Step-size control and corrector methods in numerical

(1)

Step-size control and corrector methods in numerical

continuation of ocean circulation and fill-reducing orderings in

multilevel ILU methods

Arie de Niet

Department of Mathematics

(2)

(3)

Master’s Thesis

Step-size control and corrector methods in numerical

continuation of ocean circulation and fill-reducing orderings in

multilevel ILU methods

Arie de Niet

Supervisor:

Dr.ir. F.W. Wubs

Department of Mathematics University of Groningen P.O. Box 800

9700 AV Groningen August 2002

(4)

(5)

! "

"

# $ %$ " # $ "

! " "

" &' # $ # $

! " (

" &' (

)

* "

" +,*-.! " "

"

$ / "

*-. ! *-. (

$ +,*-. 0 & '

(6)

(7)

0 #

0 0 (

0 +

) # $ 0

0 *"

!"#!$

%

& # * '

(

) *+ ,-

) # $ +

) &' +

)) " &'

) . )

/

+ / 0

0

& 0

,

) , & 1

'

22

3 /

-

!

0 0

4" (

" "

)

. / + 0 )

) . (

, ' &

(8)

'

& +

* .($

) & 0 1

,

1

" * .($ '

" & 0

, ' ,

1 4." & (

0

0 + $ . &' $ & 1

* -. ( )'

*-. )

+.+*-. )

+ , *-. )

+ + )

) 4 + )

) & )

+ ))

. )

* ,

,-

)

1 + " )

1 # . )

1 *-. # . )

1) . & )

1

1 , 0 (

1 , & ' (

1 ,

%

0 -

0

- 0 3%

/- - 0 3

" # 3

(9)

" "

" * +

. *+.

" $

$ ' $ /

"

* / $

" $ $

( * $ (

)$ $ & (

! $ $ "

&' $ (

$ " * $ " "

+,*-. +,*-. $

& ' '

$ " " / (

! " " " " $ "

" & $ $ "

$ 1 /

" *-. ' +,*-. ! -. (

. "

$ +,*-. '

(10)

(11)

* $ ! $

$ & 1) ) 41' $

$

" "

$ " "

'

, ( #" & '

* "

$ $

'!

*

" " " "

"#'$ & / " $%&'

" "

()*+,*-.+,)*

$ / $ * "

/

$ " & $

" " '

% $ " $ /

$

$ *

'$ " $

! $ $

"

*

'

$ /

&

! " * / $

" ! $' "

$ *-012,(.3 ()*+,*-.+,)*

(12)

( ( #$ $ " "

' $

!

" "# " # '$

$ $ " (

" ( / ( "

" $ "

"

$ " $ $ "

%

* $

" " $ $

$ (

$ " / " !

&

( " $ &

/

"

#

"

'

(

/

!

" "

$ "

! $ '$ -

'

#

$

'

$

" " $ '$ /

"

#

"

# ! )

& ) $

"

#

!

* $ "

$ $ 0

$ $ $ " -312!"1#+)*

$ ( # $ ( " /

# $%

%

$ %

%

" "

$ "

$ # $ & !!!

'

($

(

&'

( #

(13)

" /

/ $ '$ %

%

*

& $ $ $ " " $

" " $ " * $

" " $ '$

/ %

%

$

%

) %$ "

$ " " "

! '$ / %

%

$ (

1(.*+ 21,(+)2 / /

* # $ $ " " $

'

(

$

'

1

$

" " $

" " " $

#

" "

/ * $ "

" $

$

! '

$ $ $

" ( '"

$

#

$

# $

$

!

#$ $

'

!

*

'

"

$

#

$

'

$

! )

#$

$

'

$

!

&( # $ $

'

"

$ )

$ $

" $

$

# $

$ "

$ " ( ( $ "

(14)

"-012,(.3 ()0-+.+,)* ) 12,.+,1

2(31*+ .2.01+12,.+,)* ()0-+.+,)* )

) )*+2-(+,)* ) .(),.* 0.+2,

)*+2-(+,)* ) 21()*,+,)*12 )2

3 )3-+,)*

)

+10

'

)3-+,)*

)

+10

)0-+.+,)*

)

.*

)0-+.+,)* )

.*

%

.+1

#

2),0.+,)* ) "1#+)* 122)2

- # $

%

" " " " "

/

' $

$ "

"

#

'!

