Regeling van een niet-lineair multivariabel systeem

Regeling van een niet-lineair multivariabel systeem

Citation for published version (APA):

Nieuwelaar, van den, J. N. H. (1988). Regeling van een niet-lineair multivariabel systeem. (DCT rapporten; Vol. 1988.030). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1988

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

J.N.H. van den Mieuwelaar

Rapportnr. WFW88.030

Stagebegeleider: Ir T.A.G. Heeren

mei 1988

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit der Werktuigbouwkunde

C D I J O J 1 := coulomb wrijvingskoppel [Nm] := visceuse wrijvingscoëfficiënt [-]

:= stroom door motor [A]

:= hoofd massatraagheidsmoment van de vork om de Z-as plus het naar de uitgaande as van de overbrenging toegerekende massa- traa heidsmoment van de rotor van de gelijkstroommotor

71

kgm

:= hoofd massatraagheidsmoment van de staaf om de xl-as plus het naar de uitgaande as van de overbrenging toegerekende massa-traagheidsmoment van de rotor van de gelijkstroommotor

21

2

[ kgm

J := hoofd massatraagheidsmoment van de staaf om de y'l-as [kW,] J := hoofd massatraagheidsmoment van de staaf om de z'l-as [kgm

3

k := proportionele versterkingsfactor

[-3

kp := differentieërende versterkingsfactor [-3 k

.-

integrerende versterkingsfactor [-I M

9 := kolom met vrijheidsgraden

Q := kostenfunctie

t := eindtijdstip

[SI

T := tijd tussen twee samples [s]

U := kolom met stuurgrootheden

v

:= voltage [VI W := weegfactor

[-3

2 3

.-

a i

:= moment aan de uitgaande as van de overbrenging [Nm]

e

i

:= wrijvingmoment om resp. e-as en @-as [Nm]

:= hoek as t.0.v horozontale vlak [rad]

Wa

€3

i4 := hoek theta-as [rad]

1 2 SAMENVATTING INIXIDING SYSTEEM MODELVORMING 3 REGELING 3.1 Regelopstelling 3.2 Doelstelling regeling 3.3 PID-regeling 3.4 Instelling PID-regelaar 3.6 Computed torque concept 3.7 Robust Control concept

4 TOEPASSING REGELINGEN

4.1 De PID-regeling in de praktijk

4.2 Het Freund/Computed Torque algorithme in de praktijk 4.3 Het Robust Controller algorithme in de praktijk

5

6

WRIJVING IN HET SYSTEEM

CONCLUSIES blz.

1

2 3 6 7 7 8 10 11 12 13 15 17 19 21 23 24 REFERENTIES 26

SAMENVATTING

In de moderne regelliteratuur worden allerlei soorten regelaars en regelconcepten behandeld. Verreweg het grootste gedeelte hiervan is alleen geschikt voor lineaire systemen terwijl in de praktijk het aantal niet-lineaire systemen veel groter is. In dit onderzoek zal voor een niet-lineair multivariabel systeem met interactie een aantal regelalgorithmen worden geïmplementeerd en met elkaar vergeleken. De geïmplementeerde regelconcepten zijn

-

PID-regelaar 02 iedere vrijheidsgraad

-

Freund

-

Computed torque

-

Robust controller

Voor systemen met evenveel vrijheidsgraden als ingangen leveren het tweede en derde concept dezelfde regelwet op. Deze zullen dan ook in het vervolg onder èèn noemer behandeld worden.

Verder zal blijken dat het vierde regelconcept niet toepasbaar was zonder aanpassingen aan de proefopstelling, dat het PID- regelalgorithme, door zijn vrij eenvoudige aard, tekort komt ten opzichte van het computed torque/Freund concept.

