.-., waterloopkundig laboratorium delft hydrâulics laboratory. stormvloedkering Oosterschelde pij leroplossing

stormvloedkering Oosterschelde pij leroplossing

waterloopkundig laboratorium delft hydrâulics laboratory

1

trillingsaspekten vakwerkschuif uitgaande van het aanstoten van de cilindrische vakwerkstaven

januari 1982

- .--....

3:

.-.,

v~- ~A

stormvloedkering Oosterschelde pijleroplossing

BIBLIOTHEEK Dienst Weg- en W.terbouwkunde Postbus 5044, 2600 GA DELFT

Tel. 015-699111

trillingsaspekten vakwerkschuif uitgaande van het aanstoten van de cilindrische vakwerkstaven

verslag onderzoek

R 1547

januari 1982

Lijst van tabellen Lijst van figuren

blz.

1 Inleiding... . .. . . .. . . 1

1.1 Algemeen . • •. . . . . . . . •. . . •. . 1

1.2 Opdracht ... ... . . • . . • 2

1.3 Probleemstelling. . . . ... . . • . • . • . . . • • • . •. . • . • • •. • . . . • . • . 3

1.4 Sanienvattingresultatenenkonklusies... 3

2 Trillenvancilindersinstroming ... . ... ....•.••.• 5

2.1 Inleiding... 5

2.2 Trillen van een enkele cilinder in stroming... 5

2.2.1 Invloed Reynoldsgetal . •1•••• •••••• . . . • •... . ...••.. 5

2.2.2 Wisselende krachten op een stilstaande cilinder in stroming... 9

2.2.3 Trillen van cilinders ten gevolge van het loslaten van wervels.. 11

2.3 Cilinders in elkaars nabijheid ... 14

3 Afschatten van de watersnelheden ter plaatse van de vakwerkschui- ven ... •... 16

3.1 Inleiding... 16

3.2 Elektrisch analogon ...• . • . . • . . • . . • • . . . • • . . . . .. • . . 16

3.3 Opzet elektrisch analogon. . . . ... • • ...• . . • • • . . • • 16

3.4 Meetprogramma . . • . . . • • • . • •..•...• . . •••••••••• .•... • . •... 17

3.5 Bepaling debieten. . • . • • . . • . . • • . . . • . • • • . . . • • • . • . • • • 17

3.6 Bepaling watersnelheden ... ... • 20

4 Trillingsaspektenvandevakwerkschuiven ... ... 21

4.1 De afzonderlijke vakwerkstaven . . • . . • • . • • • . .. • •... • . • . . . ... 21

4.2 De schuiven als geheel. . . . • . . • • . • • • . ...• • • • . . . • • • . . . • . • . 22

LITERATUUR

TABELLEN

FIGUREN

Bijlage geraadpleegde literatuur

Lijst van tabellen

Trillingsgevoeligheid van de vakwerkstaven II Kritische snelheden voor de vakwerkschuiven

III Amplitudes bij tot n—massaveersystemen geschematiseerde schuiven

- 1

AL

tEl - -

- itt - ..

— •

1.

₁

S • ... .- . .- . . ttt - ...,,. -.

-- -k-. - •. - - - 1 - . ... - • --

-

- r

-

. t

.. , 1 • -

. t .,----

v

. -

•'—t — '-f1 t - . ^{.. -t- .. -S..---,}

t J —

- -

-

Y' ^{-'-• .}

it

-. .

.5-S-- •

p ^-

-

.5-.

-

.5 .;

• :.-- - . .

- . -

41; • * t

t t

-.

't

I :

- 1

-'- ..3.,- çt. . tt •-,.. -

r' '-. ^{- t - ,. - . . . - .} .. . St.t •tt

_t_ ç -• -. . . . s-t- -

-

t -

-

Lijst van figuren

Gekozen plan voor de Oosterschelde (model C 3 met kanaal door Zuid—Beve- land)

Trac€ stormvloedkering Oosterschelde

Overzichtstekening stormvloedkering Oosterschelde met plaatliggerschuif en geschematiseerde doorsneden kering

Staalontwerp plaatliggerschuif met drie plaatliggers Staalontwerp plaatliggerschulf met twee plaatliggers Staalontwerp vakwerkschuif met drie regels

Weerstandskoëfficiënt en Strouhalgetal als funktie van het Reynoldsgetal Liftkoëfficiënt en fluktuerende deel van de weerstandskoëfficjënt als funktie van het Reynoldsgetal

Geschematiseerde dwarsdoorsnede stormvloedkering, ondiepe situatie Geschematiseerde dwarsdoorsriede stormvloedkering, diepe situatie

Elektrisch analogon diepe situatie, schuifopening 8 m (waterstand zeezijde

NAP +6 m)

Elektrisch analogon diepe situatie, schuifopening 8 m (waterstand zeezijde

NAP +3 m)

Elektrisch analogon diepe situatie, schuifopening 4 m (waterstand zeezijde

NAP +6 m)

Elektrisch analogon diepe situatie, schulfopening 4 m (waterstand zeezijde

NAP +3 m)

Elektrisch analogon ondiepe situatie, schuifopening 3 m (waterstand zee- zijde NAP +6 m)

Elektrisch analogon ondiepe situatie, schuifopening 3 m (waterstand zee- zijde NAP +3 m)

Excitatiespectra

t -

-

- -

- - - -' - - -

mg

-. 71 - -

-

-- UL

,• • 1 - - t- -

• 1 4 T

4

4

- t

-

.. f

-' -.

1 ^{1 - •-}

-'- - - - -

1

- - -. - - - -

1 '

- -

-

-

-

- --- -. t 4 4

-' -

1

-t-- - -

- -

• - S .-

t-1 -

4 y trt

t. - ./-

•-

••' 't -• .

- ç

-.

1-

-

- -

-

1 Inleiding

1.1 Algemeen

Na de watersnoodramp in 1953 werd besloten het Haringvliet, de Grevelingen en de Oosterschelde af te dammen. Als na het afsluiten van het Haringvliet en de Grevelingen de Oosterschelde aan de beurt is, wordt het verzet tegen het afdaminen van deze zeearm hoe langer hoe sterker. De bezwaren tegen afsluiting richten zich op het verloren gaan van de bijzondere rijkdom aan flora en fauna van de Oosterschelde en de belangen van de visserij en de schelpdierkulturen.

