Permutatietabellen
Constructies en eigenschappen
Abstract
Het onderwerp van deze thesis is de studie van permutatiecodes en de permutatie- tabellen die ermee geassocieerd zijn. Een permutatiecode van lengte n is een verzameling (code)woorden over een alfabet van n letters met de eigenschap dat elke letter precies ´e´en keer in elk woord voorkomt. Dit wil zeggen dat de code- woorden permutaties zijn van de letters van het alfabet en dus ge¨ıdentificeerd kun- nen worden met elementen van Sym(n).
De studie van permutatiecodes wordt gemotiveerd door de zeer interessante toepassing die ze hebben in de informatietheorie: Power Line Communication is een technologie die transmissie van data via elektriciteitskabels mogelijk maakt.
Permutatiecodes blijken bijzonder geschikt te zijn om data via zo’n weg te ver- sturen.
Op de verzameling Sym(n) defini¨eren we een afstand, de zogenaamde Ham- ming afstand. Om een betrouwbare transmissie van data te verzekeren, is het belangrijk dat de Hamming afstand tussen de gestuurde codewoorden voldoende groot is. We geven 4 verschillende methodes om permutatiecodes met een gegeven minimumafstand tussen de codewoorden te construeren. Ook geven we boven- en ondergrenzen op het maximaal aantal codewoorden die zo’n code kan bevatten.
De Hamming afstand dHgeeft een structuur van metrische ruimte aan Sym(n).
We zijn vooral ge¨ınteresseerd in het vinden van permutatiecodes die “echt” ver- schillend van elkaar zijn, meer bepaald, permutatiecodes die niet isometrisch zijn.
Met dit doel bestuderen we de isometriegroep van de ruimte (Sym(n), dH). Naast de Hamming afstand beschouwen we nog 3 andere afstanden op Sym(n) en bepalen telkens wat de geassocieerde isometriegroep is.
Teneinde niet-isometrische permutatiecodes te onderscheiden zonder beroep te doen op de isometriegroep, blijkt het noodzakelijk invarianten te gebruiken.
We geven 4 invarianten en onderzoeken hoe effici¨ent ze zijn.
1
