Tot hoe ver kunt u gaan met stangemechanismen?

Tot hoe ver kunt u gaan met stangemechanismen?

Citation for published version (APA):

Dijksman, E. A. (1977). Tot hoe ver kunt u gaan met stangemechanismen? De constructeur, 16(4), 37-43.

Document status and date:

Gepubliceerd: 01/01/1977

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be

important differences between the submitted version and the official published version of record. People

interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the

DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page

numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Dr. E. A. Dijksman

j)(~eel!t Techllische Jiogexchoul Wmlh",'Ul Afd, Werkl1ligl'oliwklilldc

H

l~: VEf~~

MET ST

t~~\~~

INLEIDING

Bij het ontwerpen van mechanismen dient niH alleen aan de eisen van de constructeur te worden voldaan, zoals plaatsruimte, bruik-baarheid, levensduur, keuze van het type en de structuur van het mechanisme mei onder meer het aantal verbindende schakels en de keuze van de elementenparen die deze schakels mei elkaar verbin-den, Tevens dient ràening te worden gehouden met de theoretische mogelijkheden van het mechanisme.

In dit bestek zal alleen aan dit laatste aspect aandacht worden be,teed. Dit leidt nl. direct tot een duidelijk overzicht, niet toe-gespitst op de voorbeelden uit de praktijk. De eerder genoemde

praktische eisen, nl. die welke door de ontwerper kunnen worden opgesteld, zullen immers voor ieder mechanisme telkens weer anders zijn en het is prakti~ch ondoenlijk voor een dergelijke

~cala van mogelijkheden overtichten te geven die de con:.tructeur van geval tot geval van nut zullen zijn.

I

Uitgaande van de theoretische mogelijkheden, zijn vijf hoofd-groeperingen te onct':rschèiden. Deze zijn:

Het probleem van de: I) functiegeneratie 2) krommegeneratie

3) pJaats-tijdgeneratie (hoek-punttoevoeging) 4) vlakstanden

5) tijdsafhankelijke vlakstanden,

Het is nu zaak een ter oplos,ing aangeboden probleem in één van deze rubrieken of groeperingen onder te brengen. We zullen hen hier in het kort de revue laten passeren.

I) Heeft u bijvoorbeeld een probleem, dat zich ten slotte reduceert tot een voorgeschreven onregelmatige en tijdsallumkelijke ro-tatie om een vast punt, dan heeft u uit~luitend te maken met het probleem van de flllleliegelleratie, waarbij de in- en uitgaande hoek verdraaiingen om twee onderscheiden assen als gegeven mogen worden beschouwd.

2) Jn het geval dat het gaat om de geleiding van een punt langs een kromme dan komt het probleem \'an de krolllll/egeneratie om de hoek kijken.

3) Wanneer in dit laatste geval bovendien het betrokken punt op afgesproken tijdstippen op een bepaalde plaats van de kromme dient te arriveren, dan heeft u te doen met het probleem van de plaats-t ijdgel/erat ic.

4) Als het er om gaat een bepaald voorwerp in diverse posities te brengen in een plat vlak, dan dient u de rubriek l'/akswl/dell te bestuderen.

5) Wanneer u ten slotte dat vuorwerp op bepaalde tijdstippen op diverse plaatsen in het vlak wilt laten arriveren, dan komt het probleem van de tijdsafhankelijke 1'laks/andclI aan de orde. de constructeur , april 1 977 , nr. 4

Met lIitzondering rail de krommegeneratie (punt 2) zal ieder van deze rubrieken voor eenvoudige stangenmechanismen aan de orde worden gesteld. Ook zal telkens de balans worden opgemaakt tussen het aantal de constructeur ter beschikking staande ontwerp-vrijheidsgraden en het aantal gegevens dat uit het praktische probleem valt af te leiden. Uit hct evenwicht zal blijken of het probleem in principe tot een oplossing kan worden gebracht.

I) FUNCTIEGENERATIE AI

\ij---

1\2 "'11 Ao , ingaande schakel hoekverdraaiing 4> 12 figuur 1.1 uitgaande schalel hoek verdraaiing '1'12

Het functionele verband tussen de il1- en uitgaande hoekver-draaiingen 4> en '" is in de praktijk vaak van geval tot geval bekend (figuur 1.1). Het verloop van een fysische grootheid als functie van de tijd of de plaats kan worden gemeten en daarna als bekend worden verondersteld. Met de gemeten gegevens moet dan bij voorbeeld een meetinstrument worden bedacht dat het een en ander weergeeft. Ofwel er is een compensatie-inrichting nodig om het functionele verband op een lineaire schaalverdeling te kunnen weergeven.

