Passie voor Wiskunde

Passie voor Wiskunde

Jan van de Craats (UvA)

LustrumsymposiumToegepaste Wiskunde, UT, 14 juni 2014

Twee soorten wiskunde?

‘Er zijn twee soorten wiskunde: toegepaste wiskundeen nog niet toegepaste wiskunde.’ (Hendrik Lenstra)

Twee soorten wiskunde?

‘Er zijn twee soorten wiskunde:

toegepaste wiskundeen nog niet toegepaste wiskunde.’

(Hendrik Lenstra)

Priemgetallen

Eenpriemgetalis een geheel getal groter dan 1 dat alleen zonder rest deelbaar is door 1 en door zichzelf.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,. . .

Stelling:

Aan de rij van de priemgetallen komt geen einde. (Euclides, ca. 300 v.Chr.)

Priemgetallen

Eenpriemgetalis een geheel getal groter dan 1 dat alleen zonder rest deelbaar is door 1 en door zichzelf.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,. . .

Stelling:

Aan de rij van de priemgetallen komt geen einde. (Euclides, ca. 300 v.Chr.)

Priemgetallen

Eenpriemgetalis een geheel getal groter dan 1 dat alleen zonder rest deelbaar is door 1 en door zichzelf.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,. . .

Stelling:

Aan de rij van de priemgetallen komt geen einde.

(Euclides, ca. 300 v.Chr.)

Wiskunde met Wolfram Alpha

Ga naar

www.wolframalpha.com

Type iets in de commandoregel, druk daarna op =, en varieer: is prime 1597553

next prime 1597554 factor 1597554

factor 2*3*5*7*11*13*17 +1

Wiskunde met Wolfram Alpha

Ga naar

www.wolframalpha.com

Type iets in de commandoregel, druk daarna op =, en varieer: is prime 1597553

next prime 1597554 factor 1597554

factor 2*3*5*7*11*13*17 +1

Wiskunde met Wolfram Alpha

Ga naar

www.wolframalpha.com

Type iets in de commandoregel, druk daarna op =, en varieer:

is prime 1597553 next prime 1597554 factor 1597554

factor 2*3*5*7*11*13*17 +1

Wiskunde met Wolfram Alpha

Ga naar

www.wolframalpha.com

Type iets in de commandoregel, druk daarna op =, en varieer:

is prime 1597553

next prime 1597554 factor 1597554

factor 2*3*5*7*11*13*17 +1

Wiskunde met Wolfram Alpha

Ga naar

www.wolframalpha.com

Type iets in de commandoregel, druk daarna op =, en varieer:

is prime 1597553 next prime 1597554

factor 1597554

factor 2*3*5*7*11*13*17 +1

Wiskunde met Wolfram Alpha

Ga naar

www.wolframalpha.com

Type iets in de commandoregel, druk daarna op =, en varieer:

is prime 1597553 next prime 1597554 factor 1597554

factor 2*3*5*7*11*13*17 +1

Wiskunde met Wolfram Alpha

Ga naar

www.wolframalpha.com

Type iets in de commandoregel, druk daarna op =, en varieer:

is prime 1597553 next prime 1597554 factor 1597554

factor 2*3*5*7*11*13*17 +1

De verdeling van de priemgetallen

Hoe liggen de priemgetallen verdeeld onder de natuurlijke getallen? Wat is het honderdste priemgetal? Wat is het miljoenste priemgetal?

Hoeveel priemgetallen zijn er van 10 cijfers? Van 100 cijfers? Van een miljoen cijfers?

Hulpmiddel bij het onderzoek hiernaar:de functie π(x). Onder π(x)verstaat men het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x . Deze functie is voor alle reële x >0

gedefinieerd.

Kennen we de functie π(x), dan kennen we de verdeling van de priemgetallen.

De verdeling van de priemgetallen

Hoe liggen de priemgetallen verdeeld onder de natuurlijke getallen? Wat is het honderdste priemgetal? Wat is het miljoenste priemgetal?

Hoeveel priemgetallen zijn er van 10 cijfers? Van 100 cijfers? Van een miljoen cijfers?

Hulpmiddel bij het onderzoek hiernaar:de functie π(x). Onder π(x)verstaat men het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x . Deze functie is voor alle reële x >0

gedefinieerd.

Kennen we de functie π(x), dan kennen we de verdeling van de priemgetallen.

De verdeling van de priemgetallen

Hoe liggen de priemgetallen verdeeld onder de natuurlijke getallen? Wat is het honderdste priemgetal? Wat is het miljoenste priemgetal?

Hoeveel priemgetallen zijn er van 10 cijfers? Van 100 cijfers?

Van een miljoen cijfers?

Hulpmiddel bij het onderzoek hiernaar:de functie π(x). Onder π(x)verstaat men het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x . Deze functie is voor alle reële x >0

gedefinieerd.

Kennen we de functie π(x), dan kennen we de verdeling van de priemgetallen.

