IJking van een simulator van enkele dynamische systemen

IJking van een simulator van enkele dynamische systemen

Citation for published version (APA):

Liebregts, R. M. J. (1987). IJking van een simulator van enkele dynamische systemen. (DCT rapporten; Vol. 1987.022). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1987

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

W.P.W. 89.022

Vakgroep Fundaaentele Verktuigbouwkunde

Technische Universkteit Eindhoven

begeleiding: dr. ir. Bram de Kraker

SAMENVATTING

Dit rapport behandeld de resultaten van een experimenteel onderzoek naar het gedrag van een elektronische simulator van een lineair 2eorde systeem met

1

vrijheidsgraad, een lineair 2eorde systeem met 2 vrijheidsgraden, een derde-macht module en een duffing-systeem. Van de systemen zijn de karak- teristieke grootheden die het gedrag bepalen gemeten en berekend. Van het lineaire systeem met

1

vrijheidsgraad is de eigenfrequentie en de demping als funktie van een instelbare dempingsparameter gemeten. Van de derde-macht module is, met behulp van een polynoomaanpassing, de ingang- uitgangsrelatie berekend. Boor combinatie van het lineaire systeem met 1 vrijheidsgraad en de derde-macht module is een duffing-systeem gesimuleerd, De coëficiënten van de beschrijvende differentiaalvergelijking zijn berekend en er zijn metingen verricht naar de responsie van het systeem op harmonische exitatie. Aan het lineaire systeem met 2 vrijheidsgraden is minder aandacht besteed, enkel de 2 eigenfrequenties en de elementen van de frequentie respons natrix zijn gemeten.

F

VOORWOORD

De opdracht is in het kader van een stage binnen de vakgroep fundamentele werktuigbouwkunde (WFWI uitgevoerd onder leiding van dr. ir. Bram de Kraker ter ondersteuning van het experimenteel onderzoek van dynamische systemen. De simulator is bestemd voor het gebruik bij demonstraties in het onderwijs en voor het verrichten van eenvoudige experimenten aan dynamische systemen.

üit onderzoek bestaat uit het ijken van de componenten van de simulator. Aan het gedrag van het duffing-systeem kon helaas nog geen uitgebreid

aandacht worden besteed. Een volgende stage zou hierin wellicht verandering kunnen brengen. Ik wil mijn begeleider dr. ir. Bram de Kraker bedanken voor

INHOUD blz. Samenvatting 2 Voorwoord 3 I . Inleiding 2. Sinusgenerator 3. Derde-macht module 3.1 Inleiding 3.2 IJkmethode 3.3 Resultaten 3.3.1 Offset 3.3.2 Overdrachtsfunktie 3.3.2.1 Algemeen 3.3.2.2 Methode polynoomaanpassing 3.3.2.3 Resultaten polynoomaanpassing 4. Lineair systeem 4.1 Inleiding 4.2 IJkmethode 4.3 Resul taten 4.3.1 Statische overdrachtsfactoren 4.3.2 Systeemgrootheden fo en E 4.3.3 Uitgang X en X 4.3.4 Systeemparameters a l s a2# al en a2

4.3.5 Gedwongen beweging in de faseruimte

5. Duffing-systeem 5.1 Inleiding 5.2 De simulator 5.3 Metingen 5.4 Resultaten 6 8 1 1 1 1 12 12 12 13 13 15 17 20 20 23 23 23 26 29 31 31 34 34 35 38 43 i L c

6. Lineair systeem met twee vrijheidsgraden 6.1 Inleiding

6.2 Metingen en resultaten

7. Conclusies en aanbevelingen

Bijlage 1. Literatuur

2. Samenvatting cijfermatige resultaten

3. Ingang- uitgangsrelatie derde-macht module,

Programma KLKW.FTN

Resultaten X2,y=11

4. Periodieke oplossing duffing-systeem met de methode van Ritz.

44 44 45 49 31 B2 33 b10

1.INLEIDING

Er is een elektronische simulator gebouwd waarmee enkele dynamische systemen gesimuleerd kunnen worden. De simulator kan worden toegepast in het onder- wijs voor demonstraties van het gedrag van systemen, voor toelichting van het gebruik van FFT-analysers bij systeemschatten en voor het verrichten van experimenteel onderzoek.

In een kast zijn de volgende vier modules samengebracht:

-

sinusgenerator

-

derde-macht module

-

lineair 2e orde systeem met 1 vrijheidsgraad

-

lineair 2e orde systeem met 2 vrijheidsgraden

Door combinatie van de derde-macht module met het lineaire systeem met

1

vrijheidsgraad kan een duffing-systeem met zowel positieve als negatieve niet-lineaire stijfheid gesimuleerd worden. Dit maakt het mogelijk op een- voudige manier het gedrag van dit systeem te onderzoeken en theoretische voorspellingen te verificeren.

De ingang- en uitgangsignalen zijn elektrische spanningen. De relaties tussen de signalen bestaan uit dimensieloze vergelijkingen. Het omwerken van de vergelijkingen naar equfvalente mechanische systemen wordt aan de lezer overgelaten. De doelstelling van dit onderzoek kan op de volgende wijze geformuleerd worden: bepaal door middel van experimenteel onderzoek de

vergelijkingen en parameters die de ingang- uitgangsrelaties van de systemen beschrijven. Onderzoek het gedrag van het duffingsysteem.

In dit onderzoek is uitgegaan van een black-box benadering. Er wordt geen aandacht besteed aan de elektronische realisatie van de modules. Informatie hierover is te vinden in [ I . ] . Het onderzoek is uitgevoerd met behulp van de volgende apparatuur: sinusgenerator, gelijkspanningsbron, universeelmeter, oscilloscoop en de FFT-analyser Hp-5423A. Het rekenwerk is verricht op de

