Orthogonaliteit
Het inwendig product van twee vectoren
Definitie
Als u, v ∈ Rn, u =
u1
u2 ... un
en v =
v1
v2 ... vn
dan
is het inwendig product van u en v gelijk aan een getal en wel u1v1 + u2v2 + · · · + unvn= uTv.
Notaties
(u, v), hu, vi en u rv
Belangrijkste eigenschappen
Laten u, v, w ∈ Rn, c ∈ R.
Dan geldt:
u rv = v ru, (c u) rv = c (u rv),
(u + v) rw = u rw + v rw,
u ru ≥ 0 en u ru = 0 alleen maar als u = 0.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
14 oktober 2016 2
Definitie
De lengte van de vector u ∈ Rn, u =
u1 u2
... un
is gelijk aan
q
u12 + u22 + · · · + u2n = √ u ru .
Notaties
||u|| en |u|
Eigenschap
Als u ∈ Rn en c ∈ R dan geldt: ||c u|| = |c| ||u||.
Vraag
Gegeven is een vector u ∈ Rn\{0}, hoe kunnen we een vector v vinden met dezelfde richting als u maar met lengte 1.
v = cu voor zekere c > 0.
Verder ||v|| = ||cu|| = |c|||u|| = 1 dus |c| = 1
||u||. Omdat c > 0 is c = 1
||u|| dus v = u
||u||
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
14 oktober 2016 4
Voorbeeld (§6.1, opgave 12)
Bepaal de eenheidvector in de richting van u =
" 8
3
2
# .
||u|| =r 64
9 + 4 =r 100 9 =10
3 en dus is v =
" 4
5 3 5
#
de eenheidsvector in de richting van u.
Een andere manier is de volgende: 3u =
"
8 6
# dus v =
" 4
5 3 5
# .
§6.1, opgave 11
Bepaal de eenheidvector in de richting van u =
7 4 1 2
1
.
||u|| =
√69
4 en dus is v = 1
√69
7 2 4
de eenheidsvector in de richting van u.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
14 oktober 2016 6
Definitie
De afstand tussen de vectoren u ∈ Rn en v ∈ Rn is gelijk aan de lengte van hun verschilvector, dat wil zeggen ||u − v|| = ||v − u||.
Notatie
dist(u, v)
Figuur:Illustratie in R2
§6.1, opgave 13
Bereken de afstand tussen de vectoren x =
"
10
−3
# en y =
"
−1
−5
# .
x − y =
"
11 2
#
dus dist(x, y) = 5√ 5.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
14 oktober 2016 8
Orthogonale vectoren
Definitie
Twee vectoren u, v ∈ Rnheten orthogonaal als u rv = 0.
Stelling van Pythagoras
Als u, v ∈ Rn dan u rv = 0 alleen maar als ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2.
Opgave
§6.1, opgave 17
Onderzoek of de vectoren u =
3 2
−5 0
en v =
−4 1
−2 6
orthogonaal
zijn.
Ja, want urv = 0.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
14 oktober 2016 10
Definitie
Als W een deelruimte is van Rn en
V = {x ∈ Rn| x rw = 0 voor alle w ∈ W } dan heet V het orthogonale complement van W .
Figuur:L en W zijn orthogonale deelruimten
Notatie
W⊥ = V .
Figuur:L en W zijn orthogonale deelruimten.
Stelling
Als W een deelruimte is van Rn dan is W⊥ dit ook.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
14 oktober 2016 12
Vraag
Laat W = Span{w1, w2, · · · , wp}. Wat is dan het orthogonale complement van W ?
x ∈ W⊥alleen maar als x loodrecht staat op elke vector van W , in het bijzonder op w1, w2, · · · , wp.
Dit is alleen het geval als wT1x = 0, wT2x = 0, . . . , wTpx = 0 of
wT1 wT2
.. . wTp
x = 0.
Maar dan is x ∈ W⊥alleen maar als x ∈ Nul(A) met A =
wT1
wT2 .. .
T
.
Voorbeeld
Als W = Span
1 2
−1 3
,
4 8
−3 10
wat is dan W⊥?
W⊥= Nul(A) met
Nul(A) =
"
1 2 −1 3
4 8 −3 10
#
= Span
−2 1 0 0
,
−1 0 2 1
.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
14 oktober 2016 14
Voorbeeld
Als A een m × n matrix is dan zijn Row(A) (de verzameling van lineaire combinaties van de rijen van A) en Nul(A) orthogonale deelruimten van Rnen
Col(A) en Nul(AT) orthogonale deelruimten van Rm. Met andere woorden:
Row(A)⊥ = Nul(A) en
Col(A)⊥ = Row(AT)⊥ = Nul(AT).
De loodrechte projectie op een lijn
Laat u ∈ Rn\{0} en L = Span({u}).
Dan kan iedere vector y ∈ Rn kan op precies ´e´en manier geschreven worden als y = ˆy + z waarbij ˆy ∈ L en
z = y − ˆy ∈ L⊥. ˆ
y heet de loodrechte projectie van y op L (de drager van u).
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
14 oktober 2016 16
De loodrechte projectie op een lijn
ˆ
y = cu en z = (y − ˆy)⊥u dus
(y − ˆy) ru = 0 ⇔
y ru − c(u ru) = 0 ⇔ c = y ru
u ru zodat ˆy = y ru u ruu
