Hoofdstuk F Parametrische toetsen

Hoofdstuk F Parametrische toetsen

6.1

Z-toets: hierbij ga je er vanuit dat je twee normaal verdeelde populaties hebt. Dus je hebt μ1 en σ1 van populatie 1. Daarnaast heb je μ2 en σ1 van populatie 2. Je wilt dan de gemiddelden met elkaar vergelijken met behulp van de Z-toets. Je trekt dan uit elke populatie aselect een steekproef, dan krijg je twee onafhankelijke steekproeven. Je hebt dan het gemiddelde en standaarddeviatie nodig van de steekproeven. Je krijgt dan 1 en S1 voor steekproef 1. En 2 en S2 voor steekproef 2.

Voorwaarden Z-toets:

1. Wanneer de standaardafwijking (σ) bekend is en de populatie normaal verdeeld is.

2. Wanneer σ niet bekend is en de populatie niet normaal verdeeld is, n 100. Je mag dan de standaardafwijking van de steekproef (Sx) invullen als schatter.

De Z-toets mag niet als:

1. Populatie niet normaal verdeeld is en n kleiner dan 100 is. Als dit het geval is nemen we bij een n tussen 30 en 100 een t-verdeling. Bij een n kleiner dan 30, gebruik je non-parametrische toetsen. Dit kan je verder vergeten voor dit vak.

2. Wanneer de populatie wel normaal verdeeld is, maar σ onbekend is en n kleiner dan 100 is. Hiervoor gebruik je de t-toets.

Hypothesen Z-toets:

Linkseenzijdig toetsen: H : ₒ μ μo EN Ho < μo Rechtseenzijdig toetsen: H :ₒ μ μo EN Ho > μo Tweezijdig toetsen: Hₒ: μ= μo EN Ho = μo Toetsingsgrootheid Z-toets:

De Z-score is de toetsingsgrootheid. De formule van de Z-score is als volgt:

= =

= verkregen steekproefgemiddelde

= veronderstelde waarde voor het populatiegemiddelde μ n = steekproefgrootte

σ = standaarddeviatie van de populatie.

Beslissingsregel:

De nulhypothese kan je met behulp van overschrijdingskansen en kritieke waarden verwerpen.

 Overschrijdingskansen H verwerpen als:ₒ

Linkseenzijdige toetsing: Pl ( ) α Rechtseenzijdige toetsing: Pr ( ) α

Tweezijdige toetsing: Pd ( ) = 2 * Pl ( ) α als < μ = 2 * Pr ( ) α als > μ

 Kritieke waarden

Eerst moet je bepalen welke Z-waarde hoort bij welke α. De linkszijdige kritieke waarde is bij een α=0.05 -1,64 en de rechtseenzijdige kritieke waarde is dan +1,64. H wordtₒ

verworpen als de Z-score van het gemiddelde kleiner is dan -1,64 of groter is dan +1,64.

Voor tweezijdige toetsing wordt H verworpen als de Z-score van het gemiddelde kleiner iₒ dan -1,96 of groter is dan +1,96. Deze zones heten de kritieke zones.

Betrouwbaarheidsinterval:

De formule voor 100 (1-α)%-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddelde is als volgt:

– z * < μ < + z *

= verkregen steekproefgemiddelde n = steekproefgrootte

μ = populatiegemiddelde α = significantieniveau

σ = standaarddeviatie van de populatie

z = positieve Z-waarde waarvoor geldt dat Pd(z) = α.

6.2

Gemiddelde, variantie, standaardafwijking: De variantie is als het ware de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde. Hoe groter de variantie is, hoe groter de waarden onderling van elkaar verschillen. Dus je neemt alle observaties, die tel je bij elkaar op en die deel je door het aantal observaties. Dan heb je het gemiddelde. Hier trek je dan weer elke keer de individuele observaties af en dat antwoord kwadrateer je. Dan heb je de variantie. Dus als je de waardes 2,4,6 hebt is het gemiddelde (2+4+6)/3= 4. Dan doe je (4-2)²+(4-4)²+(6-4)²= 8. De variantie is dus 8. Als je hier weer de wortel uittrekt dan heb je de standaardvariatie. √8= 2,828.

T-toets: Deze toets is ook voor één steekproef uit één populatie net zoals de Z-toets.