Dit leidt er toe, dat In 1974 het principebesluit wordt genomen de Ooster- schelde af te sluiten door middel van een stormvloedkering. Onder normale omstandigheden staat een dergelijke kering open, waardoor de getijbeweging, zij het gedempt, gehandhaafd blijft. Om het principebesluit definitief te laten worden moest aan een drietal voorwaarden worden voldaan. De stormvloed- kering moest technisch uitvoerbaar zijn, de bouw moest in 1985 voltooid kunnen zijn en de geraamde meerkosten van een s tormvloedke ring ten opzichte van het oorspronkelijke plan mochten niet wezenlijk overschreden worden. Aan Rijkswa- terstaat werd opgedragen de nodige onderzoekingen te verrichten. In mei 1976 verscheen het eindrapport over deze onderzoekingen [1]. De konklusie was, dat aan de gestelde voorwaarden voldaan kon worden, zodat in juni 1976 gekozen werd voor het afsluiten van de Oosterschelde door middel van een stormvloedke- ring (zie fig. 1 en 2).

De technische uitwerking van dit besluit leidde tot een oplossing met mono- lietpijlers gefundeerd op staal, die hart op hart 45 m staan. Tussen de pij- lers bevinden zich een dorpel- en bovenbalk, terwijl over de pijlers heen een wegdek loopt (zie fig. 3). De onderkant van de bovenbalk bevindt zich altijd op NAP +1,00 in. De diepte, waarop de dorpelbalk zich bevindt, varieert met de diepte van de Oosterschelde langs het tracé van de stormvloedkering (zie fig.

2). De ruimte tussen de dorpel- en bovenbalk laat onder normale omstandigheden het getij door en wordt met een stalen schuif afgesloten, wanneer extreme omstandigheden worden verwacht. De schuif bevindt zich aan de zeezijde van de kering. Doordat de ligging van de dorpelbalk variabel is, is ook de hoogte van de ruimte tussen de dorpel- en bovenbalk variabel. Dit heeft geleid tot het toepassen van zeven schuifhoogtes, variërend van 5,9 m tot 11,9 in. Bij het ontwerpen van de schuiven is in eerste instantie gekozen voor een schuif bestaande uit een aantal horizontale plaatliggers en een schaalbeplating aan

-2-

de Oosterscheldezijde van de schuif. Het aantal plaatliggers is afhankelijk van de hoogte en bedraagt twee of drie (zie fig. 3, 4 en 5). Deze schuifvorm wordt aangeduid met plaatliggerschuif.

De plaatliggerschuif is het onderwerp geweest van uitgebreide onderzoekingen.

Hierbij is reeds in een vroeg stadium de problematiek met betrekking tot golf klappen op de zich aan de zeezijde van de schuif bevindende horizontale plaatliggers onderkend. In een veel later stadium is echter pas duidelijk geworden, dat de omschaling van de bij modelonderzoeken gemeten belastingen naar prototypewaarden veel ongunstiger moet worden aangenomen dan eerst is verondersteld. Hierdoor is de plaatliggerschuif een vrij zware konstruktie geworden. Dit heeft geleid tot het uitwerken van een alternatief schuif ont- werp, waarbij de plaatliggers zijn vervangen door vakwerkliggers. De staven van deze vakwerken bestaan uit buisprof leien (zie fig. 6). Deze schuifvorni wordt aangeduid met vakwerkschuif.

1.2 Opdracht

De opdracht tot de hier gerapporteerde bureaustudie is verleend door Rijkswa- terstaat, Deltadienst, Hoofdafdeling Waterloopkunde (brief WT 15.811 gedateerd 11 maart 1980). De studie maakt deel uit van het projekt F7704 S0O van de 1-loofdafdeling Waterloopkunde.

Het onderzoek had tot doel om na te gaan of de vormgeving van de vakwerkschuif aanleiding zou geven tot het ontstaan van trillingen. Hierbij werd met name gedacht aan het in trilling raken van de afzonderlijke buisvormige vakwerksta- ven. Indien uit de studie mocht blijken, dat de vakwerkstaven in trilling zouden geraken, dan moest tevens nagegaan worden op welke wijze dit voorkomen zou kunnen worden. Trillingen als gevolg van stromingen bij bijna gesloten of gesloten schuifstanden worden voorkomen door de vakwerkschuiven overeenkomsti- ge stijfheden te geven als de plaatliggerschuiven en de vormgeving van de spleten tussen schuif en betonbalken hetzelfde te laten.

Tot het onderzoek behoorden ook het uitvoeren van een literatuurstudie en het afschatten van de watersnelheden, die als gevolg van het verval en de golven optreden ter plaatse van de vakwerkstaven, met behulp van een elektrisch analogon.

' • )T ' . - -. - ^L:4 iJs- 1^t,_ —— .,.

k — ,4

1

-t:: ⁱ _ r

:r -

:,:

_i

1-

': : "

_ : •

: :

\ '•i — )r ') c :, L_- ? . • _ — -' - ^L

. — •..t ^{— 1 -} -.

47,

t

ZY

— --- r

-

.- .. .- -• -

-' -• .- - —

, p•- . .—. - ,.

- r ^{— -}

1

•• -. :- - -. r. ^{- t}

- 1

1-.

2

— - :

- .-

- -—S-. -- -

I

A`j

— : iI

ki

4,1

&14 '4 - ^-. - 1- ^{.- •'-''} -. - _s

- -

-•

1 - 1

i-W 1 .&. -. S .•-

-

— - '

- - — ,

-3-.

De bureaustudie is uitgevoerd en gerapporteerd door Ir. J. Kerstma.

1.3 Probleems telling

Met betrekking tot de trillingsaspekten van de vakwerkschuif wordt met name gedacht aan het in trilling raken van de afzonderlijke vakwerkstaven. Wanneer

ên van deze staven in trilling raakt, is het mogelijk, dat de hele schuif gaat trillen. Op het ontstaan van trillingen bij een enkele buis in stroming wordt ingegaan in hoofdstuk 2. Wat een enkele buis in stroming betreft, zijn er voor prototype-omstandigheden gegevens voorhanden. Bij de hier beschouwde situatie gaat het echter niet om Mn enkele buis, maar om de kombinatie van een aantal cilinders in de vorm van een vakwerk. Zaken als onderlinge beTn- vloeding van de cilinders, de invloed van een naburige wand (de beplating van de schuif) en de effekten van de knooppunten in het vakwerk kunnen dan ook een rol spelen. In verband hiermee was een nader literatuuronderzoek gewenst. Uit het literatuuronderzoek zou tevens naar voren moeten komen, welke maatregelen genomen zouden moeten worden om eventueel optredende trillingen tegen te gaan.

