Gecijferdheid laboratoriumonderwijs
Vervoort Boeken
Gecijferdheid Laboratoriumonderwijs
Didactisch concept : Vervoort Boeken
Grafisch ontwerp: uwontwerp.nl Eindhoven Versie 2019
ISBN 978-90-79798-15-5 © Vervoort Boeken
Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgavemag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door
fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande toestemming van de uitgever.
Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 B Auteurswet 1912 jo het Besluit van 20 juni 1974, Stb. 351, zoals gewijzigd bij het Besluit van 23 augustus 1985, Stb. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 3060, 2130 KB
Hoofddorp). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden.
2 Verantwoording Gecijferdheid Laboratoriumonderwijs 2019©Vervoort Boeken
Gecijferdheid Laboratoriumonderwijs
Dit zou het dan moeten zijn!
Een basisboek voor het laboratoriumonderwijs waarin de basisvaardigheden van rekenen en wiskunde worden toegepast in een diversiteit aan contexten van het vakgebied.
Studenten hebben een voorkennis van rekenen opgedaan in het basisonderwijs (1F) en het voortgezet onderwijs (2F).
Deze rekenvaardigheden worden uitgebreid en toegepast. Er wordt gewerkt met decimale getallen of kommagetallen.
Hierbij wordt veel aandacht besteed aan de opbouw van getallen, want dat is belangrijk om een goed inzicht te hebben in de nauwkeurigheid van getallen.
Bij berekeningen met getallen van verschillende significantie wordt de
nauwkeurigheid van het antwoord bepaald door de soort van bewerking en de waardes met de minste nauwkeurigheid.
Goed gebruik van wetenschappelijke notatie en/of voorvoegsel is belangrijk om een goed beeld te hebben van de grootte van de getallen.
Enkele voorbeelden:
Berekeningen als 1000 × 0,001 = 1 en 2ꞏ103 × 3ꞏ10-3 = 6 kun je uiteraard uitvoeren zonder rekenmachine.
Als je exact wil berekenen hoeveel 2× 992 is dan gebruik je je
rekenmachine, maar je hebt wel door dat het antwoord ongeveer 20.000 of 2ꞏ104 of 20 k moet zijn.
2000 20.000
0,1 = want delen door 0,1 is hetzelfde als vermenigvuldigen met 10.
Zit er in het getal 2000 een onnauwkeurigheid van 100 dan heeft dat een veel kleinere invloed op het antwoord dan een onnauwkeurigheid van 0,1 in het getal onder de deelstreep. Voor een nauwkeurig antwoord moet het getal 0,1 veel nauwkeuriger bepaald worden en evenveel
betekenisvolle cijfers bevatten als het getal 2000. Significantie is belangrijk bij berekeningen met meetwaardes.
3
7 betekent 3 van de 7 , maar kan ook betekenen hoe vaak 7 in 3 past en het kan ook een verhoudingsgetal zijn om een bepaalde eenheid om te rekenen.
1000 kg/m3 is dezelfde dichtheid als 1 g/cm3 omdat 1 cm3 1000 × zo klein is als 1 dm3 en 1 dm3 weer 1000 × zo klein is als 1 m3.
Rekenmachines leveren allerlei antwoorden, afhankelijk van de kwaliteit en alertheid van de bediener. Een vat van 2 m hoog met een diameter van 1 m kan uiteraard nooit een inhoud hebben 2ꞏ10-3 m3.
De studenten hebben in het voortgezet onderwijs bij het vak wiskunde voorkennis opgedaan in het rekenen met letters ofwel het gebruiken van formules en grafieken.
Dat wordt nu toegepast met het omvormen van formules of omzetten van eenheden.
3 Verantwoording Gecijferdheid Laboratoriumonderwijs 2019©Vervoort Boeken PhET -simulatie oplossen zout
De studenten hebben in het voortgezet onderwijs kennis gemaakt met een aantal basisverschijnselen van de natuurwetenschappen, zoals dichtheid, zwaartekracht, elektriciteit, snelheid , licht en eenvoudige begrippen uit de chemie en biologie.
Deze basiskennis is toereikend om met behulp van allerlei beroepscontexten de reken- en wiskundige vaardigheid nog eens te beoefenen in een betekenisvolle leeromgeving. Formules en grafieken krijgen in een motiverende omgeving veel meer betekenis.
Enkele voorbeelden:
Hoe kun je met behulp van papier met een dichtheid van 80 g/m2 de oppervlakte bepalen van een stuk metaal met een willekeurige vorm?
In de chemie gebruikt men de eenheid mol om het aantal deeltjes aan te geven en de eenheid u om de massa van de deeltjes aan te geven.
Hoeveel mol atomen zitten er in 1 gram lucht en hoeveel u weegt 1 molecuul water?
Als je een oplossing 10 × wil verdunnen moet je van het origineel 1 deel nemen en dat aanvullen met 9 delen water. Als je de verdunde oplossing vervolgens weer 10 × verdund, heb je een verdunning van 100×
Als de lucht bij een bepaalde temperatuur een relatieve vochtigheid heeft van 60% , dan bevat de lucht 60% van de maximale hoeveelheid water die in de lucht kan zitten. Als de temperatuur hoger is kan er meer water in de lucht zitten. Er zijn allerlei verbanden mogelijk die je met grafieken en/of formules kunt vastleggen.
Het (e)boek bevat ook verschillende simulaties om zelf onderzoek te doen.
Simulaties van een verschijnsel uit het vakgebied van applied science, maar ook wiskunde-applets om verbanden te onderzoeken.
De applets kunnen direct vanuit het (e)boek geactiveerd worden via een Q-code of internetlink.
E4.5
E4.4
4 Verantwoording Gecijferdheid Laboratoriumonderwijs 2019©Vervoort Boeken
E2 E1
Voor studenten die extra uitleg en oefening nodig hebben om de voorkennis op het gewenste niveau te brengen zijn er inmiddels vele interessante sites.
De link hiernaast naar de site van math4all is daar een voorbeeld van.
Dank aan de collega’s van verschillende laboratoriumscholen voor hun kritische opmerkingen en een speciaal woord van dank aan onze fans en familie voor hun niet aflatende ondersteuning.
december 2019 Schijndel, Eindhoven Jos Vervoort
Teo Kleintjes
Beiden een leven lang leraar en schrijver van leermiddelen op het gebied van wiskunde, natuurkunde, scheikunde, procestechniek en leren leren.
Gemotiveerd om iedereen, in het bijzonder jonge mensen, het gevoel te geven dat je heel veel kunt leren als je bereid bent om er moeite voor te doen.
De nieuwe technologische mogelijkheden hebben hun nadelen maar kunnen bijdragen tot een leeromgeving die alleen beperkt wordt door je eigen interesse.
Site www.vervoortboeken.nl met allerlei ondersteunend materiaal
Activiteiten op twitter met interessante items voor de exacte vakken en onderwijs in het algemeen.
Activiteiten op Linkedin met interessante items voor de exacte vakken en onderwijs in het algemeen.
Inspirerend filmpje van een gesprek tussen docent en student over hun onderwijservaringen, gepubliceerd door het ministerie van onderwijs.
