Uitwerkingen MULO-B Meetkunde Algemeen 1943
Opgave 1
Op zich geen moeilijke opgave, maar bedenk wel dat deze opgaven gemaakt werden zonder
rekentuig. In deze uitwerking gebruiken we uit Noordhoff’s logaritmentafel in vier decimalen de sinustafel met de goniometrische verhoudingen sinus, tangens, cotangens en cosinus.
In ABS geldt sin sin 21 9'o
BS BS BAS AB AB 6 0,3608
AB . Een vervelende staartdeling (konden ze vroeger overigens wel maken), die opgelost ook kon worden met behulp van de logaritmetafel.
Stel 6 log log 6
0,3608 0,3608
x x
log(6) log(0,3608) .
Log (6) kunnen we direct uit de logaritmetafel aflezen.
We vinden log(6) 0,7782
Voor log(0,3608) schrijven we bijvoorbeeld log(0,3608) log(360,8 :1000)
log(360,8) log(1000) .
Het gedeelte achter de komma (0,5573; mantisse genaamd) lezen we uit de tabel. De 2 voor de komma komt door het feit, dat log(100) log(360,8) log(1000) , dus 2 log(360,8) 3 , dus log(360,8) 2,...
We vinden dus log(0,3608) log(360,8 :1000) log(360,8) log(1000) 2,5573 3 0, 4427
. Hieruit volgt, dat log(6) log(0,3608) 0, 7782 0, 44271,2209. Uit
6
log log log(6) log(0,3608) 1, 2209 0,3608
x
volgt dat x16,63, dus AB16, 6.
In ABSgeldt tan BAS BS AS o tan 21 09' BS AS 6 0,3869 AS . Om deze vervelende staartdeling te ontlopen kunnen we beter in ABS de volgende berekening maken:
cotan BAS AS AS BS cotan BAS BS
o
6 cotan 21 9 ' 6 2,5848 15,5088
AS .
De laatste berekening is handmatig te doen. Opmerking: Met de GR vinden we 15,50905274.
We hadden ook (zonder rekentuig) AS kunnen uitrekenen met Pythagoras. We vinden
2 2 2 (16,63)2 2 62 2 (16,63)2 62 AB AS BS AS AS 2 (16,63 6) (16,63 6) 22,63 10,63 AS 22,63 10,63 AS .
Bedenk weer, dat het niet mogelijk was om met rekentuig dit uit te rekenen. Wel weer met behulp van de logaritmetafel.
We vinden dan AS 22,63 10, 63 1 2 (22,63 10,63) log(AS) 1 2log(22, 63 10, 63)
1 2log(AS) log(22, 63) log(10, 63)
Met behulp van de logaritmetafel vinden we log(22,63) 1,3547 . Omdat 1
10 22,63 100 geldt 1 log(22,63) 2 . We vinden dus
log(22, 63) 1,.... Het gedeelte achter de komma (de mantisse) vinden we met behulp van de logaritmetafel.
Met behulp van de logaritmetafel vinden we log(10,63) 1,0265 . We vinden dus
1 2
log(AS) log(22, 63) log(10,63)
1
2 1,3547 1,0265 1,1906.
We vinden dus log(AS) 1,1906 . We moeten nu “terugzoeken” in de tabel. In de tabel zien we, dat 1906 oplevert 1551. Omdat
log(10) log( AS) 1,1906 log(100) geldt 10 AS100, dus vinden we
15,51 AS .
Opmerking: met een rekenmachine vinden we
2 22, 63 10, 63 15,50989684
AS AS .
De oppervlakte van de ruit vinden we uit O(ruit) = AS BD 15,51 12 186,12
Merk op, dat de vraag in duizendsten nauwkeurig is. Met een tafel in vier decimalen is dat dus in dit geval een probleem.
Opgave 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 boog boog boog boog boogDAE DAB BAE AB BAE
AED AEB AB CF BAE BF CF 1 1 2 2 1 1 2 2 boog boog boog boog
DAE DAB BAE AB CF
AED AEB AB CF
DAE DEA AED
is gelijkbenig ADDE. Met DA als raaklijn aan de cirkel en met de lijn DC, die de cirkel snijdt in B en D geldt DA2 DC DB . Omdat
2 2
(bewezen)
DA DE DA DE vinden we dus
2
Opgave 3
Omdat BAD DAB180o geldt
o o1
2 BAD DAB 90 AMD90 , dus ligt
het middelpunt van de ingeschreven cirkel op een cirkel met middelpunt het midden van AD, die gaat door A. Het middelpunt noemen we P. Omdat AD (6 cm) bekend is, kunnen we dus deze cirkel tekenen. Bovendien is de straal van de ingeschreven cirkel bekend, dus door de lijn door H evenwijdig aan AD op afstand 2,4 te tekenen vinden we M.
We kunnen nu de ingeschreven cirkel tekenen. Omdat het lijnstuk PF (F is het midden van de andere
opstaande zijde) middenparallel is (dus gelijk aan 1
2117 mm) en omdat de middenparallel
ook door M gaat kunnen we het punt F vinden. Rest nu nog vanuit F de raaklijn te tekenen aan de ingeschreven cirkel. Deze snijdt de lijnen DC en AB, die beide evenwijdig zijn aan de middenparallel PF in de punten C en D.
