Sterkte en vervormingseigenschappen van pijpleidingen in diep water

Citation for published version (APA):

Winter, de, P. E. (1980). Sterkte en vervormingseigenschappen van pijpleidingen in diep water: eindrapportage van de eerste fase van MaTS project PL-3. Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date:

Gepubliceerd: 01/01/1980

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research.

• You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Download date: 08. Feb. 2021

MaTS

r

STERKTE EN VERVOR.~INGSEIGENSCHAPPEN

VAN PIJPLEIDINGEN IN DIEP WATER

L ^'_J

Industriële Raad voor de Oceanologie

Netherlands lndustrial Council for Oceanology

VOORWOORD

In het kader van het MaTS-onderzoek programma is aan het Instituut TNO voor Bouwmaterialen en Bouwconstructies opdracht verleend om een eerste fase uit te voeren van een onderzoek naar de sterkte~ en ver'\l'ormings- eigenschappen van pijpleidingen, belast op combinaties van buiging, uit- wendige waterdruk en normaal.kracht (Ma'l!S-PL3).

Het programma voor deze eerste fase omvatte:

I ..Een inventarisatie van de aanwezige kennis II Enig theoretisch onderzoek

III Enige oriënterende proeven IV Rapportage

De resultaten van II en III zijn in dit rapport vermeld. De resuJ.taten van I zijn in een __ apart rapport opgenomen (B-80-60/63.6.0585).

Het theoretische gedeelte van het onderzoek, gepresenteerd in dit rapport, omvat de afleiding van de basisvergelijkingen die ten grondslag liggen aan het rekenmodel dat de vervorming van een buisdoorsnede beschrijft.

voorts is in dit rapport een uitwerking van deze basisve.rqelijkingen

gegeven voor de afzonderlijke gevallen uitwendige druk en zuivere buiging.

In de tweede fase van het onderzoek zal het rekenmodel worden uitgewerkt voor het gecombineerde belastinqgeval buiging ·plus uitwendige waterdruk en axiale normaalkracht.

Bet onderzoek is uitgevoerd binnen een samenwerkingsverband tussen het IBBC-TNO, Protech International b.v. en de TH's Delft en Eindhoven. In de inleiding van dit rapport zijn nadere gegevens o~er dit samenwerkings- verband en de in samenhang daarmee opgerichte werkgroep ve.rm.eld.

- . STERKTE EN VERVORMINGSEIGENSCHAPPEN VAN PIJPLEIDINGEN IN DIEP WATER

-Eindraportage van de eerste fase van MaTS project PL-3 IBBC Rapport B-80-59/63.6.0585 Januari 1980

Rapporteur: P.E. de Winter

DELFT UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Cepartment of Civil Engineering

Stevinweg 4, P. B. 5049. 2600 GA Delft. the Netherlands

EJNOHOVEN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Oepartment of Building Technology

Den Oolech 2. P. B. 513. 5600 MS Eindhoven

. PROTECH INTERNATIONAL bv

Genera! Engineers and Consultants

Stationsplein 2. P. B.152. 3112 HJ Schiedam

ORGANIZATION FOR INOUSTRIAL RESEARCH TNO

lnstitute TNO for Building Materials and Building Structures Lange Kleiweg 5, Rijswijk ( ZH) - P.S. 49. 2600 AA Delft

INHOUD blz.

VOORWOORD ¹

NOTATIES 4

1 • . INLEIDING 8

2. SAMENVATTING EN CONCLUSIES 11

3. DRAAGVEBMCGEN VAN EEN CIRKELVOFMIGE DOORSNEDE 1 7

3.1 Draagve.r.nogen bij enkelvormige belasting 17

3.2 Belastingcombinaties 18

3.3 M-K diagrammen voor de belastinqcombinatie buiging + uitwendige druk 20

4. GRONDSLAGEN VAN BET REKENMODEL 24

S. REKENMODEL VOOR UITWENDIGE DRUK 34

6. REKENMODEL VOOR ZUIVERE BUIGING 4 7

6.1 In.leiding 41

6. 2 Spanningsverdeling A SO

6.3 Spanningsverdeling B 65

6.4 Spanningsverdeling C 71

7 • OPZET REKENMODEL VOOR INTERACTIE VOOR BUIGING, UITWENDIGE DRUK EN 76

AXIALE TREK

8.

8.1 8.2 8.3 8.4

9.

EXPERIMENTEEL ONDERZOEK Proefopstelling

Meetapparatuur Proefstukken

Uitgevoerde proeven, proefresultaten

BESPREKING PROEFRESULTATEN

79 79 80 85 87

90

10. LITEP.ATUUR

BIJLAGE 1

Invloed van normaalkracht op de grootte van het volplastische moment

BI.;rLAGE 2

Invloed van de proefopstelling op de krachtsverdeling in het proef stuk

BIJLAGE 3

Buiging van buizen volgens Reissner

BIJLAGE 4

Invloed van hydrostatische druk op het draagve.tmoqen van buizen met kopstuk

FIGUREN

FOTO'S

94

NOTATIES

Syml:ool

c

D

d

F

Jl

M n

M ,M o r

Omschrijving

Algemene aanduiding voor een constante Gemiddelde diameter: D·= D - t

u

Nominale waarde van de uit-wendiqe diameter Gemiddelde breedte van een vierkante blis Elasticiteitsmodulus

Algemene aanduiding voor normaalkracht

:Rekenwaarde van de vloeik:racht van buisdoorsned.e

Rekenwaarde van de vloeikracht voor rechthoekige doorsnede Buigtraagheidsmoment

Plástisch buigtraagheidsmoment stijfheid van de rotatieveren Lengte

l3uigem moment

l3uigend moment behorend bij spanningsverdelinq A l3uigend moment behorend bij n.K

e

aekenmoment waarbij in de uiterste vezel vloeien

optreedtC~

²

tae)

Rekemioment waarbij in de gehele buisdoorsnede vloeien optreedt

(D2t0' )

e

Euigen:le momenten t.p.v. een buisdoorsnede

B.ligen:l moment per lengte eenheid overgebracht door rotatieveer A Rekenwaarde van het volplastisch moment van een rechthoekige doorsnede (per eenheid van len~te)

Dimensie•

L L

L .XL -2

K

K

L

KL

KL KL

Kî ...

K

K.

