebaseer

op₁

selfs deel van, die· Lo- gika.

ui

go so far as to agree th those who hold that it is impossible to effect any sharp separa- tion of logic and mathematics.4) I infer, therefo- re, that the notion of unity becomes known to us through those higher ellectual powers which dis- tinguish men from brutes.

¹¹

5) Hy verwerp die idea-

tiese sowel as die realistiese opvatting van ge- tal .. "Number is neither anything sensible nor a property of external things. 6

) Number words are to be understood as standing for selfsubs tent ob-

jects.?) The laws of arithmetic are analytical judge- ments and/ ••••••••••

1) Dedekind: Gesammelte mathema che Werke,Band 3

₉

337.

'2)

Ibid~

340.

3) Ibid: 360.

4)

Frege~

Die Grundlagen der Arithmetik (Trans.J.Lo Austin)ive (Hierdie work bevat die oorspronklike Duitse teks met die Engelse vertaling daarlangs in dieselfde band. Die bladsye van die Engelse gedeelte word met

¹

n e aangedui)

5) Ibid: 42e. . 6) Ibidr 70e. 7) Ibid: 73e.

and consequently apriori. Arithmetic becomes sim- ply a development of

logic~

and every proposi on of arithmetic ·a law of logic? albeit a derivative one. Calculation becomes deduction."l) Die kon- sekwente deurvoering van hierdie opvatting bevredig Frege nie' ten valle nie, want hy verklaar:

11

I do not claim to have made the analytical character of arithmetical propositions more than probable, be-

cause it can still always be doubted whether they are deducible solely from purely logical laws

₁

or whether some other type of premiss is not invol-

ved."2) Die rede vlr hierdie twyfel moet die ver- skil tussen Rekenkunde en aanverwante vakke soos

Meetkunde gesoek wordo

11

For purposes of concepted thought we can always postulate the contrary of one or other of the geome- trical axiomso Can the same be said of the fundamen- tal propositions of the science of number? Here we have only to try denying any one of them, and com- plete confusion ensues. The basis of arithmetic lies deeper, it

seems~

than that of any of the empirical sciences and even than that of Geometry. The truths of arithmetic govern all that is numerable. This is the widest domain of

^all~

for to it belongs not only the

existent~

not only the intuitable but ev;erything thinkable.n3J In sy poging om vas te stel wat die ge- tal dan eintlik

is~

maak Prege gebruik van die term:·

ubegrip".

11

The concept has a power of collecting to- gether far superior to the unifying power of synthe- tic apperception. A statement of number contains an assertion about a concept.4) Numbers are assigned only to the concepts, urider which are brought both ..

the physical and mental alike.u 5) Omdat Frege die begrip verabsoluteer, basser hy ook sy definisies hier- op. Hy begin met die begrip nul. nThe number o be- longs to a concept if the proposition that

~

does not

fall/ •••.•••• q.

l)Frege~DiE::

Grundlagen der Ari thmetik, 99e. · 2)

Ibid~

102e.

3)

Ibid:

20e~

2le.

4)

Ibid~

59e. 5) Ibid: 83e.

fall Under that

conc~pt

is true IDLiVersally

₉ What~

ever.§:. may be.

¹¹

Daarna volg die definisie

van~;

11

The. number 1 belongs to a concept F? if the pro- position that does not under F is not true

universally~

whatever.§:. may be, and if from the proposi ons a falls under F' and 'b falls under . F

¹

it follows universally that a and b are the sa-

me.

ul) - - .

Om die ge in die algemeen te definieer

₉

vind Frege dit nodig om eers duidelik te stel wat hy on-

der 'n

een-een~korrelasie

verstaan. Hy doen dit soos volg:

11

now every object which falls under the concept F stands the relation ¢ to an ob- ject falling under the concept G, and to every object which falls under G there stands the re- lation ¢ an object falling under

F~

then the objects falling under F and G are correlated with each other by the relation¢

^11•

2 ) In die geval vnn die ordina- le getalle moet die verband ¢ 'n een-een-betrekking wees. As hierdie korrelasie bestaan? kan die getal-

_,

le soos volg definieer word:

11

Die Anzahl welche dem Begriffe F zukommt

₉

ist der Umfang des Begriffes ,gleichzahlig dem Begriffe F

^{1o 11}

3) Om die volle ge- talreeks op te bou

₁

begin Frege by 0 wat reeds ge- definieer is en bou daarop voort op grond van die

stellings~

y volg op x in die ¢-reeks en x kom voor yin die ¢-reeks,4)

· Die standpunt van die logis te bring ook probleme mee. · Die eerste probleem van die Logisis- me is dat e Logika self met sekere paradokse wor-

..

stel en dus self alles behalwe vry van teespraak is,·

terwyl espraakvryheid een van die toetsstene van die Wiskunde is en die bewysgrond moet vorrn.5)Die &tal

:)...s/. • • .. • ~ • • .. •.

1)

Frege~

Die Grundlagen der

Arithmetik~·(Trans.Austin)

67e. · 2) Ibid: 83e.

3)

Ibid~

80-81.