Zoals de simulator verdeeld is in modules, kan ook dit onderzoek gesplitst worden in onafhankelijk van elkaar verrichte metingen. Alleen bij het duffing-systeem zijn resultaten uit voorgaande metingen gebruikt. Van de sinusgenerator zijn de specificaties opgesteld en is gekeken naar de signaalinhoud van het uitgangsignaal (Hoofdstuk 2). Van de derde-macht module, zo genoemd omdat het van een signaal de derde macht bepaald, is de ingang- uitgangrelatie gemeten. Met behulp van een fit-algorithme is het best passende polynoom berekend (Hoofdstuk 3 ) . In hoofdstuk 4 worden de

resultaten van het systeemschatten van het lineaire systeem met 1 vrijheids- graad behandeld. Van het systeem is de eigenfrequentie en de demping als funktie van een instelbare dempingsparameter geschat en daaruit zijn de coëficiënten van de beschrijvende differentiaalvergelijking berekend. Hoewel het in eerste instantie de bedoeling was uitgebreid aandacht te besteden aan het gedrag van het duffing-systeem kon hieraan, gezien de tijdnorm voor een opdracht slechts ten dele voldaan worden. Het accent ligt bij het bepalen van de parameters die de differentiaalvergelijking vastleggen. Voor 8 situa- ties is gekeken naar de responsie van het duffing-systeem bij harmonische exitatie (Hoofdstuk 5 ) . De resultaten zijn overeenkomstig de voorspellingen van de theorie E2.1. Verder onderzoek wordt aanbevolen. Van het lineaire systeem met 2 vrijheidsgraden zijn de elementen van de frequentie respons matrix met behulp van de FFT-analyser geschat (Hoofdstuk 6). Met deze funkties kunnen de eigenfrequenties en dempingswaarden berekend worden. De eigentrillingsvormen zijn niet berekend. In hoofdstuk 7 komen enige conclusies en aanbevelingen aan bod zoals ze in dit onderzoek naar voren gekomen zijn. Voor de gebruiker van de simulator die voornamelijk

gefnteresseerd is in de cijfermatige resultaten van dit onderzoek zijn in bijlage 2 de belangrijkste getallen kort samengevat.

2. SINUSGENERATOR

In het linkergedeelte van de kast is een sinusgenerator als onafhankelijke module ingebouwd. De opbouw van de module is als volgt:

hoof dschake I aa r luidspreker

r r

frequentie instelling

0

/ /

I

aan/ uit f reque nt i e luid s preker aa n / u i t ‘ u i t g a n g amplitude Figuur 2 . 1 Sinusgenerator.

Door meting zijn de volgende eigenschappen bepaald:

-

frequentie bereik : 30

-

1200 [Hz.]

-

nauwkeurigheid display : i

1%

-

amplitude bereik : 0

-

4 [V.]

-

signaalinhoud : basisharmonische t hogere harmonische

Het uitgangsignaal bevat behalve een harmonische van de ingestelde frequen- tie f, de harmonische met frequentie kef (k=2,3

...

) . Dit is te zien aan de hand van een schatting van het autopowerspectrum van het signaal.

In figuur 2.2 zijn voor twee basisfrequenties de autopowerspectra weer- gegeven. Het aandeel van de hogere harmonische is het grootst voor de

De verdeling van de signaalinhoud over de basisfrequentie en hogere

harmonische is aver het gehele instelbare frequentie gebied gelijk.

X: 50.000 Y: 1.4722 HARMONIC 1. ~~~~ A CPEC I #A: 20 ~~~ 0-0 0.0 X: 50.000 Y: 3.3454 A SPEC 1 0.0 HZ

X: 400.00 A SPEC 1 1.4000 A6 0.0 Y: 1.4651 #A: HARMONIC X: 400.00 A SPEC f 0.0 Y: 3.2913 0.0

XI

3. DERDE-MACHT NODULE

3 Y

Y=C(XL-X?) D

3.1 Inleidins

Om een niet-lineaire term aan het lineaire systeem toe te kunnen voegen zodat een duffing-systeem gesimuleerd kan worden is een elektronische schakeling gebouwd die een ingangsignaal tot de derde macht versterkt. De ontwerpcondities waaraan de schakeling moet voldoen luiden:

-

ingang XI 'X2

-

uitgang Y

3 - overdrachtsfunktie Y = C(X2-XI)

Door gebruik te maken van XI of X2 als ingang kan een negatieve of een positieve niet-lineaire term aan het lineaire systeem worden toegevoegd. Schematisch kan de module op de volgende wijze worden weergegeven:

Figuur 3.1 Schema derde-macht module.

De module is als een onafhankelijk systeem in de kast ondergebracht en ziet er als volgt uit:

terkingsins t e i i ing a

!

I

uit

a

a

n

f

3.2 IJkmethode

Na een eerste oriënterende meting van de module bleek dat het uitgangsignaal als funktie van het ingangsignaal tot een frequentie van het ingangsignaal van 5 [KHz.] hetzelfde gedrag vertoont. De amplitude als funktie van de frequentie blijft constant terwijl geen significante faseverschuiving van het uitgangsignaal ten opzichte van het ingangsignaal optreed. Ofwel samen- gevat, de "bandbreedte" van de module is ongeveer 5 [KHz.].

De module zal gebruikt worden voor signalen met een frequentie tot

-

+

1000 [Hz.]. Op grond van het voorgaande kunnen we stellen dat statische metingen met gelijkspanning representatief zullen zijn voor het gedrag van de module bij harmonische ingangsignalen. Het verband tussen het uitgang- signaal Y en de beide ingangsignalen X1 en X2 is bepaald door op een van de ingangen een variëxende gelijkspanning aan te sluiten en de uitgangspanning te meten. De meting is uitgevoerd voor verschillende waarden van de

versterkingsinstelling y .

3.3 Resultaten

3.3.1 Offset

Na het inschakelen van de module is een gelijkspanning aanwezig op de uitgang die afhankelijk is van de versterkingsinstelling y . Deze spanning treed op als geen signaal op de beide ingangen aanwezig is. De spanning daalt zeer langzaam naar nul. Pas na 2 uur opwarmtijd is deze offset- spanning gezakt naar & 10% van de beginwaarde. Figuur 3.3 laat het gedrag zien na het inschakelen van de module. Bij alle metingen met de derde-macht module is een wachttijd van ten minste 2 uur in acht genomen. De metingen worden daarom nauwlijks verstoord door een statische afwijking van de uitgangspanning.

-t [min]

Figuur 3.3 Offsetspanning na inschakelen.

3.3.2 Overdrachtsfunktie

3.3.2.1 Alaemeen

De resultaten van de meting van de uitgang als funktie van de beide ingangen zijn weergegeven in Iiguur 3 . 4 en tabel 1 en 2 bijlage 3. De statische

afwijking van het uitgangsignaal is zeer klein. Het gedrag rond XI = X2 = O,

met name voor de grootste waarde van de versterkingsinstelling y , doet vermoeden dat de versterking van het ingangsignaal niet exact tot de derde macht is maar dat tevens een lineaire versterking een rol speelt. De raak- lijn aan de kromme in de oorsprong is niet horizontaal.

