De zoektocht naar donkere energie via parametrisatie van de
toestandsvergelijking
Liam Pieters
10383158
9 november 2015
Begeleider: J.P. van der Schaar
2e reviewer: J. de Boer
Instituut: ITFA
Faculteit: FNWI
Aantal woorden: 4153
Bachelorproject Natuur-en Sterrenkunde 15 EC, uitgevoerd tussen 01-04-’15 en 01-07-’15
SamenvattingVerschillende modellen voor donkere energie zijn onderzocht om de versnelde expan-sie van het universum te beschrijven. Om na te gaan welk model het best past, wordt de toestandsvergelijking uitgedrukt in verschillende meetbare kosmologische parameters. Theorie heeft de toestandsvergelijking voor een versneld uitdijend universum beperkt tot −1 < w < −1
3. Uit observaties is door parametrisaties een beperking op de
toestands-vergelijking gelegd van −1.1 < w < −0.9. Dit betekent dat donkere energie ofwel te beschrijven is door een kosmologische constante, ofwel door quintessence. Toekomstige data zal deze scheiding verscherpen, waar huidige data ontoereikend is om deze twee modellen te onderscheiden.
Inhoudsopgave
1 Samenvattingen 3
1.1 The search for dark energy through parametrization of the equation of state 3
1.2 De zoektocht naar donkere energie . . . 3
2 Inleiding 5 3 Metriek 6 3.1 Homogeen en isotroop . . . 6
3.2 Kromming van universum . . . 6
3.3 Kritieke dichtheid . . . 7
3.4 Roodverschuiving . . . 7
3.5 Versneld uitdijend universum . . . 7
4 Theorie 8 4.1 Einstein vergelijking . . . 8
4.2 Friedmann vergelijkingen . . . 9
4.2.1 Tijd . . . 9
4.2.2 Ruimte . . . 10
4.3 Energie Impuls Tensor . . . 11
4.4 Eisen op toestandsvergelijking voor versnelde expansie . . . 12
5 Modellen voor Donkere Energie 13 5.1 Kosmologische constante . . . 13
5.2 Quintessence . . . 13
5.2.1 Tijdsafhankelijkheid quintessence . . . 15
5.3 Conclusie toestandsvergelijking . . . 15
6 Toestandsvergelijking observationeel bepalen 16 6.1 Supernovae . . . 16
6.2 Dichtheid en druk . . . 16
6.3 w als constante . . . 17
6.4 w als functie van schaalfactor . . . 18
7 Conclusie 19
1
Samenvattingen
1.1
The search for dark energy through parametrization of the
equation of state
Astronomers nowadays are still struggling with great unsolved problems in cosmology. One of these problems is to find a model which accurately describes the accelerated expansion of the universe. The cause of this accelerating expansion is known as dark energy. There are some models that describe an accelerated universe. These models all have a specific equation of state that describes the relation between pressure and density in the universe. By solving the Einstein equation for our current universe a relation is found between the acceleration of the universe and the equation of state. Through this equation, called the Friedmann equation, it can be clearly seen that the equation of state should have a value between −1 < w < −13 to describe accelerated expansion. Two models are tested, the cosmological constant and the models of quintessence. The biggest difference is that the cosmological constant obviously is a constant, but quintessence can differ in time. The first model describes a certain amount of energy added to the vacuum, which leads to accelerated expansion of the universe. The addition of the vacuum energy is mathematically equal to the addition of a cosmological constant to the Einstein equation. The cosmological constant has a value of w = −1 for the equation of state. The second model describes the universe to consist of a family of scalar fields with potential V (φ). Any value for the equation of state, so also the values −1 < w < −13, can be described by quintessence by choosing different values for the potential. Different parametrizations on the equation of state into cosmological parameters that are able to be measured all give a value of −1 < w < −0.9, which means that both models lead to an accelerated expansion. New data will give conclusions about the correct dark energy model, but the line between the theories is too fine for the current data.
