(ONDERDEEL VAN CALEIDOSCOOP)
L.C.M. KALLENBERG en F.M.SPIEKSMA
UNIVERSITEIT LEIDEN
Deze tekst is een onderdeel van het vak Caleidoscoop, dat in het eerste semester wordt gegeven.
Het doel van dit onderdeel is tweeërlei:
1. Oefenen in het zelfstandig bestuderen van een wiskundetekst en daar enkele vragen over beantwoorden.
2. Het vertrouwd raken met een aantal begrippen uit de mathematische besliskunde.
De zwaarte van dit studieonderdeel van Caleidoscoop bedraagt 1,5 EC. Dat betekent, dat je geacht wordt ongeveer 42 uur hieraan te besteden. Hiervoor moet dit dictaat worden bestudeerd en moeten er enkele opgaven (bij voorkeur samen met een andere student) worden gemaakt. Welke opgaven dit zijn en wat de inleverdatum is, wordt tijdens het college Caleidoscoop verteld.
Onderwerpen uit de besliskunde komen later in de studie in de volgende vakken aan de orde:
Modelleren 1
Dit vak wordt in het tweede semester gegeven en door Delft verzorgd. Enkele problemen hebben betrekking op besliskunde en het is nuttig daar alvast wat van gezien te hebben via dit studiema- teriaal. Het vak telt voor 6 EC.
Besliskunde 1/Optimalisering
Dit pseudo-verplichte vak van 6 EC wordt in het derde semester in Leiden gegeven, samen met de Delftse studenten. Een aantal basisonderwerpen uit de (geheeltallige) lineaire programmering en discrete wiskunde wordt behandeld.
Besliskunde A/ Stochastische Besliskunde
Dit is een keuzevak in het laatste jaar van de bachelorstudie (vijfde semester). Een aantal onder- werpen uit de stochastische besliskunde komt aan de orde, bijv. de onderwerpen uit hoofdstuk 4.
Het vak kan worden gedaan voor 6 of 10 EC.
Besliskunde B/Discrete Wiskunde en Optimalisering
Dit is eveneens een keuzevak in het laatste jaar van de bachelorstudie (zesde semester). In dit vak worden geavanceerde onderwerpen uit de optimalisering behandeld, en basisonderwerpen uit de discrete wiskunde en speltheorie. Het vak kan worden gedaan voor 6 of 10 EC. Als voorkennis volstaat Besliskunde 1/Optimalisering.
i
Besliskunde 4
Dit is eveneens een keuzevak en kan meetellen voor zowel het bachelor- als het masterdiploma. Er wordt geen college in gegeven, maar het is een zelfstudie vak. Studenten bestuderen zelfstandig de stof (ze kunnen wel vragen stellen) en maken opgaven. Er zijn 10 hoofstukken en voor ieder hoofdstuk wordt een aantal EC’s uitgedeeld. De totale stof levert 16 EC op.
Bachelerscriptie en Masters
Het is ook mogelijk over een onderwerp uit de mathematische besliskunde je bachelorscriptie te maken. Daarover wordt je later in je studie verder geïnformeerd, evenals over de mogelijkheden in de Masterfase van de studie. Voor meer informatie over studieonderdelen van de mathematische besliskunde kun je terecht bij mw. F.M. Spieksma (kamer 228).
1 Inleiding 1
1.1 Wat is besliskunde?. . . 1
1.2 Geschiedenis. . . 2
1.3 Mogelijke toepassingen . . . 2
2 Mathematische programmering 7 2.1 Lineaire programmering . . . 7
2.2 Geheeltallige lineaire optimalisering . . . 13
2.3 Niet-lineaire programmering . . . 16
2.3.1 Onbeperkte optimalisering . . . 16
2.3.2 Beperkte optimalisering . . . 18
2.4 Opgaven . . . 22
3 Netwerk optimalisatie 27 3.1 Dijkstra’s algoritme voor het kortste pad probleem . . . 27
3.2 Algoritme van Bellman en Ford . . . 31
3.3 Ford-Fulkerson algoritme voor het maximale-stroom-probleem . . . 32
3.4 Opgaven . . . 35
4 Markov (beslissings)ketens en dynamisch programmeren 38 4.1 Markov ketens . . . 38
4.2 Dynamische Programmering . . . 42
4.2.1 Terminologie . . . 44
4.3 Markov beslissingsketens . . . 49
4.4 Opgaven . . . 58
iii
Inleiding
1.1 Wat is besliskunde?
Vanwege de breedte en diversiteit van het vak, is het niet eenvoudig om een goede en beknopte definitie van besliskunde te geven. We volstaan daarom met de volgende korte omschrijving:
Besliskunde houdt zich bezig met het opstellen, oplossen en analyseren van wiskundige modellen die dienen om kwantitatieve besluitvorming te ondersteunen.
In de praktijk worden bij het oplossen van een besliskundig probleem de volgende stadia onder- scheiden:
a. Formulering van het probleem
Een besliskundig probleem kent een beslisser die een bepaald doel nastreeft. De beslisser kan het systeem beïnvloeden (sturen) door bepaalde beslissingen of acties te nemen.
b. Constructie van het wiskundig model
Het wiskundig model is een, meestal vereenvoudigde, voorstelling van de werkelijkheid. De beslis- singen worden gemodelleerd als beslissingsvariabelen. Het gedrag van het systeem moet worden beschreven d.m.v. wiskundige relaties. De doelstelling moet worden vertaald in termen van de beslissingsvariabelen van het model. Het model is een abstractie van de werkelijkheid. Bij het maken van een model moet rekening worden gehouden met enerzijds de (wiskundige) oplosbaar- heid van het model en anderzijds moet het een voldoende nauwkeurige weergave van de realiteit zijn. Het nagaan of een model werkelijk bruikbaar is wordt validatie genoemd.
c. Oplossen of analyseren van het model
Voor het oplossen van besliskundige modellen zijn allerlei methoden (algoritmen) ontwikkeld, die vaak geïmplementeerd zijn in software-producten. Vaak is daarom in de praktijk niet zichtbaar dat achter vele toepassingen besliskunde zit. Voorbeelden hiervan zijn o.a. navigatiesystemen in auto’s die routeplanningen geven (TomTom), het snel vinden van informatie op internet met zoekmachines zoals Google, en het zorgen dat er een optimaal bereik is voor mobiele telefoons. De methoden die gebruikt worden, zijn meestal exacte of heuristische algoritmen. Met een heuristische methode hoopt men snel een goede, maar niet noodzakelijk exacte, oplossing van het probleem te vinden.