De verdeling van de priemgetallen

Hoe liggen de priemgetallen verdeeld onder de natuurlijke getallen? Wat is het honderdste priemgetal? Wat is het miljoenste priemgetal?

Hoeveel priemgetallen zijn er van 10 cijfers? Van 100 cijfers?

Van een miljoen cijfers?

Hulpmiddel bij het onderzoek hiernaar:de functie π(x).

Onder π(x)verstaat men het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x . Deze functie is voor alle reële x >0

gedefinieerd.

Kennen we de functie π(x), dan kennen we de verdeling van de priemgetallen.

De verdeling van de priemgetallen

Hoe liggen de priemgetallen verdeeld onder de natuurlijke getallen? Wat is het honderdste priemgetal? Wat is het miljoenste priemgetal?

Hoeveel priemgetallen zijn er van 10 cijfers? Van 100 cijfers?

Van een miljoen cijfers?

Hulpmiddel bij het onderzoek hiernaar:de functie π(x). Onder π(x)verstaat men het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x . Deze functie is voor alle reële x >0

gedefinieerd.

Kennen we de functie π(x), dan kennen we de verdeling van de priemgetallen.

De verdeling van de priemgetallen

Hoe liggen de priemgetallen verdeeld onder de natuurlijke getallen? Wat is het honderdste priemgetal? Wat is het miljoenste priemgetal?

Hoeveel priemgetallen zijn er van 10 cijfers? Van 100 cijfers?

Van een miljoen cijfers?

Hulpmiddel bij het onderzoek hiernaar:de functie π(x). Onder π(x)verstaat men het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan x . Deze functie is voor alle reële x >0

gedefinieerd.

Kennen we de functie π(x), dan kennen we de verdeling van de priemgetallen.

De priemgetallen-telfunctie π ( x ) met Wolfram Alpha

Type in en varieer:

plot primepi(x) x = 1 to 50

plot{x/ln(x), primepi(x)} x = 2 to 100

De priemgetallen-telfunctie π ( x ) met Wolfram Alpha

Type in en varieer:

plot primepi(x) x = 1 to 50

plot{x/ln(x), primepi(x)} x = 2 to 100

Het priemgetallen-vermoeden

Uit onderzoek van o.a. Gauss (1777-1855) bleek dat het wel eens zo zou kunnen zijn dat

π(x) ∼ ^x

ln x voor x →_∞

0 200 400 600 800 1000 1200

2000 4000 6000 8000 10000

x

π(x)(rood) en x

ln x (blauw)

D.w.z. dat de relatieve fout bij de benadering van π(x) door

x

ln x naar 0 gaat voor x →_∞. oftewel:

xlim→_∞π(x)^{ x} ln x =1

Het priemgetallen-vermoeden

Uit onderzoek van o.a. Gauss (1777-1855) bleek dat het wel eens zo zou kunnen zijn dat

π(x) ∼ ^x

ln x voor x →_∞

0 200 400 600 800 1000 1200

2000 4000 6000 8000 10000

x

π(x)(rood) en x

ln x (blauw)

D.w.z. dat de relatieve fout bij de benadering van π(x) door

x

ln x naar 0 gaat voor x →_∞. oftewel:

xlim→_∞π(x)^{ x} ln x =1

Het priemgetallen-vermoeden

Uit onderzoek van o.a. Gauss (1777-1855) bleek dat het wel eens zo zou kunnen zijn dat

π(x) ∼ ^x

ln x voor x →_∞

0 200 400 600 800 1000 1200

2000 4000 6000 8000 10000

x

π(x)(rood) en x

ln x (blauw)

D.w.z. dat de relatieve fout bij de benadering van π(x) door

x

ln x naar 0 gaat voor x →_∞. oftewel:

xlim→_∞π(x)^{ x} ln x =1

Het priemgetallen-vermoeden

Uit onderzoek van o.a. Gauss (1777-1855) bleek dat het wel eens zo zou kunnen zijn dat

π(x) ∼ ^x

ln x voor x →_∞

0 200 400 600 800 1000 1200

2000 4000 6000 8000 10000

x

π(x)(rood) en x

ln x (blauw)

D.w.z. dat de relatieve fout bij de benadering van π(x) door

x

ln x naar 0 gaat voor x →_∞.

oftewel:

xlim→_∞π(x)^{ x} ln x =1

Het priemgetallen-vermoeden

Uit onderzoek van o.a. Gauss (1777-1855) bleek dat het wel eens zo zou kunnen zijn dat

π(x) ∼ ^x

ln x voor x →_∞

0 200 400 600 800 1000 1200

2000 4000 6000 8000 10000

x

π(x)(rood) en x

ln x (blauw)

D.w.z. dat de relatieve fout bij de benadering van π(x) door

x

ln x naar 0 gaat voor x →_∞.

oftewel:

xlim→_∞π(x)^{ x} ln x =1

Het priemgetallen-vermoeden

Type in en varieer:

plot (primepi(x) / (x/ln(x))) x = 2 to 100

De priemgetallen-stelling

π(x) ∼ ^x

ln x voor x →_∞

Dit vermoeden, dat bekend staat als depriemgetallenstelling, is in 1896 bewezen doorHadamardenDe la Vallée Poussin (onafhankelijk van elkaar).