E4.1
E4 E3
5 Inhoudsopgave Gecijferdheid Laboratoriumonderwijs 2019©Vervoort Boeken
Inhoudsopgave Gecijferdheid Laboratoriumonderwijs
Hoofdstuk 1 Rekenen met getallen 8
1.1 Decimale getallen
Opbouw, uitspraak en notatie decimale getallen
8
1.2 Optellen en aftrekken van decimale getallen Optellen van decimale getallen
Aftrekken van decimale getallen Rekenen met negatieve getallen
14 14 15 19 1.3 Vermenigvuldigen en delen van decimale getallen
Vermenigvuldigen van decimale getallen Delen van decimale getallen
19 19 21
1.4 Breuken, decimale getallen en percentage Breuk
Breuk, decimaal getal, fractie en percentage Gelijkwaardige breuken
23 23 25 27 1.5
Basisbewerkingen +, -, x, : met breuken Optellen en aftrekken van breuken Vermenigvuldigen en delen met breuken
31 31 32
1.6
Machtsverheffen en worteltrekken
36 Machtsverheffen en worteltrekken
Machtsverheffen
36
Worteltrekken 37
1.7 Praktijk van het rekenen 39
Hoofdstuk 2 Rekenen met meetwaardes 42
2.1 Grootheden en eenheden 42
2.2 Machten van 10, wetenschappelijke notatie en voorvoegsels 43
2.3 Coherente eenheden 45
2.4
2.5
Omzetten van eenheden
Lengte- oppervlakte- en volume-eenheden Eenheden met ‘per’ zoals kg per m3
46 46 47
Significantie en juiste afronding Significantie
De juiste nauwkeurigheid noteren bij antwoord berekening
48 48 50
6 Inhoudsopgave Gecijferdheid Laboratoriumonderwijs 2019©Vervoort Boeken Hoofdstuk 3 Bewerkingen met letters, algebra 55
3.1 Formules en bewerkingen met letters
Optellen en vermenigvuldigen van termen en factoren met cijfers en letters
Werken met letterbreuken
56 56 59
3.2 Isoleren van een variabele 62
Hoofdstuk 4 Tabellen, formules, grafieken en toepassingen applied science
65
4.1 Verband weergeven met tabellen en verhoudingsgetallen Verband vastleggen met formule
Verband weergeven met grafiek
66 69 71
4.2 Meetkundige vormen 76
4.3 Dichtheid
Berekeningen aan volume, massa en dichtheid Dichtheid bij mengsels en oplossingen
Materiaal is opgebouwd uit atomen Dichtheid: drijven, zweven of zinken
81 82 86 89 95
4.4 Concentratie en molariteit
Formule opstellen voor lijn door 2 punten
Formule opstellen voor regressielijn door meetpunten Eenheden voor concentraties
99 102 103 106
4.5 Vochtigheid 107
4.6 Snelheid en toerental 111
4.7 Opwarmen en vermogen 112
Index 120
1. Rekenen met getallen
1.1 Opbouw, uitspraak en naamgeving decimale getallen
1.2 Optellen en aftrekken decimale getallen, negatieve getallen
1.3 Vermenigvuldigen en delen decimale getallen
1.4 Breuken, decimale getallen en percentage
1.5 Basisbewerkingen +, -, × en : met breuken
1.6 Machtsverheffen en worteltrekken 1.7 Praktijk van het rekenen
Leerdoelen
Door middel van de basisonderwerpen van rekenen krijg je inzicht in de opbouw van de getallen.
Hierdoor kun je ze op de juiste manier uitspreken.
Hierdoor krijg je beter beoordelen of het berekende antwoord realistisch is.
Hierdoor kun je beter werken met
voorvoegsels en wetenschappelijke notatie, een belangrijke vaardigheid voor juiste notatie en nauwkeurigheid.
Je krijgt inzicht in de betekenis van negatieve getallen en kunt deze gebruiken om
verandering van een proces te beschrijven.
Door middel van rekenen met breuken krijg je inzicht in begrippen als fractie en
percentage ,zoals massa- en molpercentage.
Tevens is vaardigheid met breukrekenen belangrijk voor het kunnen omvormen van eenheden en formules.
Je leert de basisvaardigheden van
machtsverheffen en worteltrekken. Ook deze zijn belangrijk voor het omvormen van eenheden en formules.
Alle vaardigheden komen bij alle
hoofdstukken telkens terug, zodat toepassing in beroepscontexten zich continu ontwikkeld.
Een goede laborant vult geen formule in zonder uit te kunnen leggen welke getallen heel erg belangrijk zijn.
8 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
1 Rekenen met getallen
1.1 Decimale getallen
Opbouw, uitspraak en notatie van een decimaal getal
Een decimaal getal is opgebouwd uit de cijfers 0 t/m 9 en de waarde van de cijfers hangt af van de plaats.
voorbeeld 1:
523,24
523,24 = 5 × 100 + 2 × 10 + 3 × 1 + 1 × 0,1 + 4 × 0,01
Als een decimaal getal cijfers achter de komma heeft wordt dit ook wel een kommagetal genoemd. De cijfers achter de komma noemt men decimalen.
voorbeeld 2:
207.709.462,953
In plaats van “komma negen honderd drie en vijftig” kun je ook zeggen “negen honderd drie en vijftig duizendsten”.
Het plaatsen van punten bij grote getallen is een hulpmiddel om het getal beter te overzien.
In Engelstalige landen worden komma en punt andersom gebruikt.
Op een rekenmachine kun je dat instellen!
207.709.462,953= 2 × 100000000 + 0 × 10000000 + 7 × 1000000 + 7 × 100000 + 0 × 10000 + 9 × 1000 +
4 × 100 + 6 × 10 + 2 × 1 + 9 × 0,1 + 5 × 0,01 + 3 × 0,001
In 207.709.462,953 staan tussen de 2 en de komma 8 cijfers, vandaar × 100000000 In 207.709.462,953 staan achter de komma 3 cijfers, vandaar × 0,001
Je kunt de opbouw van een getal ook weergeven in een schema Zoals in figuur 1.1
Hierbij kun je kiezen voor een indeling van aantal x 100 miljoenen, aantal 10 miljoen, aantal x 1 miljoen, aantal x 100 duizend ,enz.
Je kunt ook kiezen voor aantal x miljoen, aantal x duizend, aantal x 1 ,enz.
Deze laatste indeling maak je ook bij het uitspreken van een getal.
vijf honderd drie en twintig komma vier en twintig
twee honderd zeven miljoen, zeven honderd en negen duizend, vierhonderd en twee en zestig, komma negenhonderd drie en vijftig decimaal
getal
komma getal
9 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken Schema:
1 0 7 7 0 9 4 6 2
,
9 5 3100.000.000 10.000.000 1.000.000 100.000 10.000 1000 100 10 1
,
0,1 0,01 0,001
107 709 462
,
9531000000 1000 1
,
0,001
Figuur 1.1 schema opbouw getal
107 miljoen + 709 duizend + 462
,
+ 953 duizensten uitspraak: “107 miljoen, 709 duizend, 462 komma 953”voorbeeld 3:
Getal : 25,35
2 5
,
3 510 1
,
0,1 0,01
25
,
351
,
0,01
Figuur 1.2 schema opbouw getal 25 + 3 tienden + 5 honderdsten
uitspraak: “25 komma 35” of “25 en 35 honderdsten
voorbeeld 4:
Getal: 1,0367
1 + 3 honderdsten + 6 duizensten + 7 tienduizendsten
uitspraak: “1 komma 0367” of “1 en 367 tienduizendsten
10 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken Overzicht machten van 10
Figuur 1.3 Tabel met machten van 10
1.000.000.000 wordt ook wel geschreven als 109 of 1·109 of 1×109
Het getal 1.000.000.000 wordt dan geschreven als een macht met grondtal 10 en exponent 9.
We komen hier later op terug bij de onderdelen machtsverheffen en wetenschappelijke notatie.
2ꞏ109 betekent 9 nullen achter het cijfer 2, dus 2000000000 0,0000001 wordt ook wel geschreven als 10-7 of 1·10-7 of 1×10-7
Het getal 0,0000001 wordt dan geschreven als een macht met grondtal 10 en exponent -7.
