Rekenen aan wortels - leerlingentekst

Rekenen aan wortels

Werkblad – 546121 = …

Vooraf – De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door , moeten schriftelijk worden beantwoord.

Daarbij moet altijd duidelijk zijn ‘hoe’ de antwoorden gevonden zijn. Het geven van alleen een antwoord als ‘ja’ of iets als ‘a = 9’ (zonder enige toelichting) is dus niet voldoende.

Het gebruik van een rekenmachine bij dit werkblad is alleen toegestaan om be-rekeningen te controleren!

Studielast

8 à 10 slu

Voorkennis

begrippen als term, factor, coëfficiënt / eigenschappen van optelling en ver-menigvuldiging / rekenvaardigheid / herkennen en berekenen van kwadra-ten / machkwadra-ten en wortels / enige vaardigheid in het interpreteren van for-mules

Benodigdheden

zakrekenmachine

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

PW-vorm – Het talstelsel waarin we berekeningen uitvoeren (of dat nu is bij wiskunde,

natuurkunde of bij het boodschappen doen) is gebaseerd op het getal 10. Gevolg daarvan is dat we 10 verschillende cijfers gebruiken (0, 1, 2, …, 9) waarmee de getallen worden ‘be-schreven’.

Maar er is meer. De betekenis, de waarde, die we aan de dezelfde cijfers in die getallen toe-kennen, kan verschillen.

De 3 in 739 is een 30-tal, terwijl de 3 in 379 een 100-tal is. In 333 heeft elke 3 een andere waarde: van links naar rechts 300, 30, 3.

Daarom is 333 = 300 + 30 + 3.

De positie (plaats) die een cijfer in een getal heeft, bepaalt de waarde van dat cijfer in het ge-tal. Daarom is ons talstelsel een positie-waarde-stelsel.

We kunnen de waarde van de cijfers in een getal met behulp van (machten van) het getal 10 zichtbaar maken:

739 = 700 + 30 + 9 = 7×102 _{+ 3×10}1 _{+ 9×10}0

De exponenten in de machten van 10 (2, 1, 0) geven daarbij de positie aan. Let wel, de 9 staat op de 0e positie van 739 (9 is de coëfficiënt van 100 _).

De vorm waarin een getal als de som van een aantal machten van 10 wordt geschreven, heet in dit werkblad de PW-vorm (de positie-waarde-vorm van een getal).

Het aantal termen in de PW-vorm is dus gelijk aan het aantal cijfers van het getal. Voorbeeld. De volgende getallen zijn in de PW-vorm geschreven:

- 23 = 2×101 _{+ 3×10}0

- 1024 = 1×103 _{+ 0×10}2 _{+ 2×10}1 _{+ 4×10}0

Maar we kunnen natuurlijk ook schrijven:

- 23 = 2×10 + 3 (en in dit geval dus niet 23 = 20 + 3) - 1024 = 103 _{+ 2×10 + 4×1}

- 340317 = 3×105 _{+ 4×10}4 _{+ 3×10}2 _{+ 10 + 7}

Let wel: 10 en 7 worden in dit laatste geval niet opgeteld. ◊

In het tweede deel van het voorbeeld zijn enkele regels toegepast die je bij het schrijven van getallen in de PW-vorm mag toepassen.

1) Is in een term van de PW-vorm een coëfficiënt van een macht van 10 gelijk aan 0, dan mag je die term weglaten.

2) 1 × 10p _{mag je schrijven als 10}p_.

3) 101 _{mag geschreven worden als 10; ook 1 × 10}1 _{mag geschreven worden als 10}

(vol-gens regel 2 met p = 1).

4) a × 100 _{mag geschreven worden als a × 1 of als a.}

N.b. Als je regel 1 toegepast hebt, dan is het aantal termen van de PW-vorm natuurlijk niet meer gelijk aan het aantal cijfers van het betreffende getal.

Opmerking. Het is in de rekenkunde (en daarmee ben je nu bezig) ongebruikelijk een getal te laten beginnen met een 0. Dus wordt 0347 geschreven als 347.

Opgave 1

Schrijf de getallen 1, 10, 100, 1000 en 10001 in de PW-vorm. Doe hetzelfde met 7, 73, 73100 en 731927307.

Verkort – Soms kennen we de cijfers van een getal niet, maar weten we wél het aantal

cij-fers waarmee het getal geschreven wordt.

De cijfers kunnen we dan met letters aangeven als ‘variabelen’. We beginnen dan meestal met a, b, c, … en reserveren x, y, z voor bijzondere gevallen. Het laatste cijfer (op positie 0 in het getal) geven we soms aan met de letter k.