*

Eenvoudigheidshalve ;.iordt hier de afgeleide dimensie.van kracht met het symbool K geb:ruikt (K = MLT-2

)

m m aa

0

p p p

Q R

s

T

t u u z v

w

a.

f3

Bligend moment in genormeerde vorm (M/M )

. p

Plaatmoment werkend op een vlakje..L. a-as Oppervlak

Uitwendige hydrostatische druk

Rekenwaarde van de vloeidruk: P ""' 2t0' /D

p e

Algemene aanduiding voor volume krachten Gemiddelde straal van de buisdoorsnede Afstand

Algemene aanduiding voor uitwendige belasting wanddikte

Algemene aanduiding voor verplaatsingen Verplaatsingen in z-richting

Volumen

Doorbuiging c.q. radiale verplaatsing

·Initiële radiale verplaatsing Factor

ovalisatie hoek

Initiële ovalisatie hoek

Boek die aangeeft tot waar de buisdoorsnede is gevloèid

"( 2 B::>ek die in de trekzone bij buiging aangeeft tot -waar de buis- door:snede is gevloeid

y3 :Boek die in de drukzone bij bliging aangeeft tot waar de buis- doorsnede is gevloeid

Variatie teken ÖF 1 e variatie van F

verschil

KL-2 i\L-3

L

L Iq, -2

L

L

L L 3

L

Rad Rad Rad

Rad

Rad

Sll'Dlhool

e:

•

e:

0

e:.

v

l.;

K

À

p

(J

Relatieve rek Reksnelheid

Relatieve rek in de m.iddendoorsnede in axiale richting

Relatieve rek in de ui te:rstè vezel aan bovenzijde bij l::uiging Relatieve rek bij het bereiken van a :

e: =

cr

/E

e e e

Relatieve rek in de uiterste vezel aan onderzijde bij buiging Relatieve rek 11'8.arna versteviging optreedt

(]

Relatieve spanning in axiale richting: l;

=

^cra

e

Relatieve spanning in de uiterste vezel als de buis nog niet is gevloeid

Relatieve vloeispanning in de trek.zone Relatieve vloeispanning in de drukzone Hoek

Kromming

20 Rekenkromm.ing waarbij juist de vloeigrens wordt bereikt: K =·__!.

·~ e E.O

Factor

Dwarscontractiecoëff iciënt Hoek

Factor

Algemene aanduiding voor spanning Spanning in axiale richting

Breukspanning

Spanning waarbij de vervonninqscapaciteit wordt bereikt Spanning in de drukzone bij buiging

Rekenwaarde voor de vloeispanning (gemeten) Spanning in omtreksrichting

at Spanning in de trek.zone bij b.liginq

Rad

l<L-2

!Q:1-2

KL-2 KL-2 KL-2 KL-2

KL -2

. crr

T Relatieve spanning in omtreksrichting i.'

= cr ^-

e

T Relatieve rekenspanning in omtreksrichting bij uitwendige druk:

0 T

=

^@__

-

0 2tcr e

4> Hoek Rad

x

Relatieve spanningvermindering bij ontlasten

-

w

^Factor

-

1 • INLEIDING

In toenemende mate worden energiebronnen in de zeebodem gezocht en gevonden. Voor het transport van olie en gas worden over kortere of langere afstanden pijpleidingen op de zeebodem geïnstalleerd.

Vaak gebeurt dit door op een werkschip de pijpleiding deel voor deel aan elkaar te lassen en tegelijkertijd de pijpleiding vanaf . het schip op de zeebodem te laten zakken door het legschip naar voren te verhalen. De positie van het legschip wordt gefixeerd door ankers.

fig. 1

Om van het schip op de zeebodem te geraken ondergaat de leiding buigve.rvo:.r:l'ilingen. Deze buigvervormingen (krommingen) zijn het grootst nabij schip en bodem. Om de kromming bij het schip onder controle te houden wordt vaak een ondersteuningsconstructie

(stinger) aan het werkschip gebouwd. De kromming nabij de

zeebodem kan men beperken door op de buis trekkracht uit te oefenen.

Het voorgaande betekent dat bij de installatie een aantal belastingen op de leiding werkzaamis. De belangrijkste hiervan zijn buigende momenten, treknormaalkracht en de waterdruk.

Deze belastingen zijn langs de pijpleiding wisselend van samenstelling. Met de diepte neemt de waterdrUk toe, de trekkracht (door eigen gewicht) af en wisselt het buigend moment van richting. Door de grote overspanning en de relatief geringe buigstijfheid worden de vervormingen van de pijpleiding

in belangrijke mate bepaald door de grootte van de treknormaalkracht. Er is sprake van geometrisch-niet lineair gedrag {de krachtsverdeling wordt beinvloed door de vervorming). Een juist inzicht in de stijfheids-, sterkte en vervormingseigenschappen en de veranderingen die de waterdruk

in deze eigenschappen teweeg brengt is noodzakelijk om het gedrag van de p~jpleiding goed te kunnen beschrijven.

p

=

⁰

M

vervormingscapaciteit

kromming fig. 2

Bij het leggen van pijpleidingen en ook tijdens de levensduur (denk aan ontgronding) is vooral de kromm.ing die de leiding op veilige wijze kan opnemen (vervormingscapaciteit) van groot beläng. De vervormingscapaciteit wordt begrensd, enerzijds door het optreden van grote vervormingen (plooien) en anderzijds wanneer

in het buis- of lasmateriaal scheurvorming optreedt.

In beide gevallen is de transportfunctie aangetast en moeten reparaties worden uitgevoerd.

Door constructieve maatregelen zoals vergroten van de wanddikte, het verzwaren van de eisen t.a.v. de materiaal- taaiheid en de toelaatbaarheid van lasfouten, kan de kans

op noodzakelijke reparaties worden verkleind. Ook valt te denken aan het opvoeren van de eisen t.a.v. stabiliteit waaraan het werkschip moet voldoen. Deze maatregelen hebben tot gevolg dat de kans op calamiteiten wordt verkleind en daarmee de J:e v:erwachten reparatiekosten -en eventuele bedrijfs-

verliezen als gevolg van het niet beschikbaar zijn van de leiding.

Aan de andere kant moet worden bedacht dat genoemde maatregelen een verhoging van de aanlegkosten met zich meebrengen.

Een economisch optimaal ontwerp wordt verkregen wanneer de som van alle kosten een minimum vormt. (aanlegkosten, reparatiekosten, onder- houd, levensduur enz. ) • overigens moet bedacht worden dan andere overwegingen (b.v. milieu eisen) aanleiding kunnen zijn om de kans op het optreden van calamiteiten kleiner te doen zijn dan het eco- nomisch optimum.

In onderstaande grafiek is een en ander op qualitatieve wijze weergegeven.

---

.. -·------"·-·

~' som van aanleg en reparatiekosten

kosten • ' en bedrijfsverliezen

~

^~

... ·1·-- _" ⁱ --

t.g.v. b.v. milieu eisen

l reparatiekosten en bedrijfsverliezen

·economisch optimum

constructieve maatregelen fig. 3

Om tot een optimaal ontwerp te geraken is een goed inzicht nodig in het gedrag van pijpleidingen onder de aangeduide omstandig-

heden. Het mechanisch gedrag van de pijpleiding ·kan worden beschreven met de toegepaste mechanica. Hierbij kan onderscheid worden ge-

maakt tussen berekeningsmethoden volgens de-elasticiteitsleer en

berekenings~ethoden volgens de plastic~teitsleer. Berekenings-

methoden volgens de elasticiteitsleer schieten te kort om een voll~dig

beeld te geven van het 'Werkelijk vervormingsgedragvan (dikwandige) pijpleidingen zoals die op de zeebodem worden geïnstalleerd. Met behulp van de plasticiteitsleer kan het inzicht in het vervormings- gedrag en in de grootte van de vervormingscapaciteit -worden uitgebreid.

Voorwaarde is dan wel dat het materiaal waarvan de buis is gemaakt en de lasverbindingen tussen de buisdelen voldoende taai is. Omdat het

zoeken naar en aanboren van olie- en: gasbronnen zich in toenemende mate naar dieper water verplaatst, zullen de daar te leggen pijpleidingen een kleinere diameter/wanddikte verhouding moeten hebben, en bij eenzelfde diameter dus dikwandiger moeten zijn. Immers de waterdruk wordt groter.

