BESLISKUNDE 2 EN 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2007

(1)

L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

VOORJAAR 2007

(2)

Voorwoord College Najaar 2004

Het derdejaarscolleges Besliskunde 2 en 3 zijn een vervolg op het tweedejaarscollege Besliskunde 1.

In Besliskunde 2 en 3 komen de volgende onderwerpen aan bod:

Hoofdstuk 1: Onderwerpen uit de lineaire programmering

Dit eerste hoofdstuk sluit aan op het hoofdstuk Lineaire Optimalisering uit Besliskunde 1. Twee methoden (de duale simplex methode en de primale-duale methode) en een tweetal speciale problemen (het transportprobleem en het toewijzingsprobleem) worden besproken. Verder wordt het onderwerp totaal unimodulariteit (een eigenschap van bepaalde matrices) behandeld.

Hoofdstuk 2: Geheeltallige lineaire programmering

Geheeltallige lineaire programmering, d.w.z. lineaire programmering waarbij de variabelen geheeltallig moeten zijn, vereist een geheel andere aanpak dan gewone lineaire programmering. We bespreken de branch-and-bound methode, diverse sneden methoden, de Lagrange relaxatie en andere technieken. Tenslotte behandelen we het handelsreizigersprobleem en geven hiervoor formulerin- gen, exacte oplossingsmethoden en heuristische methoden.

Hoofdstuk 3: Niet-lineaire optimalisering

In dit hoofdstuk behandelen we optimalisatieproblemen waarin ook niet-lineaire functies vorkomen.

Na een inleiding, waarin een aantal begrippen uit de analyse aan de orde komen, wordt eerst de onbeperkte optimalisatie behandeld, zowel ééndimensionaal (Gulden Snede, interpolatie) als meerdimensionaal. In dit laatste geval worden methoden besproken zonder afgeleiden (Nelder en Mead), met afgeleiden (Cauchy, Newton en geconjugeerde gradiënt methode).

Daarna worden niet-lineaire problemen beschouwd waarin ook beperkingen voorkomen. We geven optimaliteitsvoorwaarden (Karush-Kuhn-Tucker) en behandelen de simplexachtige methode voor een kwadratisch programmeringsprobleem.

In de laatste paragraaf van dit hoofdstuk wordt een recentere klasse van methoden, de inwendige- punt methoden, besproken. Deze techniek, die op algemenere problemen kan worden toegepast, wordt hier toegepast om het LP-probleem op te lossen.

Hoofdstuk 4: Netwerk optimalering

In dit hoofdstuk worden optimaliseringsproblemen op netwerken (grafen met functies op de takken of pijlen) besproken. Er is allereerst een voorbereidende paragraaf over grafen en matrices. Hierin komen onder andere de incidentiematrix, de kringen- en snedenmatrix aan de orde.

i

(3)

Vervolgens wordt het kortste pad probleem besproken met de simplex methode, de methode van Dijkstra, de methode van Bellman en Ford, en de methode van Floyd en Warshall. Ook worden enkele, minder voor de hand liggende, toepassingen behandeld.

De derde paragraaf gaat over netwerkstromen. Het maximale stroom probleem, stromen met onder- en bovengrenzen, het minimale kostenstroomprobleem en minimale circulatiestromen komen aan de orde. Ook hiervan worden enkele, minder voor de hand liggende, toepassingen besproken.

Vervolgens worden koppelingsproblemen behandeld. Allereerst worden enkele algemene stellingen afgeleid. Daarna komen achteeenvolgens aan bod: koppelingen met maximaal gewicht in een bipartiete graaf, Gilmore-Gomory koppelingen, koppelingen met maximale cardinaliteit in een willekeurige graaf en tenslotte koppelingen met maximaal gewicht in een willekeurige graaf.

De laatste paragraaf van dit hoofdstuk gaat over speciale implementaties van de simplex methode voor netwerkproblemen. Speciale algoritmen worden afgeleid voor problemen met en zonder bovengrenzen en voor het maximale stroom probleem.

Hoofdstuk 5: Dynamische programmering

Dynamische programmering is een mathematische techniek om beslissingsproblemen op te lossen die een systeem betreffen dat een sequenti¨eel karakter heeft, of dat als zodanig gemodelleerd kan worden. Dergelijke problemen zijn vaak met een recursieve aanpak op te lossen. We bespreken zowel de deterministische als de stochastische dynamische programmering.

Hoofdstuk 6: Continue Markov ketens

In dit hoofdstuk behandelen we Markov processen die continu in de tijd verlopen. Hiervoor worden resultaten afgeleid voor zowel het transi¨ente als het stationaire gedrag. Daarnaast krijgen geboorte-sterfte processen speciale aandacht. Verder wordt ingegaan op de uniformizatie techniek.

Hoofdstuk 7: Wachttijdtheorie

In dit hoofdstuk worden systemen beschouwd, waarin klanten volgens een bepaald proces bin- nenkomen en door een aantal bedienden worden geholpen, waarbij de bedieningsduur een zekere kansverdeling heeft. Van een dergelijk systeem analyseren we o.a. het gemiddeld aantal klanten in het systeem en de gemiddelde wachttijd.

Hoofdstuk 8: Markov beslissingsketens

Bij Markovbeslissingsketens zijn er in iedere toestand ook acties waaruit gekozen kan worden.

Deze acties genereren opbrengsten en overgangskansen. Gevraagd wordt welke acties de (ver- wachting van de) opbrengst optimaliseren.

Hoofdstuk 9: Beslissingstheorie

In dit model beschouwen we een systeem waarin verschillende alternatieven zijn en waarbij de uitkomst van een beslissing niet met zekerheid bekend is, maar bijv. door een kansverdeling wordt gegeven. Een van de vragen bij dit model is: welke strategie moet gevolgd worden om de verwachte opbrengst te maximaliseren?

Hoofdstuk 10: Voorraadtheorie

(4)

In dit hoofdstuk staat het volgende probleem centraal:

Een product wordt in voorraad gehouden om het aan klanten te verkopen. Deze verkoop levert een zekere opbrengst op. Daarnaast komen kosten voor, zoals:

- bestelkosten als nieuwe exemplaren worden besteld;

- voorraadkosten voor het in voorraad hebben van het product;

- naleveringskosten indien er geen voorraad is maar wel vraag.

Welke inkoopstrategie maximaliseert de opbrengst bij een gegeven vraag?

We behandelen:

- continue en perodieke deterministische modellen;

- continue en perodieke stochastische modellen.

Hoofdstuk 11: Simulatie

Het probleem dat we willen analyseren wordt vele malen nagebootst. De aldus experimenteel verkregen resultaten worden bestudeerd. Met behulp van dit cijfermateriaal worden statistische uitspraken gedaan over karakteristieke grootheden van het systeem.