/

Figuur 3 . 4 ïngang- uitgangsrelatie.

-c

-i

-Ir

Dit kan worden toegelicht aan de hand van figuur 3 . 5 . Hierin zijn de ingang-

en uitgang van de geëiste vorm, moeten de krommen resulteren in rechte lijnen. Hierbij kunnen afwijkingen ontstaan voor XI = X2 = O ten gevolge van statische afwijkingen. Het verband mag niet constant verondersteld worden. Bij de beschrijving van de overdrachtsfunktie zal een polynoom- aanpassing waarin de ingang als lineaire term voorkomt een betere benadering geven.

x rvi

Figuur 3.5

-

y als funktie van X.

x3

3.3.2.2 Wethode Polvnoomaanpassinq

Om een polynoomaanpassing te kunnen maken van de meetpunten (X,Y) met een polynoom waarvan de samenstelling vrij te kiezen is, wordt gebruik gemaakt van twee subroutines uit de NAG-BPlPotheek C3.f. De routine FO4ANF berekent de kleinste-kwadraten oplossing van een stelsel vergelijkingen Y = A e C

waarvan het aantal vergelijkingen f m ) groter is als het aantal onbekenden (n). Hierbij wordt gebruik gemaakt van de House-Holder transformatie uit de routine FOIAXF. Het probleem moet zodanig geformuleerd worden dat de routine

..” *

de kolom Y met de m meetwaarden Y 4

de kolom C met n coëfficiënten van het polynoom

_."

de matrix A met m*n elementen, afhankelijk van het aan te passen polynoom

De oplosmethode wordt aan de hand van het volgende voorbeeld toegelicht. We wensen een polynoomaanpassing van de meetpunten (Xi,Yi) i=l,..m met het

passing exact is, dan moet voldaan worden aan de volgende vergelijkingen: polynoom Y = Co i- C,X tC3X 3

.

Als geëist wordt dat in alle meetpunten de aan-

H

Ym =

co

i.

c

x

i-

c3xm

3

i m

ofwel in matrixvorm genoteerd:

'

x2 m I1 II It I1 cl cg 3 xm

'I

'

In het algemeen zal dit stelsel strijdig zijn. #et behulp van de NAG-routine kan de kleinste-kwadraten oplossing C en daarmee de coëfficiënten van het

.-.

polynoom berekend worden. Voor aanpassingen met andere polynomen zal de matrix A opnieuw bepaald moeten worden. Het programma (KLKW.FTN) waarmee de berekeningen zijn uitgevoerd is opgenomen in bijlage 3.

3.3.2.3 Resultaten Polvnoomaanpassinq

In tabel 3.1 zijn de resultaten van vijf verschillende polynoomaanpassingen op de meetpunten weergegeven. De berekende coëfficiënten bij ingang XI en X2

zijn op het teken na hetzelfde. Kleine variaties treden op ten gevolgen van onnauwkeurigheden in de metingen. De ingang- uitgangsrelatie blijkt voor ingang XI en X2 afgezien van het teken identiek te zijn. Ditzelfde resultaat wordt gevonden bij een meting waarbij op XI en X2 hetzelfde ingangsignaal is

aangesloten. Het uitgangsignaal is afgezien van de afwijking ten gevolgen van de offset-spanning gelijk aan nul. De veronderstelling, dat de uitgang alleen een funktie is van het verschil in Xi en X2 wordt hiermee bevestigd. Een aanpassing met een volledig ontwikkeld polynoom van de derde graad geeft zeer goede resultaten. De optredende fouten zijn van de orde van de meet- nauwkeurigheid. De overige aanpassingen kunnen op hun bruikbaarheid getest worden door ze te vergelijken met deze aanpassing. Het weglaten van de constante term en de kwadratische term heeft een kleine invloed op de fout en de overige parameters. Weglaten van de lineaire term heeft grote invloed op de resultaten.

3

Een goede aanpassing wordt bereikt door het polynoom Y = C I X

+

C3X .In bijlage 3 is voor 1 situatie, namelijk ingang X2 en y=ll, het resultaat weergegeven. In figuur 3 . 6 zijn de co&ffici&nten C 1 en C3 als funktie van de versterkingsinstelling weergegeven. Hierin is tevens de coefficiënt C3 bij een aanpassing met alleen een derde graads term weergegeven. Het verband tussen de coëfficiënten van het polynoom en de versterkingsinstelling y is lineair. Wet behulp van lineaire regressie vinden we de volgende

vergelijkingen:

*

Y = C1(X2-X1) 4- C3(X2-Xl) 3 C 1 = 0,00898.y

-

0,00922 C3= 0,000963.y

-

0,000973 r = 0,9997 (regressiefactor) r = 0,9999 (regressiefactor)

3

*

Y = C3(X2-X1)

*

C3= O,OO1086.-y

-

0,01099 r = 0,9999 (regressiefactor)

De regressie is uitgevoerd door de resultaten van ingang X I en X2 t e

combineren.

Figuur 3.6 Coëfficiënten polynoom Y = C I X t C3X 3 en Y = C3X “ 3 als funktie van

I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 6 1 6 I 6 I 6 I 6 I 4 I 3 I

s

I 4 I 9 I I 1 Í I / l i I I 1 I I I f 2 ? x. 3 2 3 2. 3 1 2 6 2 3

Tabel 3.1 Resultaten polynoomaanpassing Y=C +C X+CsX +C X

.

4 . LINEAIR SYSTEEM

4 . 1 Inleidinq

Net behulp van een elektronische schakeling wordt een 2eorde lineair systeem zoals een massa-veer systeem gesimuleerd. De beschrijvende differentiaal- vergelijking van een dergelijk systeem luidt:

X

+

a2X

+

a,X = a.F(t)

De differentiaalvergelijking is zodanig geschaald dat de co&fficiënt van de hoogste afgeleide gelijk is aan

1 .