Een extra komplikatie bij het hier beschouwde probleem vormt de vertaling van de literatuurgegevens naar de omstandigheden, die gelden voor de vakwerk- schuif. Dit in verband met de invloed van de viskositeit. Een maat hiervoor is het Reynoldsgetal. De meeste onderzoeken, die in de literatuur vermeld worden, zijn namelijk uitgevoerd bij lagere Reynoldsgetallen dan bij de vakwerkschuif op zullen treden, terwijl de grootte van het Reynoldsgetal van invloed is op het trillingsgedrag van een cilinder (zie hfdst. 2).

Om de grootte van de bij de vakwerkstaven optredende Reynoldsgetallen te bepalen moest een af schatting gemaakt worden van de ter plaatse van de vak- werkschuif voorkomende watersnelheden. Deze afschattlng is gemaakt met behulp van een elektrisch analogon (zie hfdst. 3).

1.4 Samenvatting resultaten en konklusies

Uit de afschatting van de ter plaatse van de vakwerkschuiven voorkomende watersnelheden komt naar voren, dat bij de gehanteerde randvoorwaarden, de watersnelheden beneden de 4,5 m/s blijven.

-4-

Met betrekking tot de trillingsaspekten van de vakwerkschuiven zijn drie mogelijke gevallen onderzocht:

- het in trilling raken van de afzonderlijke vakwerkstaven

- het in trilling raken van de gehele schuif, wanneer Mn van de vakwerkstaven belast wordt met een witte ruis excitatiespektrum

- het in trilling raken van de gehele schuif, wanneer bij Mn van de vakwerk- staven de wervels loslaten met een frekwentie, die gelijk is aan de eigen- frekwentie van de schuif.

Algemeen geldt, dat cilinders kunnen trillen zowel in als loodrecht op de stromingsrichting. Voor de afzonderlijke vakwerkstaven zijn beide mogelijkhe- den onderzocht. Hieruit kwam naar voren, dat bij een aantal vakwerkstaven trillingen in de stromingsrichting mogelijk zijn. Met betrekking tot dit type trillingen geldt echter dat zij over het algemeen nauwelijks merkbaar zijn (zie hfdst. 2 par. 2.3 en fig. 2.7).

Voor de schuif als geheel geldt, dat er geen noemenswaardige trillingen ver- wacht worden.

t-

-

- .

• ,

- :

t 44

Nt

-.

._S • ••-Ï . t . . t ILA

. -• .;.

- . . .

i.:. ^-.

1;. : . - - . - - .4 ^'•

- ^T .

- - -

-

S . . -.• -

t . -

4 -

S.' . .

1

S

t

.

;L . . . . .

•'•' f . . . - .- . - ^t1

- . . - •.

-

ao

1 -

T

- 5 -

2 Trillen van cilinders in stroming

2.1 Inleiding

In dit hoofdstuk zal ingegaan worden op het gedrag van een enkele cilinder met een cirkelvormige doorsnede in stroming. Bij een dergelijk lichaam is het loslaatpunt van de stroming afhankelijk van het Reynoldsgetal. Dit in tegen- stelling tot bijvoorbeeld bij lichamen als een plaat en een kubus, die door hun vorm een vast loslaatpunt hebben. De stroming rond een cilinder zal dus samenhangen met het Reynoldsgetal. Hierop wordt ingegaan in paragraaf 2.1 van dit hoofdstuk. In paragraaf 2.2 wordt ingegaan op de krachten, die ten gevolge van het loslaten van wervels worden uitgeoefend op een starre niet bewegende cilinder en in paragraaf 2.3 op het gedrag van cilinders, die vrij zijn om te trillen. Het in deze paragrafen vermelde is grotendeels ontleend aan [2].

In paragraaf 3 van dit hoofdstuk zal ingegaan worden op de situatie, dat een aantal cilinders zich in elkaars nabijheid bevinden. Dit is de situatie, zoals die voorkomt bij de vakwerkschulf.

2.2 Trillen van een enkele cilinder in stroming

2.2.1 Invloed Reynoldsgetal

Bij een cilinder nt een cirkelvormige doorsnede wordt het Reynoldsgetal gedefinieerd als:

Re = (2.1)

v

waarin: Re = getal van Reynolds

v = snelheid van de vloeistof D = diameter van de cilinder

v = kinematische viskositeit van de vloeistof.

Door het loslaten van de stroming zullen er achter de cilinder wervels ont- staan. De frekwentie, waarmee deze wervels loslaten, wordt gekenmerkt door het getal van Strouhal:

= nD (2.2)

waarin: S = getal van Strouhal

n = frekwentie, waarmee paren wervels loslaten D = diameter van de cilinder

v = snelheid van de vloeistof.

De frekwentie n wordt betrokken op elk paar van wervels, omdat de wervels aan weerszijden van de cilinder om en om loslaten.

De in het vervolg van deze paragraaf gegeven beschrijving van het stroombeeld rond een cilinder als funktie van het Reynoldsgetal is ontleend aan [2]. De hierbij gegeven waarden voor het Reynoldsgetal zijn benaderingen. De aangege- ven veranderingen in het stroombeeld kunnen zowel bij lagere als bij hogere Reynoldsgetallen plaatsvinden.

Wanneer het Reynoldsgetal toeneemt vanaf nul, gaan de stroomlijnen achter de cilinder zich verwijden vanaf een Reynoldsgetal van ongeveer 5. Hierbij vormt zich een paar van ronddraaiende laminaire wervels achter de cilinder. Dit stroombeeld is stabiel en stationair. Bij een verdere toename van het Rey- noldsgetal (zie fig. 2.1) worden de wervels langgerekter, terwijl ver stroom- afwaarts het zog achter de cilinder ten gevolge van kleine verstoringen insta- biel wordt.

twee staande wervels

KC, - -3;

Figuur 2.1 Twee stationaire wervels

Dit treedt voor het eerst op vele honderden malen de cilinderdiameter achter de cilinder. Het instabiliteitspunt beweegt zich echter stroomopwaarts met het toenemen van het Reynoldsgetal. Wanneer dit plaatsvindt begint het tweetal wervels achter de cilinder tekenen van instabiliteit te vertonen. Bij een Reynoldsgetal van ongeveer 45 laten de wervels aan weerszijden van de cilinder afwisselend los en vormen de werveistraat van Von Karnian (zie fig. 2.2).