Hoofdstuk 12: Scheduling

In de scheduling moet een aantal taken bewerkingen op machines ondergaan. Van iedere taak is gegeven op welke machines deze moet worden uitgevoerd, eventueel ook in welke volgorde, en hoe lang iedere bewerking duurt. De probleemstelling luidt: hoe deze taken te schedulen opdat een bepaalde functie ge-optimaliseerd wordt, bijv. minimaliseer het tijdstip waarop alle taken klaar zijn.

Hoofdstuk 13: Speltheorie

In de speltheorie houdt men zich bezig met modellen die conflictsituaties beschrijven. Niet alle conflictsituaties zijn in ´e´en model te vangen. We onderscheiden bijvoorbeeld:

a. Het aantal deelnemers (tweepersoonsspelen of spelen met meer personen);

b. Het al dan niet geoorloofd zijn van combines (wel of niet co¨operatieve spelen);

c. Regelen van de uitbetalingen (wel of geen nulsomspel).

Hoofdstuk 14: Projectplanning

Een project bestaat uit een aantal activiteiten, waarbij sommige activiteiten pas gestart kunnen worden als bepaalde andere activiteiten klaar zijn. Iedere activiteit heeft een zekere tijdsduur die deterministisch of stochastisch kan zijn. We zijn o.a. ge¨ınteresseerd in de volgorde waarin de activiteiten moeten worden uitgevoerd opdat het project zo snel mogelijk klaar is.

De tentamens bestaan voor 50% uit het wekelijks maken van opgaven en voor 50% uit een schriftelijk tentamen. In het dictaat staan tussen de stof een aantal vragen. Deze dienen om na te gaan of men de stof enigszins heeft begrepen. Verder zijn er aparte paragrafen met opgaven, waarvan een aantal moet worden ingeleverd. De moeilijkheid van de opgaven is divers en in het algemeen zijn de opgaven moeilijker dan de vragen. De stof van het schriftelijk tentamen zal na ieder hoofdstuk worden vastgesteld. Informatie over de opgaven en de tentamenstof is te vinden op: www.math.leidenuniv.nl/˜kallenberg.

(5)

(6)

Inhoudsopgave

1 ONDERWERPEN UIT DE LINEAIRE PROGRAMMERING 1

1.1 Inleiding . . . 1

1.2 De duale simplex methode . . . 2

1.3 De primale-duale methode . . . 5

1.4 Totaal unimodulariteit . . . 9

1.5 Transportprobleem . . . 12

1.5.1 Probleemstelling . . . 12

1.5.2 LP-formulering . . . 12

1.5.3 Tableau en startoplossing . . . 14

1.5.4 Algemene iteratiestap . . . 16

1.5.5 Gevoeligheidsanalyse . . . 18

1.5.6 Toepassing . . . 20

1.6 Toewijzingsprobleem . . . 21

1.6.1 Probleemstelling en LP-formulering . . . 21

1.6.2 De Hongaarse methode . . . 21

1.6.3 Eindigheid en gevoeligheidsanalyse . . . 24

1.7 Opgaven . . . 25

2 GEHEELTALLIGE LINEAIRE PROGRAMMERING 31 2.1 Inleiding . . . 31

2.2 Branch-and-bound . . . 33

2.3 Sneden methoden . . . 38

2.3.1 Inleiding . . . 38

2.3.2 Gomory’s fractie-snede algoritme . . . 41

2.3.3 Gomory’s snede voor gemengd geheeltallige optimalisering . . . 44

2.3.4 Sterke toelaatbare ongelijkheden en bedekkingsongelijkheden . . . 46

2.4 Lagrange relaxatie . . . 48

2.5 Andere technieken . . . 55

2.5.1 Preprocessing . . . 56

2.5.2 Branch-and-Cut . . . 57

2.6 Het handelsreizigersprobleem . . . 58 v

(7)

2.6.1 Inleiding . . . 58

2.6.2 De branch-and-bound methode . . . 60

2.6.3 Heuristieken . . . 64

2.7 Opgaven . . . 75

3 NIET-LINEAIRE OPTIMALISERING 79 3.1 Inleiding . . . 79

3.2 Onbeperkte optimalisering . . . 83

3.2.1 Inleiding . . . 83

3.2.2 E´endimensionale optimalisatie . . . 84

3.2.3 Meerdimensionale optimalisatie . . . 86

3.3 Beperkte optimalisering . . . 95

3.4 Kwadratische programmering . . . 98

3.5 Inwendige-punt-methoden voor lineaire programmering . . . 100

3.5.1 Inleiding . . . 100

3.5.2 De affiene-schaling methode . . . 100

3.5.3 Centrale pad methode . . . 107

3.6 Opgaven . . . 113

4 NETWERK OPTIMALISATIE 117 4.1 Grafen en matrices . . . 117

4.1.1 Grafen en vectorruimtes . . . 117

4.1.2 De incidentiematrix . . . 118

4.1.3 De kringenmatrix . . . 122

4.1.4 De snedenmatrix . . . 124

4.1.5 Opgaven . . . 126

4.2 Kortste paden . . . 128

4.2.1 Inleiding . . . 128

4.2.2 De simplex methode voor het kortste pad probleem . . . 129

4.2.3 De methode van Dijkstra . . . 135

4.2.4 Methode van Bellman en Ford . . . 137

4.2.5 Methode van Floyd en Warshall . . . 139

4.2.6 Enkele toepassingen . . . 141

4.2.7 Opgaven . . . 145

4.3 Netwerkstromen . . . 148

4.3.1 Methode van Dinic, Malhotra, Kumar en Maheshwari voor maximale stroom148 4.3.2 Stromen met onder- en bovengrenzen . . . 152

4.3.3 Minimale kostenstromen . . . 154

4.3.4 Minimale circulatiestromen in netwerk met onder- en bovengrenzen . . . 158

4.3.5 Equivalente combinatorische resultaten . . . 164

4.3.6 Enkele toepassingen . . . 173

(8)