,

"

!

$ " " $

#$ " "

$

&

"

$

"

$ $

"

#

"

!

$ /

%

$ " "

" $

%$ " $ "

" " '

- " - "'

" % "

'

" "

! "

" $ ! " ( * $

# $ $ ' . $

( / " * $ "

(

* &

$ # $ %$ "

"

# $ * ) $

" # $

(15)

+,*-. " * ** $

" +,*-. "

(16)

" ( /

(

$ " ( "

" $ $ ( '

* ( " # $ $ "

* (

$ $ (

( (

! " $

"

$ $' $' $ "

! $ ' $ ' " $

" # $ (

(

$

$ "

/ $ * $ /

* ( $ $ # $ $ $ " '

$ &

$ $ # $

$ ! " $ $ & & 1) )

' )+,0.3 *-012 ) ,+12.+,)* -

# $ $ ' (

$ '

$ ( $ $

!

* $ # $ $ (

# $ " $

( $

(17)

'!

!

#$ $

(

! "

* # $

$ " " " "

$

& $ $ " "

* "

$' $

.

" (

"

& $ " / $ (

$ ( /

" ( " $

( " $ $ $ ' '

$' " (

"

+2,.3 .* 122)2

$ ( $

" " $

$ ( '

'

$

$ $

' (

%

"

$

* $ ( $ $

"

(18)

* $ " "

'

$ $ " *

# $ $ " " *

$ " " $ "

$ " " " " " $

$ 1 - "' ! $ $

# $ "

* $

'

- (

'

$

(

! " # $ * $

$ $

$

(

&'

(

&'

(

'

( '

$

(!

+ "

'

(

" " + " -.2.+,(" "

# $

(

&'

(

'

& $ " # $ $ "

$ $

" " " $

.2.3313 ()2 01+) $ "

(

&'

(

'$

(

(19)

! $ " " "

$ "

(

#$ "

"

3,*1.2

(

&'

(

' $ "

$ # $

"

'

$ ' / / # $

$

"1#+)*!()2 01+)

.0.*,, 01+) $ # $ # $

$ # $

( $ "

'

(

'

(

'

$

(

&'

(

'

(' $

(

&'

! $ # $ $ $ # $

* $ # $ &'

' $ # $ "

$ " " "

* " ( "

$ $ '

(

&'

(

!

( " $ & "

$ # $ # $

! &'

"

..+,1 .0.*,, 01+)

# $ " $ " ' # $ $

$ # $ # $

'

' " "

%$ " $ " $ $ ' " # $

# $ $

(20)

# $ ( " # $

*

(

& $ # $

$ "

(

&'

(

# $

(

&'

((

"

(((!

$ $

/

$ $ $

( ( $($ ! )

$ $ ( '

* $ " $ (

(

! "

" "

" * # $

# $ $ * " '

# $ $

" " &' "

/ $ # $ # $

" &' "

"

(21)

* " $ ( $ "

( (

"

$ # $ " # $

# $ # $

/ $ ( "

( (

" $

(

! $

/

$ (

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

inf−norm of u

lambda

/

$

/

$

/

$ "

! " $

'

$ #

'

$

' '$ )3,

-13 , *,+,)* 2)310 *

-" 4

/ $

$ '

"

*

"

" "

" * "

(22)

(

" ! ' '

' $

* '

' $ "

' &

' ' "

! " $

$

$ -. ( "

/ / ( &

'$ 1

" "

'

$ " "

""

( $ .&!' $ '$

"$ "

" ' $

"

0 2 4 6 8 10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

temperature coeff

overturning (Sv)

!

# $

* $ " "

$ " '1 '$

( "

$ (

"

&" &"

"

*

!1 ' '

$$ '

.' *+. . $

.&!'

$ * $

( $

(23)

* $ / # $ # $

" &' " ( $

" " ! "

" ) # $

1 $

$ $ )

# $

' $ $

( " ( !

( '

$ $ $ $

( $'

!

" (

$ "

! (

$ " ( ( "

* $

' / ' $ "

( / ( ! " " "

$ ( '! !

* $

" -. ( " !

$ $ " " " $

"

*-. -. (

"

$

+

" " (

" (

*$ ' " " &'

/ $ # $ $

# $ $ $

" " -. ( -.