2ꞏ10-7 betekent 7 nullen voor het cijfer 2, dus 0,0000002 voorbeeld 5:
10.000 = 104 4 nullen achter de 1 0,01 = 10-2 2 nullen voor de 1
2.000.000.000 wordt ook wel geschreven als 2·109 of 2×109 0,00000002 wordt ook wel geschreven als 2·10-8 of 2×10-8 Alle getallen kun je schrijven als een som van machten van ‘10’.
7.709.462,903 =
7×106 + 7×105 + 0×104 + 9×103 + 4×102 + 6×101 + 2×100 + 9×10-1 + 0×10-2 + 3×10-3 = 7×106 + 7×105 + 9×103 + 4×102 + 6×101 + 2×100 + 9×10-1 + 3×10-3
0,023 = 2×10-2 + 3×10-3
12,5 =
1×101 + 2×100 + 5×10-18×106 + 1×105 + 4×102 + 2×100 = 8.100.402 3×100 + 5×10-2 + 3×10-4 = 3,0503
1.000.000.000 109 miljardtallen
100.000.000 108 honderdmiljoentallen
10.000.000 107 tienmiljoentallen
1.000.000 106 miljoentallen
100.000 105 honderd duizendtallen
10.000 104 tienduizendtallen
1000 103 duizendtallen
100 102 honderdtallen
10 101 tientallen
1 100 eenheden
0,1 10-1 tienden
0,01 10-2 honderdsten
0,001 10-3 duizendsten
0,0001 10-4 tienduizendsten
macht grondtal exponent
11 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
Opgave 1.1 Opbouw getallen 1
Schrijf de volgende getallen als een som van factoren van ‘10’ en als een som van miljoenen, duizendtallen, eenheden en duizendsten, enz.
Gebruik schema van voorbeeld 2.
Dit schema kun je ook uitprinten via tools/afbeeldingen/1a op de site.
a 712.903.298,457 b 12,78
c 4503,25
Opgave 1.2 Opbouw getallen 2
Schrijf de volgende getallen als een som van machten van 10 zoals in voorbeeld 5.
a 712.903.298,457 b 12,78
c 4503,25 d 0,027 e 103000
Opgave 1.3 Opbouw getallen 3
Schrijf de onderste optellingen op als één decimaal getal zoals in voorbeeld 5.
a
7×106 + 7×105 + 9×103 + 4×102 + 6×101 + 2×100 + 9×10-1 + 3×10-3 b 8×105 + 7×103 + 4×102 + 6×101c 6×100 + 2×100 + 9×10-1 + 3×10-3
Opgave 1.4 Waarde van een cijfer wordt bepaald door zijn plaats Geef de waarde van het gearceerde cijfer(s) in onderstaande getallen.
a 234678,34 waarde 4 is 4000 of 4·10
3b 0,00415
c 60002
d 23.204.987,78 e 1.000.678,94
Opgave 1.5 Getallen aflezen op een schaalverdeling
Vul de juiste getallen in op onderstaande schaalverdelingen.
12 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
E1.1
Opgave 1.6 Getallen aflezen op een schaalverdeling
Vul de juiste getallen in op onderstaande schaalverdelingen.
Behoefte aan meer oefening?
Op deze site kun je extra opgaven maken.
Je kunt hierbij kiezen uit verschillende schaalverdelingen.
13 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
Decimaal getal groter of kleiner maken met een door de komma te verplaatsen Als je een getal met 10 vermenigvuldigt schuift de komma een plaats op naar rechts.
Als je een getal met 103 vermenigvuldigt schuift de komma 3 plaatsen op naar rechts.
voorbeeld 6
12,34 × 10 = 123,4 (1 plaats naar rechts →) 12,34 × 1000 = 12340
0,012 × 1000 = 12
1,2 × 105 = 120000 ( maal 10 geeft 12)
1,2×103 × 1000 = 1,2×106 of 1200 × 1000 = 12000000
Als je een getal door 10 deelt schuift de komma een plaats op naar links.
Als je een getal door 103 deelt schuift de komma 3 plaatsen op naar links.
voorbeeld 7 12,34 : 10 = 1,234
12,34 : 1000 = 0,01234 ( 3 plaatsen naar links ←) 0,012 : 1000 = 0,000012
1,2 : 105 = 0,000012 1,2×106 : 103 = 1,2×103 voorbeeld 8
0,05 = 5 : 100 0,001 = 1 : 1000 10-4 = 0,0001 = 1 : 104 30000 = 3 × 10000 = 3×104 voorbeeld 9
500 × 0,02 = 5 × 2 = 10 (500 wordt 100× kleiner en 0,02 wordt 100× groter) 0,002 × 5000 = 2 × 5 = 10
60 × 0,003 = 0,060 × 3 =0,18
Opgave 1.7 Maak de volgende getallen 100 × kleiner
a 11,5 : 100 =b 1,23 : 100 = c 0,023 : 100 = d 10000 : 100 =
Opgave 1.8 Maak de volgende getallen 1000 × groter
a 11,5 × 1000 =b 1,23 × 103 = c 0,023 × 1000 = d 10000 × 1000 =
Opgave 1.9 Getal vermenigvuldigen en/of delen met veelvoud van 10
a 11,5 × 100 =b 123 : 10000 = c 0,023 × 100 = d 1×104 × 23 =
14 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
Opgave 1.10 Getal vermenigvuldigen en/of delen met veelvoud van 10
a 2,1 : 100 =b 1,23·103 : 10000 = c 2·104 × 3·103 = d 300 × 0,04 =
Opgave 1.11 Schrijf de volgende getallen met een macht van 10
a 0,00005 =b 0,000052 c 230000000 = d 0,00234 =
Opgave 1.12 Maak getal 1 groter en getal 2 kleiner of andersom.
50000 × 0,0002 = 5 × 2 =10 a 2000 × 0,01 = × =
b 0,00002 × 300000 = × = c 2·10-5 × 3·105 = × = d 2,1·10-5 × 3·105 = × =
1.2 Optellen en aftrekken decimale getallen, negatieve getallen Optellen van decimale getallen
voorbeeld 10
3246,5 + 76,4 = ………..
(3 × 1000 + 2 × 100 + 4 × 10 + 6 × 1 + 5 × 0,1) + (7 × 10 + 6 × 1 + 4 × 0,1) = 3 × 1000 + 2 × 100 + 11 × 10 + 12 × 1 + 9 × 0,1 =
3 × 1000 + 2 × 100 + 1 × 100 + 1 × 10 + 1 × 10 + 2 × 1 + 9 × 0,1 = 3 × 1000 + 3 × 100 + 2 × 10 + 2 × 1 + 9 × 0,1 = 3322,9
De duizendtallen, honderdtallen, tientallen, eenheden en tienden worden opgeteld.
De getallen die opgeteld worden noemt men de termen en de uitkomst van de optelling noemt de som.
Je kunt de getallen ook onder elkaar zetten voorbeeld 11
Bepaal de som van 3246,5 + 76,4 schatting : som ≈ 3250 + 80 ≈ 3330
term som
tienden: 5 + 4 = 9
eenheden: 6 + 6 = 12 (2 opschrijven en 1 doorschuiven naar de tientallen)
tientallen: 1 + 4 + 7 = 12 ( 2 opschrijven en 1 doorschuiven naar de honderdtallen) honderdtallen: 1 + 2 =3
duizendtallen: 3 + 0 = 3
15 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken Voorbeeld 12
Bepaal de som 46,78 + 5,46 + 20,97 schatting: som ≈ 50 + 5 + 20 ≈ 75
Opgave 1.13 Bepaal de som van de volgende getallen 1
Maak eerst een schattinga 456,09 + 88,6 =
b 0,0023 + 0,25 = c 205,8 + 0,03 = d 2300000 + 70000 =
Opgave 1.14 Bepaal de som van de volgende getallen 2
Maak eerst een schattinga 0,09 + 1,98 =
b 2899 + 799 =
c 0,00065 + 0,00045 = d 223000 + 400 =
Aftrekken van decimale getallen
voorbeeld 13 415 - 231 = ………..