-

AA

--.-

Nee-

- -

1

-

-..'- •-

.-'•

t - -

- 7.-

(aminaire lam inair loslating

4ORe 300

/

Figuur 2.2 Werveistraat van Von Karman

De grootte van de wervels, die losgelaten worden, neemt toe met het groter worden van het Reynoldsgetal, terwijl de afstand tussen de losgelaten wervels steeds kleiner wordt. Ten gevolge hiervan neemt het getal van Strouhal vanaf een Reynoldsgetal van ongeveer 40 tot een Reynoldsgetal van ongeveer 300 snel toe tot ongeveer 0,2. Er is sprake van een laminaire wervelstraat, maar bij hogere Reynoldsgetallen gaan de stroomsnelheden hoogfrekwente fluktuatie vertonen. Het stromingsveld wordt dan turbulent. Dit gebeurt het eerst in het zog op een flinke afstand benedenstrooins van de cilinder.

Bij het toenemen van het Reynoldsgetal zal het punt, waar het zog van lami- nair, de hierboven beschreven situatie, turbulent wordt, naar de ci linder toe bewegen. Voor een Reynoldsgetal van ongeveer 300 bevindt dit oinslagpunt zich tussen de achterkant van de cilinder en de plaats, waar de wervels gevormd worden. Het gehele zog is dan turbulent (zie fig. 2.3).

laminaire ,pmslagpunt loslating

lam/flair

wervelstraat 300 Re0,2. 106 grens -

laag -

-

Figuur 2.3 Subkritische gebied van Reynoldsgetallen

De hierna volgende range van Reynoldsgetallen wordt het subkritische gebied genoemd. Bij een verdere toename van het Reynoldsgetal tot ongeveer 0,2 x 10 6 verandert het karakter van het stroombeeld nauwelijks. Het getal van Strouhal

CKIM

heeft in dit gebied een nagenoeg konstante waarde van iets minder dan 0,2 (zie fig. 7), terwijl ook de in de tijd gemiddelde weerstandskofficiënt nagenoeg konstant is en een waarde heeft van ongeveer 1,2 (zie fig. 7). De weerstands- koëfficiënt CD is voor een cilinder gedefinieerd als:

F D 2

fp ^{v D}

(2.3)

waarin: CD = weerstandskoëfficiënt

F = door de stroming per lengte-eenheid op de cilinder uitgeoefende kracht

p = dichtheid van de vloeistof

v = snelheid van de ongestoorde stroming D = diameter van de cilinder.

De grote waarde van de weerstandskoëfficiënt in het subkritische gebied wordt veroorzaakt door de grote negatieve druk aan de achterkant van de cilinder, die een gevolg is van het relatief brede zog achter de cilinder. Door het relatief breed zijn van het zog werkt de negatieve druk over een groot opper- vlak aan de achterkant van de cilinder.

Bij een Reynoldsgetal van ongeveer 0,2 x 106 beweegt het omsiagpunt tussen laminaire en turbulente stroming zich verder stroomopwaarts. De stroming op de cilinder is dan vlak na het loslaatpunt al turbulent. Het hierbij behorende stroombeeld is weergegeven in figuur 2.4.

turbulent

1jaminclire weer aanliggen loslatin en loslaten lagpun t

grens- turbulente, zwaJke 0,2.1 ORe O,6.1O6 werveistraat

laag -'.

Figuur 2.4 Stroombeeld in de buurt van het kritische Reynoldsgetal

Wat ontstaat is eerst een laminair loslaten en het vervolgens turbulent weer aanliggen van de stroming. Het vervolgens turbulent loslaten gaat gepaard met een smal zog, waardoor de weerstandskoëfficiënt afneemt en wel des te sterker

- i

- - - 1 -

Tv

Pit

:? •

Ot

lilt

Al

Lit

-

- -. ..

. ..

-

i

1

L

1 '

r

-

- .. - .. . . . .. ... 1. ..

.. .. . .. . ..'-'-.. . . . - -. . .

- .

-

- -

Ir't

- ^{.. ..} . ^.. . . .

- t

t -

- ^-. - - . . .. - •

. ... ... . - .. - . - -t

- .

• . - - . . - .

-

.-

-

r - -

-. -I

- -

.t - --

• . -

-; __t1_

naarmate het Reynoldsgetal toeneemt tot ongeveer 0,6 x 106. Aansluitend hier- aan wordt het loslaten van de wervels diffuser en neemt het Strouhalgetal toe tot ongeveer 0,4 (zie ook fig. 7). Het Reynoldsgetal, waarbij de weerstands- koëfficiënt snel begint af te nemen, wordt het kritische Reynoldsgetal ge- noemd.

Een verdere toename van het Reynoldsgetal tot ongeveer 0,6 x 10 6 heeft een bijna geheel verloren gaan van de periodiciteit in het zog tot gevolg. De omslag van laminair naar turbulent vindt dan ver stroomopwaarts van het los- laatpunt in de grenslaag plaats (zie fig. 2.5).

turbulente

atin9 turbulent zog met oms 1ag zwakke periodiciteit _-

-

- -

£Re

1O punt

-=-- _-

- -

---

Figuur 2.5 Reynoldsgebied met nagenoeg geen periodiciteit in het zog

Vanaf een Reynoldsgetal van ongeveer 3 x 106, wanneer het Strouhalgetal zakt naar een waarde van ongeveer 0,26, treedt er weer periodiciteit op in het zog.

De hiervoor gegeven beschrijving van de stroming rond een cilinder geldt voor een uniforme stroming stroomopwaarts van de cilinder. De invloed van turbulen- tie in het water stroomopwaarts van de cilinder wordt het meest gemerkt in de buurt van het kritische Reynoldsgetal. De weerstandskoëfficiënt begint dan bij een kleiner Reynoldsgetal af te nemen, terwijl de afname minder snel verloopt.

De invloed van de turbulentie hangt af van de turbulentie-intensiteit en van de verhouding tussen de lengteschaal van de turbulentie en de afmetingen van de cilinder. Bij de in het voorgaande gegeven beschrijving is tevens aangeno- men, dat de cilinder niet beweegt en glad is.

2.2.2 Wisselende krachten op een stilstaande cilinder in stroming

Een cilinder in stroming ondervindt naast de stuwdruk, die in de vorige para- graaf is genoemd, eveneens wisselende krachten, die het gevolg zijn van het

:

L : -

:

S : -' - . - S. •. S

-I 1'

' S

T

I' -•_-'.'__ "S

S-.

S -.-- '

-S

S.

,••''_

_S__' •••

-.