1
d. Robuustheid testen
Bij robuustheid gaat het erom hoe de oplossing verandert als de data (iets) veranderen. Dit wordt ook wel gevoeligheidsanalyse genoemd. Het is natuurlijk belangrijk om goede data te hebben, maar niet altijd zijn exacte data beschikbaar. Het is dan van belang te onderzoeken wat de gevolgen zijn van (kleine) veranderingen in de data. Helaas is dit niet altijd (goed) uitvoerbaar.
e. Implementatie
De voorgestelde besluiten moeten (eventueel) in de organisatie worden doorgevoerd. Soms stuit dit op bepaalde (sociale, politieke of economische) problemen.
1.2 Geschiedenis
Hoewel bepaalde onderdelen van de besliskunde een eerdere oorsprong hebben, kan worden vast- gesteld dat de besliskunde pas goed tot ontwikkeling is gekomen in en na de Tweede Wereldoorlog.
Tijdens de 2e WO werd in Engeland en de Verenigde Staten onderzoek gedaan naar het (kunnen) uitvoeren van bepaalde militaire operaties. In het bijzonder, betrof dit logistieke planning van materieel en voedsel.
Dit heeft geleid tot de Engelse benaming van het vakgebied: Operations Research. Na de oor- log kwamen er ook toepassingen in de industrie. Eerst bij grote bedrijven zoals olie- en vliegtuig- maatschappijen, later ook in allerlei kleinere bedrijven. Voor vele problemen, bijvoorbeeld uit de voorraadtheorie en uit de logistiek, zijn methoden en software-producten ontwikkeld. Besliskunde wordt ook uitgebreid toegepast in de dienstensector, bijvoorbeeld bij banken. Een wezenlijke factor voor de snelle ontwikkeling van de besliskunde is de gelijktijdige snelle ontwikkeling van de computer geweest. Vanaf het begin was de computer een onmisbaar stuk gereedschap. De huidige methoden zijn slechts bruikbaar dankzij het bestaan van snelle en krachtige computers.
We introduceren hieronder een aantal problemen die met één van de behandelde technieken uit de besliskunde-cyclus kunnen worden opgelost.
1.3 Mogelijke toepassingen
1. Tom-tom
Google maps geeft nevenstaande suggestie voor de kortste route van het Centraal Station in Lei- den naar Plantsoen 95. Klopt dit? Wat zou de tom-tom voor antwoord geven?
Het probleem is dus: bepaal de kortste route tus- sen Centraal Station en Plantsoen 95.
2. Lichtste voedselpakket voor een expeditie Bij de voorbereiding van een expeditie door een onherbergzaam gebied moet besloten worden wat voor eten en hoeveel mee te nemen. De voorwaarden zijn dat het genoeg voedzame bestanddelen als calorieën, proteïne, kalk, ijzer, en vitamines bevat. Als gegevens beschikt de reisorganisator over een lijst producten met de hoeveel- heid per gram voedsel van elk van de bovenstaande voedzame bestanddelen, en de hoeveelheid van elk bestanddeel die de medereizigers gemiddeld per dag nodig hebben.
Het probleem is: stel een voedselpakket van minimaal gewicht samen uit de producten op de lijst van de reisorganisator, dat aan de gestelde voorwaarden voldoet.
3. Google PageRank - ordening van webpagina’s Het world wide web bevat volgens recente schat-
tingen 4,53 miljard geïndexeerde (=‘geïdentifi- ceerde’) pagina’s. Na het intypen van een zoek- term verschijnt een lijst met pagina’s op het scherm. Een goede zoekmachine stelt de lijst zo samen dat de meest relevante pagina’s bovenaan de lijst verschijnen. Om zo’n lijst op te stellen, moet er aan elke pagina een getal toegekend wor- den. De links naar de pagina’s die de zoekterm bevatten, worden in volgorde van de toegekende getallen op het scherm afgebeeld. De centrale vraag is: hoe stel je de relevantie vast?
Google heeft een methode ontworpen op basis van twee principes: een pagina is ‘belangrijk’ als veel pagina’s een link naar deze pagina bevatten of mogelijk weinig, maar wel veelbezochte pagina’s.
Het idee is om een ‘random surfer’ willekeurig te laten surfen, en dan te turfen hoe vaak hij gemiddeld op een pagina komt. Dit gemiddelde is de Google PageRank van deze pagina. Het probleem is: hoe kun je deze gemiddelden systematisch berekenen?
4. Treindienstregeling De makers van een nieuw spoorboekje hebben rekening te houden met een aantal eisen. De eisen betreffen bijvoorbeeld
• het aantal treinen per uur over elk traject, en het type van elke trein (sneltrein, sprinter, etc.);
• de ‘speling’ inclusief wachttijd tussen het eind van het vorige en het begin van het volgende traject. Een traject is bij voorbeeld het stuk spoor tussen twee opeenvolgende stations;
• welke treinen op elkaar moeten aansluiten en de tijdsduur van de aansluiting.
Het probleem is: maak een uur-dienstregeling die aan de gestelde eisen voldoet. Als dit laatste niet mogelijk is, moeten conflicterende eisen worden geïdentificeerd en aangepast.
5. DNA-identificatie
DNA bestaat uit twee strengen bestaande uit de 4 DNA- bouwstenen adenine (A), cytosine (C), guanine (G) en thy- mine (T) die in een dubbele helix vervlochten zijn. De volg- orde van A,G,C en T in de twee strengen is bepalend voor de functies van genen. Vergelijk van een nog niet onderzochte sequentie met een bekende kan informatie verschaffen over de functie hiervan.
Een maat om te beoordelen in hoeverre twee sequenties overeenkomen, is de lengte van de langste gemeenschappe- lijke deelsequentie. Bij voorbeeld, de twee strengen GCCC- TAGCG en GCGCAATG hebben als langste gemeenschap- pelijke deelsequentie GCCAG. Je mag hierbij dus ‘letters’
weglaten, maar de volgorde niet veranderen. Het probleem is: bepaal de langste gemeenschappelijke deelsequentie.
6. Machine vervangingsprobleem Het machinepark van een fabriek behoeft regelmatig on- derhoud. Met toenemende leeftijd nemen de onderhouds- en reparatiekosten toe. Vervanging kost echter geld. De fabrikant wil dat de planningsafdeling een onderhouds- en vervangingsplan voor de komende 10 jaar per type machine maakt. Onderhouds- en vervanginskosten worden bekend verondersteld. Het probleem is: bepaal een onderhouds- en vervangingsstrategie met minimale kosten.
7. Kyoto Protocol Het Kyoto protocol heeft afspraken tussen landen vastgelegd o.a. betref- fende de uitstoot van CO2. Laten we ervan uitgaan dat alle participerende landen het er inderdaad over eens zijn dat het reduceren van de CO2 uitstoot voor de hele gemeenschap beter is. Helaas zijn de gewenste resultaten totnutoe niet bereikt. De vraag is of dat komt doordat participerende landen niet-uitgesproken preferenties hebben, bij voorbeeld kan het individuele voordeel om de status quo te handhaven zwaarder wegen dan het algemene voordeel van CO2-reductie op de lange termijn.
