Automath : ein Projekt zur Kontrolle vom Mathematik
Citation for published version (APA):Bruijn, de, N. G. (1974). Automath : ein Projekt zur Kontrolle vom Mathematik. s.n.
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INNSBRUCKER MATHEMATIKERTAG 1 9 7 4
AUTOMATH
-
e i n P r o j e k t z u r R o n t r o l l e vcn Mathematik 1 )von N . G. d e B r u i j n
D i e s e r V o r t r a g s o l 1 d a s P r o j e k t AUTOMATH b e s c h r e i b e n , ohne iiber d i e N a t u r d e r S p r a c h e AUTOMATH s e l b s t zu s e h r i n s Konkrete zu gehen. WFr v e r w e i s e n a u f d i e am Ende a n g e f u h r t e n A r b e i t e n [ 1
1
und [ 21
,
wo man E i n z e l h e i t e n u b e r d i e D e f i n i t i o n d e r S p r a c h e f i n d e n k a n n ; h i e rw o l l e n w i r uns h a u p t s 8 c h l i c h a u f d i e M o t i v a t i o n kon- z e n t r i e r e n .
E i n k l a r e n d e s Wort g l e i c h zu Beginn: AUTOMATH i s t e i n e m a t h e m a t i s c h e S p r a c h e , n i c h t e i n e P r o g r a m m i e r s p r a c h e . F r e i l i c h haben d i e b e i d e n A r t e n von Sprachen v i e l e s gemeinsam, und gewi.B kann j e d e von I d e e n a u s dem G e b i e t d e r a n d e r e n p r o f i t i e r e n .
D a s P r o j e k t AUTOMATH wurde 1966 g e p l a n t . Die I d e e w a r d i e , e i n System z u e n t w i c k e l n , d a s g e s t a t t e t , ganze m a t h e m a t i s c h e T h e o r i e n i n s o p r a z i s e r Weise n i e d e r z u -
s c h r e i b e n , daB d i e V e r i f i k a t i o n d e r R i c h t i g k e i t a u t o - m a t i s c h d u r c h g e f u h r t werden k a n n , und dennoch S c h r i t t
f u r S c h r i t t den K o n t a k t m i t d e r herkommlichen mathe- m a t i s c h e n D a r s t e l l u n g s w e i s e z u wahren. X h n l i c h e s mag v i e l l e i c h t L e i b n i z v o r g e s c h w e b t s e i n , nahm a b e r damals n i c h t G e s t a l t an
,
d a man weder I n t e r e s s e an forma-" D e r v o r l i e g e n d e Text i s t , abgesehen von ganz g e r i n g - f u g i g e n h d e r u n g e n , e i n e Ubersetzung ( b e s o r g t von Bern- h a r d R o i d e r und d u r c h g e s e h e n vom A u t o r ) d e s e n g l i s c h - s p r a c h i g e n M a n u s k r i p t s zu einem vom V o r t r a g e n d e n i m Rahrnen d e s Symposiums APLASM ( O r s a y , Dezember 1973) g e h a l t e n e n R e f e r a t . D e r e n g l i s c h e O r i g i n a l t e x t w i r d i m
l e n S p r a c h e n noch E r f a h r u n g m i t i h n e n h a t t e . D i e I d e e i s t d i e , e i n e s o l c h e S p r a c h e z u s c h a f f e n , daB a l l e s , was w i r i n i h r s c h r e i b e n , a l s k o r r e k t e Mathe- m a t i k i n t e r p r e t i e r b a r i s t , s o l a n g e w i r s y n t a k t i s c h k o r r e k t s c h r e i b e n ( e i n s c h l i e S l i c h k o r r e k t e r V e r w e i s e a u f s c h o n G e s a g t e s ) . D i e s kann b i s zum S c h r e i b e n e i n e r
-
r i e s i g e n m a t h e m a t i s c h e n E n z y k l o p a d i e g e h e n , z u d e rjeder, Mensch o d e r M a s c h i n e , b e i t r a g e n k a n n , was e r
w i l l , w o b e i j e d e r B e i t r a g , d e r n i c h t a u s s y n t a k t i s c h e n Grunden z u r u c k g e w i e s e n wurde
,
von a n d e r e n ohne Bedenken v e r w e n d e t werden k a n n . D i e I d e e e i n e r A r t f o r m a l i s i e r t e r E n z y k l o p a d i e wurde s c h o n 1 9 0 0 von P e a n o gefaf3t undt e i l w e i s e v e r w i r k l i c h t , a b e r d a s w a r noch w e i t von d e n e n t f e r n t , was man a u t o m a t i s c h lesbar n e n n e n k o n n t e .
D a s N a c h p r u f e n s y n t a k t i s c h e r R i c h t i g k e i t kann e i n e m Computer t i b e r l a s s e n werden. Da n u r n a c h g e p r i i f t w i r d , ob
der T e x t n a c h d e n R e g e l n g e s c h r i e b e n worden i s t , miissen w i r z u g e b e n , daB d a s Nachpriifen e i n e e b e n s o m e n s c h l i c h e T a t i g k e i t d a r s t e l l t w i e d a s S c h r e i b e n . Dennoch denken w i r an e i n e n Computer, urn Normen f e s t z u s e t z e n : was e i n
Computer n i c h t k a n n , kann man n i c h t a u t o m a t i s c h n e n n e n . AuSerdem h a b e n Computer e i n i g e p r a k t i s c h e V o r t e i l e g e g e n u b e r Menschen. S i e nehmen j e d e s D e t a i l e r n s t und werden n i e a u s L a n g e w e i l e n a c h l a s s i g . D e r s c h r e i b e n d e Mensch n e i g t d a z u , g e l e g e n t l i c h i n d e n D e t a i l s abzu- w e c h s e l n und z u g l a u b e n , d i e s h a b e anderswo k e i n e Aus- w i r k u n g e n ; der Computer k e n n t h i e r k e i n e n P a r d o n .