De waardes die a, b, c, … kunnen aannemen, zijn dus in principe 0, 1, 2, …, 9. Voor de getallen zelf gebruiken we hoofdletters (meestal een G).

Voorbeeld. Voor een getal G van 4 cijfers is de PW-vorm dus te schrijven als:

G = a · 103 _{+ b · 10}2 _{+ c · 10 + d}

maar, G = 1000a + 100b + 10c + d mag natuurlijk ook. In dit geval is dus zeker dat a ≠ 0 (waarom?). ◊

De PW-vorm van een getal kunnen we, bij gebruik van letters als cijfers, ook korter schrij-ven, in de verkorte PW-vorm:

Voor een getal G van 4 cijfers schrijven we in plaats van: G = a · 103 _{+ b · 10}2 _{+ c · 10 + d}

verkort: G = suuuut abcd

Het ‘boogje’ boven de letters geeft dus aan dat met die letters cijfers bedoeld zijn. Verder is a ≠ 0 en hoeven de waardes van a, b, c, d natuurlijk niet alle verschillend te zijn.

Maar staat er bijvoorbeeld ababsuuuut , dan hebben de a’s en de b’s in dat getal natuurlijk dezelfde waarde.

Weten we het aantal cijfers van G niet, dan schrijven we: ...

G = suuut of a k G = suuuuuut , en soms ook wel abc k... G= suuuut abc...

N.b. De … in de verkorte PW-vorm geven aan dat het aantal cijfers (en dan meestal ook de waardes daarvan) op die plaats in het getal onbekend is.

Algemeen – Voor een getal G dat bestaat uit (n + 1) cijfers, is:

1 2 0

0 1 2... 0·10 1·10 3·10 ... ·10

n n n

n n

G =suuuuuuuuuuta a a a =a +a − +a − + +a , met a0 ≠ 0

Opmerking. Het kan voorkomen dat je van een getal G één of meer cijfers wél kent. In zo’n geval schrijf je die bekende cijfers (indien mogelijk) op de juiste positie in de verkorte PW-vorm.

Opgave 2

Het getal G = 3231 voldoet aan G = suuuut . Immers: a = 3. a a2 1 Welke andere getallen voldoen hier ook aan?

Schrijf alle getallen op die voldoen aan abasuuuut . 9 Welke waardes van x voldoen aan 3suuut ? x x Opgave 3

Schrijf 1 2G = suuuut in de PW-vorm. ab Doe hetzelfde met H = suuuuut . 100ab

Kan het getalB= suuuuuut in de PW-vorm worden geschreven? Verklaar je antwoord. 100...b Opgave 4

Van een getal G is de PW-vorm: G = p · 105 _{+ q · 10}4 _{+ r · 10}3 _{+ s · 10}2

_.

Schrijf G in de verkorte PW-vorm. Doe hetzelfde met H = a · 108 _{+ b .}

En ook met K = 107 _{+ 10}6 _{+ 10}4 _{+ 10p + q .} Opgave 5

Als 1G = suuuuut , wat is dan de kleinste waarde van G? En wat is de grootste waarde? abc2 Beantwoord dezelfde vragen voor H = suuuuut . abcd3

Met de verkorte PW-vorm kun je nog wel enkele andere berekeningen maken.

Opgave 6

Gegeven is: 2 · 43suuuta =872. Gebruik de PW-vorm voor een berekening van de waarde van a.

Voor welke waardes van het cijfer p is 2 · 43suuut suuut ? p=86q Welke waardes kan het cijfer q hier aannemen?

Opgave 7

Bewijs dat 10 · absut suut door gebruik te maken van de PW-vorm. =ab0 Bewijs dat 100 ·absut suuuut . =ab00

Bewijs dat 0asut st sut . + =b ab Waarom is absuut0 5+ =absuut ? 5

Opgave 8

Bereken 27 18P=asuuut+ en Q =asuuut27 18− .

Aanwijzing – Geef je antwoorden in de verkorte PW-vorm en óók in de ‘gewone’ PW-vorm.

Kan je S =asuuut27 73+ berekenen? Zo ja, doe dat. En zo nee, waarom niet? Wat is de grootste waarde van S, en wat is de kleinste?

Opgave 9

Gegeven is: aa bsut st suut . + =b00

Bereken a en b. Licht je antwoord zeker toe.

Iemand berekent G =absut+rc. Hij vindt als antwoord G= sut . De beide b’s stellen natuur-b0 lijk hetzelfde cijfer voor.

