Studie van pen- en plaatfixaties van breuken in het femur

(1)

Studie van pen- en plaatfixaties van breuken in het femur

Citation for published version (APA):

Rombouts, R. (1972). Studie van pen- en plaatfixaties van breuken in het femur. (DCT rapporten; Vol. 1972.011). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1972 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

STUDIE VAN PEN- EN PLAATFIXATIES

VAN

BREKKEN IN

HET F E ì a R

R.

Rombouts mei 1972

(3)

- a - Inhoudsopgave Literatuur C

1 .

Probleemstelling 1 . 1 Inleiding 1.2 Het probleem 1.3 Modelvorming 1.4 Mathematisch model

1.5 Materiaal, belasting en geometrie

2 . De elementenmethode 2. i Uitgangspunt 2 . 2 Eet balkelement 2 . 3 2 . 4 De stijfheidsmatrix 2 . 5

2 . 6 Oplossing van het probleem

Methode van de onbekende verplaatsing

Beschrijving van de totale konstruktie

3. Bet gereedschap

3.1 Hoof dpr ogr amma

3 . 2 Randpr ogr amma

'

s

4 . Medellen van het f e m w

4 . 1 De elementen ~ 4.1 ~~~

l t

TRIPI-3

' 4 . 1 . 2 Secos ~ ~

4 . 1 . 3 Becosx

4 . 2 Het tweedimensionaal model 4 . 2 . i Opbouw

4 . 2 . 2 Numerieke resultaten 4 . 3 Het driedimensionaal model

4 0 3 . 1 Opbouw

4 . 3 . 2 Numer ieke r esu lka t en 4 . 4 Vergelijking v a n heide modellen

1

4

4 5 6 7 8

1 1

12 12 13 1 4 14 18 18

(4)

- b - 5. ASKA 5.1 J o b C o n t r o l 5 . 2 ASKA P r o c e s s o r C o n t r o l

5.2.1

I n l e i d i n g

5.2.2

De P r o c e s s o r 5.3 D e t o p o l o g i s c h e S e s c h r i j v i n g 5 . 4 D e Data , 5 . 4 . 1 I n l e i d i n g 5 . 4 . 2 De d a t a blokken 6. D e numerieke gegevens 6 . 1 NPCO 6 . 2 GEDA 6 . 3 ENOD 6.4 XPBR 7 . Resu

1

tat en 7 . 1 Beschouwing h e e l femur i ~ 7 . 1 . 1 Twee modellen 7 . 1 . 2 Twee b e l a s t i n g e n 7 . 1 . 3 R e s u l t a t e n h e e l femur 7 . 2 Beschouwingen gebroken femur 7 . 2 . 1 Breken v a n h e t femur 7 . 2 - 2 R e s u l t a t e n 7 . 3 ~ i _ c k . . ~ c ~ i p i-~an de r e s i l l t a t e n 7 '5 I Tr,-.-.-l: : 1 7 : n m c 1 r , - ; I . 3 . 1 Y ~ L ~ = : I 1 _ 1 R I I ' h ~ r \ i l I L ~ L ~ U - 7 . 3 . 2 Hodelvorming v a n d e breuk

-

Pa8 19 1 9

20

23 2 5 26 26 27 28 28 3 0 30 33 3 6 B i j la g e n en g r a f ieken _A-

1-

(5)

- c - Lit er a tuur 1 . 2. 3.

4.

5. 6 . 7 . Argyris, N.C.

ASKA User's aeference manual

ISD

report-73,Stuttgart i97 i

Blaimont, P .

Contribution à l'étude bioméchanique du férnur liumain Acta Orthopaedica Belgica

34 (1968), pp. 665

-

844

Brekelmans,

W.

A.M. en Poort,

H.

W.

Numerieke Analyse van de spannings- en vervoEmingstoestand

in

het femur

m.b.v. de methode der eindige elementen T.B. rapport

WE

71-27

Janssen,

J.D.

Numerieke Methoden

Technische Hogeschool Eindhoven Kollegediktaat, 1970

Koch, J.C.

Laws of bone architecture American Zournal of Anatomy 21 ( 1 9 1 7 ) , pp. 177

-

298

Tomesen, L.B.M.

Literatuur studie over materiaaleigenschappen van spongieus en kompakt bot T.K. rapport

WE

71-30

(6)

1 .