1 INLEIDING

Dit rapport is geschreven ter afronding van mijn eerste stage binnen de vakgroep Fundamentele Werktuigbouwkunde aan de

Technische Universiteit Eindhoven. Het was mijn taak om op een bestaand niet-lineair multivariabel systeem een aantal regelingen uit te testen.Hiervoor werd in de regelkring een computer

ingebouwd zodat verschillende regelalgorithmen geprogrammeerd konden worden. Het gekozen systeem met twee graden van vrijheid is vrij eenvoudig. Bij dit systeem zijn de uitgangen rotaties om twee onderling loodrechte assen en zijn de ingangen de

aandrijfmomenten om deze assen. Een voorbeeld van zo'n systeem is een schotelantenne. Een systeem met meer in-, en uitgangen zou de problematiek niet wezelijk veranderen terwijl het inzicht

2

SYSTEEM

Als systeem is gekozen voor een imitatiemodel van een

schotelantenne met twee graden van vrijheid. Dit systeem is

gemodelleerd als een vork die verticaal kan roteren in een frame. In deze vork is weer een andere as gelagerd.(zie figuur 2.1)

/

\

I \

I

i

i

I

1,

I

I

I

\

figuur 2.1: systeem

(fig 2.2 ) Op zowel de 8-als @-as zijn een electromotor (8,l) en een potmeter (10,14) gemonteerd zodat de positie van beide assen veranderd en gemeten kan worden. We gaan er van uit dat het model twee graden van vrijheid heeft namelijk Q en 9 . Dit houdt dus in dat we veronderstellen dat de vork en de as star zijn en dat

spelingen verwaarloosd worden. Deze spelingen komen o.a. voor in:

*

tandwielkasten tussen electromotoren en beide assen.

*

bevestiging potmeters op beide assen.

*

bevestiging O-as op de @-as.

2 : star frame

3+4+5+13 : vork

6,11 : gewichten waarmee de massatraagheidsmomenten en dus het dynamisch gedrag van het systeem gevarieerd kunnen worden

staven met daaraan de gewichten :

: tandwielkast

7,12

MODELVORMING

Met behulp van de stelling van Lagrange kunnen de

bewegingcvergelijkingen van het systeem voor beide assen afgeleid worden. [l]

Deze luiden :

..

. .

M@ = { J o

+

J2*sin2@

+

J3.cos20 } * @

+

(J2-J3)*sin(2€3)*e*@ -W @

..

Mg = jl'O

-

$ 0 ( J ~ - J ~ ) Osin(20)

-

waarin: @,@ : M G : J2 J3

:

Vrij heidsgraden.

Geleverde moment om de 0-as door de uitgaande as van tandwieloverbrenging.

Geleverde moment om de @-as door de uitgaande as van tandwieloverbrenging. Massatraagheidsmoment om verticale as. Massatraagheidsmoment Massatraagheidsmoment Massatraagheidsmoment

@-vork

+

gelijkstroommotor @-as e-as

+

gelijkstroommotor 0-as. staaf om y-as.

staaf om z-as. Wrijvingsmoment om +as.

Wrijvingsmoment om @-as.

In matrixvorm kunnen de bewegingcvergelijkingen van het systeem als volgt worden genoteerd

T

Kolom met vrijheidsgraden qS=(@,@) Kolom met ingangssignalen

Massamatrix van het

kolom die de centrifugaal-, coriolis-, en wrijvingsmomenten bevat

2x2 matrix.

3 REGELING

3 . 1 REGELOPSTELLING

de regelkring ziet er als volgt uit

stroom verster kers

Y

storingen REGELAAR r - - -

1

c

pot- meter

T

pot- meter COMPUTER setpoint regelalgorithme fig 3.1 regelopstelling

Als regelaar is gekozen voor een digitale computer. Voor de koppeling van een digitale computer aan een analoge regelkring zijn er resp.

systeem uitgebreid wordt met deze twee omzetters. Het grote

voordeel van een digitale computer boven een analoge regelaar is dat bij een computer veel complexere regelalgorithmen toegepast jcunne~ worden. Een a n d e r voordeei is dat deze regeiaigurithmen direct programmeerbaar zijn.

3.2 DOELSTELLING REGELING

Voordat we nader ingaan op de verschillende regelconcepten moeten we ons eerst afvragen wat we willen bereiken met onze

regelaar en welke criteria we moeten hanteren ter beoordeling van de regelprestaties. Mogelijke eisen aan de regeling zijn:

-

responsie zo snel mogelijk

-

voldoende gedempte responsie

-

kleine( I 25 % ) of geen doorschot

-

kleine of geen statische afwijking

-

regelinspanningen niet te groot

In de regeltheorie worden een aantal van deze eisen meestal tot uitdrukking gebracht in een zogenaamd 'Kwadratisch criterium'. Een kwadratisch criterium zou er als volgt uit kunnen zien :

waarin:

Q

t e w1rw2

w

3

,

w5rw6 3 E : Kostenfunctie

: Eindtijd van tijdsinterval waarop het criterium wordt toepast

: Weegfactoren afwij kingen ( > O )

: Weegfactoren hoeksnelheid ( > O )

: Weegfactoren regelinspanningen ( > O )

: Verschil tussen setpoint en responsie

De instelling waarbij Q minimaal is wordt de optimale instelling genoemd. Deze optimale instelling is dus hier afhankelijk van :

-

de weegfactoren W

,...