4.3.7 Opgaven . . . 176

4.4 Koppelingen . . . 181

4.4.1 Inleiding . . . 181

4.4.2 Koppeling met maximale gewicht in bipartiete graaf . . . 186

4.4.3 Gilmore-Gomory koppelingen . . . 190

4.4.4 Koppeling met maximale cardinaliteit in een willekeurige graaf . . . 192

4.4.5 Koppeling met maximaal gewicht in een willekeurige graaf . . . 200

4.4.6 Het Chinese postbode probleem . . . 205

4.4.7 Opgaven . . . 207

4.5 Netwerk simplex methode . . . 209

4.5.1 Inleiding . . . 209

4.5.2 Bases en opspannende bomen . . . 211

4.5.3 Algoritme voor problemen zonder capaciteiten . . . 214

4.5.4 Problemen met onder- en bovengrenzen . . . 219

4.5.5 Maximale stroom probleem . . . 222

4.5.6 Opgaven . . . 226

5 DYNAMISCHE PROGRAMMERING 229 5.1 Inleiding . . . 229

5.2 Terminologie . . . 231

5.3 Deterministische dynamische programmering . . . 232

5.4 Stochastische dynamische programmering . . . 235

5.5 Opgaven . . . 237

6 CONTINUE MARKOV KETENS 241 6.1 Inleiding . . . 241

6.2 Differentiaalvergelijkingen en transi¨ent gedrag . . . 244

6.3 Geboorte-sterfte processen . . . 245

6.4 Stationair gedrag . . . 248

6.5 Uniformizatie . . . 252

6.6 Opgaven . . . 253

7 WACHTTIJDTHEORIE 257 7.1 Inleiding . . . 257

7.2 Wachttijdparadox . . . 259

7.3 De formule van Little en PASTA . . . 260

7.4 Geboorte-sterfte processen (vervolg) . . . 264

7.5 Modellen gebaseerd op het geboorte-sterfte proces . . . 265

7.6 Het M/G/1 model . . . 271

7.7 Netwerken van wachtrijen . . . 273

7.8 Opgaven . . . 280

(9)

8 MARKOV BESLISSINGSTHEORIE 287

8.1 Inleiding . . . 287

8.2 Eindige horizon en totale opbrengsten . . . 288

8.3 Oneindige horizon en verdisconteerde opbrengsten . . . 289

8.4 Oneindige horizon en gemiddelde opbrengsten (irreducibele geval) . . . 292

8.5 Optimaal stoppen van een Markov keten . . . 296

8.6 Opgaven . . . 299

9 BESLISSINGSTHEORIE 301 9.1 Inleiding . . . 301

9.2 Beslissen zonder kansen . . . 302

9.3 Beslissen met kansen . . . 303

9.4 Beslissingsbomen . . . 306

9.5 Opgaven . . . 307

10 VOORRAADTHEORIE 311 10.1 Inleiding . . . 311

10.2 Continue deterministische modellen . . . 313

10.3 Periodieke deterministische modellen . . . 318

10.4 Continue stochastische modellen . . . 323

10.5 Periodieke stochastische modellen . . . 327

10.6 Opgaven . . . 332

11 SIMULATIE 341 11.1 Inleiding . . . 341

11.2 Statistische verwerking van gegevens . . . 343

11.3 Voorbeelden van simulaties . . . 346

11.4 Aselecte getallen en aselecte trekkingen . . . 351

11.5 Variantie reducerende technieken . . . 356

11.6 Opgaven . . . 359

12 SCHEDULING 363 12.1 Inleiding . . . 363

12.2 E´en machine . . . 365

12.3 Twee machines . . . 368

12.4 Parallelle machines . . . 372

12.5 Verbanden met het handelsreizigersprobleem . . . 379

12.6 Opgaven . . . 380

13 SPELTHEORIE 383 13.1 Inleiding . . . 383

13.2 Tweepersonen nulsomspel . . . 384

(10)

13.3 Bi-matrix spelen . . . 387

13.4 Co¨operatieve spelen . . . 388

13.5 Opgaven . . . 399

14 Projectplanning 401 14.1 Probleemstelling en modellering . . . 401

14.2 Berekening van het kritieke pad . . . 403

14.3 Bepaling van het kritieke pad met lineaire programmering . . . 405

14.4 Het PERT-model . . . 407

14.5 Projectplanning met kosten . . . 410

14.6 Een alternatief model . . . 411

14.7 Opgaven . . . 414

A TABELLEN 419

(11)

(12)

ONDERWERPEN UIT DE

LINEAIRE PROGRAMMERING

1.1 Inleiding

In Besliskunde 1 is de basistheorie van de lineaire optimalisering behandeld. In deze paragraaf herhalen we in het kort een aantal zaken.

De standaard formulering van het LP-probleem luidt in matrixnotatie:

max{p^Tx | Ax ≤ b; x ≥ 0}, (1.1)

waarbij p, x ∈ Rⁿ, b ∈ R^m en A een m × n-matrix is.

Met verschilvariabelen y = b − Ax krijgen we de equivalente formulering

max{p^Tx | Ax + y = b; x, y ≥ 0}. (1.2) Bij ieder LP- hoort een duaal probleem. Het duale probleem van (1.1) is

min{b^Tu | A^Tu ≥ p; u ≥ 0} (1.3)

en met verschilvariabelen v = A^Tu − p geeft dit de equivalente formulering

min{b^Tu | A^Tu − v = p; u, v ≥ 0}. (1.4) De simplex methode is een methode om deze problemen op te lossen. De methode maakt gebruik van simplex tableaus, waarin de relevante informatie staat. Ieder tableau behoort bij een basis- matrix B: een niet-singuliere m × m-deelmatrix van het oorspronkelijke stelsel (1.2), waarvoor geldt dat B⁻¹b ≥ 0. De overige kolommen vormen een m × n-deelmatrix N . De bijbehorende variabelen x_B resp. x_N heten de basisvariabelen resp. de niet-basisvariabelen. Het tableau heeft de vorm

x_N x_B B⁻¹b B⁻¹N

x₀ p^T_BB⁻¹b d^T_N 1

(13)

waarbij d^T_N = p^T_BB⁻¹N − p^T_N, en de bijbehorende oplossing luidt: x_B = B⁻¹b, x_N = 0. Het tableau bevat tevens een bijbehorende duale oplossing: u_B= 0, u_N = d_N.

Om de notatie simpel te houden, voeren we in:

b^∗ = B⁻¹b, A^∗ = B⁻¹N, p^∗ = p^T_BB⁻¹b en d^∗ = p^T_BB⁻¹N − p^T_N. Het stelsel is dan, tezamen met de doelfunctie, te schrijven als:





(x_B)_i = b^∗_i −P_n

j=1a^∗_ij(x_N)_j, i = 1, 2, . . . , m p^Tx = p^∗−P_n

j=1d^∗_j(x_N)_j

(1.5)

Als d^∗_j ≥ 0 voor alle j, dan is x_B = b^∗, x_N = 0 een optimale oplossing.