Gevolg: er zijn ontzettend veel grote priemgetallen!

Zo is het aantal priemgetallen van honderd cijfers vele, vele, vele malen groter dan het aantal elementaire deeltjes in het heelal!

Met zulke priemgetallen wordt in de cryptografie gewerkt (RSA, Ron Rivest, Adi Shamir & Leonard Adleman, 1977).

De priemgetallen-stelling

π(x) ∼ ^x

ln x voor x →_∞

Dit vermoeden, dat bekend staat als depriemgetallenstelling, is in 1896 bewezen doorHadamardenDe la Vallée Poussin (onafhankelijk van elkaar).

Gevolg: er zijn ontzettend veel grote priemgetallen!

Zo is het aantal priemgetallen van honderd cijfers vele, vele, vele malen groter dan het aantal elementaire deeltjes in het heelal!

Met zulke priemgetallen wordt in de cryptografie gewerkt (RSA, Ron Rivest, Adi Shamir & Leonard Adleman, 1977).

De priemgetallen-stelling

π(x) ∼ ^x

ln x voor x →_∞

Dit vermoeden, dat bekend staat als depriemgetallenstelling, is in 1896 bewezen doorHadamardenDe la Vallée Poussin (onafhankelijk van elkaar).

Gevolg: er zijn ontzettend veel grote priemgetallen!

Zo is het aantal priemgetallen van honderd cijfers vele, vele, vele malen groter dan het aantal elementaire deeltjes in het heelal!

Met zulke priemgetallen wordt in de cryptografie gewerkt (RSA, Ron Rivest, Adi Shamir & Leonard Adleman, 1977).

De zètafunctie

Deharmonische reeks1+¹₂+¹₃+ ¹₄+ · · · divergeert:

1

1_2

1_3 1_4 1_

5 1_

6 1_

7 1_ 8 1_

9 1_

10 1_ 11 1_

12 1_ 13 1_

14 1_ 15 1_

16 1

1_2 1_4 1_

4 1_

8 1_ 8 1_

8 1_

8

De truc vanNicholas Oresme(1323-1382)

De zètafunctie

Deharmonische reeks1+¹₂+¹₃+ ¹₄+ · · · divergeert:

1

1_2

1_3 1_4 1_

5 1_

6 1_

7 1_ 8 1_

9 1_

10 1_ 11 1_

12 1_ 13 1_

14 1_ 15 1_

16 1

1_2 1_4 1_

4 1_

8 1_ 8 1_

8 1_

8

De truc vanNicholas Oresme(1323-1382)

De zètafunctie

Deharmonische reeks1+¹₂+¹₃+ ¹₄+ · · · divergeert:

1

1_2

1_3 1_4 1_

5 1_

6 1_

7 1_

8 1_

9 1_

10 1_

11 1_

12 1_

13 1_

14 1_

15 1_

16 1

1_2 1_4 1_

4 1_

8 1_

8 1_

8 1_

8

De truc vanNicholas Oresme(1323-1382)

De zètafunctie

Maar voor elke x >1convergeertde reeks 1+ ¹

2^x + ¹ 3^x + ¹

4^x + ¹ 5^x + ¹

6^x + ¹ 7^x + · · ·

Leonhard Euler (1707-1783) noemde de somfunctieζ(x).Die heeft dus domein x >1.

De convergentie van de reeks kan eenvoudig worden aangetoond met hetintegraalkenmerk(eerstejaarsstof bij de wiskundestudie), maar het kan ook meer elementair, met een modificatie van de truc van Oresme en de somformule voor een meetkundige reeks met reden r voor|r| <1.

De zètafunctie

Maar voor elke x >1convergeertde reeks 1+ ¹

2^x + ¹ 3^x + ¹

4^x + ¹ 5^x + ¹

6^x + ¹ 7^x + · · ·

Leonhard Euler (1707-1783) noemde de somfunctieζ(x).Die heeft dus domein x >1.

De convergentie van de reeks kan eenvoudig worden aangetoond met hetintegraalkenmerk(eerstejaarsstof bij de wiskundestudie), maar het kan ook meer elementair, met een modificatie van de truc van Oresme en de somformule voor een meetkundige reeks met reden r voor|r| <1.

De zètafunctie

Maar voor elke x >1convergeertde reeks 1+ ¹

2^x + ¹ 3^x + ¹

4^x + ¹ 5^x + ¹

6^x + ¹ 7^x + · · ·

Leonhard Euler (1707-1783) noemde de somfunctieζ(x).Die heeft dus domein x >1.