De volgende karakteristieke grootheden van het systeem kunnen worden gedefinieerd:

de eigenhoekfrequentie de eigenfrequentie de dempingsverhouding

De differentiaalvergelijking wordt hiermee:

x

+

2Ew0X

+

wox 2 = a.F(t)

Een harmonische exitatie van het systeem met F( t 1

=i.

elwt geeft een harmonische responsie X( t)=x.eJwt waarbij

i

en

De overdrachtsfunktie van het systeem wordt beschreven door:

complexe constanten zijn

X ~ . - a . 1 2 H(v) =

-

- -

f a, I - v

+

2jEv W met v =

-

1 2 2 2 2

1

$ ( ( I - v 1 i- 4E v ) modulus ~ H ( v )

I

= % _a 2Ev argument w ( v 1 =

-

arctan ₂

1

-v

Deze funkties kunnen op de volgende manier worden grafiek, figuur 4.1.

weergegeven in een

Figuur 4.1 Theoretische overdrachtsfunktie lineair systeem.

We definieren het volgende probleem: Bepaal de systeemparameters a,, o:

o

en de systeemgrootheden fo en E van de elektronische simulator.

demp in gsi n s t e l I i n g /3 F1 o v e r f I ow

I

i

X X a a n / u i t O 0 o

Het lineaire systeem is als een onafhankelijke eenheid in de kast

ondergebracht en is weergegeven in figuur 4.2. Het systeem heeft 2 ingangen F1 en F2 en 3 uitgangen X, X, en X. Alleen de demping is instelbaar met een potmeter die als waarde I3 heeft. De overflow indicator signaleerd dat een van de signalen buiten het toelaatbare gebied van & 10 [V.] is geraakt. Voor te hoge en te lage spanningswaarden zal het systeem niet langer aan de

specificatie voldoen. Schematisch kunnen we het systeem op de volgende manier weergeven, figuur 4 . 3 .

I I

Figuur 4.3 Schema lineair systeem.

De differentiaalvergelijking luidt:

4.2 IJkmethode

De overdrachtsfunktie is geschat met behulp van de Hp-5423A FFT-analyser.

A l s exitatiebron werd gebruik gemaakt van de door de analyser gegenereerde

band limited white noise in het frequentiegebied van 120 tot 300 [Hz.]. De "amplitude" van de ruis werd zodanig gekozen dat net geen overflow optrad. Het aantal middelingen bedroeg 50. Er is gebruik gemaakt van de circle-fit mogelijkheid van de analyser voor het bepalen van de eigenfrequentie fo en de dempingsverhouding E als funktie van de dempingsinstelling 6. Het systeem is geschat via ingang F1 en F2. De statische overdrachtsfactoren

zijn bepaald met een systeemschatting in het frequentiegebied van

O to 12 [Hz.], en met een statische meting met gelijkspanning.

4.3 Resultaten

4.3.1 Statische overdrachtsfactoren

De resultaten van de meting met gelijkspanning zijn weergegeven in tabel 4.1

en figuur 4.4. De ingang- uitgangsrelatie voor de ingangen Fl en F2 zijn lineair met het spanningsnivo. Lineaire regressie op de beide krommen levert de volgende cotXfici6nten:

-ingang F1 : X = -2,0981 F1

+

0,0169

-ingang F2 : X = -2.1593 F2 i- 0,0138

r = 0,9999 (regressiefactor)

r = 0,9999 (regressiefactor)

Als zeer goede benadering mogen we stellen dat:

K~ = -0,4766

I 2 3 4 5 6 7 a 4 io I f I2 i 3 -1 F [VI 5,oo 5 4 , 0 0 0 ? , O 0 2 2 , 0 0 0 1 , 0 0 0 0 , 5 0 3 0,003 -0,503 - f 3 O 0 O .2,00.7 - 3 , 0 1 1 - 4 , 0 0 5 - 5 , 0 1 0 -Y -6 -B -10 * F1 A f 2 3

Figuur 4.4 Statische overdracht met gelijkspanning. X [VI (F1) - 1 0 , Y 8 3 - 8 , 3 7 3 - 6 , 2 8 0

-

Y , / ? 9 ~ 2 , OB?

-

/ I 0 4 6 .. o, o I O I I 0 3 4 2, II 6 4,214 6 , 3 3 5 8,421 i o , 529 X (F 2) - / o , 9 4 9 - 8 , 681 - 6 , 4 ?I - 4 , 3 3 I - 2 , 1 5 3 ~ / , o 1 2 ' O, 012 1, I f / 2 , 1 8 3 Y, 3 Y O 6, c o 2 8,659 l O , ? Y 4

De resultaten van de meting met de analyser zijn weergegeven in figuur 4.5.

De gevonden overdrachtsfactoren zijn:

K, = -0,4756

K~ = -0,4617

De metingen leveren de zelfde resultaten. De factoren zijn negatief. De ingangen worden gefnverteerd aan het lineaire systeem doorgegeven.

2.1028

A6

i.

0.0 HZ 12.

Figuur 4.5a Overdrachtsfunktie voor lage frequenties (FI, tp=r).

i.

0.0

HE

4.3.2 Svsteemsrootheden f0 en

De met de analyser geschatte overdrachtsfunktie H(f) is voor de ingangen F1

en F2 weergegeven in figuur 4.6. We zien in beide gevallen dezelfde resultaten zodat de in figuur 4.3 gemaakte veronderstelling dat de beide ingangen gelijke overdrachtsfunktie hebben waar blijkt te zijn. De kleine verschillen in de modulus is een gevolg van de verschillende waarde van de ingangsversterking al en u2. In tabel 4.2 en figuur 4.7 zijn de geschatte waarden van fo en

E

als funktie van #3 weergegeven. De eigenfrequentie van het systeem is nagenoeg onafhankelijk van p . De dempingsverhouding

E

is lineair afhankelijk van p . Met lineaire regressie vinden we:

E

= 16,12

-

1,4258 [S.] (1,87<

E

<

14,521 [%.I fO= 176,43 [Hz.] r = -0,9999 (regressiefactor) u = 0,26 [Hz.] (spreiding) f0 ,

f20.00 HZ 300 <. O0 50 20. TRAMS 180 O0

-

1 1 0 100 PHASE 80 60 i #A: 50 EXPANB 120.00 176

_KZ

50 40 T I 60 I zo Ba E $ 3 Figuur 4.6b Overdrachtsfunktie H(F2(f)).

Figuur 4.7 Dempingsverhouding

E

en eigenfrequentie fQ als funktie van de dempingsinstelling

@ .

B

-

O 2 Y 6 8 10 F1

Tabel 4.2 Dempingsverhouding E en eigenfrequentie fQ als funktie van de

dempingsinstelling B .