Het eenvoudigste mechanisme dat niet lineair verlopende ver-banden kan weergeven is de stangenvierzijde. Hierbij denkt men de representatieve hoekverdraaiingen van de in- en uitgaande kruk te kunnen weergeven door ze te verbinden met een koppelstang AB (figuur 1.2).

Als voorbeeld ncmen "ve het· probleem waarbij de uitgaande kruk BoB over de hoek '" 12 moet draaien als de ingaande kruk AoA

over

tP

12 draait.

Er is dan sprake van twee standen, nl. A I B I en A₂B_{2 •} Dit zijn twee standen van de koppelstang ten opzichte van het gestel AoBo, Het is ook mogelijk opeenvolgende standen te bekijken van de in-gaande kruk AuA ten opzichte v(ln de uitin-gaande kruk BoBI in plHab van het gcs tel. Dit laatstc verdient de voorkeur, omdat wc van de posities van de koppelstang eigenlijk heel weinig weten. Voor de twee stander. van de kruk AoA ten opzichte van BoBI is

TOT HOE VER KUNT U GAAN

MET STANGENMECHANISMEN?

wel bekend dat deze kruk in de tweede stand over een hoek

(4J12

-1/lU) verdraaid moet zijn.

Geven wij in de eerste stand de ligging van de punten Bo. Ao en AI> dan moeten wij in staat zijn een meetkundige plaats voor B} te vinden. Dit volgt onmiddellijk uit de balans die we kunnen op-maken van het aantal ter beschikking staande olllwerpvrijlleids-graden en het aantal coördinaten dat in dit probleem tot de

ge-gevens mag worden gerekend. Bij voorheeld: Balam J

0111 I,er p 'Tijlleidsgraden Ao (2 coördinaten) 130 (2) AI (2*), (zie noot) AB (I) BoB (I)

---±

totaal 8 ontwerpvrijheidsgraden

1

I

I

J.

Gege"ens Ao (2) Bo (2) AI (2) 1/1, 2

=

20' bij

(t"

2

=

40 !telt voor één gegeven: I)

meetk. plaat~ BI (I)

totaal 8 gegevens

Dele halans klopt als inderdaad wordt aangenomen dat het punt B, op een meetkundige plaats komt te liggen.

Wdke i~ nu die meetkundige plaats?

Als we de opeenvolgende posities AI en A₂₁ van de krukpen A. ten opzichte van B"BI kennen, is de meetkundige plaats van BI de middelloodlijn van AIA21' omdat in die twee standen AI BI =

A 21 BI' de koppeJ<.tanplengte, niet verandert. We proberen dus het punt A 21 op te zoeken: ten oplichte vall het gestel gaat het punt A

\ian A I na;:r A 2 door verdraaiing over de hoek

q;

12 om het punt Ao.

Het gestel AoBo is in de tweede stand echter owr de hoek -"'12 om Bo verdraaid, wanneer wc BaBI als vast beschouwen.

leder van die twee verdraaiingen kan afzonderlijk worden uitge-voerd: het punl A gaat dus eerst van AI naar Al door verdraaiing om Ao over de hoek (t> 12 en vervolgens gaat A 2 weer naar A 21 door verdraaiing om 130 ovcr de hoek -112' Bij de laatste verdraaiing

blijft dus de afstand A2BO A21BO delelfde, zoals eerst ook A~;A 1

=

-A~ï\~ d~zelrde bleef.

Op deze wijze vindt men dan A 21' en daarmee ook de middelloodlijn

van hCllijnstuk AIA21' als de meetkundige plaats van BI' Zoals vroeger uiteengc/ct,*'" is de hock AIOlOl) van belang voor het goed functioneren van de stangeI1vÎcrzijdc. (Bekijk daartoe de *) Namelijk de lel/gle AJlA 1 ell de begillStalld 1'(//1 de ill/iaandt' kruk,

Ifcergcg{'l'CII door < A IAqHQ.'

on) H. A. Dijksnu1I1: 'Ok /"(/chldoorleidillg bEi JtilngCI1-lIIechanisl/!(,//" ,

de CO/lJlrUCleur J J··/Y.' 2. pag. 49-53.

38

(weeslag A I BI Bo en de twee cirkel banen vastgelegd door de straien AIBI en BoBI van het punt BI')

Zodra het punt BI op de meetkundige plaats is gekozen, zijn de

J.--

meetk. plaals voor BI

. 8

1

figuur /.1

afmetingen van de stangenvierzijde AoAI BI Bo bekend. De tweede stand van de vierzijde wordt weergegeven door AoAlB2Bo. Wanneer AoA lover

<P

12 rad. is gedraaid, dan zal BaBI over'" 12 rad. gedraaid zijn.