We beperken ons tot de VS versus de EU. Het probleem is: is de huidige patstelling te verklaren uit een preferentie voor handhaving van de status quo?
8. Planning eerste transatlantische vlucht De eerste transatlantische vlucht in 1927 van New York naar Parijs heeft Lindbergh 65 weken aan voorbereidingen gekost. Dit betrof het verkrijgen van financiering, ontwerpen en bouwen van het vliegtuig, de test fase en het verkrijgen van diverse vergunningen. Er zijn natuurlijke restricties op de volgordes van een aantal van deze activiteiten: ontwerpen gaat vooraf aan de bouw, maar het verkrijgen van vluchtvergunningen kan gelijktijdig met het bouwen en de test fase. Voor het uitvoeren van elke activiteit staat een bepaalde tijdsduur. Lindbergh had de beschikking over schattingen van de tijdsduren van de verschillende uit te voeren activiteiten en hun onderlinge volgordes.
Zijn planningsprobleem was: wat was de kortste tijdsduur waarin de voorbereidingen getroffen konden worden. Vertragingen van welke activiteiten zouden een negatief effect kunnen hebben op de minimale voorbereidingsduur?
9. Testen van een nieuw medicijn
Voor het behandelen van patiënten met een be- paalde klacht kan een bekend medicijn gebruikt worden, waarvan de kans op genezing bekend is.
Het alternatief is een nieuw medicijn, met een nog onbekende genezingskans. Toedienen van het nieuwe medicijn vergroot de kennis van de genezingskans: als 100 patiënten het nieuwe me- dicijn krijgen, dan is het aantal genezingen ge- deeld door 100 een goede schatting voor de on- bekende genezingskans. Als die fractie laag is vergeleken bij de genezingskans van het bekende medicijn, dan worden daar te veel patiënten zeer door benadeeld.
Een beter methode om het medicijn te testen blijkt te zijn om bij elke volgende patiënt te besluiten om het oude dan wel het nieuwe medicijn voor te schrijven op grond van de tot dan toe bekende resultaten van het nieuwe medicijn.
Het criterium op grond waarvan de kwaliteit van een voorschrijfstrategie wordt beoordeeld, is het zogenaamde ‘verdisconteerde’ aantal genezen patiënten. Verdiscontering betekent dat meer waarde wordt toegekend aan een genezen patiënt nu dan later. Het probleem is: welke voorschrijf- strategie maximaliseert het verdisconteerde verwachte aantal genezen patiënten?
10. Valutahandel Bij het omwisselen van grote bedragen dollars naar euro’s is het a priori niet duidelijk of het niet goedkoper kan zijn om de dollars bij voorbeeld eerst naar Yen’s om te
wisselen, en dan naar euro’s, of zelf om een ingewikkelder omwisselschema te gebruiken. Een gerelateerde vraag is of het zelfs mogelijk is om op grond van de huidige wisselkoersen geld te verdienen door steeds maar om te blijven wisselen volgens een vast schema. Dit heet arbitrage.
We nemen aan dat er geen verschil is tussen aan- en verkoopkoersen en er geen provisie wordt gerekend.
Gegeven zijn de koersen van de verschillende valuta. Het probleem is: bepaal een zo goedkoop mogelijk omwisselschema van dollars naar euro’s.
11. Hoeveel patiënten behandel je? Een dokter heeft 100 patiënten op een wachtlijst staan voor een speciale behandeling. De behandeling heeft geen gegarandeerd succes. Bij slechts een bekende fractie p van de patiënten slaat de behandeling aan. De dokter wil het nadelig effect van mislukte behandelingen minimaliseren, maar wel alle patiënten bij wie de behandeling kan aanslaan, behandelen. De dokter zou dus willen stoppen met behandelen na de laatste succes- volle behandeling. Hij is helaas niet alwetend. Zijn doel is dan patiënten achtereenvolgens te behandelen, en te stoppen na die succesvolle behandeling, zodanig dat de kans dat dit de laatste succesvolle behandeling was, maximaal is.
Het probleem is dan: bepaal na hoeveel succesvolle behandelingen de dokter moet stoppen, zodat de gewenste kans maximaal is.
Mathematische programmering
De mathematische programmering houdt zich bezig met het optimaliseren (maximaliseren of mi- nimaliseren) van een functie onder nevenvoorwaarden.
Veronderstel dat er n beslissingsvariabelen zijn die we noteren met x1, x2, . . . , xn, en dat een functie van deze variabelen moet worden gemaximaliseerd, zeg de functie f (x1, x2, . . . , xn).
Verder nemen we aan dat er m beperkingen zijn waaraan voldaan moet worden. Zo’n beperking is ook een functie van de beslissingsvariabelen. Laat de i-de beperking gegeven worden door de functie gi(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0. Met deze notaties schrijven we de algemene formulering voor een mathematisch programmeringsprobleem als:
max{f (x1, x2, . . . , xn) | gi(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m} (2.1) Omdat voor iedere functie f geldt dat maxxf (x) = − minx{−f (x)} (het maximum van een functie f is tegengesteld aan het minimum van de ’omgeklapte’ functie −f ), zijn maximaliserings- en minimaliseringsproblemen in elkaar om te zetten. Met andere woorden, deze problemen zijn equivalent.
Beperkingen met ≥ kunnen worden omgezet in ≤ (door met -1 te vermenigvuldigen) en gelijk- heden kunnen worden vervangen door twee ongelijkheden (eis zowel ≥ als ≤, dan is dit hetzelfde als =).
Ieder mathematisch programmeringsprobleem is op deze wijze om te zetten in een probleem dat de gedaante (2.1) heeft. Als de functies f en gi, 1 ≤ i ≤ m, alle lineair zijn en als de variabelen niet-negatief zijn, dan krijgen we een zogenaamde lineair programmeringsprobleem:
max (
p1x1+ p2x2+ · · · + pnxn
ai1x1+ ai2x2+ · · · + ainxn ≤ bi, 1 ≤ i ≤ m xj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ n
)
(2.2)
2.1 Lineaire programmering
Het lineaire programmeringsprobleem (LP-probleem) heeft de gedaante max
(
p1x1+ p2x2+ · · · + pnxn
ai1x1+ ai2x2+ · · · + ainxn ≤ bi, 1 ≤ i ≤ m xj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ n
)
(2.3)
7
Hieronder geven we een aantal voorbeelden van LP-problemen. Het LP-karakter is niet altijd gemakkelijk te herkennen!
Voorbeeld 2.1 Een bedrijf produceert 4 producten: A, B, C en D. Ieder product vereist, per eenheid die wordt geproduceerd, een gegeven aantal uren werk op 3 machines en eveneens een gegeven hoeveelheid grondstof (in kg). De 3 machines zijn 400, 500 resp. 300 uur beschikbaar, en er is 150 kg grondstof aanwezig. Ieder product levert per eenheid een bepaalde winst op (in euro’s). De gegevens van dit probleem staan in onderstaande tabel.