4.3.3 uitaanq X en X

De signalen X en X zijn met een factor Q , en p2 vermenigvuldigd om te voorkomen dat de signalen te snel buiten het maximale bereik raken.

Als theoretische verhouding van de amplitude van de signalen t.o.v. X bij harmonische exitatie geldt:

in werkelijkheid vinden we:

De factoren

el

en

e2

zijn bepaald met een harmonische exitatie

F1 = f sin(2nft) en een dempingsinstelling @=IO (tabel 4.3). De spreiding is

het gevolg van de fouten die optreden bij het instellen van de frequentie en het aflezen van de amplitude op de oscilloscoop.

f

k l

1 0 0 I s o I 6 0 1 7 0 I 3 5 I 7 7 i 8 0 I 9 0 2 00 9 0 0

Tabel 4.3 Uitgangsfactor voor X en X.

De resultaten zijn: E l = 6,33.10-4 e2 = 3,76.10-7 2 , ?!? 3, 8s 3 , 4 3 3, 39 3 , ? 5 3, F3 3, 5 2 3, 6 O I o = 0,36.10-4 o = 0,02.10-~ E2

2 4.3.4 S~steem~arameters a l L a 4 en o[

2 1-

De coëfficiënten van de beschrijvende differentiaalvergelijking kunnen aan de hand van het voorgaande op de volgende manier berekend worden:

a = 2Ew0 = 2217.E 6 2 al = (2nf0I2 = 1,229.10 6

-

-2,584.10 al - - -

-

K I

-

al = -2,662.10 6 - - “2 K 2

De differentiaalvergelijking wordt hiermee:

6 6 6

X i- a2X i- 1,229.10 X = -2,584.10 .F1 - 2,662.10 .F2

4.4.5 Gedwonsen beweains in de faseruimte

Op een oscilloscoop zijn de bewegingen van het systeem bekeken in de

faseruimte. Daartoe wordt het signaal X=P op de ingang van de oscilloscoop en het signaal X op de tijdbasis aangesloten. A l s exitatie wordt een

harmonisch signaal F=€.sin(2irft) uit een sinusgenerator op ingang F1 o f F2 aangesloten. We zien een ellips op het scherm waarvan de afmeting variëert met de frequentie en de demping overeenkomstig de modulus van de

overdrachtsfunktie H(f).

Voor lage frequenties beneden de 100 [Hz.] en lage demping wijken de

resultaten af van het voorgaande, Bij frequenties die als hogere harmonische de eigenfrequentie van het systeem bezitten zien we een harmonische met de eigenfrequentie van het systeem in de signalen X en X verschijnen. De oorzaak hiervan ligt bij de gebruikte sinusgenerator die een signaal geeft waarin ook hogere harmonische van de basisfrequentie voorkomen. Een duide- lijk voorbeeld van dit verschijnsel treed op als we als exitatiebron de sinusgenerator in de kast gebruiken. De 2e harmonische is, zoals in hoofd- stuk 2 is aangetoond, duidelijk aanwezig. Exitatie met een frequentie van

-

+

60 [Hz. J , zodat de 2e Harmonische gelijk is aan de eigenfrequentie van het systeem, geeft een responsie in het fasevlak zoals te zien is in figuur 4.8.

o

Figuur 4.8 Gedwongen beweging in het fasevlak.

Als we het autopowerspectrum van de ingang F1, uitgang X en X bekijken (figuur 4.9) zien we nog beter wat er gebeurd. De aanvankelijk als kleine verstoring aanwezige 2e harmonische in het ingangsignaal is nadrukkelijk aanwezig in de beide uitgangen. Het hierna te bespreken duffing-systeem geeft bij harmonische exitatie met lage frequenties soortgelijke responsie in het fasevlak. Om een goed onderscheid te kunnen maken tussen de responsie van een duffing-systeem en het hiervoor beschreven verschijnsel zal

voorkomen moeten worden dat de eigenfrequentie van het systeem in het ingangsignaal voorkomt. De ingebouwde sinusgenerator zal daarom als exitatiebron niet geschikt zijn voor nauwkeurig onderzoek.

X: 58.929 Y:435.41 m A 'SPEC i HARMONIC I A : 20 HZ X: 58.929 Y: 7.9016 A SPEC 9 X: 58.929 Y: -4.4789 A SPEC i BA: 20

Figuur 4.9 Autopowerspectrum F1, X en X bij exitatie met de sinusgenerator

5 . DUFFING-SYSTEEM

5.1 Inleidinq

De volgende niet-lineaire differentiaalvergelijking is bekend als de differentiaalvergelijking van Duffing C2.1:

mX t bX t kX t k*X3 = F(t)

De vergelijking beschrijft een massa-veer systeem met niet-lineaire kubische stijfheid k, lineaire stijfheid k, demping b en massa m. Met de volgende definities kan worden overgegaan op een dimensieloze uitdrukking:

*

F(t) = Fo.F(t) .u k X(t) = -.X(t) .u FO 2 p = k . - k3

*

Fo

b

E

= 2J(km) De differentiaalvergelijking wordt:

Indien we te maken hebben met een harmonische exitatie:

w = J(&w k = wo.w

*

kan afgeleid worden dat, veronderstellende dat de oplossing X van de vorm

X = X.cos(wt-tp) is, deze oplossing moet voldoen aan het volgende stelsel

-3

," - 3 -

- 2 3 * 3

I

X(w -1)

-

-yx i- cos v, =

o

4

Voor het ongedempte systeem E=O vinden we:

- 2 3 - 3

X(w - 1 )

-

$Jx

i- 1 = 0

I -

L

X en rp kunnen op de volgende manier weergegeven worden in een figuur _{( p > O ) .}

A

X

h

i

Figuur 5.1 Harmonische responie van een duffing-systeem.

5.2 De simulator

De differentiaalvergelijking van het lineaire systeem luidt:

De overdrachtsfunktie van de derde-macht module wordt, zoals in hoofdstuk 2

is aangetoond, beschreven door:

Een duffing-systeem kan gesimuleerd worden door de uitgang X van het

lineaire systeem via de derde-macht module terug te koppelen met de ingang (figuur 5.2).

Figuur 5.2 Schema duffing-systeem.