•.,., : i - ; 5 55'

- S

5. .- . S • 5 - - . S

r2t

h •r.; -

-•,: - . -

5 5

- S- -

f; •'•- T- '•

- S S

-

1 S S

S ' ' - • - - :,

•t -. --/ S'

- S

-S'

. . S.

L.

S

1 ,

• - e .?' ' -. - •' -

•- -

-. •51 1,

, , . 5=5' - r -;. - •_•- ' ''

41 t - - -

i-

-S.

- , 'S •" S-. ..,

S-

• .' . $ - 2

1

'

S ..,

1 -

- .-.

- ',

•-'

• . S *

____

- 10 -

loslaten van wervels. In het hierna volgende zal een eenvoudige geTdealiseerde fysische verklaring voor het ontstaan van deze wisselende krachten gegeven worden.

Wanneer een wervel wordt losgelaten, ontstaat er een circulatiestrotning rond de cilinder, waarvan de draairichting tegengesteld is aan de draairichting van de losgelaten wervel (zie fig. 2.6).

KOMPONENT IN

ot STROMINGSRICH T/NO

KOMPONENT

'ESULTERENDE L000RECHT STRO -

MINGSRICHTING

1 /

WG

Vo - VI

V. - V1

VIV

VO ^* Vi KOMPONENT -

L000RECHT STRO MINGSRICHTING

KOMPONENT IN STROMINGSRICHTING

Figuur 2.6 Ontstaan van wisselende krachten ten gevolge van het loslaten van wervels

Dit veroorzaakt een tijdelijke snelheidsverhoging v 1 op het ene deel van het oppervlak en een even grote snelheidsverlaging op het andere deel. Hierdoor ontstaat een drukverschil over de cilinder in een richting, die bij benadering loodrecht op de stromingsrichting staat. Wanneer de losgelaten wervel zich stroomafwaarts verwijderd, neemt de invloed er van op de cilinder af. De kracht neemt dan af tot er aan de andere kant van de cilinder een wervel losgelaten wordt, die een kracht in de tegenovergestelde richting veroorzaakt.

De wisselende kracht loodrecht op de stromingsrichting heeft dus dezelfde frekwentie, als waarmee elk paar wervels loslaat.

- 11 -

De wisselende kracht, die ontstaat ten gevolge van het loslaten van wervels, heeft ook een komponent in de stroniingsrichting (zie fig. 2.6). De grootte van deze komponent is ongeveer een tiende van de grootte van de komponent lood- recht op de stromingsrichting. Elke losgelaten wervel veroorzaakt een verande- ring in de komponent in de stromingsrichting en deze verandering werkt altijd dezelfde kant op, zodat de frekwentie van de komponent in de stromingsrichting gelijk is aan de frekwentie, waarmee de wervels loslateu. Dit is tweemaal de frekwentie van de komponent loodrecht op de stromingsrichting.

Om de grootte van de kracht loodrecht op de stromingsrichting te bepalen zijn een groot aantal metingen verricht (zie fig. 8). De in figuur 8 gegeven resul- taten hebben betrekking op een kalme stroming in een windtunnel. De aanzien- lijke spreiding in de meetresultaten toont de grote gevoeligheid van cirkel- vormige cilinders voor de oppervlakteruwheid, de turbulentie-intensiteit van de stroming en mogelijk voor de trillingsamplitude en de stroomkondities aan de uiteinden van de cilinder. De algemene tendens is, dat de liftkracht het grootst is bij Reynoldsgetallen van ongeveer 10 5 en het kleinst bij het Rey- noldsgetal, dat bij de minimumwaarde van de weerstandskoëfficiënt hoort (zie de vorige paragraaf en fig. 7). De grootte spreiding in de resultaten van de modelonderzoeken maakt een precieze afschatting van de in prototype-omstandig- heden optredende wisselende krachten en dus ook van de daarbij behorende amplitudes onmogelijk.

Zoals uit figuur 8 blijkt, vertoont de wisselende komponent van de weerstands- kofficiënt dezelfde Reynoldsafhankelijkheid als de liftkomponent. De beide komponenten verhouden zich tot elkaar als 1:10.

2.2.3 Trillen van cilinders ten gevolge van het loslaten van wervels

Een cilinder, die vrij is om te trillen met een eigenfrekwentie N, kan reage- ren op de door het loslaten van wervels veroorzaakte krachten.

De aanname, dat de wisselende krachten evenwijdig aan en loodrecht op de stromingsrichting veroorzaakt worden door het loslaten van de wervels, heeft vaak geleid tot het aannemen van een sinusvormige excitatiekracht met dezelfde frekwentie, waarmee de enkele of elk paar wervels loslaat. Voor de liftkracht levert dit dan:

! t• J . ^{- 70}

: - • :

'

.- _: -. - !

..

- -

-:-'

4 _{- -}

-. In

.r ir7c5

- t- -

- -L

-

t ••• •_ - 4 t

t

- -

S

- ₁

t- r

..

It

- - - -'

-

L

-

rj 40^{- -}

Jr

-t. t - •

-

t-

-

- . --•- -' _- -

- - -- - ^t

1 -

•

- - -. _{- ç}

-

-

:-- i-*- •.- ^{- - -}

\

- 12 -

FL

= 4p

waarin: FL = liftkracht

p = dichtheid van de vloeistof

v = snelheid van de ongestoorde stroming A = aangestroomde cilinderoppervlak CL = liftkoëfficiënt

n = frekwentie, waarmee elk paar wervels loslaat t = tijd.

Hierbij wordt aangenomen, dat de frekwentie, waarmee de wervels loslaten niet wordt betnvloed door het in trilling zijn van de cilinder. Voor bepaalde gebieden van snelheden en amplitudes bepaalt de cilinderbeweging echter de frekwentie, waarmee de wervels worden losgelaten. De excitatiekracht heeft dan de volgende gedaante:

FL = +p v2ACL sin2jtNt

(2.6)

waarin N de eigenfrekwentie van de cilinder is.

Waarnemingen met betrekking tot de respons van cilinders, die vrij zijn op te trillen, geven aan, dat een cilinder in trilling begint te raken bij stroom- snelheden, die iets kleiner zijn dan de zogenaamde resonantiesnelheid. Voor trillingen in de stromingsrichting wordt de resonantiesnelheid gegeven door:

v=-

ND (2.7)

en voor trillingen loodrecht op de stromingsrichting door:

v4.ND (2.8)

In deze vergelijkingen is S het Strouhalgetal. Bij een bepaalde hogere snel- held, dle afhankelijk is van de demping in de konstruktie, dempen deze tril- lingen weer uit. Dit is geîllustreerd in figuur 2.7.

