De derde macht 1

(1)

wiskunde B pilot vwo 2016-II

De derde macht

1 maximumscore 3

• Er moet dan gelden f g x( ( ))= (of ( ( ))x g f x = )x 1

• f g x( ( ))=

(

3 x+ − +1 1 1

)

3− =1

(

3 x+1

)

3− 1 1

• f g x( ( ))= + − = (dus g is de inverse functie van f )x 1 1 x 1

of

• Spiegeling van het punt ( , )x y op de grafiek van f geeft x=(y+1)3−1 1

• Dit geeft x+ =1 (y+1)3, dus 3 x+ = +1 y 1 1

• Dus y=3 x+ −1 1, dus ( , )y x ligt op de grafiek van g (dus g is de

inverse functie van f ) 1

• Opgelost moet worden (x+1)3− =1 3 x+ − , dus 1 1 (x+1)3 =3 x+1 1

• Hieruit volgt (x+1)9 = +x 1 (of x+ =1 9 x+1) 1

• Hieruit volgt (x+1)((x+1)8− =1) 0 1

• Dus x+ =1 0 of (x+1)8 =1 1

• _{Dit geeft}x= −2, x= −1 of x=0 1

• De gemeenschappelijke punten zijn ( 2,− − , ( 1, 1)2) − − en (0, 0) 1

of

• De gemeenschappelijke punten liggen op de lijn y=x 1

• Uit f x( )= volgt x x3+3x2+2x=0 1

• Hieruit volgt x x( 2+3x+2)=0 1

• Dus x x( +1)(x+2)=0 1

• Dit geeft x= −2, x= −1 of x=0 1

• De gemeenschappelijke punten zijn ( 2,− − , ( 1, 1)2) − − en (0, 0) 1

of

(2)

wiskunde B pilot vwo 2016-II

Vraag Antwoord Scores

Spots

3 maximumscore 4 • r2 =x2+d2 (en dus 1₂ ₂ 1 ₂ r = x +d ) 1 • cos x r α = 1 • 2 2 x x r = _x ₊_d 1 •

(

)

3 2 spot spot 2 2 ₂ ₂ 2 2 1 4 4 I _x I _x E x d _x _d _x _d = ⋅ ⋅ = ⋅ π + ₊ π ₊ 1 4 maximumscore 7 •

(

)

(

)

(

)

3 1 2 2 3 2 2 3 2 2 spot 2 2 1 100 100 2 d 4 d ₁₀₀ x x x x I E x _x ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ π _ _ +     2 • d 0 d E x = geeft

(

)

(

)

3 1 2 2 2 ₁₀₀ ₃ 2 2 ₁₀₀ ₀ x + − x x + = 1 •

(

) (

)

1 2 2 2 2 100 100 3 0 x + x + − x = 1 • x2+100 3− x2 =0 (omdat

(

)

1 2 2 100 0 x + ≠ ) 1 • x2 =50 dus (omdat x> ) 0 x= 50 1 • Het antwoord: 7,1 (mm) 1

• De gemeenschappelijke punten liggen op de lijn y=x 1

• Uit f x( )= x volgt (x+1)3 =x 1+ 1

• Hieruit volgt (x+1)((x+1)2 − = 01) 1

• Dus x+ =1 0 of (x 1)+ 2 = 1 1

• _{Dit geeft}x= −2, x= −1 of x= 0 1

• De gemeenschappelijke punten zijn (−2, − 2) , (−1, −1) en (0, 0) 1 Opmerking

(3)

wiskunde B pilot vwo 2016-II

• De horizontale afstand (in mm) van de rechterspot tot P is 40 d− 1

• De totale verlichtingssterkte in P is

(

)

3

(

)

3 2 2 2 2 2 2 500 25 500 25 4π ⋅ ₂₅ ₊_d + 4π ⋅ ₂₅ ₊₍₄₀₋_d₎ 2

• Beschrijven hoe het maximum 0,074 (of nauwkeuriger) gevonden kan

worden 1

• Beschrijven hoe het minimum 0,061 (of nauwkeuriger) gevonden kan

worden 1

• Het minimum is 82% (of nauwkeuriger) (of: 80% van het maximum is 0,059), dus het deel van het werkoppervlak tussen de spots wordt

voldoende gelijkmatig belicht 1

Opmerkingen

− De factor 500

4π mag, mits toegelicht, in de berekening buiten

beschouwing worden gelaten.