3)* PLAATS-TIJDGENERATIE !HOEK-PUNTTOEVOEGING) .

In de praktijk komt het vaak voor dat een bepaald punt op voor-ge,çhreven tijdstippen zekere posities moet gaan innemen. Als voorheeld stellen wc het probleem waarbij een punt K de posi-tie, K I' Kl en KJ inneemt op de tijdstippen tI' t2 en t3 (zie figuur

3.1). Aangelien het doorgaans om tijdsillierral/en gaat, hebben we in dit geval te maken met de tijdsintervallen t12 , t23 • Het (koppel)-punt K gebruikt dus bijv. de tijd tu om van K 2 naar KJ te komen. Bij regelmatige aandrijving van de ingaande kruk zijn voor deze tijd,intervallen de krukhockverdraaiingen

4J12' <PD'

represcntatief. Een praktische opgave is dus dié, waarbij een stangenvierzijde wordt gezocht met de gegevens:

Aa, Ba. KI' K2' KJ,

<P12.

q,2l

(2), (2), (I), (I), (I), (1), (I).

Dit komt overeen met negen gegevens tussen de afmetingen van de stangenvierzijde. (Merk op dat de ligging van een koppelpunt voor de stangenvierzijde alleen betekent dat zijn coördinaten aan de vergelijking van de koppelkromme moeten voldoen. Dit komt neer op slechts één vergelijking.) Iedere gegeven koppelpuntpositie komt dus overeen met één conditie die de voorwaarde is dat zo'n koppelpunt op de koppelkromme ligt.

Er zijn ook negen ontwerpvrijheidsgraden, 111. Ao (2), Bo (2), Ä~Ä (I

),Xfi

(I), Ü~B (I), À K (I) en

oR

(I). U it de opgemaakte balans trekken we dan ook de conelusie, dat ten hoo15ste een eil/dig aantal oplossingen van het gegeven probleem bestaat. (In analogie met de algebra bestaan dan bijv. n vergelijkingen met nonbekenden.)

Voor de eigenlijke oplossing van het gestelde probleem kan als volgt te werk worden gegaan:

Beschouw het vaste draaipunt Aa als vast verbonden met het

*) 'Va! betreji 2) Krol/ll/!egel1(!ftltie zie laalsle alil/ea II/Ieiding

kODPclvlak A;K J en breng dit vlak tot dekking met haar positie in stand I.

Daarbij denken we niet aan het gebruikelijke kOPl'clvlak AJKJ, maar aan het koppclvlak (AjKJ) dat de hoekverdraaiingen rpl2 en rplJ (van de ingaande schakel) heeft gemaakt. Een dergelijk koppelvlak wordt in zijn drie ~tandell gekarakteriseerd door het stangenparallellograrn AoAJK J/\; in de beschouwing op te nemen. We hebben dan een parallelltlgram AoAKA' dat de standen AoAIKIA;, AoA1K1Ai,en AoAJKJAi inneemt. De zijde A'K, die de opeenvolgende posities A; K 1> AiKz en AjKJ inneemt,

verdraait d!lHrbij over de hoeken

<Pil'

tPl3

van de ingaande kruk omdat A'K en AoA parallel aan elkaar blijven.

Door nu A;K J met Ao over -rp13 te verdraaien en met A;K1AoJ tot dekking Ie brengen, wordt het punt A OJ gevonden. Dus

ÁA'JKJAo~ÁA'IK IAOJ'

Roteer dus AoKJ over -<PIJ en laat KJ met KI samenkomen. Men vindt dan het punt AoJ ' Op analoge wijze vindt men het punt A₀₂ (nI. door AoK2 over

-<P12

te draaien en K 2 met Kl te laten samenvallen).

De pllntcn Ao, AUI en A_{OJ zijl/ dali de opvolgende posities rail het}

pUllI Ao rrlalief I.O.V. hct I'lak A;K_{I. (Dit, omdat telkens weer de}

relatieve posities van het pUilt Ao t.o.v. de stand A; K I worden bekeken.)