Voorts zullen in dieper: .-water de reparatiekosten snel toenemen, hetgeen pleit voor het in acht nemen van een grotere veiligheidsmarge en dus b.v. voor een grotere wanddikte. Bet is van groot economisch belang hierin een optimum te vinden.

Om de grootte van het draagvermogen en de vervormingscapaciteit te be- palen, .bij een combinatie van belastingen, is een discreet kinematisch veermodel ent-worpen. De belangrijkste belasti.!lg'en die tijdens installatie op een buisleiding werkzaam zijn; buiging, axiale trekkracht en uitwendige waterdruk, zijn in dit model opgenomen. Omdat het model bedoeld is om de stijfheidseigenschappen van een stukje buis te beschrijven kon volstaan worden met de analyse van een ring. Dit betekent dat in axiale richti.!lg' noch de buiseigenschappen noch de aangebrachte belasting verschilt. Bet onderzoek is opgezet voor dikwandige bui.zen die gemaakt zijn van staal- soorten met een duidelijk vloeitraject.

Voor het maken van berekeningen is het materiaalgedrag geschematiseerd tot een bi-lineaire spannings .... rek relatie"

Bij het experimentele deel van het onder- zoek is gebruiLk gemaakt van modelbuizen

(<j> 100, 4 mm). De buitendiameter (100 mm)

is bepaald door de afmetingen van de ter beschikking staande druktank.

De wanddikte is bepaald op ca. 4 mm op grond van een aantal overwegingen.

Buizen met genoemde afmetingen zijn in de handel verkrijgbaar. Voor trans- portleidingen in diep water wordt in de literatuur gedacht aan buizen met

een diameter wanddikte verl::ouding van D/t

=

^{20 à} 30. Tenslotte, van buizen met genoemde afmetingen ~ijn ook andere resultaten van experimenteel onder-

zpek beschikbaar. Het uitgevoerde proefprogramma is vooral gericht.op de

..

invloed, die de waterdruk op grotere diepte (1000 - 2000.m) heeft op het vervormingsgedrag.

Het onderzoek werd in 1975 gestart door Protech International B.V.

en. is in 1977 voortgezet in een samenwerkingsverband tussen Protech International, IBBC-TNO, TH-Delft en de TB-Eindhoven.

In het kader van dit onderzoek zijn bij het IBBC-TNO een aantal proeven uitgevoerd en is een rekenmodel ontwikkeld.

In dit :i;apport zijn de resultaten van het tot nu toe ·.uitgevoerde onderzoek samengevat.

In een apart rapport zal worden ingegaan op de resultaten van door anderen verricht onderzoek

141:·

Bet onderzoek wordt gefinancierd door de bijdragen van de leden van het samenwerki.ngsverband en door de MaTS ·-· __ _ ü

Door Protech International is een drukvat ter beschikking gesteld (bruikl.een, waarde ca. /. 100.000,--). voorts worden door leden van

het samenwerkingsverband bijdragen geleverd in de vorm van uren ten behoeve van het bestuderen van rapporten, en het stu.:ren en coömineren

~an onderzoek bijdragen e.d.

getallen tussen 110!.verwijzen naar de literatuurlijst in hoofdstuk van dit rapport.

Marien Technologisch Speurwerk.

Ten behoeve van het onderzoek is een werkgroep opgericht met leden namens het samenwerkingsverband en leden namens de MaTS (voor de MaTS: staatstoezicht op de mijnen). Ten tijde van publicatie van dit rapport hadden hierin zitting de heren:

!r.

s.c.

Baagsma (voorzitter)

1r. J.P.C. van Blaricum M. Bronneberg

:tr. A.M. Gresnigt (secretaris) Ir. J". v.d. Ploeg

Prof •. Dr. Ir.

:s:.

^Rutten

!r. J.W.B. Stark Dr. Ir. J. Strating P.E. de Winter

Prof. Ir. J. Witteveen

- Protech International.

- staatstoezicht op de mijnen - TH-Eindhoven

- IBBC-TNO - TH-Eindhoven - TH-Eindhoven - IBBC-TNO

- Protech International - IBBC-TNO

_ TB-Delft

2. SAMENVATl'ING EN CONCLUSIES

In toenemende mate worden energiebronnen onder de zeebodem gezocht en gevonden. Voor het transport van olie en gas worden over kortere of langere afstanden pijpleidingen op de zeebodem gelegd. Tijdens het leggen. wox:den,d.e leidingen belast op combinaties van buiging, uitwendige waterdruk en· normaalkracht. OOk tijdens het eventueel begraven van.

de leiding en gedurende de verdere levensduur (b.v. bij een zogenaamde vrije overspanning) kunnen deze belastingcombinaties optreden.

omdat koolwaterstoffen in steedsgroterewaterdiepten worden gezocht en gevonden, zal de invloed van de waterdruk in de toekomst steeds belang- rijker worden.

Een juist inzicht in de stijfheids~, sterkte- en vervormingseigenschappen en de veranderingen die de waterdruk in deze eigenschappen teweeq brengt is noodzakelijk om het gedrag van de pijpleiding goed te kunnen beschrij- ven. Hierbij is vooral de kromming die de leiding op veilige wijze kan opnemen (vervormingscapaciteit ) van groot belang. De vervormingscapaci- teit wordt begrensd, enerzijds door het optreden van grote vervormingen

(plooien) en anderzijds wanneer in het b:l.is- of lasmateriaal scheurvorming optreedt.

In de eerste fase van het onderhavige proj~ct MaTS-PL3 is een discreet kinematisch veermodel (een zgn. Shanley model) ontwikkeld, dat drie ^v:c~j­

heidsqraden van vervorming kent. Deze ve::i::vormingen zijn: ovalisatie, kromming en axiale rek. Het model is ook geschikt om initiële onrondheid van de buis in de berekening te betrekken. Volledige rekenkundige uit- werking van dit model is beperkt gebleven tot de belastinggevallen uit- wendige druk en zuivere buiging. Ter verificatie van de resultaten van het rekenmodel voor zuivere buiging zijn twee proeven uitgevoerd. De resultaten van het rekenmodel voor uitwendige druk werden vergele.l<:en met de resultaten van enige eerder door Protech International B.V. uitgevoerde proeven.

Ook is een aanzet gemaakt voor het rekenmodel voor het gecombineerde belastinggeval buiging

+

uitwendige overdruk + axiale normaalkracht.