In het andere geval is d^∗_k< 0 voor zekere k, en kan als volgt een nieuw tableau worden gevonden.

a. Bepaal de pivotkolom, d.w.z. bepaal een k met d^∗_k< 0 (meestal k zdd. d^∗_k= min_jd^∗_j).

b. Bepaal een pivotrij, d.w.z. bepaal een r met _a^b∗^∗^r

rk = min{_a^b∗^∗ⁱ

ik | a^∗_ik > 0}.

c. Verwissel de variabelen (x_B)_r en (x_N)_k die de pivot a^∗_rk bepalen.

d. De nieuwe pivotrij, met uitzondering van het pivotelement zelf, is de oude rij gedeeld door het pivotelement.

e. De nieuwe pivotkolom, met uitzondering van het pivotelement zelf, is de oude kolom gedeeld door het tegengestelde van het pivotelement.

f. Van de elementen a^∗_ij met i 6= r en/of j 6= k trekken we ^a^∗^rj_a∗^·a^∗^ik rk af.

g. Vervang het pivotelement a^∗_rk door zijn inverse _a¹∗ rk.

In het simplex tableau staat ook informatie over het duale probleem te lezen. Naar analogie van (1.5) moet daarvoor de j-de kolom van het simplex tableau moet gelezen worden als (de voorste kolom met b^∗ slaat op de doelfunctie):





(u_N)_j = d^∗_j +P_m

i=1a^∗_ij(u_B)_i, j = 1, 2, . . . , n b^Tu = p^∗+P_m

i=1b^∗_i(u_B)_i

(1.6)

1.2 De duale simplex methode

In de simplex methode hebben we steeds een toelaatbaar hoekpunt van het LP-probleem. Zodra de bijbehorende duale oplossing toelaatbaar is, zijn beide oplossingen optimaal. De duale simplex methode doets iets omgekeerds: we hebben steeds een toelaatbaar hoekpunt van het duale LP- probleem en zodra de bijbehorende oplossing van het oorspronkelijke probleem toelaatbaar is, zijn beide oplossingen optimaal.

Deze omgekeerde aanpak is in de volgende gevallen zeer zinvol:

(1) Als er niet eenvoudig een toelaatbaar hoekunt van (1.2) is te vinden, maar wel van (1.4); dit is bijvoorbeeld het geval als p ≤ 0 (zie verder).

(14)

(2) Als, nadat het LP-probleem is opgelost, er extra voorwaarden worden gesteld waar de optimale LP-oplossing niet voldoet; dit is bijvoorbeeld het geval bij bepaalde methoden om

geheeltallig lineaire optimaliseringsproblemen op te lossen (zie het volgende hoofdstuk).

De duale simplex methode is de gewone simplex methode, maar dan toegepast op het duale LP- probleem (1.4). Daartoe moeten we dit probleem in de standaard formulering schrijven, d.w.z.

als

max{(−b)^Tu | (−A^T)u + v = −p; u, v ≥ 0}. (1.7) 1-ste geval: p ≤ 0:

In dit geval is er een toelaatbare beginbasis, namelijk u = 0, v = −p (v is de vector van de basisvariabelen en de bijbehorende matrix is de eenheidsmatrix die inderdaad niet-singulier is).

De bijbehorende oplossing van het gewone LP-probleem is x = 0, y = b. Als b ≥ 0, dan zijn beide oplossingen weer optimaal.

Alle benodigde informatie staat in het gewone simplex tableau. Vanwege de matrix −A^T moet het tableau gespiegeld beschouwd worden en gelezen worden met tegengesteld teken, zoals in (1.6) in vergelijking met (1.5). Dit betekent dat een iteratie deze methode als volgt te beschrijven is (we gaan weer uit van een tableau in de *-notatie).

a. Bepaal de pivotrij, d.w.z. bepaal een r met b^∗_r < 0 (meestal r zdd. b^∗_r= min_jb^∗_i).

b. Bepaal een pivotkolom, d.w.z. bepaal een r met _−a^d^∗^k∗

rk = min{_−a^d^∗^j∗

rj | − a^∗_rj > 0}.

c. Verwissel de variabelen van de pivotrij en pivotkolom.

d. De nieuwe pivotrij, met uitzondering van het pivotelement zelf, is de oude rij gedeeld door het pivotelement.

e. De nieuwe pivotkolom, met uitzondering van het pivotelement zelf, is de oude kolom gedeeld door het tegengestelde van het pivotelement.

f. Van de elementen a^∗_ij met i 6= r en/of j 6= k trekken we ^a^∗^rj_a∗^·a^∗^ik rk af.

g. Vervang het pivotelement a^∗_rk door zijn inverse _a¹∗ rk. Opmerkingen

1. Omdat er in dit geval een toelaatbare duale oplossing bestaat heeft het oorspronkelijke LP-probleem geen oneindige oplossing¹.

2. Als a^∗_rj ≥ 0 voor alle j, dan is het oorspronkelijke LP-probleem ontoelaatbaar (Opgave 1.2).

3. Door weer de regel van Bland te gebruiken² kan de eindigheid van de duale simplex methode worden gegarandeerd.

Voorbeeld 1.1

Beschouw het LP-probleem max

(

−2x₁− 14x₂− 5x₃

¯¯

¯

x₁ − 2x₂ − x₃ ≤ −2;

−x₁ − 2x₂ − x₃ ≤ −4; x₁, x₂, x₃≥ 0 )

1Zie de Zwakke Dualiteitsstelling 4.12 uit Besliskunde 1

2Zie paragraaf 4.5 in het dictaat Besliskunde 1

(15)

De duale simplex methode is in onderstaande tableaus uitgevoerd; de pivot is met een^∗aangeduid.

x₁ x₂ x₃ y₁ -2 1 -2 -1 y₂ -4 ^∗-1 -2 -1

x₀ 0 2 14 5

y₂ x₂ x₃ y₁ -6 1 -4 ^∗-2

x₁ 4 -1 2 1

x₀ -8 2 10 3

y₂ x₂ y₁ x₃ 3 -¹₂ 2 -¹₂ x₁ 1 -¹₂ 0 ¹₂ x₀ -17 ⁷₂ 1 ³₂ Het laatste tableau is optimaal en de optimale oplossing luidt: x₁ = 1, x₂ = 0 en x₃ = 3; de waarde is -17.

Het duale probleem luidt:

min









−2u₁− 4u₂

¯¯

u₁ − u₂ ≥ −2; u₁≥ 0

−2u₁ − u₂ ≥ −14; u₂≥ 0

−u₁ − u₂ ≥ −5;









De optimale oplossing van het duale probleem is weer op de bekende manier af te lezen:

u₁= ³₂, u₂= ⁷₂ en de waarde is -17.