Druk a in c uit. Licht je antwoord toe!

Aanwijzing – Dus: a = … (en op de … staat hier ‘iets’ met c, en geen b).

Kwadraten – Omdat je in dit werkblad zult gaan rekenen aan (met) wortels, en wortels

‘iets’ te maken hebben met de kwadraten van de gehele getallen, herhalen we enkele belang-rijke zaken over kwadraten.

Allereerst, er wordt van je verwacht dat je de kwadraten van 0 t/m 20 in ieder geval uit je hoofd kent. Om je geheugen wat op te frissen staan die kwadraten nog eens hieronder in een tabel (een kwadraattafel).

p

\

Maar er zijn natuurlijk nog welke enkele andere kwadraten die je uit je hoofd kent; zie de … in de tabel hierboven.

Bereken ook: 302_{, 50}2_{, 80}2_{, 100}2_{, 1000}2_{, (10}3₎2 _.

Werk de haakjes weg uit (10n ₎2 _{en uit (10}2n ₎2 _.

Bereken op twee manieren (16 × 5)2_.

Verder zijn enkele eigenschappen van machten van belang, vooral als je andere dan de ge-noemde kwadraten zonder rekenmachine (maar wel gewoon op papier) wilt berekenen. Deze eigenschappen zijn:

A.

a

_{· a}

_{= a}

_(a

₎

_{= a}

(a · b)

_{= a}

_{· b}

D.

(p + q)(p – q) = p

_{– q}

_{(p + q)}

_{= p}

_{+ q}

_{+ 2pq}

Opmerking. Vergeet bij formule E het dubbele product (2pq) niet, tenzij je opzettelijk fouten wil maken!

Voorbeelden

Formule A zal je in een enkel geval van rechts naar links gebruiken, namelijk bij het ontbin-den in factoren.

- 107 _{= 10}5 + 2 _{= 10}5 _{× 10}2

- 105 _{= 10}8 – 3 _{= 10}8 _{× 10}-3

Formule B gebruik je natuurlijk als er een kwadraat van een macht staat. - (107₎2 _{= 10}14

- (10n₎2 _{= 10}2n

Formule C kun je soms gebruiken om het kwadraat van wat grotere getallen te berekenen. Je splitst dan het getal waarvan je het kwadraat moet berekenen, in het product van twee of meer kleinere getallen.

- 422 _{= (3 × 14)}2 _{= 3}2 _{× 14}2 _{= 9 × 196 = 1764}

- 1022 _{= (2 × 3 × 17)}2 _{= 4 × 9 × 289 = 4 × 2601 = 10404}

Formule D kan wel handig zijn bij het vermenigvuldigen van twee getallen, waarbij het wel een kwestie is van herkennen van het ‘patroon’.

- 19 × 15 = (17 + 2)(17 – 2) = 172 _{– 2}2 _{= 189 – 4 = 185}

- 17 × 23 = (20 – 3)(20 + 3) = 400 – 9 = 391

Maar deze formule kan óók gebruikt worden bij kwadrateren! En wel in de volgende vorm: D2.

p

_{= (p + q)(p – q) + q}

Zo is:

- 312 _{= (31 – 1)(31 + 1) + 1}2 _{= 30 × 32 + 12 = 960 + 1 = 961}

- 572 _{= (57 + 3)(57 – 3) + 3}2 _{= 60 × 54 + 9 = 3240 + 9 = 3249, of:}

- 572 _{= (57 – 7)(57 + 7) + 7}2 _{= 50 × 64 + 49 = 3200 + 49 = 3249}

Bij dit type berekeningen kun je het onderstreepte deel ervan weglaten mits formule D2 goed in je hoofd zit.

Formule E wordt het meest gebruikt.

- 312 _{= (30 + 1)}2 _{= 30}2 _{+ 1}2 _{+ 2 × 30 × 1 = 900 + 1 + 60 = 961}

- 572 _{= (50 + 7)}2 _{= 50}2 _{+ 7}2 _{+ 2 × 50 × 7 = 2549 + 700 = 3249}

- 1022 _{= (100 + 2)}2 _{= 10000 + 4 + 2 × 100 × 2 = 10404}

- 1272 _{= (120 + 7)}2 _{= 14400 + 49 + 240 × 7 = 14449 + 1680 = 16129} Opgave 11

Bereken op twee van bovenstaande manieren (zonder je rekenmachine te gebruiken) de volgende getallen:

a. 342 _{d. 52}2 _{g. 163}2

b. 432 _{e. 67}2 _{h. 217}2

c. 472 _{f. 152}2 _{i. 301}2

Aanwijzing – Vermeld bij elke berekening de tussenresultaten. Zoals aan het begin van dit werkblad is opgemerkt, is het gebruik van een rekenmachine alleen toegestaan om antwoorden te controleren.