Voorwaarden t-toets:

1. Voor één steekproef uit één populatie.

2. Wanneer n <100, bij normale verdeling, onbekende standaarddeviatie.

3. Wanneer n > 30, bij NIET-normale verdeling.

Dus geen t-toets als n<30 en de populatie NIET normaal verdeeld is!!

Hypothesen:

Linkseenzijdig toetsen: H : μ ₒ μ en ₒ : μ < μₒ Rechtseenzijdig toetsen: H : μ ₒ μ en ₒ : μ > μₒ Tweezijdig toetsen: H : μ ₒ = μ en ₒ : μ = μₒ

Toetsingsgrootheid: om een t-toets uit te kunnen voeren moet je eerst het

steekproefgemiddelde ( ) omzetten in een T-score. Dit is de toetsingsgrootheid waarmee H getoetst wordt. ₒ

Formule voor T-score:

= Verkregen steekproefgemiddelde s = standaarddeviatie van de steekproef

u0 = veronderstelde waarde voor het populatiegemiddelde (µ) n = steekproefgrootte

df = aantal vrijheidsgraden

Er is dus geen σ meer in deze formule zoals bij de Z-score. Deze σ is vervangen door de standaarddeviatie van de steekproef (s).

T-verdeling: is net zoals de normale verdeling symmetrisch, en het gemiddelde is 0. Als we een steekproef van n <100 hebben en de verdeling is normaal verdeeld, en we hebben een onbekende σ, dan kunnen we zeggen dat de T-scores van het gemiddelde T-verdeeld zijn. Dit geldt ook voor steekproeven van n >30, bij een niet normaal verdeelde steekproef.

Echter zijn er veel t-verdelingen die op basis van het aantal vrijheidsgraden (df) wordt bepaald.

Vrijheidsgraden: stel je gemiddelde ligt van te voren vast. Zeg maar dat je gemiddelde 10 is. Als ik dan in totaal van 5 getallen op het gemiddelde van 10 moet komen en ik nu willekeurig 4 getallen kies. Bijvoorbeeld 5,11,3 en 8. Dan moet ik het vijfde getal zodanig uitkiezen, dat het gemiddelde wel 10 wordt. Dit kan alleen met het getal 23, want

(5+11+3+8+23)/ 5 = 10.

Beslissingsregel: bij de t-toets kan je ook H verwerpen op basis van 2 manieren:ₒ Overschrijdingskansen 

Linkszijdig toetsen: Pl (t ) α

Rechtszijdig toetsen: Pr (t ) α

Tweezijdig toetsen: Pd (t ) = 2* Pl (t ) α als < µ0

= 2* Pr (t ) α als > µ0

Je kunt alleen alle mogelijke overschrijdingskansen berekenen als je over een programma beschikt, omdat er net zoveel t-verdelingen bestaan als er vrijheidsgraden zijn.

Kritieke waarden 

 Stel je hebt α =0,05 en een steekproefgrootte van 19. Dan is het aantal vrijheidsgraden df= 19-1 =18.

 Dan kijk je vervolgens in de tabel achter in je boek bij linkseenzijdige toetsing bij df=18 en α=0,05. Dan vind je het getal 1,734. Als het om de linker kritieke waarden gaat, is het een min getal. Dus -1,734.

Als het om rechter kritieke waarden gaat, dan is het een plus getal, namelijk +1,734. Bij een tweezijdige toetsing vind je het getal 2,101. De kritieke t-waarden zijn dus -2,101 en +2,101.

 Dus je kunt stellen dat H verworpen wordt voor alle waarden kleiner dan -1,734 bijₒ linker kritieken waarden.

En bij rechter kritieken waarden wordt H verworpen bij alle waarden die hoger zijn danₒ +1,734.

Bij de tweezijdige toetsing wordt H verworpen als de waarde kleiner is dan -2, 101 ofₒ groter is dan +2,101.

Wanneer het aantal vrijheidsgraden groter is dan 100, dus df > 100, dan zijn de verschillen met een normale verdeling zo klein, dat je ook de tabel voor de standaardnormale

verdeling mag gebruiken.

Betrouwbaarheidsinterval: als je wil berekenen met welk percentage zekerheid het populatiegemiddelde binnen bepaalde grenzen ligt, moet je het betrouwbaarheidsinterval berekenen. De formule hiervoor is:

= steekproefgemiddelde

s = standaarddeviatie van de steekproef n = steekproefgrootte

µ = populatiegemiddelde df = aantal vrijheidsgraden

t = positieve z-waarde waarvoor geldt Pd(t) = α bij df = n – 1.