De convergentie van de reeks kan eenvoudig worden aangetoond met hetintegraalkenmerk(eerstejaarsstof bij de wiskundestudie), maar het kan ook meer elementair, met een modificatie van de truc van Oresme en de somformule voor een meetkundige reeks met reden r voor|r| <1.

De zètafunctie

ζ(x) =1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · · voor x >1

1

1_2^x 1_

2^x

1_4^x 1_

4^x 1_

4^x 1_

4^x 1_8^x 1_

8^x 1_

8^x 1_

8^x 1_

8^x 1_

8^x 1_

8^x 1_

8^x 1_

16^x 1

1_2^x 1_3^x 1_

4^x 1_

5^x 1_

6^x 1_

7^x 1_

8^x 1_

9^x

De gemodificeerde truc vanNicholas Oresme

De zètafunctie (vervolg)

ζ(x) =1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · ·

Voor een grafiek, type in en varieer plot zeta(x) x = 1 to 5

Het is een dalende functie van x , die voor x↓1 een verticale asymptoot heeft. Verder geldt ζ(x) >1 voor alle x >1. Voor functiewaarden, type in en varieer

zeta(2)

De zètafunctie (vervolg)

ζ(x) =1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · · Voor een grafiek, type in en varieer

plot zeta(x) x = 1 to 5

Het is een dalende functie van x , die voor x↓1 een verticale asymptoot heeft. Verder geldt ζ(x) >1 voor alle x >1. Voor functiewaarden, type in en varieer

zeta(2)

De zètafunctie (vervolg)

ζ(x) =1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · · Voor een grafiek, type in en varieer

plot zeta(x) x = 1 to 5

Het is een dalende functie van x , die voor x↓1 een verticale asymptoot heeft. Verder geldt ζ(x) >1 voor alle x >1.

Voor functiewaarden, type in en varieer zeta(2)

De zètafunctie (vervolg)

ζ(x) =1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · · Voor een grafiek, type in en varieer

plot zeta(x) x = 1 to 5

Het is een dalende functie van x , die voor x↓1 een verticale asymptoot heeft. Verder geldt ζ(x) >1 voor alle x >1.

Voor functiewaarden, type in en varieer zeta(2)

Het verband tussen de priemgetallen en de zètafunctie

Eulers productformule: Voor iedere x groter dan 1 geldt: ζ(x) = ¹

1−₂¹x

· ¹ 1− ₃¹x

· ¹ 1−₅¹x

· ¹ 1− ₇¹x

· ¹

1−₁₁¹x

· · ·

Elke factor in dit oneindige product is van de vorm 1

1−_p¹x

Eulers productformule kan dus ook geschreven worden als ζ(x) =

∏

p

1−p^−x
−1

en het product wordt genomen overalle priemgetallenp.

Het verband tussen de priemgetallen en de zètafunctie

Eulers productformule: Voor iedere x groter dan 1 geldt:

ζ(x) = ¹ 1−₂¹x

· ¹ 1− ₃¹x

· ¹ 1−₅¹x

· ¹ 1− ₇¹x

· ¹

1−₁₁¹x

· · ·

Elke factor in dit oneindige product is van de vorm 1

1−_p¹x

Eulers productformule kan dus ook geschreven worden als ζ(x) =

∏

p

1−p^−x
−1

en het product wordt genomen overalle priemgetallenp.

Het verband tussen de priemgetallen en de zètafunctie

Eulers productformule: Voor iedere x groter dan 1 geldt:

ζ(x) = ¹ 1−₂¹x

· ¹ 1− ₃¹x

· ¹ 1−₅¹x

· ¹ 1− ₇¹x

· ¹

1−₁₁¹x

· · ·

Elke factor in dit oneindige product is van de vorm 1

1−_p¹x

Eulers productformule kan dus ook geschreven worden als ζ(x) =

∏

p

1−p^−x
−1

en het product wordt genomen overalle priemgetallenp.

Het verband tussen de priemgetallen en de zètafunctie

Eulers productformule: Voor iedere x groter dan 1 geldt:

ζ(x) = ¹ 1−₂¹x

· ¹ 1− ₃¹x

· ¹ 1−₅¹x

· ¹ 1− ₇¹x

· ¹

1−₁₁¹x

· · ·

Elke factor in dit oneindige product is van de vorm 1

1−_p¹x

Eulers productformule kan dus ook geschreven worden als ζ(x) =

∏

p

1−p^−x
−1

en het product wordt genomen overalle priemgetallenp.

Eulers productformule

ζ(x) = ¹ 1−₂¹x

· ¹ 1− ₃¹x

· ¹ 1−₅¹x

· ¹ 1− ₇¹x

· ¹

1−₁₁¹x

· · ·

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

1 2 3 4 5

x

De grafiek van ζ(x)(rode lijn) samen met de grafieken van de eerste tien benaderingen van het Eulerproduct.

