H1: Logaritmische functies

Hoofdstuk 1:

Logaritmische functies.

V_1. a. _a3_a4 _a3 4 _a7 _{(a )}2 5_a2 5 _a10 _{4 3 4 3 1} a _a _a  _a b. 3 3 1 a a  _ 1 2 a  a V_2. a. _{2 2 2}3_ 4_ 5 _23 4 5  _212 _{d. (2 2 )}3_ 4 5 _{(2 )}7 5 _235 b. 1 1 2 2 3 4 8 8 2 16 2 2 2 2 2     2 e. (3x )7 4 3 (x )4 7 4 81x28 c. 36 36 6 363  31 31 6 (6 )31 2 31 6 631 23 6 f. 8 2 6 48x _6x 8x  V_3. a. ₃4 x _{27 3} 3 _b. 2x 1 1 5 5 _{ }5 _{c. 4 3} x _4 4 x 3 x 1    1 2 2x 1 x     x 3 1 x 0   d. _(0,25)x _{64 e. (0,25)}x _{32 f.} 1 2 1 2x 2 7 _49 7 7 7_{ } x 2 x 2x 6 1 4 ( ) (2 ) 2 2 2x 6 x 3          2x 5 1 2 2 2 2x 5 x 2  _     1 2 1 2 3 4 1 2x 2 2x 1 x       g. 5 1 x 5 125 ( ) h. 1 1 x 5 x 8 ( ) _ 4 3 1 1 5 3 5 5 x 3 5 125 (5 ) 5 5 x       1 2 5 5 3 x 1 x 3 1 x 3 3x 2x 1 2 2 5 ( ) (2 ) 2 (2 ) 2 3 3x x  _   _   _{ }    3 5 2 13 2 x 3 x 1   V_4. a. b. _{f(x) 256 2 } x

c. b is de hoogte waarop de grafiek de y-as snijdt en g is de groeifactor.

V_5.

a. De grafiek van p is dalend en de grafiek van q is stijgend. b. _{p(x) 3} 4 0,5x _{3 3}4_ 0,5x _{81 (3 )} 0,5 x 1 2x 1 2x 2 x x 1 1 1 1 2 2 2 2 q(x) 10 ( )_{ }  _10 ( ) ( )_{ }  _{ }5 (( ) ) _{ }5 4 x -2 -1 0 1 2 3 f(x) 64 128 256 512 1024 2048

V_6. a. 3 5 g 1_{, dus f is dalend.} b. _{g(x) 23 1,23 } 2x _{23 (1,23 )} 2 x _{23 0,66} x _{g 1,23} 2 _{0,66 dus g is dalend.} c. h is dalend. d. 1 6 x 1 6 1 1 x 1 x 2 2 2 16 k(x) 4 ( )_{ }  _{ }4 ( ) (( ) )_  _{ }2 1 1 2 g ( )_  _2 dus k is stijgend. e. x x 1 x x 1 x 4 x 3 l(x) 3_  _4 _(3 ) 4 _{ }(3 4) _{ }( ) 1 3 g 1 1_{, dus l is stijgend.} f. x 3 x 7 x 3 m(x) ( ) 7   3 7 g 1 _{dus m is dalend.} V_7. a. 1 2 x 1 2 1 x 1 1 1 x 2 x 3 3 3 9 3 3 f(x) 6 ( )_{ }  _{ }6 ( ) ( )_  _{  }6 (( ) ) _{ }3 _g(x) b. _{m(x) 1,25 0,8 } 3 x _{1,25 0,8 0,8} 3_ x _{0,64 (0,8 )} 1 x_{0,64 1,25} x _n(x) V_8. a. x 1 x 1 1 x 3 g(x)_{  }1 f(x)_{   }1 4 1,2 _{  }4 1,2 1,2_  _{ }3 1,2_ b. x 1 x 1 1 1 x 1 5 x 3 3 6 h(x) 4 1,2_{ }   _{ }4 1,2 _1,2 _3 (1,2 )_  _3 ( )_ V_9. a. beginhoeveelheid: _{M(0) 5,625 2,56 } 0,5 0 2  _36,864 0,5 1 2 M(1) 5,625 2,56_{ }   _58,9824 groeifactor: 58,982436,864 1,6 b. 21 half uur g 1,6 1,26 c. _{M(t) 5,625 2,56 } 0,5 t 2  _{5,625 2,56} 0,5 t _2,562 _{36,864 (2,56 )} 0,5 t _{36,864 1,6} t

1. a. _{B 1 3 } t b./c. ₃t _2 Voer in: x 1 2 y 3 en y 2 _intersect: x 0,63 Op 20 april is de oppervlakte 2 dm2_. d. ₃t _{3 3}t _{4 3}t _{6 3}t _9 t 1 t 1,26 t 1,63 t 2

e. De groeifactor per maand is 3. In een maand tijd wordt elke hoeveelheid drie keer zo groot.