P r o b l e e m s t e l l i n g

L I

_ h l e i d i n g ~

---

----

Voor o r t h o p e d i s c h e ingrepen en onderzoeken i s h e t v a n belang een goed i n z i c h t t e hebben i n h e t mechanisch gedrag van s k e l e t d e l e n onder d e optredende b e l a s t i n g s s i t u a t i e s . Daardoor kan men het, e f f e k t v i n ingrepen e n v e r v a n g i n g e n nagaan en h e t g e d r a g onder extreme k o n d i t i e s v o o r s p e l l e n . Ook kan men k r i t e r i a o p s t e l l e n , waaraan vervangingsmiddelen en osteosyn- t h e s e m a t e r i a a l v a n u i t mechanisch oogpunt moeten v o l d o e n .

~~~ ~~~

*

'

2 Het-EEobleem

I n d e z e s t u d i e hebben w e ons b e p e r k t t o t een breuk i n h e t d i j b e e n b o t . B e p a a l d e botbreuken kan men goed behandelen door e e n goede r e p o s i t i e ge- v o l g d d o o r een g i s p i m m o b i l i s a t i e , a n d e r e botbreuken lenen z i c h s l e c h t v o o r g i p s i n m o b i l i s a t i e , omdat d e z e b . v . omgeven i s door een u i t g e b r e i d e s p i e r k o k e r . Een goed v o o r b e e l d h i e r v a n is h e t d i j b e e n b o t ; v o o r een g o e d e i m m o b i l i s a t i e zou d e p a t i e n t v a n b o r s t k a s t o t z i j n v o e t e n i n g e g i p s t moet en worden.

Simpele b e s c h r i j v i n g v a n h e t Femur(dijbeen) z i e f i g .

1 . 1

en

1.2.

A l e n i g e j a r e n i s h e t g e b r u i k e l i j k d e s c h a c h t f r a k t u r e n van h e t femur o p e r a t i e f t e behandelen. I n p r i n c i p e z i j n h i e r v o o r

2

t e c h n i e k e n : a. p e n f i x a t i e m.b.v. een mergpen i n h e t femur

(7)

-z

-

(8)

- 3 -

1.3 Modelvorniing

---_-_----_

Het mathematisch model i s een schematisering van d e w e r k e l i j k h e i d en wordt weergegeven i n wiskundige formuleringen. Van b e l a n g i s d a t de

e s s e n t i ë l e parameters i n d e z e modelvorming i n r e k e n i n g g e b r a c h t worden. Van minder b e l a n g z i j n d e aria bel en, werden z i e t heschmvd (verwâarloûsd)

Toch z a l een d e r g e l i j k model d e r e a l i t e i t voldoende moeten b e s c h r i j v e n . K e t model moet d e eigenschap hebben d a t h e t g e v e r i f e e r d of g e f a l c i f i c e e r d kan worden m e t behulp van een experiment aan d e r e a l i t e i t . (een d e r g e l i j k experiment h e e f t een w e z e n l i j k ander d o e l a l s h e t d o e l van d e experimen- t e n b e d o e l d onder d e "experimentele techniek") e

V o o r d e e l v a n d e z e methode i s , g e s t e l d d a t v a n h e t model i s aangetoond d a t h e t de r e a l i t e i t voldoende b e s c h r i j f t , d a t d e parameters g e m a k k e l i j k t e w i j z i g e n z i j n , d e i n f o r m a t i e d i e v e r k r e g e n wordt, u i t g e b r e i d e r

is

en d e r e s u l t a t e n g e n e r a l i s e e r b a a r z i j n .

L n t L I C L T . L . L I . U r a p p e l t h T E 71-27 w o r d t D*e'Keimans en ?oor= - aaqrrtoona d a t een mat'nematisch moáei op b a s i s van de elementenmethode d e v o o r k e u r v e r d i e n t boven b e s t a a n d e t e c h n i e k e n om h e t mechanisch g e d r a g v a n h e t b o t t e onderzoeken.

I n d e z e s r u d i e i s g e b r u i k gemaakt v a n een mathematisch model op b a s i s v a n d e e

1

emen t enme thod e.

1 . 4 Mathematisch model

B i j beschouwingen v a n een k o n s t r u k t i e worden onderscneiden: I . b e l a s t i n g

2 . mechanische eigenschappen /geometrie

'materiaaleigenschappen

3 . mechanisch gedrag

S c h erna t i s ch w e er gegeven :

mechanisch g e d r a g

A

A l s men een u i t s p r a a k w i l doen o v e r h e t mechanisch gedrag z u l l e n er gegevens moeten z i j n o v e r b e l a s t i n g , g e o m e t r i e en m a t e r i a a l g e d r a g . V e r d e r z a l men een a n a l y s e t e c h n i e k en gereedschap t o t z i j n beschikking moeten nebben om h e t mechanisch gedrag t e b e s c h r i j v e n . D e t w e e laatst

genoemde punten v e r d i e n e n a f z o n d e r l i j k e n i g e beschouwing, t e r w i j

1

d e v a n d r i e d a a r v o o r genoemde punten r e s u l t a t e n v a n e e r d e r v e r r i c h t é onder-

(9)

- 4 -

1.5 M a t e r i a a i , b e l a s t i n g en g e o m e t r i e

Zo z i j n er proeven t e r b e p a l i n g v a n d e f y s i s c h e eigenschappen van b o t m a t e r i a a l u i t g e v o e r d d o o r Gluner 1947, Evans en Lebow 1 9 5 9 , Smith en Kalmsley 1960, K i r s c h 1958, S e d l i n 1966, Semb 1966, Contet-Koyer-

Vassal e n Arene 1967, Blaimont en Burnie 1968, E i a l l e u s e en Jedwab 1968, e n D a S i l v a 1970. Z i j hebben onder Keer treksterkte, d r u k s t e r k t e , hadd- h e i d en e l a s t i c i t e i t s m o d u l i v a n h e t materiaal bepaald.

V e r g e l i j k i n g v a n d e opgegeven waarden van d e z e l f d e f y s i s c h e g r o o t h e i d tonen g r o c e v e r s c h i l l e n . Vaak i s h e t n i e t d u i d e l i j k welke technieken g e b r u i k t z i j n , z o d a t h e t m o e i l i j k i s d e opgegeven waarden op hun waarde t e s c h a t t e n . Vandaar d a t men bedachtzaam d e z e gegevens moet gebruiken. Voor b e l a s t i n g s s i t u a t i e s g e l d t ruw gezegd h e t z e l f d e . P u b l i k a t i e s over

d e b e l a s t i n g s s i t u a t i e s ( R y d e l l 1966, Chamley, McLeich, J.F. Williams

e.a. 1968, J.P. P a u l 1970) geven onderling n o g a l a f w i j k e n d e grootheden. Ge=pLetri&epa1ing c k e l e t d e l e n wy-;dt op h e t o g e n b l i k met bel=Luip vac=

--

._ r u n t g e n - p l a n i g r a f i e - v e r r i c h t op T.H. Eindhoven. v e r d e r i s g e b r u i k gemaakt van d e mathematische modellen, opgebouwd m e t behulp v a n a n a l y t i s c h e

t h e o r i e , v o o r h e t femur v a n Koch 1917, Blaimont 1968.

I n h o o f d s t u k 6 z i j n d e nummerieke gegevens d i e n o d i g z i j n v o o r h e t ge- b r u i k t e model aangegeven met d e bron van herkomst en gemaakte aannamens vermeld.

2.

D e elementenmethode ( a f g e k o r t E;;ylJ

2 1

HeE-Ui~gangsEUnt-io-be_elernentenmetSobe_~~

:

v e r d e e l d e k o n s t r u k t i e i n een

-

vaak g r o o t

-

a a n t a l onderdelen, elemen- t e n genaamd, met b e t r e k k e l i j k eenvoudige geometrische bepgrenzingen en b e t r e k k e l i j k eenvoudige mechanische eigenschappen; s t e l d e voorwaarden op d i e v o l g e n u i t een " Z O goed mogelijke" o n d e r l i n g e k o p p e l i n g van d e

elementen; t r a c h t a a n d e z e voorwaarden t e v o l d o e n . Wanneer r e e d s i n een v r o e g stadium van d e a n a l y s e d e computer e f f e k t i e f moet worden ingescha- k e l d , moeten f u n k t i e s v a n v a r i a b e l e n , d i e i n een b e p a a l d g e b i e d i e d e r e waarde kunnen aannemen en differentiaalkoëfficienten vermeden worden.

Eet gedrag van d e k o n s t r u k t i e z a l i n een op d e computer afgestemde methode n i e t g e k a r a k t e r i s e e r d worden door een a a n t a l f u n k t i e s van d e p l a a t s k o s x - d i n a t e n , maar door een a a n t a l numerieke waarden v o o r een a a n t a l i n t e r e s - s a n t e parameters i n een a a n t a l d i s k r e t e punten van de k o n s t r u k t i e .

(10)

De methode zal worden toegelicht aan de hand van balkelementen, omdat dit een type element is aan d e hand waarvan de methode van werken met de EM goed geyllustreerd kan worden.

De aanpak gebruikt bij dit type element is in wezen dezelfde als die

bij

het drie dimensionale balk-model.