Om steun te hebben bij de. modelvorming voor dit rekenmodel en om te zijner tijd de resultaten van het rekenmodel te kunnen verifieren zijn een viertal proeven met de belastingcombinatie buiging

+

uitwendige druk uitegevoerd. '

De belangrijkste conclusies die uit deze eerste fase van het onderzoek naar voren komen zijn:

a De ontwikkelde kinematische rekenmodellen voor uitwendige druk en zuivere buiging zijn in goede overeenstemming met da.beschikbare proefrestultaten. In het bijzonder is hierbij van belang de moge- lijkheid die het rekenmodel biedt om de kromming waarbij instabiele ovalisatie optreedt te berekenen. Een dergelijk.xekenmodel is tot nu toe nog niet bekend.

b Verwacht mag worden dat met het te ontwikkelen rekenmodel voor het gecombineerde belastinqgeval buiging + uitwendige druk

+

axiale n.or- maalkracht (tweede en volgende fasen van het project} het gedrag van pijpleidingen bij de genoemde belastingcombinatie goed zal kunnen worden beschreven; een en ander inclusief de kwantificering van de invloed van alle relevante parameters op de kromming waarbij plooien optreedt. De bedoelde parameters zijn onder meer: de uitwendige druk, de axiale normaalkracht, de diameter/wanddikteverhouding, de onrond- heid en de materiaalkarakteristieken (b.v.

a ).

_e

~ Met betrekking tot het veryormingsgedraq en het bezwijkbedrag kunnen de volgende opmerkingen worden gemaakt.

De invloed van de initiële onrondheid is groot

- Naarmate de diameter-wanddikte verhouding afneemt is de relatieve plooikromming groter.

- Na.armate.de.v:loeispanning van het buismateriaal hoger wordt, is de relatieve plooikromming kleiner.

- Bij de belastingcombinatie buiging-uitwendige overdruk is in diep water de bezwijk.vorm dezelfde als bij uitwendige overdruk alleen - Naarmate de uitwendige druk groter is is de ovalisatie bij de belas-

tingcombinatie buiging-uitwendige overdruk juist vóór het moment van bezwijken kleiner.

- In de gebruikte proefopstelling is het momentenverloop over het proefstuk behalve van de (buiten het druk.vat) aangebrachte krachten, ook afhankelijk van de grootte van de druk en de doorbuiging van het proefstuk. Dit vergt een soms nogal gecompliceerde.be~ekening om in de meetsectie het werkelijk optredend buigend moment te bepalen.

r..

In dit hoofdstuk zullen we ons beperken tot een buis met een zuiver cirkelvormige doorsnede. Aangenomen wordt dat de cirkelvorm, ondanks de aangebrachte belastingen, behouden blijft. Deze benadering

van de werkelijkheid is goed bruikbaar als bovengrens voor het draagvermogen. Om de berekeningen niet te moeilijk te maken beschrijven we de buis met de gemiddelde straal (R) en_de wand- dikte t (met gemiddelde straal wordt bedoeld de helft van het gemiddelde van binnen en buiten dian:ater). Gerekend wordt met

een bi-lineair cr-€ diagram. Voor de combinatie van (vloei)spanningen zullen we het vloeicr±terium van Buber Hencky gebruiken.

3.1 Draagvermogen bij enkelvoudige belasting

...

Eerst zullen we bepalen wat de bezwijklast is t.g.v. één belasting;

öf trek öf buiging of uitwendige druk.

De buis zal bezwijken als in axiale

' ^{6 ... F,}

richting in de hele doorsnede vloeien optreedt.

8 ~

F _p

=

^{21TRtcr -}_e

tir (_4 ----~ ~ M,

Het maximale moment zal optreden bij volledig vloeien van de door- snede

M p

M p a . Rsin<j>t. Rd<j>

e

t t r

p

=

p

3.2 Belastingcombinaties ²>

tO' e

R

als de ringspanning de vloei- grens bereikt.*>

_p R

cr.

_r

= ^{_g_ = -cr}

t e

..

we zullen nu nagaan welke belasting combinaties maxim.aal opgenomen .kunnen worden.

F +-tw.-Ó _ _ _ -_6~ f

r1 t1

'IT

De buis zal weer bezwijken door het volledig vloeien van de door- snede. Een deel van de buiswand neemt het moment op, een ander deel de trek- (of druk) kracht •

~----r:r _{--- EJ} = _.

t1

f _M

=

⁴

² J

^O' e .Rsin$.

t.Rd</> =

y

(J

tBd</>

e

cos

c: ^~ )

^{= 0}

p

=

4Rt0' _e .y

(grafische weergave fig. 1 )

Bet optreden van vloeien wordt nu bepaald door spanningen die in twee richtingen werken, nl.

de ringspanning (O'r) veroorzaakt door uitwendige druk en de axiale spanning (<J ) door de trekkracht F.

a

~).Er wordt op gewezen, dat in dit hoofdstuk ervan uitgegaan is dat de hydro- statische druk geen spanning in axiale richting veroorzaakt. In het algemeen is dit echter wel het ge,7al. In bijlage 4 zijn de betrekkingen voor de diverse be- lastingen en belastingcombinaties voor de situatie met spanning in axiale richting t.g.v. hydrostatische_ druk weergegeven.

~

()Q,

Buber Bencky: 0 2 r cr _r

= -

pR _t ^(j _a ⁼

2 2

+ 0 a - 0 r cr a = cr e

F

21TRt

{grafische weergave fig. 1

>.

Door de aanwezige ringspanning dr kan __ de absolute grootte van

trek en drukspanning bij vloeien verschillen. De grootte van trek en drukspanning kan m.b.v. het vloeicriterium van Buber aencky worden bepaald.

0 2 ² 2

- CJ 0 + 0 - CJ

=

⁰

a r a r e

~cr

⁺

~~cr

^{2 30 2}

(j _ai

=

^(J _t ⁼ _{r e}

-

_r

cra~

=

⁰ _d ^{= ~a} _r

- ~ho

_e ^{2-- 30} _::r ²

2

C1 _r

=

^{- pR} _t

Er is geen resulterende trek of drukkracht.

(1T+2y).Rt.crt +(1T-2y).Rt.crd

= o

y =

De spanningen cr t en cr d maken evenwicht me.t het buigend moment M

2 / 2 2'

M

=

2R.: .t 4cr -30 cos y

e r

/ 2'

~ ' 4-3

c:)

^cos

p

'!f(~)

f

Pp )=O

214-3(: /f'

·p

(grafische . weergave ~ig. 1 )

\

We hebben nu gekeken naar de lasten die, al of niet in combinatie, aanleiding tot bezwijken geven.

Navolgend zullen we de vervormingen bekijken, onder aanname dat de buis cirkelvormig is en blijft. De berekeningen worden beperkt tot het belastinggeval uitwendige druk + buiging.

om

schrijfwerk

te besparen zijn alle spanningen gedeeld door de vloeispanning waardoor m.b.t. de spanningen dimensieloze grootheden ontstaan. De resultaten van de berekening zijn weergegeven in grafiek.

c

De uitwendige druk P levert een ringspanning

cr :

_r

(J r

= - .2!

_t

Door.te delen door cre ontstaàt de dimensieloze grootheid L ~

0 : 1"

0 =~ _tcr

e

Door de aanwezige ringspanning kan de maximale trek en druk spanning verschillen.

cr _d

= ~(cr

_r ^-

~ce

^{2 30"} _r

^2'

⁾

(trek)

(druk)

In dimensieloze vorm:

l;-t

c

{trek}

(druk)

In het MK diagram zijn drie stukken aan te geven waar de axiale

s~anningsverdeling

verschillend is.

• ~ met L wordt niet een schuifspanning bedoeld ~aar de normaal- o

spanning (dimensieloos) in tangentiële richting.