2.

a. t 3log4 t 3log6 en t 3log9 2

b. ₃t _{5 en 5}t _3

c. 3_{log5 is de tijd die, bij een exponentiële groei met groeifactor 3, nodig is om een hoeveelheid} te ver-5-voudigen.

Bij een exponentieel groeiproces met groeifactor 5 is 5_{log3 de tijd die nodig is om een} hoeveelheid drie keer zo groot te maken.

3. De machten van 3: 3_{log1 0, log3 1, log9 2, log27 3, log81 4, log243 5} 3 _ 3 _ 3 _ 3 _ 3 _{ en} 3_{log729 6 .}

4.

a. 3log27 3 omdat 3 3 27 c. 3_{log3 3 1,5 omdat 3 3 3 3 } 1_ 0,5 _31,5

b.    2  

3 1 1 1 2

9 9 3

log 2 omdat 3 _d. 3_{log1 0 omdat 3} 0 _1

5.

a. Kijk tussen welke machten van 3 12 ligt. _{9 3} 2 _{12 3} 3 _{27, dus 2}3_{log12 3} b. ₅4 _{625 en 5}5 _{3125 dus 4} 5_{log1000 5} c. _0,10 _{1 en 0,1}1 _10 dus _{ 1} 0,1_{log5 0} d. 1 0 1 1 5 5 ( ) 1 en ( ) 0,2 dus 1 5 0 log0,3 1 6. a. -b. (4,169925; 18) c. 2_{log18 4,17} 7. a. 1 x 2 ( ) 0,1 _{b. 10}x _{1100 c. 0,3}x _15 1 2

x log0,1 3,32 _x 10_{log1100 3,04 x} 0,3_{log15 2,25}

d. ₄x _33 4

x log33 2,52

a g

8.

a. _{100 2} t _150 Voer in: x

1 2

y 100 2 en y 150 _intersect: x 0,58

Na ongeveer 17,5 dagen zijn er 150 muizen. b. Voer in: y3 250 intersect: x 1,32

Om het aantal muizen van 150 naar 250 te laten groeien, duurt ongeveer 39,7 17,5 22  _dagen

c. Dat duurt ongeveer 39,7 dagen.

9. a. _{30 2} t _{90 b. 30 2} t _{120 30 2} t _360 t 2 2 3 t log3 1,58    t 2 2 4 t log4 2    t 2 2 12 t log12 3,58   

c. 2_log32_log42_log12

d. In 2_{log3 wordt een hoeveelheid (zeg b) drie keer zo groot (3b). Als we daar} 2_{log5 tijd}

bijtellen, wordt gedurende die periode de hoeveelheid vijf keer zo groot (5 3b 15b  ). In totaal is de hoeveelheid 15 keer zo groot geworden. Dus samen is het 2_log15.

e. Eerst wordt de hoeveelheid a keer zo groot en dan wordt die hoeveelheid b keer zo groot. Gedurende de hele periode wordt de hoeveelheid ab keer zo groot.

10.

a. _{2 log7}2 _ 2_log7 2_log7 2_{log(7 7) } 2_log72

b. _{5 log7}2 _ 2_log72_{log7 ... }2_log7 2_{log(7 7 ... 7)   } 2_log75

c.

-d. loga terug in de tijd is gelijk aan de tijd die nodig om een hoeveelheid a keer zo klein te maken.