Vraag 1.2.1

Bepaal met de duale simplex methode de oplossing van het volgende LP-probleem max

(

−2x₁− 3x₂− 4x₃

¯¯

¯

x₁ + 2x₂ + x₃ ≥ 3;

2x₁ − x₂ + 3x₃ ≥ 4; x₁, x₂, x₃ ≥ 0 )

Formuleer ook het duale LP-probleem en geef de optimale oplossing ervan.

2-de geval: p 6≤ 0:

Nu kan niet direct een duaal toelaatbare oplossing worden gevonden. Voeg in dit geval aan het LP- probleem de extra rijP_n

j=1x_j ≤ M toe met M een zeer groot getal, zodat de optimale oplossing aan deze extra beperking voldoet. Neem het begintableau volgens de duale simpex methode en voer eerst ´e´en stap uit volgens de gewone simplex methode met de extra rij als pivotrij en de kolom met de meest positieve p_j als pivotkolom. Na deze stap krijgen we een tableau dat duaal toelaatbaar is (zie Opgave 1.3) en er kan worden vervolgd met de duale simplex methode. Als de optimale oplossing x^∗ voldoet aan P_n

j=1x^∗_j = M voor alle voldoend grote waarden van M , dan heeft het LP-probleem een oneindige optimale oplossing.

Opmerking

Als tijdens de duale simplex methode de verschilvariabele van de extra rij in de basis komt, dan kan deze rij uit het tableau worden verwijderd: het tableau is immers duaal toelaatbaar en de extra beperking is daarom niet meer nodig.

Voorbeeld 1.2

(

x₁− 3x₂

¯¯

¯

x₁ − x₂ ≤ 2;

−x₁ − x₂ ≤ −4; x₁, x₂ ≥ 0 )

(16)

Neem M = 10 en voeg de beperking x₁+ x₂ ≤ 10 toe. De tableaus van de duale simplex methode staan hieronder.

x₁ x₂ y₁ 2 1 -1 y₂ -4 -1 -1 y₃ 10 ^∗1 1 x₀ 0 -1 3

y₃ x₂ y₁ -8 ^∗-1 -2

y₂ 6 1 0

x₁ 10 1 1

x₀ 10 1 4

y₁ x₂ y₃ 8 -1 2 y₂ -2 1 ^∗-2 x₁ 2 1 -1

x₀ 2 1 2

y₁ y₂ x₂ 1 -¹₂ -¹₂ x₁ 3 ¹₂ -¹₂

x₀ 0 2 1

In het laatste tableau is de rij van y₃weggelaten. Dit tableau is optimaal en de optimale oplossing luidt: x₁ = 3, x₂ = 1 met waarde 0.

1.3 De primale-duale methode

De primale-duale methode is een methode die met name effectief is gebleken om bepaalde optimaliseringsproblemen op grafen op te lossen. We zullen later in dit college enkele voorbeelden hiervan geven.

Beschouw het LP-probleem in de gedaante

max{p^Tx | Ax = b; x ≥ 0}, (1.8)

waarbij b ≥ 0 (ga zelf na dat ieder LP-probleem altijd in deze gedaante is te schrijven).

Het bijbehorende duale LP-probleem is:

min{b^Tu | A^Tu ≥ p} (1.9)

en met verschilvariabelen v = A^Tu − p geeft dit de equivalente formulering

min{b^Tu | A^Tu − v = p; v ≥ 0}. (1.10) De complementariteitsvoorwaarden bij deze formulering zijn

x_jv_j = 0, 1 ≤ j ≤ n. (1.11)

Uit de algemene theorie van de lineaire programmering weten we dat als we een x hebben die toelaatbaar is voor (1.8), een (u, v) die toelaatbaar is voor (1.10), terwijl ook aan de complemen- tariteitsvoorwaarden (1.11) is voldaan, de oplossingen optimaal zijn voor het LP-probleem resp.

het duale LP-probleem. In de primale-duale methode werken we met een x en (u, v) die steeds aan de complementariteitsvoorwaarden voldoen en waarbij (u, v) toelaatbaar is voor (1.10). Zodra x ook toelaatbaar is voor (1.8) zijn de oplossingen optimaal.

De eerste vraag die we voor deze methode moeten beantwoorden is hoe we een (u, v) vinden die voldoet aan (1.10).

(17)

Als p ≤ 0, dan kunnen we u = 0, v = −p nemen.

Als p 6≤ 0, dan gaan we als volgt te werk.

We voegen aan het LP-probleem de beperking P_n

j=1x_j ≤ M toe met M weer een voldoend groot getal. We nemen hierbij impliciet aan dat het oorspronkeljke LP-probleem geen oneindige oplossing heeft (bij een oneindige oplossing is het duale probleem ontoelaatbaar³).

Het duale probleem voor deze formulering wordt

min{b^Tu + M · u_m+1 | A^Tu + u_m+1· e − v = p; v ≥ 0, u_m+1 ≥ 0}, (1.12) waarbij e de m-vector is met alle elementen gelijk aan 1. Een toelaatbare oplossing voor (1.12) is u = 0, u_m+1 = max_1≤j≤np_j en v_j = u_m+1− p_j.

We mogen dus vanaf nu aannemen dat we een duaal toelaatbare oplossing hebben, die we (u, v) noemen. Laat J = {j | v_j = 0}. Bij iedere oplossing (u, v) van het duale probleem zullen we aan de complementariteitsvoorwaarden voldoen door x_j = 0 te nemen voor iedere j /∈ J. Voor de indices van J kunnen we x_j vrij kiezen: omdat v_j = 0 wordt aan de complementariteitsvoor- waarde voldaan. We proberen de keuze van deze x_j’s zo te maken dat x (zoveel mogelijk) aan de beperkingen van (1.8) voldoet. Daartoe beschouwen we het volgende LP-probleem (dit is hetzelfde idee als de fase I techniek van de simplex methode)

max



− Xm

i=1

w_i

¯¯

¯¯ X

j∈J

a_ijx_j+ w_i = b_i, 1 ≤ i ≤ m; x_j ≥ 0, j ∈ J; w_i≥ 0, 1 ≤ i ≤ m



 (1.13) Dit probleem kan met de simplex methode worden opgelost, beginnend met w_i, 1 ≤ i ≤ m, als basisvariabelen (fase I is dus voor (1.13) niet nodig). Vooral in de eerste iteraties van deze methode is J vaak een kleine verzameling, zodat de bijbehorende LP-problemen niet te groot zijn. Als er dan niet te veel iteraties nodig zijn, wat bij optimaliseringsproblemen op grafen vaak zo is, dan is dit een effici¨ente methode.

Vraag 1.3.1

Laat zien dat (1.13) een eindige optimale oplossing heeft.

Veronderstel dat (x^∗, w^∗) een optimale oplossing is van (1.13).