•

d

,

4'

- t

4 - - :-

- ( - I -- . - - -

I

P-11

' t

-- -.•... -

- - --:

-41

J. 1

-

- - • - . - -

-) .—. S ^{. -. ;-} - •-,

- 2

-J — -

- •- . . - ...

1 -

-

- —

4 - .-

4_S•S

54

1

- . .

.

1

. . - ..

.

-

E " -- --

. 4 .

-

/

-

- . -

-.5

-_•.

-\ ? •.

-

- - - 1 -

- - -

• -

- -

. 't - 1 •.•- -- -. . -.

- -

:5

-.

-4

LU

- 13 -

3

5: DEMPING 'LOGARIT ISCH DEC rEMENT) j 1

0.043

t

3

IN STRC VINGSRICI TING

1

L000RC

4

T OP IST OMINGSRI HT(NG

0.005

/ 4 1

/ ¹ /

/

1

1

1

5:0.145

Ik ^5:0,335

J!!

0 2 4 6 8

. 'GEREDUCEERDE SNELHEID VIND

Figuur 2.7 Respons van een cilinder, die vrij is om te trillen

Wanneer het Strouhalgetal een waarde van 0,2 heeft geldt volgens de vergelij- kingen (2.7) en (2.8) voor de stroomsnelheden, waarbij de grootste amplitudes optreden:

v = 2,5ND voor trillingen in de stromingsrichting (2.9)

en v = 5ND voor trillingen loodrecht op de stromingsrichting (2.10)

En van de meest belangrijke effekten, die het bewegen van een konstruktie op de wervelloslating heeft, is het verschijnsel van "locking-on". Wanneer de stroomsnelheid rond een licht gedempte konstruktie vanuit rust toeneemt, neemt ook de frekwentie, waarmee de wervels loslaten toe. Wanneer de loslaatfrekwen- tie dichtbij, maar kleiner dan de eigenfrekwentie van de konstruktie is kan de amplitude, wanneer de massa en demping klein genoeg zijn, aanzienlijk toene- men, wanneer locking-on optreedt. Een verdere beperkte toename van de stroom- snelheid heeft dan geen invloed op de loslaatfrekwentie, die gelijk blijft aan de frekwentie, waarmee de konstruktie trilt. De trillingsamplitude blijft dan toenemen tot een piekwaarde. Wanneer de loslaatfrekwentle, die geldt voor de

sI

Wei

0.05

- 14 -

stilstaande cilinder, ver boven de eigenfrekwentie van de bewegende cilinder komt, neemt de trillingsamplitude weer af. De belangrijkste manier, waarop het verschijnsel van "locking-on" naar voren komt, is de toename van het gebied van stroomsnelheden, waarbij aanzienlijke trillingen optreden.

Een ander gevolg van het bewegen van de cilinder is het toenemen van de korre- latie tussen het loslaten van de wervels over de lengte van de cilinder. De mate, waarin de korrelatie toeneemt, hangt af van de trillingsamplitude en hoe dicht de loslaat- en eigenfrekwentie bij elkaar liggen. Zowel de "locking-on"

als het toenemen van de korrelatie hebben een snelle toename van de stromings- krachten tot gevolg. De invloed hiervan op de trillingsamplitude komt naar voren in figuur 2.7.

In figuur 2.7 is ook te zien, dat de trillingen in de stromingsrichting minder sterk zijn dan die loodrecht op de stromingsrichting. In het algemeen geldt dan ook, dat trillingen in de stromingsrichting zelden merkbaar zijn.

Behalve het verschuiven van de excitatiefrekwentie naar de eigenfrekwentie is onder andere in [3] gekonstateerd, dat een terugkoppelingsmechanisme in de belasting op kan treden. De exciterende kracht wordt dan groter naarmate de konstruktie heftiger trilt. Hiermee moet rekening gehouden worden, wanneer de trillingsamplitude enkele procenten van de cilinderdiameter gaat worden.

2.3 Cilinders in elkaars nabijheid

In het voorgaande is ingegaan op het gedrag van een enkele cilinder in stro- ming. Bij de vakwerkschuif gaat het echter om een geheel vakwerk van cilinders in stroming. Uit de literatuur zijn voor dit soort konstrukties in water geen gegevens voorhanden. Wel zijn onderzoekingen gedaan naar de onderlinge beTn- vloeding van cilinders, die naast en/of achter elkaar in stroming staan (zie onder andere de nummers 5, 11, 13, 16, 22, 27, 30, 35 en 36 van de bijlage geraadpleegde literatuur). De meest uitgebreide onderzoekingen zijn gericht geweest op de bij warmte-uitwisselaars voorkomende array's van cilinders.

Uit de onderzoekingen is naar voren gekomen, dat de onderlinge beïnvloeding van de cilinders afhankelijk is van de afstand tussen de cilinders en het feit of zij wel of niet in elkaars zog staan. Afhankelijk hiervan kunnen de weer- standskoëfficiënt en de liftkoëfficiënt zowel toe- als afnemen in vergelijking

7

/ Oq

-

-

- - - - - -

-

1

S

L

- 4

'S 1

1 - .

It

'bJ5,t . -'.

•1Ç S . 'i• • S-. 1.

• ;. _{S S-}

•,:2

-

• . . -t . _5. .3 .5 . .. . - . -

-

- -

_l_ •_ 1:15 s - -'

- '

1

. '. 5 - _tSS•

S . t . .'. ...

-

. .

- - ⁵ JS ,j •. S

1. -'S.. '• " - .

. .

-

S •'

- S ' - .

.t'

' 4' 1 1 .

-, •:: -t.--

•1 -. .. tt. :: S - . . - .

S,

- S-

-

• . . • :..,

-' S

-

L

- 15 -

met de waarden, die gelden voor de enkele cilinder. Volgens nummer 5 in de bijlage geraadpieegde literatuur is er nagenoeg geen onderlinge be!nvloeding meer wanneer de afstand tussen de cilinders groter is dan 10 maal de cilinder- d iame t er.

- 16 -

3 Afschatten watersnelheden ter plaatse van de vakwerkschuif

3.1 Inleiding

Zoals in het vorige hoofdstuk naar voren is gekomen, is het gedrag van een cilinder in stroming afhankelijk van het Reynoldsgetal. Om de grootte van de bij de staven van de vakwerkschuif optredende Reynoldsgetallen te kunnen bepalen, moeten de ter plaatse van de vakwerkstaven optredende watersnelheden bekend zijn (zie vergelijking (2.1)). Een afschatting van deze watersnelheden is gemaakt met behulp van een elektrisch analogon.