4) IiJid: 92eo '

5)

Koksma~

Wiskunde en Waarheid, 24o

23

is ook vir die Logika onmisbaar,

s om die ende s

volgorde te • Die Logis getal gebruik maak om getal

is dit dan te nornmer en

moet dus van te lei.l) Op grond van hi oorwegings moet die standpunt van die Logisisme as verklaring vir tal verwerp word.

Die drie e denkers wa t nou bespreek is, . Idealiste, Formaliste en Logisis al drie wis- kundig. Dit by bulle om Wiskunde en Reken- kunde en Getal en e om 'n omvattende wysgerige stelsel nie. In volgende paragrauf word een van die verteenwoordigers van 'n omvattende wysge-

siening waarin getal ook sy plek inneem₁ be- s ek. Die hele benadering van probleem is anders en dit i nie tot 'n ie van getal

e maar dui die plek van getal e. Dooyeweerd se Standpunt

die Kosmos aari.

Hoewel Dooyeweerd, een van die mees voor-

aan~taande Calvinis ese wysgere, e tot 'n volle":"' dige ontwikkeling van sy teorie i.v.m. die wets~

kring van die ge gekom het nie₁ sluit sy filo- sofie tog nie e gebied uit e. Dit is Dooye- weerd in die eerste plek te doen om ¹n transenden-

wysgerige s el op te bou waarin hy dan ook Archimedespunt buite die Kosmos es. Hierdeur plaas hy sy denke onmiddellik op 'n veel hoer vlak as die van die wysgere wat in die vorige paragrawe bespreek is. uitgangspunt was die mens en menslike denke; hy stel die soewereiniteit van God voorop. uDe wysb erte blyft~ al haar werkzaam-:- heid gebonden onder de wet des tyds, ze is niet de souvereine₉ aan ets en aan niemand verantwoording schuldige werkzaamheid der menschelyke rede₉ gelyk aan modern humanist de ₉ kennisleer¹ in humanisti- schen hoogmoed meende te kunnen kwalificeeren~

ze is de diens van God₁ den Souverein. t dienen/. •.•:• ••• •••

1) Koksma~ Wiskunde en Waarheid₉

25.

dic:men·Gods is haar.

eerepositie~de

loochening Gods haar doemvonnis."

¹

)Volgons hierdie opvali'ing is die

mens dus e verantwoordelik vir die skepping van tal of die menslike denke alleen vir die tal:&- leer nie. In die Tyd word die skepping verskil- lende wetskringe

11

gebreek." Getal geen produk van die menslike rede as sodanig

nie~

geen wille- keurige saamgestelde aksiomatiese wetenskap wat

op

logiese denkwette berus nie

₉

maar dit word bepaal deur die wette van God, die wette wat die onoor- koomlike grens tussen Skepper en Skepping vorm. 2

) Die grense van die Wysbegeerte word dan oak bepaal deur die wetsidee_3) Daar bestaan trouens geen di-·

mensie waar die we idee nie sy sentrale

₁

aprioris- tiese invloed t geld nie. Die tydelike

^ee~~eid

van alle dinge is die

11

gegee" van die naiewe erva- ring wat tot 'n wysgerige taak moet word in tn deur die wetsidee bepaalde rigting.4) tal kan, val- gens hierdie beskouing, nooit

^alleen~

los van die ander wetskringe

9

beskou word nie.

11

In waarheid kan niemand

₉

die over getallen

₁

ruimtefiguuren

₉

bewe- gingen1 enz.

₁

of ook over de concrete dinge spreekt

₉

ze anders dan in hun zin

₉

dat is hun betrekkelyke

₁

naar elkander en naar aller oorsprong h·eenwyzende zynswyzevatten. "5) "

¹¹

beteken hierdie

11

zynswyze van alle creatuurlyk zynde." 6 ) Die feit dat 2X2~4

is e waar uan sich

¹¹

nie maar slegs in relatiewe sin

11

de zin-verbinding van de zin-bezonderheid der getalswetten en e der logische denkwetten." Hier- die verbinding is dan alleen moontlik die alsy- dige samehang van die wetskringe en veronderstel 'n totali it waarvan getalskring en logiese kring albei slegs 'n besondere nzin-breking" is~?) Opgrond

1) Dooyeweerd:

-~~ 57.

4) 5) 6)

7)

Ibid~

58.

Ibid~ 59o

Ibid: 60.

Ibid: 63.

Ibid~

62.