11.

a. 2_log52_log7 2_{log35 } 2_log352_log5 2_log7

b. g g b g b g

a a

log a log  loga  logb

c. g g g b g b 1 g a

a a b

log a_ logb_{  }1 log _ log( ) _ log

12.

a. 5_log125_log3 5_log36

b. 3_{log5 2 log 4 }3 _ 3_log53_log16 3_log80

c. _{2 log36 4 log3}2 _{ }2 _2_log12962_log812_{log16 4} d. 7_log507_log6 7_{log30 } 7_log250

13.

a. _12_log2

b. _12_logx 2_log22_logx 2_log2x

c. 2x x 7 

14.

a. 3_logx3_{log5 2 log10 }3 _b. 4_{logx 2 }4_log15

3_log5x 3_log100 5x 100 x 20   

4_logx 4_log16 4_log15 4_log240 x 240

  



c. 6_log546_{log 4x} 6_{log9 d. 3}2_logx 2_log7

6 6 6 6

1 2

log4x log54 log9 log6 4x 6 x 1      2 2 2 2 7 8

log8 logx log8x log7 8x 7

x

  

 

15. 2_logx 2_log22_log32_{log4 ... }2_log100 2_{log(2 3 4 ... 100)    } 2_log(100!)

x 100! 16.

a.

b. _{x 10} 5 _100.000

c. Het grondtal is 10, omdat er bij de machten van 10 de logaritme een geheel getal uitkomt. c. _{log1000000 log10} 6 _{6 en log0,0001 log10} 4 _{ 4}

17.

a. log3 0,477 log30 1, 477 log300 2,477 _en log10 1

b. log30.000 log(10.000 3) log10.000 log3 4 log3     

c. log0,003 log(0,001 3) log0,001 log3      3 log3 18.

a. 10_log2x _{ x log2}10 _ 10_log5 b. 1010

log5 log2

x  (volgt uit a) en _x2_{log5 (omdat x de oplossing is van 2}x _5). c. 2_{log5 2,32}

19. _x 7_{log4 is de oplossing van 7}x _4

10 10 10 x 10 10 10 log 4 log7 log7 log4 x log7 log4 x     20. a. 2_{log7 2,81 c.} 25_{log0,5 0,22} b. 1 2log128 7 d. 2log64 12 x 2 5 10 25 100 1000 logx 0,30 0,70 1 1,40 2 3

21.

a. 2_{log128 7} 3_{log128 4,417} 4_{log128 3,5}

b. Omdat _{128 2} 7

c. ₄3,5 _{4 4}3_ 0,5 _43_{ 4 64 2 128  }

22.

a. ₇t _2

b. _t 7_{log2 0,36 jaar 130 dagen } c. ₇t _8

7

t log8 1,07 jaar 390 dagen 

d. Omdat _{2 2 2 2  } 3 _8 23. a. P(t) 100 0,96  t b. P(t) 50 _c. P(t) 20 t 0,96 0,96 0,50 t log0,50 17    t 0,96 0,96 0,20 t log0,20 39   

Na zo’n 17 uur. De batterij is ongeveer 39 uur te gebruiken. d. _{P 100 0,96 } t t 0,96 P 0,96 100 P t log( ) 100   e. t 0,96log₁₀₀50 17 _en 0,96 20 100 t log 39_{, klopt.} 24. a. 1 4 f( 2)  1 2 f( 1)  f(0) 1 f(1) 2 f(2) 4 _en f(3) 8 b. g(0,25) 2 g(0,5) 1 g(1) 0 g(2) 1 g(4) 2 _en g(8) 3 c.

d. De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot: y 0

en de grafiek van g een verticale asymptoot: x 0 .

25.

a.

b. D :f ¡ en B : 0,f

k k

D : 0, en B :¡

c. De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot:

y 0 _{en de grafiek van k een verticale asymptoot:} x 0 . d. f: (0, 1) en k: (1, 0) x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 2 4 6 8 -2 -4 f(x) g(x) x y 2 4 6 8 10 -2 -4 1 2 3 4 5 -1 -2 y=3 f(x) k(x)

e. f(x) 3 g(x) 3 x 1,5 1,5 3 x log3 2,7 x 2,7     1,5 3 logx 3 x 1,5 3,375 0 x 3,375      26.

a.  Hoe groter het grondtal, hoe minder snel de grafiek stijgt.  Domein: 0, en Bereik: ¡

 Snijpunt met de x-as: (1, 0) b./c. zie a.

d. De grafieken van m en n zijn dalend. Hoe groter het grondtal hoe sneller de grafiek daalt. Domein en bereik zijn hetzelfde gebleven als dat van de functies f, g en k.