Het werken met de EM zal aan de hand van een eenvoudige konstruktie

(fig. 2 . 2 . 1 ) wirden toegelicht. ile konstruktie wordt in twee elementen verfeeld, die eenvoudig te beschrijven zijn (fig. 2 . 2 . 2 ) .

We zullen nu een element beschrijven dat van belang is voor vlakke balk- konstrukties.

In

f i g m x 2 . 2 3 i s het k e -element uit een balkkonstruktie weergegeven. De knooppunten van dit element zijn aangeduid met 1 en 2 .

(Opmerking: in de balkentheorie speelt alleen de axiale richting een beslissende rol; vandaar dat over "punten" gesproken wordt).

In de knooppunten zijn de verplaatsingsparameters en de krachtparameters aangegeven.

(11)

- 6 -

1

i4

$ 1

*2 $2, 2 W

Wanneer wij de hypothesen van de balktheorie accepteren is het gehele

verplaatsings- en spanningsveld bepaald door de

6

verplaatsingsgroothe-

den uit fig. 2.2.3.

Eveneens geldt dat

-

op een beweging als star lichaam

na

-

de verplaatsings-

en

spanningstoestand bepaald is door b.v. N er? M i De drie

andere krachtgrootheden zijn hieraan op grond van evenwichtsbeschouwingen gekoppeld.

1

2.3

Methode van de onbekende verelaatsingen

_...

----_-_

_{-_}

De methode die hier nu verder uitgelegd zal worden

is

de "methode van d e onbekende verplaatsingen".

Dit

wil hier zeggen dat de toestand van het element gekarakteriseerd wordt door de verplaatsingsgrootheden tn

+ l y u2) w2,

$z.

Door 6 getallen kunnen

wij

de situatie beschrijven.

Dit

is

een beschrijving die ook door een computer gebruikt kan worden.

De Ó getaiien vatten we op als komponenten van een vektor: de verplaat

singsvektor voor het k- element.

1) wl'

,

D

1

op de getransponeerde:

Ak

=

Zo ook

kunnen we de belastingsvektor definiëren:

I 1- r

f K

=

pi

D

₁

?I

₁

N2 D2 "21

W

1 $ 1

U 2

w

2 $21

Om te kunnen werken met de "methode van de onbekende verplaatsingen" is

het nodig om de belasringsvektor uit te kunnen drukken in

de

verplaat-

singsvektor. Dit gaat ais volgt:

i- r € 1 $ 1 1

...

$I I

1

U W

$1

u2 $2 2 W

(12)

- 7 -

Waarin Q een 6x6 matrix i s , genaamd de " s t i j f h e i d s m a t r i x " . 2.4 D e s t i j f h e i d s m a t r i x k D e matrix Q z i e t er a i s v o l g t u i t :

Q =

I,

s1

O O -S O O 1 I) O 1 2s2 -6S2R O -12s2 -6S2R

1

O -S -6S2L O 4S2R2

o

s1

o

6S2R O

2s

R 2

o

2

O O -12S2R -6S2R 6S22

2S2x2

O O 12s2 6 S 2 t 6S2R

4S2R2

-

E I m e t : S 1

-

- EF

; S2

-

- -

R 3

-

(E

= e l a s t i c i t e i t s m o d u i u s , I = o p p e r v i a k t e traagheidsmoment, F = û p p e ï v l a k doorsnede). Voor d e a f l e i d i n g z i e b i j l a g e

1 .

D e komponenten van d e s t i j f h e i d s m a t r i x hebben een d u i d e l i j k f y s i s c h e b e t e k e n i s .

D i t i s t e z i e n door één van d e komponenten van d e v e r p l a a t s i n g e v e k t o r d e waarde

1 ,

d e a n d e r e d e waarde O t e geven. Dus d o o r a l l e v e r p l a a t s i n g e n i n d e knooppunten O t e nemen, op één na, waaraan d e waarde

1

wordt t o e g e - kend. Neem b . v . d e eerste komponent van u (u ) o n g e l i j k O. Dan k r i j g e n w e d e s i t u a t i e u i t f i g . 2 . 4 . 1 . k

1

E.F

e

L N

.R

immers: v o l g e n s d e biet v a n Hooke: u =

-

E. F

I

-

1

E.F H l

-

_R

- E .F

N1

-

R

U I

=

1

dus:

(13)

Een a n d e r e s i t u a t i e o n t s t a a t door d e z e l f d e gedachtegang u i t t e v o e r e n v o o r w

₁

( z i e f i g . 2 . 4 . 2 ) en v o o r $ ( z i e fie;. 2 . 4 . 3 ) .

H e t s p r e e k t v a n z e l f d a t d e h i e r v o o r g e b r u i k t e gedachtengang om d e termen van d e s t i j f h e i d s m a t r i x t o e t e l i c h t e n ook kar, dienen om d e z e termen

t e bepalen. Wanneer de symmetrie i n d e k o n s t r u k t i e g e b r u i k t wordt, z i j n d e d r i e h i e r v o o r g e s c h e t s t e problemen t o e r e i k e n d .

I n d e s i t u a t i e a l s i n f i g .

2.2.1

g e s c h e t s t i s l e v e r e n d e a a n s l u i t - en o v e r g a n g s k o n d i t i e s geen m o e i l i j k h e d e n op. D e a a n s l u i t k o n d i t i e s v o l g e n u i t h e t f e i t d a t d e v e r b i n d i n g e n star z i j n . Omdat d e s t a a f a s s e n v a n

en element

@

i n elkaars v e r l e n g d e g e l e g e n z i j n , z a l gelden

f

d a t d e l a a t s t e d r i e komponenten van

U t

g e l i j k z i j n a a n d e eerste

komponenten v a n U

.

d r i e 2

(14)

We kunnen ook zeggen: i n i e d e r knooppunt van d e k o n s t r u k t i e ( d i t z i j n d e p l a a t s e n waar d e k o n s t r u k t i e s star met e l k a a r verbonden z i j n en d e p l a a t s e n waar d e k o n s t r u k t i e m e t d e omgeving i s verbonden) z i j n d e z e v e r p l a a t s i n g s g r o o t h e d e n n o o d z a k e l i j k en v o l d o e n d e om h e t g e d r a g v a n d e h e l e k o n s t r u k t i e t e b e s c h r i j v e n . We merken op d a t ook d e ver- bindingen m e t d e vaste w e r e l d a l s knooppunt z i j n g e k a r a k t e r i s e e r d . In h e t algemeen z u l l e n sommige v e r p l a a t s i n g s g r o o t h e d e n i n d e z e knooppunten bekend z i j n vanwege d e geometrische r a n d k o n d i t i e s v o o r d e kon-

~ ~~ ~

s t r u k t i e .

Met behulp van f i g .

2.5.1

kunnen U voor d e k o n s t r u k t i e bepalen.

t

w e nu d e t o t a l e v e r p l a a t s i n g s v e k t o r

u I w I %

u2w2$2

u3w3s3

Evenzo kunnen we met f i g . 2.5.3 de t o t a l e b e l a s t i n g s v e k t o r f _tb e p a l e n .

f t = k k

M

k k 2% k k M

XI z l y1

x2

22 y2 x3 2 3 y3

Om d e o v e r g a n g s k o n d i t i e s i n d e krachtgrootheden i n knooppunt

2

v a n d e k o n s t r u k t i e op t e s t e l l e n b e k i j k e n w i j f i g . 2.5.3.

Opmerking: d e aanduiding f '

4

b e t e k e n t : d e 4e komponent v a n d e v e k t o r f', enz.

(15)

-

10

-

Ket evenwicht van het uitgesneden "zeer kleine" deel van de balk (afme- ting in axiale richting infinitesimaal klein) vereist dat geldt:

1

f

[ i

Bed enken we volgt:

1

f.

[ i

2

+ f li-31 = ftlil (i=4,5,6)

bovendien dat uit de beschouwing van knooppunt

1

en

3

= ftlil (i=l,2,3)

2

f li-31 = ftli[

(i=7,8,9)

dan

is

de koppeling tot stand gebracht tussen de belastingsvektoren

van de elementen en de totale belastingsvektor van de konstruktie.

We kunnen de vergelijking afgeleid in 2 . 3 ook anders schrijven door

gebruik te maken van

U,.

- O 0 0 O 0 0 O

.

O O O

De bewering is nu- dat uit de hiervoor krachtvektoren volgt:

. u

t

(16)

I

1

i

I

1

i I

i

1

! i 1 !

+

O O D e koppeling t u s s e n f _ en U i s nu bekend. L t w a a r b i j Q een 9x9 matrix i s . t

2

Qt =

3

4

7 3 c i

S

L

2 . 7 Oglossing v a n h e t probleem

_{- ---}

_---

We hebben a f g e l e i d : B i j d e gegeven k o n s t r u k t i e z i j n

4

komponenten v a n U geval z i j n d i e z e l f s O ) . Van f z i j n d e r h a l v e 5 komponenten v a n U f t = Qt-Ut bekend ( i n d i t z i j n 5 komponenten bekend. Onbekend

t t

en

4

v a n f

.

I n t o t a a l dus 9 onbeken-

(17)

-

12

-

den, t e r w i j l we ook beschikken over 9 l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g e n i n d i e onbekenden. W i j z i j n dus i n staat de onbekenden t e berekenen.

Opmerking

Daar b i j een b e s c h r i j v i n g van een g r o t e k o n s t ï ü k t i e , op d i e hierbsver, genoemde manier, v e l e elernenten nodig z i j n en h i e r d o o r v e l e gegevens v e r w e r k t moeten worden, z a l d e u i t v o e r i n g v a n d e b e s c h r e v e n methode hoge e i s e n s t e l l e n aan:

1 .

d e l o g i s c h e opbouw

2 . h e t konsekwent volhouden van gemaakte t e k e n a f s p r a k e n , en 3 . h e t goed verwerken en r u b r i c e r e n van a l l e gegevens

3. H e t gereedschap

Wil men kunnen werken m e t d e E.M. dan moet men b e s c h i k k e n o v e r een

computer p l u s d e programma's d i e d e aangeboden i n f o r m a t i e ekonomisch kan o p s l a a n en h i e r u i t d e g e w a a g d e grootheden berekenen kan.

Nu b e s t a a t h i e r v o o r een programma-systeem, op b a s i s v a n d e E.X. v o o r d e

a n a l s y e v a n l i n e a i r e l a s t i s c h e k o n s t s u k t i e s onder s t a t i s c h e b e l a s t i n g e n , d a t

ASKA

h e e t .

ASKA i s d e a f k o r t i n g v a n : "Automatic System f o r Kinematic Analysis". H e t systeem i s ontwikkeld door p r o f . d r . J.H. A l g y r i s en z i j n medewerkers v a n h e t " I n s t i t u t f u r S t a t i k und Dynamik der L u f t - und Raumfahrtkonstruik- tionen"

(1%))

t e S t u t t g a r t .

' B e t systeem maakt g e b r u i k van d e verplaatsingsmethode. D e t e a n a l y s e r e n

k o n s t r u k t i e wordt opgedeeld g e d a c h t i n een e i n d i g a a n t a l elementen met eenvoudige geometrische eigenschappen, A f h a n k e l i j k v a n d e a a r d van d e k o n s t r u k t i e kunnen v e r s c h i l l e n d e t y p e elementen worden g e b r u i k t (balkelementen, v l a k k e d r i e h o e k i g e elementen, ringelementen, p r i s m a t i s c h e elementen, e t c . ) .

.

I n d e knooppun- t e n z i j n d e elementen met e l k a a r verbonden. Binnen e l k element wordt h e t v e r p l a a t s i n g s v e l d g e h e e l bepaald door d e v e r p l a a t s i n g s g r o o t h e d e n

v a n d e b i j dat element behorende knooppunten. D i t g e b e u r t door h e t k i e z e n van i n t e r p o l a t i e f u n k t i e s . De keuze van d e i n t e r p o l a t i e f u n k t i e s wordt

(18)

-

13

-

b e p e r k t door een a a n t a l e i s e n , waaraan h e t g e k r e ë e r d e v e r p l a a t s i n g s - v e l d moet v o l d o e n om t o t z i n v o l l e benaderingen v a n h e t probleem t e kunnen komen e

Deze methode i s h e t meest z i n v o l t e b a s e r e n op het p r i n c i p e v a n d e minimale p o t e n t i ë l e e n e r g i e . De t o t a l e i n d e k o n s t r u k t i e opgehoopte VormveraEderingsenergie kan u i t g e d r u k t worden i n d e knooppuntsver- p l a a t s i r j g e n . D e p o t e n t i ë l e e n e r g i e v a n u i t w e n d i g e b e l a s t i n g s g r o o t h e d e n wordt u i t g e d r u k t i n d e z e b e l a s t i n g s g r o o t h e d e n en i n knooppuntsver- p l a a t s i n g e n . Het s t a t i o n a i r s t e l l e n v a n d e z o t e v e r k r i j g e n uitdruk- k i n g voor d e p o t e n t i ë l e e n e r g i e r e s u l t e e r t i n een s t e l s e l l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g e n i n d e onbekende v e r p l a a t s i n g e n . N a o p l o s s i n g v a n d i t s t e l s e l z i j n d e knooppuntsverplaatsingen en dus h e t v e r p l a a t s i n g s v e l d bekend. V i a v e r p l a a t s i n g

-

rek r e l a t i e s en de Wet v a n Hooke kunnen d e spanningen worden gevonden.

ûm m e i h e i programma een probleem op t e lossen, een uit ' t e voeren, i s een h o e v e e l h e i d i n v o e r nodig, d i e een g e s t a n d a r d i s e e r d e vorm h e e f t .

D e i n v o e r v o o r een ASKA-job b e s t a a t u i t vier d u i d e l i j k t e s c h e i d e n blokken, d i e w e i n hoofdstuk 5 nader z u l l e n t o e l i c h t e n aan d e hand v a n h e t g e b r u i k t e element.

1 .

De "Job-control!

2.

D e "ASKA P r o c e s s o r Control" 3 . D e "Topological Description" 4 . D e "Data" 3 * 2

oe-raEdPrograEels

Om d e i n v o e r g e g e v e n s van ASKA, met name v o o r h e t Data-blok d e NPCO

en d e Geda ( z i e hoofdstuk 5 ) , t e berekenen u i t d e l i t e r a t u u r - gegevens i s een programma geschreven i n PAlgol en d i t werd verwerkt op d e computer v a n d e T.H.E.

(EL-X8).

( z i e b i j l a g e

2).

D e EL-X8 g e e f t a l l e e n u i t v o e r op "paper tape" en "print", t e r w i j l ASKA, d a t g e d r a a i d wordt op d e I,B.M.-370/75 computer van h e t P h i l i p s Rekencentrum, a l l e i n v o e r h e e f t op ponskaarten. H i e r werden w e dus g ekonf r on t e e r d m e t e en konver s i e p r ob

1

eem "pap er t a p e-pon s k a a r t en". D i t i s o p g e l o s t d o o r een k o n v e r s i e programma t e s c h r i j v e n , d i t i n

samenwerking met i r . P i e t e r s e n van E l e k t r o a f d e l i n g v a n T.H.E.

Op d e genoemde a f d e l i n g w a s ook d e m o g e l i j k h e i d d i t programma t e d r a a i e n .

(19)

-

1 4

-

4 . Modellen van het femur

4.1

De elementen

_{-_---}

Alvorens het bot te beschouwen

is

het zinvol om de elementen die in de

modellen zijn toegepast nader te beschouwen.

Er zullen

2

modellen in dit hoofdstuk besproken worden, te weten:

1.

vlakke model met "TRDf 3" elementen

2 . 3-dimensionale model met "BECOS" elementen

Voor de beschrijving van het osteosynthese materiaal zijn

2

elementen

gebruikt : 3 . voor de fixatiepen

4 .

voor de plaatfixatie

4

a 1

.

1

TRU-1-3

---

Be cos I t e

1

emen t en Bec o sx" e

i

emen t en 11 11

TRIM-3 is

een driehoekig plaatelement met

3

knooppunten ,p ,p ) , aan ieder knooppunt 3 vrijheidsgraden (u,v,w).

(Pl

2

3

Het element kan gebruikt worden met lineair verlopende dikte. A l s invoergegevens zijn nodig:

1 .

2 . de bij elk element behorende knooppuntnummers (topologie) koördinaten van de knooppunten (geometrie)

3.

de materiaaleigenschappen (eventueel verschillend van element

tot element)

4. de dikte van de elementen

5.

gegevens over de wijze waarop en de plaats waar de "konstruktie" aan de vaste wereld vastzit.

(20)

-

15

-

M e t d e z e gegevens i s h e t m o g e l i j k om d e s t i j f h e i d s m a t r i x op t e s t e l l e n . N a h e t samenstellen van d e b e l a s t i n g s v e k t o r kan men h e t v e r k r e g e n l i n e a i r s t e l s e l o p l o s s e n .

A l s u i t v o e r kunnen w i j b i j v o o r b e e l d verwachten: i . d e b i j e i k knooppunt behorende v e r p l a a t s i n g

2.

d e r e k k e n v o o r e l k element 3. d e spanningen i n e l k element

N.B. D e op d e z e w i j z e verkregen spanningen p e r element brengen met z i c h mee d a t voor d e "konctruktie" a l s g e h e e l een d i s - k o n t i n u spanningsverloop wordt gevonden h e t g e e n n i e t met d e r e a l i t e i t i n overeenstemming z a l z i j n . Daarom wordt d e gevonden spanning p e r element v a a k s l e c h t s toegekend aan h e t zwaartepunt v a n h e t element.

Bet Becos element i s een ntassief c y l i n d r i s c h balkelement m e t k o n s t a n t e d i k t e . D e knooppunten

(P

P ) l i g g e n op d e u i t e i n d e n v a n d e axiale as en hebben i e d e r v i j f v r i j h e i d s g r a d e n ( v e r p l a a t -

s í n g e n u y v y w y r o t a t i e

4

met S t . Venant t o r s i e maar n i e t m e t scheve b u i g i n g .

1'

2

y

4

) . H e t element houdt rekening

x y

4,

z

A l s invoergegevens z i j n nodig:

i.

8 g e o m e t r i s c h e gegevens p e r element: o p p e r v l a k v a n d e doorsnede (A); d e d r i e o p p e r v l a k t e traagheidsmomenten (I I , I ) ;

t o r s i e k o n s t a n t e v a n S t . Venant (J); k o ö r d i n a t e n v a n een punt

x y y z

P O om een l o k a a l a s s e n s t e l s e l vast t e leggen (x o YYo Y z o ) 2 .