Het middelpunt van de cirkel dóór de punten Ao. A02 en A OJ valt dan samen met A;. (Het punt AOl of A02 kan alléén door draaien om A; weer op zijn oude vaste plaats Ao worden teruggebracht.) De tweeslag AoA; K I is nu bekend, en daarmee ook de tweeslag AoAIKI die met de eerste een stangenparallcllogram vormt. We kennen zo tevens de opvolgende posities van de tweeslag AQAK. Deze zijn AoA,K,. AoA2K2 en AoAJK3' De kruk AoA verdraait daarbij over de hoeken <P'2 en rp,J (zie figuur 3.2). Het punt B, wordt nu als volgt bepaald:

maak 111. ~A3K3B'J ~ ~AI K I _BOJ en .:\AZK1Bo ~.lAIKIBo2

Het punt Bo wordt dus Il!lkcl/S met het koppclvlak A K verbonden en mee teruggenomen naar de stand I. Alléén door verdraaiing

A,

figuur 3./

Bepaling ra/I /tel pllnl A I

Gegeven zijn ti .. koppelpt/lIlllfJ!iilies KI' Kl' KJ. de bijhellûrellde IlOekverdntaiill:;1'II 1>12' 1>J 3 I't/ll de illgaallde schakel AoA en {Ie gesle/plllllclI Ao, BQ vall tie gczochle slangenvierzijde.

de constructeur I april 1977 I nr.4

óm het punt

n

_{l .... an dit koppelvlak, kunnen de punten} B02 en BOJ

dan weer !laar hun oude vaste plaats Bu wonlcn teruggebracht. Het punt BI is dus het middelpullI van een cirkel door de punten BoJ • Duz en Bo.

De stangenvierzijde AoA I B, Bo beantwoordt aan de gestelde op· gave (zie nogmaals figuur 3.2).

Er is dus maar één oplossing \Ioor het gestelde probleem. Wèl dienen we achteraf nog te controleren of de drie gegeven posities KI> K₂ én KJ ook daadwerkelijk kunnen worden ingenomen door continue verdraaiing van de ingangs,chakel AoA.

"0

figt/ur 3.2

Bepaling vall hct punt Bl

4) VLAKSTANDEN Inleiding

C,

figuur 4.1

Gegeven zijn drie vlakstanden, bijv, twee uiterste standen en een middenstand. Deze zijn gekarakteriseerd door de lijnstuk ken CID I> CzDz. CJDJ van gelijke lengte (Zie figuur 4.1) omdat onvervorm· baarheid vooronders.leld is.

TOT HOE VER KUNT U GAAN

MET STANGENMECHANISMEN?

Nemen we nu CD als koppelstang van een stangenvierzijde, dan kunnen dergelijke standen worden ingenomen, als we de gesteI-punten Co en Do in de respectieve middelgesteI-punten van de cirkels door de punten C., C2, Cl en door DI' O2 , Dlléggen. De

stangen-vierzijde CoC. D. Do heeft dan een koppelstang CD, welke achter-eenvolgen~ die drie standen kan innemen.

filtuur 4.Z

.,_ 4) vrije onlwerpvrijhcidsgraden

Het i., echter niet noodzakelijk het zo te doen: óók is mogelijk een koppel,tang A I B I te nemen, die niet met C. D. samenvalt (figuur 4.2). Eigenlijk kunnen AI en ook B. ieder nog willekeurig in het met CID I verbonden koppel vlak worden aangenomen. Dit betekent, dat voor ieder van de punten Al en B. vrijheid van keuze bestaat voor de coördinaten van die punten in het met CIDI

verbonden referentievlak. I n totaal staan de ontwerper dan (2

+

2) 4 vrije coördinaten (ontwerpvrijheidsgraden) t~r beschik-king voor de oplossing van het drie-standenprobleem.

Kiezen wij bijv. de punten A. en BI> dan zijn de punten A2' A3 en ook 8 2.83 met behulp van het principe van de onvervormbaarheid eenvoudig te bepalen:

DAIBICID. ~ OA2B2C 2D 2 ~ OA3 BJC JD 3'

Bij de gege\'en keuze van het puntenpaar A., B. hoort dan weer het stel cirkels door de punten A., A 2• A3 resp. BI. B2• BJ• waarvan de middelpuIlten Ao en Bo op eenvoudige wijze kunnen worden gevonden.

De vier genoemde ontwerpvrijheidsgraden laten zich ook op een andere manier verklaren: daartoe maken wc de balans op tussen het aantal de ontwerper in principe ter beschikking staande ontwerpvrijheidsgraden en het aantal p<lrameters (gegeven coör-dinaten) dat de ontwerper door de aard van zijn probleem als bekend mag aannemen. In principe behoeven de ontwerpvrijheids-graden en de gegeven parameters zeker niet dezelfde grootheden te

*c.

(I. want de coördinaten van dit punt moeten alléén voldoen aan de vert:c1ijking voor de koppel kromme).

* Dl (0. omdat dit punt willekeurig in het koppel vlak mag worden ge· nomen. en dus ook zó als overeenkomt met de wensen van de ont-werper).

40

zijn. Alleen het totale aantal moet kloppen. Vandaar dat er van een balans wordt gesproken.