(4 × 100 + 1 × 10 + 5 × 1) – (2 × 100 + 3 × 10 + 1 × 1 ) = 4 × 100 + 1 × 10 + 5 × 1 –2 × 100 - 3 × 10 - 1 × 1 = 2 × 100 - 2 × 10 + 4 × 1 =
1 × 100 + 10 × 10 -2 × 10 + 4 × 1 = 1 × 100 + 8 × 10 + 4 × 1 = 184
De honderdtallen, tientallen en eenheden worden van elkaar afgetrokken.
2 × 100 = 1 × 100 + 10 × 10
De getallen die van elkaar afgetrokken worden noemt men de termen en de uitkomst van de aftrekking noemt het verschil.
Je kunt de getallen ook onder elkaar zetten term
verschil
honderdsten: 8 + 6 + 7 = 21 ( 1 opschrijven en 2 doorschuiven) tienden: 2 + 7 + 4 + 9 = 22 (2 opschrijven en 2 doorschuiven) eenheden: 2 + 6 + 5 = 13 ( 3 opschrijven en 1 doorschuiven) tientallen: honderdtallen: 1 + 4 + 0 + 2 =7
16 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken voorbeeld 14
Bepaal het verschil van 246,5 en 76,4 schatting : verschil ≈ 250 - 70 ≈ 180
2 - 8 = - 6 er is een tekort van 6
8 -2 = 6 is het tegengestelde van 2 - 8 = -6
Als getal 1 < getal 2 dan is het verschil negatief ofwel is er een tekort!
Hoe bereken je het verschil als getal 1< getal 2 ? voorbeeld 15
Bepaal het verschil van 76,4 - 246,1 schatting : verschil ≈ 70 - 250 ≈ -180 76,4 – 246,1 = -(246,1 – 76,4) = -169,7
Je rekent dus eerst (getal 2 – getal 1) uit en zet hier een –teken voor.
Opgave 1.15 Bepaal het verschil van de volgende getallen
Maak eerst een schattinga 23,2 – 16,9 =
b 0,0023 - 0,001 c 205,8 – 12,8 = d 2300000 - 70000 =
Opgave 1.16 Bepaal het verschil van de volgende getallen
Maak eerst een schattinga 12 – 16,9 = b 0,16 - 2,1 c 1500 - 2378 = d 123,8 - 200 =
tienden: 11 - 4 = 7 ( 10 geleend van de eenheden) eenheden: 15 - 6 = 9 (10 geleend van tientallen) tientallen: 13 - 7 = 6 ( 10 geleend van honderdtallen) honderdtallen: 1 - 0 = 1
17 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
Rekenen met negatieve getallen
In het vakgebied science (natuurkunde, chemie en biologie) kom je regelmatig negatieve getallen tegen.
Een temperatuur van -10 oC of een volumeverandering van -10 mL zijn daar voorbeelden van.
voorbeeld 16
De temperatuur daalt van 10 oC naar -5 oC.
Bereken de temperatuurverandering (ΔT) Δ (delta) is het symbool voor verandering
ΔT = T(eind) – T(begin) of
ΔT = Teind– Tbegin = -5 oC – 10 OC = -15 OC eind en begin zijn hier genoteerd als index
Een temperatuurverandering van -15 oC betekent een temperatuurdaling van 15 oC .
Een getallenlijn geeft een duidelijk beeld van de verandering.
voorbeeld 17
De temperatuur stijgt van -2 oC naar 5 oC.
Bereken de temperatuurverandering (ΔT)
ΔT = Teind– Tbegin = 5 oC –(-2) OC = 7 OC
Opgave 1.17 Bepaal de verandering van de temperatuur
a Tbegin = 20 oC en Teind = 5 oC
b Tbegin = -5 oC en Teind = 5 oC c Tbegin = 10 oC en Teind = -10 oC d Tbegin = 0 oC en Teind = 5 oC getallen
lijn index delta Δ
18 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken In plaats van verandering (Δ) kun je ook spreken van afname of toename.
verandering of Δ = (eind – begin) Afname en toename zijn altijd positief.
toename = (eind – begin) en afname = (begin – eind) voorbeeld 18
De begintemperatuur is -15 oC en de eindtemperatuur -28 oC.
Bereken de temperatuurverandering (ΔT) en de temperatuurtoename of afname.
De temperatuurverandering: ΔT = Teind– Tbegin = -28 oC –(-15) oC = -13 oC De temperatuurafname= Tbegin– Teind = -15 oC –(-28)oC = 13 oC
voorbeeld 19
De begintemperatuur is 5 oC en de eindtemperatuur 15 oC.
Bereken de temperatuurverandering (ΔT) en de temperatuurtoename of afname.
De temperatuurverandering: ΔT = Teind– Tbegin = 15 oC – 5 oC = 10 oC De temperatuurtoename = Teind– Tbegin = 15 oC - 5 OC = 10 oC
In het algemeen is het gemakkelijker de verandering uit te rekenen en aan het + of –teken van de uitkomst zie je dan meteen of er sprake is van een toename of afname.
Opgave 1.18 Verandering en de toe- of afname van je banksaldo
Je gaat een avondje uit. In het begin van de avond is je banksaldo 70 euro (Kbegin = € 70,00) en op het eind van de avond is je banksaldo negatief . Keind = € -16,30
a Bereken de verandering van je banksaldo.
b Bereken de kosten van het avondje stappen.
Opgave 1.19 Verandering van massa
Je moet ongeveer 10 gram van een stof afwegen.
Je neemt een leeg bekerglas en meet een massa van 54,10 gram.
Je doet er met een lepel enkele scheppen van de stof in en meet opnieuw de massa.
De massa is nu 64,37 gram.
a Bereken de verandering van de massa ( Δm) b Bereken de massa (m) van de stof.
Opgave 1.20 Verandering van volume
Een buret is gevuld met vloeistof. Je leest op de schaalverdeling 9,70 mL af.
Je laat vloeistof uit de buret stromen en leest af 34,24 mL.
a Bereken het volume (V) van de uitgestroomde vloeistof.
b Bereken de verandering van het volume (ΔV) van de vloeistof in de buret.
Opgave 1.21 Verandering van temperatuur 1
De buitenlucht heeft een temperatuur van 15 oC en koelt s’nachts af tot -5 0C.
a Bereken de verandering van de temperatuur.
b Bereken de daling ofwel van de temperatuur.
19 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
Opgave 1.22 Verandering van temperatuur 2
Een vloeistof heeft een temperatuur van 5 0C en wordt afgekoeld.
De temperatuurverandering is -10 oC a Bereken de eindtemperatuur.
b Hoeveel daalt de temperatuur?
Opgave 1.23 Verandering van temperatuur 3
Door verdamping van een vluchtige vloeistof neemt de temperatuur af met 0,8 0C.
De begintemperatuur was 18,6 0C.
a Bereken de temperatuurverandering.
b Bereken de eindtemperatuur.
1.3 Vermenigvuldigen en delen van decimale getallen Vermenigvuldigen van decimale getallen
voorbeeld 20 42 × 76 = ………..