Ibid:

81.,

VCun./ • • •· • • o • -. • •

De Wysbegeerte der Wetsidee, De

1,

van hierdie en soortgelyke uitsprake, beweer Dooye- weerd dat die

Rekenkun~e,

as moderne, sistematiese.

vakwetenskap, nie moontlik sander dat mens stel- ling

t~o.v.

die onderlinge verhouding en samehang van die getalle

₉

b,eweging, ruimte

₉

werklikheid eri logiese denke inneem nie. 1 ) Hy sien die Kosmos as skepping van God

₉

as een groot geheel wat ons tyd gebreek word in verskillende wetskringe wat ter nie sander onderlinge verband nie. van

. .

hierdie wetskringe wys vooruit op 'n volgende en terug Op

I

VOOrgaande maar die getalskring is die' .

basiese,

11

Alle andere Wetskringen zyn maar hun mo- dale zinstructuur in den getalskring gefundeerd en daarin erkennen

wy

den getalskring eersten grenskring van onzen Kosmos. de structuur van den originairen modalen zin van het getal treffen wy geen enkele retrocipatie aan. De originairen quanti te is analogie--loos.

ri

2) Volgens hierdie standpunt is die logiese eenheid An menigvuldigheid in die getalsin gefundeer en nie andersom e.3) Dooyeweerd beskou die tal as 'n produk of uit- koms van telwerk :hie

₉

omdat alle telwerk

11

een . .al- thans voor-theoretische besef van den zin van het

tal en zyn innerlyke wetmatigheid veronderstelt." 4) e getal berus dus op 'n voor-teoretiese, uwe begrip - op intuisie.

Volgens Dooyeweerd bestaan die intuisie. daarin dat ude continue zin-samenhang in de tydelyke zin-bre- king wordt haar achter alle theore che be- gripsgrenzen onmiddellyk gevat.

¹¹

~)

Ui t hierdie kart ui te.ensetting word di t duide- lik dat Dooyeweerd radikaal van beide Intuisionis- te sowel as Formaliste en Logisiste verskil omdat hY. die oorsprong en wese van tal buite mens of Kosmos soek. Dooyeweerd het

₉

so ver my bekend

₉

nag nie gekom tot 'n volledige ui teensetting van di.e

wetskring/ ••••••••••

1)

Dooyeweerd~

De Wysbegeorte der.

2) d: 65. Deel2,65.

3) Ibid: 61.

4)

Ibid: 63.

5)

Ibid~

408.

26

wotskring van die ge 1 e,maar sy tgangspunt is e Calvinistiese en vir die gelowige heel aanneemlik.

f. Die standxunt wat vir die skrywerdie aanneemlikste is.

Die kritiek wat op die

Intu~sionisme,

Logi- sisme9 en For.malisme uitgespreek is 1

) is m.i. vol- doende om al drie hierdie pogings om die wese van getal te bepaal, te verwerp. Hoewel Dooyeweerd se beskouinge nie ver genoeg ontwikkel is om op die grondvraag

¹

n finale en afdoende antwoord te gee

e, is sy standpunt vir my die aanneemlikste. Dit plaas die oorsprong van getal buite die denke van die mens en bestempel dit, saam met alle ander wets- kringe, as brekings in die Tyd van die skepping van God.

Ek sou dit graag soos volg wou stel: God het in die skepping eenheid en veelheid vasgele

₉

meer en minder. Dit is 'n inherente de en ken- merk van die Kosmos waarin die mens gebore word en opgroei, nie alleen wat die konkrete dinge

be~ref nie~

maar ook op die gebied van alle bestaande en denkbare begrippe6 Eenheid en

^veelheid~

meer en minder die basiese begrippe en le alle getal ten grondslag. Beide groep en rang is in die skepping ingebou. Die

^vermo~

om te onderskei tussen een en weer een ding of begrip wat as losstaande van ander van dieselfde en ander van 'n ander soort gedink kan word, is deur God aan die mens gegee en

¹

n algemene

9

eg-menslike vermoet so ook die vermoe om tussen meer en minder, groot en klein

₉

·lank en

' '

kort, swaar en lig, te onderskei. Uit hierdie ba- siese vermoens ontwikkel die bekwaamheid om tussen groepe te onderskei

1

deur ervaring, en spontaan deur ryping. Dit kan dus 'n intuYtiewe vermoe genoem word. Nadat groepe benoem is, word die grondlig- ge:p.de reels

ontdel~

en ontw..ikkel deur wat Brouwer matematiese intuisie noem.

^D~e

ontwikkeling is lo- gies maar die Logika is nie 'n vereiste vir die ont- wikkeling nie..

¹

n For.malis ese oer-raamwerk is:nie no dig ni<i' ••••••••••

1) Kyk

bladsye~l41

16

₁

25.

nie

₉

ook nie

¹

n for.malistiese aksioma-stelling nie.

Die feit dat die For.malisme sy stels aan die Klas- sieke Wiskunde toets en nie andersom nie

₉

is

m.i~

hiervoor 2fdoende bewys. Ten opsigte van die groei en ontwikkeling van die getalleleer, sluit hierdie standpunt aan by die

v~n

Brouwer. Samevattend kan ons

sa~

die getalskring is een van die wetskringe waarin die skepping van God in die Tyd gebreek word en die mens kom tot kennis daarvan deur middel van

1

n? ook deur God gagewe? verstandelike vermoe en bou dit uit deur matematiese? logiese intuisie.

hierdie hoofstuk is die eerste vraag wat in die eerste hoofstuk tel is, • wat die getal na wese is, kortliks behandel en 'n antwoord

tentatief gegee. By die verdere ondersoek na die

ontwikkeling van die getalsbegrip van die kind, word

dan nou van e beskouing soos hierbo beskrywe, ui

gegaan wanneer van getal gepraat wordo