'W6

-

de beginvoorwaarden @ ( O ) , i(0) I @ ( O ) I ; ( O )

-

de gewenste trajectorie 1

-

eindtydstip t e

In dit onderzoek is een zeer eenvoudig kwadratisch kriterium toegepast. Belangrijkste verklaring hiervoor is dat er geen criterium, waarop de verhoudingen tussen de weegfactoren gebaseerd zijn, bestaat

r t

-

E 9 =@ -gemeten *Betpoint

E -

O gemeten- setpoint Een optimale instelling is dus allereerst afhankelijk van het setpointsignaal

In dit onderzoek zijn de regelparameters iteratief bepaald. Dit wik zeggen dat er eerst gewoon wat gekozen is. Daarna werd de responsie vergeleken met de gewenste positie en de parameters werden weer bijgesteld zodat een betere responsie verkregen werd. Een betere responsie houdt hier in dat de responsie de setpoint positie zo goed mogelijk volgt.

3.3 PID-REGELAAR

De meest bekende en meest toegepaste regelaar is wel de PID- regelaar. Deze regelaar heeft als grootste nadeel dat hij helemaal geen rekening houdt met de procesdynamica. De PID- regelaar probeert dus alleen de momentane fout in positie en snelheid naar nul te regelen

De PID-regelaar ziet er als volgt uit:

waarin:

*

k *(q-q ) de proportionele actie met k als proportionele P

in de positie sneller naar nul geregeld worden.

Voor een tweede orde systeem kan deze versterkingsfactor oneindig opgevoerd worden zonder dat we met instabiliteiten te maken

krijgen. Alhoewel we het systeem als tweede orde gemodelleerd hebben, zal het zich in de praktijk als hogere orde systeem gedragen ( bij voorbeeld door het aanwezig zijn van speling). Het gevolg hiervan is dat het systeem bij toenemende k

instabiel wordt. Dit wil zeggen dat de echte positie rond de gewenste positie zal gaan opslingeren.

*

k

~ ( 4 -

4

) de differentiërende actie met k de

versterkingsfactor. Deze actie wil er voor zorgen dat de

werkelijke snelheid zoveel mogelijk gelijk is aan de gewenste snelheid. Door het toevoegen van deze differentiërende actie kan de statische versterking worden opgevoerd waardoor de regeling sneller wordt ten opzichte van de P-regelaar. Tevens wordt de statische afwijking kleiner.

vers

P

erkingsfactor. g Naarmate k groter wor

CI

t gekozen zal de fout

P

d

*

ki- Tq-qg)dt

positie over de tijd optelt waardoor een afwijking van de setpoint steeds weggeregeld wordt.

de integrerende actie die de fouten in de

so

3.4 INSTELLEN PID-REGELAAR

Het instellen van de PID-parameters gebeurt in de praktijk

meestal m.b.v. instelregels afkomstig uit de Procesindustrie. De bekendste instelregels zijn wel die van Ziegler en Nichols. In het kort houden deze in dat de p-factor opgeschroefd wordt totdat het systeem instabiel wordt. Bij die p-factor k hoort een

bepaalde trillingstijd T van de opslingering. De optimale PID- parameters voor dat setpointsignaal zijn nu uit te drukken in die K en T

.

Voor ons systeem gelden die instelregels niet want het behandelde systeem is niet lineair en de PID regelaars van beide assen beïnvloeden elkaar wederzijds. Een analytische

methode om de optimale PID-parameters voor niet-lineaire systemen te berekenen bestaat nog niet dus zal de instelling weer op de manier moeten gebeuren zoals die beschreven is in 3,2

U U

3.6 COMPUTED TORQUE REGELING

Het basisconcept van de computed torque regeling is de draai- momenten die de motoren moeten leveren zodanig te schrijven dat hun structuur gelijk is aan de structuur van de

systeemdynamica.