Die G e s c h w i n d i g k e i t des Computers i s t kaum e i n P r o b l e m , d a w i r von ihm n i c h t v i e 1 mehr A r b e i t s l e i s t u n g a l s von e i n e m s c h r e i b e n d e n Menschen e r w a r t e n . D i e t a t s a c h l i c h e n Probleme l i e g e n b e i den h e u t i g e n Computersystemen i n d e r Speicherp1atzorganisation.Der M a t h e m a t i k e r h a t e i n u n t e r -
t e i l t e s G e d a c h t n i s - r a s c h e und l a n g s a m e T e i l e d e s G e h i r n s , d a s P a p i e r , a u f dem e r s c h r e i b t , s e i n e e i g e n e n j u n g s t e n A u f z e i c h n u n g e n , d i e Bucher a u f s e i n e m S c h r e i b t i s c h , d i e I n s t i t u t s b i b l i o t h e k , und s c h l i e B l i c h a n d e r e B i b l i o t h e k e n ,
a u f d i e e r z u r u c k g r e i f e n muR, wenn s e i n e I n s t i t u t s - b i b l i o t h e k n i c h t a u s r e i c h t . X h n l i c h e n t h a l t d a s G e -
- - -
d a c h t n i s e i n e s Computersystems F l i p - F l o p s den Kern- s p e i c h e r , Trommel, P l a t t e n , Band usw. Mensch o d e r Maschine, i n b e i d e n F a l l e n s t e h t d e r B e n u t z e r v o r d e r E n t s c h e i d u n g , w a s wo zu s p e i c h e r n i s t . B e i m Computer i s t es d u r c h a u s m o g l i c h , d a 8 t e c h n i s c h e V e r b e s s e r u n g e n d e r S p e i c h e r m i t raschem Z u g r i f f d i e s e S p e i c h e r u n g s - s c h w i e r i g k e i t e n a u s d e r W e l t s c h a f f e n werden.
Von v o r n h e r e i n b e s t a n d e i n e s d e r Ziele des P r o j e k t s
AUTOMATH d a r i n
,
e t w a s U n i v e r s e l l e s zu s c h a f f e n . D i e s i s t e i n N a c h t e i l gegentiber Systemen, d i e n u r k l e i n e T e i l ed e r Mathematik anzupacken v e r s u c h e n , w i e e t w a Aussagen- l o g i k , P r a d i k a t e n l o g i k usw. D i e U n i v e r s a l i t a t s f o r d e r u n g h a t t e z u f o l g e , daB b e z u g l i c h d e s a u t o m a t i s c h e n Beweisens von S a t z e n k e i n e Anspriiche g e s t e l l t werden k o n n t e n .
D i e s e Thematik i s t s o s c h w i e r i g , d a 8 e i n E r f o l g n u r i n S i t u a t i o n e n m 8 g l i c h i s t , wo Probleme und Methoden einem ganz b e s c h r a n k t e n G e b i e t angehoren und wo S p r a c h e und
--
s y n t a k t i s c h e A n a l y s e genau a u f d i e zu e r w a r t e n d e S i t u - a t i o n z u g e s c h n i t t e n s i n d .
AUTOMATH i s t e i n e S p r a c h e , i n d e r w i r Bucher s c h r e i b e n konnen, d i e a u s F o l g e n von Z e i l e n b e s t e h e n . Q i e s y n t a k t i - s c h e R i c h t i g k e i t e i n e r Z e i l e h a n g t von den vorangehenden Z e i l e n ab. Vorderhand i n t e r e s s i e r e n w i r uns h a u p t s a c h - l i c h f u r B u c h e r , d i e d e r u b l i c h e n m a t h e m a t i s c h e n Dar- s t e l l u n g f a s t Zeile f u r Z e i l e f o l g e n und k e i n e Gedanken a u s d r u c k e n
,
d i e dem m e n s c h l i c h e n M a t h e m a t i k e r n i c h t k a e n .W i r mussen uns k l a r s e i n , daR k e i n e S p r a c h e d i e gesamte m a t h e m a t i s c h e A k t i v i t a t umfassen kann. S p r a c h e und
B e z e i c h n u n g s w e i s e rndgen d a s G e s t a l t w e r d e n von I d e e n be-
e i n f l u s s e n , doch z u v e r l a n g e n , daB I d e e n n u r i n e i n e r s t r e n g e n S p r a c h e G e s t a l t annehmen d u r f e n , h i e S e d i e
Mathematik t o t e n . I n s b e s o n d e r e konnen g e o m e t r i s c h e und p h y s i k a l i s c h e I n t u i t i o n i n einem s t a r r g e f i i g t e n f o r m a l e n
Gefuge kaum P l a t z f i n d e n . Auf d e r r e i n s p r a c h l i c h e n S e i t e e r s c h e i n t es s c h w i e r i g , e r k l a r e n d e , n a t u r l i c h e S p r a c h e d u r c h e t w a s F o r m a l e r e s z u e r s e t z e n . P s y c h o l o - -- . ---- -- - --- - - . - - . - - g i s c h b e s t e h t m a t h e m a t i s c h e s V e r s t e h e n m e i s t - i n mehr ( d o c h manchmal i n w e n i g e r ) a l s dem N a c h p r u f e n d e r R i c h t i g k e i t : E s kann i n s e e l i s c h e r B e r u h i g t h e i t b e s t e h e n ,
are
e i n i - h a t h e m a t i s c h e ~ i 5 a t T o n m i t b e r e i t s v e r t r a u t e n S i t u a t i o n e n i m E i n k l a n g s i e h t . E i n T e i l d i e s e r A r t d e s Denkens v o l l z i e h t s i c h , w i e man g l a u b t , u n t e r b e w u B t . - S e l b s t wenn w i r n i c h t a u f v o l l s t a n d i g e r F o r m a l i s i e r u n g b e s t e h e n s o n d e r n n u r S c h r i t t f u r S c h r i t t v e r l a ~ l i c h Mathematik v e r l a n g e n , t o t e n w i r T e i l e d e r M a t h e m a t i k , z u m i n d e s t i n i h r e n F r u h s t a d i e n . W i c h t i g e T e i l e d e r Mathematik wurden a u f der B a s i s g r u n d l e g e n d e r I r r t u m e r- o d e r z u m i n d e s t s e h r e r n s t e r Lucken e r f o r s c h t . Ohne K e n n t n i s von den K o s t b a r k e i t e n am j e n s e i t i g e n U f e r h a t t e man n i e d i e K r a f t ( o d e r d i e Methode) g e f u n d e n , d e n I r r t u m z u Uberwinden o d e r d i e Lucke zu s c h l i e B e n . I n manchen F a l l e n w a r es f u r d i e Mathematik e i n g r o 5 e s G l u c k , daB man n i c h t u b e r d a s i n t e l l e k t u e l l e R u s t z e u g v e r f u g t e , d i e E x i s t e n z e i n e s I r r t u m s o d e r e i n e r Lucke u b e r h a u p t z u bemerken, b e v o r man m i t d e r j e n s e i t s l i e g e n d e n M a t e r i e r e i c h e E r f a h r u n g e n h a t t e . W i r w o l l e n d i e H e r s t e l l u n g vollkornmen f o r m a l i s i e r t e r Mathematik a l s e i n e A r t F l i e B b a n d z u b e s c h r e i b e n v e r -
s u c h e n . Wenn w i r e i n Buch i n AUTOMATH a l s E n d z i e l an- s e h e n , s o e r g e b e n s i c h f o l g e n d e P h a s e n : ( I ) m a t h e m a t i s c h e I d e e n (11) f o r m a l e D e f i n i t i o n e n und B e w e i s e (111) s e h r p r a z i s e und a u s f u h r l i c h e D a r s t e l l u n g d e r s e l b e n ( I V ) e i n Buch i n e i n e r Z w i s c h e n s p r a c h e ( V ) e i n Buch i n AUTOMATH.