(4)

wiskunde B pilot vwo 2016-II

Twee snijdende cirkels

• (Pythagoras in driehoek NDA geeft) AD2+DN2 =r2 1

• (Pythagoras in driehoek MDA geeft) AD2+(DN−1)2 =12 1

• Samen geeft dit 1 (− DN−1)2 =r2−DN2 1

• Herleiden tot DN= 1₂r2 1 7 maximumscore 4 • DM =DN− =1 1₂r2− 1 1 • 1 1 2 2( 1) CD= CM = r− 1 • CD=DM geeft r2− − =r 1 0 1

• Exact oplossen geeft 1 1 2 2 5

r= + (of een gelijkwaardige uitdrukking)

(r= −1₂ 1₂ 5 voldoet niet) 1 of • DM =DN − =1 1₂r2− 1 1 •

(

1 2

)

1 2 2 1 1 2 CD=CN−DM −MN = −r r − − = −r r 1 • CD=DM geeft r2− − =r 1 0 1

• Exact oplossen geeft 1 1 2 2 5

r= + (of een gelijkwaardige uitdrukking)

(r= −1₂ 1₂ 5 voldoet niet) 1

of

• DM + =1 DN, dus DM =1₂r2 − 1 1

• CD+DM + =1 CN, dus 2DM + =1 r 1

• Samen geeft dit r2− − =r 1 0 1

• Exact oplossen geeft r= +1₂ 1₂ 5 (of een gelijkwaardige uitdrukking)

( 1 1

2 2 5

r= − voldoet niet) 1

of

• Een redenering waaruit volgt ∆NCA∼ ∆AMC 1

• Hieruit volgt AC AN CM = AC dus 1 1 1 r r− = 1 • Dit geeft r2− − =r 1 0 1

• Exact oplossen geeft r= +1₂ 1₂ 5 (of een gelijkwaardige uitdrukking)

( 1 1

2 2 5

(5)

wiskunde B pilot vwo 2016-II

Sinusoïde met perforaties

• De noemer is nul als cos( )x =0, dus als x= π of ₂1 x=11₂π 1

• 2 1 2 cos ( ) 1 ( ) 1 cos( ) x f x x + − = + 1

• Dit is gelijk aan 2 cos( ) 1x + (voor x≠ π , 1₂ 1 2 1 x≠ π ) 1 • 1 2 lim 2 cos( ) 1 1 x→ π x + = en 1 2 1 lim 2 cos( ) 1 1

x→ π x + = (of: als x nadert tot

1

2π of tot 1

2

1 π, dan nadert f x( ) tot 1) 1

• Dus de coördinaten van de perforaties zijn

(

1₂π, 1

)

en

(

11₂π, 1

)

1 Opmerking

Als het stelsel {1 cos(2 )+ x = , cos( ) 0}0 x = opgelost wordt, resulterend in

1 1

2 , 12

x= π =x π, zonder daarna op exacte wijze tot y= te komen, hiervoor 1

(6)

wiskunde B pilot vwo 2016-II

Getransformeerde grafiek

9 maximumscore 3 • AP=ln

(

p2+ − en1

)

1 2 2 e 1 ln 1 BP p   = − _ _ +   1 • BP= −1

(

ln e

( ) (

2 −ln p2+1

)

1 • BP= − +1 2 ln

(

p2+ =1

) (

ln p2+ − (1

)

1 = AP) 1 of

• De y-coördinaat van het midden van lijnstuk AB is ( ) ( ) 2 f p +g p 1 •

(

)

2

₍

₎

₍

₎

2 2 2 2 e ln 1 ln ln 1 2 ln 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 p p p p f p g p   + +   _{+ + −} ₊ + + ₌ _ _ ₌ (of

( )

2 ln e 2 ) 1 • ( ) ( ) 2 1 2 2 f p +g p

= = , dus het midden van lijnstuk AB is P, dus AP=BP 1

• (Vanwege de symmetrie in de lijn met vergelijking y= geldt) de1 inhoud is gelijk aan

1 2

0

2⋅ π

∫

x dy, met y=ln

(

x2+1

)

2

• y=ln

(

x2+ herleiden tot 1

)

x2 =ey−1 1

• Een primitieve van ey− is 1 ey−y 1

(7)

wiskunde B pilot vwo 2016-II

• Een vergelijking van de verschoven grafiek is y=ln

(

x−2

)

2+1

)

1

• Voor de x-coördinaat van het snijpunt geldt x2+ =1

(

x−2

)

2+1 1

• Hieruit volgt x=1 1 • ( ) ₂2 1 x f x x ′ = + 1

• De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in het

snijpunt is f ′(1) 1= 1

• De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de verschoven grafiek is ( 1) 1

f ′ − = − (of 2(1 2)₂ 1 (1 2) 1

− _{= −}

− + ) 2

• Het product van de richtingscoëfficiënten is 1− , dus de grafieken

snijden elkaar loodrecht 1

of

• Een vergelijking van de verschoven grafiek is y=ln

(

x−2

)

2+1

)

1

• Voor de x-coördinaat van het snijpunt geldt x2+ =1

(

x−2

)