Eulers productformule

ζ(x) = ¹ 1−₂¹x

· ¹ 1− ₃¹x

· ¹ 1−₅¹x

· ¹ 1− ₇¹x

· ¹

1−₁₁¹x

· · ·

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

1 2 3 4 5

x

De grafiek van ζ(x)(rode lijn) samen met de grafieken van de eerste tien benaderingen van het Eulerproduct.

Eulers bewijs (schets)

ζ(x) =1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · · 1

2^xζ(x) = ¹ 2^x + ¹

4^x + ¹ 6^x + ¹

8^x + ¹ 10^x + ¹

12^x + · · ·

 1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 3^x + ¹

5^x + ¹ 7^x + ¹

9^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + · · · 1

3^x

 1− ¹

2^x



ζ(x) = ¹ 3^x + ¹

9^x + ¹ 15^x + ¹

21^x + ¹ 27^x + ¹

33^x + · · ·

 1− ¹

3^x

  1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 5^x + ¹

7^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + ¹ 17^x + ¹

19^x + · · · En zo voort!

Eulers bewijs (schets)

ζ(x) =1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · ·

1

2^xζ(x) = ¹ 2^x + ¹

4^x + ¹ 6^x + ¹

8^x + ¹ 10^x + ¹

12^x + · · ·

 1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 3^x + ¹

5^x + ¹ 7^x + ¹

9^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + · · · 1

3^x

 1− ¹

2^x



ζ(x) = ¹ 3^x + ¹

9^x + ¹ 15^x + ¹

21^x + ¹ 27^x + ¹

33^x + · · ·

 1− ¹

3^x

  1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 5^x + ¹

7^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + ¹ 17^x + ¹

19^x + · · · En zo voort!

Eulers bewijs (schets)

ζ(x) =1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · · 1

2^xζ(x) = ¹ 2^x + ¹

4^x + ¹ 6^x + ¹

8^x + ¹ 10^x + ¹

12^x + · · ·

 1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 3^x + ¹

5^x + ¹ 7^x + ¹

9^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + · · · 1

3^x

 1− ¹

2^x



ζ(x) = ¹ 3^x + ¹

9^x + ¹ 15^x + ¹

21^x + ¹ 27^x + ¹

33^x + · · ·

 1− ¹

3^x

  1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 5^x + ¹

7^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + ¹ 17^x + ¹

19^x + · · · En zo voort!

Eulers bewijs (schets)

ζ(x) =1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · · 1

2^xζ(x) = ¹ 2^x + ¹

4^x + ¹ 6^x + ¹

8^x + ¹ 10^x + ¹

12^x + · · ·

 1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 3^x + ¹

5^x + ¹ 7^x + ¹

9^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + · · ·

1 3^x

 1− ¹

2^x



ζ(x) = ¹ 3^x + ¹

9^x + ¹ 15^x + ¹

21^x + ¹ 27^x + ¹

33^x + · · ·

 1− ¹

3^x

  1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 5^x + ¹

7^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + ¹ 17^x + ¹

19^x + · · · En zo voort!

Eulers bewijs (schets)

ζ(x) =1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · · 1

2^xζ(x) = ¹ 2^x + ¹

4^x + ¹ 6^x + ¹

8^x + ¹ 10^x + ¹

12^x + · · ·

 1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 3^x + ¹

5^x + ¹ 7^x + ¹

9^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + · · · 1

3^x

 1− ¹

2^x



ζ(x) = ¹ 3^x + ¹

9^x + ¹ 15^x + ¹

21^x + ¹ 27^x + ¹

33^x + · · ·

 1− ¹

3^x

  1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 5^x + ¹

7^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + ¹ 17^x + ¹

19^x + · · · En zo voort!

Eulers bewijs (schets)

ζ(x) =1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · · 1

2^xζ(x) = ¹ 2^x + ¹

4^x + ¹ 6^x + ¹

8^x + ¹ 10^x + ¹

12^x + · · ·

 1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 3^x + ¹

5^x + ¹ 7^x + ¹

9^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + · · · 1

3^x

 1− ¹

2^x



ζ(x) = ¹ 3^x + ¹

9^x + ¹ 15^x + ¹

21^x + ¹ 27^x + ¹

33^x + · · ·

 1− ¹

3^x

  1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 5^x + ¹

7^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + ¹ 17^x + ¹

19^x + · · ·

En zo voort!

Eulers bewijs (schets)

ζ(x) =1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · · 1

2^xζ(x) = ¹ 2^x + ¹

4^x + ¹ 6^x + ¹

8^x + ¹ 10^x + ¹

12^x + · · ·

 1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 3^x + ¹

5^x + ¹ 7^x + ¹

9^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + · · · 1

3^x

 1− ¹

2^x



ζ(x) = ¹ 3^x + ¹

9^x + ¹ 15^x + ¹

21^x + ¹ 27^x + ¹

33^x + · · ·

 1− ¹

3^x

  1− ¹

2^x



ζ(x) =1+ ¹ 5^x + ¹

7^x + ¹ 11^x + ¹

13^x + ¹ 17^x + ¹

19^x + · · · En zo voort!