3.3.1 Spanningsverdeling A

---

In dimensieloze vorm:

I~ ⁼

^{-1f 4 A 1; 1}

2 ....

M ='ITR tl;.O'

e ....

b.cr

K

= - -

_ER e

De rekenresultaten zijn weergeven

K ""

1

=

^ç

K e

In de uiterste vezel Wordt de vloeigrens bereikt als:

in figuur 2

2!.<i:p<y 2 - -

z;l =z;t

Geen resa..lterer.ide trek- of drukkracht:

'[

Er is geen resulterende trek of drukkracht.

Uit het evenwicht tussen trek en druk kan de relatie tussen de hoek y en de drukspanning 'Ç

0 worden be- paald.

y 2. R. t. cr e : · {

'IT!

-2

1';2d4> + 2

J

c;1 àcf>} = 0

y ofwel

r - - - -"

-:---1'r - - - - - - - - - -1

1 (y-

2)

^{siny + cosy - 7T 1 /} ₂

1

z;

= r ¹ r

>

= 12 C'r

0 - 4-31'

0 ) (= l;d)

o 'TT • • 'tl "'o _

1 (y+

2)

^{siny + cosy 1}

\_ - - - - ... - - - - - - - - - - ..J

De hoek y is niet expliciet in

z;

0 on ë;t uit te drukken

De axiale spanningen maken evenwicht met het buigend moment M.

y il'

M = 2

j

Rdi:j> • .t Rsin<P.

5

₂^{ae:,+ 2}

- 1L

2

- JRd<Pt R sin <P z;

1cr

9

y opp arm spanning

M

=

^{4R2 tO'}

P e

- = M M p

cz;t - t; îf

0) ~ CY +

2

+ sin y cos y) 4 (1 + sin y)

en de bijbehorende kromming:

K

=

K

E (y) - E: (-

2>

1T

R siny + R

- =

K e

ç - z;

t 0

=

~----...,...---...,.-

R • E (1 + siny}

De rekenresu.ltaten zijn weer- gegeven in figuur 2

z;;t

~

< <t> <

.!

_7.;1 r;

=

^~

Y2 _{- 2}

=

_t

Uit het eYenwicht tussen trek en druk kan de relatie tussen de hoeken 12 en y

3 worden bepaald.

(T ₀ +

~

^{- 3T} ₀ ^{2 )}

(sin _4>

Y3 ,;_ cp ,;_ Y2 z;;2

=

^z;; t + ^{(l;t - 7.;d)} x

- sin y ₂>

(sin y

2 - sin y₃)

'IT

,;. et> ,;. y 3 t;3

=

^z;d

=

~ ^(T

~

^{3T 2)}

-2

0 0

Evenwicht: ofwel

r - - - - --- - - - ,

f ^{ITT ITT} l

1 cos Y

2 + (y

2 -

A

⁰ ₂^{) sin y} ₂

⁼

^{cos y} ₃ ^{+ (y} ₃ ^{- /. 0} ₂ ^{) sin y} ₃ ⁱ

1 4 - 3T 4 - 3T 1

._ - - - .2 - - - o_ - - - - _,

De berekening van buigend moment en kromming gaat op dezelfde wijze als voor spanningsverdeling B.

Voor het buigend moment M volgt:

- = M

M p

(y2 - y3 + ~ sin 2y

2 - ~ sin 2y 3) 4 (sin y2 - sin 1 3>

Voor de bijbehorende kromming volgt:

- = K K e

~

^{- 3T} ₀ ²

De rekenresultaten zijn weergegeven in figuur 2

Het volplastische moment wordt bereikt bij de limietovergang van y₂ en y 3 naar:

'IT T 0

Y.

= - 2 h -

31" 2

0

I

4. GRONDSLAGEN REKENMODEL

In het vorige hoofdstuk is uitgebreid de volplastische spannings- toestand van een zuiver cirkelvormige doorsnede besproken.

Het zuiver cirkelvormig .blijven is een schematisering die zich in werkelijkheid niet zal voordoen. Ook dikwandige buizen

ovaliseren onder buiging en uitwendige druk, zij het zeer weinig, Een andere, zeer reële mogelijkheid is, dat de buis bi.itieël

niet zuiver cirkelvormig is. Voordat enige belasting op de buis is aangebracht is er al sprake van ovaliteit. Bij onderzoek naar de stabiliteit van op druk belaste staven is gebleken dat imperfecties

(het niet cirkelvormig zijn is ook een imperfectie) van grote

invloed zijn op het vervor.mingsgedrag. Bij buizen is de imperfectie gevoeligheid vaak nog groter. Het is dus zeker nuttig om een idee

te hebben van de grootte van de invloed die de initiële vormafwijkingen op de bezwijklast of op de vervormingscapaciteit hebben. Zoals

in de inleiding al is gebleken richt de belangstelling zich vooral op de vervormingscapaciteit van dikwandige buizen. Een uitvloeisel hiervan is dat rekening gehouden moet worden met het optreden van plastische rekken.

In ieder geval moeten de spanningen in de vervormde toestand aan het evenwicht voldoen. Het evenwicht wordt beschreven met behulp van het principe van virtuele arbeid. De evenwichtsvergelijking

wordt geformuleerd als een integraal vergelijking, in de literatuur

l ^2j

vaak genoemd de virtuele arbeidsvergelijking. Voor de afleiding van deze vergelijking is gebruik gemaakt van d~ statische vergelijkingen

(evenwichtsvergelijkingen) en van de k±nematische vergelijkingen (verband tussen verplaatsing en rek). Bij de afleiding van deze vergelijking zijn de constitutieve vergelijkingen (verband tussen spanning en rek) niet gebruikt. Dit betekent dat deze integraal geldig is in zowel het elastische als plastische stadium. Voor geometrisch- niet lineaire berekeningen wordt de voorwaarde gesteld dat de

belasting qua grootte en richting constant is.

In deze formule hebben de gebruikte symbolen de volgende betekenis:

(] spanning

e; rek

v

^volume

T uitwendige krachten µ verplaatsingen

0 oppervlak

Q volume krachten 0 virtuele verand.ering

Doelstelling van het onderzoek is het bepalen van de sterkte

en ~ervoDlli.ngseigenschappen van een buisdoorsnede. Dit betekent dat voorlopig volstaan kan worden lllet het bestuderen van de eigenschappen van een stukje buis; dus niet een gehele buisleiding zoals die b.v.

ge!nstalleerd wordt. Dit laatste kan pas vebeuren als het vervormings- gedrag van een buisdoorsnede bekend is.·

Verwacht mag worden dat de volumekrachten (massa) van een stukje

buis klein zijn ten opzichte vandeuitwendig_aangrijpende belastingen.

De volume kracht Qi wordt nu verder verwaarloosd.

Aangenomen wordt dat de eigenschappen van een buis in lengterichting maar weinig zullen variëren. Verondersteld wordt nu bij de verdere

afleiding dat diameter, wanddikte, materiaaleigenschappen enz. in lengte- richting van de buis constant van grootte zijn.