W i r haben ( I V ) e i n g e f u g t , w e i l AUTOMATH
-
e b e n wegen s e i n e r U n i v e r s a l i t a t-
n i c h t l e i c h t zu s c h r e i b e n i s t .D e r u b e r w i e g e n d e T e i l d e s m a t h e m a t i s c h e n S t o f f e s be- t r i f f t n u r e i n e n jeweils k l e i n e n T e i l d e r Mathematik
m i t b e w a h r t e n T r a d i t i o n e n , d i e Dinge k u r z a n z u s c h r e i b e n und a u s z u d r u c k e n . D e s h a l b haben w i r Bucher d e r Type ( I V ) , s o z u s a g e n i n e i n e r p r o b l e m o r i e n t i e r t e n S p r a c h e , e i n g e - s c h l o s s e n .
Welche A r t von P e r s o n a l b r a u c h e n w i r am F l i e B b a n d ? Urn
( I ) h e r z u s t e l l e n , b r a u c h e n w i r den groBen M a t h e m a t i k e r .
( H i e r meinen w i r k e i n e b e s o n d e r e K , l a s s e von Mathemati- k e r n
-
jeder M a t h e m a t i k e r kann dann und wann groB s e i n ) . Um von ( I ) n a c h (11) z u kommen, b r a u c h e n w i r den g u t e n M a t h e m a t i k e r , der d a s G e b i e t und s e i n e T e c h n i k b e h e r r s c h t .D i e Phasen ( I ) und (11) haben s e l b s t v e r s t a n d l i c h m i t
AUTOMATH n i c h t s z u t u n ; s i e s i n d d a s G e b i e t d e r herkomm- l i c h e n m a t h e m a t i s c h e n P r a x i s .
Um d a s h a l b f e r t i g e P r o d u k t von (11) n a c h (111) u b e r z u - f i i h r e n , b r a u c h e n w i r e i n e n a u s g e b i l d e t e n M a t h e m a t i k e r . Auch e r muB den G e g e n s t a n d immerhin k e n n e n , w e n i g s t e n s s o l l t e e r d i e s t e n o g r a p h i s c h e n T r a d i t i o n e n d e s Gegen- s t a n d s b e h e r r s c h e n .
D i e Uberfiihrung von (111) n a c h ( I V )
,
von ( I V ) n a c h ( V ),
s o w i e d i e E n d k o n t r o l l e von ( V ) , kann b i l l i g e n A r b e i t s - k r a f t e n u b e r l a s s e n werden. V i e 1 d a v o n , j e d e n f a l l s d i e K o n t r o l l e von (V) , k a n n ganz b i l l i g e r A r b e i t s k r a f t i n G e s t a l t e i n e s C o p u t e r s u b e r l a s s e n werden. E s g i b t v i e l e D i n g e , d i e e i n e u n i v e r s e l l e S p r a c h e w i e AUTOMATH e r r e i c h e n k o n n t e . E i n i g e davon b i l d e n , f i i r s i c h a l l e i n b e t r a c h t e t , k e i n e a u s r e i c h e n d e M o t i v a t i o n f u r d a s P r o j e k t AUTOflATH, aber i h r e G e s a m t h e i t e r s c h e i n t b e d e u t u n g s v o l l g e n u g , um e i n e A n s t r e n g u n g z u unternehmen. W i r w o l l e n d i e Ziele i n zwei Gruppen e i n t e i l e n : Nach--
p r u f e n und V e r s t e h e n .Das e r s t e , w o r m man b e i m Wort " n a c h p r u f e n " d e n k t , i s t
wohl d a s N a c h p r u f e n l a n g w i e r i g e r B e w e i s e , wobei d i e K e t t e n u r s o s t a r k i s t w i e i h r s c h w a c h s t e s G l i e d , und
d u r c h I n t u i t i o n o d e r p r a k t i s c h e E r f a h r u n g g e s t u t z t w i r d . I n s b e s o n d e r e w i r d man d i e s e S i t u a t i o n b e i k o m p l i - z i e r t e n k o m b i n a t o r i s c h e n Problemen zu e r w a r t e n h a b e n , wo z a h l r e i c h e F a l l e und ~ n t e r - ~ b l l e g e p r u f t werden mussen. U n t e r d i e s e m S t i c h w o r t f i n d e n w i r a u c h Probleme a u s d e r S e m a n t i k d e r Coputerprogramrne. D i e Anzahl d e r n o t i g e n e l e m e n t a r e n S c h r i t t e und d e r b i i r o k r a t i s c h e A r b e i t s a u f w a n d konnen s o groB s e i n , daB m e n s c h l i c h e Methoden s e h r u n z u v e r l a s s i g werden. G e r a d e h i e r mussen w i r a u c h a n d i e Probleme d e s Teamworks und d e r Zusammen-
a r b e i t z w i s c h e n Mensch und Maschine d e n k e n . B e i d e er- f o r d e r n e i n f e s t g e f u g t e s Kommunikationssystem. E s e r - s c h e i n t d e r Miihe w e r t , a u f d i e s e m G e b i e t z u a r b e i t e n , d a u n g e h e u r e Summen f u r C o m p u t e r s o f t w a r e a u s g e g e b e n werden und es d u r c h a u s von I n t e r e s s e i s t , z u w i s s e n , w a s v e r l a r j l i c h i s t und w a s n i c h t . Werfen w i r j e t z t e i n e n B l i c k a u f d i e Ziele, d i e u n t e r d a s S c h l a g w o r t " V e r s t e h e n " f a l l e n . Z u n a c h s t 1 a B t s i c h s a g e n , daB d i e b l o B e T a t s a c h e , e i n e f e s t e , w o h l d e f i n i e r - t e S p r a c h e f u r d i e Mathematik z u b e s i t z e n , f u r s i c h a l l e i n s c h o n e i n V o r t e i l i s t . S i e e r l a u b t u n s , d i e m a t h e m a t i s c h e D i s k u s s i o n e i n z u t e i l e n i n ( I ) d a s Formu- l i e r e n i n d e r S p r a c h e , (11) D i s k u s s i o n Uber d i e A r t und
Weise d e s F o r m u l i e r e n s , (111) Verknupfung von i n d e r S p r a c h e F o r m u l i e r t e m m i t Dingen e i n e r a n d e r e n W e l t , w i e
e t w a u b l i c h e r M a t h e m a t i k , p h y s i k a l i s c h e r W i r k l i c h k e i t usw. W i r k o n n t e n (11) a l s " M e t a s p r a c h e " und (111) a l s
" I n t e r p r e t a t i o n " b e z e i c h n e n .
