Het matrix-vectorproduct
Notatie
Een matrix met m rijen en n kolommen wordt genoteerd als een m × n matrix.
I.A.M. Goddijn
Het matrix-vectorproduct
Definitie
Laat A een m × n matrix zijn en u ∈ Rn.
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ... am1 am2 · · · amn
en u =
u1
u2
... un
dan heet
a11u1 + a12u2+ · · · + a1nun
a21u1 + a22u2+ · · · + a2nun ... ... ... am1u1 + am2u2+ · · · + amnun
het product van de matrix A met de vector u.
I.A.M. Goddijn
Het matrix-vectorproduct
Notatie A u
Opmerkingen
Pas op de volgorde is belangrijk!
Als A = [a1a2 · · · an] dan kan Au ook geschreven worden als
u1a1 + u2a2 + · · · + unan.
I.A.M. Goddijn
Het matrix-vectorproduct
Eigenschappen
Laat A een m × n matrix zijn en u, v ∈ Rn, c een scalar.
Dan geldt:
A(u + v) = A u + A v A(cu) = cAu
I.A.M. Goddijn
De matrix-vectorvermenigvuldiging
Het stelsel lineaire vergelijkingen
a11x1 + a12x2+ · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2+ · · · + a2nxn = b2
... ... ...
am1x1 + am2x2+ · · · + amnxn = bm kan hiermee geschreven worden als de matrix- vectorvergelijking
A x = b of als de vectorvergelijking
x1a1 + x2a2 + · · · + xnan = b
I.A.M. Goddijn
Deelruimten van R
nDefinitie
Een (lineaire) deelruimte van Rn is een deelverzameling S van Rn met de eigenschappen:
1. S bevat de nulvector 0.
2. Als u en v vectoren zijn in S dan is u + v een vector in S. (S is gesloten onder de optelling.)
3. Als u een vector is in S en c is een scalar dan is cu een vector in S. (S is gesloten onder de scalaire vermenig- vuldiging.)
Opmerking
In sommige boeken wordt eigenschap 1. vervangen door:
1. S is niet leeg. (S bevat minstens ´e´en vector.)
I.A.M. Goddijn
Aan matrices gerelateerde deelruimten
Definitie
Laat A een m × n matrix zijn.
1. De deelruimte van Rn opgespannen door de rijen van A heet de rijruimte van A.
2. De deelruimte van Rm opgespannen door de kolommen van A heet de kolomruimte van A.
Notaties
De rijruimte en de kolomruimte van A worden genoteerd als row(A) en col(A).
I.A.M. Goddijn
Aan matrices gerelateerde deelruimten
Stelling
Laten A en B equivalente matrices zijn.
Dan row(A) = row(B).
Stelling
De oplossingsverzameling van een stelsel homogene verge- lijkingen in n onbekenden is een deelruimte van Rn. Stelling
Laat A een m × n matrix zijn.
Dan is {x ∈ Rn| Ax = 0} een deelruimte van Rn. Deze deelruimte wordt de nulruimte van A genoemd.
Notatie null(A)
I.A.M. Goddijn
Stelsels lineaire vergelijkingen
Stelling
Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft a. geen oplossingen,
b. precies ´e´en oplossing of c. oneindig veel oplossingen.
Wat kan in het laatste geval gezegd worden over de structuur van de oplossingsverzameling?
Als xp ´e´en oplossing is van het stelsel lineaire vergelijkingen, V is de oplossingsverzameling van het stelsel lineaire verge- lijkingen en Vh is de oplossingsverzameling van het bijbeho- rende stelsel homogene vergelijkingen dan
V = {x = xp + xh| xh ∈ Vh}
I.A.M. Goddijn
Een basis van een deelruimte
Definitie
Laat S een deelruimte zijn van Rn. { v1, v2, · · · , vk} heet een basis van S als
1. S = span (v1, v2, · · · , vk),
2. { v1, v2, · · · , vk} een verzameling lineair onafhankelijke vectoren is.
I.A.M. Goddijn
Bases van row(A), col(A) en null(A)
Hoe kan een basis van row(A) worden bepaald?
1. Bepaal, door toepassing van rijoperaties op A, een rij-echelonmatrix U .
Dan row(A) = row(U ).
2. De niet-nulrijen van U zijn lineair onafhankelijk en vormen dus een basis voor row(U ) en dus ook voor row(A).
I.A.M. Goddijn
Bases van row(A), col(A) en null(A)
Hoe kan een basis van col(A) worden bepaald?
1. Bepaal, door toepassing van rijoperaties op A, een rij-echelonmatrix U .
2. De kolommen van U waarin een leidend element staat zijn lineair onafhankelijk en vormen een basis voor col(U ).
3. Rijoperaties behouden de relaties tussen de kolommen dus vormen de kolommen op de overeenkomstige plaat- sen in A een basis voor col(A).
I.A.M. Goddijn
Bases van row(A), col(A) en null(A)
Opmerking Pas op!
Omdat col(A) 6= col(U ) vormen de kolommen van A waarin de leidende elementen staan geen basis voor col(A).
I.A.M. Goddijn
Bases van row(A), col(A) en null(A)
Hoe kan een basis van null(A) worden bepaald?
1. Bepaal, door toepassing van rijoperaties op A, een rij-echelonmatrix U .
Dan null(A) = null(U ).
2. Bepaal de vrije variabelen (zeg dat het er k zijn) en stel ze gelijk aan een parameter (s, t, · · · ).
3. Los de matrixvergelijking U x = 0 op en schrijf de op- lossingsvector als lineaire combinatie van k vectoren.
Deze k vectoren vormen een basis voor null(A).
I.A.M. Goddijn
De dimensie van een deelruimte
De basisstelling
Laat S een deelruimte zijn van Rn. Dan hebben alle bases voor S evenveel vectoren.
Definitie
Als S een deelruimte is van Rn dan heet het aantal vectoren van een basis voor S, de dimensie van S.
Notatie
De dimensie van een deelruimte S van Rn wordt genoteerd als dim(S).
I.A.M. Goddijn
De dimensie van row(A), col(A) en null(A)
Stelling
dim(row(A)) = dim(col(A)) = rank(A).
De rangstelling
Als A een m × n matrix is dan rank(A) + dim(null(A)) = n.
I.A.M. Goddijn