Balans 2

Ontwerpyrijheidsgraden Ao (2 coördinaten) Bo (2, nl. AoBo en

1:

x AoBo)

AoAI (I, nl. de kruklengte) AIBI (I)

BoBI (I)

AIKI (I) (K koppelpunt) BIK, (I)

totaal

9 ontwerpvrijheidsgraden

Gegevell parameters Cl (I, zie noot)

C 2 (I, idem, maar nu voor dezelfde koppel kromme) CJ (I)

DI (0. zie noot)

O₂ (I, nl.

1:

(C2

D

l ,

ë;ö7)

DJ (I, nl.

1:

(CJDJ• C.D;)

+

4 vrij te kiezen parameters totaal

.. .. 9 parameters

De balans is opgemaakt: waanijt dus inderdaad blijkt dat vier parameters vrij mogen worden aangenomen.

In het algemeen heeft de ontwerper ook behoefte aan een aantal vrije parameters. Daarmee is hij in staat tot technisch betere oplossingen te geraken, meestal tot uitvoering gebracht door een optimaliseringsproces. In het geval dat er maar één oplossing zou bestaan, zoals aanvankelijk werd gedacht door aanname van de veronderstelling dat C.D. met de koppelstang AIBl zou samen-vallen, kan de oplossing wel eens teveel plaatsruimte in beslag nemen (te lange stangen). Ook kan het zijn dat in bepaalde standen de koppelstang een te kleine hoek met de secundaire stang DDo maakt, waardoor er een slechte belfegillgsoverdracht is. (Als bijv. in het extreme geval DC en 000 elkaar overlappen of in elkaars "er lengde liggen, kan vanuit de staaf CoC geen moment meer op de uitgaande schakel worden overgebracht.)

Op welke wijze kunnen nu de vier aangeduide vrije parameters worden benut? Het verdient voorkeur dit zo te doen, dat de lengte van de staven zoveel als mogelijk is in de hand kan worden gehouden. Men kan dit doen door eerst de ligging te bepalen van de rOlaliepolen PIZ' PB en PJ1 . De pool Pt2 bijv. wordt gevonden in het punt dat in

de standen I en 2 de::elfde plaats inneemt. Een dergelijk punt bestaat en wordt gevonden door de middelloodlijnen van C IC2 en DIDz

met elkaar te snijden. (Dus uit het feit dat ~C.DIP12~~C2D2P12 (starheidsprineipe) volgt niet aJléén het bestaan van dit punt, maar ook dat CtP12=C 2P I2 en D1PI2=D2P12')

Leggen we dus nu het punt A. in P 12 (figuur 4.3), dan betekent dit dat P I2 =A I =A1 . Het geste\punt Ao wordt dan direct gevonden

op een meetkundige plaats die de middelloodlijn is van AIAl (waarbij dan A3 wordt gevonden door toepassing van het starheids-principe: ~CJDJAJ~~CID.Al)'

De vrije keuze van Au op de genoemde meetkundige plaats, maakt het de ontwerper mogelijk de kruklengtc van AoA, vrijelijk te kiezen.

Datzelfde is het geval wanneer bijv. B. in de rotatiepool P 13 wordt geko:len. I n dat geval is nl. B, = BJ ( = P 13) en ligt Bo op de middel-loodlijn van BIB2' De keuze van de lengte BoBI is dan nog vrij. Wèl moet men erop bedacht zijn, dat ook de gevraagde standen lIIeclwllisch kunnen worden ingenomen. Als dit niet door continue verdraaiing maar wèl door loskoppeling en weer vastmaken kan. is het gewenste resultaat theoretisch wèl, maar technisch niet bereikt. Dit kan nog weer een beperking van het gebruik van de twee genoemde meetkundige plaatsen inhouden.

In het beschouwde geval zijn de vier vrije parameters als volgt gebruikt: één parameter is nodig voor de conditie dat A.

Az.

een andere voor de conditie dat B. = _{BJ. terwijl de resterende twee}

overeenkomen met de twee genoemde meetkundige plaatsen.

c,

1

\

, 1Iw.:'I!Ü pta~t$ "Ot" Ao

\ \ A. \ A,,' \ ~ _ _ - - - AJ 1\1 -.... -: -:..:- - \ figuur 4.3

Dit gebruik maken van de rotatiepolen \'ereem'oltdigt het probleem

(voor het oplossen daarvan). Men spreekt daarom ook wel van

positiereductie. Positiereductie vermindert weliswaar het aantal vrij

te kiezen parameters, maar het stelt de ontwerper in staat een-voudige oplossingen te vinden. Alleen wanneer de ontwerper in een te nauw keurslijf wordt gedrongen (als dus het aantal gegevens weinig vrije parameters overlaat), is positiereductie niet meer mogelijk. Voor eenvoudige probleemstellingen geeft het echter de constructeur de mogelijkheid tot de oplossing van zijn probleem te komen, zonder dat diepgaande kennis van de l'lakstalldentheorie

nodig is.