D i e m e i s t e n M a t h e m a t i k e r haben von den G r u n d l a q e n i h r e r e i g e n e n Mathematik k e i n e k l a r e V o r s t e l l u n g . D i e s mag zum T e i l e i n F e h l e r der L o g i k e r s e i n , d i e v o r l a u t e r i n t e r e s s a n t e n t e c h n i s c h e n F r a g e n i n i h r e m e i g e n e n G e b i e t i h r e u r s p r i i n g l i c h e M i s s i o n , e i n Fundament f u r a n d e r e z u e r r i c h t e n , v e r n a c h l a s s i g t h a b e n . V i e l e M a t h e m a t i k e r h a b e n e i n e vage V o r s t e l l u n g , daB d i e P r a d i k a t e n l o g i k zu- sammen m i t der Mengenlehre e i n e v o l l s t a n d i g e B a s i s f u r
i h r e e i g e n e A k t i v i t a t b i l d e t , a b e r wenn s i e s i c h d i e s e . G e b i e t e a n s e h e n , s t e l l e n s i e z u i h r e r U b e r r a s c h u n g f e s t ,
daB L o g i k und Mengenlehre e b e n f a l l s i n m a t h e m a t i s c h e r A k t i v i t a t b e s t e h e n ! S t a t t e i n e r G r u n d l a g e f u r d i e mathe- m a t i s c h e S c h a b l o n e Axiome-Definitionen-SchluBregeln- B e w e i s e - L e h r s a t z e f i n d e n s i e a l l e n t h a l b e n d i e s e l b e Scha- b l o n e w i e d e r . Was f e h l t , i s t e i n e g u t e S p r a c h e . I n d e r T a t , i n AUTOMATH w i r d a l l d a s ganz k l a r . D i e S p r a c h e e n t h a l t kaum e t w a s , d a s Logik g e n a n n t werden k o n n t e , und s o b a l d w i r d i e S p r a c h e haben und d i e Dinge ( s y n t a k - t i s c h ) r i c h t i g s a g e n , g e h o r t d i e F r a g e , was Axiome, S c h l u B r e g e l n , D e f i n i t i o n e n , Annahmen, L e h r s a t z e usw. s i n d , n u r mehr d e r M e t a s p r a c h e und d e r I n t e r p r e t a t i o n a n . E s i s t ohne j e d e n E i n f l u B a u f d i e R e s u l t a t e e i n e s Buches i n AUTOMATH
,
o b w i r e t w a s e i n e D e f i n i t i o n , e i n e n Lehr- s a t z o d e r s o n s t w i e n e n n e n ; es i s t e i n f a c h , s o w i e es s t e h t,
r i c h t i g . E i n a n d e r e s Z i e l i n R i c h t u n g " V e r s t e h e n " i s t d i e K o m p l e x i t a t s a n a l y s e . Manche Dinge s i n d s c h w i e r i g e r a l s a n d e r e , und e i n e v o l l s t a n d i g e f o r m a l e D a r s t e l l u n g v e r - mag d i e s zu d u r c h l e u c h t e n . E s i s t m o g l i c h , T e i l e d e r Mathematik nach i h r e r " T i e f e " z u k l a s s i f i z i e r e n . D i e Mathematik d e s X I X . J a h r h u n d e r t s war gewiB t i e f e r a l s d i e d e s X V I I I . Etwas s t i l i s i e r t kann man s a g e n , daB man i m X V I I I . J a h r h u n d e r t u b e r F u n k t i o n e n s p r e c h e n k o n n t e , d i e man e x p l i z i t k o n s t r u i e r t h a t t e , a b e r n i c h t s a g e n k o n n t e , " f s e i e i n e F u n k t i o n " , d a d a s W o r t " F u n k t i o n n m e t a s p r a c h l i c h w a r . Ebenso s t i l i s i e r t k o n n t e man s a g e n , daB s i c h d i e Mathematik des X V I I I . J a h r h u n d e r t s i n PAL, d e r j e n i g e n T e i l s p r a c h e von AUTOMATH, d i e w i r d u r c h Weg- l a s s e n des A-Kalkuls e r h a l t e n , a u s d r i i c k e n 1 a B t .I n d i e s e n Zusammenhang paBt auch d i e Bemerkung, daB AUTOMATH d i e h i s t o r i s c h e R e i h e n f o l g e umkehrt. Schon i n
PAL werden e t w a " B e w e i s e " g e n a u g l e i c h b e h a n d e l t w i e " Z a h l e n "
,
wahrend s e l b s t i n d e r z w e i t e n H a l f t e d e s z w a n z i g s t e n J a h r h u n d e r t s d i e Mehrzahl d e r M a t h e m a t i k e r" B e w e i s n a l s e i n e n m e t a s p r a c h l i c h e n B e g r i f f und e i n e " Z a h l " a l s e i n " O b j e k t " e m p f i n d e n . Die V o r s t e l l u n g e n , was e i n O b j e k t i s t und was n i c h t , s i n d m e i s t v a g e . D e r
U n t e r s c h i e d z w i s c h e n O b j e k t e n und N i c h t - O b j e k t e n l a u f t a n s c h e i n e n d p a r a l l e l m i t der U n t e r s c h e i d u n g z w i s c h e n S p r a c h e und M e t a s p r a c h e ; man e m p f i n d e t e i n O b j e k t a l s
- - -
etWaS;- das inan m i t - e i n e k symbol b e ; e i c h G n kann
.