" &' # $

/ $ # $

"

$ & -. (

"

-. ( "

$ " $

$

-. $ #$

!

(24)

# $ )

# $

&' 1 )

,

"

* $ "

'!'

'!' "

" &' $ )

-. (

$ -. ( & $ " #

" &'

" &' $

" " &' - "'

* / # $ " &' -. (

" $ -. ( "

" &' $ -. ( / "

"

-.

" &' 1 )

, " &'

" " &'

# $ & " $

" &' " " "

$

/ ( $ )! !

" $ $ "

! ' " &' $ # $

( "

" &'

$ $

$ $ "

# $ " &'

* " -. ( $ " " * "

&' ' # $ %$ "

$ # $

! " " ( !

! '

" &' $ ( !'

/ $ " #

(25)

0 1 2 3 4 5 6 7 0

1 2 3 4 5 6

lambda

inf−norm of u

2 4 6 8 10 12 14 16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

step

step size

!" # $ % &'(

) ) * + ,

%

) -

.)%

/ + !"

% % - 0) %

1 % - %

+% 2

3 % +

45 6 789:;<9 =>? @A8BC DE?A:;B<E>C

- %

/ %

!" / % % %(' &'& +

% - %

-F)%% -& 3G

!" HIJ

K% F L L MF MF &NO

K% P $ &NM $NL

2 $ LM F N &FM $O

- F Q

H % ) %

+ - R 2 K% P

K% ) % R %

+ / +3

-

)% F

- %

+ !" # $

%

(

'$ - %

(26)

0 2 4 6 8 10 0

5 10 15 20 25 30 35 40

temperature coeff.

overturning (Sv)

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

step

step size

F

!" #$%

( '$

/ % ) P

/ -

3

454 D>CA;:9E>C9

/

H ) %

/

G

+ %

!"

% ) ) %

% /

%

- % G F

H K% + 3 K% P

+

)

- 3 + ) %

/ % L$) R +)

K% % .3 ) % .3 .+

% - -

- + R

) + %

L

(27)

# $ ) $ / ( )

&' $ / ( ' '

&' $ ( )

# $ " &'

/ ( '

)

& "

(28)

(29)

* $ " " $

$

$ +,*-. $ 4+,(& "

" " " $ " +,*-.

! " "

&'

" $ " +

" +,*-. "

$ " #" & '

* $

#" & ' "

" (

$ $

/

* $ $ $ "

" / * 1 $ "

+,*-.

! $

#

$

#

$

$ $

" "

" /

& " / ' "

'

!

"

!

& #" & '

& '

'

& $ "

1*12.3,1 & '

$ '

#" & '

(30)

#

$

# ! )

*$ $ " #" & ' " "

$

. ( "

$

$ "

*

$ " $ ( " "

* #" & ' " / $ "

&'

#

#$

$ "

&'

" "

&'

!

++&'' $

$

/

% $ " " &

&' &11

$

#

$ #

( "

( +

""

(

$

/ " "

* $

$

&

* " " /

$

" "

1) $ ( " $

(

$

* $ " $

$ "1#+)* 3,*1.2,.+,)* $ " "

$ " " $

#

$

#

$

$ #

$

!

& /

&'

. ( " "

" ( * $ / $

)

(31)

$ /

3 21.3 -.21 0.+2, , 001+2,(

,

)2 .33 .*

* / * (

$ "

/

3

21.3 -.21 0.+2, ,),+,1 1*,+1 , ' )2 .33

3

21.3 -.21 0.+2, ,),+,1 10,1*,+1 , ' )2 .33

3 )

21.3-.210.+2, , ,*1*,+1, ')2 )01 .* ')2 )01

)+12

" / " " " *

" " !

# ' $

' $

/ * " /

" /

! / & '

" / ' " /

& 0' 0 / " /

* $ " /

" / %$ " " / " /

'

/ / / ( &

'

!

*

"

* & ' $ .

"

/ % " &

'

#

'

' "

' " & /

$ * $

$

* $

$

' $ *

$ "

'

!

(32)

* & ' $ .

$

(

- ( 0

" "

"

* $ " " $

$

'

/ #" & ' +

$

.&!' *

'

' $ "

" & $ $

"

" $ (

' $

"

/ %$ " $ $ /

* " $ "

* $ $ "

! $ "

/

$

!

" (

4 ( $