Opgave 12

Waarom is (3ab)2 _{= 9a}2_b2 _{? Geef bij je antwoord aan welke formules (A, …, E) je}

daar-bij toepast.

Waarom is (103_a4₎2 _{= 1000000a}8 _{? Geef ook aan welke formules van toepassing zijn.}

Waarom is √360000 gelijk aan 600? Pas je dan ook een formule toe?

Wortels – In hetgeen volgt zal je kennismaken met een methode waarmee je wortels van

(ook grote) getallen zonder rekenmachine kunt berekenen. Het begrip ‘kwadraat’ speelt daar-bij natuurlijk een rol, omdat worteltrekken het omgekeerde is van kwadrateren.

Het antwoord op de vraag ‘waarom is 4 de wortel uit 16?’ is immers ‘omdat 4-kwadraat ge-lijk is aan 16.’

Ook nu zal je gebruik moeten maken van enkele zaken die je al weet, zoals de waardes van de wortels van de kwadraten kleiner dan of gelijk aan 100: √1, √4, …, √100 (maar dat zal wel geen probleem opleveren).

Maar hoe bereken je, zonder rekenmachine, √124367104 ? Laten we eerst maar eens ‘klein’ beginnen…

Bijvoorbeeld met √4489 . We zeggen er maar bij dat G = 4489 een kwadraat is. Duidelijk is dat 4400 < 4489 < 4500.

We stellen G1 = 4400 = 100×44 en G2 = 4500 = 100×45 (zie ook Opgave 7).

Dan is √G1 = √(100×44) = 10√44 en √G2 = √(100×45) = 10√45. En van √44 en √45 weten

we dat ze beide liggen tussen 6 en 7 (beide zijn iets als 6,…). Dus geldt: 60 < √G < 70.

Opgave 13

In deze opgave is G nog steeds gelijk aan 4489.

Verklaar waarom de conclusie 60 < √G < 70 een juiste conclusie is.

Als je G1 (bijvoorbeeld) gelijk kiest aan 4480 en G2 (bijvoorbeeld) gelijk aan 4490, dan is

toch ook: G1 < G < G2 ?

Waarom is de keuze van G1 = 4400 en G2 = 4500 handiger?

Waarom is het eerste cijfer van √G een 6?

Waarom is het aantal cijfers van √G gelijk aan 2?

Omdat je weet dat 4489 een kwadraat is, kun je op basis van wat je in Opgave 13 hebt ge-vonden, schrijven:

4489 ab

√ = sut , waarbij a = 6. Met andere woorden: 4489 6b 6·10 b

√ =sut = +

Kwadrateren geeft dan de volgende vergelijking, waarin het cijfer b (nog) onbekend is: 4489 = (60 + b)2 _{= 3600 + b}2 _{+ 2 · 60 · b}

Hierbij is dus formule E gebruikt. Iets verder uitgewerkt: (*)… 889 = 120 · b + b2

Nu zóu je deze vergelijking kunnen schrijven als b2 _{+ 120b – 889 = 0, en dan met een}

ont-binding in factoren, zoals (b + …)(b – …) = 0, de waarde van b berekenen (of met de abc-formule; maar dán grijp je mogelijk naar je rekenmachine; en dat is zeker niet de bedoe-ling).

Nee, we schrijven de vergelijking die hierboven met (*) is aangeven, op een echt andere ma-nier, omdat we iets meer weten over het getal b: het is een cijfer! We schrijven:

889 = (120 + b) · b

In de verkorte WP-vorm – en die komt goed van pas, zoals je in de volgende opgave zult zien – staat er dan:

889 12 ·= suut st b b

Opmerking. Het rechter lid hiervan kun je ook ontstaan denken uit:

2

Opgave 14

Welk cijfer b voldoet aan 12 ·suut stb b =889?

Aanwijzing – Je mag natuurlijk gaan proberen met b = 1, 2, …, 9. Maar er zijn maar twee getallen van één cijfer die, als je dat getal met zichzelf vermenigvuldigt, een getal opleveren dat eindigt op een 9. Eén van die twee moet dus het cijfer b zijn!

Zodat: 4489√ =absut=. . (en vul beide gevonden cijfers op de .. in). We geven ook nog voorbeeld van de worteltrekking uit een kleiner getal. Voorbeeld. G = 841. Bereken √G.