V i e l e L e u t e g l a u b e n , daB man b e s s e r u b e r Mengen a l s u b e rP r a d i k a t e s p r i c h t . A n s t a t t z u s a g e n , daB x d a s P r a d i k a t P e r f u l l t , formen s i e l i e b e r d i e Menge a l l e r D i n g e , d i e d i e s e s P r a d i k a t e r f u l l e n , und s a g e n d a n n , daB x z u
dieser Menge g e h o r t . M e i s t l i e g t d e r Grund d a f u r i n d e r Angst v o r P r a d i k a t e n , d i e n i c h t f u r O b j e k t e g e h a l t e n werden.
Um a u f d a s " V e r s t e h e n " zuriickzukommen: I m E n g l i s c h e n s a g t man h a u f i g , Mathematik werde d u r c h T e r r o r m e t h o d e n
( i n t i m i t a t i o n ) u n t e r r i c h t e t und d u r c h s k l a v i s c h e Nach- ahmung ( i m i t a t i o n ) e r l e r n t
-
f r e i e r u b e r s e t z t : Mathe- m a t i k u n t e r r i c h t i s t E i n s c h u c h t e r n und E i n t r i c h t e r n . D e r e i n z i g e Weg, h e r a u s z u f i n d e n , w i e v i e l W a h r h e i t d a r i n e n t h a l t e n i s t , b e s t e h t d a r i n , a l l e s i n e i n e r s e h r s t r e n - gen S p r a c h e z u k o d i f i z i e r e n .U n t e r dem S t i c h w o r t " V e r s t e h e n " kann man s c h l i e S l i c h den E i n f l u S e i n r e i h e n , d e n j e d e n e u e B e z e i c h n u n g s w e i s e , s o f e r n s i e e i n g e w i s s e s MaB an A u s d r u c k s k r a f t b e s i t z t , a u f d i e E n t w i c k l u n g der Mathematik a u s u b t , mag e r nun b e a b s i c h t i g t s e i n o d e r a u c h n i c h t .
Abgesehen vom " N a c h p r u f e n " und " V e r s t e h e n " h a t d i e T a t - s a c h e , daB Maschinen d i e M a t h e m a t i k , d i e w i r p r o d u z i e r e n , v e r a r b e i t e n k o n n e n , weitere V o r t e i l e . B e i s p i e l s w e i s e
konnen w i r uns v o r s t e l l e n , daB w i r e i n e r Maschine e i n Buch u b e r a n a l y t i s c h e Z a h l e n t h e o r i e g e b e n m i t dem Auf- t r a g "Mich i n t e r e s s i e r t n u r d e r P r i m z a h l s a t z . Drucke a l l e s , was f u r d i e s e n S a t z b e n o t i g t w i r d , und l a s s e
a l l e s a n d e r e weg.
"
(Manche L e u t e b e h a u p t e n , Edmund ~ k d a ; - s e i e i n e s o l c h e Maschine gewesen; e r s c h r i e bs e i n e B u c h e r s o . ) Oder w i r konnen v e r l a n g e n : " D r u c k e S a t z 3 2 5 und a l l e D e f i n i t i o n e n , d i e b e n o t i g t w e r d e n , um d a s , was e r a u s s a g t , l e s e n zu k o r n e n , von Adam und Eva a n . " I n d i e s e n . F a l l e werden auch d i e B e w e i s e weg- g e l a s s e n .
Um a n z u d e u t e n , w i e m a t h e m a t i s c h e ~ b e r l e g u n g e n i n e i n e m
-
Buch i n AUTOMATH a c s g e d r t i c k t w e r d e n , mussen w i r a u f d i e S p r a c h e k u r z e i n g e h e n . Z u n a c h s t w o l l e n w i r f e s t h a l t e n , d a 0 d i e B u c h e r i n i n e i n a n d e r g e s c h a c h t e l t e " B l o c k e " von Z e i l e n e i n g e t e i l t s i n d . D i e e r s t e Zeile e i n e s B l o c k s h a t e i n e b e s o n d e r e Form. I h r e I n t e r p r e t a t i o n i s t d i e , daB w i r e n t w e d e r e i n e V a r i a b l e , d i e i n n e r h a l b d e s
locks b e n u t z t werden k a n n , o d e r e i n e i m g e s a m t e n Block g u l t i g e Annahme e i n f i i h r e n .
A l l e Z e i l e n haben f o l g e n d e Form:
"Im K o n t e x t A i s t d e r N a m e B d e f i n i e r t a l s C und vom Typ D." H i e r i s t B e i n n e u e r , i n f r u h e r e n Z e i l e n n i c h t vorkommender, B e z e i c h n e r . C und D s i n d A u s d r u c k e , d i e a u s a l t e n B e z e i c h n e r n m i t h i l f e e i n i g e r K o n n e k t i v s w i e Klammern, P a r e n t h e s e n , B e i s t r i c h e usw. a u f g e b a u t s i n d . Manche Z e i l e n ( d i e B l o c k e r o f f n e r ) haben n u r e i n e n S t r i c h (-1 a n s t e l l e von C ( I n t e r p r e t a t i o n : e i n e V a r i -
a b l e w i r d e i n g e f u h r t , indem man s i e b e n e n n t und i h r e n Typ a n g i b t ) . I n j e d e r Zeile i s t A e i n e K e t t e von be- r e i t s e i n g e f u h r t e n b l o c k e r o f f n e n d e n B e z e i c h n e r n . D i e A - T e i l e der Z e i l e n d i e n e n d a z u , d i e B l o c k s t r u k t u r des
Buches a n z u g e b e n , indem s i e f i i r j e d e Zeile a n g e b e n , z u w e l c h e n B l o c k e n s i e g e h o r t .
Manchmal i s t C n i c h t e i n Ausdruck s o n d e r n d a s b e s o n d e r e Symbol "PN". D i e Z e i l e n m i t C - T e i l PN d i e n e n d a z u ,
p r i m i t i v e B e g r i f f e ( e n g l i s c h : p r i m i t i v e n o t i o n s ) e i n z u - f u h r e n , w e l c h e n i c h t d e f i n i e r t w e r d e n . S i e e r h a l t e n n u r Namen und Typ, k e i n e D e f i n i t i o n , doch s i e konnen von d a
an b e n u t z t werden. E i n e PN-Zeile i s t k e i n B l o c k e r o f f n e r ; s i e s t e h t e i n f a c h i r g e n d w o i n n e r h a l b e i n e s B l o c k e s .
e i n e r Z e i l e k e i n Ausdruck i s t , s o n d e r n n u r d a s Symbol " t y p e " . S o l c h e Z e i l e n f u h r e n e i n e n neuen Typ e i n , e n t - weder d u r c h D e f i n i t i o n o d e r a l s p r i m i t i v o d e r a l s V a r i -
a b l e .