1-ste geval: w^∗_i = 0 voor alle i:

Dan is x^∗, aangevuld met 0’en voor j /∈ J, toelaatbaar voor (1.8), dus hebben we optimale oplossingen gevonden.

2-de geval: w_i^∗> 0 voor minstens ´e´en i:

We proberen nu een betere oplossing (u^∗, v^∗) voor het duale probleem te vinden. Daartoe beschouwen we een optimale oplossing s^∗ van het duale LP-probleem van (1.13):

min ( _m

X

i=1

b_is_i

¯¯

¯ P_m

i=1a_ijs_i ≥ 0, j ∈ J s_i ≥ −1, 1 ≤ i ≤ m

)

(1.14)

3Zie de Zwakke Dualiteitsstelling 4.12 uit Besliskunde 1

(18)

De simplex methode voor (1.13) geeft tevens deze s^∗ en voor de waarde van de doelfunctie geldt P_m

i=1b_is^∗_i = −P_m

i=1z^∗_i < 0. Daarom proberen we u^∗ = u + λs^∗ met λ > 0, want daarvoor geldt P_m

i=1b_iu^∗_i =P_m

i=1b_iu_i+ λP_m

i=1b_is^∗_i <P_m

i=1b_iu_i, wat inderdaad een betere (lagere) waarde van de doelfunctie oplevert.

De nieuwe oplossing moet wel weer toelaatbaar zijn voor het duale probleem, d.w.z. dat moet gelden A^Tu^∗≥ p.

Als j ∈ J: P_m

i=1a_iju^∗_i =P_m

i=1a_iju_i+ λP_m

i=1a_ijs^∗_i ≥P_m

i=1a_iju_i ≥ p_j. Als j /∈ J: P_m

i=1a_iju^∗_i =P_m

i=1a_iju_i+ λP_m

i=1a_ijs^∗_i. Geval 2a: P_m

i=1a_ijs^∗_i ≥ 0 voor alle j /∈ J:

In dit geval is u^∗ toelaatbaar voor λ → ∞, dus (1.9) heeft een oneindige oplossing, d.w.z.

het oorspronkelijke LP-probleem is ontoelaatbaar.

Geval 2b: P_m

i=1a_ijs^∗_i < 0 voor minstens ´e´en j /∈ J:

Nu isP_m

i=1a_iju^∗_i ≥ p_j d.e.s.d. als λ ≤ ^p^j⁻

P_m

i=1aijui

P_m

i=1aijs^∗_i = ^Pm^−v^j

i=1aijs^∗_i (merk op dat dit een positief getal is). De scherpste waarde die we voor λ kunnen kiezen is dus

λ = min (

−v_j P_m

i=1a_ijs^∗_i

¯¯

¯ j /∈ J;

Xm i=1

a_ijs^∗_i < 0 )

. (1.15)

Opmerkingen

1. De simplex methode geeft in het algemeen ook de duale optimale oplossing. Probleem (1.13) heeft als beperkingen gelijkheden. In de ’normale’ simplex methode worden hiervoor

schijnvariabelen z_i ingevoerd en wordt de fase I - fase II techniek toegepast. De optimale s^∗_i van (1.14) is dan af te lezen als de duale variabele bij z_i; laten we deze noteren met d(z_i).

Zoals we hebben opgemerkt is voor (1.13) de fase I techniek niet nodig en kunnen we fase I Dit heeft echter wel het nadeel dat we geen z_i’s hebben en dus ook niet weten wat de optimale s^∗_i = d(z_i) van (1.14) is. Echter, de schijnvariabelen z_i komen op precies dezelfde wijze in (1.13) voor als de variabelen w_i, met als enig verschil dat w_i wel in de doelfunctie voorkomt (met coëfficiënt -1). Omdat in de simplex tableau in de rij van de doelfunctie het tegengestelde van deze coëfficiënten staat geldt s^∗_i = d(z_i) = d(w_i) − 1. De duale variabelen van de w_i’s zijn wel bekend, dus hiermee ook de duale oplossing s^∗.

2. Als een variabele x^∗_j > 0 voor een j ∈ J, dus een basisvariabele in de optimale oplossing van (1.14), dan is volgens de complementariteitseigenschapP_m

i=1a_ijs^∗_i = 0, wat tot gevolg heeft dat v_j^∗= 0. Alle basisvariabelen in de optimale oplossing van (1.14) blijven dus in J en doen in een volgende iteratie weer mee. In een volgende iteratie kan dus gestart worden met het eindtableau van de vorige iteratie. Wel moeten misschien nieuwe kolommen ge-update worden⁴.

3. Als er geen degeneratie is, dan is de methode eindig, immers:

4Zie hiervoor paragraaf 4.6 in het dictaat Besliskunde 1

(19)

We moeten laten zien dat we niet oneindig vaak in het 2-de geval blijven zitten. Uit de definitie van λ volgt dat v^∗_j = 0 voor een j /∈ J, namelijk die j waarvoor het maximum in (1.15) wordt aangenomen. Deze nieuwe kolom kan als pivotkolom worden gekozen (immers:

de bijbehorende duale variabele isP_m

i=1a_ijs^∗_i < 0) en de waarde van de doelfunctie stijgt.

Het nieuwe optimum behoort dus bij een andere basis en een oude basis kan dus nooit terugkeren. Omdat er maar eindig veel bases zijn is de methode eindig.

Een iteratiestap ziet er dus als volgt uit (ga uit van een duaal toelaatbare (u, v)):

a. Bepaal J = {j | v_j = 0}

b. Bepaal optimale oplossingen (x^∗, w^∗) en s^∗ van de duale LP-problemen (1.13) en (1.14).

c. Als w^∗= 0, dan is x⁰ met x⁰_j = x^∗_j, j ∈ J en x⁰_j = x_j, j /∈ J optimaal; (u, v) is een optimale oplossing van het duale probleem.

Anders: ga naar d.

d. Als P_m

i=1a_ijs^∗_i ≥ 0 voor alle j /∈ J: het LP-probleem is ontoelaatbaar Anders: ga naar e.

e. Bepaal λ volgens (1.15); u := u + λs^∗; v = A^Tu − p.

Voorbeeld 1.3

(

x₁+ 6x₂

¯¯

¯

x₁ + x₂ − x₃ = 2; x₁, x₂≥ 0 x₁ + 2x₂ + x₄ = 3; x₃, x₄≥ 0

)

Het duale probleem hiervan is min

(

2u₁+ 3u₂

¯¯

¯

u₁ + u₂ ≥ 1; −u₁ ≥ 0 u₁ + 2u₂ ≥ 6; u₂ ≥ 0

)

Start met u = (0, 3) en dan is v = (2, 0, 0, 3).