4

t o p o l o g i s c h e gegevens p e r knooppunt: nummer v a n h e t knoop-

(21)

3.

Nateriaaleigenschappen per element

4 .

Gegevens over de wijze waarop en de plaats waar de "konstruktie" aan de vaste wereld vastzit.

(zie ook Hoofdstuk

6)

Xet deze gegevens

kan

de stijfheidsmalrix opgesteld worden. Na het op de juiste wijze in brengen van de belasting kunnen ook hier de onbekenden berekend worden.

Als

uitvoer kunnen we verwachten:

1 .

2.

per knooppunt de normaalspanning, de schuifspanningen, de

per knooppunt de

3

verplaatsingen + de 3 rotaties

buigende momenten en de torsie

4.1.3

Becosx

Het Becosx-element lijkt bizonder veel op het Becos-element. Het enige verschil is dat de knooppunten niet op de as van het element liggen, maar met "starre pootjes" met het element ver-

bonden zijn.

Als

invoergegevens heeft het Becosx-element de

invoergegevens van het Becos-element plus de ligging van G ten opzichte van P (e =

x

-X

...,...,).

A l s uitvoergegevens kunnen we hetzelfde vexwachten als

bij

het Becos-element.

-

(22)

-

1 7

-

l

4 . 2 Het twee-dimensionale model

4.2.1

_-

Ogboiiw

_----

Een twee-dimensionaal model van een femur wordt verdeeld in een aantal driehoekige elementen (TRIî4 3 ) , die van

1

tot

M

worden genummerd.

Alle knooppunten, de hoekpunten van d e elementen, nummeren we van

1

tot

N.

Fig. 4.2.1 geeft een voorbeeld van een dergelijke ver-

deling

N

= 2 2 4 en N = 146.

(23)

-

18

-

4 . 2 . 2 Numerieke resultaten

_{__-_---______---}

Voor de resultaten van een twee-dimensionaal model, dat op bovenstaande wijze is opgebouwd, verwijs ik naar het rapport

WE

71-27 van Brekelmans en Poort. In bijlage 3 zijn enkele resultaten van dit rapport weergegeven.

4 . 3 Bet drie-dimensionale model 4 . 3 . 1

---

Opbouw

Een drie-dimensionaal model van het femur wordt opgebouwd uit massieve cylindrische balkelementen (Becos), die van 1 tot

M

worden genummerd. Alle knooppunten nummeren we van

1

tot

N.

Fig. 4 . 3 . 1 geeft een voorbeeld van een dergelijke verdeling

met

m=9

en

N=lO.

, n .

-z o a l s fig- U e 3 = i l a a t zien kan men met

Becos elenenten slechts de femlrischurht

goed beschrijven. Daar in deze studie de breuken bestudeerd worden die optre- den in de schacht, is geen poging ge- daan om de andere delen van het femur

(eventueel met andere elementen) te beschrijven.

4 . 3 . 2 Numerieke resultaten

In hoofdstuk 7 zijn de resultaten uitgebreid weergegeven.

- _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - I - - -

4 4

~ergel~iking-~ao-deidemodellen

Allereerst kunnen we zien dat een "TRIM-3" model een twee dimensionaal

model

is

en slechts in één vlak belast kan worden, een verschijnsel als

torsie zal

in

dit model niet beschouwd kunnen worden. Het Becos model

dat drie diïaensionaal is, kan ruimtelijk belast worden, torsie problemen kunnen makkelijk verwerkt worden.

(24)

-

1 9

-

2 e t o p o l o g i e v a n een Becos model i s v e e l simpeler dan d i e v a n een

TRIM-3 element en er kan m e t eenvoudige veranderingen i n d e t o p o l o g s i c h e gegevens een breuk aangebracht worden ( e v e n t u e e l m e t pen of p l a a t ) ;

h e t g e e n b i j een TRIM-3 model gekompliceerder i s .

Hier staat tegenover d a t d e geometrische d a t a v a n h e t TRD4-3 model veel minder omvangrijk i s dan b i j h e t Becos model waar 'D.V. o p p e r v l a k t e

en o p p e r v l a k t e traagheidsmomenten i n g e v o e r d moeten worden.

B i j TRIM-3 kunnen g r i l l i g e kontouren z o a l s b i j d e femurkop en femurhals b e t e r beschreven worden a l s b i j een Becos model.

Konkluderend kan men h i e r zeggen d a t v o o r d e problemen d i e h i e r beschouwd worden, het Becos element g e s c ñ i k t e r i s dan h e t TRIîI-3 element.

5. ASKA

_{__.}

Het h i e r o p v o l g e n d e i s g e e n s z i n s bedoeld om a l s wegwijzer t e dienen b i j h e t g e b r u i k v a n ASRA,

Een a a n t a l v a n d e

-

b e l a n g r i j k e

-

f a c i l i t e i t e n v a n ASKA i s n i e t ter s p r a k e

gekomen of s l e c h t s summier b e s c h r e v e n . I n f o r m a t i e o v e r d e v e r s c h i l l e n d e elementen o n t b r e e k t p r a k t i s c h g e h e e l .

Voor een meer g e d e t a i l l e e r d e b e s c h r i j v i n g kan h e t b e s t verwezen worden n a a r :

AS KA

"User

'

s Reference 14anual" (I.S.D. r e p o r t no. 7 3 )

I n d i t h o o f d s t u k i s a l l e e n gepoogd on: e n i g s z i n s een b e e l d t e k r i j g e n v a n h e t computer-systeem ASKA en hoe d i t computer-systeem g e b r i ; i k t i s v o o r h e t b e s c h r i j v e n en berekenen v a n h e t mathematisch model v a n h e t femur.

Aan d e hand v a n d e vier invoerblokken z a l h e t programma systeem ASKA bespro-

ken worden.

5.1 De "Job-Control"

_{___________---}

Eenvoudig gezegd worden m e t d e Job-Control voldoende gegevens aan d e rekenmachine doorgegeven, om d i e v o o r t e b e r e i d e n op h e t u i t t e v o e r e n programma. I n d e opdrachten, w a a r u i t d e Job-Control b e s t a a t , staat o . a . vermeld w i e d e opdrachtgever i s , welke t i j d en geheugenruimte ver- e i s t z i j n , welke h o e v e e l h e i d en welk t y p e u i t v o e r worden gewenst.

Daar d e u i t v o e r i n g v a n d e benodigde Job-Control k a a r t e n voortdurend a a n w i j z i g i n g e n onderhevig z i j n , i s h e t n i e t z i n v o l om h i e r u i t g e b r e i d op

(25)

-

2 0

-

5 . 2 D e "ASKA P r o c e s s o r Control"

(A.P.C.)

5 . 2 . 1

---

I n l e i d i n g

---

A l l e

om een kompleet ASKA-programma t e i v e r w e r k e n , moet op v o l g o r d e worden v o o r g e s c h r e v e n door d e g e b r u i k e r z e l f . D i t g e b e u r t i n d e "Processor Control" door d e v o o r d e v e r w e r k i n g van h e t programma benodigde "processors" aan t e roepen. D e APC b e s t a a t

dan ook u i t een r e e k s ponskaarten, waarvan e l k e k a a r t een b e p a a l d "call statement" b e v a t , v e r g e l i j k b a a r met een aanroep van een

handelingen d i e i n d e rekenmachine moeten worden v e r r i c h t

procedure". Een p r o c e s s o r g e b r u i k t en/of g e n e r e e r t b l o k k e n

I 1

gegevens

,

d i e z i j n opgeborgen i n "books". Books kunnen b e h a l v e door een p r o c e s s o r ook door d e g e b r u i k e r z e l f g e k r e ë e r d worden. Wanneer binnen een p r o c e s s o r een b e p a a l d e h a n d e l i n g met een book moet worden u i t g e v o e r d d i e n t d a t book r e e d s e e r d e r d e o r

. .

d i e of PPII undere p r ~ r r s s m - g a a u k t t e zijn.

T - f - - L - - 1 . ? - - - K

I ~ U ~ L U U U K r ~ e e ~ t z i j n e i g e n l a b e i , b e s t a a n d e u i t een naam d i e

maximaal vier p o s i t i e s i n b e s l a g neemt.

D e naam "processor" kan worden v e r k l a a r d u i t h e t f e i t d a t door h e t aanroepen v a n een p r o c e s s o r i n een c a l l statement een b e p a a l d p r o c e s wordt u i t g e v o e r d , d a t nodig i s v o o r d e j u i s t e verwerking v a n h e t g e h e l e ASKA-programma.

D e p r o c e s s o r s kunnen op d e volgende w i j z e i n g e d e e l d worden:

1 .

één algemene p r o c e s s o r bestemd om "data" i n t e l e z e n 2 . algemene p r o c e s s o r s bestemd om P i d a t a P r u i t t e v o e r e n

(DATEX, SIGEX, GPRINT)

.

3 . o v e r i g e p r o c e s s o r s , d i e b i j v o o r b e e l d een b l o k g e t a l l e n be-

werken of i n f o r m a t i e o v e r zo'n b l o k v e r s c h a f f e n .