Ook deze grafieken gaan door (1, 0).

e. De grafiek van _y g_{logx is dalend voor 0 g 1  en stijgend voor g 1 .}

27. a. f(x) 0 g(x) 0 2 0 logx 0 x 2 1    1 2 0 1 2 logx 0 x 1    b.

c. De grafiek van g is het beeld van de grafiek van f bij spiegeling in de x-as. d. Ja. e. 1 g g g g g g g 1 g 1 g g

logx logx logx logx

logx logx

1 log logg 1 logg

         28. a. b. f(x) 0 2 2 1 1 2 1 logx 0 logx 1 x 2      

c. Door de grafiek van h(x) 1 omhoog te verschuiven krijg je de grafiek van f(x). d. g(x) 0 g(x) 4 _e. f(x) 4 1 2 f(x) 6 2 0 1 2 log2x 0 2x 2 1 x     2 4 log2x 4 2x 2 16 x 8     2 2 3 1 logx 4 logx 3 x 2 8      1 2 2 1 2 2 1 2 5 1 logx 6 logx 5 0 x 2 32 2      

f. met algebra: _g(x) 2_log2x2_log22_{logx 1 }2_{logx f(x)}

x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 f(x) g(x) x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3

29. a. 5 2x 0  x 4 0  2x 5    x 4 1 2 x 2

b. De verticale asymptoot van f is 1 2 x 2 _{en die van g is x} ₄. c. 2_{log(5 2x) 2  }2_{log(x 4)} 2 2 2 2 2 5 6 2 5 2 6 3

log(5 2x) log4 log(x 4) log(5 2x) log(4x 16) 5 2x 4x 16 6x 11 x 1 S( 1 , log8 )                d. f(x) g(x) voor x   4, 15₆ 30.

a. De concentratie is 10 op het tijdstippen 34.

b. na 35 dagen is de concentratie 100 en na ongeveer 37 dagen 1000. c. Nee de groei is steeds sterker.

d. Horizontaal is de schaalverdeling lineair en verticaal worden ze steeds 10 keer zo groot. e. De machten van 10 zijn lineair.

31.

a. I: 102 _0,01 , 10 , 101 0 _1 , ... , 104 _10000

b. ₁₀3,5 _3162 c. ₄2,5 _32

d. I: ₁₀x _{20  x log20 1,30  10}x _{50  x log50 1,70 }

II: ₄x _{20  x} 4_{log20 2,16 4}x _{50  x} 4_{log50 2,82} e. ₁₀2,5 _316

32. moeilijk af te lezen.

a. ongeveer van ₁₀10,2 _{m 0,0631 nm tot 10}8,2 _{m 6,31 nm .}

b. _{380 nm 380 10 m 3,8 10 m } 9 _{ } 7 _{en 750 nm 750 10 m 7,5 10 m } 9 _{ } 7

33.

a. b.

c. Na ongeveer 2,5 uur is de oppervlakte 2 km2_.

t in uren 0 1 2 3 4 5 6 O in km2 _{0,12 0,36 1,08 3,24 9,72 29,16 87,48} t (in uren) A (in km2) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

d. O(t) 0,12 3  t t t 3 0,12 3 10 3 83,33 t log83,33 4,026     

Om 14.02 uur was de oppervlakte 10 km2_. e.

f.

g. De oppervlakte was om half negen (t 121) ongeveer 0,024 km2 34. a. 100 0,6 th 50 b. 100 0,6 t 36 h t 0,6 h 0,6 0,5

t log0,5 1,36 dagen 33 uur     t 0,6 0,6 0,36 t log0,36 2 dagen    c. _{100 0,6} t _18 t 0,6 0,6 0,18 t log0,18 3,36 dagen   

Dus na 3 dagen en 21 uur moet er opnieuw ingespoten worden.

d. 18 mg is de helft van 36 mg. Dus moet antwoord d ongeveer 33 uur (de halfwaardetijd) later zijn dan antwoord c.

35.

a. D(5) 43 D(7) 40 D(10) 36,9 _en D(20) 30,9

b. 5 5 2

2 4,9 10

D 10 log( ) 10 (log(4,9 10 ) log(r )) 10 (5,69 2 logr) 56,9 20 logr r               c. D 0 2,845 20 logr 56,9 logr 2,845 r 10 700 meter      36. a. 6 5 5 5 log5 1 log5 log6 log6   b. b a b b logb 1 logb loga loga  

c. Dit is een rekenregel. d. Tja.

e. Het grondtal van de logaritmen is groter dan 0 en ongelijk aan 1.