D i e s umreiBt ganz g r o b den Aufbau d e r S p r a c h e PAL, d i e , w i r f r u h e r erwahnt haben. D i e Sprachen d e r AUTOMATH-
F a m i l i e e r g e b e n s i c h a u s PAL, wenn wir e r n e b e s t i i u n t e
A r t von A-Kalkul m i t Typen h i n z u f u g e n . W i r gehen d a r a u f n i c h t e i n .
E i n i g e Worte u b e r d i e I n t e r p r e t a t i o n . Zungchst i s t d i e K o n t e x t a n z e i g e ( d e r A - T e i l ) e t w a s , was u b l i c h e r w e i s e i n d e r Mathematik n i c h t e x p l i z i t angegeben w i r d . T e i l e davon konnen etwa a u s d e r U n t e r t e i l u n g i n K a p i t e l und A b s c h n i t t e e r s c h l o s s e n werden, a n d e r e T e i l e l a s s e n s i c h d u r c h s o r g f a l t i g e s Lesen d e s vorangehenden T e x t e s a u f - s p u r e n . Der B-Teil h a t d i e t i b l i c h e I n t e r p r e t a t i o n a l s Name f u r e i n neues O b j e k t , d a s w i r b i l d e n o d e r p o s t u - ---- - - -- l i e r e n . Die I n t e r p r e t a t i o n d e r C-und D- T e i l e w i r d a d a q u a t b e s c h r i e b e n , indem man s a g t , d a B B d u r c h C
d e f i n i e r t w i r d und vom Typ D i s t . w i r w o l l e n d a s Symbol
E
f u r d i e s e Typzuweisung e i n f u h r e n :CED.
I n d e r n a t u r - l i c h e n S p r a c h e s a g e n w i r e t w a : " 3 i s t e i n e Z a h l " , doch d a d a s Wcrtchen " i s t " f u r v i e l e r l e i verwendet w i r d , z i e h e n w i r " 3 E Zahl" v o r .E i n i g e d e r Typen, d i e w i r verwenden werden, haben m e n g e n a r t i g e I n t e r p r e t a t i o n e n . A n s t e l l e von " 3 E Zahl" k o n n t e man an ~ E S denken, wobei S d i e Menge a l l e r Zahlen i s t , a b e r w i r mussen uns h i i t e n , und E z u
v e r w e c h s e l n . I n AUTOMATH i s t d e r Typ e i n e s Dinges C
( d . h . d a s D m i t C E D I e i n d e u t i g bestimmt und kann m i t t e l s e i n e s Algorithmus b e r e c h n e t werden. Bei 3 ~ S i s t d i e s n i c h t s o , d a S j e d e 3 e n t h a l t e n d e Menge s e i n kann. Neben den Typen m i t m e n g e n a r t i g e r I n t e r p r e t a t i o n g i b t e s mehrere a n d e r e . Die w i c h t i g s t e n s i n d d i e a u s s a g e n - a r t i g e n Typen. D i e s e r I n t e r p r e t a t i o n nach e n t s p r i c h t d e r D-Teil e i n e r Aussage und d e r C-Teil i h r e m Beweis.
W i r konnen g e w i s s e O p e r a t i o n e n a n Beweisen vornehmen:
. wenn s i e von V a r i a b l e n a b h a n g e n , konnen w i r Ausdrucke
f u r d i e s e V a r i a b l e n i n genau d e r g l e i c h e n Weise w i e i m
F a l l e von Obj e k t e n , d i e von V a r i a b l e n a b h a n g e n , s u b s t i - t u i e r e n . D i e s h a t d i e Wirkung, daB e i n ( d u r c h S u b s t i t u - t i o n ) m o d i f i z i e r t e r B e w e i s a l s B e w e i s f u r d i e e n t s p r e -
chend n o d i f i z i e r t e Aussage angenoinmen
w i r a .
Man b e a c f i e,
daB d e r B - T e i l d e r Zeile e i n Name f u r d e n B e w e i s C ,n i c h t f u r d i e Aussage D i s t . D i e g a n z e Zeile kann e i n L e h r s a t z g e n a n n t w e r d e n ; s p a t e r e Anwendungen d i e s e s L e h r s a t z e s e r f o l g e n d u r c h V e r w e i s e a u f B . Man b e a c h t e , daB d i e M e h r z a h l der L e h r s a t z e n u r S p r o s s e n e i n e r L e i t e r z u e i n e r w i c h t i g e n L e h r s a t z z e i l e s e i n w e r d e n , d e r e i n M a t h e m a t i k e r d i e s e n Namen z u b i l l i g e n w u r d e ; e r wurde d i e a n d e r e n Z e i l e n n i c h t e i n m a l a l s H i l f s s a t z e b e z e i c h n e n . E s g i b t a u c h B l o c k e r o f f n e r m i t a u s s a g e n a r t i g e r I n t e r - p r e t a t i o n . Diese s a g e n g l e i c h s a m : "x s e i e i n B e w e i s f u r d i e Aussage D.