(3.6.1)

waarin:

u := momenten aan uitgaande assen van motoren M := massamatrix systeem

h := kolom die de centrifugaal-, coriolis-, en wrijvingsmomenten bevat

Substituëren we (3.6.1) in (2.1) dan bereiken we dat het systeem zich gedraagt als een aantal ontkoppelde eenheidsmassa's

..

q = T (3.6.2)

Waarbij T vrij te kiezen is.

We kiezen nu een PD-regeling om de set ontkoppelde dubbele integratoren ieder onafhankelijk te regelen.

..

T = q

+

k *(q -9)

+

kde(%

-4)

g P g g

Samen met (3.6.1) geeft dit

3.7 ROBUST CONTROL

Het grootste gedeelte van het onderzoek is besteed aan het toepassen van het regelalgorithme 'Robust Contro11[2]. We

beschouwen weer het niet-lineaire systeem als volgt beschreven

waarin:

T := de kolom met stuurkoppels/krachten

a(q,:) := kolom die de centrifugaal-, en coriolismomenten bevat

f(& := de viskeuze wrijvingsterm. Deze zit niet in a(q,q) omdat we het teruggekoppelde systeem onafhankelijk willen maken voor variaties in de viskeuze wrijving

Ieder element van de kolom T bestaat weer uit twee delen

T = robust gedeelte van de stuurmomenten die het systeem r

ongevoelig maakt voor variaties in de wrijving T = stabiliserend deel van de stuurmomenten die het

teruggekoppelde systeem moeten stabiliseren

S

*

*

a (3.7.2) waarin:

_*

*

( 3 . 5 . S j trajectorie te volgen (3.1.4)

met Het totale

*

T = T

+

K := versterkingsmatrix (diagonaal) O (3 A . 5 ) K en K diagonaalmatrices P d

'robust control' algorithme ziet er dus als volgt uit

(3.1.6)

Voordelen van dit 'robust control' algorithme zijn

*

teruggekoppelde systeem is ongevoelig voor veranderingen van

*

het is mogelijk om in de tijd varierende setpointsignalen de wrijving

q (t) te volgen met een volgfout omgekeerd evenredig met de termen van de diagonaalmatrix g k

4 TOEPASSING REGELINGEN

Met behulp van de regelopstelling(fig 3.1) werden de eerder genoemde regelalgorithmen uitgetest op ons systeem. Om deze regelalgorithmen te programmeren werd gebruik gemaakt van de programmeertaal TURBO-PASCAL versie 3.02a

.

De beste regeling wordt natuurlijk verkregen door een continue regeling

.

Immers dan wordt op ieder moment de "juiste1' stromen naar de motoren gestuurd. Een computer daarentegen berekent de gewenste

draaimomenten ,stuurt die naar de motoren en houdt deze vast totdat de volgende momenten berekend zijn. Voor een goede

regeling moet de sampletijd,dit is de tijd tussen twee samples, zo I1kleinf1 mogelijk zijn, zodat een analoge regeling wordt

benaderd. Voorwaarde hierbij is dat er oneindig nauwkeurig

gemeten kan worden. Omdat we hier met een 12 bits A/D conversie te maken hebben mag de sampletijd niet te klein zijn. Als we

namelijk een te kleine tijdstap nemen zal het laagste bit niet of willekeurig veranderen tussen twee van deze metingen waardoor een grote meetonnauwkeurigheid geïntroduceerd wordt. Tussen twee

samples in moet ook nog het regelalgorithme uitgerekend worden. Dit zal de samplefrequentie drastisch beperken.

De bottleneck voor het gebruik van een regeling is dan ook de tijd tussen twee regelstapjes. Om deze tijd zo kort mogelijk te houden is gekozen voor een AT-computer die we op zijn hoogste klokfrequentie laten draaien. Omdat turbo-pascal bij het

berekenen van de gewenste momenten veel floating point operaties moet maken is verder gebruik gemaakt van een coprocessor. Om de verschillende regelingen in ue praktijk te testen is gebruik

gemaakt van twee setpointsignalen ,een sinus-, en een

stapsetpoint. Merk op dat een sinus-setpointsignaal op t = O een maximale snelheid heeft terwijl de proefopstelling nog stil

staat. Er wordt hier dus niet aan de begincondities Q = @ = O

Een andere beperking die aan de regeling werd opgelegd was dat de positie van èèn van beide assen niet boven de 180"of onder de

-180" mocht komen. Dit door de beperking van de positiemeters.