2+1 1

• Hieruit volgt x=1 1 • ( ) ₂2 1 x f x x ′ = + 1

• De afgeleide die hoort bij de verschoven grafiek is

2 d 2( 2) d ( 2) 1 y x x x − = − + (of

een gelijkwaardige uitdrukking) 1

• De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de verschoven grafiek is ( 2 2(1 2) (1 2) 1 − ₌ − + ) −1 1

• Het product van de richtingscoëfficiënten is −1, dus de grafieken

snijden elkaar loodrecht 1

(8)

wiskunde B pilot vwo 2016-II

• f(− =x) ln((−x)2+ =1) f x( ) (voor elke waarde van x) 2

• Uit de verschuiving (en de symmetrie) volgt x=1 1

• ( ) ₂2 1 x f x x ′ = + 1

• De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de verschoven grafiek is ( 1) 1 f ′ − = − (of

(

)

(

)

2 2 1 2 1 1 2 1 − = − − + ) 2

• Het product van de richtingscoëfficiënten is −1, dus de grafieken

(9)

wiskunde B pilot vwo 2016-II

Droogligtijd

• De vergelijking

( )

2

745

125 cos π t =40 moet worden opgelost 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden 1

• t₁≈147, 6 en t₂ ≈597, 4 1

• Het antwoord: 450 (minuten) 1

• Op t= is h zt₁ = , dus z=125 cos

(

₇₄₅2π t₁

)

1

• Een redenering waaruit volgt dat 745 1 1 2 2 t = − D 2 • Substitutie van 745 1 1 2 2 t = − D in z=125 cos

(

₇₄₅2πt₁

)

geeft

(

)

(

2 745 1

)

745 2 2 125 cos z= π − D 1

• Hieruit volgt z=125 cos

(

π −₇₄₅π D

)

1

• Voor de formule van de grafiek van figuur 2 geldt

(

745

)

745 d 125sin d z D D π π = − π − ⋅ − 1 • D=372, 5 geeft d 125₇₄₅ d z D π = (of (ongeveer) 0,53) 1

• Dus de helling bij de grafiek van figuur 3 is 745

125π≈1, 9 1

• Voor de formule van de grafiek van figuur 4 geldt

4 2 d 2, 4 10 1, 7 d D z z −

= ⋅ + (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1

(10)

wiskunde B pilot vwo 2016-II

Punt bewegend over een lijn

• AP2 =(2 4 )+ t 2+(5t−1)2 1

• BP2 =(4t−4)2 +(5t+1)2 1

• AP2 =BP2 herleiden tot een lineaire vergelijking 1

• Dit geeft 3 7

t= 1

• Invullen in de vectorvoorstelling van k geeft

(

5 1

)

7 7

3 , 3

P 1

of

• Een vergelijking van lijn k is 1 1 4 2

1 1

y= x− 1

• AP2 =x2+

(

11₄x−31₂

)

2 en BP2 =(x−6)2 +

(

1₄1x−11₂

)

2 1

• AP2 =BP2 herleiden tot een lineaire vergelijking 1

• Dit geeft x=35₇ 1

• Invullen in de vergelijking van k geeft 1 7

3

y= (dus P

(

3 , 35₇ 1₇

)

) 1

of

• Een vergelijking van lijn k is 1 1 4 2

1 1

y= x− 1

• Een vergelijking van de middelloodlijn n van lijnstuk AB is van de

vorm 6x−2y+ =c 0 1

• Het punt (3, 1) ligt op n; hieruit volgt voor n de vergelijking y=3x−8 1

• 1 1

4 2

3x− =8 1 x−1 exact oplossen geeft 5 7

3

x= 1

• Invullen in de vergelijking van k geeft y=31₇ (dus P

(

3 , 35₇ 1₇

)

) 1

of

• Een vergelijking van lijn k is y=11₄x−11₂ 1

• Een richtingsvector van de middelloodlijn n van lijnstuk AB is

( )

2

6 1

• Een vectorvoorstelling van de middelloodlijn is

( ) ( ) ( )

3 2

1 6

x _t

y = + ⋅ 1

• 1 1

4 2

(11)

wiskunde B pilot vwo 2016-II

• Er moet gelden d P m( , )=d P y( , -as) 1

• d P y( , -as) (of de straal) is gelijk aan 2+4t (of 2+4t ) 1

• Lijn m heeft vergelijking x+3y=6 1

• 2 2 | 2 4 3(1 5 ) 6 | |19 1| ( , ) ( ) 10 1 3 t t t d P m = + + + − = − + 1

• Beschrijven hoe de vergelijking d P m( , )=d P y( , -as) kan worden

opgelost 1

• Dit geeft t≈ −0,17 of t≈1,15 1

• Invullen in 2+4t geeft stralen 1,33 en 6,61 1

Opmerking