Huiswerk week 6

Calculus/analyse najaar 2007

Huiswerk week 6

Opgave 21.

Bepaal de volgende integralen m.b.v. substitutie:

(i) Z

e^xsin(e^x) dx, (ii) Z

x e^−x2 dx, (iii)

Z x

√1 − x⁴ dx, (iv) Z e^√x

√x dx,

(v)

Z ln(x)

x dx, (vi) Z

ln(cos(x)) tan(x) dx, (vii)

Z ln(ln(x)) xln(x) dx.

Opgave 22.

Bepaal de volgende integralen (bijvoorbeeld m.b.v. substitutie):

(i) Z

x(x²− 1)⁹⁹dx, (ii)

Z ln(ln(x))

x dx, (iii)

Z e^x

e^2x+ 2e^x+ 1 dx, (iv)

Z

e^exe^x dx, (v) Z

xp

1 − x² dx, (vi)

Z tan(ax) cos(ax) dx.

Opgave 23.

Laat zien dat de volgende integratie regels gelden:

(i) Z

(f (x))ⁿf^′(x) dx = 1

n+ 1f(x)ⁿ⁺¹, (ii)

Z f^′(x)

pf (x) dx= 2p f(x).

Opgave 24.

Bepaal een primitieve van

f(x) := x+ a x²+ 2bx + c.

Aanwijzing: Door de teller als x + a = ¹₂(2x + 2b) + (a − b) = ¹2(x²+ 2bx + c)^′+ (a − b) te herschrijven, wordt de functie in twee handigere breuken opgesplitst.

Verder is het handig om de noemer te herschrijven als x² + 2bx + c = (x + b)²+ (c − b²). In het vervolg moeten de gevallen c > b², c = b² en c < b² apart bekeken worden.

Webpagina: http://www.math.ru.nl/∼souvi/calcanalyse/calcanalyse.html