Een bijkomend voordeel is nog dat de constructie verscheidene mogelijkheden toestaat. In het besproken geval kan bijv. ook nog gebruik worden gemaakt van de ligging van de rotatiepool Pl)' Leggen we het punt B2 in dat punt, dan is D)=Bl( PB)' Dit geeft weer aanleiding tot een andere meetkundige plaats. Er zijn dus met positiereductie toch nog drie meetkundige plaatsen aan te wijzen die kunnen worden g..:bruikt voor de keuze van de punten Ao en Bo van de geHaagde stangenvierzijde.

In figuur 4.2 is de stangenvierzijde AoAIBIBo getekend, die een

mogelijke oplossing van het probleem is.

Vraag: Wordt de derde stand C)D) ook mechanisch ingenomen?

Zo niet, wat kunt u dan doen om hieraan tegemoet te komen?

5) TIJDSAFHANKELIJKE VLAKSTANDEN 5.1 Drie vlakstanden gerelateerd aan de tijd

Men kan het probleem stellen, dat cr elrie vlakstanden met de

daar-bij behorende krukverdraajingen <P12'

<Pu

zijn gegeven, Dit is een in de praktijk veel voorkomende mogelijkheid. Het aantal gegevens is echter nu direct al zeven, nl. (drie

+

twee) voor de drie standen KIDp K2Dl' K.lDJ en twee voor de hoeken tPll en <PI J' Wil men dit probleem met ten stangenvierzijde oplossen, dan kan er slechts één gestelpunt tBo) vrij worden gekozen (van de negen ontwerp-vrijheidsgradl'n zijn cr nu nL al zeven vastgelegd).

Het is dan ook beter de oplossing met een zesstangenmechanisme te zoeken; we hebhen dan vrijheid van keuze voor de gestelpunten Ao. Bo en Co'

(liet derde gestcIpunt komt ter sprake als aan een z.g.

Stephenson-3-de constructeur I april 1977 I nrA

mechani~lI1c wordt gedacht 7.ie lir.uur 5, I),

Er wordt IllI dlls naar een oplossing gezocht, w<HIrbij het vlak KD de gewenste drie standen inneemt, terwijl daarbij kruk AoA over de hoeken

tb

12' <P!3 verdraait. Aangezien het koppel punt K als een punt uit het koppelvlak van een vierzijde kan worden gezien, is, althans m,b.t. de opvolgende posities van het koppelpunt K in relatie tot de krukhoekverdraaiingen tPll'

<PIJ,

een deel van het probleem op te lossen met de methode zoals in hoofdstuk 3 Hoek-punttoevoeging is uitgewerkt.

Het resterende deel van het probleem komt dan neer op de bepaling van de ligging van het punt Cl bij bijv. willekeurige aanname van

de ligging van het derde gestelpunt Co' Dit kan weer net als in het voorgaande gebeuren d.m.V. congruenties:

,ó,KlD)Co ~ ,ó,KID 1 COl ,ó,K2D2Co ~ ,ó,K ID ,C02 '

Het middelpunt van de cirkel door de punten COl. C O2 en Co (dat zijn de relatieve posities van het punt Co t.O.v. het vlak KIDI) zal dan weer samenvallen met het gezochte punt Cl'

In het besproken geval is de balans van het aantal ontwerpvrijheids-graden als volgt:

Balans 3 ~lItllwpl'rijheÎllsg,raden Gegevens Ao

(2)

Ao

(2)

Bo

(2)

Bo (2) Co

(2)

Co

(2)

AB (I) _Kl (I)

AoA (I) Kl (I)

BoB (I) K3 (I)

AK (1) DI (0)

BK (I) Dl (1), nI.

i:

(i5';K';,

o:K7)

KC (I) D3 (I), nl.

i:

(D)K'), DIKI)

KD (I)

tPl2

(I)

CD (I) <Pu (I)

CoC (I) +de twee

ontwerpvrijheids-graden*)

totaal 15 +-> totaal dus ook weer 15

gegevens

*) Die weggellomen zijn, doordat één van de uiteinden van het

lijnstuk, dat in drie standen is gegeven, met hel koppelpunt K

van de stangenvierzijde samenvalt.