"
Das h e i B t , d i e s e Z e i l e n f u h r e n i m - - - -gesamten Block g u l t i g e Annahmen e i n . U n d es konnen Z e i l e n a u f t r a t e n , wo d e r C - T e i l P N i s t . D i e s e d i e n e n d a z u , d i e W a h r h e i t d e r Aussage D a l s Axiom e i n z u f u h r e n . W i r h a b e n a l s o f u r d r e i Typen von a u s s a g e n a r t i g e n
Z e i l e n v o r g e s o r g t : L e h r s a t z e , Annahmen und Axiome. W i r k o n n e n , wenn w i r w o l l e n , n e u e Typen s c h a f f e n , und w i r konnen auch I n t e r p r e t a t i o n e n a u s w a h l e n . Wenn w i r
-- - zum B e i s p i e l e i n e m a t h e m a t i s c h e T h e o r i e d e r e b e n e n g e o m e t r i s c h e n K o n s t r u k t i o n e n m i t L i n e a l und Z i r k e l s c h a f f e n w o l l e n , b r a u c h e n w i r uns n i c h t d e r Miihe z u u n t e r z i e h e n , d i e K o n s t r u k t i o n e n a l s Mengen z u v e r s c h l u s - s e l n (gemaB d e r d o g m a t i s c h e n V o r s t e l l u n g , daB a l l e s e i n e Menge i s t ; i n [3] f i n d e t man K r i t i k d a z u )
,
s o n d e r n w i r konnen d i r e k t e i n e n Typ " K o n s t r u k t i o n " e i n f u h r e n . W i r erwahnen e i n e n w e i t e r e n F a l l . F u r jede Menge Rf u h r e n w i r e i n e n Typ " p r o g r a m ( $ 2 ) " e i n . Die I n t e r - p r e t a t i o n von C
E
program ( Q ) i s t d i e , daB C e i n a u fdem Zustandsraum Q o p e r i e r e n d e s Programm i s t . M i t t e l s PN-Zeilen f u h r e n w i r p r i m i t i v e Programme und p r i m i t i v e Methoden z u r K o n s t r u k t i o n g r d a e r e r Programme a u s k l e i n e -
r e n Komponenten e i n . M i t a n d e r e n Worten, w i r b e s c h r e i b e n d i e S y n t a x e i n e r Programmiersprache i n demselben Bucb,
i n dem w i r d i e Logik und Mathematik b e h a n d e l n (es g i b t k e i n e n w e s e n t l i c h e n U n t e r s c h i e d z w i s c h e n den- be-i8en l e t z - t e r e n ) . W i r konnen dann i n demselben Buch Axiome iiber d i e Semantik d e r P r i m i t i v a d e r P r o g r m i e r s p r a c h e e n t w i c k e h . Und w i r konnen noch i m g l e i c h e n Buch l o g i s c h e L e h r s a t z e
( a b g e l e i t e t e S c h l u B r e g e l n )
,
m a t h e m a t i s c h e L e h r s a t z e , seman- t i s c h e L e h r s a t z e , s p e z i e l l e Programme und s e m a n t i s c h e E r -g e b n i s s e u b e r d i e s e Programme h e r l e i t e n . Die v e r s c h i e d e n e n T e i l e konnen u n t e r e i n a n d e r v e r f l o c h t e n s e i n . Zum B e i s p i e l konnen e i n e m a t h e m a t i s c h e Behandlung d e s g r o a t e n gemeinsa- men T e i l e r s ( 9 . g . T . ) i n z a h l e n t h e o r e t i s c h e m Rahmen, e i n e B e s c h r e i b u n g e i n e s Computerprogrammes z u r Auffindung d e s g. g.T. und e i n B e w e i s , daB d i e Ausfuhrung d e s Computerpro- gramms a b b r i c h t und den Wert d e r z a h l e n t h e o r e t i s c h e n Funk- t i o n g. g.T. l i e f e r t , zusammenkommen. ( B e z u g l i c h e x p l i z i t e r und a u s f u h r l i c h e r V o r s c h l a g e z u r s e m a n t i s c h e n Behandlung ALGOL-artiger Sprachen v g 1 . [ 4 ] ) . E s wiirde u b e r h a u p t n i c h t s
s c h a d e n , w o l l t e man S y n t a x und Semantik z w e i e r v e r s c h i e d e - n e r Programme i n einem Buch n i e d e r s c h r e i b e n und i n dem s e l b e n Buch b e w e i s e n , daB d a s Programm P I i n d e r S p r a c h e
Q, d i e s e l b e n s e m a n t i s c h e n Auswirkungen h a t wie d a s Pro- gramrn P2 i n d e r Sprache Q2. Beweise d i e s e r A r t konnen l a n g und ermudend und dennoch b e d e u t u n g s v o l l s e i n
-
unds i e s i n d b i s w e i l e n t y p i s c h e F a l l e , wo a u t o m a t i s c h e V e r i - f i k a t i o n a n g e b r a c h t i s t .
Wenn e i n Buch d i e s e r A r t m i t d e r AuBenwelt i n Beziehung g e s e t z t werden s o l l , e r g i b t s i c h AnlaS zu v i e 1 I n t e r - p r e t a t i o n . S o l a n g e w i r u b e r k e i n e n z u s a t z l i c h e n Forma- l i s m u s z u r Behandlung d e r I n t e r p r e t a t i o n v e r f u g e n ,
s i e l o g i s c h e r , m a t h e m a t i s c h e r , s y n t a k t i s c h e r o d e r se-
. m a n t i s c h e r N a t u r ) a u s d r u c k e n , was s i e i n d e r AuBenwelt b e d e u t e n s o l l e n . U n d w i r miissen uns "iiberzeugen", daB d i e I n t e r p r e t a t i o n e n d e r P r i m i t i v a I n t e r p r e t a t i o n e n w e i t e r e n M a t e r i a l s i n d u z i e r e n und daS I n t e r p r e t a t i o n e n der E n d r e s u l t a t e ohne R u c k s i c h t auf d i e T e i l e d e s Buchs, d i e zwischen den P r i m i t i v a und den E n d r e s u l t a t e n l i e g e n , gewinnbar s i n d . Und w i r g l a u b e n , daB d i e E n d i n t e r p r e t a - t i o n e n m a t h e m a t i s c h r i c h t i g s i n d .
D i e s e S i t u a t i o n i s t b e i d e r I n t e r p r e t a t i o n von Computer- s p r a c h e n komplexer a l s b e i herkommlicher Mathematik, a b e r n i c h t w e s e n t l i c h davon v e r s c h i e d e n . I n t e r p r e t a t i o n muB i m m e r a u f v e r h a l t n i s m a B i g i n t u i t i v e r Grundlage
r u h e n , s o l a n g e d i e "AuBenwelt" n i c h t v o l l s t a n d i g forma- l i s i e r t i s t .
W i r beenden d i e s e Ausfuhrungen m i t e i n e r k u r z e n Be- s c h r e i b u n g d e r P r o j e k t g r u p p e AUTOMATH a m I n s t i t u t f u r Mathematik d e r t e c h n i s c h e n U n i v e r s i t a t Eindhoven i n H o l l a n d . D i e Gruppe b e f i n d e t s i c h s e i t 1 9 6 7 i n langsamem Aufbau; Anfang 1 9 7 4 b e s t a n d s i e a u s v i e r v o l l b e s c h a f t i g t e n Mathematikern ( L o g i k e r und Computer- w i s s e n s c h a f t l e r r n i t v e r s t a n d e n )
,
d r e i t e i l b e s c h a f t i g t e n Mathematikern ( d a r u n t e r d e r Autor d i e s e r A r b e i t , d e r d a s P r o j e k t l e i t e t ),
einem Programmierer und e i n e r t e i l b e s c h a f t i g t e n K a r t e n l o c h e r i n.