Eulers bewijs (schets)

eindresultaat:

· · ·

 1− ¹

7^x

  1− ¹

5^x

  1− ¹

3^x

  1− ¹

2^x



ζ(x) =1 oftewel

ζ(x) = ¹ 1−₂¹x

· ¹ 1− ₃¹x

· ¹ 1−₅¹x

· ¹ 1− ₇¹x

· ¹

1−₁₁¹x

· · ·

Eulers bewijs (schets)

eindresultaat:

· · ·

 1− ¹

7^x

  1− ¹

5^x

  1− ¹

3^x

  1− ¹

2^x



ζ(x) =1

oftewel

ζ(x) = ¹ 1−₂¹x

· ¹ 1− ₃¹x

· ¹ 1−₅¹x

· ¹ 1− ₇¹x

· ¹

1−₁₁¹x

· · ·

Eulers bewijs (schets)

eindresultaat:

· · ·

 1− ¹

7^x

  1− ¹

5^x

  1− ¹

3^x

  1− ¹

2^x



ζ(x) =1 oftewel

ζ(x) = ¹ 1−₂¹x

· ¹ 1− ₃¹x

· ¹ 1−₅¹x

· ¹ 1− ₇¹x

· ¹

1−₁₁¹x

· · ·

Eulers bewijs (schets)

eindresultaat:

· · ·

 1− ¹

7^x

  1− ¹

5^x

  1− ¹

3^x

  1− ¹

2^x



ζ(x) =1 oftewel

ζ(x) = ¹ 1−₂¹x

· ¹ 1− ₃¹x

· ¹ 1−₅¹x

· ¹ 1− ₇¹x

· ¹

1−₁₁¹x

· · ·

Eulers productformule

Eulers productformule: Voor iedere x groter dan 1 geldt:

ζ(x) = 1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · ·

= ¹

1− ₂¹x

· ¹ 1−₃¹x

· ¹ 1− ₅¹x

· ¹ 1−₇¹x

· ¹ 1− ₁₁¹x

· · ·

oftewel

ζ(x) =

∏

p

1−p^−x
−1

en het product wordt genomen overalle priemgetallenp.

Eulers productformule

Eulers productformule: Voor iedere x groter dan 1 geldt:

ζ(x) = 1+ ¹ 2^x + ¹

3^x + ¹ 4^x + ¹

5^x + ¹ 6^x + ¹

7^x + · · ·

= ¹

1− ₂¹x

· ¹ 1−₃¹x

· ¹ 1− ₅¹x

· ¹ 1−₇¹x

· ¹ 1− ₁₁¹x

· · ·

oftewel

ζ(x) =

∏

p

1−p^−x
−1

en het product wordt genomen overalle priemgetallenp.

De Riemann-hypothese

‘Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn.’

Bernhard Riemann (1826-1866)

Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859)

Op de vierde bladzijde hiervan staat de

‘Riemann-hypothese’ vermeld als een stel- ling die waarschijnlijk waar is, gevolgd door:

‘Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da es für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.’

De Riemann-hypothese

‘Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn.’

Bernhard Riemann (1826-1866)

Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859)

Op de vierde bladzijde hiervan staat de

‘Riemann-hypothese’ vermeld als een stel- ling die waarschijnlijk waar is, gevolgd door:

‘Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da es für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.’

De Riemann-hypothese

‘Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn.’

Bernhard Riemann (1826-1866)

Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859)

Op de vierde bladzijde hiervan staat de

‘Riemann-hypothese’ vermeld als een stel- ling die waarschijnlijk waar is, gevolgd door:

‘Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da es für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.’

De Riemann-hypothese

‘Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn.’

Bernhard Riemann (1826-1866)

Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859)

Op de vierde bladzijde hiervan staat de

‘Riemann-hypothese’ vermeld als een stel- ling die waarschijnlijk waar is, gevolgd door:

‘Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da es für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.’

De Riemann-hypothese

‘Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn.’

Bernhard Riemann (1826-1866)

Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859)

Op de vierde bladzijde hiervan staat de

‘Riemann-hypothese’ vermeld als een stel- ling die waarschijnlijk waar is, gevolgd door:

‘Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da es für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.’

Riemanns onderzoek

Riemann ging bij zijn onderzoek uit van Eulers productformule. Hij breidde daarna Eulers zètafunctie ζ(x)(die Euler alleen maar gedefinieerd had voor reële x >1) uit tot eencomplexe functieζ(z)die gedefinieerd enanalytischis voor alle

complexe getallen z6=1.

Daartoe leidde hij de volgendeformidabele formuleaf: ζ(−z) = −2·z!