SPSS:

Hieronder de namen gegeven die in een spss-output voorkomen. Zo kan je alle missende waardes berekenen.

N: steekproefgrote

Mean: steekproefgemiddelde

Std. Deviation: standaarddeviatie

Std. Error Mean: (SE ): Standaardfout van het gemiddelde

t:

Df: n-1

Mean difference: mean- test value

Lower & upper: -Tkrit * std. Error mean < µ < +Tkrit * std. Error mean Om het betrouwbaarheidsinterval te berekenen moet je weten wat het

steekproefgemiddelde is, wat het betrouwbaarheidsniveau is (meestal 95%). Hiermee kan je vervolgens het significantieniveau berekenen. Je doet dan 100% -95% = 5%. Dit deel je door 100. Als je dan ook nog het aantal vrijheidsgraden (df) weet (dit is gewoon door N-1 te doen). Kan je vervolgens in de kolom met tweezijdige toetsing opzoeken wat de bijbehorende t-waarde is.

Dus als voorbeeld:

Er is een aselecte steekproef genomen van 60 waarnemingen en het gemiddelde is gelijk aan 24, en de standaarddeviatie is 3.

N = 60 µ = 24 s = 3

Df = 60-1=59

Significantieniveau: 0,05 (want 95%) Tkrit= 2,001

Formule:

-Tkrit * (s/√N) < µ < +Tkrit * (s/√N) Dus

60-2,001 * (3/√60) < µ < 60+2,001 * (3/√60) = 60-2,001 * 0,387 <µ < 60+2,001 * 0,387 = 59,226 < µ < 60,774.

Dus het betrouwbaarheidsinterval is [59,226, 60,774].

6.3

Z-toets voor het verschil tussen twee gemiddelden: deze voer je uit wanneer je het verschil tussen de gemiddelden van twee populaties wilt weten. Hiervoor heb je twee onafhankelijke steekproeven nodig, waarvan je het gemiddelde en de standaarddeviatie wilt weten.

Voorwaarden Z-toets voor het verschil tussen twee gemiddelden:

• Populaties zijn normaal verdeeld

• Populaties zijn niet normaal verdeeld, maar n₁ en n₂ zijn groter of gelijk dan 100.

Dus geen Z-toets als de omvang van de steekproeven kleiner is dan 100.

Hypothesen Z-toets voor het verschil tussen twee gemiddelden:

Linkseenzijdig toetsen: H : μₒ ₁ μ₂ en H₁: μ₁ < μ₂ Rechtseenzijdig toetsen: H : μₒ ₁ μ₂ en H₁: μ₁ > μ₂ Tweezijdig toetsen: H : μₒ ₁ = μ₂ en H₁: μ₁ = μ₂

Steekproefverdeling van - ₂: dit toont de verschillen tussen de gemiddelden aan van de steekproeven. De formule van het gemiddelde is gewoon μ₁ - μ₂. Die van de

standaardafwijking is: = .

Toetsingsgrootheid Z-toets voor het verschil tussen twee gemiddelden: de

toetsingsgrootheid voor het verschil tussen de twee steekproefgemiddelden is de Z-score.

De z-score bereken je als volgt:

Beslissingsregel: Je kan zowel met behulp van overschrijdingskansen als met kritieke waarden kijken of je H moet vervangen. ₒ

Overschrijdingskansen 

Linkseenzijdige toetsing: Pl ( ) α als - ₂ < μ₁ - μ₂ Rechtseenzijdige toetsing: Pr ( ) α als - ₂ > μ₁ - μ₂

Tweezijdige toetsing: 2 * Pl ( ) α als - ₂ < μ₁ - μ₂ 2 * Pr ( ) als - ₂ > μ₁ - μ₂

Kritieke waarden  het gaat erom dat je met de kritieke waarden moet bepalen welke Z- waarden horen bij het significantieniveau α. Je weet aan de hand van de tabellen voor Z- waarden dat bij een α=0,05 en linkseenzijdige toetsing de kritieke Z-waarde van -1,64 hoort, en bij rechtseenzijdige toetsing een kritieke Z-waarde van +1,64 hoort. H wordtₒ verworpen als de gevonden waarde groter is dan +1,64 of kleiner is dan -1,64. Bij tweezijdige toetsing met een α van 0,05 horen de kritieke Z-waardes -1,96 en +1,96. Hₒ wordt dan verworpen als de gevonden waarde kleiner is dan -1,96 of groter is dan +1,96.