Met G1 = 800 en G2 = 900 is: G1 < G < G2.

Omdat √G1 = 10√8 en √G2 = 10√9, en √8 = 2,… en √9 = 3, is dan:

20 < √G < 30

De uitkomst van √G heeft dus 2 cijfers, en het eerste cijfer ervan is een 2. Met G√ = sut en a = 2 is dan: ab

841 = (20 + b)2 _{= 400 + 40b + b}2_{, of:}

441 = (40 + b) · b, en in verkorte WP-vorm: 4 ·sut stb b =441

En daaruit volgt b = 9. Dus: √841 = 29.

Opgave 15

Uit hoeveel cijfers bestaat de uitkomst van √961 ?

Aanwijzing – Geen rekenmachine gebruiken om het antwoord te vinden!

En uit hoeveel cijfers bestaat de uitkomst van √1681 ? Dezelfde vraag voor √6889.

De uitkomsten van √9 en √49 hebben elk 1 cijfer.

Zie je een verband tussen het aantal cijfers van een getal G (dat een kwadraat is) en het aantal cijfers van de uitkomst van √G ? Zo ja, beschrijf dat verband dan (kort).

Maar geldt een dergelijk verband ook voor grotere getallen? Als dat zo is, dan is natuurlijk de ‘wiskundige’ vraag: Waarom is dat dan zo?

Als je denkt op beide laatste vragen een antwoord te hebben, formuleer die antwoor-den dan kort (we komen er verderop nog wel op terug).

Je zal zien dat je het berekenen van de wortel uit een getal dat uit 5 of meer cijfers bestaat, iets anders moet aanpakken dan hierboven voor getallen met 3 en 4 cijfers gedaan is: je hebt dan één of meer extra stappen nodig.

Om die extra stappen te kunnen zetten kijken we eerst nog even naar het kwadrateren van 3 (en meer) getallen.

Misschien heb je al eerder iets dergelijks gedaan, maar dan is het toch goed om het nog eens te zien.

Voor het berekenen van (p + q + r)2 _{stellen we eerst p + q = A en passen dan formule E toe.}

Let wel: p, q, r zijn hier getallen (geen cijfers). Dus:

2 2 2 2

(p q r+ + ) =(A r+ ) = A +2Ar r+ En daarna vervangen we A weer:

2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2( )· ( 2 ) (2 2 ) A Ar r p q p q r r p pq q pr qr r + + = + + + + = + + + + + Zodat: 2 2 2 2 (p q r+ + ) = p +2pq q+ +2pr+2qr r+ Opgave 16

Bereken op dezelfde manier als hierboven (de variabelen zijn weer getallen): - (3x + 2y + z)2

- (100a + 10b + c)2

En met vier getallen. Bereken (en doe het systematisch): - (1000a + 100b + 10c + d)2

En nu op weg naar de worteltrekking uit een getal van 5 of meer cijfers. Voorbeeld. G = 56169 (n = 5). Bereken √G.

G1 = 50000 = 5×104 en G2 = 60000 = 6×104

Dus: 200 < √G < 300, immers √5 = 2,… en √6 = 2, …

Daarmee is √G te schrijven in de verkorte PW-vorm √G = suut , zodat: 2bc 56169 = (200 + 10b + c)2 _{= 40000 + 4000b + 100b}2 _{+ 400c + 20bc + c}2

Nu is, met R = 400c + 20bc + c2_:

16169 = 4000b + 100b2 _{+ R = 100 · (40 + b) · b + R}

16169 100·4 ·= sut stb b+R

En… híer gaat het anders dan je in de voorbeelden hierboven hebt gezien!

Het getal 100·4 ·sut st is een 100-voud, en gezien de R die er ook nog staat, moet je nu bepa-b b len hoeveel van dát type 100-vouden er ‘passen’ in 16169:

b 100·4 ·sut st b b

1 100 · 41 · 1 = 4100 2 100 · 42 · 2 = 8400 3 100 · 43 · 3 = 12900

4 100 · 44 · 4 = 17600; en 17600 > 16169. Dus: b = 3. Daaruit vind je dan:

16169 = 12900 + R, zodat – en in R moet b vervangen worden door 3: 3269 = R = 400c + 20 · 3 · c + c2

3269 = 460c + c2 _{= (460 + c) · c, of:}

r 3269= suut 46 ·c c

Hieruit volgt: c = 7. En dan is: √56169 = 237.