Iteratie 1:

J = {2, 3} met bijbehorende LP-probleem: max (

−w₁− w₂

¯¯

¯

x₂ − x₃ + w₁ = 2

2x₂ + w₂ = 3

)

De simplex methode geeft x₂ x₃

w₁ 2 1 -1 w₂ 3 ^∗2 0

-5 -3 1

w₂ x₃ w₁ ¹₂ −¹₂ -1 x₂ ³₂ ¹₂ 0

−¹₂ ³₂ 1

Dit is een optimaal tableau, waaruit de optimale s^∗ volgt:

s^∗₁ = d(w₁) − 1 = −1, s^∗₂ = d(w₂) − 1 = ¹₂.

Voor j /∈ J: P_m

i=1a_ijs^∗_i =

( −¹₂, j = 1

12, j = 4

→ λ = ₋⁻²1 2

= 4; u = (−4, 5), v = (0, 0, 4, 5).

Iteratie 2:

J = {1, 2} met bijbehorende LP-probleem: max (

−w₁− w₂

¯¯

¯

x₁ + x₂ + w₁ = 2

x₁ + 2x₂ + w₂ = 3

)

(20)

De simplex methode geeft x₁ x₂

w₁ 2 1 1

w₂ 3 1 ^∗2 -5 -2 -3

x₁ w₂ w₁ ¹₂ ^{∗ 1}₂ -¹₂ x₂ ³₂ ¹₂ ¹₂

−¹₂ -¹₂ ³₂

w₁ w₂ x₁ 1 2 -1 x₂ 1 -1 1

0 1 1

Optimaal tableau met w = 0.

Dit geeft de optimale oplossing.

LP-oplossing: x₁ = x₂ = 1, x₃= x₄ = 0 en u = (−4, 5) is optimaal voor het duale probleem.

Opmerking:

We hadden ook het eindtableau uit de vorige iteratie kunnen gebruiken. Uit dit tableau volgt B⁻¹ =

Ã

1 −¹₂ 0 ¹₂

!

, zodat de kolom van x₁ wordt: B⁻¹a_•1= Ã

1 −¹₂ 0 ¹₂

! Ã 1 1

!

= Ã 1

2 12

! . Het getal in de onderste rij wordt P_m

i=1a_i1s^∗_i = −¹₂, en dit geeft bovenstaand tweede tableau.

Vraag 1.3.2

Los het volgende LP-probleem op met de primale-duale simplex methode, startend met duale oplossing u = (1, 0).

max (

−x₁− 2x₃+ x₄

¯¯

¯

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 6; x₁, x₂, x₃ ≥ 0 2x₁ − x₂ + 3x₃ − 2x₄ − x₆ = 5; x₄, x₅, x₆ ≥ 0

)

1.4 Totaal unimodulariteit

Een matrix heet totaal unimodulair als de determinant van iedere vierkante deelmatrix +1, -1 of 0 is. Dus ook alle elementen van een totaal unimodulaire matrix zijn +1, −1 of 0.

Totaal unimodulariteit heeft belangrijke consequenties voor LP-problemen. Als de matrix A van de beperkingen van een LP-probleem totaal unimodulair is, en als de vector b van het rechterlid geheeltallig is, dan is iedere basisoplossing van het LP-probleem ook geheeltallig, immers:

Een basisoplossing is de unieke oplossing van een stelsel Bx_B = b met B een vierkante, niet- singuliere deelmatrix van A, zodat det(B) = +1 of −1. Volgens de regel van Cramer is iedere component (x_B)_j het quoti¨ent van twee determinanten met in de noemer det(B) en in de teller de determinant van dezelfde matrix, alleen staat de in de j-de kolom vector b.

De teller is dus geheeltallig, zodat (x_B)_j dat ook is.

De volgende stelling laat zien dat bovenstaande eigenschap ook het begrip totaal unimodulariteit definieert.

Stelling 1.1

Een geheeltallige (m × n)-matrix A is totaal unimodulair als voor iedere geheeltallige m-vector b geldt dat het polyhedron {x | Ax ≤ b; x ≥ 0} geheeltallige hoekpunten heeft.

(21)

Bewijs

Laat A⁰ een niet-singuliere (k × k)-deelmatrix van A zijn (voor singuliere vierkante deelmatrices hoeft niets meer bewezen te worden).

Maak van A⁰ de volgende (m × m)-matrix B = Ã

A⁰ 0) 0 I_m−k

!

, zodat det(B) = det(A⁰) 6= 0.

Er geldt nu dat voor iedere geheeltallige b de vector x_B = B⁻¹b geheeltallig is, mits x_B≥ 0. Kies een index 1 ≤ i ≤ m en een geheeltallige y zdd. y + B⁻¹e_i ≥ 0 (e_i is de i-de eenheidsvector).

Laat vervolgens z = y + B⁻¹e_i en b = Bz (merk op dat b = By + e_i, dus geheeltallig). Voeg aan z 0-componenten toe om een (n + m)-vector z⁰ te krijgen waarvoor geldt:

(A I_m)z⁰ = Bz = b.

Laat z^∗ de eerste n componenten van z⁰ zijn, behorende bij het polyhedron. De kolommen bij de positieve componenten van z^∗ behoren tot A⁰, zijn lineair onafhankelijk, zodat z^∗ een hoekpunt van het polyhedron is⁵ en dus geheeltallig. Maar dan is ook z⁰ geheeltallig (de eerste n componenten zijn die van z^∗ en de laatste m van de verschilvector b − Az^∗). De oorspronkelijke vector z is dus eveneens geheeltallig. Omdat z = y + B⁻¹e_i, is B⁻¹e_i, de i-de kolom van B⁻¹ ook geheeltallig. Aangezien i willekeurig was gekozen is de matrix B⁻¹ geheeltallig. Vanwege det(B) · det(B⁻¹) = 1, moet gelden det(B) = ±1, dus ook det(A⁰) = ±1.

De volgende stelling karakteriseert het al of niet totaal unimodulair zijn van matrices die in iedere kolom maximaal twee niet-nul elementen hebben.

Stelling 1.2

Zij A een matrix met elementen 0, +1, −1 met in iedere kolom hoogstens twee niet-nul elementen.

A is totaal unimodulair d.e.s.d. als de rijen van A in twee disjuncte deelverz. I₁ en I₂ zijn te verdelen zdd. (1) als twee niet-nul elementen uit dezelfde kolom hetzelfde teken hebben, dan be- horen de bijbehorende rijen tot verschillende deelverz; (2) als twee niet-nul elementen uit dezelfde kolom verschillend teken hebben, dan behoren de bijbehorende rijen tot dezelfde deelverz.

