Transformatie van de niet-lineaire komplementaire energie formulering volgens Masur en Popelar naar die volgens Koiter

Transformatie van de niet-lineaire komplementaire energie

formulering volgens Masur en Popelar naar die volgens Koiter

Citation for published version (APA):

Menken, C. M. (1977). Transformatie van de niet-lineaire komplementaire energie formulering volgens Masur en Popelar naar die volgens Koiter. (DCT rapporten; Vol. 1977.002). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1977 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

CM. 760702

T R A N S F O W T I E VAN DE NIET-LINEAIRE KOMF'LEMENTAIRE ENERGIE FORMULERING VOLGENS MACUR EN POPELAR NAAR D I E VOLGENS KOITER.

~ ~ ~~~ ~~ ~~ ~- ~~ ~~~ C.M. MENKEN. C.M. Menken WE 77.02

Korrektle bij rapport WE 77.02

'Transformatie van de niet-lineaire komplementaire energie formulering volgens Pfasur en Popelar naar die volgend Koiter'.

door C.M. Menken.

De bovenste alinea op p.5 wordt vervangen door:

Deze-formulering is niet uitsluitend in de spanningen. Masur- ~

en Popelar C21 laten voor enige één-dimensionale theoriën zien dat het bij de voor knikonderzoek belangrijke toename van funktionaal (20) die kwadratisch is in spannings- en verplaatsingstoenamen, via integratie van de incrementele

evenwichtsvergelijkingen, mogelijk is de verplaatsingsafge- leiden geheel in spanningsgrootheden uit te drukken, waar- mee dan voor de betreffende theoriën een effektieve komple- mentaire energie formulering verkregen is.

CM. 760702

Inleiding

Door Koiter Cl1 verkregen resultaten geven aanwijzigingen dat knikbe- rekeningen op grond van het principe van de komplementaire energie nauwkeuriger kunnen zijn en minder numeriek rekenwerk kunnen vragen, dan knikberekeningen op grond van het principe van de potentiële ener- gie,

Masur en Popelar C21 exploreerden de komplementaire energie aanpak voor knikberekeningen op grond van het feit dat elementenmethoden ge- baseerd op aangenomen- spanningen

mender

-vFij heidsgraden vergen dan elementenmethoden gebaseerd op verplaatsingen.

Een verschil tussen de formulering van Koiter en die van Masur en Popelar is, dat Koiter algemeen drie- en twee-dimensionaal werkt op

grond van de niet-lineaire relaties uit de kontinuumsmechanika, waarbij hij de niet-symmetrische Piola-Kirchhoff spanning verkiest, al of niet samen met de rotatie-vektor, terwijl Masur en Popelar een op technische problemen gerichte notatie volgens Budiansky C31 gebruiken.

Een uitwerking van de komplementaire energie in de elementenmethode voor knikberekening is nog niet bekend, Voor de analyse van sterkte- en stijfheids- problemen heeft de komplementaire energie echter nooit die vlucht genomen zoals de potentiële energie. Meer sukses hadden de zoge- naamde hybride principes [ S I . Wellicht bieden deze bij knikberekening- en ook mogeíijK'ne6en. slvoreïïs deze t e e q ~ û ï z ï z ï ì is h e t n ~ t t i g Ur

leringen van Koiter en Masur en Popelar te vergelijken.

Hoewel bepaling van de kritische belasting plaats vindt m.b.v.de tweede variatie van de komplementaire energie, zullen we ons hier beperken tot onderling vergelijken van de komplementaire energie formuleringen zelf, daar dit eenvoudiger is.

Indien beide formuleringen op dezelfde veronderstellingen berusten moet het mogelijk zijn de een in de ander over te voeren. Dit zal gebeuren voor de formulering van Masur en Popelar, waarmee dan naast de aanpak van Zubov [ S I en van Koiter een derde manier verkregen is om de komple- mentaire energie funktionaal in de niet-symmetrische Piola-Kirchhoff

CM. 760702 2

2. Gebruikte symbolen en relaties.

Deze zijn identiek met de door Koiter gebruikte,

Voor afleidingen wordt daarom naar Koiter

C41

verwezen. De hier gebruikte symbolen en relaties zijn de volgende:

verplaatsingen: U.

onafhankelijke Lagrange-koördinaten: xi tensor van de verplaatsinggradiënten

1

gedefinieerd door:

c.

.= 6 .

.+

u .

=J =J i,j

deze leent zich tot polaire dekompositie:

C . . = R U

i j ik kj

waarin de orthonormale rotatietensor is en de rechter vervor- mingstensor, welke a.v. gesplitst kan worden;

U..= Lj + Eij

I J ( 3 )

Zowel als g, zijn symmetrisch.

De deformatie kan ook beschreven worden met de metrieke tensor N g:

welke ook wel gesplitst wordt in:

gij- - "ij + 2yij

Hierin is de Y N de deformatietensor volgens Lagrange.