Aantal cijfers – Voordat we gaan proberen een en ander in een handzaam schema te

zet-ten, komen we nog even terug op het aantal cijfers van √G dat kan worden berekend uit het aantal cijfers van G (zie Opgave 15).

aantal cijfers van G √G 1 1 2 1 3 2 4 2 5 3

Natuurlijk gaat dit zo door… 6 3

7 4 8 4

… … Maar dat moet wel bewezen worden!

Opgave 17

Beredeneer dat het aantal cijfers van de uitkomst van √546121 gelijk is aan 3.

Aanwijzing – Bepaal bij het getal G = 546121, zoals hierboven al enkele keren gedaan is, geschikte getal-len G1 en G2 waarvoor G1 < G < G2.

Toon ook aan dat het aantal cijfers van de uitkomst van √2676496 gelijk is aan 4. We kunnen de manier waarop je nu een aantal keren het aantal cijfers van √G hebt bepaald, veralgemeniseren. Daarbij maken we onderscheid tussen (A) een even aantal cijfers van G en (B) een oneven aantal cijfers van G.

We gaan in beide gevallen uit van G = suuuut , waarvan n het aantal cijfers is. abc... A. n is even; met n = 2k (dan is n immers even; begin met k = 1).

We kiezen in dit geval: 1 102 2·

k

G = − absut en 2 102 2·( 1)

k

G = − absut+ .

Voor G1 gebruiken we dus de eerste twee cijfers van G en vullen dan aan met nullen.

In dit geval is √G1≤√G < √G2, zodat het aantal cijfers van √G gelijk is aan:

1+ (k – 1) = k = ½n

B. n is oneven; met n = 2k + 1 (dan is n immers oneven; begin hier met k = 0). Nu kiezen we: 1 10 ·2

k

G = st en a 2 10 ·(2 1)

k

G = sta+ .

Voor G1 gebruiken we nu alleen het eerste cijfer van G en vullen ook aan met nullen.

Ook nu is √G1≤√G < √G2, zodat het aantal cijfers van √G in dit geval gelijk is aan:

1+ (k) = ½(n + 1)

Opgave 18a

In de gevallen A en B hierboven is beschreven hoe het getal G1 gekozen is, uitgaande van G.

Hoe is in beide gevallen het getal G2 gekozen?

Hoeveel nullen heeft G1? En hoeveel G2?

Aanwijzing – Wat gebeurt er met een getal als je het met 10 vermenigvuldigt? Hoe vaak is er bij G1 en

bij G2 met 10 vermenigvuldigd?

Licht kort toe waarom het aantal cijfers van √G gelijk is aan: - 1 + (k – 1), als n even is;

- 1 + k, als n oneven is.

Samengevat – Als het aantal cijfers van een kwadraat G gelijk is aan n, dan is het aantal cij-fers van √G gelijk aan:

- ½n, als n even is;

Opgave 18b

Bereken (en dat vereist nu bijna geen rekenwerk) het aantal cijfers van de uitkomst van √4460544, van √20457529 en van √124367104 .

Opmerking. In het bovenstaande bewijs kun je ook zien hoe het eerste cijfer van √G eenvou-dig uit G kan worden afgeleid.

- n is even:

de wortel uit het grootste kwadraat dat kleiner dan of gelijk is aan absut (dit zijn de eer-ste twee cijfers van G) is het eereer-ste cijfer van √G.

Voorbeeld. G = 546121; ab =sut 54; grootste kwadraat = 49; 1e cijfer = 7. - n is oneven:

de wortel uit het grootste kwadraat dat kleiner dan of gelijk is aan ast (dat is het eerste cijfer van G) is het eerste cijfer van √G.

Voorbeeld. G = 2676496; sta =2; grootste kwadraat = 1; 1e cijfer = 1.

Opgave 18c

Bereken het eerste cijfer van de uitkomst van: √4460544, van √20457529 en van √124367104 .

Het schema – In deze paragraaf wordt een schema opgebouwd waarmee je handig, én

overzichtelijk, de wortel uit een getal (op papier) kunt berekenen.

We zullen dit weer aan de hand van een voorbeeld doen. Daarbij kom je dan verschillende eerder in dit werkblad behandelde zaken opnieuw tegen.

Voorbeeld. We gaan uit van G = 751689 (n = 6).

Te berekenen: √751689.

Oplossing – In hetgeen hierna volgt staat in de linker kolom het te ontwikkelen schema, en in de rechter kolom een toelichting bij elke stap in dat schema.

Schema Toelichting

1. √751689= ... _{n = 6; dus is: “aantal cijfers van} √_{G ” = ½n = 3.}

In plaats van abcsuut staan er drie puntjes: … (dan kun je de cij-fers gemakkelijker invullen).