Uit deze balans blijkt dat, in het geval dat het punt E (van de drie standen EIDI> E2Dz en EJDJ) niet met het koppelpunt K behoeft samen te vallen, er (OOl) oplossingen zijn (zelfs bij vrije keuze van de drie gestel punten Ao, Bo en Co), De twee hiermee samenhangende "vrije" ontwerpvrijheidsgraden zijn dan E,KI en EIC , . Deze

K

D·

· TOT HOE VER KUNT U GAAN

MET STANGENMECHANISMEN?

ontwerpvrijheidsgraden kunnen worden gebruikt

01lJ

bijv. op-lossingen te verkrijgen met redelijk acceptabele overbrengings-hoeken. (Van belang zijn nl. de hoeken ABBo en KCCo; deze mogen zeker niet nul worden, daar anders bij de doorleiding van de beweging moeilijkheden ontstaan.)

5.2 Vlaktijd-generatie met de stangenvierzijde

Wanneer we ons beperken tot drie standen, dan komt de balans tussen het aantal ter beschikking staande ontwerpvrijheidsgraden en het aantal gegevens dat de ontwerper wordt opgelegd, er als volgt uit te zien:

Rnlans 4 Onlll'erpl'rijheidsgraden Ao (2) Bo (2) AoA (I) AB (I) BoB (I) AK (I) BK (I) Opgelegde gegel'ens KI (I) (nI. de voorwaarde

opdat K I op de

koppel kromme ligt) Kl (I)

K3 (I)

&)2

=«AI~l>A2s:a)

(I)

&13 = < (AIB!> AlBl) (I)

4>12= ;::AIAoAl (I) 4>.3 'fA.AoAl (I)

Bo (2) (vrije keuze van Bo geoorloofd) totaal 9 ontw.vrijheidsgraden .... totaal 9 gegevens

H1J de opgemaakte balans valt op te mei Ken, dat het probleem de vrije keuze van twee coördinaten laat, waarvoor de plaats van het gestelpunt Bo is genomen. (Uit het vervolg zal nL blijken dat het gestelpunt 1\0 J'olledig door de gegevens is vastgelegû.)

Uit de balans blijkt ook, ûat de drie vlakstanden vastgelegd zijn te denken door de drie koppclpuntposities KI, K2' Kl èn door de hockverdraaiingen 6 12' 6\3 van he~ koppelvlak tussen de drie

standen van dat vlak. De hoeken 4>12'

ifJ13

zijn gegeven om de tijden weer te geven die benodigd zijn om telkens van de eerste stand naar een andere te komen.

Berekening van de ligging van Ao en die van de Iwees/ag AoA I KI

Een constructieve oplossing Vlln het probleem blijkt nie~ eenvoudig te zijn. Een berekening gebaseerd op de complexe-getallentheorie geeft minder moeilijkheden. We bedenken daarbij, dat een complex getal door een vector kan worden voorgesteld en omgekeord. Voor de oplossing van ons probleem wordt allereerst een assen-stelsel (x Oy) in het t~cstelvlak aangenomen (figuur 5.2). In dit assenstelscl kunnen de gegeven koppelpuntposities K .. Kl ell KJ . 42

worden weergegeven door de respectieve plaatsvectoren of de complexe getallen

'I' '2

en

'3'

Voorts kan het gezochte punt Ao worden gekarakteriseerd met de plaatsvector ao. Een de tweeslag AoAIKI wordt weergegeven met ill

+

bi' waarbij dan

A;;i\;

==!!I en

A';K';

== Q.l'

Zo doorgaande, wordt AoA2K2 weergegeven met .lh

+

hl,

en AOAJK) met liJ

+

fu·

Daarbij is

Voor de vierhoek OAoA I K I geldt, dat het een gesloten vierhoek is, en als zodanig een gesloten vectorpolygoon. We hebben zo gekregen:·

ZI ~o

+

11.

+

121 .••••••••

(I)

Deze vectorvergelijking geeft twee vergelijkingen weer tussen de coördinaten. Voorts zijn Do, ill en hl alle onbekend. Er zijn dus weer zes onbekende coördinaten.

Voor stand 2 geldt echter dat:

(2) Er zijn nu géén nieuwe onbekenden bijgekomen, maar wel twee vergelijkingen.

Ten slotte geldt voor stand 3, dat

(3) Hoewel we nu in totaal zes vergelijkingen hebben met zes onbe-kenden, behandelen we dit stelsel toch alsof het er maar drie zijn, met de drie onbekenden .!lo, lll' bi'

We elimineren ao, en verkrijgen dan:

Dit zijn weer vier vergelijkingen met vier onbekenden, maar het stelsel kan ook direct worden opgelost door ze te beschouwen als twee lineaire vergelijkingen in de twee onbekenden ill en

hl'

De oplossing luidt: (e -~tll - 1)

I

(e-ot " - I) (e-~'" - 1)

I

(e-J<'J _ I)

l

e-e-i •i ... -,2 1 1 en

!?I

=,e-i.1l _ 1

e-

i•I l_1 e-It12 _ 11

e

-;'11 - I De rechterlcden zijn hierbij volledig en eenduidig bepaald. Natuur-lijk kan men hieruit ook wel een constructie afleiden, die is ge-baseerd op de opeenvolgende bewerkingen nodig om de rechter-leden te kunnen bepalen.

