Vaardigheden 4

(1)

2.09.2021 Blok 4:

Vaardigheden.

1.

a. Ofwel: welke functies zijn symmetrisch in de y-as? 6

( )

h x x , l x( ) cos x en m x( ) 1₂

x

 .

b. Deze functies zijn symmetrisch in punt (0, 0). Voor deze functies geldt: f(  a) f a( ) 2. Symmetrisch in de y-as: ( ) ₂3 1 f x x   en h x( ) cos x Symmetrisch in de oorsprong: n x( ) sin 2 x en

3 2 ( ) 6 x r x x   Geen van beide: _{l x}_{( )}__x3_₃_x2

en _{q x}_{( )}__x4__x 3. a. g a( ) 3 a 1 3a 1 (3a 1) g a( ) a a a               : puntsymmetrisch in (0, 0). b. 2 2 2 12 12 12 ( ) ( ) 20 2( ) 20 2 20 2 a a a k a k a a a a               : puntsymmetrisch in (0, 0). c. m a( ) ( a)3 7 a3 7 (a3 7) m a( ) a a a              : puntsymmetrisch in (0, 0). d. 2 2 2 2 10 ( ) 10 ( ) ( ) 10 ( ) 10 a a p a p a a a           : symmetrisch in de y-as. 4. a. 1 2_ x_0 2x _{ }1

 De noemer wordt nooit 0 en verder mag je alles invullen voor x. b. ( ) 1 2 2 (1 2 ) 2 1 1(1 2 ) 1 2 ( ) 1 2 2 (1 2 ) 2 1 1 2 1 2 a a a a a a a a a a a a f a f a                        

c. Ja, dat bewijs is in b al geleverd.

5. a. 2 2 (1p)  1 2p p b. 3 2 2 3 (5 p) (25 10 p p )(5 p) 125 75  p15p p c. 3 2 2 3 (3a)  (9 6a a )(3a) 27 27  a9a a d. 4 2 2 2 2 2 3 4 (2q) (4 4 q q ) (4 4 q q )(4 4 q q ) 16 32  q24q 8q q e. 3 2 3 2 (p4) (p 8p16)(p4) p 12p 48p64 f. 4 2 2 2 2 2 3 4 (5q) (25 10 q q ) (25 10 q q )(25 10 q q ) 625 500  q150q 20q q 6. a. voer in: 1 2 1 2 8 20 y  x  x minimum: T(8, -12) b. De lijn x8 is de symmetrieas.

(2)

-2.09.2021 c. 1 2 1 2 1 2 2 2 2 (8 ) (8 ) 8(8 ) 20 (64 16 ) 64 8 20 12 f p  p   p    p p   p  p  d. 1 2 1 2 1 2 2 2 2 (8 ) (8 ) 8(8 ) 20 (64 16 ) 64 8 20 12 f p  p   p    p p   p  p 

e. f(8p) f(8 p), dus f is symmetrisch in de lijn x8.

7. a. 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ( 6 ) ( 6 ) 6( 6 ) 10 (36 12 ) 36 6 10 28 f   p   p   p    p p   p  p  2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( 6 ) ( 6 ) 6( 6 ) 10 (36 12 ) 36 6 10 28 f   p   p    p    p p   p  p 

Dus f is symmetrisch in de lijn x 6.

b. 1 4 4 1 4 4 4 4 ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) g a  a  a   a a  g a , dus g is symmetrisch in x0. c. 2 2 2 1 1 1 (1 ) (1 ) 2(1 ) 3 1 2 2 2 3 2 h p p p p p p p               2 2 2 1 1 1 (1 ) (1 ) 2(1 ) 3 1 2 2 2 3 2 h p p p p p p p              

Dus h is symmetrisch in de lijn x1.

d. _k₍₃__p_{) 2}_ 6 (3 p)_₂3p _₂3p_₂3p_en_k₍₃_ _p_{) 2}_ 6 (3 p)_₂3p _₂3p_₂3p Dus k is symmetrisch in de lijn x3.

e. 4 2 4 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) l a a a l a a a         , dus l is symmetrisch in x0. f. 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ( 4 ) ( 4 ) 4( 4 ) 9 (16 8 ) 16 4 9 1 m  p    p    p    p p   p  p  2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( 4 ) ( 4 ) 4( 4 ) 9 (16 8 ) 16 4 9 1 m  p   p    p    p p   p  p  Dus m is symmetrisch in de lijn x 4.

g. 2 2 2 12 12 1 ( 3 ) ( 3 ) 6( 3 ) 10 9 6 18 6 10 1 p a a a a a a a                  2 2 2 12 12 1 ( 3 ) ( 3 ) 6( 3 ) 10 9 6 18 6 10 1 p a a a a a a a                 

Dus p is symmetrisch in de lijn x 3.