Op elke . komt een cijfer; achtereenvolgens van links naar rechts zijn dat de cijfers a, b, c.

2. √751689= ...

.x.= We zoeken het grootste kwadraat dat kleiner is dan 75.

Daarom staat er in het schema ‘. × . =’ in plaats van ·st st . a a =

3. √751689= 8..

8x8=64 -- 11

a = 8, want 64 < 75 (en 81 > 75). Dus invullen en aftrekken! Daarmee bedoelen we eigenlijk:

751689 – 640000 = 111689

Maar de cijfers “1689” spelen hier nog geen rol.

4. √751689= 8..

8x8=64 -- 1116

In deze stap gaat het alleen om de rest “11” en de cijfers “16”. Vandaar dat alleen de 1 en de 6 worden bijgehaald. Nu is: √G =8suutbc=800 10+ b c+ .

Bij het kwadrateren hiervan stoppen we ‘alles met c’ in R:

2 2 (800 10 ) 640000 2·800·10 100 G b c b b R = + + = + + + Zodat: 111689 = 100 · (2 · 8 · 10b + b2_{) + R .}

We zoeken dus naar het grootste 100-voud dat van 111689 kan worden afgetrokken.

N.b. Met R reken je verder in stap 7.

5. √751689= 8..

8x8=64 -- 1116 16.x.=

Dan moet gelden (het gaat immers om 100-tallen): 1116 ≥ (2 · 8 · 10 + b) · b

1116 ≥ (160 + b) · b, of: 1116 16 ·≥ suut st b b

Vandaar dat er nu in het schema ‘16 . × . =’ staat.

(*)… Merk op dat die “16” direct gevonden kan worden als: 2·a =st 2·8 16= 6. √751689= 86. 8x8=64 -- 1116 166x6= 996 ---- 120 Dan is b = 6, immers: 166 · 6 = 996 en 167 · 7 = 1169 (en 1169 > 1116). Invullen en aftrekken!

Eigenlijk bereken je: 111689 – 99600 = 12089

7. √751689= 86. 8x8=64 -- 1116 166x6= 996 ---- 12089 172.x.=

Nu gaat het alleen nog om R (zie stap 4).

We halen dus nu ook de ‘rest’ van het getal bij: de 8 en de 9. Met “120” vormen die samen het getal 12089.

Met de nog niet ingevulde waarden van a, b en de nog on-bekende c is:

R = 2 · 100a · c + 2 · 10b · c + c2_{, of:}

R = ( 2 · (100a + 10b) + c ) · c En dat wordt, met a = 8 en b = 6:

r (2·(800 60) )· (2·860 )· 172 · R= + +c c = +c c = suuuut c c In het schema zetten we: 172 . × .

(*)… Merk op dat die “172” direct gevonden kan worden als:

2·ab =sut 2·86 172=

Zie voor de ‘waarde’ van het getal R in stap 7 nog eens het voorbeeld dat volgt op Opgave 16. 8. √751689= 867 8x8=64 -- 1116 166x6= 996 ---- 12089 1727x7= 12089 --- 0 Dan is c = 7, want: 1727 · 7 = 12089. Invullen en aftrekken, en er komt 0 uit. Dus: √751689 = 867 .

Opmerkingen

1. Een belangrijk aspect bij het berekenen van wortels willen we nog even benadrukken. In stap 5 en stap 7 wordt daarop al gewezen in de beide met (*) aangegeven zinnen.

In het schema van de wortelberekening vinden we na elkaar de cijfers a, b, c, … van: ..

G abc k

√ = suuuuut

Is een deel van de cijfers van de wortel gevonden, bijvoorbeeld G√ = suuuut , dan worden die abcd cijfers gebruikt om het volgende cijfer ‘x’ van de wortel te berekenen met:

2·10·abcdsuuuut+ =x 2·abcdsuuuuut0+ =x ????suuuut x

Het getal 2·abcdsuuuut staat dan op de vraagtekens. Ga het ‘waarom’ daarvan nog eens na! Dit wordt dan in het schema geschreven als: ‘ ???? . × . = ’ .

2. Van √G = 11449 is het tweede cijfer van de uitkomst een 0 (zie het schema hieronder).

√11449=107 1x1=1 - 14 20x0= 0 -- 1449 207x7= 1449 ---- 0

In het schema staat op de 4e regel alleen het bijgehaalde getal “14”; immers, daaraan voorafgaand is: 1 – 1 = 0.

Direct is duidelijk dat daarna ‘20 × 0’ gebruikt moet worden.