Aan d e hand van en i n v o l g o r d e v a n d e g e b r u i k t e p r o c e s s o r s z u l l e n d e d i v e r s e p r o c e s s o r s besproken worden.

CALL START (

1 ,

1

) v e r p l i c h t h e t eerste statement. Deze

p r o c e s s o r b e r e i d t a l l e i n f o r m a t i e v o o r , d i e nodig i s om een ASKA-programma t e s t a r t e n . D e eerste

1

g e e f t aan d a t e r

1 b e l a s t i n g s g e v a l moet worden doorgerekend D e tweede

1

g e e f t aan d a t er gerekend wordt i n "double p r e c i s i o n " v o o r z o v e r d i t z i n v o l i s ( i n 16 s i g n i f i k a n t e c i j f e r s )

(26)

-

2 1

-

1

CALL SET

( 4

H D I A S , 2 0 ) niet d e z e p r o c e s s o r kan i n h e t algemeen d e w e r k w i j z e v a n een k o n t r o l e p r o c e s binnen h e t systeem g e w i j z i g d worden. H i e r z o r g t d e p r o c e s s o r e r v o o r d a t b i j d e u i t v o e r i n g van d e andere p r o c e s s o r s h o o g u i t

20

waarschuwingen (warnings) of kommentaren (comments) worden gegeven, t e r w i j l zonder d e z e aanroep h e t a a n t a l maximaal 100 b e d r a a g t . CALL SA v e r p l i c h t . H i j b e s t a a t u i t een a a n t a l "sub p r oc es s or s " waarmee d e t o p o

1

og

i

s c h e b e s c h r i j v i n g i n g e l e z e n , v e r w e r k t en g e k o n t r o l e e r d worden.

CALL DATIE (O, 4HFIN) v e r p l i c h t . E!iei-mee w m 6 e n a l l p -

vanaf ponskuurten g e l e z e n , t e begiïìïìeïì n a d e kaart $DATA t o t aan d e k a a r t met

$F

I N CALL DATEX

( $ , 4

HNPCO)

CALL DATEX ( 0 , 4 HGEDA) niet d e z e p r o c e s s o r s worden op d e r e g e l drukker d e "data b l o c k s " d i e m e t d e p r o c e s s o r DATIN z i j n i n g e l e z e n , u i t g e - v o e r d

CALL INE'EL

CALL INFUNK

h i e r d o o r wordt via d e r e g e l d r u k k e r i n f or- matie omtrent d e elementen a f g e d r u k t ,

o.a. w e l k e knooppunten horen b i j w e l k e

e

1

emen t e n

-

h i e r d o o r k r i j g t men i n f o r m a t i e o v e r d e v r i j h e i d s g r a d e n (unknowns)

-

v a n e l k knooppunt. Met d e l e t t e r s

1

( l o k a l , onbekend),

p ( p r e s c r i b e d , v o o r g e s c h r e v e n o n g e l i j k n u l ) en s (suppressed, onderdrukt) w o r d t v o o r e l k e v r i j h e i d s g r a a d i n e l k knooppunt een s p e c i f i k a t i e gegeven.

(27)

I

-

2 2

-

I , CALL ELCO CALL TS CALL SK CALL BK CALL I E B K CALL BR CALL SR CALL

USE

v e r p l i c h t . Voor e l k

-

element worden d e

-

c o ö r d i n a t e n b e p a a l d v a n d e b i j d a t e l e - ment behorende knooppunten, en v o l g e n s d e l o k a l e nummering v a n d a t element op- g e s l a g e n i n h e t book ELDA (element d a t a ) d e z e p r o c e s s o r k o n t r o l e e r t a l l e

-

b e i a s - t i n g o n a f h a n k e l i j k e

-

elementgegevens ( u i t book ELDA) op e v e n t u e l e f o u t e n ( t e s t ) .

-

TS b l i j f t gedurende h e t h e l e programma werkzaam.

v e r p l i c h t . Hiermee wordt v o o r a l l e elementen d e s t i j f h e i d s m t r i x k (smagl

-

berekend u i t h e t book ELDA

-

k) v e r p l i c h t . Deze p r o c e s o o r bouwt d e g r o t e s t i j f h e i d s m a t r i x op ( b i g

- -

K).

hiermee wordt i n f o r m a t i e u i t g e v o e r d o v e r

_-

d e t o t a l e s t i j f h e i d s m a t r i x ( b i g

- -

R)

v e r p l i c h t . Bouwt de v o l l e d i g e b e l a s t i n g s - matrix op. H i e r i n worden automatisch meerdere p r o c e s s o r s op geroepen v e r p l i c h t . L o s t de v e r g e l i j k i n g e n OP ter berekening v a n d e v e r p l a a t s i n g e n . Na d e berekening i s d e t o t a l e v e r p l a a t - s i n g s v e k t o r bekend i n i n t e r n e r e p r e s e n - t a t i e . v e r p l i c h t i n d i e n men d e v e r p l a a t s i n g e n wenst u i t t e v o e r e n . Hier worden d e v e r p l a a t s i n g e n v a n d e i n t e r n e r e p r e s e n - t a t i e omgezet n a a r een op d e g e b r u i k e r af gestemde r epr es e n t a t i e .

CALL DATEX

( 0 , 4

HUSR) de v e r p l a a t s i n g e n worden op d e r e g e l d r u k -

k e r u i t g e v o e r d

CALL SP v e r p l i c h t wanneer men d e spanningen en/of r e s u l t erende knooppunt s krach t e n wens t

(28)

-

2 3

-

CALL

BP

CALL

BRR

CALL UBW t e berekenen en u i t t e v o e r e n . Hiertoe d i e n e n n l . d e v e r p l a a t s i n g s v e k t o r e n bekend te z i j n , d i e met d e processor SP worden berekend.

v e r p l i c h t wanneer men d e r e s u l t e r e n d e knooppuntskrachten w i l u i t v o e r e n . U i t d e v e r p l a a t s i n g p e r element wordt met behulp v a n d e s t i j f h e i d s m a t r i x p e r element d e k r a c h t v e k t o r b e p a a l d . D i t i s t e beschouwen a l s een eerste s t a p ter berekening v a n d e r e s u l t e r e n d e knooppuntskrachten. h i e r wordt p e r element u i t d e k r a c h t v e k - t o r en d e r es u

1

t e r end e knooppunt s kr ac h t en berekend v e r p l i c h t wanneer men d e b e l a s t i n g s v e k - t o r w i l u i t v o e r e n . Hier wordt d e b e l a s - t i n g s v e k t o r v a n i n t e r n e n a a r e x t e r n e r e p r e s e n t a t i e omgezet.

CALL DATEX (0,4

HUBRR)

door d e z e aanroep worden d e knooppunts- k r a c h t e n v i a d e r e g e l d r u k k e r u i t g e v o e r d CALL ST CALL SIGEX ( 0 , O ) END d e p r o c e s s o r berekend de spanningen (stress)

-

e l e m e n t s g e w i j s . V e r p l i c h t i n d i e n men d e spanningen wenst u i t t e v o e r e n . de spanningen worden op d e l-regeldrukker u i t g e v o e r d

d e APC moet v e r p l i c h t worden a f g e s l o t e n door middel v a n een p o n s k a a r t m e t END

5 . 3 D e

---

t o E o l o g i s c h e

---

b e s c h r i j v i n g

---

Om een k o n k r e t e k o n s t r u k t i e t o e g a n k e l i j k t e maken v o o r berekeningen met

het ASKA-systeem moet d i e k o n s t r u k t i e worden opgedeeld i n elementen. Daardoor o n t s t a a t een n e t w e r k v a n knooppunten en elementen, d i e genummerd en g e k a r a k t e r i s e e r d moeten worden op een w i j z e d i e d o o r h e t pro-

(29)

-

24 -

,

gramma-systeem g e i n t e r p r e t e e r d kan worden. D a a r t o e d i e n t d e zogenaamde t o p o l o g i s c h e b e s c h r i j v i n g y i n ASKA "TOPOLOGY" of "TOPOLOGICAL DESCRIP-

TION" genoemd.

Het i s n o g a l m o e i l i j k h e t b e g r i p "topologische b e s c h r i j v i n g " ( i n d e z i n w a a r i n h e t i n ASKA gehanteerd wordt) enigermate nauwkeurig t e omschrij- v e n . We z ~ l l e z l ons daaroa: beperken t o t een v e r k l a r i n g van d e t o p o l o g i e

z o a l s d i e i n g e v o e r d moet worden v o o r h e t d o o r ons g e h a n t e e r d e Becos model v o o r een h e e l femur, d i t aan d e hand van d e benodigde p o n s k a a r t e n . k a a r t

1

"TOPOLOGY" hiermee wordt aangeduid d a t d e

v o l g e n d e p o n s k a a r t e n i n f o r m a t i e geven over d e t o p o l o g i e

kaart

2

N e t (1)(18) (balkmodel m e t Becos elementen)

hiermee w o r d t aangeduid d a t i n n e t

1

maximaal 18 knooppunten g e b r u i k t worden

kaart 3 Becos ( 1 ) ( 1 7 ~ ( 1 ~ 1 ) ( 2 ~ ~ ) h i e r n e e w i r d t e l m e n t g r o e p

1

gege-

n e r e e r d ; h e t b e v a t 17 elementen. H e t l e element h e e f t a l s knooppunten i en

2.

D e knooppunten v a n element

2

v i n d t men door h e t eerste knooppunt v a n element I met i t e vermeerde- r e n en door h e t tweede knooppunt v a n element