We introduceren ai en ui als de absolute waarden van al en u2 om een

beschrijving te krijgen waarin alle coëfficiënten positief zijn. De volgende twee systemen zijn te onderscheiden:

neaatieve niet-lineariteit

Kies ingang XI van de derde-macht module. De differentiaalvergelijking van het systeem ziet es als volgt uit:

3

X i- a2X i- alX = -aiF1

-

aS(-ClX-C3X )

3

X

+

a2X i- (a -a’C )X

-

aiC3X = -aiF1 1 2 1

Deze vergelijking kan, overeenkomstig de beschrijving in 5.1, omgewerkt worden met de volgende definities:

Fl(t) = FO.Fl(t)

_-.

X(t1 = -, t = J'(a -a'C ).t d" 1 2 2 De vergelijking wordt: X(t) t 2EdX(t)

+

X(t) t pX 3 (t) = -Fl(t) - , - .

-..,

.,.,

. . - ,

- , 5 positieve niet-lineariteit

Kies X2 als ingang van de derde-macht module. De differentiaalvergelijking wordt:

X f a2X t (a ta'C )X t aSC3X 3 = -aiF1

1 2 1 met de definities: volgt: Fl(t) = FO.F?(t) * . . a a ta C X(t) = '.X(t)

Foai

.u 3 X(t) t 2EdX(t) t X(t)

+

pX (t) = -Fl(t) - . - . - . u - . - , - , - .

- - .

5.3 metinuen

Als oriënterend experimenteel onderzoek van het duffing-systeem zijn enkele metingen uitgevoerd. Het systeem is voor 2 waarden van de dempingsinstelling en 8 waarden van de niet-lineariteit ~1 geëxiteert met een harmonisch signaal uit een sinusgenerator. De parameter ~1 werdt ingesteld via variatie van de

belasting en via variatie van de versterkingsinstelling y . Er zijn metingen gedaan voor zowel positieve als negatieve waarden van p. De modulus van de

responsie van het systeem is onderzocht in het gebied van 100 tot 300 [Hz.]. Hiertoe werd een harmonisch signaal van constante amplitude aangesloten op ingang F1 van het lineair systeem en werd uitgang X teruggekoppeld via de derde-macht module naar ingang F2. Op een oscilloscoop werd vervolgens de amplitude van het uitgangsignaal X als funktie van de frequentie gemeten. De schakeling komt overeen met het schema van figuur 5.2. In tabel 5 . 1 staan de ingestelde parameterwaarden en in figuur 5.3 de resultaten van de metingen.

lo

-

#A: 20 EXPBND 20 128.08 300 t OU I

E

Z H

9oz c DI 0 '0

60.

WA6

8.0

\

5.4 Resultaten

Ten gevolge van de lineaire term in de overdrachtsfunktie van de derde-macht module is het lineaire gedeelte van de differentiaalvergelijking iets

verschillend t.o.v. het niet teruggekoppelde systeem. De "eigenfrequentie"

fo en de demping E veranderen bij terugkoppeling. Bij vergelijking van de responscurve van het duffing-systeem t.o.v. het lineaire systeem zonder terugkoppeling moet met het voorgaande rekening worden gehouden.

d

De maximaal te bereiken niet-lineariteit IJ voor het zwak gedempt systeem is niet erg groot. De waarde die bereikt word bij een instelling y = l l en een amplitude van de ingang van 0,3 [ V . ] is 0,016 voor negatieve niet-

lineariteit en 0,005 voor positieve niet-lineariteit. En mogelijke toename door vergroting van de amplitude van het ingangsignaal geeft problemen doordat signalen buiten het bereik van

2

10 [V.] raken.

De grafieken geven een beeld zoals volgens de theorie voorspeld wordt. Ten gevolge wan de kleine niet-lineariteit IJ treden effecten als sprongen in de amplitude van de uitgang slechts op voor lage waarden van de demping. Bij de dempingsinstelling 8=5 benaderen de krommen de lineaire situatie met C3=0.

Bij meting 9 met negatieve niet-lineariteit, minimale demping en F1=0,3 [ V . ]

treed instabiel gedrag op waarbij de schakeling zowel bij toename als afname van de frequentie buiten haar bereik springt. De signalen raken buiten het gebied van

2

10 [V.]. Slechts uitschakelen van de schakeling en terugbrengen van het ingangsignaal zorgt er voor dat het normale gedrag terugkeerd.

Toename van de amplitude van het ingangsignaal en dus toename van de niet- lineariteit zorgt er voor dat dit gedrag ook met hogere demping optreed.

Voor het bepalen van de instelwaarden van de parameters en de spanning

6. LINEAIR SYSTEEM MET 2 VRIJHEIDSGRADEN

6.1 Inleidinq

De kast is uitgerust met een module waarmee een lineair systeem gesimuleerd kan worden met 2 ingangen en 2 uitgangen. Beschouwen we alleen steady-state responsies van het systeem dan kan het systeem schematisch op de volgende wijze worden weergegeven C4.3:

Figuur 6.1 Schema lineair systeem met 2 vrijheidsgraden.

h(t) is de 2*2 impuls respons matrix waarvoor geldt:

H(f) is de 2*2 frequentie respons matrix waarvoor geldt:

Ket aantal vrijheidsgraden van het systeem is 2. In de frequentie respons funkties zullen 2 resonantiepieken optreden voor de 2 eigenfrequenties van het systeem. De componenten van de frequentie respons matrix kunnen

afzonderlijk door het meten van de ingang- uitgangsrelaties tussen F,' F2 en X A f X2 met behulp van de FFT-analyser bepaald worden.

Het lineaire systeem met 2 vrijheidsgraden ziet er als volgt uit(figuur 6.2)

Figuur 6.2 Lineair systeem met 2 vrijheidsyraden,

Behalve de 2 uitgangen X I en X2 bezit het systeem de uitgangen XI' XI'

X2f en X2. Het systeem is niet instelbaar. Een overflow indicator geeft weer dat een van de signalen buiten het toelaatbaregebied van $: 10 [V.] is

geraakt.

6.2 Metincren en resultaten

Als exitatiebron werd de door de analyser geproduceerde band limited white nois gebruikt. De overdrachtsfunkties zijn weergegeven in figuur 6 . 3 . Met de circle-fit mogelijkheid van de analyser zijn de eigenfrequenties en

dempingsverhoudingen voor de verschillende resonantiepieken bepaald (tabel 6.1).