2 × 76 + 40 × 76 = 152 + 4 × 76 × 10 = 152 + (4 × 6 + 4 × 70) × 10 = 152 + (24 + 280) ×10 = 152 + (304 × 10) = 152 + 3040 = 3192
De getallen die vermenigvuldigd worden noemt men de factoren en de uitkomst van de vermenigvuldiging noemt het product.
Je kunt de getallen ook onder elkaar zetten voorbeeld 21
Bepaal het product van 42 × 76 schatting : product ≈ 40 × 80 ≈ 3200
Voorbeeld 22
Bepaal het product van 296 × 318 schatting: product ≈ 300 × 300 ≈ 90000
factor product
2 × 76 = 152
40 × 76 = 4 × 76 ×10 = 304 × 10 = 3040 152 + 3040 = 3192
6 × 318 = 1908
90 × 318 = 9 × 318 × 10 = 2862 × 10 = 28620 200 × 318 = 2 × 318 × 100 = 636 × 100 = 63600 1908 + 28620 + 63600 = 94128
20 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken Voorbeeld 23
Bepaal het product van 8,9 × 6,8 schatting: product ≈ 9 × 7 ≈ 63
Bij vermenigvuldiging van decimale getallen met cijfers achter de komma bepaal je eerst het product zonder de komma’s en vervolgens zet je komma op de juiste plaats.
Als het eerste getal 2 decimalen heeft en het tweede getal 3 decimalen dan heeft het product 5 decimalen.
0,02 × 0,003 = 0,00006
Opgave 1.24 Bepaal het product van de volgende getallen 1
Maak eerst een schattinga 0,03 × 60 =
b 231 × 79 = c 5,8 × 9,2 = d 0,034 × 1,5 =
Opgave 1.25 Bepaal het product van de volgende getallen 2.
Maak eerst een schatting a 99 × 631 =
b 2310 × 4 = c 0,025 × 400 = d 0,034 × 1,5 =
Als één van de 2 factoren negatief is , is het product ook negatief.
Als beide factoren negatief zijn is het product positief.
2 × 3 = 6 -2 × 3 = -6 2 × -3 = -6 -2 × -3 = 6
-2 × 3 × -2 = -6 × -2 = 12 -2 × 3 × 2 × 3 = -6 × 6 = 36
Opgave 1.26 Bereken het product van de volgende getallen.
Maak eerst een schatting a -2,3 × 6,1 =
b -34 × -41 = c 0,025 × -400 = d -210000 × -1,5 =
9 × 68 = 612
80 × 68 = 8 × 68 × 10 = 544 × 10 = 5440 612 + 5440 = 6052
21 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
Opgave 1.27 Is het product >0 (positief) of <0 (negatief)?
Vul in.
a -2,3 × 6,1 × -2 = → product ………0 b -2 × -4 × 3 × -3 = → product ………0 c 0,025 × -400 × -2 = → product ………0 d -2 × -1,5 × -3 × -3 = → product ………0
Opgave 1.28 Is het product >0 of <0 ?
Vul in
a het getal (-2) wordt 5 maal met zichzelf vermenigvuldigd → product ………0 b het getal (-2) wordt 4 maal met zichzelf vermenigvuldigd → product ………0 c 7 getallen, waarvan twee <0 worden met elkaar vermenigvuldigd → product………0 d 12 getallen, waarvan drie <0 worden met elkaar vermenigvuldigd → product………0
Delen van decimale getallen
10 : 2 = 5 of 5
102 of 2 5
10= =
10 is het deeltal , het getal dat gedeeld wordt 2 is de deler, het getal waardoor gedeeld wordt 5 is het quotiënt, de uitkomst van een deling
Betekenis: Hoe vaak past 2 in 10?
10 : 2 = 5 omdat 5 × 2 =10
10,5 : 3,4 = 3,088 (afgerond) omdat 3,088 × 3,4 = 10,5 (afgerond) voorbeeld 24
Bepaal het quotiënt van 3146 : 76 schatting : quotiënt ≈ 3200 : 80 ≈ 40 omdat 40 × 80 = 3200
76 past 41 keer in 3146 en dan blijft er nog 30 over
Je kunt deze deling ook voortzetten zodat ook de decimalen berekend worden.
Soms is het
quotiënt niet te schrijven als een decimaal getal en moet je afronden.deeltal
quotiënt
314 : 76 > 4 → 4 × 76 = 304 → 314 – 304 = 10 tientallen rest : 10 tientallen + 6 eenheden ofwel 106
106 : 76 >1 → 1 × 76 = 76 → 106 – 76 = 30 rest: 30
deler
22 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
Voorbeeld 25
Bepaal het quotiënt van 3146 : 76 en rond af op 2 decimalen
Voorbeeld 26
Bepaal het quotiënt van 67,8 : 2,34 schatting: product ≈ 70 : 2,5 ≈ 700 : 25 ≈ 28 rond af op 2 decimalen
Bij deling van decimale getallen met cijfers achter de komma bepaal je eerst het quotiënt zonder de komma’s . Je vermenigvuldigt deeltal en deler met hetzelfde getal. De uitkomst van de deling blijft hetzelfde.
3,3 : 0,3 = 33 : 3 (beide × 10)
12,67 : 0,35 = 1267 : 35 (beide × 100)
schrijf 3146 als 3146,000 3 decimalen dus ! reken door tot 3 decimalen en rond vervolgens af 41,394 rond je af op 41,39
41,396 rond je af op 41,40 Opm:
*30 is ook 30,0 (30 is ook 300 tienden)
**7,2 is ook 7,20 ( 7,2 is ook 720 honderdsten)
***0,36 is ook 0,360 (0,36 is ook 360 duizendsten)
67,8 : 2,34 heeft dezelfde waarde als 6780 : 234
we schrijven 6780,000 omdat we gaan rekenen tot 2 decimalen 28,974 ronden we af op 28,97
afronden
23 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
Opgave 1.29 Bereken het quotiënt van de volgende getallen.
Maak eerst een schatting a 63 : 20 =
b 6,3 : 2,5 = c 458 : 26 = d 0,034 : 2 =
Als één van de 2 factoren negatief is , is het quotiënt ook negatief.
Als beide factoren negatief zijn is het quotiënt positief.
6 : 3 = 2 -6 : 3 = -2 6 : -3 = -2 -6 × -3 = 2
-6 : 3 × -2 = -2 × -2 = 4 -6 : - 3 : - 2 × 3 = 2 : -2 = -1
Opgave 1.30 Bereken het quotiënt van de volgende getallen.
Maak eerst een schatting a -25 : 2,5 =
b -34 : 5,7 = c 0,025 : -0,5 = d -210000 : -1500 =
Opgave 1.31 Is het product >0 (positief) of <0 (negatief)?
Vul in.
a -2,3 × 6,1 : -2 = → product ………0 b -2 : -4 × 3 : -3 = → product ………0 c 0,02 × -50 : -2 = → product ………0 d -2 : -1,5 : -3 × 4,5 = → product ………0
Opgave 1.32 Is het rekenen zonder rekenmachine zinvol?
Wat leer je door rekenopdrachten op papier uit te werken?
Opgave 1.33 Rekenen aan zoutoplossing
Je moet een zoutoplossing maken van 2,50 g/L.Je hebt 100 g zout.
Hoeveel liter oplossing kun je hier mee maken?
24 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken 5
3
35
5
3 1
53 3 5 6 , 0 6
, 5 0
3= ofwel =
5 3
7 10
7 13 7 3 1 7 7 1 7
10= + =
1.4 Breuken, decimale getallen en percentage Breuk
Een breuk is een deling van 2 gehele getallen.