1

ook met een t e ver-

meerderen. Zo k r i j g e n we dus: element i knooppunten 1 , 2 2Y3 3 , 4 enz. I t l 1

2

' I 3 I I

k a a r t

4

Suppress

(1y2,3,4y5,6,)(1)(1)

hiermee w o r d t v a n element

1

knooppunt

1

d e v r i j h e i d s g r a d e n i t / m 6

onderdrukt. Hiermee i s h e t n e t vast a a n d e vaste wereld verbonden. k a a r t 5 END NET

k a a r t 6 END TOPOLOGY

hiermee w o r d t aangeduid d a t d e be- s c h r i j v i n g v a n h e t n e t wordt a f g e - s l o t e n

hiermee w o r d t h e t Topology-blok a f g e s l o t e n

(30)

- 25

-

c = 2 E = A NPBR b e l a s t i n g s k r a c h t e n N = 1

L =

1

C = 6 i n d e knooppunten i

Verder d i e n t er opgemerkt t e worden d a t er i n één n e t w e l v e r s c h i l l e n d e t y p e n elementen ( b . v . Becos en Becosx) g e b r u i k t mogen worden, maar n i e t i n één elementgroep.

5 . 4 D e

_{___----.}

data

5.4.1

_{__---}

I n l e i d i n g

O n m i d d e l l i j k volgend op d e t o p o l o g y worden d e ''data" ingevoerd. D i t z i j n numerieke gegevens omtrent d e r e e d s d o o r m i d d e l v a n d e

c o p o l g g i s c h e b e s c h r i j v i n g g e d e f i n i e e r d e elementen en knooppunten, z o a l s b i j v o o r b e e l d d e knooppuntskoördinaten, u i t w e n d i g e b e l a s - t i n g e n , m a t e r i a a l e i g e n s c h a p p e n , etc. D e "data" worden dan ook o n d e r v e r d e e l d i n een a a n t a l blokken. D i t z i j n op z i c h z e l f s t a a n d e d e l e n v a n d e "data" w a a r i n i n f o r m a t i e v a n één s o o r t wordt gegeven, g e d e f i n i e e r d door d e "data t y p e name" op d e eerste k a a r t v a n

Z Q ' I I h l & , d e "headers card".

Ieder b l o k m e t gegevens b e s t a a t u i t één "header card" g e v o l g d

door een of meer " a c t u a l d a t a carcis". Ook h i e r z a l weer aan d e hand v a n d e i n g e v o e r d e d a t a b l o k k e n v o o r h e t Becosmodel d e d a t a - i n v o e r v e r k l a a r d worden.

5 . 4 . 2 D e d a t a b l o k k e n

Hieronder v o l g e n d e g e b r u i k t e d a t a b l o k k e n . Op d e "header card" moet en verme I d worden :

(31)

(32)

- 26

-

V e r k l a r i n g v a n d e p a r a a e t e r s :

I

N =

1 :

a l l e gegevens g e l d e n v o o r n e t

1

G =

1 :

a l l e gegevens gelden v o o r elementgroep

1

C = x: x i s h e t a a n t a l g e t a l l e n van h e t t y p e "real" (met

d e c i m a l e punt of i n " f l o a t i n g point" n o t a t i e ) d a t e l k e " a c t u a l d a t a card" m e t z i j n e v e n t u e l e v e r v o l g - k a a r t b e v a t

L =

1 :

d e gegevens g e l d e n v o o r b e l a s t i n g g e v a l

1

E =

A:

d e , met behulp v a n s l e c h t s één " a c t u a l data card'' i n g e v o e r d e gegevens g e l d e n v o o r a l l e elementen i n d e groep, d i e g e d e f i n i e e r d i s m e t d e parameter G.

I n hoofdstuk 6 worden d e " a c t u a l data" v a n d e genoemde blokken beschouwd.

6 . De numerieke gegevens (voor h e t Becos model v a n h e t femur)

D e numerieke gegevens v o o r h e t Becos model v a n h e t femur z u l l e n aan d e hand v a n d e blokken d i e

ASKA

n o d i g h e e f t i n d e "data", worden t o e g e l i c h t . 6 . 1

N.P.C.Q.

(Nodal P o i n t Coördinaten)

Benodigde gegevens: i n d i t b l o k worden d e k o k d i n a t e n v a n d e knooppunten i n g e v o e r d

B r on : t h e Laws of bone A r c h i t e c t u r e (John C . Koch). I n d e s t u d i e v a n Koch i s een femur beschouwd waarvan d e kontouren z i j n weergegeven i n h e t

X-Z

v l a k ( z i e f i g . 6 . 1 ) Op v e r s c h i l l e n d e

(z-)hoogten h e e f t men b . v . h e t femur doorsneden gemaakt, v e r d e r h e e f t men i n h e t x-z vlak i n h e t femur een l i j n aangegeven waarop d e zwaartepunten v a n d e doorsnedes l i g g e n .

Van d e z e b e i d e gegevens i s g e b r u i k gemaakt. K e t Becos element i s opgebouwd v a n doorsnede t o t doorsnede en h e t zwaartepunt i s g e l e g d op d e aangenomen l i j n . Indien men b e g i n t b i j doorsnede 2 en d o o r g a a t t o t 2 0 d a n i s d e schacht van h e t femur goed beschreven.

Aannames: i ) er i s g e b r u i k gemaakt v a n d e door Koch aangenomen l i j n

2)

d e y - k o c r d i n a a t i s i n d e b e s c h r i j v i n g v a n Koch v e r l o r e n gegaan, er i s h i e r v o o r aangenomen d a t er geen b u i g i n g op: treedt i n h e t y-z v l a k . Hierdoor hebben a l l e knooppunten

(33)

-

27

-

6 . 2 Geda

----

(geometrische d a t a )

Benodigde gegevens: p e r doorsnede: o p p e r v l a k t e ( A ) , 3 o p p e r v l a k t e traagheidsmomenten (I ,I , I ), t o r s i e k o n s t a n t e v a n St.-Venant (J), k o ö r d i n a t e n v a n een punt P vast t e leggen)

X Y X Y

(om een l o k a a l a s s e n s t e l s e l O

Br on : t h e Laws of Bone A r c h i t e c t u r e (John C . Koch). A l l e daorsnedes

d i e men gemaakt h e e f t ( z i e f i g . 6 . 1 ) z i j n g e f o t o g r a f e e r d en i n d e p u b l i k a t i e weergegeven. U i t d e z e foto's z i j n d e koör- d i n a t e n van d e buitenrand en binnenrand (grens kompakt b o t en spongieus b o t ) opgemeten. U i t d e z e gegevens - z i j n ~~~ __ berekend

.

I 1 J

52

y '

xy'

d e g r o o t h e d e n A,

Van d e doorsneden h e e f t men d e h o o f d t r a a g h e i d s a s s e n berekend punt

P

h e e f t men op d e h o o f d r r a a g h e i d s a c I g e l e g d . Daar men d e I I en I op moet geven t . o . v . h e t l o k a a l a s s e n s t e l s e l wordt I nu n u l . ( z i e f L g . 6 . 2 ) . " O 1 b

x'

Y

Xy

XY

Deze keuze v a n h e t l o k a a l a s s e n s t e l s e l i s handig omdat d e u i t v o e r v a n ASKA d e spanningen g e e f t i n h e t l o k a l e assen- s t e l s e l . Omdat d e hoofdtraagheidsassen samenvallen met h e t l o k a l e a s s e n s t e l s e l kan u i t d e spanningen s n e l i n een w i l l e - k e u r i g punt v a n de doorsnede d e spanning berekend worden.

(34)

-

28

-

Aannames:

1 )

de binnenrand is vaak zeer moeilijk, omdat de grens van

kompakt bot en spongieus bot vaak moeilijk is aan te geven

en moest soms zelf worden bepaald. ~

~~ ~

2)

de bijdrage van het spongieuse bot is geheel verwaarloosd.

6

3 EMOD

----

(Elasticiteits modulus)

Benodigde gegevens: de elasticiteits konstante: de Young modulus E en de Poisson konstante D.

Br on : Rapport

WE

71-30 (Leon

B.M.

Tomesen, T.E. Eindhoven). In dit rapport (een literatuurstudie over de materiaaleigenschappen van bot) worden de gemeten waarden van de materiaaleigenschappen vergeleken, hieruit blijkt dat de gemeten waarden sterk afhankelijk zijn van vele faktoren en dat men moeilijk nog kan spreken over dé E of dé v .

c)m, t e c h met dit model t e küïinen werken z i j n do volgende ZE-

names gemaakt =

Aannames: we veronderstellen het materiaal houogeen, isotroop en lineair met:

E

= 20.000 N/IIIDI~

v = 0,37

6 . 4 (belastingen)

Benodigde gegevens: op het bovenste knooppunt

(18)

van het model moet

worden ingevoerd:

F

x ’ y ’ z

F

9 3f

x

5

E

y 9

M

z

Br on : A. Laws of Bone kchitectur (J.C. Koch) (zie fig. 6 . 1 ) .

Dit is een belasting werkend op de femurkop met een werk- lijn die de verbindingslijn is van het middelpunt van de kop en het midden tussen de kondylis medialis en de con- dylis lateralis.

E. Forces acting on the femoral head-prosthesis

(N.

Xydell) Een kracht op de femurkop gericht naar het middelpunt van de kop met een aangrijpingspunt binnen het door Rydell aangegeven gebied op de kop en een kracht op de trochanter major met eveneens door Rydell aangegeven richting, de rich