A B C D beschikbaar
machine 1 1.0 1.0 0.5 0.5 400 machine 2 0.5 0.7 0.8 0.5 500 machine 3 0.3 0.2 0.5 0.3 300 grondstof 0.2 0.3 0.2 0.2 150
winst 5 12 6 7
Hieruit is bijvoorbeeld af te leiden dat de productie van één eenheid van product B 1 uur op machine 1, 0.7 uur op machine 2 en 0.2 uur op machine 3 nodig heeft, 0.3 kg grondstof vereist en 12 euro aan winst oplevert.
Een logische vraag die gesteld kan worden is: welk productieschema maximaliseert de winst?
Oplossing
Neem de volgende beslissingsvariabelen: xA = het aantal eenheden dat van product A wordt geproduceerd (xB, xC en xD worden analoog gedefinieerd). Het model wordt nu:
maximaliseer 5xA + 12xB + 6xC + 7xD (winst)
onder de voorwaarden
xA + xB + 0.5xC + 0.5xD ≤ 400 (machine 1) 0.5xA + 0.7xB + 0.8xC + 0.5xD ≤ 500 (machine 2) 0.3xA + 0.2xB + 0.5xC + 0.3xD ≤ 300 (machine 3) 0.2xA + 0.3xB + 0.2xC + 0.2xD ≤ 150 (grondstof)
xA, xB, xC, xD ≥ 0 (niet-negativiteit) Indien dit model met het softwarepakket ORSTAT wordt opgelost (dit pakket is te downloaden van www.math.leidenuniv.nl/˜kallenberg/lp.zip), dan vinden we als optimale oplossing:
xA= 0, xB = 100, xC = 0, xD = 600 en de winst is 5400 euro.
Voorbeeld 2.2 Snijprobleem
Bij dit probleem wordt gevraagd om uit een (willekeurig) lange rol tapijt met een breedte van 300 cm met zo weinig mogelijk afval het volgende te snijden: 550 m met een breedte van 170 cm, 800 m met een breedte van 125 cm en 500 m met een breedte van 50 cm (de stukken van een bepaalde breedte mogen uit verschillende ’losse’ stukken bestaan). Alleen guillotine snedes zijn toegestaan, d.w.z. eerst moet een bepaalde lengte van de rol worden afgesneden, waarna van dit
stuk diverse breedtes kunnen worden afgesneden. Stukken van dezelfde breedte kunnen daarna aan elkaar worden genaaid tot een stuk met een grotere lengte.
We lossen dit snijprobleem als volgt op. De breedte van 300 cm kan d.m.v. guillotine sneden op de volgende wijze worden benut:
• 1 × 170 cm +1 × 125 cm met afval 5 cm; x1 is het aantal meters tapijt dat we op de wijze versnijden;
• 1 × 170 cm +2 × 50 cm met afval 30 cm; x2 is het aantal meters tapijt dat op deze wijze versneden wordt;
• 2 × 125 cm +1 × 50 cm zonder afval; x3 is het aantal op deze wijze versneden meters tapijt;
• 1 × 125 cm +3 × 50 cm met afval 25 cm; x4 is het aantal meters tapijt dat we op deze wijze versnijden;
• 6 × 50 cm zonder afval; x5 is het aantal op deze wijze versneden meters tapijt;
Op deze wijze krijgen we, door stukken met dezelfde breedte aan elkaar te naaien, een stuk met lengte x1+ x2 en met een breedte van 170 cm, een stuk met lengte x1+ 2x3 + x4 en met een breedte van 125 cm, en een stuk met lengte 2x2+ x3+ 3x4+ 6x5 en met een breedte van 50 cm.
Als afval houden we allereerst 5x1 + 30x2 + 25x4 over, maar ook nog wat eventueel meer gemaakt wordt dan noodzakelijk is i.v.m. de guillotine snedes. Dit laatste geeft 170(x1 + x2− 55000) + 125(x1+ 2x3+ x4− 80000) + 50(2x2+ x3+ 3x4+ 6x5− 50000).
De totale hoeveelheid afval is dus: 300x1+ 300x2+ 300x3+ 300x4+ 300x5− 21.850.000. Dit is minimaal als x1+ x2+ x3+ x4+ x5 minimaal is.
Het bijbehorende LP-probleem luidt dus:
min x1 + x2 + x3 + x4 + x5
zdd. x1 + x2 ≥ 55000 (breedte 170)
x1 + + 2x3 + x4 ≥ 80000 (breedte 125)
2x2 + x3 + 3x4 + 6x5 ≥ 50000 (breedte 50) x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0 (niet-negativiteit)
Voorbeeld 2.3 L1-approximatie
Veronderstel dat n punten (xi, yi), 1 ≤ i ≤ n, in het platte vlak zijn gegeven. We willen een rechte lijn y = ax + b bepalen die deze punten het best benadert met betrekking tot de zogenaamde L1-approximatie, d.w.z. de beslissingsvariabelen a en b moeten zo worden gekozen zodat
n
X
i=1
|yi− (axi+ b)|
(dit is de som van de verticale afstanden tussen de punten en de lijn) minimaal is.
Introduceer de afhankelijke variabelen di = yi− (axi+ b), i = 1, 2, . . . , n (di is een afhankelijke variabele, want als a en b bekend zijn, dan ook di). Het probleem is nu te schrijven met als variabelen a, b en di, 1 ≤ i ≤ n:
min nXn
i=1
|di|
di= yi− (axi+ b), i = 1, 2, . . . , n o
. (2.4)
Dit is nog geen LP-probleem: absolute waarden zijn niet toegestaan in een LP-formulering en de variabelen moeten niet-negatief zijn. We merken allereerst op dat de absolute waarde van een variabele d te schrijven is als de som van twee niet-negatieve variabelen, zodat het verschil de waarde zelf is.
In een voorbeeld: als d = 4, dan is |4| is te schijven als 4 + 0 en 4 − 0 = 4; als d = −4, dan is | − 4| als 0 + 4 en 0 − 4 = −4. Algemeen: |d| = d++ d− en d = d+− d−, waarbij d+, d−≥ 0:
neem namelijk d+= max(0, d) en d−= max(0, −d).
Vervolgens moeten ook a en b vervangen worden door niet-negatieve variabelen. Met eenzelfde substitutie a = a+− a−, waarbij a+= max(0, a), a−= max(0, −a) ≥ 0, en b = b+− b−, waarbij b+= max(0, b), b−= max(0, −b) ≥ 0, is dit te bereiken.