Op de gebruikelijke manier kan vervolgens verder gerekend worden met het getal “1449”, nadat de volgende twee cijfers (de 4 en de 9) zijn bijgehaald.

Opgave 19

Bestudeer eerst het bovenstaande ‘grote’ voorbeeld en het schema dat daarin ontstaan is, nog eens goed.

Het is de bedoeling dat je in deze opgave alleen berekeningen maakt in het schema zelf (eventueel met een deelberekening op een kladblaadje). De toelichting in het voorbeeld moet je dus zien als ‘theoretische achtergrond’ (echt als toelichting) bij de berekeningen in dat voorbeeld. √751689= ... .x.=.. -- ..16 ??.x.=.... ---- ....89 ???.x.=... --- 0

Speel nu het voorbeeld nog eens geheel na.

Gebruik daarbij nevenstaand reeds gedeeltelijk ingevuld sche-ma.

Aanwijzing – Vul alleen cijfers c.q. getallen in op de plaats van de puntjes en vraagtekens, het liefst zonder het voorbeeld te raadplegen.

Elke stap van het voorbeeld zou dus min of meer ‘in je hoofd’ moeten zitten, en eigenlijk ook het ‘waarom’ van het zetten van die stap.

Opgave 20

Bereken alleen met behulp van een schema zoals dat staat in Opgave 19, de wortel uit de volgende getallen:

a. 961 e. 21077281

b. 546121 f 124367104

c. 974169 g. 41211842049

d. 3236401 h. 121485211453089

Tot slot – Natuurlijk kun je ook wortels trekken uit gehele getallen die geen kwadraat zijn.

Dat worden dan altijd benaderingen met een aantal ‘cijfers achter de komma’. Stel je wilt √7 benaderen, waarbij er achter de komma 3 cijfers staan.

Je kunt dan uitgaan van G = 7000000, immers: √G = √7000000 = √(7 · 106_{) = 10}3√_{7, zodat:}

3

10 7 √G

√ = .

Echter, als we spreken over ‘3 cijfers achter de komma’ c.q. 3 decimalen, dan bedoelen we daarmee in de wiskunde altijd ‘in 3 decimalen nauwkeurig’.

√7000000=2645,7 2x2= 4 - 300 46x6= 276 --- 2400 524x4= 2096 ---- 30400 5285x5= 26425 --- 377500 52907x7= 370349 ---

En dat wil zeggen dat de laatste decimaal (hier is dat dus de 3e) wordt afgerond op basis van de waarde van de 4e deci-maal.

Daarom is er in het schema hiernaast nog iets verder gere-kend, met de 7 achter de komma die na “2645” staat. Dus is: 3 2645,7 10 7 2,646 √ = =

Als je wilt benadrukken dat er sprake is van ‘afronding’, dan schrijf je:

√7 ≈ 2,646

Het getal 2 is de zogenoemde onderwortel van 7. Het is het grootste gehele getal dat in het kwadraat (nog net) kleiner is dan 7.

Opgave 21a

Bereken de onderwortel van 10, van 1000 en van 2011.

Gebruikelijk is bij een berekening als die van √7, de komma ook in het schema op te ne-men.

√7,000000(00)=.,...(.) _{Dat wordt dan iets als hiernaast staat.}

De haakjes om de cijfers geven aan dat die cijfers worden gebruikt voor de afronding van het antwoord.

Na de onderwortel in het antwoord volgt dan de komma.

Opgave 21b

Bereken in 2 decimalen – en natuurlijk met een schema – de wortel uit 10.

Aanwijzing – Denk eraan om ook ‘achter de komma’ telkens 2 cijfers (hier zijn dat nullen) bij te halen!

Bereken, in 2 decimalen, ook de wortel uit 1000 en uit 2011.

Maar dan kun je nu ook wortels berekenen uit getallen die niet geheel zijn, d.w.z. uit getal-len die in decimale vorm (dus met cijfers achter de komma) zijn gegeven.

Het is min of meer gebruikelijk de wortel uit zo’n getal met een even groot aantal decima-len uit te rekenen als het aantal decimadecima-len van het getal zelf (uiteraard met een juiste afron-ding van de laatste decimaal).

Opgave 22

Benader de wortel uit de volgende, in decimale vorm geschreven, getallen:

a. 1,4142 c. 25,10

b. 11,111 d. 101,01

Aanwijzing – Geef in alle gevallen het gebruikte schema. En, ten behoeve van de afronding van de laat-ste decimaal moet je dus altijd één decimaal extra berekenen!