ting van de resultante van de abductor-spieren.

De genoemde belastingen moeten naar het: aangrijpingspunt van het model verplaatst worden!

(zie

fig. 6 . 4 ) .

(35)

-

29

-

\

V e r p l a a t s i n g van d e b e l a s t i n g ~ 2 a 1 knooppunt 18 g e e f t :

Aannames:

1 )

d e d r a a i i n g v a n d e femurkop u i t h e t b l o k x.-y

2

12' i s b u i t e n beschouwing g e l a t e n omdat de k r a c h t slechts 2-dimen- s i o n a a l bekend i s . Zou men d e d r a a i i n g t o c h i n rekening brengen dan zou er b i j d e z e b e l a s t i n g e n een t e g r o t e t o r s i e o p t r e d e n .

punt

1

a l l e v r i j h e i d s g r a d e n t e onderdrukken ( d i t gebeurt 2) h e t femur i s aan d e onderkant vast gedacht door i n knoop-

(36)

-

30

-

7 .

R e s u l t a t e n

A l v o r e n s d e r e s u l t a t e n t e beschouwen d i e n t opgemerkt t e worden d a t d e b e l a s - t i n g e n z o a l s a f g e l e i d i n 6 . 4 p e r a b u i s veranderd z i j n i n : AX. F = -110 N

M

=

o

X X

F

= O N M = -11120,OO Nmm

Y

F = -995

N

Pf =

o

Z Z f B. F = -190 N M = O X X F =

O N

= 147126,4 Ninm

Y

F = -290 N M

= o

Z Z

Daar d e z e b e l a s t i n g e n n i e t r e ë e l z i j n moeten d e k o n k l u s i e c m e t de nodige v o o r z i c h t i g h e i d g e ï n t e r p r e t e e r d worden. D e g e s c h e t s t e methode v a n onderzoek b l i j f t n a t u u r l i j k z i j n waarde behouden.

7 . 1 Beschouwing

5.1. I Twee modellen

B i j h e t maken v a n h e t Becos model v a n h e t femur bestonden er v o o r de opbouw v a n h e t model

2

mogelijkheden (zie f i g . 7 . 1 . 1 ) .

( d i t noemen we model of femur

2)

We kunnen h e t element h e t i n femur l e g g e n ( d i t noemen w e model of femur) (getrokken). H e t ie element h e e f t a l s o p p e r v l a k t e grootheden d e o p p e r v l a k t e g r o o t h e d e n v a n doorsnede

2,

enz.

( d i t noemen w e model of femur

We kunnen ook h e t element zo k i e z e n d a t het femur i n h e t element v a l t ( d i t noemen w e model of femur) ( g e s t i p p e l d ) . Eet le element h e e f t a l s o p p e r v l a k t e g r o o t h e d e n d e o p p e r v l a k t e g r o o t h e d e n v a n doorsnede I , enz. N a t u u r l i j k kunnen t u s s e n d e z e twee u i t e r s t e n vele modellen opgebouwd worden, maar v e r g e l i j k i n g v a n h e t gedrag v a n d e z e

2

u i t e r s t e n (b.v. d o o r b e i d e modellen n i e t g r o o t i s . G r a f i e k ( 7 . 1 . 1 . ) maakt een v e r g e l i j k i n g b e i d e t e b e l a s t e n m e t b e l a s t i n g

P.

f ) l e e r t ons d a t h e t v e r s c h i l tussen

(37)

-

31

-

I

L

v a n d e u i t w i j k i n g e n van d e knooppunten v a n femur

1

en femur

2

m o g e l i j k . H i e r u i t kan men l e z e n d a t femur 2 s t i j v e r i s da.n femur 1. I n h e t v e r d e r e b e t o o g i s gewerkt m e t model o f femur 2 ,

x

7 i

.2

~ e b e l a s t i n g e n e

(A*

en E )

B i j v e r g e l i j k i n g v a n d e twee b e l a s t i n g e n A* en Bx ( z i e v o o r b e s c h r i j - v i n g 6.4) b l i j k t d a t b e l s s t i n g B* weliswaar een zwaardere b e l a s t i n g i s dan b e l a s t i n g A*, maar d a t b e i d e b e l a s t i n g e n n i e t p r i n c i p i e e l ver- s c h i

1

l e n .

G r a f i e k 7 . 1 . 2 , waar d e v e r p l a a t s i n g e n van d e knooppunten z i j n u i t g e z e t v o o r d e S e i d e b e l a s t i n g e n , b e v e s t i g t h e t bovenstaande.

B i j d e v e r d e r e beschouwingen i s dan ook a l l e e n nog maar m e t b e l a s t i n g A g e i e r k t .

---

*

7 . 1 . 3 R e s u l t a t e n "heel" femur (een h e e l femur i s een femur zonder breuk) Van een h e e l femur kunnen w e opmerken d a t d i t inwendig s t a t i s c h b e p a a l d

is,

d,w.z, d a t op e l k e w i l l e k e u r i g e doorsnede d e snedegrootheden ( k r a c h t e n en momenten) v o l l e d i g b e p a a l d z i j n d o o r d e evenwichtsvoorwaarden. We kunnen dus v r i j eenvoudig, zonder d e elementenmethode, v o o r een b e p a a l d e b e l a s t i n g v a n een w i l l e k e u r i g e doorsnede d e snedegrootheden b e p a l e n u i t d e evenwichtsvoorwaarden. Hieronder wordt v o o r Leen doorsnede u i t g e w e r k t en h e t r e s u l t a a t wordt v e r g e l e k e n uitkomst v a n

ASKA.

18(9,25;0;727,5) 7(8,90;0;461,5) b e l a s t i n g A * , F ~ ~ X =

-

1 1 0 N d i t m e t d e O N O Nmm

(38)

-

3 2

-

Snedegrootheden i n doorsnede 7 :

F

= -110 N

F

=

O N

F = -995

N

ivl = O

Nmm

M

=

-

11120

-

110 - ( 7 2 7 , 5 - 4 6 1 , 5 ) + 995 - ( 9 , 2 5 - 8 9 0 ) = X

Y

Z X

x

-

40022 NEUU = z O Nmm

AKSA

g e e f t u i t v o e r t e n o p z i c h t e v a n l o k a a l assen.stelse1, Dus t-rans- f o r m a t i e n a a r l o k a a l a s s e n s t e l s e l .

F ' = -

18,9 N

F ' = -

108,8

N

F = - 995

N

X

Y

Z

M

= 6840

Nmm

M ' = -

3 9 5 0 Nmm X

Y

M ' =

Z O Nmm H e t l o k a a l a s s e n s t e l s e l wordt b e p a a l d door P O of w e 1 d w r de l i g g i n g van d e hoofdtraagheids- a s s e n . ( z i e f i g . 7 . 1 . 4 ) . 58 1 898

Y

arcty +

4

= a r c t g

2

= X P O ; = 81 , 4 T r a n s f o r m a t i e van d e snedegrootheden naar lokaal a s s e n s t e l s e l x ' y ' g e e f t : U i t v o e r v a n

ASKA

v o o r doorsnede 7 : î$ = 7048

Nmm

x

F = 1 9 , 3 7

N

F = 1 0 8 , 5

N

M = -3941

N m '

F = -995

N

x

.

Y

M

= O Nmm z Z

(39)

-

33

-

D e v e r s c h i l l e n tiissen d e v e r s c h i l l e n d e g e t a l l e n wordt v e r o o r z i a k t door- d a t b i j d e bovenstaande berekening g r o f gerekend i s .

D e elementenmethode i s t o c h t o e g e p a s t omdat een femur met pen of p l a a t n i e t meer inwendig s t a t i s c h bepaald i s , waardoor d e bovenstaande methode n i e t meer t o t een o p l o s s i n g l e i d t . A l s r e s u l t a a t v a n h e t doorrekenen v a n een h e e l femm kuznen w e opgeven d a t :

1.

d e k r a c h t e n i n a l l e doorsneden g e l i j k z i j n , i n h e t g l o b a l e a s s e n s t e l - s e l , n l .

P

=

-110

N;

F

= O

N;

F

=

-

995 N b i j b e l a s t i n g A

.

d e momenten i n d e elementen een v e r l o o p v e r t o n e n , i n h e t g l o b a l e a - s e n s t e l s e l , z o a l s weergegeven i n g r a f i e k 7 . 1 . 3 . Zoals w e konden verwachten t o o n t lYI een l i n e a i r v e r l o o p t e r w i j l M en

M

n u l z i j n .

(systeem i s inwendig s t a t i s c h bepaald).

*

x

Y Z

2.

Y

x

Z

~ 11

7 . 2 Beschouwingen gebroken femur" 7.2.1 Breken v a n het femur

D e breuk i n h e t femur i s g e l e g d i n h e t midden v a n d e femurschacht ( i n element 12). D i t g e b e u r t door d e t o p o l o g i e a l s v o l g t op t e bouwen: Becos ( i ) ( i l ) ( l , i ) ( 2 , i )

E e c o s ( 1 ) ( 7 ) ( i 3 , 1 ) ( 1 4 9 1 )

D e s i t u a t i e b i j d e breuk i s getekend i n f i g . 7 . 2 . 1 . D e elementen en ~~~~~ ~ ~~ ~ ~-~~ ~ knooppunten z i j n nu anders-genum-

-~ ~

merd a l s b i j e e n "heel" femur: I n d e z e f i g u u r i s ook aangegeven hoe d e pen en p l a a t - b e v e s t i g d z i j n .

&w i2

I

D e pen: d e pen i s opgebouwd u i t becos elementen d i e door d e h e l e s c h a c h t lopen en d e z e l f d e knooppunten hebben a l s d e femur elementen. Op d e b r e u k z i j n "pen elementen" en "femur elementen" n i e t gekoppeld, Zou men d i t w e l doen dan zouden d e twee femurdelen