Hieruit volgt dat de L1-approximatie is op te lossen met het volgende LP-probleem, waarin we als niet-negatieve variabelen hebben: a+, a−, b+, b− en d+i , d−i , 1 ≤ i ≤ n :
min
n
X
i=1
(d+i + d−i )
d+i − d−i + a+xi− a−xi+ b+− b− = yi 1 ≤ i ≤ n d+i , d−i ≥ 0 1 ≤ i ≤ n a+, a−, b+, b− ≥ 0
. (2.5)
Getallenvoorbeeld
Beschouw de volgende 10 getallen in onderstaande tabel en bepaal hiervoor de L1-approximatie.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 1 6 15 20 35 48 60 75 86 100 yi 13 10 -3 -2 12 19 39 46 64 75 Het LP-model voor deze data wordt:
min d+1+d−1+d+2+d−2+d+3+d−3+d+4+d−4+d+5+d−5+d+6+d−6+d+7+d−7+d+8+d−8+d+9+d−9+d+10+ d−10 onder de voorwaaarden
d+1 − d−1 + a+ − a− + b+ − b− = 13 d+2 − d−2 + 6a+ − 6a− + b+ − b− = 10 d+3 − d−3 + 15a+ − 15a− + b+ − b− = −3 d+4 − d−4 + 20a+ − 20a− + b+ − b− = −2 d+5 − d−5 + 35a+ − 35a− + b+ − b− = 12 d+6 − d−6 + 48a+ − 48a− + b+ − b− = 19 d+7 − d−7 + 60a+ − 60a− + b+ − b− = 39 d+8 − d−8 + 75a+ − 75a− + b+ − b− = 46 d+9 − d−9 + 86a+ − 86a− + b+ − b− = 64 d+10 − d−10 + 100a+ − 100a− + b+ − b− = 75
d+1, d−1, d+2, d−2, d+3, d3−, d+4, d−4, d+5, d−5, d+6, d−6, d+7, d−7, d+8, d−8, d+9, d−9, d+10, d−10, a+, a−, b+, b− ≥ 0 Met ORSTAT geeft dit de oplossing a = 0.9176 en b = −16.7647, dus de lijn 0.9176x − 16.7647, en als waarde van de doelfunctie 73.9412.
Voorbeeld 2.4 Matrixspel
Twee spelers, S1en S2, spelen het volgende spel gebaseerd op een gegeven m × n-matrix A = (aij).
Onafhankelijk van elkaar kiest speler S1 een rij en speler S2 een kolom. Als S1 rij i kiest en S2 kolom j, dan ontvangt S1 het bedrag aij van S2 (als aij negatief is, dan ontvangt S1 een negatief bedrag, d.w.z. dat hij dan -aij aan S2 betaalt).
De vraagstelling luidt: welke strategie is de beste voor S1 en welke de beste voor S2?
We moeten allereerst afspreken wat we onder een ’strategie’ verstaan. We laten toe dat de keuze van beide spelers stochastisch is, d.w.z. door loting tot stand komt. Een dergelijke strategie heet een gemengde strategie. Veronderstel dat S1 rij i met kans xi kiest (1 ≤ i ≤ m) en dat S2 kolom j met kans yj kiest (1 ≤ j ≤ n). De vectoren x en y heten de (gemengde) strategieën van S1 resp.
S2. Omdat de vectoren x en y kansvectoren zijn voldoen ze aan
m
X
i=1
xi= 1, xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m en
n
X
j=1
yj = 1, yj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ n.
De verwachting van een stochastische uitkomst is gedefinieerd als de som over alle mogelijke uitkomsten van het product van de kans op een uitkomst en de uitkomst zelf. In het geval van het matrixspel zijn de mogelijke uitkomsten de keuzes van S1 en S2, dus de paren (i, j) met 1 ≤ i ≤ m en 1 ≤ j ≤ n. De kans op zo’n paar is xiyj en de uitkomst zelf is de uitbetaling aij. De verwachte
’uitbetaling’ van S2 aan S1, als S1 en S2 de strategieën x resp. y spelen, noteren we met v(x, y).
Deze is dus gelijk aan
v(x, y) =
m
X
i=1 n
X
j=1
aijxiyj.
Als speler S1 strategie x speelt, dan is hij er in ieder geval zeker van om de minimale waarde van Pm
i=1
Pn
j=1 aijxiyj te ontvangen, waarbij het minimum wordt genomen over alle mogelijkheden van de vector y: speler S1 krijgt dus minstens
u(x) = min
m
X
i=1 n
X
j=1
aijxiyj
n
X
j=1
yj = 1; yj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ n
. (2.6)
Speler S1 wil daarom zijn strategie x∗ zo bepalen dat u(x∗) ≥ u(x) voor alle strategieën x voor speler S1. Het minimaliseringsprobleem (2.6) om u(x) te bepalen is eenvoudig op te lossen:
u(x) = min
1≤j≤n m
X
i=1
aijxi. (2.7)
Immers: als speler S1strategie x kiest, dan moet speler S2kiezen uit de uitbetalingenPm
i=1 aijxi, 1 ≤ j ≤ n. Hij zal dus kiezen voor de kleinste waarde, d.w.z. dat (2.7) juist is.
De functie x 7→ u(x) = min1≤j≤nPm
i=1 aijxi heeft de volgende eigenschappen:
1. u(x) ≤Pm
i=1 aijxi voor j = 1, 2, . . . , n.
2. u(x) is het grootste getal met eigenschap (1) (anders is u(x) < min1≤j≤nPm
i=1 aijxi).
Speler S1 wil u(x) maximaliseren over zijn strategieën x. Het bovenstaande houdt in dat u0 = max
( u(x)
m
X
i=1
xi = 1; xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m )
gevonden kan worden door het volgende LP-probleem op te lossen:
max
u0
u0 − Pm
i=1 aijxi ≤ 0, 1 ≤ j ≤ n Pm
i=1 xi = 1
xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m
. (2.8)
Op analoge wijze geldt dat als speler S2 strategie y speelt, hij er in ieder geval voor kan zorgen niet meer te hoeven betalen dan de maximale waarde vanPm
i=1
Pn
j=1 aijxiyj, waarbij het maximum wordt genomen over alle mogelijkheden van vector x: speler S2 betaalt dus hoogstens
w(y) = max
m
X
i=1 n
X
j=1
aijxiyj
m
X
i=1
xi = 1; xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m
(2.9) en hij wil zijn optimale strategie y∗ zo bepalen dat
w(y∗) ≤ w(y) voor alle strategieën y voor speler S2. (2.10) Verder geldt dat
w(y) = max
1≤i≤m n
X
j=1
aijyj (2.11)
en dat de functie y 7→ w(y) = max1≤i≤mPn
j=1 aijyj de volgende eigenschappen heeft:
1. w(y) ≥Pn
j=1 aijyj voor i = 1, 2, . . . , m;
2. w(y) is het kleinste getal met eigenschap (1).