Betrouwbaarheidsinterval

De formule voor het betrouwbaarheidsinterval is:

6.4

De t-toets voor het verschil tussen twee gemiddelden:

Wordt gebruikt als z-toets voor het verschil tussen twee gemiddelden. Er wordt uitgegaan van twee normaal verdeelde populaties, waarvan de standaardafwijking onbekend is. Je hebt dus de volgende situatie:

1. Populatie 1: µ₁ & σ₁ (onbekend); steekproef I: ₁, S₁, en n₁.

2. Populatie 2: µ₂ & σ₂ (onbekend); steekproef 2: ₂, S₂, en n₂.

Voorwaarden T-toets voor het verschil tussen twee gemiddelden:

- n < 100 en normaal verdeeld

- n = tussen 30 en 100 als de populatie niet normaal verdeeld is.

Hypothesen:

Linkseenzijdig toetsen: H : µₒ ₁ µ ₂en : µ < ₁ µ₂ Rechtseenzijdig toetsen: H : µₒ ₁ µ ₂en : µ > ₁ µ₂ Tweezijdig toetsen: H : µₒ ₁ µ ₂en : µ = = ₁ µ₂ Toetsingsgrootheid bij de 2 varianten van de t-toets:

1. Toetsingsgrootheid (t-score) berekenen als de varianties gelijk zijn.

Dit is wanneer σ² ₁= σ² ₂ = σ².

Het poolen van varianties is het gewogen gemiddelde van 2 steekproeven waarvan de varianties aan elkaar gelijk zijn. Of ze aan elkaar gelijk zijn heb je met de F-toets bepaald (volgt later).

= Gepoolde variantie

µ₁ en µ₂ = Gemiddelden van populatie 1 & 2.

₁ en - ₂ = Gemiddelden van steekproef 1 en 2 n₁ en n₂ = Steekproefgrootte van steekproef 1 en 2 df = Aantal vrijheidsgraden

Dan heb je vervolgens ook nog de T-score formule voor het verschil in gemiddelden van twee steekproeven uit populaties met gelijke varianties:

Waarbij:

df= n₁ + n₂ -2

Als df nou groter of gelijk is aan 100, dan zijn de afwijkingen ten opzichte van een standaard normale verdeling te verwaarlozen. Dit houdt in dat je er dan vanuit kunt gaan dat je met een standaard normale verdeling te maken hebt. Bij een df van onder de 100 kan je de overschrijdingskans die spss bij sig rapporteert niet opzoeken dus.

2. Toetsingsgrootheid (t-score) berekenen als de varianties ongelijk zijn.

De formule luidt:

S₁ en s₂= Standaardafwijking van steekproef 1 en 2 µ₁ en µ₂= Gemiddelden van populatie 1 en 2

₁ en ₂= Gemiddelden van steekproef 1 en 2 n₁ en n₂= Steekproefgrootte van steekproef 1 en 2

In feite lijkt deze formule dus sterk op die van de Z-score, echter is de

standaardafwijking van de populatie vervangen door de standaardafwijking van de

steekproef. Naast deze formule hebben we ook een formule voor het aantal vrijheidsgraden, die luidt als volgt:

De vrijheidsgraden worden nu bijna geschat. Je kunt dan vervolgens H toetsen doorₒ middel van overschrijdingskansen aan de hand van een computerprogramma of aan de hand van kritieke waarden. Als je H wil toetsen aan de hand van kritieke waarden dan kanₒ je linkszijdig, rechtszijdig of tweezijdig toetsen. Bij zowel linkszijdige als rechtszijdige toetsen kijk je in de kolom voor eenzijdige toetsing. Alleen bij tweezijdige toetsing kijk je in de kolom van tweezijdige toetsing.