Tabel 6.1 Eigenfrequenties

felt

fO2 en demping C1 en C2 van de elementen van de frequentie respons matrix.

De eigenfrequenties van het systeem zijn 171 en 314 [Hz.]. Ket systeem is zwak gedempt. De dempingsparameters zijn kleiner als 0,l. De funkties H I 2 en €Iz1 zijn op een constante factor na gelijk. Er is geen meting uitgevoerd naar de eigentrillingsvormen van het systeem.

TRANS

fl

z

BA:

50

EXPAND

-180.00

0.0 HZ 400.00

Figuur 6.3a De elementen H l l en H I 2 van de frequentie respons matrix.

7 . CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN

Omdat hogere harmonische deel uitmaken van het signaal van de ingebouwde sinusgenerator is het verrichten van nauwkeurig onderzoek met deze generator niet aan te bevelen. Het geven van demonstraties in het onderwijs met de generator is goed mogelijk.

Het gedrag van de derde-macht module wordt beschreven door een polynoom in X en X3. De lineaire term mag voor lage waarden van de amplitude van het signaal niet verwaarloosd worden. Dit houd in dat bij toepassing van de module in een duffing-systeem de eigenfrequentie van het oorspronkelijk lineaire systeem veranderd.

Het gedrag van de simulator van het lineaire systeem met 1 vrijheidsgraad komt overeen met wat theoretisch wordt voorspeld. De eigenfrequentie blijft redelijk constant bij variatie van de dempingsinstelling. De overdrachts- funktie is nagenoeg onafhankelijk van het exitatienivo van het ingang-

signaal. Het instelbare dempingsbereik is klein en blijf een factor 10 onder de waarde die in [I.] werd verondersteld.

De respons van het duffing-systeem op harmonische exitatie komt overeen met wat volgens de theorie wordt voorspeld. Het instabiel gedrag van de

schakeling bij bepaalde frequentie en exitatie nivo zal nog nader onderzocht moeten worden. Het is niet duidelijk of dit gedrag specifiek is voor een duffing-systeem danwel een tekortkoming is van de gebruikte elektronica

Bij exitatie van het duffing-systeem met frequenties beneden de eigen-

frequentie van het lineaire systeem treden duidelijk niet-lineaire fenomenen op. In het uitgangsignaal komen harmonische signalen voor waarvan de

frequentie een veelvoud is van de exitatiefrequentie. Het gedrag is afhankelijk van de exitatiefrequentie en de amplitude van het ingang- signaal. Voor grote amplitudes kan instabiel gedrag optreden waarbij het uitgangsignaal buiten haar bereik springt. Verder onderzoek van dit verschijnsel is aan te bevelen.

Van het lineaire systeem met 2 vrijheidsgraden zijn alleen de componenten van de frequentie respons matrix geschat. Een onderzoek op basis van modale- analyse zou informatie kunnen geven over de modale parameters en de

LITERATUUR

[I.] J. van Heck

Ontwerp van een elektronische simulator voor een 100F massa-veer-demper systeem, intern rapport W.F.W, T . U . Eindhoven

[L.] D.H. van Campen

Voortgezette dynamica

collegedictaat 4565, T . U . Eindhoven, 1983

[ 3 . ] NAG Fortran Library Manual Mark 11, Volume 5

Numerical Algorithms Group 1984

[4.] A. de Kraker

Random trillingen en systeemschatten collegedictaat 4547,T.U. Eindhoven, 1985

SAMENVATTING CIJFERMATIGE RESULTATEN Derde-macht module Y = C1(X2-X1) t C3(X2-X1) 3 C 1 = 0 , 0 0 8 9 8 . ~

-

0,00922 C3= 0 , 0 0 0 9 6 2 . ~

-

0,000968 r = 0,9997 r = 0,9999 Lineair systeem X t a2X + a l X = a l . F í

+

a2.F2 a l = 1,229.10 6 as = 2217.E a l = -2,584.10 6 a2 = -2,462.10 6

E

= 0,1612

-

0,01425.p f0 = 176,43 [Hz.] Q., = 6,33.10-4 3 , 7 6 , IO-? Q2 (0,0187<E<0,1612) 0 = 0,26 [Hz.] D = 0,36.10-4 fO (5 = 0,02.10 -7

Lineair systeem met 2 vrijheidsmaden

fO1= 171 [Hz. J

INGANG- UITGANGSRELATIE DERDE-MACHT MODULE PROGRAMMA KLKW RESULTATEN X 2 , ~ = 1 1 X l [VI - l O , O O T - q , o o o

-

Q'002

-

7 , O I Y -4,o 1 5 -5,008 - 4 r o o 6 - 3 , 0 0 3 - 2 , o o 5

-

I , 0 0 i

-

0,203 - 1 2 , 2 5 0 o, o 00 O , 2 5 0 0 , 5 0 2 , , o 0 0 2 , 0 0 4 2 , 9 9 4 4 , 0 4 1 5 , 0 3 1 6 , 0 0 2 3 , 0 0 6 8> go 4 4 , o14 9 , 9 8 1 Y I'J 2 , 0 Bo 1 , cj 5 4 0 , 3 9 3 o j 5 3 2 o , 3 3 8 u , J l 3 o, o 58r O, 0265 O , b i s 8 o, U i O Y 9 , 0 0 6 1 ? d o o /Y I, 1 3 6 0 , 1 0 3 0,0045 O ,013 Y 0,0952 o, 099Y 0, 1 4 3 ' 0 , 3 2 8 o, 5 1 6 0,381 1,574 I , I 2 5 2 , 0 8 8 a-= 3 Y

Tv1

5 , 7 0 0 3 , 9 0 0 2 , 8 2 8 1 , 4 5 3 o, $ Y 5 *, 567 0 , 2 8 3 o , / Y 6 o , 0 6 6 : 0 , 0 3 4 1 O, u 26g 153 o, O O S ? 0,035-0 0,l i 4 0 , 2 4 4 0,482 I , 3 30 O, 0 0 3 3 0,82i 1,2531 1,461 2 . 8 1 5 3 , 4 3 5 5 1 2 x 3 ö= 6 8- 9 a: li

y: 3

Y [VI Y

rv:

6

Y /x2 _* I8

y = I /

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

* *

Kleinste kwadraten aanpassing van een polynoom

**

. . .