Het bovenstaande houdt in dat w0 = min
w(y)
n
X
j=1
yj = 1; yj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ n
gevonden kan worden door het volgende LP-probleem op te lossen:
min
w0
w0 − Pn
j=1 aijyj ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m Pn
j=1 yj = 1
yj ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n
. (2.12)
Er is een algemene theorie over lineaire programmering, waaruit volgt dat de optima van de problemen (2.8) en (2.12) aan elkaar gelijk zijn:
u0 = w0. (2.13)
Getallenvoorbeeld
Beschouw de uitbetalingsmatrix
A =
−2 2 −3
1 −1 −1
0 −1 1
−1 1 −1
en laat x = (0,12,12, 0).
Dan isPm
i=1 aijxi gelijk aan 12, −1, 0 voor j = 1, 2 en 3, respectievelijk. Het minimum hiervan is -1, wat de beste keuze is voor S2: u(x) = −1.
Neem vervolgens y = (13,13,13). Dan is Pn
j=1 aijyj gelijk aan −1, −13, 0, −13 voor i = 1, 2, 3 en 4. Het maximum over deze 4 rijen is 0, wat de beste keuze is voor S1: w(y) = 0.
De LP-problemen voor S1 en S2 zijn resp.
max
u0
u0 + 2x1 − x2 + x4 ≤ 0
u0 − 2x1 + x2 + x3 − x4 ≤ 0 u0 + 3x1 + x2 − x3 + x4 ≤ 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 1
xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 4
(2.14)
en
min
w0
w0 + 2y1 − 2y2 + 3y3 ≥ 0 w0 − y1 + y2 + y3 ≥ 0
w0 + y2 − y3 ≥ 0
w0 + y1 − y2 + y3 ≥ 0 y1 + y2 + y3 = 1
yj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ 3
(2.15)
met bijbehorende optimale oplossingen (berekend met ORSTAT; merk op dat u0een vrije variabele is (d.w.z., er zijn geen a priori beperkingen aan de waarde ervan opgelegd) die dus in ORSTAT moet worden omgeschreven naar twee niet-negatieve variabelen): x∗1 = 0, x∗2 = 15, x∗3 = 25, x∗4 =
2
5, u0 = −15 resp. y1∗= 25, y2∗= 25, y3∗ = 15 en w0= −15.
De waarde van dit matrixspel blijkt dan −15 te zijn, en (0,15,25,52) resp. (25,25,15) zijn de optimale strategieën.
2.2 Geheeltallige lineaire optimalisering
Het model van de geheeltallige lineaire optimalisering verschilt van de lineaire programmering doordat de variabelen geheel moeten zijn. De formulering van zo’n probleem luidt dus:
max
n
X
j=1
pjxj
Pn
j=1aijxj ≤ bi, 1 ≤ i ≤ m xj ≥ 0 en geheel, 1 ≤ j ≤ n
. (2.16)
Soms zijn er problemen waarin sommige variabelen wel en andere niet geheeltallig zijn; we spreken dan van gemengd geheeltallige lineaire programmering. Indien alle variabelen 0 of 1 moeten zijn, dan heet het model combinatorische optimalisering. Hoewel het aantal mogelijkheden eindig is, is het in het algemeen niet eenvoudig om grotere combinatorische optimaliseringsproblemen daadwerkelijk op te lossen. Eerst bespreken we een recht-tot-recht-aan probleem en daarna een tweetal minder triviale problemen.
Voorbeeld 2.5 Projectontwikkeling
Een projectontwikkelaar beschouwt 7 mogelijke projecten (A, B, C, D, E, F en G) voor de komende 5 jaren. Ieder project vereist ieder jaar een bepaalde investering en ieder jaar heeft de project- ontwikkelaar een bepaald budget. Ieder gerealiseerd project levert een bepaalde netto contante waarde op. De data staan in onderstaande tabel (in miljoenen euro’s):
jaar A B C D E F G beschikbaar
1 40 20 25 80 20 90 50 250
2 10 30 30 40 20 25 10 125
3 25 0 20 30 20 0 0 75
4 25 0 10 10 10 10 30 50
5 10 35 0 15 10 20 0 50
netto contante waarde 250 180 225 300 150 275 200
Welke projecten zal de projectontwikkelaar kiezen als hij zijn totale netto constante waarde wil maximaliseren? Neem als beslissingvariabelen xA, xB, xC, xD, xE, xF, xG∈ {0, 1}.
Het probleem wordt dan:
max 250xA + 180xB + 225xC + 300xD + 150xE + 275xF + 200xG
40xA + 20xB + 25xC + 80xD + 20xE + 90xF + 50xG ≤ 250 10xA + 30xB + 30xC + 40xD + 20xE + 25xF + 10xG ≤ 125
25xA + 20xC + 30xD + 20xE ≤ 75
25xA + 10xC + 10xE + 10xF + 30xG ≤ 50
10xA + 35xB + 15xD + 10xE + 20xF ≤ 50
xA, xB, xC, xD, xE, xF, xG ∈ {0, 1}
Indien dit model met ORSTAT wordt opgelost, dan geeft dit als optimale oplossing:
xA= 1, xB = 0, xC = 1, xD = 1, xE = 0, xF = 1 en xG= 0 en de waarde = 1050.
Dit betekent dus dat de projecten A, C, D en F worden gekozen.
Voorbeeld 2.6 Brandweercentrales
Veronderstel dat er n plaatsen zijn waar brandweercentrales gevestigd kunnen worden. De vol- gende gegevens zijn bekend:
T = de maximale tijdsduur waarbinnen iedere plaats vanuit de dichtstbijzijnde centrale bereikt moet kunnen worden worden;
j = de kosten om een centrale in plaats j te vestigen;
tij = de tijsduur om van plaats i naar plaats j te komen.
Vraag: waar moeten de centrales gevestigd worden om de totale kosten te minimaliseren, terwijl in iedere plaats voldaan is aan de bereikbaarheidseis?
Neem als beslissingsvariabelen xj ∈ {0, 1}, 1 ≤ j ≤ n met xj = 1 als in plaats j een centrale wordt gevestigd. Laat
Nj := {i | tij ≤ T }, 1 ≤ j ≤ n,
d.w.z. Nj is de verz. van plaatsen i zodanig dat aan de bereikbaarheidseis voor plaats j is voldaan, als er een centrale in i is. Omdat iedere plaats j zelf binnen tijdsduur T bereikt moet kunnen worden, is de bereikbaarheidseis equivalent met
X
i∈Nj
xi ≥ 1, 1 ≤ j ≤ n.
Het optimaliseringsprobleem is dus als volgt te formuleren:
min
n
X
j=1
cjxj
P
i∈Njxi ≥ 1, 1 ≤ j ≤ n xj ∈ {0, 1}, 1 ≤ j ≤ n
. (2.17)
Getallenvoorbeeld Hieronder staat een tabel met reistijden tussen 5 plaatsen en de vestigings- kosten per plaats.