De gebruikte positiemeter is in feite een weerstand waarover een bepaalde spanning staat. De positie wordt gevonden door een

sleepcontact over deze weerstand te slepen. De afgetakte spanning is maat voor de positie. Bij de gebruikte opnemer kon het gebied rond de 180 graden niet gebruikt worden, hier zit namelijk de sprong in de spanning waartussen geïnterpoleerd wordt. wanneer de positie van een van de beide assen dus groter wordt dan 180

4.1 DE PID-REGELAAR IN DE PRARTIJK

Het grote nadeel van de PID-regelaar,die geen rekening houdt met de dynamica van het systeem,wordt voor een deel gecompenseerd door de kleine sampletijd van deze regeling. Als de systeem- dynamica niet berekend hoeft te worden neemt het aantal

floating point berekeningen drastisch af. Het regelalgorithme ziet er voor de PID-regeling als volgt uit:

1

-

Voer een A/D conversie uit en zet meetwaarden in een buffer 2

-

Bereken verschil tussen setpoint positie en werkelijke

positie en vermenigvuldig deze fout met k

vermenigvuldig het verschil met k

deze som van positiefouten met k

P

3

-

Bereken gewenste en werkelijke positieverandering en

4

-

Tel fout berekend bij 2 op bij vorige fouten en vermenigvuldig 5

-

Tel proportionele

+

differentiële

+

integrerende fout bij

6

-

Vermenigvuldig deze met een constante, waarin d

i

elkaar op

*

factor die een integer in een computer omzet naar een spanning aan de uitgang van een D/A-converter

*

factor die deze spanning in de versterker omzet naar een stroom

*

factor die deze stroom in de motor omzet naar een koppel

*

overbrengingsverhouding tandwielkast 7

-

Voer een D/A conversie uit

8

-

Ga terug naar 1

Van deze acht stapjes hebben de stappen waarin de PID-actie berekend wordt de langste tijd nodig.

Stap 1, de A/D-conversie, heeft maar heel weinig tijd nodig. Er hoeft namelijk niet gewacht te worden totdat alle samples binnen

zijn. Nadat de eerste sample binnen is kan die al verwerkt worden

e Ondertussen zijn de andere samples ook in hun buffers

aangekomen en kunnen dan ook gebruikt worden.

De regelfrequentie van de PD-regelaar was 833 Hz en die van de PID-regelaar was 714 Hz. Door tslimt te programmeren kan deze samplefrequentie nog verder verhoogd worden.

Voor de sinussetpoint werd een PD-algorithme geprogrammeerd omdat een integrerende actie erbij geen zin heeft er is immers geen statische afwijking. Deze integrerende actie werd wel bij de stap responsie geprogrammeerd. Een groot nadeel van turbo-pascal

versie 3.02a is dat er maar een werkgeheugen van 64 Kbyte

gebruikt kan worden. In Turbo-pascal moeten alle variabelen, die in een programma gebruikt worden, gedeclareerd worden. De

resultaten van de D/A-conversie worden naar buffers geschreven. Omdat deze buffers ook gedeclareerd moeten worden is maar een beperkt aantal samples mogelijk. Bij de PD-regeling waren er dit maximaal 4000. Dit is dus 4000

*

0.0012 s =4,8 sec.

Het gevolg van het niet rekening houden met de dynamica van het systeem en het dus alleen wegregelen van de fout in positie en snelheid is dat de PD-regelaar de sinussetpoint nooit vloeiend kan volgen. De responsie zal dus steeds rond het setpointsignaal blijven slingeren.

Naarmate de hoekfrequentie van het setpointsignaal (90°-sin(n*t)) groter werd was het moeilijker voor de PD-regelaar om het signaal te volgen. Dit is logisch want naarmate de hoekfrequentie

toeneemt worden de hoeksnelheden en hoekversnellingen groter. Hierdoor worden alle krachten in het systeem ook steeds groter waardoor het systeem steeds moeilijker regelbaar wordt.