1.2
De zoektocht naar donkere energie
De kosmologie bevat nog veel onopgeloste vraagstukken over het universum. Een van de grote kosmologische problemen betreft donkere energie. Aan het eind van de 20e eeuw kwamen onderzoekers er namelijk achter dat het universum niet alleen aan het uitdijen is, maar dat het universum zelfs versneld aan het uitdijen is, te zien in het onderstaande figuur. De oorzaak van deze versnelde expansie is donkere energie genoemd. Er zijn modellen die een goede beschrijving geven van een versneld uitdijend universum. Deze modellen hebben allemaal een specifieke toestandsvergelijking, de verhouding tussen de druk en de dichtheid van het universum. Door het oplossen van de Einstein-vergelijking, de vergelijking die de wisselwerking tussen zwaartekracht en ruimte-tijd beschrijft, is een relatie gevonden tussen de versnelling van het universum en de toestandsvergelijking. Uit deze relatie, de Friedmann-vergelijking genoemd, is te concluderen dat slechts een toestandsvergelijking tussen −1 < w < −13 leidt tot een versneld uitdijend universum.
Hieruit zijn twee modellen overgebleven die het best overeenkomen met de theorie en data van donkere energie; het model van een kosmologische constante en het model van quintes-sence. Het grootste verschil tussenbeide is dat de eerstgenoemde uiteraard een constante is, maar het model van quintessence verandert in de tijd. Het eerste model geeft een be-paalde energie aan het vacu¨um, wat leidt tot versnelde expansie. Als dit model in formule vorm wordt getest blijkt dit gelijk aan een toevoeging van een constante aan de Einstein-vergelijking. De bijbehorende toestandsvergelijking is w = −1 en is dus compatibel met de data. Het tweede passende model quintessence beschrijft het universum als bestaande uit scalaire velden. De versnelde uitdijing wordt hier veroorzaakt door de potentiaal van de scalaire velden. Het model van scalaire velden kan verschillende waarden aannemen voor de toestandsvergelijking. Ook het universum beschreven door scalaire velden kan leiden tot versnelde expansie. Door verschillende parametrisaties van de toestandsver-gelijking in bekende en meetbare kosmologische parameters, kunnen beperkingen op de huidige toestandsvergelijking worden bepaald, om zo te achterhalen welke theorie het best donkere energie beschrijft. Via deze parametrisaties is een toestandsvergelijking bepaald van ongeveer w ≈ −1. . Uit toekomstige data zal blijken welk model inderdaad de ach-terliggende theorie van donkere energie beschrijft, maar uit de huidige data is de grens tussen beiden nog niet duidelijk genoeg te achterhalen.
2
Inleiding
Voor de 20e eeuw werd er over het algemeen gesproken over een statisch universum. Ob-servaties van Hubble gaven echter nieuwe inzichten hierover. Hubble observeerde cephe¨ıde, sterren waarvan de relatie tussen helderheid en frequentie bekend zijn, om zo de afstand tot het sterrenstelsel te kunnen bepalen. Hij concludeerde dat verafgelegen sterrenstelsels van de aarde af bewegen. Astronomen na Hubble gebruikten deze observaties om tot de conclusie te komen dat het universum aan het uitdijen is.
De theorie was lange tijd dat zwaartekracht de uitdijing zou tegengaan op een gegeven moment, wat zou leiden tot een implosie van het universum. Totdat aan het eind van de 20e eeuw, door middel van supernova explosies, werd bewezen dat het heelal versneld uitdijt (Adam G. Riess 1998). De energie die nodig is voor deze versnelde uitdijing kreeg de naam donkere energie. Er zijn verscheidene modellen voor donkere energie, bijvoorbeeld de invoering van energie in het vacu¨um of een theorie van scalaire velden. Er zal worden onderzocht welk model compatibel is met de waargenomen versnelling van de uitdijing van het heelal.
De wisselwerking tussen zwaartekracht en de kromming van ruimte-tijd overal in het heelal wordt beschreven door de Einstein-vergelijkingen (EV). Door de EV in te vullen voor een homogeen en isotroop universum, worden de Friedmann vergelijkingen (FV) ver-kregen, welke een uitdrukking geven voor de evolutie van het universum. Uit deze FV blijkt dat het universum slechts versneld uitdijt bij een bepaalde verhouding tussen de druk en dichtheid. Deze verhouding wordt de toestandsvergelijking genoemd en deze ver-schilt per model voor donkere energie. Deze toestandsvergelijking kan niet direct worden gemeten, maar moet worden geparametriseerd in termen van kosmologische parameters die wel meetbaar zijn. Zo kan er door observaties een beperking worden gelegd op de toe-standsvergelijking en kan worden achterhaald wat de achterliggende theorie van donkere energie is.