Van/naar Plaats 1 Plaats 2 Plaats 3 Plaats 4 Plaats 5 Vestigingskosten
Plaats 1 0 11 9 10 17 4
Plaats 2 11 0 8 12 12 8
Plaats 3 12 14 0 15 10 6
Plaats 4 9 12 15 0 13 5
Plaats 5 15 10 12 13 0 7
Als we T = 10 nemen, dan is N1 = {1, 4}, N2 = {2, 5}, N3= {1, 2, 3}, N4 = {1, 4}, N5= {3, 5}.
Het optimaliseringsprobleem is
min
4x1+8x2+6x3+5x4+7x5
x1 + x4 ≥ 1; x1 ∈ {0, 1}
x2 + x5 ≥ 1; x2 ∈ {0, 1}
x1 + x2 + x3 ≥ 1; x3 ∈ {0, 1}
x1 + x4 ≥ 1; x4 ∈ {0, 1}
x3 + x5 ≥ 1; x5 ∈ {0, 1}
.
(2.18) ORSTAT geeft als optimale oplossing: x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0 en x5 = 1 en de waarde
= 11. Dit betekent dat er centrales komen in de plaatsen 1 en 5.
Voorbeeld 2.7 Verpakkingsprobleem
Veronderstel dat we n voorwerpen hebben met gegeven volumes ai ∈ (0, 1], 1 ≤ i ≤ n. Deze voorwerpen moeten in dozen worden verpakt. De dozen zijn alle identiek met volume 1 en er
zijn voldoende dozen aanwezig, zeg n stuks. Gevraagd wordt hoe de voorwerpen in de dozen te verpakken zodanig dat zo min mogelijk dozen worden gebruikt.
Dit probleem kan worden opgelost door de volgende variabelen te introduceren:
• yj ∈ {0, 1}, waarbij yj = 0 (1) betekent dat doos j niet (wel) wordt gebruikt;
• xij ∈ {0, 1}, waarbij xij = 0 (1) betekent dat voorwerp i niet (wel) in doos j wordt verpakt;
De doelfunctie luidt: minPn
j=1yj. Verder hebben we de beperkingen Pn
j=1xij = 1, 1 ≤ i ≤ n, d.w.z. dat ieder voorwerp in precies één doos wordt gestopt. Tenslotte zijn er de beperkingen
n
X
j=1
aixij ≤ yj, 1 ≤ j ≤ n,
d.w.z. als de j-de doos niet wordt gebruikt (yj = 0), dan kan er ook niets in (xij = 0 voor alle i) en als deze wel wordt gebruikt (yj = 1), dan kan er maximaal volume 1 in (P
i|xij=1ai ≤ 1, oftewelPn
i=1aixij ≤ 1).
Het probleem is dus te formuleren als:
min
n
X
j=1
yj
Pn
j=1xij = 1, 1 ≤ i ≤ n; yj ∈ {0, 1}, 1 ≤ j ≤ n Pn
i=1aixij ≤ yj, 1 ≤ j ≤ n; xij ∈ {0, 1}, 1 ≤ i, j ≤ n
. (2.19)
2.3 Niet-lineaire programmering
Als er ook niet-lineaire functies in het optimaliseringsprobleem voorkomen, dan spreken we van niet-lineaire programmering. We onderscheiden de volgende gevallen:
a) Onbeperkte optimalisering: maxx1,...,xnf (x1, x2, . . . , xn), waarbij f een niet-lineaire functie is.
b) Beperkte optimalisering: max {f (x1, x2, . . . , xn) | gi(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0, i = 1, 2, . . . m}, waarbij de functies f en gi, 1 ≤ i ≤ m, in het algemeen niet-lineaire functies zijn.
2.3.1 Onbeperkte optimalisering Voorbeeld 2.8 Electriciteitsmodel
Beschouw een elektriciteitsnetwerk dat bestaat uit voedingspunten (P1), verdelingspunten (P2) en vraagpunten (P3). In elk voedingspunt k ∈ P1 is de ingangsspanning bekend, zeg Vk∗, k ∈ P1 en in elk vraagpunt l ∈ P3 is de gewenste uitgangsspanning ook bekend, zeg Vl∗, l ∈ P3. Bovendien is van elke verbinding (i, j) in het netwerk de weerstand rij gegeven.
Volgens de Wet van Ohm geldt voor de stroomsterkte Iij in iedere verbinding (i, j):
Iij = Vi− Vj rij
, (2.20)
met Vi de spanning in punt i. Uit de natuurkunde is bekend dat het netwerk zich zo instelt dat het totale energieverlies minimaal is, waarbij het energieverlies gedefinieerd is als
X
(i,j)
Iij2rij. (2.21)
Getallenvoorbeeld
P1 = {1, 2}; P2 = {3, 4, 5, 6, 7, 8};
P3 = {9, 10, 11}. V1∗= V2∗ = 220;
V9∗= V10∗ = V11∗ = 195.
Hiernaast staat het netwerk met de getallen r1
ij.
De voedings- en verdelingspunten zijn aangegeven met een dichte cir- kel, de tussenpunten met een open
cirkel. t d d t
d d t
t d d t
2 5 8 11
4 7
10
1 3 6 9
0.25 0.12 0.06
0.09 0.05
0.16 0.10 0.06
0.11 0.08
@
@
@
@
@
@
0.08
0.07
Om de spanning in de verdelingspunten te bepalen moeten het volgende probleem oplost worden:
min {f (V )}, waarbij f (V ) =P
(i,j)
(Vi−Vj)2
rij , (2.22)
waarbij de Vi, i ∈ P2, de onbekende variabelen zijn (voor Vi met i ∈ P 1 ∪ P2 vullen we de waarde Vi∗ in). Het minimum van een functie van meerdere variabelen kun je bepalen door de functie eerst te differentiëren naar ieder van de variabelen, hier Vi, waarbij de andere variabelen als constanten worden beschouwd (dit heet partieel differentiëren en de partiële afgeleide van f naar Vi noteren we met ∂V∂F
i). Daarna moet je deze afgeleiden gelijk aan 0 stellen.
Getallenvoorbeeld (vervolg)
De functie f (V ) = f (V3, V4, V5, V6, V7, V8) die geminimaliseerd moet worden is:
f (V3, V4, V5, V6, V7, V8) = 0.16(220 − V3)2+ 0.25(220 − V5)2+ 0.08(V3− V4)2 + 0.11(V5− V4)2+ 0.10(V3− V6)2+ 0.08(V4− V6)2 + 0.09(V4− V7)2+ 0.07(V4− V8)2+ 0.12(V5− V8)2 + 0.06(V6− 195)2+ 0.05(V7− 195)2+ 0.06(V8− 195)2.
(2.23)
De partiële afgeleide van f naar V3 is gelijk aan −0.32(220 − V3) + 0.16(V3− V4) + 0.20(V3− V6).
