Hoofdstuk 1 Systematisch tellen

Hoofdstuk 1:

Systematisch tellen

1 In het boomdiagram zijn er twee wegen die er voor zorgen dat Frank moet afwassen, één weg voor Harry en één weg voor Ruud.

2

a./b./c.

d. Er zijn 8 verschillende volgorden.

e. Als je vijf keer een geldstuk opwerpt zijn er 5

2 2 2 2 2 2     32 verschillende volgorden.

3

a. Voor het eerste bordje heeft hij 5 mogelijkheden en voor het tweede stap nog maar 4 mogelijkheden.

b. Bij het derde, vierde en vijfde bordje zijn er resp. 3, 2 en 1 keuze. Hij kan de bordjes op 5 4 3 2 1 120     verschillende manieren ophangen.

4

a. Een dipswitch kun je aan en uit zetten; twee mogelijkheden. Er zijn dus _{2 2 2 2  } 3 _{8 dipswitch-instellingen mogelijk.} b. Er zijn dan ₂8 _{256 dipswitch-instellingen mogelijk.}

c. 2aantal dipswitches _1000_{. Bij 10 verschillende dipswitches kun je voor 't eerst meer dan}

1000 verschillende instellingen maken.

5

a. Het aantal takken wordt steeds één kleiner, dus een faculteitsboom.

b. Er zijn 3 2 1 6   verdelingen mogelijk.

c. Dan zijn er 5 4 3 2 1 120     verdelingen mogelijk.

6 Er zijn 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3.628.800          volgorden. 7 a. math, prb, optie 4: 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12! 479.001.600             b. 8! 40.320 c. _{25! 1,55 10 } 25 d. _{15! 1,31 10 } 12 e. 9! 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8! 8 7 6 5 4 3 2 1                  en 100! 100 99 98 ... 2 1 100 99 9900 98! 98 97 ... 2 1              8

a. faculteitsboom: 5! 120 verschillende rijen. b. faculteitsboom: 4! 24 verschillende ‘woorden’. c. machtsboom: ₁₀4 _{10.000 verschillende pincodes.} d. machtsboom: ₃50 _{7,18 10} 23 _{mogelijke antwoorden.} e.

-9

a. 7! 5040 verschillende woorden.

b. 7 6 5 210   verschillende drie letter woorden. c. 7 6 5 4 3 2520     verschillende vijf letter woorden.

10 9 8 7 6 5 4 60.480      verschillende beginopstellingen. 11 a./b. _{23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13} 23! _{5,40 10}13 12!              12 a. 45 44 43 42 41 40 39 38 45! 8,69 1012 37!           b. 15 14 13 12 11 10 9 8 7 15! 1.816.214.400 6!           c. 18 17 16 15 14 13 18! 13.366.080 12!        d. 36 35 34 33 32 31 30 36! 4,21 1010 29!          13

a. Dat kan op 26 25 24 23 358.800    manieren

b. Dat kan op _{40 39 38 37 36 35 34 33 32 31} 40! _{3,08 10}15 30!

            manieren.

14

a. Om r termen over te houden moet je n termen delen door n - r termen.

b. 1! 1! 1 (1 1)! 0! , dus 0! 1 15 a. 20 19 18 17 16 15 20! 27.907.200 14!        b. 4 uit 14: 14 13 12 11 24.024    3 uit 12: 12 11 10 1320   9 uit 12: 12! 79.833.600 3! 

16 Uit 20 vragen kies je een top 3.

17

a. Nederlands, Engels en Zweeds kunnen in willekeurige volgorde geplaatst worden. Dat kan op 3! 6 verschillende manieren.

b. Dan zijn er 7 6 5 210   wikkels mogelijk.

c. Je moet nog twee andere talen kiezen uit 9. Dat kan op 9 8

2 36 verschillende manieren. De drie talen kun je op 6 verschillende manieren op de wikkel zetten. Er zijn 6 36 216  verschillende wikkels met ‘suiker’.

18

a. Omdat de uitspelende club 3 keer scoort (3 stappen omhoog) en de thuisspelende club 2 keer (2 stappen naar rechts). b.

c. uuutt, uutut, utuut, tuuut, uuttu, ututu, tuutu, uttuu, tutuu, ttuuu d. Er zijn 10 scoreverlopen met 2 – 3 als eindstand.

19

a. zie punt R in het diagram hierboven. b. uutt, utut, tuut, uttu, tutu, ttuu: 6 routes. c. uuut, uutu, utuu en tuuu: 4 routes.

d. 6 4 10  routes: om de eindstand van 2 – 3 te bereiken moet ofwel de thuisclub het laatste doelpunt gemaakt hebben (via 1 – 3) ofwel de uitclub (via 2 – 2).

20

a. Er is maar één route om van A naar punt B of naar punt F te gaan.

b. Er is elke keer maar één route (zonder omwegen) vanuit A om in die punten te komen.

c.

d. Naar J gaan 4 1 5  routes.

e. Naar punt N gaan er 6 4 10  routes.

Naar punt P gaan 10 5 15  verschillende routes.

21

a. (2, 4)

b. Er zijn 15 verschillende routes van (0, 0) naar (2, 4).

c. Dan moet je naar punt (2, 5) lopen: 21 verschillende patronen.

22

a. Het aantal kortste routes van (0, 0) naar (8, 4) is 495. b. Van (0, 0) naar (2, 6): er zijn 28 bytes mogelijk.

23

a. Er zijn routes van P naar R die niet via Q gaan.

b. Het aantal routes van P naar Q is 20 en het aantal routes van Q naar R is hetzelfde als het aantal routes van O(0, 0) naar (2, 2) en dat zijn er 6.

Het aantal routes van P via punt Q naar punt R is 20 6 120  .

24

a. Langs de horizontale as zet je het aantal thuisdoelpunten en verticaal het aantal uitdoelpunten.

b. Dat is dan het aantal routes van (0, 0) naar (4, 6). c. Dat aantal is gelijk aan 210.

d. Van (0, 0) naar (2, 2) zijn 6 verschillende scoreverlopen. Van (2, 2) naar (4, 6) zijn 15 verschillende scoreverlopen. In totaal dan 6 15 90  scoreverlopen.

25

a. Van (0, 0) naar (4, 8) zijn 495 routes.

b. vijf bij de eerste zeven: 21 verschillende mogelijkheden drie bij de laatste vijf: 10 verschillende mogelijkheden. In totaal 210 verschillende manieren.

26 a. een faculteitsboom b. 5 4 3 60   verschillende top-drie’s. c. 5 4 3 5 4 3 2 1 5! 2 1 2!          27

a. Hij kiest dan dezelfde drie cd’s.

b. ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE en CDE c. klopt!

28

a. Bij Jelle is er sprake van een rangschikking: 1e_{, 2}e _{en 3}e _{plaats. De volgorde is van} belang. Bij Farid is de volgorde niet van belang; het gaat bij hem om een drietal cd’s.

b. Je kunt drie cd’s op 3! 3 2 1   verschillende manieren rangschikken.

c. Je moet dan nog delen door het aantal verschillende keren dat elk drietal voorkomt. d. 5 4 3 5 4 3 2 1 5! 3 2 1 3 2 1 2 1 3! 2!   _     _        29 a. 9 8 7 504   verschillende feestcommissies.

b. Elk drietal komt 6 keer voor. Dus moet antwoord bij a nog door 6 gedeeld worden. c. 9 8 7 9 8 7 6! 9! 6 3 2 1 6! 3! 6!   _    _     30 a. 10 9 8 10 9 8 7! 10! 3 2 1 3 2 1 7! 3! 7!   _    _       b. Yep. 31

a. Van de 10 stappen moet je er 3 naar rechts en 7 omhoog maken.

b. 10 120 3        32 a. 4 uit 20: 20 4845 4        en 7 uit 12: 12 792 7        b. 19 969 3        20 38.760 6        60 60 59       

c. Als je 14 elementen uit 20 kiest, blijven er 6 over. Je kunt ook eerst die 6 bedenken die je niet gaat kiezen.

33

a. Je moet er 8 uit 30 kiezen: 30 5.852.925 8

    

b. Uit 22 toeristen moeten er 10 gekozen worden: 22 646.646 10  _     manieren. c. Op _{5.852.925 646.646 3,78 10  } 12 _manieren. d. Dat kan op 30 20 1 5,55 1012 10 10                 manieren. 34

a. 5 rijtjes met één rode bal. b. twee rode ballen: 5 10

2  

  

  rijtjes drie rode ballen: 5 10 3        rijtjes en met vier rode ballen zijn er ook 5 rijtjes mogelijk.

c. Met geen enkele rode bal en vijf rode ballen is er maar één rijtje mogelijk. d. In totaal: 1 5 10 10 5 1 32      verschillende rijtjes.

35 a. zie opgave 34. b. 7 7 ... 7 7 1 7 21 35 35 21 7 1 128 0 1 6 7    _{  }   _{         }                 c. ₂7 _128 36

a. Aantal routes van (0, 0) naar (4, 2): 15 rijtjes. b. 1 6 15 20 15 6 1 64      

c. Je hebt bij elke stap keus uit twee mogelijkheden.

37

a. 7! 5040 verschillende ‘woorden’.

b. Elk tweetal woorden wordt dan hetzelfde woord. Je houdt dan 2520 woorden over. c. Weer de helft: 1260

38

a. Als de K’s en M’s verschillend zijn dan zijn er 7! 5040 verschillende woorden. Door de verschillende K’s gelijk te maken blijft de helft over en door de M’s gelijk te maken blijft weer de helft over. Dus 7! 1260

2 2 

b. 3! 6 woorden worden vervangen: het aantal verwisselingen van E, F en G. c. Je houdt dan 1260 6 210 woorden over. 39 a. 10! 3.628.800 verschillende rijtjes. b. 10! 30.240 5!  verschillende rijtjes. c. 10! 2.520 5! 3! 2!   verschillende rijtjes. 40 a. 14! 168.168 5! 3! 6!   b. 9! 504 3! 5!  c. 12! 9.979.200 4! 2! 

41

a. Van A naar B zijn er 20 verschillende routes (naar (3, 3)) en van B naar C zijn er 6 verschillende routes (naar (2, 2)). Van A naar C zijn er 20 6 120  verschillende routes.

b.

42

43

a. Er zijn vier gezinssamenstellingen met 3 jongens en 1 meisje. b. Aantal routes van (0, 0) naar (2, 2): 6

c. ₂4 _{16 samenstellingen met 4 kinderen.}

d. 6 15

2  _    

e. ₂6 _{64 samenstellingen met 6 kinderen.}

44

a. Je neemt telkens de som van de twee getallen die er schuin boven staan. b. 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

c. De elfde rij bestaat uit 12 getallen.

d. Je hebt dan 8 stappen naar links en 3 stappen naar rechts gemaakt.

e. 12 792 5  _     45 a. _{(a b )}2 _a2_{2ab b} 2 b. _{(a b )}3 _{(a b a b )(  )}2 _{(a b a )(} 2_{2ab b} 2_)a3_{3a b}2 _3ab2_b3 c. in de tweede en derde rij van de driehoek van Pascal.

46 a. op 4 manieren. b. die komt op 4 6 2        manieren voor. c. _{(a b )}4 _a4_{4a b}3 _{6a b}2 2_4ab3_b4 d. Dat zijn de getallen 4

0      , 4 4 ,..., 1 4             e. ( )5 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 5 5 0 1 2 3 4 5 a b _{ } a _{ } a b _{ }a b  _{ }a b _{ } ab  _{ }b              _a5_{5a b}4 _{10a b}3 2_{10a b}2 3 _5ab4_b5

47

a. die bestaat uit 8 termen.

b. _{(x y )}7 _{ x}7_{7x y}6 _{21x y}5 2_{35x y}4 3_{35x y}3 4_{21x y}2 5 _7xy6_y7 c. 2 2 2 5 2 52 1 2 2 5 1 52 2 10 25 0 x 1 x 2 x x x x                                   d. _(x2)4 _x4_4x3_{ 2 6x}2_22_4x23_24 _{ x}4 _8x3_24x2_32x16 5 5 4 3 2 2 3 4 5 (p3) p 5p  3 10p 3 10p 3 5p3 3  5 ₁₅ 4 ₉₀ 3 ₂₇₀ 2 _{405 243} p p p p p       e. _{(a b)}5 _a5_5a4_{  b 10a}3_{ ( b)}2_10a2_{ ( b)}3_{5 (a b)}4_{ ( b)}5 _{ a}5_{5a b}4 _{10a b}3 2 _{10a b}2 3_{5a b} 4_b5 f. _{(j m )}4 _{ j}4_{4j m}3 _{6j m}2 2_4jm3_m4

Dit zijn alle gezinssamenstellingen met 4 kinderen.

48 (1 1) 1 1 1 1 1 2 12 ... 1 ... 0 1 2 0 1 2 n n n n n n n n n n n n n n n                    _{ } _{ }  _{ }   _{ } _{     }   _{ }                 49

a. Zie het boomdiagram hiernaast. b. 15 volgorden.

c. gg, gfg, gffg, fgg, fgfg en ffgg: 6 volgorden.

50

a. Uit de twee keepers moet hij er 1 kiezen en uit de 10 veldspelers moet hij er 7 kiezen: 2 10 240

1 7

  _ _    

    teams. b. De keeper kan niet gewisseld worden.

Hij moet dus 4 spelers uit een groep van 7 kiezen, waarbij de volgorde niet van belang is: 7 35

4  _     samenstellingen. 51

a. Uit de 24 leerlingen moet hij er 10 kiezen om op maandag een gesprek mee te voeren. Dat kan hij doen op 24 1.961.256

10  

  

  manieren.

b. 10 leerlingen kunnen op 10! 3.628.800 manieren op een rij gezet worden.

c. Op drie van 10 plaatsen moet een jongen geplaatst worden. Dat kan op 10 120 3        manieren. d. 21 13 10 58.198.140 8 3 10                      manieren.

52 a. 7! (10 9 8 7 6 5 4 3) 762.048.000 3! 2!          b. 7! 108 42.000.000.000 3! 2!   53 a. _{(x y )}6 _x6_6x5_{  ( y) 15x}4_{ ( y)}2_{20 (x}3 _y)3 _15x2_{ ( y)}4 _{6 (x y)}5_{ ( y)}6 _{ x}6_{6x y}5 _{15x y}4 2_{20x y}3 3 _{15x y}2_ 4 _6xy5_y6 b. _(3x4)2 _{(3 )x} 2_{ 2 3x 4 4}2 _9x2_24x16 c. _(2p3)5 _{(2 )p} 5_{5(2 ) 3 10(2 ) 3p} 4_{  p} 3_ 2 _{10(2 ) 3p} 2_ 3 _{5(2 ) 3p } 4_35 _{ 32p}5_240p4_720p3 _1080p2_{810p243} d. _{(a2 )b} 6 _a6_6a5_{ ( 2 ) 15b  a}4_{ ( 2 )b} 2_20a3_{ ( 2 )b} 3 _15a2_{ ( 2 )b} 4 _{6 ( 2 )a  b} 5_{  ( 2 )b} 6 _a6_{12a b}5 _{60a b}4 2_{160a b}3 3 _{240a b}2 4_192ab5 _64b6 e. die komt 7 3 53 4 590.625 3          keer voor. 54

a. Iedere jongen heeft keus uit 3 meisjes. In totaal zijn er 3 3 3 27   keuzemogelijkheden voor de jongens.

b. A en B kunnen hetzelfde meisje kiezen (keus uit 3 meisjes). Jongen C heeft dan keus uit de twee andere meisjes. Er zijn 3 2 6  keuzemogelijkheden waarbij jongen A en B hetzelfde meisje kiezen.

De jongens A en C en de jongens B en C kunnen ook hetzelfde meisje kiezen. In 3 6 18  gevallen kiezen twee jongens dus hetzelfde meisje.

c. A, B en C kiezen resp. DEF of DFE of EDF of EFD of FED of FDE.

d. Bij elke keuze van de jongens zijn er 27 keuzes van de meisjes. In totaal zijn er 27 27 729  verschillende keuzemogelijkheden voor alle kandidaten.

e. In 6 van de 729 gevallen zijn er drie 'love-duo's. Dat is één op de 121,5. De presentator heeft dus niet gelijk.

Test jezelf

T-1

a. faculteitsboom.

b./c. 6 5 4 3 2 1 6! 720       verschillende getallen.

d. Voor elk van de 10 cijfers heb je keus uit 6: ₆10 _{60.466.176 getallen.}

T-2 a. 5 uit 88: 88 87 86 85 84 4.701.090.240     b. A. 23 22 21 20 19 23! 4.037.880 18!       B. 58 57 56 55 54 53 58! 2,91 1010 52!         T-3

a. in het rooster naar (3, 3): 20 manieren.

b. in het rooster naar punt (6, 5): 462 wedstrijdverlopen. c. in het rooster via (5, 1) naar (7, 4): 6 5 60

5 2    

     

    wedstrijdverlopen. d. in het rooster naar (6, 2): 28 mogelijkheden.

e. in het rooster via (3, 3) naar (5, 5): 6 4 120 3 2               . T-4 a. 1 verdeling. b. 55 mogelijkheden. c. 55 55 3,09 1015 30 25                d. 13 29 26 5,32 10 20 10                T-5 a.

b. Voor elk doelpunt heb je twee keuzes: t of u In totaal ₂8 _{256 mogelijke scoreverlopen.} c. 10 10 10 ... 10 210 1024 0 1 2 10                               d. 15! 180.180 2! 7! 6!   T-6

a. _{(p q )}8 _{bestaat uit 9 termen.}

b. _{(p q )}8 _p8_{8p q}7 _{28p q}6 2 _{56p q}5 3_{70p q}4 4_{56p q}3 5 _{28p q}2 6_8pq7_q8 c. _(a3)6 _a6_6a5_{ 3 15a}4_32_20a3_33_15a2_34_{6 3a} 5_36 _

_a6_18a5 _135a4_540a3_1215a2_{1458a729}

d. _(a2)4 _a4_4a3_{  ( 2) 6a}2_{ ( 2)}2_{4 ( 2)a } 3_{ ( 2)}4 _a4_8a3 _24a2_32a16

T-7

a. 1 scoreverloop. b. 3 scoreverlopen: ttut tutt en uttt c. in het rooster naar (5, 2): 10 scoreverlopen.

T-8 a. 20! 20 12 1 99.768.240 8! 7! 5! 8 7     _{  } _    _{   } b. 15! 360.360 3! 7! 5!   T-9

a. Uit 9 cijfers moet je er 3 kiezen: 9 84 3  

  

  verschillende manieren.

b. Bij elk cijfer dat je wegponst, kun je 4 andere cijfers wegponsen voor het tweede gaatje. In totaal zijn dat 4 9 36  verschillende manieren. Maar dan heb je elke combinatie dubbel geteld. Dus er zijn 18 verschillende mogelijkheden.

c. 1 cijfer: 9 verschillende kaartjes 2 cijfers: 9 36 2  _     verschillende kaartjes 3 cijfers: 9 84 3  _  

  verschillende kaartjes, etc.

In totaal dus 9 9 9 ... 9 9 36 84 126 126 84 36 9 1 511

1 2 3 9

     _{   } _{         }        

       