Voorbeeld 27
en zijn voorbeelden van breuken
In plaats van kan ook geschreven worden
Betekenis :
Spreek uit: “drie vijfde”
3 van de 5 delen 3 maal 1/5 deel
Het getal boven de deelstreep noemt men de teller (aantal x 1/5)
Het getal onder de deelstreep noemt men de noemer (de soort : 1/5 vijfdes)
Hoe vaak past 5 in 3?
is kleiner dan 1 ofwel
5 past 0,6 × in 3
Betekenis :Spreek uit: “tien zevende”
10 maal 1/7 deel
of
Men noemt dit een samengestelde breuk.
Het getal bestaat uit een geheel getal en een breuk.
teller noemer
1
2
1
samenge stelde
breuk
25 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken 7
10 1
10 7 10 7 428571 ,
1 428571
, 7 1
10= ofwel =
% 75 75 , 4 0
3= =
deel rood
3
aantal rood3 3
van 300 300 225
4 4 4
= → = = =
deel rood
= 0, 75 →
aantal rood= 0, 75 300 = 225
deel rood aantal rood
300
75% 75% van 300 75 1% 300 75 225
van
100
= → = = = =
Hoe vaak past 7 in 10?
is groter dan 1 ofwel
7 past 1,428571 × in 10
Eigenlijk kun je 10/7 niet precies uitrekenen als decimaal getal.
10/7 noemt men een rationaal getal.
De breuk 10/7 noemt men een repeterende breuk.
De cijfers achter de komma 428571 herhalen zich telkens.
`
Dit wordt ook wel genoteerd als: 1,428571
In de praktijk wordt een getal meestal afgerond tot een beperkt aantal decimalen.
We komen hier later op terug.
Breuk, decimaal getal, fractie en percentage
De waarde van
een breuk kan ook worden geschreven als een decimaal getal of een percentage.Voorbeeld 28
1 % = 1/100 = 0,01
Van een mengsel van 300 bolletjes bestaat ¾ deel uit rode bolletjes en de rest uit witte bolletjes.
Bereken het aantal rode bolletjes van het mengsel.
of of
Een deel van iets wordt fractie of gedeelte genoemd.
2
rationaal getal repeterende breuk
26 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken 17
, 6 0 1 30
5 = =
% 7 , 66
% 30 100
20 =
10 , 10 0
1 30
3 = =
% 33 , 2
% C 1 215 , 0
C 5 , C 0 5 ,
0 0
0
0 = =
2 200 4 kg of 0,02 200 = 4 kg
= 100 =
5 2 0,1 liter of 0,05 2 = 0,1 liter
= 100 =
4 50 4 of 0,04 50 = 4
= 100 =
De fractie of gedeelte van de bolletjes dat rood is in voorbeeld 28 was dus 3/4 of 0,75 0f 75 % Vaak wordt ook aangegeven over welk soort fractie het gaat.
Zo kun je spreken van deeltjesfractie, volumefractie en massafractie.
In het algemeen geldt voor een mengsel van de stoffen A en B.
aantal deeltjes A = deeltjesfractie van A × totaal aantal deeltjes volume A = volumefractie × totaal volume
massa A = massafractie × totale massa
Voorbeeld 29
a Van een groep van 50 studenten heeft 4% een onvoldoende gescoord.
aantal studenten met onvoldoende
b
Van een hoeveelheid appels van 200 kg is 2% beschadigd.
de hoeveelheid beschadigde appels c Een mengsel van 2 liter bevat 5 vol % alcohol en 95 % water.
de hoeveelheid alcohol in dit mengsel
Voorbeeld 30
In het magazijn is een voorraad van 30 met alcohol gevulde thermometers.
5 thermometers geven een waarde aan van 21,0 0C, 20 thermometers geven een waarde aan van 21,5 0C, 2 thermometers geven een waarde aan van 21,7 0C en 3 thermometers geven een waarde aan van 22,0 0C. Met een zeer nauwkeurige digitale thermometer wordt een temperatuur gemeten van 21,5 0C.
a Bereken het deel van de thermometers dat een te lage waarde aangeeft. Geef het antwoord als een zo eenvoudig mogelijk rationaal getal en als decimaal getal afgerond op 2 decimalen.
b Bereken het percentage thermometers dat de juiste waarde aangeeft (rond af op 1 decimaal).
c Bereken de fractie van de thermometers dat een 0,5 0C te veel aangeeft. Geef het antwoord als zo eenvoudig mogelijke breuk en als decimaal getal afgerond op 2 decimalen.
De hoogst gemeten temperatuur wijkt 0,5 0C af van de juiste temperatuur.
d Bereken hoeveel procent de hoogste temperatuur afwijkt van de juiste waarde a het deel dat te lage waarde aangeeft =
b percentage met juiste waarde = c fractie dat 0,5 0C te veel meet =
d 21,5 0C =100 % → 1 % = 0,215 0C → fractie of
gedeelte
27 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken 13
10 6550 =
3 = 15 20 100
8 of 6 7 5
56 42 7 8
7 6 8 6 56
40 8 7
8 5 7
5 =
=
=
= en
7 5 86 Je kunt hierbij ook gebruik maken van een verhoudingstabel
Afronden:
0,66 rond je op 0,7 met 1 decimaal 0,666 rond je af op 0,67 met 2 decimalen 0,664 rond je af op 0,66 met 2 decimalen 0,649 rond je af op 0,65 met 2 decimalen
Gelijkwaardige breuken
Gelijkwaardige breuken hebben dezelfde waarde, maar verschillende noemers.
Voorbeelden van gelijkwaardige breuken:
teller en noemer delen door 5
teller en noemer vermenigvuldigen met 5
Als je de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigt of deelt blijft de waarde van de breuk hetzelfde. Deze bewerking kan handig zijn om een breuk om te zetten in tienden of honderdsten of om breuken te vergelijken.
Voorbeeld 31
Welke breuk heeft een grotere waarde?
Maak beide breuken van dezelfde soort .
Conclusie:
Temperatuur (0C) 21,5 0,215 0,5
Percentage (%) 100 1 ,
, = , 0 5 2 33 0 215 verhoudings
-tabel
afronden
gelijkwaardige breuken
28 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
= =
7 100
7 20 35
20 100 100
20 20
100 6 , 66 100
3 , 33 2 3 3 100
3 2 100 3
2 = =
=
Voorbeeld 32
Schrijf de breuken 7/20 en 2/3 als honderdsten
Als je de noemer vermenigvuldigt met 100/20 , dan krijg je 100
dan moet je de teller ook met 100/20 vermenigvuldigen.
Als je de noemer vermenigvuldigt met 100/3 , dan krijg je 100
dan moet je de teller ook met 100/3 vermenigvuldigen.
De breuk 2/3 kun je niet precies omvormen naar honderdsten omdat 100/3 een repeterende breuk is.
In alle gevallen kun je ook gewoon de deling uitvoeren met je rekenmachine. Voor een goed
‘getal-gevoel’ en als voorbereiding op het rekenen met formules is het bijzonder zinvol vaardigheid te hebben met het rekenen met breuken!
Opgave 1.34 Berekening met percentage
Bij een kwaliteitscontrole blijken 3 producten van de 35 niet te voldoen.
a Welke gedeelte is onvoldoende?
b Bereken het percentage dat voldoet aan de kwaliteitseisen.
Opgave 1.35 Berekening bedrag excl. BTW
Een apparaat kost €2360,- incl. BTW Het BTW-tarief is 21%
a Waar moet je 21% van nemen?
Van het bedrag excl. Of van het bedrag incl. ? b Is €2360,- gelijk aan 121 % of gelijk aan 100%?
c Bereken de kostprijs van het apparaat excl. BTW.