Beslissingsregels

Je kan H verwerpen door middel van overschrijdingskansen en kritieke waarden.ₒ Overschrijdingskansen 

Linkseenzijdige toetsing: Pl (t ₁- ) ₂ α Rechtseenzijdige toetsing: Pr (t ₁- ) ₂ α

Tweezijdige toetsing: Pd (t ₁- ) ₂ α Kritieke waarden 

Je kijkt voor de kritieke waarden achter in je boek. Het getal dat je gevonden hebt in de kolom bij het df en significantie getal staat gelijk aan je significantieniveau α. Dus H moetₒ verworpen worden bij linkszijdige toetsing als het kleiner of gelijk is aan dat getal, en bij rechtszijdige toetsing moet H verworpen worden als het groter is dan het getal. Dit zijn deₒ kritieke waarden voor links- en rechtseenzijdige toetsing.

Bij tweezijdige toetsing kijk je in de kolom voor kritieke waarden van tweezijdige toetsing.

Het getal wat je bij de juiste df en α vindt geven de kritieke waarde aan. Dus stel je vindt 2,110, dan zijn de kritieke waarden +2,110 en -2,110. H wordt verworpen als ₒ ₁- ₂ -2,110 of als ₁- ₂ +2,110.

Betrouwbaarheidsinterval

• Wanneer de varianties gelijk zijn:

= Gepoolde variantie

µ₁ en µ₂ = Gemiddelden van populatie 1 en 2.

₁ en - ₂ = Gemiddelden van steekproef 1 en 2 n₁ en n₂ = Steekproefgrootte van steekproef 1 en 2 df = Aantal vrijheidsgraden

t = Positieve t-waarde waarvoor geldt dat Pd(t) = α bij df= n₁ en n₂ - 2.

• Wanneer de varianties ongelijk zijn:

= Gepoolde variantie

µ₁ en µ₂ = Gemiddelden van populatie 1 en 2.

₁ en - ₂ = Gemiddelden van steekproef 1 en 2 n₁ en n₂ = Steekproefgrootte van steekproef 1 en 2

t = Positieve t-waarde waarvoor geldt dat Pd(t) = α bij df= n₁ en n₂ - 2.

6.5

T-toets voor gepaarde waarnemingen:

Deze toets is handig als je de verschillen tussen twee populatiegemiddelden wilt weten.

Echter worden hiervoor afhankelijke steekproeven gebruikt zoals bijvoorbeeld Gematchte paren, natuurlijke paren of twee keer dezelfde groep respondenten.

Voorwaarden t-toets voor gepaarde waarnemingen:

1. Wanneer de steekproeven afhankelijk zijn.

2. Wanneer n < 100 (kleine steekproef), normaal verdeeld en onbekende standaarddeviaties.

3. Steekproeven n > 30, en het aantal paren groter of gelijk is aan 30.

Dus het mag niet als de twee afhankelijke steekproeven kleiner dan 30 zijn en de populatie niet normaal verdeeld is. Of de variabelen waarom het gaat niet op interval niveau gemeten zijn.

Hypothesen:

Linkszijdig toetsen: H : µₒ v 0 en H1 µv < 0

Rechtszijdig toetsen: H : µₒ v 0 en H1 µv > 0 Tweezijdig toetsen: H : µₒ v = 0 en H1 µv = 0

Toetsingsgrootheid voor de T-toets voor gepaarde waarnemingen:

Eerst zet je het om in een t-score. Dit doe je met de volgende formule:

= het gemiddelde verschil tussen twee steekproeven Sᵥ = standaarddeviatie van de verschilscores

µᵥ = veronderstelde gemiddelde verschil tussen de populaties n = aantal paren

df = aantal vrijheidsgraden

Vervolgens volgt er een t-verdeling met n – 1 vrijheidsgraden. Wanneer H niet verworpenₒ hoeft te worden, betekend dit dat de t -waarde ongeveer 0 is. Hoe verder de t -score van de 0 af ligt, hoe groter de kans is dat H moet worden verworpen.ₒ

Beslissingsregel:

Dit kan ook door middel van overschrijdingskansen en kritieke waarden.