Op analoge wijze geldt voor ∂V∂F
i, 4 ≤ i ≤ 8:
• ∂V∂F
4 = −0.16(V3− V4) − 0.22(V5− V4) + 0.16(V4− V6) + 0.18(V4− V7) + 0.14(V4− V8);
• ∂V∂F
5 = −0.50(220 − V5) + 0.22(V5− V4) + 0.24(V5− V8);
• ∂V∂F
6 = −0.20(V6− V3) − 0.16(V4− V6) + 0.12(V6− 195);
• ∂V∂F
7 = −0.18(V4− V7) + 0.10(V7− 195);
• ∂V∂F
8 = −0.14(V4− V8) − 0.24(V5− V8) + 0.12(V8− 195).
Voor de partiële afgeleide ∂V∂F
i krijgen we termen met r2
ij(Vi− Vj) en termen met −r2
ki(Vk− Vi).
De algemene formule voor de partiële afgeleide is
∂F
∂Vi = 2 ·X
j
Vi− Vj
rij − 2 ·X
k
Vk− Vi
rki . (2.24)
Het 0 stellen van de partiële afgeleiden ∂V∂F
i, i ∈ P2, geeft dus X
j
Vi− Vj rij −X
k
Vk− Vi
rki = 0, i ∈ P2. (2.25)
Omdat Vir−Vj
ij = Iij, kunnen we (2.25) schrijven als X
j
Iij =X
k
Iki, i ∈ P2, (2.26)
m.a.w. stroom uit i = stroom in i. Deze eigenschap staat bekend als de Wet van Kirchhoff. We hebben hiermee uit het principe van minimaal energieverlies de Wet van Kirchhoff afgeleid.
Getallenvoorbeeld (vervolg)
Met een computerpakket kan nu het lineaire stelsel (2.25) (5 vergelijkingen met 5 onbekenden) worden opgelost: V3 = 214.3, V4 = 210.6, V5 = 215.1, V6 = 208.2, V7 = 205.0 en V8 = 209.0.
Hieruit volgt voor de stroomsterktes:
I1,3 = 0.912, I2,5 = 1.225, I3,4 = 0.296, I3,6 = 0.611, I4,6 = 0.192, I4,7 = 0.504, I4,8 = 0.112, I5,4 = 0.495, I5,8 = 0.732, I6,9 = 0.792, I7,10= 0.501 en I8,11= 0.840.
Merk op dat de Wet van Kirchhoff klopt (op afrondingsfouten na).
2.3.2 Beperkte optimalisering Voorbeeld 2.9 Aandelenportefeuille
Met dit voorbeeld willen we laten zien hoe wiskundige modellen kan worden gebruikt voor beslis- kundige problemen uit de financiële wereld. Voor de afleidingen hebben we wiskunde nodig die de wiskunde uit het eerste semester te boven gaat. Daarom geven we een aantal resultaten zonder bewijs. De resultaten zijn gebaseerd op analyse en stochastiek en worden in de eerste twee jaren van de studie behandeld. Wel zullen we proberen aan te geven op welke wiskundige eigenschappen de resultaten gebaseerd zijn.
Veronderstel dat we een aandelenportefeuille willen samenstellen, en dat we daartoe uit n mo- gelijke aandelen kunnen kiezen. De opbrengst Ri van aandeel i per eenheid ingelegd kapitaal is stochastisch. Laat pk(i) de kans zijn dat aandeel i een opbrengst k geeft, i = 1, 2, . . . , n (per eenheid ingelegd kapitaal). Voor aandeel i noteren we de verwachte opbrengst met µi = E{Ri} , en deze waarde is gedefinieerd door:
µi = E{Ri} =X
k
pk(i) · k. (2.27)
Naast het begrip verwachting speelt ook het begrip variantie een belangrijke rol in de statistiek.
De variantie van Ri noteren we met σ2{Ri} en is gedefinieerd door σ2{Ri} =X
k
pk(i) · (k − µi)2. (2.28)
In formule (2.28) komen de kwadraten van de termen (k − µi) voor: (k − µi) is het verschil tussen een mogelijke opbrengst k en de verwachte opbrengst van aandeel i. De variantie is dus op te vatten als een maat voor de afwijking t.o.v. de verwachte waarde. In financiële termen hebben we het dan over het risico van aandeel i. Een andere manier om tegen de variantie aan te kijken is de observatie dat σ2{Ri} de verwachting is van het hypothetische aandeel dat een opbrengst (k − µi)2 geeft als aandeel i opbrengst k geeft:
σ2{Ri} = E{(Ri− µi)2}. (2.29) We hebben hier niet met één aandeel, maar een aantal aandelen te maken, dus met een aantal stochastische waarden, waartussen ook onderlinge relaties bestaan. In statistische termen heten dit covarianties. De covariantie tussen aandeel i en aandeel j noteren we met σij en is gedefineerd door
σij = E{(Ri− µi)(Rj− µj)}. (2.30) De covariantie is dus weer te interpreteren als de verwachting van het hypothetische aandeel dat een opbrengst (k − µi)(l − µj) geeft als aandeel i opbrengst k geeft en aandeel j een opbrengst l.
In het college Kansrekening en Statistiek wordt aangetoond dat de covariantie een maat is voor de afhankelijkheid tussen twee stochasten: als σij = 0, dan zijn de aandelen i en j onafhankelijk; als σij > 0, dan zijn de aandelen i en j positief gecorreleerd (als de opbrengst van aandeel i toeneemt, dan ook de opbrengst van aandeel j); als σij < 0, dan zijn de aandelen i en j negatief gecorreleerd (als de opbrengst van aandeel i toeneemt, dan neemt de opbrengst van aandeel j af).
Aan formule (2.29) zien we ook dat als i = j de covariantie van aandeel i met zichzelf de variantie geeft:
σii= σ2{Ri}. (2.31)
Beschouw nu het volgende beslissingsprobleem: gegeven zij dat we een bedrag, zeg ter waarde 1 hebben. Welk deel hiervan zullen we investeren in aandeel i voor i = 1, 2, . . . , n? We willen hierbij een minimaal risico, maar tegelijkertijd een bepaalde verwachte opbrengst, zeg opbrengst R. De beslissingsvariabelen zijn xi, waarbij Pn
i=1 xi = 1, want we hebben één eenheid (bijvoorbeeld 1.000 euro) aan geld te besteden. xi heeft dus de interpretatie van de fractie van je kapitaal dat in aandeel i wordt geïnvesteerd. Deze x heet de aandelenportefeuille.
Zonder bewijs (wordt in een later college Kansrekening en Statistiek gedaan) geven we voor een aandelenportefeuille x de formules voor de verwachte opbrengst R(x) en het risico V (x):
R(x) = Pn
i=1 µixi; V (x) = Pn
i=1
Pn
j=1 σijxixj.
(2.32)