H i e r i s t e i n k u r z e r K a t a l o g d e r b i s h e r i g e n A k t i v i t a t e n .( I ) S p r a c h u b e r p r u f e r wurden h e r g e s t e l l t und s t e h e n nun i m Rahmen e i n e s Z e i t z u t e i l u n g s s y s t e m s ( t i m e s h a r i n g ) i m D i a l o g b e t r i e b z u r Verfugung. D e r T e x t
kann Z e i l e f u r Z e i l e i n d i e Maschine e i n g e g e b e n werden, d i e i n n e r h a l b h o c h s t e n s e i n i g e r Sekunden a n t w o r t e t . Wenn d e r ~ b e r p r i i f e r e i n e Z e i l e z u r u c k w e i s t , g i b t e r e i n e v o l l s t a n d i g e F e h l e r b e s c h r e i b u n g , d i e i m a l l g e r n e i - nen d i e d a m i t b e t r a u t e P e r s o n z u r V e r b e s s e r u n g d e s T e x t e s b e f a h i g t ( r n o g l i c h e r w e i s e nach t e l e f o n i s c h e r Ruckfrage b e i dem M a t h e m a t i k e r , d e r den Text e r s t e l l t
h a t ) . B i s September 1 9 7 3 war d i e Rechenmaschine e i n e E l e c t r o l o g i c a X 8 , s e i t h e r e i n e Burroughs 6 7 0 0 . I n b e i d e n F a l l e n e r f o r d e r n d i e z u r Verfiigung s t e h e n d e n
Multiprogramming-Systeme d i e Verwendung d e r Programmier-
s p r a c h e ALGOL 60.
(11) D i e t h e o r e t i s c h e A r b e i t u b e r Sprachen d e r AUTOMATH-
F - i l i e KofiZen€rier7= -sTch- a u f - P r o b l e m e , &Ye m i t
[ s t a r k e r ] N o r m a l i s i e r u n g und dem Church-Rosser-Theorem zusammenhangen. F a s t a l l e Z i e l e s i n d e r r e i c h t . Einen d e t a i l l i e r t e n B e r i c h t iiber e i n e d e r S p r a c h e n , nzmlich AUT-SL, f i n d e t man i n 181. E s g i b t g e w i s s e Uberschnei- dungen m i t A r b e i t e n a n d e r e r ( [ 5 1
,
[ 6 1,
[ 71
),
d i e unabhangig darnit begonnen h a b e n , Logik i n d e r S p r e c h w e i s e d e s A-Kal- k u l s m i t Typen z u i n t e r p r e t i e r e n , und zwar u n g e f a h r z u d e rZ e i t , a l s m i t dem P r o j e k t AUTOMATH begonnen wurde.
(111) Gleichsam a l s T e s t f a l l wurde d i e Aufgabe i n A n g r i f f genommen, e i n e n b e s o n d e r s m i n u z i o s e n mathematischen T e x t i n d i e S p r a c h e AUTOMATH zu u b e r s e t z e n . Die Wahl
f i e 1 auf d i e "Grundlagen d e r A n a l y s i s n von Landau. Die U b e r s e t z u n g , d i e L.S. van Benthem J u t t i n g vornimmt, i s t
etwa z u r H a l f t e f e r t i g g e s t e l l t . E s wurde n i c h t v e r s u c h t , den T e x t zum Zwecke d e r l e i c h t e r e n U b e r s e t z u n g i n d i e S p r a c h e AUTOMATH u m z u s t e l l e n , s o n d e r n e s wurde dem Landauschen T e x t e s o genau a l s m8glich g e f o l g t ( s o d a S s i c h a l l e N a c h t e i l e und k e i n e V o r t e i l e e r g e b e n ) , W i r
h o f f e n , daB d i e gewonnene E r f a h r u n g b e i d e r E n t s c h e i d u n g u b e r d i e f i i r den a l l g e m e i n e r e n Gebrauch g i i n s t i g s t e
Zwischensprache s e h r n i i t z l i c h s e i n w i r d . Mehrere Moglich- k e i t e n werden d e r z e i t u n t e r s u c h t .
Das P r o j e k t AUTOMATH h a n g t s e h r w e s e n t l i c h von d e r f i n a n z i e l l e n U n t e r s t u t z u n g d u r c h d i e N i e d e r l a n d i s c h e O r g a n i s a t i o n z u r F o r d e r u n g d e r r e i n e n Forschung ( Z . W . O . ) ab
.
L i t e r a t u r
d e B r u i j n
,
N . G. "The m a t h e m a t i c a l l a n g u a g e AUTO- MATH, i t s u s a g e , and some o f i t s e x t e n s i o n s " (Die mathematische S p r a c h e AUTOMATH, i h r Gebrauch und e i n i g e i h r e r E r w e i t e r u n g e n ),
Symposium on Auto- m a t i c Demonstration ( V e r s a i l l e s , Dezember 1 9 6 8 ) , L e c t u r e Notes i n M a t h e m a t i c s , Band 1 2 5 , S e i t e 29-61,
S p r i n g e r - V e r l a g ( 1 9 7 Q ) .d e B r u i j n , N . G . , "AUTOMATH, a l a n g u a g e f o r mathe- matics" (AUTOMATH, e i n e S p r a c h e f i i r d i e Mathe- m a t i k )
,
M i t s c h r i f t ( h e r g e s t e l l t von B. F a w c e t t ) e i n e r V o r l e s u n g s r e i h e i m ~ & n i n a i r e de ~ a t h & - m a t i q u e s ~ u p G r i e u r e s , ~ n i v e r s i t g d e M o n t r e a l , l 9 7 1 . de Bruijn,N.G., " S e t t h e o r y w i t h t y p e r e s t r i c t i o n s " (Mengenlehre m i t Typen-Einschrankungen),
I n t e r - n a t i o n a l Colloquium on I n f i n i t e and F i n i t e S e t s , Kesz t h e l y , Ungarn,
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i n t e r p r g t a t i o n - - - de Godel l l a n a l y s e e t son a p p l i c a t i o n 5 l ' k l i m i - n a t i o n d e s c o u p u r e s d a n s l ' a n a l y s e e t l a t h g o r i e d e s t y p e s " ( E i n e E m e i t e r u n g d e r Godelschen I n t e r - p r e t a t i o n a u f d i e A n a l y s i s und i h r e Anwendung auf d i e E l i m i n a t i o n d e r S c h n i t t e i n A n a l y s i s und Typen- t h e o r i e ) , P r o c . 2nd S c a n d i n a v i a n L o g i c Symposium(Hrsg. : Fenstad)
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1
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Institut fiir Mathematik Technische Universitat Eindhoven, Niederlande