Als nu ook de spannings- en de rektoestand in lengterichting constant zijn kan de integraalvergelijking in orde worden verlaagd. Dit heeft wel een aantal belangrijke consequenties; de krachten en de vervormingen die op de buiswerkcn c.q. die de buis ondergaat zijn constant over de lengte;

f>.Lä.ä:tseliJ.K: plooien kan dan niet oecr ,.,orden beschreven. De ou1:::; .1.1::1.1uceert

dan tot een ring die echter wel vervormings mogelijk.~eden in axiale richting bezit.

buigende moment M, de axiale trekkracht F en de (water)druk P.

De druk P wordt niet rechtstreeks in de berekening ingevoerd. Dit wordt gedaan omdat de vloeistofdruk P loodrecht op de buiswand blijf werken en bij een virtuele vormverandering van de buiswand dus ook van richting verandert. De berekening voor de gehele buis- omtrek wordt dan erg moeilijk. Daarom wordt er een tussenstap via een druktank met zuiger gemaakt.

De uitwendige druk P wordt veroorzaakt door een (lijn) drukkracht

F d die op een zuiger (oppervlak R.x b) werkt. Verondersteld is dat het drukoverbr.engertd meqi.1).Ill volkomen onsamendrukbaar is en dat de zuiger, die volkomen star is wrijvinqsloos kan verplaatsen. Ook is aangenomen dat verplaatsingen van de zuiger alleen samenhangen met vervormingen van de buisdoorsnede· en niet met vervo:cmingen

in lengte richting.

De integraal kan dan geschreven worden als:

0

1 - - - J:> ___ -{

l( ^{.Je êJ . .')}

w ... __ ,...

M

1·1 - - - -

f

^+--

c::::::========:::i -

^f

--

^v _ _ _ _ .2._ _ _ _ _ _ _ _ _ _

"

+

2Fêu a

b breedte van de zuiger verplaatsing van uitwendige druk

de zuiger

p = -Fd b

e

hoekverdraaiing uiteinden van de buis

M uitwendig moment

ua verplaatsing in axiale richting

F axiale trek of drukkracht Fd lijn drukkracht op de zuiger

U..,j

I

---·---·---./-

De eerste term van het rechter- lid wordt nu omgewerkt tot een term waarin de druk P voorkomt.

De te:c:m b.êud geeft de verandering van oppervlak van de tank- doorsnede aan (breedte '2 virtuele verplaatsing) • Omdat aangenomen is dat het drukoverbuigend 1!ledium vokomen onsamendrukbaar is, is dit tevens de verandering in oppervlak tussen de nieuwe en de oorspronkelijke buisdoorsnede.

O oppervlak buisdoorsnede

Er is gesteld dat de optredende rekken en de vorm van de doorsnede in lengte richting overal gelijk zijn; ook de vervormingen zullen dan gelijk zijn. Kromming en rek in a.Xiale richting zijn konstant.

Er kan volstaan worden met een geometrisch lineaire beschouwing i.v.m. het 'ringachtige' karakter van de berekening.

~ ~

K = e

⁺

oe =

^~~

oK

K kromming van de buis

e

hoekverdraaiing einden van de buis

e: rek in de middendoorsnede~-in axiale richting ao

u verplaatsing einden van de buis a

De arbeidsintegraal wordt nu geschreven als:

e: do

=

p1o.o· + M1ÓK + F1ÓE

i j · ao

De lengte 1 komt in alle termen voor en mag er

dus uitgedeeld worden. De begrippen buis en ring worden nu verder uitwisselbaar geacht.

Als we aannemen dat we te maken hebben met een 'dunne' schaal met een constante dikte t kan de orde van de

integraal in het linker1id verlaagd worden. De spanningen worden dan vervangen door plaatkrachten en momenten.

J

_s ^{(n1J .êe: .. l.J +m •. 1.J}

^o

^{K .. 1.J )ds}

^{= poo}

^{+ MóK + Fó}

n pla~tkrachten

m plaatmomenten E rek in middenvlak

K kromming

krachten per lengte- eenheid.

We onderscheiden de richtingen a ent (axiaal en tangentiaal).

n aa ö

e

aa + 2 n at Ö

e:

at + ntt ö e:tt

Het maken van sonnnen met deze formules is nog te moeilijk; door een sterke schematisering van het probleem kan de vergelijking vereen- voudigd worden. In plaats van een buis die willekeurig kan vervormen concentreren we de vervorming in enkele punten van de buis.

Ren dergelijk mode.l van de werkelijkheid wordt een discreet kinematisch nodel scnoe=d. Ook de naam Shanley cedel wordt wel gebruikt, genoemd naar de man die als eerste een dergelijke schematisatie

~oor kolommen toepaste.

We beschouwen nu een ring (buis) opgebouwd uit vier gekromde staven (schalen) die

onderling zijn verbonden door (piano) scharnieren met rotatieveren. Aangenomen wordt dat de staven (schal.en) oneindig stijf zijn tegen vervorming in omtreksrich- ting; alle vervorming is nu geconcentreerd in de

scharnierpunten. Het model moet zich kunnen ver-

zetten tegen ovalisering, daarom worden in de scharnier- punten rotatieveren aangebracht. De door de rotatie- veren opgewekte momenten worden gerelateerd aan de hoekverdraaiing die in de scharnieren is opgetreden. De termen waarin de vervormingen in omtreksrichting

zijn weergegeven worden vervangen door rotatieveren.

Een gedeelte van de integraal kan dan geschreven worden als:

/ <2nat 0 _e:at + ntt 0 _ett

+

2mat

°

^{Kat + rett}

°

^{Ktt) ds}

⁼

s

De dimensie van de rotatieveermomenten is N/rad (lijnm.oment), positief bij weerstand tegen de hoekverdraaiing.

MA

=

door r~tatieveer A opgewekt moment

2S

=

hoekverdraaiing die in scharnier optreedt

Aangenomen wordt dat de plaat.momenten in axiale richting verwaarloosbaar zijn t.o.v. de bijdrage in de integraal van de andere termen (m _aa

=

^{0) •}

De arbeidsintegraal is nu gereduce~rd tot:

c

J

_s ^{n: aa}

^os

^{aa ds poo + M ê,K + F ö E ao}

Het k±nematische model laat vervorming toe in axiale richting

(€ aa ), en in omtreksrichtingde ovalisatie (8). De vergelijking kan nog verder vereenvvudigd worden door verband te

leggen tussen kromming (K) eh rek (E ) • Aangenomen wordt dat a

de opgetreden rek lineair verloopt over de hoogte van de

vervormde buis. Uitgezet over de hoogte van de onvervormde buis is de rek dan niet-lineair.

a

aa aa a z

e:: aa

e:: a (o} = e:: ao

K

rek in axiale richting rek in middendó.oi:snede kromming van de buis

z afstand van een punt van de onvervormde buiswand tot het middenvlak

z +u z afstand van een punt van de (vervormde) buiswand tot het middenvlak

~ de afstand {z+uz} is alleen variabel m.b.t. f3

l.a variatie

êe:

=

^{êe: + (z;} + 'IJ ) êK + Kêü

aa ao z z

De arbeidsintegraal wordt

ê e: ^ao

/n

^{aa ds + êK}

J

^(Z

s s

nu:

+

u }

^z

.