3.2 Elektrisch analogon

Bij het toepassen van een elektrisch analogon worden een aantal aannames gedaan. Er wordt aangenomen, dat de beschouwde stroming een potentiaalstroming is. Hierbij worden de wrijvingskrachten verwaarloosd en wordt de stroming rotatievrij verondersteld. Tevens wordt dan verondersteld, dat de vloeistof niet samendrukbaar is. Een andere belangrijke aanname is, dat de stroming stationair is. In het hier beschouwde geval houdt dit in, dat waterspiegelver- anderingen, die het gevolg zijn van golven niet worden meegenomen. Er wordt een momentane situatie genomen, waarbij wordt verondersteld, dat er geen traagheidseffekten optreden.

Door de bovengenoemde beperkingen zijn de met behulp van het elektrische analogon bepaalde snelheden schattingen van de in het prototype optredende waarden.

3.3 Opzet elektrisch analogon

Bij de opzet van het elektrische analogon is ervan uitgegaan, dat de stroming tweedimensionaal is. Voor het analogon houdt dit in, dat uitgegaan wordt van een dwarsdoorsnede over de stromvloedkering. In het elektrische analogon zijn de staven van de vakwerkschuif weggelaten. De snelheden, die uit het analogon volgen gelden dus voor de ongestoorde stroming.

In het analogon dienden zowel een diepe als een ondiepe situatie onderzocht te worden. De hierbij in het analogon gebruikte schematisaties zijn gegeven in de figuren 9 en 10.

- 17 -

Voor de na de schuif en de bodemkruin optredende kontraktie is aangenomen, dat de stroomlijnen, die deze begrenzen een elliptisch verloop hebben, terwijl de doorsnede met de grootste kontraktie op een afstand gelijk aan de schuifope- ning achter de schuif is genomen.

3.4 Meetprogramma

In totaal zijn er 6 elektrische analogons gemaakt. Vier voor de diepe situatie en twee voor de ondiepe situatie. In alle gevallen was de waterstand op de Oosterschelde NAP. Met betrekking tot de zeewaterstand dienden waterstanden van NA? +6 m en NA? +3 in onderzocht te worden. In de waterstand van NA? +6 in

wordt de invloed van een waterstandsverhoging ten gevolge van golven meegeno- men. Voor de ondiepe situatie moest een half gesloten schuif aangenomen worden en voor de diepe situatie een voor eenderde en een voor tweederde gesloten schuif. In de gekozen ondiepe situatie is de totale schuifopening 5,5 in. Voor de half gesloten situatie is hier een schuifopening van 3 in genomen. In de gekozen diepe situatie is de totale schuif opening 11,5 in. Voor de voor eender- de en tweederde gesloten situatie zijn hierbij schuifopeningen van 8 in en 4 in

genomen.

3.5 Bepaling debieten

Voor het bepalen van het debiet door de kering in de te onderzoeken situaties is gebruik gemaakt van [4]. Als eerste moet nagegaan worden of de stroming door de kering boven de dorpel subkritisch of superkritisch is. Als criterium hiervoor wordt de volgende vergelijking gebruikt:

h > -1h3 (ofte wel een Froudegetal groter dan €n) (3.1)

waarin: h5 = waterstand op de Noordzee ten opzichte van de kruin van de dorpel h3 = waterstand op de Oosterschelde ten opzichte van de kruin van de

dorpel

= kontraktiekoëffjciënt.

Wanneer aan deze vergelijking wordt voldaan, is de stroming superkritisch.

Voor de kontraktiekoëfficiënt geldt:

4 ;- ,, 1 -

••- t

t

t-t -

;-_ t- -

- .,. - . ^{---- t.} - --•---: •- -

r T Ir

- 1

rr ^{- .} -- - - -

--- 1-. ^- - -, - -. ^-

•-: ^- t- . - - .

Ij

- - ^-t-

-

-

-/ - -

-

t- -

. -

-

S 4-t

14- - . - - - -- - -- - . . - - -

•

• -

T.-- -

t - •. - - . . --t -

- ^.tt-

'•-:t-- T - - t - -. ^{- . -} ---

- - -

-- - ^{- .} .- - --

-

- . -

/

- - -.- -- -

- . . ... - - - -_ . -• - - -r4

t -' - - - • -,

- --- -.. - - - --t -- - - -

-

• - - - -. - - -

- 18 -

= 0,8 voor (h5_h 3 ) > 3 m

(3.2)

= 0,9 voor (h-h 3 ) ( 3 m

De hier te onderzoeken situaties zijn weergegeven in de onderstaande tabel:

kruin waterstand h5 h3 stroming

situatie dorpel Noordzee

Em NA?) [m NA?) (mI [m] [m]

diepe -10,50 +6,00 16,50 10,50 0,8 12,60 superkritisch -10,50 +3 1 00 13,50 10,50 0,8 12,60 superkritisch -10,50 +3,00 13,50 10,50 0,9 1 14,18 subkritisch ondiepe ^- 4,5 +6,00 10,50 4,50 0,8 5,40 superkritisch

- 41 5 +3 2 00 7,50 4,50 0,8 5,40 superkritisch

In alle gevallen kan volgens het bovenstaande de stroming dus als superkri- tisch beschouwd worden. Met betrekking tot de diepe situatie kan echter opge- merkt worden, dat voor een waterstand van NA? +3 m aan de zeezijde en een kontraktiekoëfficiënt van 0,9 de stroming als subkritisch beschouwd kan worden. Deze situatie bevindt zich op de grens van super- en subkritische stroming. Om volledig te zijn zouden beide gevallen onderzocht moeten worden.

Aangezien het hier echter gaat om een globale afschatting van de optredende watersnelheden, is besloten om bij een schuif opening van 8 m een subkritische s tromings toes tand aan te nemen en bij een schuifopening van 4 m een superkri- t is che.

Voor het bepalen van de debieten door de kering wordt in eerste instantie aangenomen, dat de stroming in alle situaties superkritisch is. De debieten kunnen dan met de volgende vergelijking bepaald worden:

q = 4h

g /2g(h - c g S h )

waarin q = debiet per breedte-eenheid h g = schuifopening

h s = waterstand aan de zeezijde ten opzichte van de dorpeikruin g = versnelling ten gevolge van de zwaartekracht

IL4 en c zijn kontraktiekoëfficiënten.