Overschrijdingskansen  Linkszijdige toetsing: Pl (t ) α Rechtszijdige toetsing: Pr (t ) α Tweezijdige toetsing: Pd (t ) α Kritieke waarden 

Je moet eerst bepalen welke t-waarden horen bij α en het aantal vrijheidsgraden. Stel je hebt een α = 0,05 en je steekproefgrootte is n = 28. Je df is dus 27 (n-1). Dan kijk je weer in de tabel achter in je boek bij eenzijdige toetsing. Dan vind je de waarde 1,703 als T- waarde. Dit betekent dus dat Pl(t ) = -1,703 = Pr(t ) = +1,703. Dus bij linkszijdige toetsing geldt dat wanneer de gevonden waarde kleiner is dan -1,703, H verworpen dient teₒ

worden. Bij rechtszijdige toetsing geldt dat wanneer de gevonden waarden groter is dan +1,703, H ook verworpen dient te worden. Voor tweezijdige toetsing kijk je in de kolomₒ tweezijdige toetsing. Dan vind je de waarde 2,052. H moet verworpen worden als deₒ gevonden waarde tussen buiten -2,052 en +2,052 ligt.

Betrouwbaarheidsinterval:

De formule voor het betrouwbaarheidsinterval is de volgende:

= het gemiddelde tussen de twee steekproeven Sᵥ = standaarddeviatie van de verschilscores

µᵥ = veronderstelde gemiddelde verschil tussen de populaties n = aantal paren

df = aantal vrijheidsgraden

t = positieve t-waarden waarvoor geld dat Pd(t) = α bij df= n -1.

Hoe doe je dit in spss?

1. Voer je gegevens in.

2. In het voorbeeld uit het boek zijn 22 paren (cases), dus voer je de t-toets uit.

3. Ga naar Analyze  compare means  Paired Samples T-test.

4. Voer de variabelen in bij Paired Variabeles en klik op OK.

5. Er verschijnt een venster, waarin

Mean: het gemiddelde verschil tussen beide schattingen.

Std. Dev. : deze delen door 100, dan heb je t .

Sig. (2-tailed): de tweezijdige overschrijdingskans. Om Pr of Pl te krijgen, moet je dit getal door 2 delen (en uiteraard voor Pl een min-getal zetten).

6.6 F-toets:

Bij de F-toets gaat het erom of twee populatievarianties van elkaar verschillen (dit moet je weten voor de t-toets). Het komt er op neer dat je kijkt naar S₁2 en S₂2, hoeveel keer de kleinste van de twee in de grootste past. Hier komt een quotiënt uit, welke F genoemd wordt.

Je bent vaak geïnteresseerd in de F-waarden met rechter overschrijdingskansen die gelijk zijn aan vaak voorkomende waarden van α (0.05, 0.025, 0.01, 0,10)

Voorwaarden F-toets:

1. De populaties waaruit de steekproeven getrokken zijn moeten normaal verdeeld zijn.

Hypothesen F-toets:

Linkszijdig toetsen: H : ₒ = en H1 <

Rechtszijdig toetsen: H : ₒ = en H1 >

Tweezijdig toetsen: H : ₒ = en H1 = Toetsingsgrootheid F-toets:

1. Om H te kunnen verwerpen ja of nee, moet je het quotiënt van de varianties vanₒ beiden steekproeven nemen. De formule luidt als volgt:

S₁2 en S₂2 = variantie van de steekproef 1 en 2 n₁ en n₂ = grootte van de steekproef 1 en 2

df₁ = aantal vrijheidsgraden van de teller (van de grootste variantie) df₂ = aantal vrijheidsgraden van de noemer (van de kleinste variantie) Beslissingsregel:

Dit kan ook weer door middel van overschrijdingskansen en kritieke waarden.

Overschrijdingskansen 

H wordt verworpen bij rechtszijdig of tweezijdig toetsen. Linkszijdig toetsen kan bij de F-ₒ toets niet omdat de grootste variantie altijd in de teller staat, en de kleinste variantie altijd in de noemer. Hierdoor moet je de linkseenzijdige hypothese andersom formuleren als een alternatieve hypothese voor rechtseenzijdig toetsen.

Rechtszijdig toetsen: Pr (F) α Tweezijdig toetsen: Pd (F) = 2 * Pr (F) α

Kritieke waarden  voor de kritieke waarden van de F-toets zoek je in de bijlagen achter in je boek bij de F-tabel. Voor elke α is er een andere tabel. Kijk goed wat je df₁ (teller, grootste variantie) en je df₂ (noemer, kleinste variantie) is. Wanneer je dan bijvoorbeeld de waarde 4,0 vindt bij rechtszijdig toetsen, dan weet je dat Hₒ

wordt verworpen als F (toetsingsgrootheid) groter is dan 4. F 4,0. Bij tweezijdig toetsen bepaal je alleen de rechter kritieke waarde.