ü i t e i n d e i i - j k kan h e t totale systeem met regeling de gewenste setpoint niet meer volgen. Bij de stapresponsie speelt de systeemdynamica een veel kleinere rol. Immers de gewenste

hoekversnellingen en hoeksnelheden zijn hier gelijk aan nul ( t >

O ) . Hier wordt de I-actie wel meegeprogrammmerd om een statische

4 . 2 DE FREUND/COMPUTED TOROUE REGELING IN DE PRAKTIJK

Het Freund/Computed Torque concept houdt wel rekening met de systeemdynamica. Dit resulteert dan ook in een wat vloeiender responsie op de sinussetpoint maar houdt ook in dat het aantal floating point operaties sterk stijgt. Hierdoor zal de

samplefrequentie afnemen waardoor hogere orde ongemodelleerde dynamica ook een rol zal gaan spelen. Naast het afwezig zijn van hogere orde dynamica dan gemodelleerd, is een andere andere

voorwaarde ,voor het succesvol slagen van deze regeling, dat de modelparameters exact bekend zijn. Het heeft immers geen zin om met een model te regelen wat maar voor de helft overeenkomt met de werkelijkheid. Dat de modelparameters voor de wrijving niet goed waren zal verderop nog getoond worden. Of de andere

modelparameters goed waren is niet bekend. Tijdens dit onderzoek liep een ander onderzoek waarbij een parameterschatting, van de parameters van de schotelantenne, werd uitgevoerd. De resultaten hiervan waren nog niet bekend tijdens het schrijven van dit

verslag. Stap 2,3,4 en 5 uit het PID-schema worden hier vervangen door het berekenen van

..

. .

M =(J +J .sin28+J *coszc3)*{0 +k - ( a -@)+k . ( a -0)) -(J -J ) .sin(2*8)*6-@

+

w

2 o 2 3 g P g d g 2 3

@

Waarbij een reductie van de on-line processortijd kan worden

k e I - - : L t Ah--.- A A r r * r r r r - - t r r

Y C l C L h L U W W I UC y C w C l 1 a L c versnellinqen off-line te berekenen.

Immers de gewenste versnellingen kunnen uit de gewenste trajectorie berekend worden. De maximaal te bereiken

samplefrequentie was hier 122 Mz dus bijna zeven maal zo klein als die van het PD-algorithme. Ook hier geldt dat bij een hogere

hoekfrequentie van het setpointsignaal het regelen moeilijker wordt. Langer dan de PD-regeling kan het Freund regelalgorithme het sinussetpointsignaal nog goed volgen. Bij de stapresponsie regelen de PD-regelaar en het Freund/ computed torque algorithme ongeveer gelijkwaardig. Opgemerkt moet worden dat de dubbele Dirac-functie die Freund vanwege de voorwaartskoppelterm zou moeten bevatten niet geprogrammeerd is.

Opmerkelijk is dat wanneer voor de fi-as, in plaats van een sinus, een cosinus setpoint genomen wordt, de responsie stukken beter wordt. Een verklaring hiervoor is dat het kiezen van een cosinussetpoint voor de fi-as een kleinere en minder wilde niet- lineariteit tot gevolg heeft waardoor een regeling makkelijker wordt.

4.3 DE ROBUST CONTROLLER REGELING IN DE PRARTIJK

De berekende momenten in dit regelalgorithme zien er als volgt uit

*

* a

*

.*

M = T

+

k * ( T -T )

-

k *(q

-

q )

-

kd.(q

-

q )

O P

waarin: M := moment dat de motor moet leveren volgens algorithme

*

T := nominaal koppel nodig om gewenste trajectorie te volgen

a

T := koppel gegenereerd door werkelijke responsie

*

Een groot voordeel van de robust controller is dat T off-line berekend kan worden waardoor de on-line processortijd ongeveer gelijk wordt aan die van het Freund algorithme. Het grote nadeel van het toepassen van deze regeling op ons systeem is dat uit de positiemetingen de werkelijke versnellingen berekend moeten

worden.De gewenste versnellingen kunnen op twee manieren berekend worden

-

De beste en eenvoudigste methode is gewoon het continue setpoint signaal tweemaal te differentiëren.

-

De tweede manier is het toepassen van de differentieformules op het gedigitaliseerde signaal.