Van M meetpunten (X(I)fY(I)) (I=l..,M) wordt met behulp van de

NAG subroutines FOIAXF EN FO4ANF een kleinste kwadraten

aanpassing berekend met een polynoom (Y=AO+AI*X+A2*X*X+ . . . I van de graad N-I. De routine maakt gebruik van de HOUSHOLDEX transformatie voor het bepalen van de oplossing van Y(N*l) = Q(M*N)

*

A(N*l) De componenten van Y bestaan uit de meetwaarden Y(1)

,

de componenten van Q(M*N) worden bepaald via de formule

Q(I,J)=X(I)**(J-I) waarna de routine de oplossing A

en de fout in de meetpunten berekend.

Bij een nieuw probleem moet de dimesie van de arrays aangepast worden. (Hoogste waarde m, laagste waarde n) Tevens de initialisatiewaarden van M en N, de

berekening van de matrix Q, de berekening van de fout en de indices J in de outputstring van de parameters aanpassen.

$INSERT SYSCOM>A$KEYS C

REAL*8 XIM(24) i YIN(24)

,

QR(24,4)

,

Q(24,4)

,

B(24) ,ALPHA(4)

*

i W1(4), W2(4), W3(4), X(41, XI, YI, YPOL(241, FOUT(24)

*

,FOUTR(24) C INTEGER"4 M,N,IfIQR,IFA1L,IPIV(4),SYSIN,SYSOUT,J INTEGER"2 UNIN,UNOUT C c SYSIN = 5 SYSOUT = 6

C C C C C C C C UNIN = 1 UNOUT = 2 M = 24 M = 4

Openen van de invoerfile DATA en de uitvoerfile RESULTS

CALL OPEN$A CALL OPEN$A Inlezen van (A$READ,'DATA',INTS(4),UNIN) (A$WKIT, 'RESULTS',INTS(7IfINTS(2)) de M meetpunten. DO 10 I=I,M R E A D ( S Y S I N í * , E R X = l 0 ) X I , Y I XIN(I) = XI YIN(1) = Yï 10 CONTINUE C C C

Berekenen van de matrix Q

DO 20 I=I,M QR(1,l) = 1.0 QR(I,2) = XïN(1) QR(I,3) = XIN(I)**2 QR(1,4) = XINfI)**3 B(1) = YIN(1) 20 CONTINUE C DO 24 I=I,M DO 26 J=I,N Q(I,J) = QR(I,J) 26 CONTINUE 24 CONTINUE C WRITE(SYSOUTr9997,ERR=lO)M,N

C C C C C C C C C C C C C C 40 50 C C C ‘70

Berekening van de kleinste kwadraten aanpassing.

IQR = Pi

IFAIL = O

routine voor de Nousholdertransformatie.

CALL FO1AXF(M,N,QR,IQR,ALPHA,IPIV,W1,WS,IFAIL)

IF (IFAIL .EQ. O) GOTO 40 WRITE(SYSOUT,9995)IFAIL GOTO 60

oplossen van het stelsel vergelijkingen

CALL ~ O 4 A ~ F ( ~ ~ ~ , Q R t I Q R , A L P H A t 1 P I V , ~ , X , W ~ )

Wegschryven parameters polynoom approximatie

WRITE(SYSOUT,9994) J = l DO 50 I=I,N WRITE(SYSOUT,9993,ERR=I0)JtX(I) J= J t 1 CONTINUE

Berekening van de fout.

DO 70 I=I,M

YPOL ( I ) =Q ( I, 1 1 *X ( I

1

+Q ( I

,

2 1 * X ( 2 ) tQ ( I, 3 ) * X ( 3 ) +Q ( I, 4) *X ( 4)

FOUT(1) YPOL(1) -YIE(I)

FOUTR(1) = FOUT(I)/YIN(I) CÖNTÏWUË

C C

Wegschryven neetpunten en fouten

c

DO 80 I=I,M

WR'LTE(SYSOUT,999l,ERR=1O)I,XIN(I),YIM(I),FOUT(I~,FOUTR(I~ 80 CONTINUE

C

60 CALL CLOS$A (UNIN)

CALL CLOS$A (INTS(2)) CALL EXIT

C

9997 FORMAT(/27HKLEINSTE KWADRATEN PROBLEEM//4HM = _{, ï 2 /}

9995 FûRMAT(//7HIFAIL= ,121 HN = ,I2/ 5994 F O R ~ A T ( / / 4 2 H R ~ S U L T A T E ~ PARAMETERS P O L Y N O O ~ - A P R O X ~ M ~ T I E / /

*

10H I A(I)//) 9993 FORNAT(12,3X,D12.5/) 9992 FORMAT(/IO~~EETPUNTEN//

*

53H I X(I1 Y(1) FOUT

9991 F O R M A T ( 1 2 , 3 X , D ' l 1 . 4 , 2 X , D l l . 4 , S X , D 1 1 . 4 , 2 X , D l l . 4 / ~

END

REL FOUT//)

. . .

* *

RESULTATEN X2, y = l l

. . .

* *

PERIODIEKE OPLOSSING DUFFING-SYSTEEM MET DE METHODE VAN RIT2

De differentiaalvergelijking van een duffing-systeem met demping luidt:

3

q t 2Eq

+

q t p q = cos wt

We veronderstellen een periodieke oplossing in de vorm:

q =

x

cos(0-cp) met (3 = w t

met als onbekenden X en rp.

Substitueer deze oplossing in het beginsel van hamilton:

t2

s

(6L+Qóq)dt = 6q.L'' met behulp van:

q = -Xw sin(@-cp) ö q = cos(U-cp)öX t X sin(0-rp)aip 1'2 T = 3q tl=

o

t2=

-

2r w vinden we : (kinetische energie) (potentiële energie) (polygene belasting) 2 N (6L+Qoq)d0 = O O

met 1 4 2a 2 ir f BLdB = ö.J LdU = li (p(w2-l )X2-

%nux

1 O O

2

3 3 = (aX(w - 1 )

-

p x

)6X en 2a

f QBqdU = (a cos 8)bX t (2EwX-sin ip)Xaiiip

O

( n X ( ~ i

-1:

-

-.eV =+ a cos w ) b X

+

(2EwX-sin rp)Xiröip = O

ofwel

2

3 3

4

Deze vergelijking moet gelden voor willekeurige Bx en 6rp, waaruit volgt:

2

3 3

X(w - 1 ) - -px i- cos ip =

o

X(2Ewx

-

sin i p ) = O