(3.3)

- 19 -

Voor de kontraktiekoëfficiënt 1.14 geldt:

1.14 = ^PV P.c

,ff

(3.4)

waarin P. ook weer een kontraktiekoëfficiënt is. Voor P. geldt het volgende:

3

= 0,9 voor h

S -

T

(3.5) 3

P.= 1,0 voor h

S >--h3

De bij de te onderzoeken situaties optredende debieten zijn gegeven in de onderstaande tabel:

situatie h9 [m]

h3 [ml

hg [m]

P.c P.4

-

q [m2/s]

diepe 16,50 10 1,50 1,0 8 0,61 0,64 77,13 16,50 10,50 1,0 4 0,61 0,62 40,98 13,50 10,50 0,9 8 0,61 0,58 60,40 13 1% 50 10,50 0,9 4 0,61 0 9 56 32,79 ondiepe 10,50 4,50 1,0 3 0,61 0,62 24 1,24 7,50 1 4,50 1,0 3 0,61 1 0,63 19 9 90

Voor de kontraktiekoëfficiënt p kan volgens [4] in alle gevallen 0,61 genomen worden. In het geval van een subkritische stroming geldt voor het debiet:

q = h /2g(h -h ) g si (3.6)

waarin h1 de waterhoogte boven de kruin van de dorpel is. Wanneer hier in eerste benadering de waterstand op de Oosterschelde voor genomen wordt en 0,9 voor P.1 geeft dit voor de situatie, waarin de stroming zich op de grens van sub- en superkritisch bevindt, een debiet van 55,24 m 2 /s. Dit is dezelfde orde grootte als de waarde van 60,40 m 2 /s, die uitgaande van een superkritische stroming gevonden wordt.

- 20 -

3.6 Bepaling watersnelheden

In het geval, waarin een subkritische stromingstoestand is aangenomen, is verder aangenomen, dat de zowel onder de schuif als boven de kruin van de dorpel een kontraktie van 0,9 maal de schuifopening optreedt. De meest gekon- trakteerde doorsnede heeft dan een grootte van 0,8 maal de schuifopening. In alle andere gevallen is aangenomen, dat de meest gekontraheerde doorsnede een grootte van 0,61 maal de schuifopening heeft, waarbij de onderste begrenzing van deze doorsnede 0,4 m boven de kruin van de dorpel ligt. Voor de te onder- zoeken situaties levert dit de in de onderstaande tabel gegeven snelheden in de meest gekontraheerde doorsnede.

situatie

waterstand zeezijde

[m NAP]

schuif- opening

[m]

It deblet [m 2 /s]

snelheid [m/s]

diepe 6,00 8 0,61 77,13 15,8

6,00 4 0,61 40,98 16,8

3,00 8 0,80 60 51 40 9,4

3,00 4 0,61 32,79 13,4

ondiepe 6,00 3 0,61 24,24 13,2

3,00 3 0,61 19,90 10,9

Voor de situatie met een subkritische stroming is het debiet genomen, dat behoort bij een superkritische stroming. Dit is de grootste van de twee in de vorige paragraaf bepaalde waarden. De juiste waarde kan gevonden worden door de waarde h1 te bepalen en daarna met vergelijking (3.6) het debiet te bepa- len.

De bij de verschillende situaties behorende elektrische analogons zijn weerge- geven in de figuren 11 t/m 16. In deze figuren is tevens de positie van de onderste regel aan de zeezijde van het vakwerk aangegeven. Hieruit blijkt, dat in de onderzochte situaties, de snelheid bij deze regel beneden de 3,5 m/s blijft. Dichter naar de beplating toe kan dit oplopen tot ongeveer 4,5 m/s.

- 21 -

4 Trillingsaspekten vakwerkschuif

4.1 De afzonderlijke vakwerkstaven

Met betrekking tot de afzonderlijke vakwerkstaven is als eerste geinventari- seerd bij welke watersnelheden zij in hun eigenfrekwentie aangestoten worden.

Hierbij is uitgegaan van de vergelijkingen (2.7) en (2.8). Voor het verband tussen het Strouhalgetal en het Reynoldsgetal is figuur 7 aangehouden. Voor de inventarisatie van de trillingsgevoeligheid van de afzonderlijke staven zijn in deze figuur 3 gebieden onderscheiden met verschillende waarden van het Strouhalgetal. Voor Reynoldsgetallen kleiner dan 3,5 * 105 is voor het Strou- halgetal 0,2 aangehouden. Voor Reynoldsgetallen groter dan 3,5 * 105, maar kleiner dan ongeveer 2 * 10 6 een waarde van 0,45 en voor Reynoldsgetallen groter dan ongeveer 3 * 106 een waarde van 0,30.

Voor elke staaf is vervolgens een waarde 0,2; 0,45 of 0,3 voor het Strouhalge- tal gekozen. Samen met de eigenfrekwentie van de staaf is deze waarde gesub- stitueerd in de vergelijkingen (2.7) en (2.8), waaruit dan de kritische of resonantiesnelheden voor trillen loodrecht op en in de stromingsrichting volgden. Uitgaande van deze snelheden is vervolgens met behulp van vergelij- king (2.1) het bijbehorende Reynoldsgetal bepaald. Hierbij is voor de kinema- tische viskositeit van het water 10 6 m2 /s genomen. Hierna werd gekontroleerd of het gekozen Strouhalgetal overeenkwam met het gevonden Reynoldsgetal.

Wanneer dit niet het geval was, werd de berekening met een ander Strouhalgetal opnieuw uitgevoerd.

De resultaten van de inventarisatie zijn verzameld in tabel I. De hierin vermelde staafgegevens zijn geleverd door Rijkswaterstaat, direktie Bruggen, gedateerd 17 september 1980. De vermelde eigenfrekwenties gelden voor de situatie, waarin de staven scharnierend zijn opgelegd en er geen normaalkracht aanwezig is.

Uit de tabel blijkt, dat de meest gevoelige staven de buisprofielen 356/12 5 en 267/12 5 zijn. Voor de laatste geldt een kritische snelheid van ongeveer 4 m/s, wanneer het trillen in de stromingsrichting wordt bekeken. Gezien de in het vorige hoofdstuk afgeschatte snelheden kan deze staaf In trilling raken, hoewel het hier om de minder sterke trillingen in de stromingsrichting gaat

(zie ook hfdst. 2 par. 2.3).