Opgave 1.36 Gebruik van verhoudingstabel
Bij het afwegen van een hoeveelheid keukenzout hebben 59,6 gram afgewogen en dat moest 60 gram zijn.
a Bereken het percentage van de benodigde hoeveelheid dat te weinig is afgewogen. Gebruik hierbij een verhoudingstabel.
De gebruikte weegschaal is niet zo nauwkeurig. Het is mogelijk dat je 0,1 gram te veel of te weinig hebt afgewogen.
b Hoeveel % is mogelijk te veel of te weinig afgewogen? Welke hoeveelheid is hierbij 100%?
29 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
, ,
, % , %
deel percentage
= =
= =
0 4 0 00666 60
0 00666 100 0 666
Opgave 1.37 De snelle manier
Ankie is goed met berekenen van percentages. Als ze moet berekenen hoeveel procent 0,4 is van 60 doet ze dat als volgt:
Ze berekent eerst het hoeveelste deel 0,4 van 60 is door 0,4 te delen door 60.
Vervolgens vermenigvuldigt ze de uitkomst met 100%. Ze rondt het antwoord af op 3 decimalen.
Bereken op dezelfde manier de volgende percentages:
a 2 van 4 b 2 van 50 c 0,2 van 12,6 d 0,03 van 0,24
e Freek rekent liever zonder kommagetallen en rekent bij vraag d het percentage uit van 3 van 24. Leg uit dat waarom dit een goede manier is.
Opgave 1.38 Berekening fractie en percentage
In een groep van 130 studenten zitten 25 studenten die medisch laborant willen worden en 50 studenten die chemisch laborant willen worden. De rest wil microbiologisch laborant worden.
a Bereken het deel van de studenten dat medisch laborant wil worden. Geef het antwoord als een zo eenvoudig mogelijk rationaal getal en als decimaal getal afgerond op 2
decimalen.
b Bereken het percentage studenten dat chemisch analist wil worden. Rond af op 2 decimalen.
Opgave 1.39 Betekenis massafractie
Van een mengsel van de stoffen A en B is de massafractie van stof A 3/11.
a Wat betekent dat?
b Hoe groot is de massafractie van stof B?
Opgave 1.40 Berekening met percentage
Van een mengsel van de stoffen A en B is de massafractie van stof A 3/11.
a Schrijf deze fractie als decimaal getal.
b Hoe groot is het massapercentage van stof A?
Opgave 1.41 Fractie en percentage
Van een mengsel water/alcohol is het volumepercentage alcohol 15%.
a Wat betekent dit?
b Hoe groot is de fractie alcohol? Geef antwoord als breuk in honderdsten en als decimaal getal.
c Bereken de hoeveelheid alcohol in 1000 mL van dit mengsel.
Opgave 1.42 Welke breuk heeft de grootste waarde?
a 5/11 of 4/9 b 2/3 of 5/12 c 10/7 0f 10/8 d 1/4 of 2/5
30 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
Opgave 1.43 Onderzoek met rekenmachine welke breuk de grootste waarde heeft.
Controleer met vorige opgave a 5/11 of 4/9
b 2/3 of 5/12 c 10/7 0f 10/8 d 1/4 of 2/5
Opgave 1.44 Welke breuk ligt hier precies tussen in?
a Waarom ligt 6,5/42 precies tussen 1/6 en 1/7 in?
b Schrijf 6,5/42 als een breuk met de teller als een geheel getal.
Opgave 1.45 Welke breuk ligt hier precies tussen in?
a Welke breuk met noemer als geheel getal ligt precies tussen 1/2 en 2/3 in?
b Schrijf 1/2 en 2/3 als decimaal getal en bereken het decimaal getal dat hier tussen ligt.
Opgave 1.46 Wat is de betekenis van?
a 5/11
b 5/11 kan alleen als rationaal getal heel precies geschreven worden. Waarom?
c Schrijf 5/11 als een decimaal getal met 3 cijfers achter de komma.
d Hoeveel elfde moet je bij 5/11 optellen om 1 te krijgen?
Opgave 1.47 Maak er honderdsten van via gelijkwaardige breuken
a 2/4b 1/6 rond af op 2 decimalen c 3/8 rond af op 3 decimalen d 2/9 rond af op 3 decimalen
Opgave 1.48 Maak er honderdsten via rekenmachine
Controleer met vorige opgavea 2/4
b 1/6 rond af op 2 decimalen c 3/8 rond af op 3 decimalen d 2/9 rond af op 3 decimalen
Opgave 1.49 Rationaal of decimaal?
Geef een voorbeeld waarbij een vermenigvuldiging met een breuk als rationaal getal nauwkeuriger is dan de vermenigvuldiging met de decimale waarde van deze breuk.
Opgave 1.50 Repeterende breuk
a Waarom kun een repeterende breuk niet exact omzetten in een decimaal getal?
b Als je
5/11en
6/11via je rekenmachine (geen breukenmodus) optelt komt er niet 1 uit!
Waarom is dat?
Opgave 1.51 Samen 100%?
Fles A bevat 30 % alcohol en fles B bevat 70% alcohol.
Na het bij elkaar voegen van de inhoud van beide flessen blijkt het percentage alcohol gelijk te zijn aan 40%.
Geef hier een verklaring voor.
31 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken 21
120 21 41 21 35 21
6 7 3
7 5 3 7
3 2 3 5 7
2 = + = =
+
= +
21 1 8 21 29 21 35 21
6 7 3
7 5 3 7
3 2 3 5 7
2 = − =− =−
−
=
−
, 5 3
8
Opgave 1.52 Wat wordt hiermee bedoeld?
Wat kan de betekenis zijn van de breuk ?
1.5 Basisbewerkingen +, -, x en : met breuken Optellen en aftrekken met breuken
Voorbeeld 33
2/7 en 5/3 zijn breuken van verschillende soort.
We kunnen ze van dezelfde soort maken door van 2/7 6/21 te maken en van 5/3 35/21 te maken.
Voorbeeld 34
Bij het verschil nemen van 2 breuken geldt hetzelfde als bij het optellen, je moet ze van dezelfde soort maken.
Opgave 1.53 Breuken optellen en aftrekken
a 2/9 + 3/8 =b 3/4 - 5/6 = c −512=
23 1
d 1 – 11/12
Opgave 1.54 Wat is het verschil?
Je kunt (2/3 - 7/12) op verschillende manieren uitrekenen.
1) Verschil 2 breuken:
2/3 - 7/12 = 8/12 - 7/12 = 1/12
2) Met rekenmachine omzetten naar decimale getallen:
2/3 - 7/12 = 0,667 - 0,583 = 0,0833 Wat is het voordeel van de eerste manier?
De vaardigheid van breuken optellen en aftrekken zal vooral toegepast worden bij het werken met formules en eenheden. We komen hier later op terug.
32 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken 9
5 18 10 6 5 3
2 = =
6 11 =6
43 129 61 29 16 29
=
=
=
Vermenigvuldigen en delen met breuken
Voorbeeld 35
Hoe groot is 2/3 deel van 5/6 ofwel bereken 2/3 × 5/6
We maken van 5/6 15/18 , omdat 15 deelbaar is door 3 2/3 deel van 15/18 = 2 × 1/3 deel = 2 × 5/18 = 10/18 = 5/9
of
Het product van twee breuken is gelijk aan het product van de tellers gedeeld door het product van de noemers.
Voorbeeld 36
Welk percentage krijg je als je 30% van 60% neemt?