6.7

Toets voor de correlatie:

Deze toets doe je om te kijken of er een lineair verband aanwezig is in de populatie. Het kan gaan om een verband tussen verschillende variabelen van personen, of het kan zijn dat er een verband gemeten wordt tussen verschillende tijdstippen.

Voorwaarden voor de toets voor de correlatie:

1. De variabelen X en Y op interval niveau gemeten zijn.

2. De variabelen X en Y moeten een bivariaat-normale kansverdeling hebben. Dit houdt in dat de Y-waarden voor elke waarde van X normaal verdeeld moeten zijn en andersom.

3. De homoscedasticiteit: de populatievarianties van Y moet voor elke waarde van X aan elkaar gelijk zijn.

Hypothesen voor de toets voor de correlatie:

Linkseenzijdig toetsen: H : ₒ 0 en H₁: < 0 Rechtseenzijdig toetsen: H : ₒ 0 en H₁: > 0 Tweezijdig toetsen: H : ₒ = 0 en H₁: = 0

Toetsingsgrootheid voor de toets voor de correlatie:

Eerst heb je een steekproef uit de populatie, hieruit bepaal je van elk persoon de waarden op twee variabelen waarvan je het verband wil bepalen. Dan bereken je de correlatie (r).

Deze moet worden omgezet in een t-score. Dat gebeurd met onderstaande formule:

r = correlatie in de steekproef n= steekproefgrootte

Beslissingsregels:

Dit kan met behulp van overschrijdingsgrenzen en met behulp van kritieke waarden.

Overschrijdingsgrenzen 

Linkseenzijdig toetsen: Pl(t ) ᵣ α Rechtseenzijdig toetsen: Pr(t ) ᵣ α

Tweezijdig toetsen: Pd(t )ᵣ = 2 * PL (t ) ᵣ α als r < 0

= 2 * PR(t ) α als r > 0 Kritieke waarden 

Weer moet je eerst bepalen welke kritieke t-waarden horen bij een bepaald aantal vrijheidsgraden en bij α. H wordt verworpen als de t-score van de correlatie buiten deₒ kritieke waarden vallen.

6.8

Hoe bepaal je nou welke toets je gebruikt?

1. Aantal populaties bepalen. Het kan gaan om 1 populatie met twee variabelen die je wilt vergelijken. Of het kan gaan om twee populaties die je met elkaar wilt

vergelijken.

2. Op welk meetniveau zijn de variabelen gemeten?

3. Is de populatie normaal verdeeld? Een Z-toets mag alleen bij normaal verdeelde populaties. Een t-toets mag ook bij niet normaal verdeelde populaties als de steekproeven groot genoeg zijn.

4. Ga na of je te maken hebt met afhankelijke of onafhankelijke steekproeven.

Dan krijg je de volgende schema’s :

1 steekproef

Welke toets? Z-toets T-toets Toets voor de product- moment correlatie Normaal

verdeeld? σ bekend σ onbekend.

n < 30.

Binomiale verdeling

Niet normaal verdeeld

σ onbekend.

n 100.

n > 30 Homoscedasticiteit

Meetniveau Interval Interval Interval

2 steekproeven Welke toets? Z-toets voor

het verschil tussen 2 gemiddelden.

T-toets voor het verschil tussen 2 gemiddelden.

F-toets Toets voor gepaarde waarnemingen Wel normaal

verdeeld

σ₁ en σ₂ bekend.

σ₁ en σ₂ onbekend.

n₁ en n₂ < 100.

Populatie normaal verdeeld.

Populatie

normaal verdeeld.

Niet normaal

verdeeld σ₁ en σ₂ onbekend.

n₁ en n₂ 100.

n₁ > 30 en n₂ <

100. XXXXXXXX n₁ en n₂ > 30.

Meetniveau Interval Interval Interval Interval Onafhankelijk

?

Onafhankelijk Onafhankelijk Onafhankelijk Onafhankelijk

1. Is er sprake van interval niveau? Zo nee, dan kan je geen van deze 3 toetsen gebruiken.

2. Hoeveel steekproeven worden er getrokken? (ga naar het bovenste of onderste rijtje).

3. Dan kijk je vervolgens of de populatie wel of niet normaal verdeeld is in combinatie met je steekproefgrootte.