h. 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 3 ( 1 ) ( ) p 3 p (( ) ) p 3 p 3 p 3 p q  p                 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 3 ( 1 ) ( ) p 3 p (( ) ) p 3 p 3 p 3 p q _{ } p _   _    _   _  _  _  _{, dus q is symmetrisch in}_x_{ }₁_. 8. a. b. (0) (2) 7 9 2 2 1 (1) f f f  _  _{  } _c. ( 3) (5) 29 27 2 2 1 (1) f f f   _  _{  } 9. a. (4, 5): 1 3 1 3 1 3 1 3 3 3 3 3 (4 ) (4 ) ( ( ) 5) ( 5) 5 5 10 f p  f  p  p   p    p   p   b. (1, 0): g(1p)g(1p) 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 3 ((1 ) 3(1 ) 3(1 ) 1) ((1 ) 3(1 ) 3(1 ) 1) (1 3 3 3(1 2 ) 3 3 1) (1 3 3 3(1 2 ) 3 3 1) ( ) ( ) 0 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p                                        

Uitwerkingen 4 vwo B deel 1, vaardigheden blok 4 2

-x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(3)

2.09.2021 c. (-2, 0): ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 6 ) 2 2 2 2 h p h p p p p p                       6 6 ( p ) (p ) 0 p p        d. (-4, 3): ( 4 ) ( 4 ) 14 3( 4 ) 14 3( 4 ) 4 ( 4 ) 4 ( 4 ) p p k p k p p p                     2 3 2 3 2 3 2 3 6 6 p p p p p p p p p p             e. (2, 2): 5 5 (2 ) (2 ) ((2 2) 2 ) ((2 2) 2 ) m p m  p   p  p   p  p  5 5 5 5 ( p) 2 p) (p 2 p) ( p 2 p) (p 2 p) 4                f. (-1, 0): 2 2 ( 1 ) 2( 1 ) 4 ( 1 ) 2( 1 ) 4 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 1 p p p p n p n p p p                           2 2 2 2 1 2 2 2 4 1 2 2 2 4 3 3 0 p p p p p p p p p p p p                    10. a. 2 2_ x _0 2x _{ }2

 Het domein van f is ¡ . b. c. 1 1 1 1 8 2 2 (8 2 ) 8 2 2 ( ) (1 ) 2 2 2 (2 2 ) 2 2 2 x x x x x x x x g x f x                  d. 1 1 1 1 1 1 8 2 5(2 2 ) 8 2 5 (1 ) 5 2 2 2 2 2 2 x x x x x x f x                    1 1 1 2 1 1 1 1 10 5 2 (8 2 ) 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x g x                            11. a. 4 1 1

x   voor alle waarden van x. De noemer wordt dus nooit 0. Het domein is ¡ . b.

c. Maxima: (-1, 4) en (1, 4) Minimum: (0, 0) d. Voor p0 en p4 zijn er geen snijpunten.

e./f. 2 2 4 4 4 8 8 2 2 1 4 4 4 1 1 1 8 ( ) 8 ( ) ( ) 1 1 ( 1) 1 x x x x x x x _x k x x x           4 4 1 1 0 1 x x      Domein: x0 12.

a. Zie de grafiek op de volgende bladzijde b. De grafiek is symmetrisch in het punt (2, 4)

-x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 -1

(4)

2.09.2021 2 2 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 2 2 2 2 4 4 4 4 8 8 p p f p f p p p p p p p p p p p                      c. 2 2 0 x   2 2 2 2 x x x      d. 2 2 ( 2) 4 4 4 ( ) 4 2 2 x x x h x x x x x          

e. Als je de grafiek van f 2 naar links verschuift, krijg je de grafiek van h.

13.

a. f_p(0) 0 4   6 03 p 02 0 voor alle waarden van p. Alle grafieken gaan door (0, 0). b. f x_p( )x46x3px2 x x2( 26x p ) 0

2

0 6 0

x  x  x p 

De kwadratische vergelijking heeft hoogstens twee oplossingen. Naast x0 heeft fp hoogstens drie nulpunten.

c. _{y x}_ 2_₆_{x p}_ _{mag dan maar één nulpunt hebben.} 2 ( 6) 4 1 36 4 0 4 36 9 D p p p p          

En als p0 heeft de kwadratische vergelijking x0 als oplossing en die hadden we al. d. Voor p0 is de grafiek van f niet symmetrisch.

Voor p9 lijkt de grafiek van f symmetrisch in de lijn 1 2 1 x . 4 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 4 3 3 2 3 2 1 1 1 1 1 16 2 2 8 4 2 4 2 3 4 2 3 2 1 1 1 1 1 1 16 2 2 4 2 4 4 1 2 1 2 16 4 3 1 1 1 2 2 2 (1 ) (1 ) 6(1 ) 9(1 ) 5 13 13 6 6(3 6 4 ) 9(2 3 ) 5 13 13 6 20 40 27 6 20 27 9 4 5 (1 ) (1 ) 6(1 ) 9 f p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p f p p p                                            1 2 2 2 3 4 3 3 2 3 2 1 1 1 1 1 16 2 2 8 4 2 4 2 3 4 2 3 2 1 1 1 1 1 1 16 2 2 4 2 4 4 1 2 1 2 16 (1 ) 5 13 13 6 6(3 6 4 ) 9(2 3 ) 5 13 13 6 20 40 27 6 20 27 9 4 5 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p                               

Dus f is inderdaad symmetrisch in de lijn 1 2

1

x .

-x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 -4 -6 -8