Als a 1 dan is g_loga g_{log1 0 en je mag natuurlijk niet door 0 delen.}

V(t) O (in km2) 1 2 3 4 -1 -2 -3 10 0,1 0,01 P t -2,26 -0,17 1,93 4,03 6,12 8,22 A 0,01 0,1 1 10 100 1000

37.

a. De levensduur van koper is ongeveer 313 10_{8,7 10}_ 66 36 jaar. Dat is ongeveer 420₃₆ 11,7 zo groot als de

levensduur van chroom.

b. 6 t koper V 8,7 10 1,058  _en 6 t chroom V 1,9 10 1,033  koper chroom V  6 V Voer in: 6 t 6 t 1 2 y 8,7 10 1,058 en y  11,4 10 1,033  _intersect: x 11,3

Vanaf 1982 is het jaarverbruik van koper minstens 6 keer zo groot als dat van chroom. c. * 230 log(420 3,3 100) 460

3,3

L _     _81,7

De voorraad chroom is dan in 2052 uitgeput. d. 30 230 log(L 6,1 100) 460

6,1

   

 _{(mag ook met GRM opgelost worden)}

2,80 230 log(6,1 L 100) 460 183 230 log(6,1 L 100) 643 log(6,1 L 100) 2,80 6,1 L 100 10 625 6,1 L 525 L 86 jaar                   

T_1.

a. B(t) 600 2  t _{met t de tijd in dagen.}

b. 2log40 is de oplossing van de vergelijking ₂t _40.

c. In t2log40 _{dagen is de hoeveelheid 40 keer zo groot geworden: 24000 bacteriën.}

T_2.

a. log35 log7 log  357 log5

b. 2_{log6 3 log5 }2 _ 2_log62_log53 _ 2_log62_log125 2_{log6 125 } 2_log750 c. 3 log54 4log0,2 4log53 4log0,2 4log1254log0,2 4log1250,2  4log625 d. 5log45log9 2 log3 5  5log45log95log32 5log45log95log9 5log 4

e. 2 log5 log100 log5 log500   

f. log0,1 10 log10    1 10 9 T_3. a. 3log37 3,287 d. 2log( )₉1  3,170 b. 0,2log10 1,431 e. 2log7 2,807 c. log 2 0,151 f. 0,1_{log64 1,806} T_4. a. g6,6 0,5 1 6,6 g 0,5 0,90

De hoeveelheid tot 10% verminderen: _0,90t _0,10 c. _t 0,90_{log0,10 21,85 jaar} d. _0,90t _0,01 0,90 t log0,01 43,71 jaar T_5. a. f: x 1 0  g: 2 x 0  h: 2x 0 x 1 x 2 x 0

b. De verticale asymptoten zijn resp. x 1, x 2 en x 0   _.

c. 3_{log(x 1) } 3_log2x x 1 2x

x 1    

Maar x 1 zit niet in het domein van f en h. d. 3_{log(2 x) } 3_log2x 2 3 3 2 1 3 3 2 x 2x 3x 2 x S( , log1 )     T_6. Moeilijk af te lezen.

T_7. a. Omdat 13 3 3 3 3 3 1 3 1 3

logx logx logx

g(x) logx 1 logx 1 f(x)

1 log log3

         

 b. _h(x) 3_log8x3_log83_logx 3_{log8 f(x)}

Als je de grafiek van f 3_{log8 naar boven verschuift, ontstaat de grafiek van h.}

T_8. _{ 1} 2_{log(5x 2) } 2_logx2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2

log log(5x 2) log(2 x 1) logx x 2 x 1 x 2 x 1 (x )(x 2) 0 x x 2                 T_9. _{f( 1) } a_{log( 1 b) c 0    , f(1)} a_{log(1 b) c 1   en   3 b 0} Uit de laatste vergelijking volgt b 3

Invullen in de eerste twee vergelijkingen: a_{log2 c 0 en log4 c 1 } a _{ }

a a

a a a

2

log2 1 log4 log4 log2 log2 1 a 2 c log2 1           