Het verband tussen de vervormingen E.. en yij luidt: I J ( 4 ) ( 5 ) 1

-

y;:

-

E . . +

-

E ij 2 ik'kj

Introduceren we naast deze vervormingen bovendien de tensor met v e r p l a a t s i n g s a f g e l e i d e n c :

CM. 760702 3

c = u.

ij i,j ( 7 )

dan kunnen op grond van het invariant zijn van de specifieke elastische arbeid W de volgende spanningen gedefinieerd worden: de niet-symnetrische Piola-Kirchhoff spanning:

de symmetrische PPola-Kirchhoff spanning:

de Jaumann-spanning:

aw(s)

T.. = -

LJ

a€..

I J

Tussen deze spanningsdefinities bestaan de volgende relaties:

D.. = S C

i j ih jh

3. De formulering volgens Masur en Popelar in d r i e d i m e a s h s . De komplementaire-energie formulering volgens Koiter C41 is in drie dimensies. Om na te gaan of de speciale formulering vol- gens Masur en Popelar en die volgens Koiter gelijkwaardig zijn, is het nodig de eerste o n te zetten in een algemene formulering. Een aanknopingspunt vormt het feit dat Masur en Popelar de defor- maties beschrijven overeenkomstig de deformatietensor v. Lagrange, terwijl in de evenwichtsrelaties verplaatsingsafgeleiden voorko- men. Dit wijst op het (niet expliciet vermelde) gebruik van de

symmetrische Piola-Kirchhoff spanning Sij.

Om de komplementaire-energie formulering in deze spanning af te leiden gaan we uit van de potentiële energie formulering in y.. 1 3 en u. en passen vervolgens de klassieke Friedrichs-transformatie

toe e

CH. 760702 4

De potentiële-energie funktionaal luidt:

p

Er'")

=j-(w(&)

-

X.U.) 1 1 dv

-

[pcuidA

AP waarin X. de komponenten van de volumebelasting zijn

en Ag is dat deel v.h. oorspronkelijke oppervlak, waarop de span- ningen p. gespecificeerd zijn.

Kinematisch

moeten voldoen aan:

1

O

1

toelaatbare vervormingen, verplaatsingen en spanningen

~ - ~ ~~ ~~- ~~~ ~ ~ ~

+

u.

+

u u .) 1 =

-

(u. 'ij 2 i , j j,i h,i h , ~ u. = U. O op Au 1 1 W Y ) N

s..

=

-

1.3 aYij

Door nevenkondities ( 1 4 ) en (15) in het variatieprincipe 6P=0

in rekening te brengen middels multiplikatoren S . . en pi wordt de funktionaal volgens Hu en Washizu gevonden: 1 J

-X. 1 1 u

.]

dv-L;TuidA- (ui-u?) 1 dA

Introduktie van voorwaarde (16) die P I stationair maakt met be- trekking tot y geeft het variatieprincipe van Reissner. Na par-

tie& integreren van de relevante termen verschijnen de volgende evenwichtsrelaties in de funktionaal:

N

{ s ~ ~ ( ~ ~ ~ + u ~ , ~ )

1

, i + ~ j = ~ in v

Eisen we vervolgens dat de spanningen statisch toelaatbaar zijn, d.w.z. dat de z&j voldoen aan (18) en ( 1 9 ) , dan resteert als funktionaal:

CM, 760702 5

Deze formulering is niet uitsluitend in de spanningen. In prin- cipe is het echter mogelijk de drie verplaatsingskomponenten U. i

m.b.v. de drie evenwichtsvergelijkingen (18) uit te drukken in de spanningskomponenten S.. en een aantal integratiekonstanten, Masur en Popelar laten bij een aantal praktische problemen zien dat bij enige theoriën deze integratiekonstanten ook weer te interpreteren zijn als resultanten van spanningen.

I J

4. Transformatie van de komplementaire energie formulering, uit- -

-~~ ~ -~~

gedrukt in de syEetrisTTie PColäEKirchhof f-spamii;ng, maar die in de niet-symmetrische Piola-Kirchhoff spanning.

Bij de uitgangsformulering hoort funktionaal (20), samen met het statisch toelaatbare stelsel:

S . . = S . . in v

IJ J 1

awcc)

y. = - ij

asij

Eerst zal nu funktionaal (20) worden omgewerkt naar de formule- ring van Koiter (zie [ 4 J , formule (8.2)).

Op grond van ( 1 ) vinden we voor U _{h, iuh,j}

'

u

.=c .c -e..-c.

.+6..

h,iUh,j hi hj j i ij ij

Met ( 4 ) en (5) introduceren we hierin de deformatietensor Y : N

u u .=26..+2y.