(2π)^z+1sin

πz 2



ζ(z+1)

Vervolgens vond hij een formule waarin de

priemgetallen-telfunctie π(x)uitgedrukt wordt in decomplexe nulpuntenvan deze zètafunctie.

Riemanns onderzoek

Riemann ging bij zijn onderzoek uit van Eulers productformule.

Hij breidde daarna Eulers zètafunctie ζ(x)(die Euler alleen maar gedefinieerd had voor reële x >1) uit tot eencomplexe functieζ(z)die gedefinieerd enanalytischis voor alle

complexe getallen z6=1.

Daartoe leidde hij de volgendeformidabele formuleaf: ζ(−z) = −2·z!

(2π)^z+1sin

πz 2



ζ(z+1)

Vervolgens vond hij een formule waarin de

priemgetallen-telfunctie π(x)uitgedrukt wordt in decomplexe nulpuntenvan deze zètafunctie.

Riemanns onderzoek

Riemann ging bij zijn onderzoek uit van Eulers productformule.

Hij breidde daarna Eulers zètafunctie ζ(x)(die Euler alleen maar gedefinieerd had voor reële x >1) uit tot eencomplexe functieζ(z)die gedefinieerd enanalytischis voor alle

complexe getallen z6=1.

Daartoe leidde hij de volgendeformidabele formuleaf: ζ(−z) = −2·z!

(2π)^z+1sin

πz 2



ζ(z+1)

Vervolgens vond hij een formule waarin de

priemgetallen-telfunctie π(x)uitgedrukt wordt in decomplexe nulpuntenvan deze zètafunctie.

Riemanns onderzoek

Riemann ging bij zijn onderzoek uit van Eulers productformule.

Hij breidde daarna Eulers zètafunctie ζ(x)(die Euler alleen maar gedefinieerd had voor reële x >1) uit tot eencomplexe functieζ(z)die gedefinieerd enanalytischis voor alle

complexe getallen z6=1.

Daartoe leidde hij de volgendeformidabele formuleaf:

ζ(−z) = −2·z! (2π)^z+1sin

πz 2



ζ(z+1)

Vervolgens vond hij een formule waarin de

priemgetallen-telfunctie π(x)uitgedrukt wordt in decomplexe nulpuntenvan deze zètafunctie.

Riemanns onderzoek

Riemann ging bij zijn onderzoek uit van Eulers productformule.

Hij breidde daarna Eulers zètafunctie ζ(x)(die Euler alleen maar gedefinieerd had voor reële x >1) uit tot eencomplexe functieζ(z)die gedefinieerd enanalytischis voor alle

complexe getallen z6=1.

Daartoe leidde hij de volgendeformidabele formuleaf:

ζ(−z) = −2·z! (2π)^z+1sin

πz 2



ζ(z+1)

Vervolgens vond hij een formule waarin de

priemgetallen-telfunctie π(x)uitgedrukt wordt in decomplexe nulpuntenvan deze zètafunctie.

De nulpunten van de zètafunctie

x + y i

x y i

1 i 0 - 2 - 4 - 6

kritische strook

kritische lijn triviale nulpunten pool

De nulpunten van de zètafunctie

x + y i

x y i

1 i 0 - 2 - 4 - 6

kritische strook

kritische lijn triviale nulpunten pool

Een plot van | ζ (

+ t i )|

Hoe is het gedrag van (de absolute waarde van) ζ(z)op de kritische lijn

z = ¹ 2+ti voor reële waarden van t ?

Type in en varieer de grenzen van t:

plot abs(zeta(.5 + t*I)), t = 0 to 40

Een plot van | ζ (

+ t i )|

Hoe is het gedrag van (de absolute waarde van) ζ(z)op de kritische lijn

z = ¹ 2+ti voor reële waarden van t ?

Type in en varieer de grenzen van t:

plot abs(zeta(.5 + t*I)), t = 0 to 40

De niettriviale nulpunten

1

2±14, 134725i

1

2±21, 022040i

1

2±25, 010856i

1

2±30, 424878i

1

2±32, 935057i

1

2±37, 586176i

1

2±40, 918720i

1

2±43, 327073i

1

2±48, 005150i

1

2±49, 773832i

Links staan de eerste twee maal tien niettriviale nulpunten van de zètafunc- tie, waarbij het imaginaire deel is afge- rond op 6 decimalen.

Ze liggen allemaal op de kritische lijn

<(z) = ¹₂.

Inmiddels is geverifieerd dat de eerste honderd miljard niettriviale nulpunten ook allemaal op de kritische lijn liggen. Maar er zijn oneindig veel niettriviale nulpunten, en de Riemann-hypothese is nog steeds niet bewezen.

De niettriviale nulpunten

1

2±14, 134725i

1

2±21, 022040i

1

2±25, 010856i

1

2±30, 424878i

1

2±32, 935057i

1

2±37, 586176i

1

2±40, 918720i

1

2±43, 327073i

1

2±48, 005150i

1

2±49, 773832i

Links staan de eerste twee maal tien niettriviale nulpunten van de zètafunc- tie, waarbij het imaginaire deel is afge- rond op 6 decimalen.