Bewijs

⇒ Laat A totaal unimodulair zijn en in iedere kolom precies twee niet-nul elementen hebben (in verband met wat moet worden aangetoond is dit geen beperking). Construeer de volgende niet-gerichte graaf: neem voor iedere rij een knooppunt en voor iedere kolom een tak; verbind de knooppunten i en j met een tak voor iedere kolom waarin in rij i en j twee niet-nul elementen hebben. Noem een tak speciaal als beide niet-nul elementen hetzelfde teken hebben; anders heet de tak gewoon.

We zullen allereerst aantonen dat iedere kring van de graaf een even aantal speciale takken heeft.

Laat C een kring van de graaf zijn, zeg C = [v₁, v₂, . . . , v_p, v₁]. Beschouw de vierkante deelmatrix van A voortgebracht door deze kring:

5Zie Stelling 4.7 uit Besliskunde 1

(22)







α₁ 0 0 0 . . . 0 0 0 β_k

β₁ α₂ 1 0 . . . 0 0 0 0

0 β₂ α₃ 0 . . . 0 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 . . . 0 β_p−2 α_p−1 0

0 0 0 0 . . . 0 0 β_p−1 α_p







Hierbij is α_j = ±1, β_j± 1, a_j = β_j als de j-de tak speciaal is en a_j = −β_j als de j-de tak gewoon is.

Om de determinant van deze deelmatrix te bepalen ontwikkelen we hem naar de eerste rij:

determinant =Q_p

j=1 α_j + (−1)^p−1Q_p

j=1 β_j.

Als er een oneven aantal, zeg 2k + 1, speciale takken zijn, dan is dit gelijk aan:

Q_p

j=1 α_j+ (−1)^p−1(−1)^p−(2k+1)Q_p

j=1 α_j = 2Q_p

j=1 α_j = ±2.

De matrix A is dus niet totaal unimodulair: iedere kring heeft dus een even aantal speciale takken.

Perk nu alle gewone takken in, d.w.z. voeg de uiteinden samen tot één knooppunt (kies één van de twee) en laat de tak weg. De zo verkregen graaf heeft geen kringen meer van oneven lengte en is dus bipartiet (zie Vraag 1.4.1), d.w.z. dat de knooppuntenverz. in twee deelverz. I₁en I₂ is op te splitsen zdd. alle takken één uiteinde in I₁ en één in I₂ hebben. Wijs vervolgens de knooppunten die door inperking zijn verdwqenen toe aan de indezverz. waar het andere knooppunt toe behoort.

Nu is eenvoudig na te gaan dat aan het gestelde in (1) en (2) is voldaan.

⇐ Veronderstel vervolgens dat er een splitsing van de rijenverz. is die aan (1) en (2) voldoet.

Neem een willekeurige (k × k)-deelmatrix B van A. We bewijzen de bewering met inductie naar k. Merk op dat het klopt voor k = 1. Neem nu k algemeen en kies een willekeurige kolom van B.

Het aantal 1’en in deze kolom is 0, 1 of 2. Als de kolom geen 1’en bevat, dan is det(B) = 0. Als de kolom precies ´e´en 1 bevat, dan ontwikkelen we de determinant naar deze kolom: de determinant is dan ± det(B⁰) voor de (k − 1) × (k − 1) matrix B⁰ die uit B ontstaat door de rij en kolom die behoren bij het niet-nul element uit B weg te laten. Volgens de inductieveronderstelling klopt het gestelde. Op deze wijze is de stelling te bewijzen voor iedere deelmatrix B waarin niet alle kolommen twee 1’en bevatten. Beschouw tenslotte een B met in iedere kolom precies twee 1’en.

Uit (1) en (2) geldt dat voor iedere kolom j:

P

i∈I1 b_ij =P

i∈I2 b_ij,

wat afhankelijkheid van de rijen inhoudt. Maar dit betekent dat det(B) = 0.

Vraag 1.4.1

Bewijs dat een niet-gerichte graaf bipartiet is d.e.s.d. als iedere kring een even aantal takken heeft.

Vraag 1.4.2

Toon aan dat het polyhedron dat wordt bepaald door de ongelijkheden y ≤ 1; x_i≤ y, 1 ≤ i ≤ m geheeltallige hoekpunten heeft.

(23)

De incidentiematrix A(G) van een niet-gerichte graaf G met n knooppunten en m takken is een (n × m)-matrix met in iedere kolom twee 1’en en wel op de plaatsen corresponderend met de twee knooppunten die de eindpunten zijn van de desbetreffende tak; de overige elementen zijn 0.

De incidentiematrix A(G) van een gerichte graaf G met n knooppunten en m takken is een (n × m)-matrix met in iedere kolom één +1 en één −1 en wel op de plaatsen corresponderend met de twee knooppunten die het beginpunt resp. het eindpunt zijn van de desbetreffende pijl;

de overige elementen zijn 0.

Deze definities en Stelling 1.2 leiden direct tot de volgende resultaten, die verklaren waarom LP-problemen op grafen vaak een geheeltallige oplossing geven.

Stelling 1.3

De incidentiematrix van een niet-gerichte graaf is totaal unimodulair d.e.s.d. als de graaf bipar- tiet is.

Stelling 1.4 De incidentiematrix A(G) van een gerichte graaf G is totaal unimodulair.

1.5 Transportprobleem

1.5.1 Probleemstelling

Er is een aantal, zeg m, depots van waaruit naar diverse, zeg n, bestemmingen goederen vervoerd moeten worden. De vraag is hoeveel er vanuit de diverse depots naar de verschillende bestemmingen verzonden moet worden opdat de totale transportkosten minimaal zijn. We veronderstellen dat de transportkosten evenredig zijn met de te transporteren hoeveelheden. Laat c_ij de kosten voorstellen die gemaakt worden als ´e´en eenheid van depot i naar bestemming j wordt vervoerd, a_i de totale voorraad in depot i en b_j het totaal dat in bestemming j moet worden bezorgd.

Voorbeeld 1.4

Beschouw een transportprobleem met 3 depots, 4 bestemmingen en verder de volgende gegevens:

C =







3 7 3 4

5 7 2 6

8 13 9 3





 , a =





 15 30 55





 en b =





 30 10 15 45





.

1.5.2 LP-formulering

Laat x_ij de hoeveelheid zijn die van depot i naar bestemming j verzonden wordt. Het transport- probleem kan nu als volgt worden geformuleerd:

min







 Xm i=1

Xn j=1

c_ijx_ij

¯¯

¯¯ P_n

j=1x_ij ≤ a_i, 1 ≤ i ≤ m P_m

i=1x_ij ≥ b_j, 1 ≤ j ≤ n x_ij ≥ 0 voor alle (i, j)









(1.16)