^{t:i aa ds}

+K/n

^aa

s

=

^pöO + M ê K + F ê E

ao

êu ds +

z

De inhoudsverandering êo kan, omdat de schaaldelen in omtreks- richting oneindig stijf gekozen zijn,alleen veroorzaakt worden

doo~dat de buis is geovaliseerd.

pÖO

=

^{p df3} dO

08

Ook de virtuele verplaatsing êu is alleen z

B

afhankelijk.

De arbeidsintegraal kan m.b.v. deze substituties geschreven worden als:

{M- s

!

(z+u )n ds } z aa êK + {F -

f

s n aa ds } öe:: ao +

{p dO _ K f d$ s

du

naa d$z ds - 2 (Ma+ ..• + ~)} ö$

Er zijn nu drie vrijheidsgraden t.w.:

s,

^e:: _ao ^{I K}

De arbeidsintegraal is geldig voor willekeurige variatie van de vrijheids graden, zodat de volgende evenwichts vergelijkingen ontstaan

M=

f

^{(z +} u ) • n ds z aa s

K

fn

^aa

s

=

0

~: De rotatievee:rmomenten zijn positief bij weerstand tegen een hoekverdraaiing.

De eerste twee vergelijkingen zijn eenvoudig te herkennen, het uit- wendig buigend moment M moet in vervormde toestand evenwicht maken met de inwendige extensieverdeling, hetzelfde geldt voor trekkracht F.

De derde vergelijking is een soort interactieformule voor de

ovalisatie. Er is een relatie tussen ovalisatie en uitwendige druk, tussen ovalisatie en buiging en tussen ovalisatie en de opgewekte momenten in de rotatieveren. De derde uitdrukking geeft het

onderlinge verband tussen deze grootheden weer.

Van deze vergelijkingen zal in de volgende hoofdstukken gebruik worden gemaakt om het vervormingsgedrag te beschrijven van een·

buisdeel waarop genoemde uitwendige belastingen werken. Ond.erstaani is nogmaals het vervormingsgedrag van het rekenmodel schematisch weer- gegeven.

\

_f

I

-

t

In het kader van het oriënterend onderzoek is een buis tot bezwijken (implosie) belast op uitwendige overdruk. Op foto nr. 12 zijn twee uit deze buis gezaagde ringen te zien. De voorste ring is gezaagd uit de zone waarin de buis het meest vervormde (midden) , de achterste rinq is gezaagd uit de z5ne waarin praktisch geen vervorming heeft plaatsgehad

(nabij onvervormbaar kopstuk) • De plaatsen waar sterke buigvervormingen zijn optreden zijn dezelfden als de plaatsen waar __ in het rekenmodel de scharnieren met rotatieveren zijn gesitueerd.

5. REKENMODEL VOOR UITWENDIGE DRUK

Een zuiver cirkelvormige buis zal onder uitwendige druk zuiver cirkel- vormig blijven. Als de druk wordt opgevoerd zal de buis op een gegeven moment bezwijken. (plooien)

Er zijn nu twee gevallen te onderscheiden; de door de uitwendige druk opgewekte ringspanning is kleiner dan de vloeispanning bij bezwijKen of de opgewekte ringspanning is gelijk aan de vloeispanning.

1) IJ Et²

= - - er 4R2

2) IJ _er

=

^IJ _e

De overgang van de ene bezwijkvorm (elastisch) naar de andere (plastisch) volgt uit gelijk- stelling van deze betrekkingen.

2 5 2

voor een vloeispanning van 240 N/mm (E

=

2,1 10 N/mm} gebeurt dit bij R/t

~

15 ofwel D/t

~

30. voor een vloeispanning van 360 N/mm2

volgt D/t :::: 24.

Bij een zuiver cirkelvormige buis treedt plooien zeer plotseling op, d.w.z.

zonder dat vooraf onrond worden van de buis wordt waargenomen. Bij een niet zuiver cirkelvormige buis kan wel worden waargenomen dat de onrondheid van de buis toeneemt voordat plooien optreedt.

In het vorige hoofdstuk zijn een drietal evenwichtsvergelijkingen afge- leid, waarin de ovalisatie van een buis, in geschematiseerde vorm is meegenomen. In dit hoofdstuk wordt een concreet geval nader uitgewerkt.

De belasting op het beschouwde buisdeel zal echter beperkt blijven tot zuiver uitwendige druk.

5.3

In geval van zuiver uitwendige druk kan voor de in hoofdstuk 4 afgeleide evenwichtsvergelijkingen worden geschreven:

F = sJ n

.

_aa ds

=

O

Aan de eerste twee vergelijkingen kan worden voldaan door te veronder- stellen dat de buis in axial~ richting spanningsloos is. (n

=

0}. De

aa derde vergelijking reduceert nu tot:

voordat met de uitwerking van deze vergelijking kan worden begonnen moet eerst de plaats van de rotatieveren en de karakteristiek die deze veren hebben nader worden bepaald.

Rotatieveren

Als de buis ovaliseert ontstaan buigspanningen in omtreksrichting.

De maximale buigspanningen zijn te vinden op de hoofdassen. Het ligt

daarom voor de hand om de schar- nieren met de rotatieveren op de hoofdassen te kiezen.

De stijfheid tegen ovalisatie is geheel geconcentreerd gedacht in de ratatie- veren. Om:lat de ring bij voortgaande ava- lisa tie vloeit en tenslotte plastificeert wordt voor de rotatieveren een elastoplas- tische veerkarakteristiek gekozen. De mate van ovalisatie wordt weergegeven met de hoekverdraaiing

e

die de gekromde staven

(AC, AD, CB, DB) t.o.v. de hoofdassen ondergaan.

A

c

+:- ••

A

. _•

.:.+

:B •

••

B

De hoekverdraaiing is in de vier hoekpunten even groot zodat de totale hoek.verdraaiing die de staven t.o.v. elkaar ondergaan 2$ bedraagt. Het door de rota- tieveren opgewekte moment bedraagt dan (elastisch) :

M in rotatieveer opgewekt moment k stijfheid rotatieveer

a

hoek.verdraaiing t.o.v. midden- doorsnede

initiële hoek.verdraaiing.

ÀM p

D

De variabele

S

karakteriseert hierbij de initiële onrondheid van de buis.

0

Aangenomen wordt dat in de begintoestand ($. ) de buis spanninqvrij is. Bij

0

verdergaande ovalisatie kan het door de rotatieveren opgewekte moment tenslotte niet meer toenemen, het opgewekte moment is dan:

M ==

ÀMp

M in rotatieveer opgewekt moment

M volplastisch moment v.e. rechthoekige dsn.

(~t

²

a )

P e

t wanddikte cre vloeispanning

À reductie coëfficiënt t.g.v. spanningen werkend in tangentiale richting en (indien aanwezig) axiale richting (bijlage 3)

Er is sprake van symmetrie;daarom mag verondersteld worden dat de veermomenten MA en ~ resp.

Me

en ~

gelijk zijn. Er zijn nu voorlopig drie gevallen te onderscheiden voor wat de~rotatieveren betreft.

1

2

2

1

1) _MA,B =Ml

=

2kl ^(13-130)

elastische fase (tak 1) MC,D

=

M2 ... 2k2

<8- §>

2) M'1 ⁼ >.. 1 'MP

elastoplastische fase (tak 2}

M'2 = _2k2

<S-6

0)

3) 'Ml

= \Mp

plastische fase (tak 3)

-

_M2

₌

^À

_2~

De veerstijfheden k1 en k2 zullen zó worden bepaald dat het geometrisch niet lineair elastiseh vervarmingsgedrag van het kinematisch rekenmodel en het ge- drag van een initieël niet ronde ring gelijk zijn.