Dit lijkt echter omslachtig"en de voorkeur wordt dan ook aan de corresponderende berekening gegeven, die de complexe getallen i!1 en Q.I vastlegt.

In elk geval is met de tweeslag !ll +Q.I =AoAIKI nu ook het vaste gestelpunt Ao aan te wijzen. De berekening doet dit met verge-lijking (I):

.!lo

ZI

-.il.1

-l2.. ...

_(I'

Dc met de oplossing samenhangende standen AoA2 en AoA3 kunnen nu aan de hand van de gevolgde berekening eenvoudig worden bepaald.

(NI. met

!!2

=

~le-I4>11 en !J

=

!he-I.!l.)

•

Constructie 1'011 het punl BI bij gegerell ligging

rail het geste/punt Bo

Kiest men voorts het gestel punt Bo - hetgeen volgens de opgemaakte balans immers is toegestaan - dan kan het punt BI weer op de bekende manier worden bepaald. Namelijk door telkens Bo weer vast te nemen met het. koppdvlak in stand 2 of stand 3. en vervol-gens tot dekking te brengen met de eerste stand. We bepalen dan op deze manier feitelijk weer de opvolgende posities BOl' B₀₂ en B03 van Bo t.O.v. het koppelvlak in ~tand J.

Dus:

6.AlKlBo ~ 6.AIKIBol 6.A2K2Bo ~ 6.A I KI BOl

levert de punten B02 • B03' Het middelpunt van de cirkel door de

punten Do. BOl en BOl is dus het punt BI'

De stangenvierzijde AoA I BI Bo (met koppel .lA I BIK I) voldoet ten slotte aan het gestelde probleem. (Bedenk overigens. dat het nog een onderzoek vergt om d.m.v. de vrije keuze van het gestelpunt Bo tot oplossingen te geraken met toelaatbare overbrengingshoeken

f:A,BIBo.

1:

A2B2Bo.

F

A3B3Bo.

Wanneer deze hoeken al te klein worden, is de bewegingsoverdracht slecht. omdat dan de slingerstang en de koppelst'lI1g nagenoeg in elkaars verlengde komen. hetgeen niet bevorderlijk is voor de krachtdoorleiding).

Merk ook op dat het hoofdprobleem in twee deelproblemen is opgesplitst. die ieder tot een vplossing zijn gebracht. Feitelijk is het eerste onderdeel het probleem van de tuw'slag. waarvan de drie posities van het eindpunt K zijn gegeven. '1lsmede de twee hoek-verdraaiingen van ieder van de twee staven van de tweeslag. Maak nu zelf een aparte balans op \lan deze t\Veeslag. Met andere woorden: verklaar dûs het feit dOlt u maar één oplossing verkrijgt.

Hoe ziet u een eventuele generalisatie van dit deelprobleem'!

iy

w.~

_____________________________________

x

o

figuur 5.2

Probleem van de (Wees/aK

de constructeur I april 1977 I nr.4

LITERA TU UR:

[IJ Hain, K. Angewandtc Getriebelehre Masssynthese p. 354387 -VOl-Verlag Düsseldorf (1961)

[2J Hartcnbcrg, R. S. and J. Dcnavit Kinematic synthesis of linkages -Geometrie methods of synthesis with 3 or 4 accuracy points p. 2 I 5286 -Algebraic methods of synthesis using displacement equations or complex numbers, p. 295-337 - McGraw-HiII Book Co. New Vork, London (964)

(3J Tao, D. C. - Applied !inkage synthesis - Addison Wesley Reading (Mass.) (1964)

[4J Dijksman, E. A. - Het ontwerpen van stangenmechanismen -PT-Monografie Nr. 33 -Techn. Uitgeverij H. Stam Culemborg (1968)-Verschenen in afleveringen in: Polytechnisch Tijdschrift Editie A 22 (1967) Nr. 20 tlm 25. p. 847-1067

[SJ Dizioglu, B. - Getriebelehre, Band 2. Massbestimmung Vieweg, Braunschweig (1967)

[6j Manolescu, N., Fr. Kovaes, A. Oranescu Teoria mecanismelor si a masimilor Editura didactica si pedagogica, Bucuresti (1972) -Partea a treia: "Sinteza mecanismelor" p. 305:-432.

(7J Kraus, R. - Geradfûhrungen durch das Gelenkviereck - \'DI -Verlag, Düsseldorf (1955)