-c..-c

h,i h , j i j Ij ~i ij

De tweede term in de integrand van funktionaal (20) wordt hier- mee :

1 1

1

- S U U . = S . . B . . + S . . y . - - S . . C . . - - S . . C (27) 2 ij h,i h,j ij ij ij ij 2 ij J L 2 i j ij

CM. 760702 6

D en N S ( 1 1 ) te gebruiken wordt dit: N

(28) 1

-

S U U .=S..-D..+S..Y.. 2 ij h,i h,J i1 11 iJ iJ

In de relatie (8.2) van Koiter komt wel de Jaumann spanning T.. 13 voor, doch niet de symmetrische Piola-Kirchhoff spanning Sij. Relatie (12) geeft:

T..=S U =S. (6 .+E . ) (29)

i1 ih hi ih hi hi

Bij de symmetrische Piola-Kirchhoff spanning S . . hoort de ver- vorming ~..(zie(9)). Voor kleine vervormingen E mogen we

IJ ij

echter volgens (6) zeggen:

13 H ie rme e en voor Voor de 0

[:,El

Y. .=e ij ij wordt (29) : T. =S..+2W ii ii kunnen we schr ij ven : 1

-

S U U .=T..-D.. 2 ij h,i h,j i1 11

komplementaire energie funktionaal krijgen we dus:

( 3 3 )

De integrand komt inderdaad overeen met de eerste relatie (8.2)

volgens Koiter:

Vervolgens worden de relaties die het statisch toelaatbare stel- sel definiëren getransformeerd:

Nevenkonditie (21) wordt a.v. vertaald naar een nevenkonditie

2:

Volgens ( 1 1 ) en (2) geldt:

dus :

=S C =S R U

CM. 760702 7

D..R =S R R U = S . U

ij j a ih jk j R kh ih Rh ( 3 5 )

Voor isotrope materialen hebben

2

en

E

dezelfde hoofdrichtingen, zoals en dus ook

ED

symmetrisch is:

Dik% =O

Voor kleine rotaties kunnen we schrijven:

en wordt ( 3 6 ) :

D..w -D. W.=E .D

i i m im I mij ij

( 3 7 )

Dit zijn drie vergelijkingen waarmee de drie komponeneten van de rotatievektor, W kunnen worden uitgedrukt in de komponenten van

N

D, waarmee de komplementaire-energie funktionaal een funktie van D wordt!

Kondities (22) en ( 2 3 ) worden a.v. omgewerkt:

i'

N

dit geeft: D. +X.=O in v lj,i J

IJ 1 j

O

CM. 760702 8 Formulering in niet-symmetrische Piola-Kirchhoff spanning. (KO it er) Funktionaal:

[ x

,El

=J-[

W

(2)

+ Tii-Di i

1

dv+

- $

-piui%& AU

Voor kleine kwadraten van rotaties kan T.. worden uitgedrukt in kompo- nenten van

2:

11

1

1

11 i i 2 i i m m 2 i m i i - n

T..=D +-D 0 -D W . W

terwijl in

W(2)

de T.. mogen worden 1 J

ij vervangen door D

Statisch toelaatbaar stelsel:

-+ D..U -Dimui= E .D. 11 m mij ij D..

.

+ X.=O in v I J 3 1 J Dijni = pjo OP AP Formulering in symmetrische Piola-Kirchhoff spanning. (Masur en Popelar) Funktionaal:

I

dv+ 0- ~~ ~ ~~~~~ ~- ~~ ~~~

-

piui dA. *U

(gelijkwaardig aan linker formu- lering mits E < < I )

ij

Statisch toelaatbaar stelsel:

in v

-

'ij

-

(Sij+Sihu )

-

+ X.=O in v j,h P X j

CM. 760702 9

Literatuur.

1.

2.

Koiter, W.T., Complementary Energy, Neutral Equilibrium and Buckling, Proc.Kon.Ned.Ak.Wet. B79, 183-200, 1976.

Masur, E.F. and Popelar, C.H., On the use of the complementary energy in the solution of buckling problems, Int. J.Solids Structures, 1976, V01.12, p.p. 203-216.

~~ ~~~~ ~~ ~ ~~

3. Budiansky, B and Hutchinson,J.W. Dynamic buckling of imper- fection sensitive structures, Proc. 11th Int.Congr.Appl.Mech,, p.636 (1964)

4 .

5.

Koiter, W.T., On the complementary energy theorem in non-lineair elasticity theory. WTHD Report 72, Delft University of Technolo- gy (1975)

Pian, T.H.H., Finite element methods by variational principles with relaxed continriity requirement. International Conference on variational methods in Engineering, Southampton, England, 25-29

sept. 1972.

6. Zubov, L.M.

-

The stationary principle of complementary work in the non-linear theory of elasticity (in Russian).Prikl.Mat. Mekh. 34,241-245 (1970). English translation 228-232.