1 % van 60 % is 0,60%
30% is dus 30 × 0,60 % = 18%
of verkort: 30% van 60% is 0,30 × 0,60 = 0,18 = 18%
Voorbeeld 37
Hoe vaak past 1/6 in 2/9 ofwel bereken 29 16
1/6 past 6 keer in 1 ofwel : 1/6 is hetzelfde als × 6/1
1/6 past 4/3 keer in 2/9
33 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken 32
21 =3
=
2 3 3 2
= 32 23
= 23
18 27
=
8 2 3
= 38
2
= 8 3 2
8= 2
3
Voorbeeld 38
Hoe vaak past 2/3 in 1 ofwel bereken 1 23
2/3 past 3/2 keer in 1 ofwel : 2/3 is hetzelfde als × 3/2
Delen door een breuk is gelijk aan vermenigvuldigen door het omgekeerde.
Opgave 1.55 Vermenigvuldigen en delen met breuken 1
Schrijf antwoord als zo eenvoudig mogelijke breuk.a
b
c
Opgave 1.56 Vermenigvuldigen en delen met breuken 2
Schrijf antwoord als zo eenvoudig mogelijke breuk.a
b
c
d
Opgave 1.57 Vermenigvuldigen en delen met breuken en procenten
Schrijf antwoord zo eenvoudig mogelijk.a 20% van 16% =
b 10% van (20% van 60%) = c 30% van 2/7
d 20% van 20 + 30% van 30 =
Opgave 1.58 Zet getallen in volgorde van grootte van klein naar groot
a 0,23 34% 5/6 2/9 1,2b 120% 2,0 15/6 9/10
34 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
Opgave 1.59 Rekenen met een percentage van een percentage.
In een magazijn is een voorraad kleurstoffen.
42 % van deze kleurstoffen wordt gebruikt in afdeling A.
In afdeling A wordt 55% van de kleurstoffen gebruikt voor bewerking1.
a Bereken het percentage van de totale voorraad die gebruikt wordt voor bewerking 1.
b Bereken het aantal kg dat gebruikt wordt voor bewerking 1.
Opgave 1.60
a Hoeveel is 25% van 60%.
b Bereken 0,003 × 23.
c Bereken 24% van 0,4
d Bereken 10% van 30% van 200
e Bereken 50% van 50% van 50%. Maak hier een schetsje van.
f Bereken het tiende deel van het honderdste deel.
g Bereken 0,1 × 0,01.
h Bereken 0,2 × 0,03 i Bereken 20% van 0,03.
J Bereken 3% van 0,2
l Laat met een schetsje zien dat
16 1 4 1 4
1 =
m Laat me t een schetsje zien
4 2 4 1 4 1+ =
Opgave 1.61 Toepassen van breuken bij de klok.
a Bereken 25% van 50% van 1200.
b Welk gedeelte van de klok hoort bij het oppervlak tussen de kleine en grote wijzer?
c Welk gedeelte van de klok hoort bij 5 minuten verdraaiing van de grote wijzer?
d Welk gedeelte van de klok hoort bij een verdraaiing van de grote wijzer van 2.00 tot 2.17 u?
e Waarom is 17/60 × oppervlak klok meer inzicht dan 0,283 × oppervlak klok?
35 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
Opgave 1.62 Percentage, promillage, fractie van alcohol.
Lees eerst dit artikel .
a
Bereken het gedeelte of fractie van de massa van het lichaam dat uit water bestaat. Geef het antwoord in de vorm van een breuk, een decimaal getal en in procenten.
b Bereken het gewicht van het water in een man van 60 kg.
c Bereken het massapercentage van het water in de bloedvaten en lymfevaten ten opzichte van alle water in een lichaam.
d Voor de berekening van het alcoholpromillage rekent men voor het waterpercentage bij mannen met 60 m% en bij vrouwen met 55m% van het lichaamsgewicht. Het schijnt dat spierweefsel meer water bevat dan vetweefsel. Bereken het lichaamsgewicht van een vrouw die evenveel water heeft als een man van 80 kg.
e Een alcoholische consumptie bevat normaal gesproken 10 gram alcohol. Bereken het alcoholpercentage na 3 consumpties bij een man van 75 kg.
f 1 procent (1%) betekent 1 per honderd (cent) 1 promille (1‰) betekent 1 per duizend (mille)
Welk promillage komt overeen met een percentage van 1 procent?
g Bereken het alcoholpromillage bij vraag e.
Wettelijk mag je maximaal 0,5‰ alcohol in je bloed hebben als je een auto bestuurt.
Conclusie?
Opgave 1.63 Filtreerpapier
Lees bijgaande prijsopgave. 275grams betekent dat 1 m
2275 gram weegt
36 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken 5
5 5
1 5
5 3 13
=
− =
Gebruik bij deze uitwerking een verhoudingstabel.
a Bereken de prijs van 100 g filtreerpapier.
b Bereken de prijs van 1 m2 filtreerpapier.
c Bereken de massa van een stuk filtreerpapier van 20 x 20 cm.
1.6 Machtsverheffen en worteltrekken Machtsverheffen
Voorbeeld 39
2
4, 4
2, 10
3en 5
-3 zijn machten24 = 2 × 2 × 2 × 2
2is het grondtal en 4 is de exponent 42 = 4 × 4
103 = 10 × 10 × 10
De exponent kan ook nul zijn of een breuk. Daar komen we op terug bij het boek Toegepaste wiskunde.
Voorbeeld 40
6·10
3= 6 × 10 × 10 × 10
10 10 10
6 10
10 6
6
33
=
=
−Voorbeeld 41
Een laboratoriumruimte heeft de afmetingen van 10 × 20 × 3 m.
Het volume of inhoud van deze ruimte is 600 m3. (m3 = m · m· m of m3 = m × m × m)
Opgave 1.64 Machten 1
Schrijf de volgende machten uit als een herhaalde vermenigvuldiging.
a 63 , 54 b 3·104 , 2·10-4
Opgave 1.65 Machten 2
Schrijf de eenheid kg·m-3 als een herhaalde vermenigvuldiging .
Opgave 1.66 Notatie van getal met macht
Wat is het verschil tussen 6·103 en (6·10)3 ?
Opgave 1.67 Notatie van getal met macht
Wat is het verschil tussen 2·43 en 2·4-3?macht grondtal exponent
37 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2019©Vervoort Boeken
E1.2 1
Behoefte aan meer uitleg en oefening?
Op deze site is extra uitleg beschikbaar en kun je extra opgaven maken.
Worteltrekken
Voorbeeld 42
4
en7
zijn wortels (vierkantswortels of tweedemachtswortels)Een (vierkants) wortel is een getal dat met zichzelf vermenigvuldigd het getal onder het wortelteken oplevert.
2
4 =
want 2 × 2 = 47 7 7 =
7
is een getal dat je niet exact kunt schrijven als decimaal getal.7
=2,64575
afgerond op 5 decimalen (2,645752 ≈ 7) Voorbeeld 43Een vierkant heeft een oppervlak van 7 cm2. Bereken de zijde van het vierkant.
oppervlak = zijde2 = 7 cm2 zijde = 7 cm exact of
zijde = 2,65 cm afgerond op 2 decimalen Voorbeeld 44
en
33
8 7
zijn derdemachtswortelsEen derdemachtswortel is een getal dat je tot de macht 3 moet verheffen om het getal onder het wortelteken te krijgen
2
3
8 =
want 23 = 87 7 7 7
3 33
=
of (37
)3 = 73
7
is een getal dat je niet exact kunt schrijven als decimaal getal.3
7
=1,91293
afgerond op 5 decimalen (1,912933) ≈ 7Een ndemachtswortel is een getal dat je tot de macht n moet verheffen om het getal onder het wortelteken te krijgen.
vierkants wortel
derdemachts wortel exacte antwoord