Toepassen van een eerste orde differentieschema bij sinussetpoint geeft alleen maar ruis.

1

st orde differentieschema

waarin: T := tijd tussen twee samples

Ook het toepassen van een hogere orde differentieschema geeft alleen maar ruis.

..

x(nT) =

x ( (n+2) T) -16.x( (n+i) T) +30ex (nT) -16 * x (n-1) T) +x( (n-2) T)

12*TZ

Als we nu voor T

,

10.T substitueren ,het toepassen van een soort filter,krijgen we het goede versnellingssignaal met toch nog een flinke rimpel er op.

Voor het berekenen van de werkelijke versnellingen is de eerste methode natuurlijk niet toepasbaar omdat we alleen de gesampelde werkelijke positie tot onze beschikking hebben. We zijn dus

aangewezen op de tweede methode. We moeten nu een achterwaarts differentieschema toepassen. Nemen we T voor de tijd tussen twee samples, dan krijgen we weer alleen ruis. 10.T ,een soort van middeling dus, resulteert weer in alleen ruis. Dat alleen ruis berekend wordt voor de versnellingen kan twee oorzaken hebben. De eerste is dat de opeenvolgende samples te snel genomen zijn

waardoor het laatste bit van het A/D-resultaat de ene keer wel en de andere keer niet veranderd is. Deze eerste verklaring is niet erg waarschijnlijk omdat de samples met een vrij lage frequentie genomen zijn. Een andere, meer waarschijnlijke, verklaring is dat de versnellingen discontinu zijn waardoor er helemaal geen

differentieschema toegepast mag worden.

Ook al zou hier een redelijk signaal uit komen dan nog zou dit niet toepasbaar zijn in een regelkring omdat je niet de

werkelijke versnelling op het gewenste moment hebt berekend maar een gemiddelde versnelling over de vorige tientallen samples. Wel is het mogelijk om met behulp van polynoom-fitten een redelijke schatting voor de versnelling op het moment nT te maken uit een aantal vorige samples Met alleen positiemeting is dus dit

regelalgorithme niet goed toepasbaar er zijn dus

5 WRIJVING IN HET SYSTEEM

Het wrijvingsmodel ziet er als volgt uit

W = -C

-

Dei2 waarin: W C D n := wrijvingsmoment

.-

.-

coulombse wrijvingsmoment := visceuse wrijvingscoëfficiënt := hoeksnelheid

Deze wrijvingsmomenten zijn berekend [ i ]

- 2 Q - 2 @ - 3 Q - 3 o C = 3 . 8 0 1 0 Nm C = 4.5 010 Nm D = 2.1 010 Nms D = 1.6 010 Nms

In dit onderzoek zijn de beide coulombse wrijvingsmomenten ook gemeten. Dit werd gedaan door een toenemende stroom door de

motoren te laten lopen en te kijken wanneer de assen in beweging kwamen. Voor de resultaten zie bijlage. Het valt hierbij op

dat bij draaien van de @-as de wrijving in positieve draai-

richting groter is dan die in negatieve draairichting, Dit wordt nogeens duidelijker als we een cosinusvormige stroom door de motoren sturen en de responsie bekijken (zie bijlage). Bij de @-as zien we hetzelfde, alleen wordt het effect hier versterkt

6 CONCLUSIES en AANBEVELINGEN

Voordat voor een bepaalde regeling gekozen wordt, is het

belangrijk dat men zich vooraf afvraagt wat men met de regeling wil bereiken en welke apparatuur men tot zijn beschikking heeft. Deze conclusies zijn gebaseerd op het hier beschouwde systeem met bijbehorende apparatuur en dus niet zonder meer toepasbaar op andere regelsystemen met hun specifieke eisen. Tijdens het eerste gedeelte van het onderzoek werd er zonder coprocessor gewerkt. Hierdoor was de tijd tussen twee samples ongeveer drie maal groter dan met ccprocessor. Toepassen van een echt geavanceerd regelalgorithme met veel floating point vermenigvuldigingen was dan ook bijna niet mogelijk. Nadat de coprocessor ingebouwd was bleef de sampletijd nog steeds een belangrijk criterium voor het doen slagen van een regelalgorithme. Dit is dan ook de belangrijkste verklaring waarom de PID-regeling een goede