De reductiecoëfficiënt À wordt bepaald door de grootte van de ringspanning die t.p.v. de rotatieveren aanwezig is. Door de vorm van de (geovaliseerde) doorsnede zal de ringspanning t.p.v. de rotatieveren 1 en 2 iets verschillen.

5.4 Geometrie van de vervormde doorsnede Als gevolg van de aanwezige symmetrie kan volstaan worden met het bestu- deren van slechts een kwart van de doorsnede. De assen AB en BC zijn de symmetrie assen voor de gehele doorsnede.

AB

=

^{R. (cosB + sin8)}

CB

=

^{R (cosS}

^.,.

^sinf3)

AD

=

^R/cosS

DM

=

^{R tan$}

opp I = ~R.DM

=

^{~ R tan} 2 ⁸

opp I I =

~C.DB = ~

R2(tan8 - 2sin2 S>

c

B M

R cos$ ^R sinl3

5.5

Doorsnede ACM is de oorspronkelijke kwart cirkel. De inhoud van een kwart van de buis (per eenheid van lengte) is nu·: opp I - opp I I kleiner gewor- den.

Voor de totale inhoudsverandering volgt nu

ofwel

0 = 4

*

(opp I - opp II) 2 2

0

=

4R sin

8

Voor het linkerlid van de derde evenwichtsvergelijking volgt nu:

~=~~=-!~-~=~-~~-~!:E~~~~~~~~~-~~~=~~-~~=~~

De scharnierkrachten

F

₁ ^en ~ maken evenwicht met de uit- wendige druk p. Op grond van symmetrie overwegingen is de richting waarin

F

₁ en

F'

₂ wer- ken evenwijdig aan de hoofd- assen.

F1

=

^{p.AB = pR (cos$ + sin$}}

F; =

p.BC

=

pR (cos$ - sin$)

~---~ c

^... " .... - F 2

B

Deze scharnierkrachten reduceren het in omtreksrichting opneembare_

moment. De reductie van het voiplastische moment voor een rechthoekige doorsnede t.g.v. normaalkracht wordt bepaald door de betrekking:

ofwel F 2

À

=

^{1 - {=-)} _F

p

M in rotatieveren opgewekt mQment

M volplastisch moment van een rechthoekige doorsnede

(~

t2 o )

y e

F normaalkracht werkend op rechthoekige doorsnede

Fp normaalkracht waarbij rechthoekige doorsnede vloeit (toe) t wand.dikte

O'e vloeispanning

Substitutie van de scharnierkrachten levert:

À1

=

^{1 - p2R2(1 + sin26)}

t20' 2 e À2

p2R2

- sin2$)

=

^{1 - (1}

t2cr 2 e

In hoofdstuk 3 is voor een zuiver cirkelvormige doorsnede m.b.t. de ringspanning de dimensieloze grootheid T gedefinieerd.

0

M.b.v.

Àl

À2

- pR tO' e deze grootheid kan

1 2

(1 + sin

=

^{- T} ₀

1 ² (1 - sin

=

^{- T} ₀

voor de réductiecoêfficiënten worden geschreven:

26) 26)

Substitutie van de gevonden betrekkingen in de evenwichtsvergelijking:

levert voor de elastische fase van het vervormingsgedrag:

In gelinealiseerde vorm ($ << 1):

Hiermee is het vervormingsgedrag van het Shanley model in de elastische fase op de veerstijfheden k

1 en k

2 na bepaald. De veerstijfheden k 1 en k2 worden nu zcd.anig bepaald dat het vervormingsgedrag van het reken- model en het vervormingsgedrag van een ring onder uitwendige druk, gelijk

zijn.

De rotatieveer stijfheden worden nu geijkt aan het elastisch vervorminqs- gedrag van een initiëël niet ronde ring

!1s!.

dus niet aan het vervormingsgedrag van een model.

Beschouw daartoe nevenstaande figuur.

Het verband tussen de straal R van een cirkelvormige door- snede en de straal R: van de vervorm:ie ring is:

R:

=

R + w.cos2e

0

Hierin is W de initiële onrondheid.

0

c

D

In het Shanley model wordt de ring opgebouwd gedacht uit vier oneindig stijve cirkelbogen die in de punten A, B, C en D d.m.v. rotatie veren zijn verbonden. De initiële onrondheid wordt nu gekarakteriseerd door de hoek 2$

0 die deze bogen t.o.v. elkaar maken. De relatie tussen

S

0

en

w

₀ kan nu uit bovenstaande figuur worden afgeleid:

tan(1T ₄

-13 ) =

0

R-W 0

R+W 0

Na enig rekenwerk volgt dan dat

w

tan

°

_µo

=

_R ⁰

Opm. In deze beschoQwing is niet de doorsnedeverandering t.g.v. de verkorting door ringspanning betrokken. Er ontstaan alleen buig- vervormingen.

B

en in gelineariseerde vorm

es

₀ ^{<< 1):}

De uitwendige druk zal een extra radiale verplaatsing W veroorzaken.

Bij het Shanley model zal de hoek

S

bij uitwendige druk toenemen tot

0

Bet verband tussen

S

en

w

+

w

kan op analoge wijze als boven worden

0

afgeleid. Immers nu geldt:

R - W - W

îT 0

tan(4

-!3) =

R + W + W

0

De vorm kan nerleid worden tot:

W+W 0

f3

=----

_R

De relatie tussen de radiale verplaatsing W en de initiële onrondheid

w

0, de uitwendige druk P en de elastische bezwijkdruk P is er

met Per = 3EI R3

w

^p

w = - - -

0

p -P

er

zodat - -3EI

3 W

=

(W + W ) P

R o

j 1Sj

Met de gevonden uitdrukkingen voor

S

en

B

kan deze vergelijking geschreven

0

worden als:

3EI (f3-

8 ) =

^PSR

R2 o vervorming ring

De evenwichtsvergelijking in de elastische fase is:

s-s

₀

s

vervorming kinematisch veermcdel

Zodat volgt:

s-s

₀

-s-

Het vervormingsgedrag van het Shanley model. en het vervormingsgedrag van een ring onder uitwendige druk is nu gelijk als de veerstijfhed.en voldoen aan de "betrekking:

kl + k

=

3EI 2 R

De buigende momenten t.p.v. de punten A en C zijn absoluut gezien gelijk (bij kleine vervoz:mingen) zodat ook de veerstijfheden gelijk zullen zijn.

EI R

N.B. Met I is het traagheidsmoment bedoeld van de rechthoekige doorsnede dus I

=

_!__ t3

12

Nu kunnen de evenwichtsvergelijkingen voor de verschillende takken worden ingevuld. Er. wordt uitgegaan van de reeds eerder gedefinieerde grootheid

1' : 0

= - --PR

tO' e

Tak 1 (elastische fase) Hiervoor geldt dat

(--0)

a-a s

Substitueer dit in de uitdrukking voor 1'

0 dan volgt:

13-8

{ _ _ o )

f3