Ze liggen allemaal op de kritische lijn

<(z) = ¹₂.

Inmiddels is geverifieerd dat de eerste honderd miljard niettriviale nulpunten ook allemaal op de kritische lijn liggen. Maar er zijn oneindig veel niettriviale nulpunten, en de Riemann-hypothese is nog steeds niet bewezen.

De niettriviale nulpunten

1

2±14, 134725i

1

2±21, 022040i

1

2±25, 010856i

1

2±30, 424878i

1

2±32, 935057i

1

2±37, 586176i

1

2±40, 918720i

1

2±43, 327073i

1

2±48, 005150i

1

2±49, 773832i

Links staan de eerste twee maal tien niettriviale nulpunten van de zètafunc- tie, waarbij het imaginaire deel is afge- rond op 6 decimalen.

Ze liggen allemaal op de kritische lijn

<(z) = ¹₂.

Inmiddels is geverifieerd dat de eerste honderd miljard niettriviale nulpunten ook allemaal op de kritische lijn liggen. Maar er zijn oneindig veel niettriviale nulpunten, en de Riemann-hypothese is nog steeds niet bewezen.

De niettriviale nulpunten

1

2±14, 134725i

1

2±21, 022040i

1

2±25, 010856i

1

2±30, 424878i

1

2±32, 935057i

1

2±37, 586176i

1

2±40, 918720i

1

2±43, 327073i

1

2±48, 005150i

1

2±49, 773832i

Links staan de eerste twee maal tien niettriviale nulpunten van de zètafunc- tie, waarbij het imaginaire deel is afge- rond op 6 decimalen.

Ze liggen allemaal op de kritische lijn

<(z) = ¹₂.

Inmiddels is geverifieerd dat de eerste honderd miljard niettriviale nulpunten ook allemaal op de kritische lijn liggen.

Maar er zijn oneindig veel niettriviale nulpunten, en de Riemann-hypothese is nog steeds niet bewezen.

De niettriviale nulpunten

1

2±14, 134725i

1

2±21, 022040i

1

2±25, 010856i

1

2±30, 424878i

1

2±32, 935057i

1

2±37, 586176i

1

2±40, 918720i

1

2±43, 327073i

1

2±48, 005150i

1

2±49, 773832i

Links staan de eerste twee maal tien niettriviale nulpunten van de zètafunc- tie, waarbij het imaginaire deel is afge- rond op 6 decimalen.

Ze liggen allemaal op de kritische lijn

<(z) = ¹₂.

Inmiddels is geverifieerd dat de eerste honderd miljard niettriviale nulpunten ook allemaal op de kritische lijn liggen.

Maar er zijn oneindig veel niettriviale nulpunten, en de Riemann-hypothese is nog steeds niet bewezen.

Tot slot . . .

Verder lezen:

I Roland van der Veen en Jan van de Craats,De

Riemann-hypothese – Een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgaven 69, 2011

I John Derbyshire,Prime Obsession, Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, London, 2003, ISBN 0-452-28525-9

I Marcus du Sautoy,The Music of the Primes, why an unsolved problem in mathematics matters, London, 2003, ISBN 1-84115-580-2

http://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats

Tot slot . . .

Verder lezen:

I Roland van der Veen en Jan van de Craats,De

Riemann-hypothese – Een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgaven 69, 2011

I John Derbyshire,Prime Obsession, Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, London, 2003, ISBN 0-452-28525-9

I Marcus du Sautoy,The Music of the Primes, why an unsolved problem in mathematics matters, London, 2003, ISBN 1-84115-580-2

http://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats

Tot slot . . .

Verder lezen:

I Roland van der Veen en Jan van de Craats,De

Riemann-hypothese – Een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgaven 69, 2011

I John Derbyshire,Prime Obsession, Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, London, 2003, ISBN 0-452-28525-9

I Marcus du Sautoy,The Music of the Primes, why an unsolved problem in mathematics matters, London, 2003, ISBN 1-84115-580-2

http://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats

Tot slot . . .

Verder lezen:

I Roland van der Veen en Jan van de Craats,De

Riemann-hypothese – Een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgaven 69, 2011

I John Derbyshire,Prime Obsession, Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, London, 2003, ISBN 0-452-28525-9

I Marcus du Sautoy,The Music of the Primes, why an unsolved problem in mathematics matters, London, 2003, ISBN 1-84115-580-2

http://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats

Tot slot . . .

Verder lezen:

I Roland van der Veen en Jan van de Craats,De

Riemann-hypothese – Een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgaven 69, 2011

I John Derbyshire,Prime Obsession, Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, London, 2003, ISBN 0-452-28525-9

I Marcus du Sautoy,The Music of the Primes, why an unsolved problem in mathematics matters, London, 2003, ISBN 1-84115-580-2

http://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats