CSE 2018: 6 VWO wiskunde B tijdvak II

(1)

Examen VWO

2018

tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30 – 16.30 uur

wiskunde B

(2)

Formules

Goniometrie

sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )

t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u            

sin(2 ) 2sin( )cos( )t  t t

2 2 2 2

(3)

Loodrecht in de perforatie

De functie f is gegeven door f x( ) 2 2 x 1

x

  



Ook is gegeven de functie h door ( ) 2

1 1 h x x    . Voor x0 geldt: f x( )h x( ).

3p 1 Bewijs dat voor _x₀_geldt:f x( )h x( )_.

Verder is de functie g gegeven door g x( ) 4x2 x

x



 .

Er is een lijn k die voor x0 samenvalt met de grafiek van g.

In figuur 1 zijn de grafieken van f en g weergegeven. Punt P(0, 1) is de perforatie van beide grafieken. In figuur 2 zijn de grafiek van h en lijn k weergegeven en ook hun snijpunt P.

figuur 1 figuur 2

Er geldt:

de grafieken van f en g staan in hun perforatie P loodrecht op elkaar als de grafiek van h en lijn k in hun snijpunt P loodrecht op elkaar staan.

5p 2 Bewijs dat de grafieken van f en g in hun perforatie P loodrecht op elkaar staan.

IJsbol

De snelheid waarmee een ijsklontje smelt, hangt onder foto andere af van de verhouding tussen de oppervlakte A in

cm2_{en het volume V in cm}3_{van het ijsklontje. Deze}

verhouding wordt uitgedrukt in het quotiënt A

V .

Voorbeeld: bij een kubusvormig ijsklontje met ribben van 3 cm is dit quotiënt gelijk aan 54

27 2.

Er zijn ook bolvormige ijsklontjes ofwel ijsbollen. Zie de foto.

(4)

Voor een bol met straal r gelden voor A en V de formules _A_₄__r2_en 4 3 3

V  r . Bij een ijsbol met hetzelfde volume als het genoemde kubusvormige ijsklontje met ribben van 3 cm is het quotiënt A

V kleiner dan 2.

4p 3 Bereken algebraïsch dit quotiënt bij deze ijsbol. Rond je eindantwoord af op 2

decimalen.

Een ijsbol wordt in een glas water gedaan, waarna de figuur ijsbol in het water drijft. Op het moment dat de ijsbol in

het water wordt gedaan, heeft deze een straal van 1,5 cm. Er geldt dat 92% van het volume van de ijsbol onder water zit en 8% erboven. Het volume van de ijsbol is dan

3 4

31,5 14,137 cm3.

Het deel van de ijsbol onder het wateroppervlak is op te vatten als een omwentelingslichaam dat ontstaat bij wenteling van een deel van de cirkel met vergelijking

2 2 _2,25

x y  om de y-as. Zie de figuur.

5p 4 Bereken hoeveel cm de ijsbol boven het water uitsteekt op het moment dat hij in het

water wordt gedaan. Rond je eindantwoord af op 2 decimalen.

In een wiskundig model van het smelten van een ijsbol wordt ervan uitgegaan dat de ijsbol tijdens het smelten bolvormig blijft. De straal van de ijsbol is afhankelijk van de tijd. De straal van de ijsbol op tijdstip t is r t( ), met t in minuten.

Het volume van de ijsbol op tijdstip t is dan 4 3 3

( ) ( ( ))

V t   r t . In het model wordt er verder van uitgegaan dat de formule van r t( ) lineair is.

Een ijsbol heeft op tijdstip t 0 een straal van 1,5 cm. Op tijdstip t 10 is het volume van deze ijsbol gehalveerd. Vanaf een bepaald tijdstip is er geen ijs meer aanwezig.

5p _{5 Bereken vanaf welk geheel aantal minuten er voor het eerst geen ijs meer aanwezig}

is.

Constante verhouding

Voor a0 wordt de functie fa gegeven door f xa( ) x xln(ax).

4p 6 Bewijs dat voor elke toegestane waarde van x geldt: 1

1 ( ) ( ) ( ) 2 a a f x f x f x   Voor elke positieve waarde van a geldt:

- de grafiek van fa snijdt de x-as in precies

één punt S (met x-coördinaat xS);

- de grafiek van fa heeft één top T (met

x-coördinaat xT).

In de figuur zijn voor een waarde van a de grafiek van fa en de punten S en T

weergegeven.

7p 7 Bewijs dat voor elke positieve waarde van a de verhouding xS

(5)

Gekanteld vierkant

Gegeven is het vierkant ABCD met hoekpunten A(8, 0), B(0, 4), C(-4, -4) en D(4, -8). Op zijde AB ligt het punt P(2, 3). Zie figuur 1.

figuur 1 figuur 2 figuur 3

De punten B, C en P liggen op één cirkel.

5p ₈ _{Stel een vergelijking op van deze cirkel.}

Over lijnstuk DP beweegt (van D naar P) een punt Q.

Er is een positie van Q waarvoor lijnstuk CQ loodrecht staat op lijnstuk DP. Zie figuur 2.

5p 9 Bereken voor deze positie exact de coördinaten van Q.

In figuur 3 is driehoek CDQ grijs gemaakt.

Er is een positie van Q waarbij de oppervlakte van driehoek CDQ een derde deel is van de oppervlakte van vierkant ABCD.

5p _{10 Bereken voor deze positie exact de coördinaten van Q.}

Anderhalf keer zo groot

De functie f is gegeven door _{f x}_{( )}_ _x2_.

De raaklijn aan de grafiek van f in een punt

2

( , )

P p p met p0 snijdt de x-as in een punt A.

V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de

grafiek van f en de lijn OP. Zie de figuur.

8p 11 Bewijs dat de oppervlakte van driehoek OAP anderhalf keer zo groot is als de

(6)

Een baan

Een punt beweegt voor 0 t 2 volgens de figuur 1 bewegingsvergelijkingen: _{y t}x t( ) cos( )sin(2 )_{( ) cos( )}_ t_t t



De baan van het bewegende punt is weergegeven in figuur 1. Voor 1 2 t   en 1 2 1

t   bevindt het bewegende punt zich in O. Deze situatie laten we in de gehele opgave verder buiten beschouwing.

Pt is de positie van het bewegende punt op tijdstip t.

Er geldt: de lijn door Pa en P a is voor elke in deze situatie mogelijke waarde van a

verticaal.

3p 12 Bewijs dat die lijn inderdaad verticaal is.

Er zijn meerdere tijdstippen waarvoor geldt dat de afstand van Pt tot de x-as twee

keer zo groot is als de afstand van Pt tot de y-as.

5p 13 Bereken exact het vierde tijdstip waarvoor dit het geval is.

figuur 2

Voor iedere waarde van t kunnen de

snelheidsvector _vr vanuit punt Pt en de vector OP_t

uuur

worden getekend. In figuur 2 zijn punt Pt, vector OP_t

uuur

en vector _vr getekend voor 3

4

t   .

5p 14 _{Bewijs dat voor} 3 4

t   geldt: OPuuur_t vr.

Buiten een vierkant

Gegeven is het vierkant OABC met O(0, 0), figuur 1

A(4, 0) en C(0, 4). Het snijpunt van OB en AC is het punt S.

Het punt M(3, 2) is het middelpunt van een cirkel door A en B. De punten F en G zijn de snijpunten van deze cirkel met CS

respectievelijk OS. Zie figuur 1. Er geldt: F is het midden van CS.

(7)

Verder geldt: G is het midden van OS.

In figuur 2 zijn de cirkelsectoren BMF en GMA grijs gemaakt.

figuur 2

De oppervlakte van deze twee sectoren samen is gelijk aan de helft van de oppervlakte van de cirkel.

3p 16 Bewijs dit.

(8)

Wiskunde B

2018-II

Uitwerkingen.

(N=1,8)

Loodrecht in de perforatie

1 maximumscore 3  ( ) 2 2 1 ( 2 2 1)(1 1) (1 1) x x x f x x x x              1  ... 2 2 1 2 1 2( 1) 2 2 2 (1 1) (1 1) x x x x x x x x                  1  ... 2 2 (1 1) 1 1 x x x x       mits x 0 1 2 maximumscore 5  g x( ) 4x2 x 4x2 x 4x 1 x x x       mits x 0, dus k y: 4x1 1  1 2 1 2 2 '( ) (1 1) x h x x       2  h'(0) ₂21 1₄ 1  1 4

4   1_{dus k en h (en daarmee ook f en g) staan loodrecht op elkaar}

in P 1

IJsbol

3 maximumscore 4  4 3 3r 27 geeft 1 4 20 3 r  _ 1  hieruit volgt 1 4 20 3 _1,86 r  _  1  _A_₄_ __1,862 __43,52 ₁

 het quotiënt van de ijsbol is 43,52

27 1,61 1

4 maximumscore 5

 het volume bovenwater is 0,08 14,137 1,13  cm3 ₁

 2 1,5 (2,25 ) 1,13 p I  y dy  

_

  1

 beschrijven hoe deze vergelijking op de GR opgelost kan worden 2  dit geeft p 0,98

 de ijsbol steekt 0,52 cm boven het water uit 1

5 maximumscore 5  1 2 (10) (1,5) 7,07 V  V  1  4 3 3r 7,07 geeft r 1,19 1

 per 10 minuten neemt de straal af met 0,31 cm 1  1,5 0,031  t 0 geeft t 48,5 1

(9)

Constante verhouding

6 maximumscore 4  ( ) 1( ) ( ln( )) ( ln(1 )) a a a f x f x  x x ax  x x x  ₁  ... 2 x x (ln( ) ln( ))a  x x(ln( ) ln( ))x  a  1  ... 2 x x ln( )a xln( )x xln( )x xln( ) 2a  x2 ln( )x x  1  ... 2( x x ln( )) 2 ( )x  f x1 1 7 maximumscore 7  x x ln(ax) 0 geeft ln(ax) 1 1  ax e _geeft e S a x  1  _{'( ) 1 (} 1 _{1 ln(} ₎₎ _ln( ₎ a x f x   x   ax   ax 2  f_a'( ) 0x  _geeftax 1 en dus 1 T a x  2  S ₁ea T a x e x   1

Gekanteld vierkant

8 maximumscore 5

 CBP 90o_{dus B ligt op de cirkel met middellijn CP (Thales)} ₂

 middelpunt (-1, -1 2) en straal 1₂ ( 4 2)  2  ( 4 3)2  1₂ 85 2  2 1 2 1 2 4 (x1) (y ) 21 1 9 maximumscore 5  DP: 1 2 5 14 y   x 1  CQ: 2 3 11 311 y  x 1  1 2 3 2 11 11 5 x 14 x 3     1  15 3 22 11 5 x17 geeft 1 25 3 Q x  _en 18 25 2 Q y   ₂ 10 maximumscore 5  1 1 2 2CD h  3 CD geeft h 23 CD 1  dus 2 3 DQ DP 1  1 2 3 3 2 2 2 Q x     _en 1 2 3 3 3 11 Q y      2

Anderhalf keer zo groot

11 maximumscore 8

 f x'( ) 2 x geeft een richtingscoëfficiënt van 2p 1  y 2px b _{gaat door (p, p}2_{). Dit geeft}_b__p2_₂_{p p}_{  }_p2 ₁

 ₂_{px p}_ 2 _₀ geeft 1 2 A x  p 1  1 1 2 1 3 2 2 4 OAP O   p p  p 1  1 2 2 1 3 1 3 1 3 2 2 3 ₀ 6 0 p p V O   p p 



x dx  p _ x _  p 3  1 1 1 3 1 3 2 2 6 4 1 O_V 1  p  p O_OAP 1 2 lees verder

(10)

Een baan



cos( a) cos( )cos( ) sin( )sin( )  a   a  cos( )a 1  sin(2 2 ) sin( 2 )a   a  sin(2 )a 1  x( a) cos( )a  sin(2 ) cos( )sin(2 )a  a a x a( ) 1

 2 cos( )sin(2 ) cos( ) t t  t  2 cos( )sin(2 ) t t  cos( )t 1  cos( ) 0t   2sin(2 ) 1t   2sin(2 )t  1 1

 1 1

2 12

t    t  , maar dan bevindt het punt zich in O 1

 1 5 1 5 6 6 6 6 2t    k 2 , 2 t    k 2 , 2 t 1   k 2 , 2 t 1   k 2  1 5 7 11 12 , 12 , 12 , 12 t    k  t    k  t    k  t    k  1  het vierde tijdstip is 11

12 t   1 14 maximumscore 5  3 4 1 1 2 2 ( 2, 2) P_  _{, dus} 21 1 2 2 2 t OP    _    uuur 1  x t'( ) cos( ) 2cos(2 ) sin( ) sin(2 ) t  t  t  t 2

 y t'( ) sin( )t 1  1 3 2 4 3 ₁ 4 ₂ 2 '( ) '( ) ₂ x v y       _ _{ }      _{ } _ r 1

Buiten een vierkant

 cirkel: ₍_x_₃₎2_₍_y _₂₎2 _₅ ₁

 snijden met de lijn AC: y   x 4 1

 ₍_x_₃₎2_{  }₍ _x ₂₎2 _₅_geeft₂_x2_₁₀_x_{ }_{8 0} ₁

 2(x1)(x4) 0 geeft x_F  1 x_A 4 1  F(1, 3) is het midden van C(0, 4) en S(2, 2)

16 maximumscore 3  1 2 MB_{  }    uuur en 2 1 MF _{  }    uuur

MB MFuuur uuur 0 dus BMF 90o ₁

 2 1 MG_{  }     uuur en 1 2 MA_{  }     uuur

MG MAuuur uuur 0 dus AMG90o ₁

 beide cirkelsectoren zijn een kwart cirkel, dus samen is de oppervlakte