stapresponsie geeft. Een andere voorwaarde voor het doen slagen van een regelalgorithme is dat er rekening gehouden moet worden met de procesdynamica. Die procesdynamica moet dan wel nauwkeurig genoeg bekend zijn. In het voorbeeld-systeem had de wrijving een vrij grote storende invloed. Naast die wrijving waren er nog

andere storende invloeden zoals speling en onbalans die niet gemodelleerd waren. Er moet natuurlijk wel opgemerkt worden dat het doen slagen van een regeling ook duidelijk afhankelijk is van het gewenste trajectorie die de vrijheidsgraden moeten doorlopen. Dit was ook duidelijk te zien aan het voorbeeldsysteem. Een

setpointsinus levert voor iedere hoek-frequentie voor het Freund aïgoritnme een betere responsie op omdat de Freundregeïing

vloeiender regelt terwijl de PD altijd een kleine slingering rond het setpoitsignaal zal blijven geven.

Het is aan te bevelen om een toekomstig regelalgorithme in

zijn o.a. C en ASYST, beide veel sneller dan Turbo-pascal. Verder is er in dit onderzoek gewerkt aan het offline

uitrekenen van de optimale regelwet [4] met behulp van REGNONLIN

REFERENTIES [l] P.C.J.M. van Qers [2] M.Jamshidi J. Y

-

S. Luh M.Shahinpoor [3] h.Asada J.J.E.slotine [4] J.J.Kok [5] E.Freund [6] S.J.Fournier R.J.Schilling [7] T.A.G.Heeren

Modelvorming en regeling van een niet-lineair multivariabel systeem raport:87066 T.U. Eindhoven

Recent trends in robotics

Modeling,Control,and Education 1986

Robot analasis and control 1986

Werktuigkundige regeltechniek I1

Collegedictaat 4594 TUE 1985

Fast Nonlineair Control with Arbitrary Pole-Placement for Industrial Robots and Manipulators

The International Journal of

Robotics Research vol,l,No.l, Spring 1982

Decoupling of a Two-Axis Robotic Manipulator Using Nonlineair State Feedback: A Case Study

The International Journal of

Robotics Research vo1.3,No.3, Fall

1984

te hoge proportionele versterking. 100 80 60 40 20 8 0 2 -20 -40 -60 -80 4.5 -100 0.5 i 1.5 2 2.5 3 3.5 4 TIJ;: ES'

Voor een niet te hoge frequentie van de sinussetpoint volgt de PD-regelaar het setpointsignaal redelijk goed. Ook hier v a l t de slingering rond het signaal weer op.

Wanneer de frequentie van het setpointsignaal toeneemt, wordt het voor de PD-regelaar steeds moeilijker om dit signaal nog goed t e volgen.

i00

80

i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i:

t i j d b3

Stapresponsie PID-regeling. Duidelijk is hier het effect van de integrerende actie te zien.

100 80 60 40 20 2 0 x c -20 -40 - 6 6 - -80 -100 I 2 3 4 a 6 7 6 9 io I 1 12 13 14 fa t i j d a31

Voor een niet t e grote hoekfrequentie van het setpointsignaal volgt voor de Freund-regeling een zeer goede responsie. Duidelijk Is hier het effect van een verkeerde beginconditie te zien.

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 l i 12 13 14 15

t i j d 63

Naarmate de frequentie hoger wordt kan het Freund-algorithme het setpointsignaal moeilijker volgen. Hierdoor ontstaat bij het keren van richting een doorschot.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

tijd !SI

3.5 4 4.5 9

Stapresponsie Freund-regeling. Ook hier is het effect van de integrerende actie duidelijk te zien.

Freund-regeling met proportionele en differentirende factor gelijk aan nul. Door het eerder genoemde gebrek van de positiemeters loopt de regeling helemaal mis.

100 80 40 20

-20

-60 -80 -100

Er werd een cosinusvormige stroom naar de motoren gestuurd. Zoals in de figuur te zien is daalt de nuldoorgang van de cosinus steeds

verder. Dit komt doordat de wrijving in negatieve richting kleiner is dan die in positieve richting. Een tweede oorzaak ligt daarin dat n kant van de staaf zwaarder is dan de andere kant waardoor de &as, om in negatieve richting te draaien,een kleiner koppel nodig heeft.