Eerst wordt de theorie besproken die noodzakelijk is om de versnelde expansie te bevatten, waarna de meest aannemelijke modellen worden vergeleken. Dan zal worden gekeken hoe de toestandsvergelijking observationeel kan worden beperkt, om zo modellen te falsifi¨eren en het meest waarschijnlijke model te vinden voor de versnelde expansie van het heelal.
3
Metriek
3.1
Homogeen en isotroop
Om het heelal te beschrijven wordt vaak gebruikt gemaakt van een invariante grootheid, die voor elke waarnemer in het universum hetzelfde is. Deze wordt gegeven door:
ds2= gµνdxµdxν (1)
Waarbij gµν de metriek van het universum beschrijft en een zodanige vorm aanneemt dat
ds2 altijd constant is. Als er wordt gekeken naar het heelal op zeer grote schaal, dan
is het nagenoeg homogeen en isotroop. Homogeen veronderstelt dat het heelal identiek is welke kant ook wordt opgekeken en isotroop vertelt ons dat het heelal in identieke stukken kan worden verdeeld. Deze aanname veronderstelt een bepaalde metriek waarmee beweging in de ruimte-tijd van het universum kan worden beschreven. Deze metriek heet de Robertson-Walker metriek en is gegeven als (Carroll 2003):
ds2= −dt2+ a2(t)[ dr
2
1 − kr2 + r
2dΩ2] (2)
waar de schaal factor a(t) de relatieve afstand in het heelal op tijdstip t geeft en dΩ2 de metriek op een sfeer beschrijft als dΩ2= dθ2+ sin2θdφ2.
3.2
Kromming van universum
De parameter k in (2) beschrijft de kromming van het universum en heeft een van de drie waarden k = −1, 0, 1. Een open universum wordt beschreven door k = −1, visueel gere-presenteerd als een zadel vorm. k = 1 beschrijft een gesloten universum, visueel gezien als een sfeer. Een plat universum wordt beschreven door k = 0. De metriek tensor gµν
behorende bij de Robertson Walker metriek van formule (2) is gegeven als:
gµν= −1 0 0 0 0 1−kra2(t)2 0 0 0 0 r2 a2(t) 0 0 0 0 r2sin2(θ) a2(t)
Hierdoor worden de componenten van de metriek:
g00= −1 gii= a2 1 1 − kr2 + r 2+ r2sin2(θ) (3)
Met de kennis dat gµνgµν = 1 worden de componenten van de inverse van de metriek
tensor: g00= −1 g11= 1 − kr 2 a2 g 22= 1 r2a2 g 33= 1 r2sin2(θ) a2 (4)
3.3
Kritieke dichtheid
De kritische dichtheid is gedefinieerd als de dichtheid waarbij het universum ruimtelijk vlak is en dus een waarde heeft van k = 0. Dit is afgeleid uit de Friedman vergelijkingen, wat later terug zal komen (Carroll 2003):
ρkrit=
3H2
8πG (5)
De dichtheid parameter Ω wordt gedefinieerd om een maat te geven van de huidige dicht-heid van het universum ten opzichte van de kritieke dichtdicht-heid:
Ω = ρ ρkrit
= 1 + k a2
Er kan worden nagegaan dat deze waarde voor Ω < 1, Ω = 1 en Ω > 1 respectievelijk een open, plat en gesloten universum beschrijft. De ρ staat voor het totaal van de bijdragende dichtheden in het universum, typisch bestaat deze uit ρ = ρmaterie+ ρstraling+ ρvacuum,
maar hier kunnen alle contributies bij zitten, zoals ook ρDEvoor donkere energie. Wanneer
er wordt gesproken van Ωmdan wordt alleen de fractie van de materie die bijdraagt aan
de dichtheid parameter bedoelt.
3.4
Roodverschuiving
Objecten die van een waarnemer af bewegen met een bepaalde snelheid ondervinden het Doppler-effect, waardoor de uitgezonden golflengte langer wordt en dus meer rood aan de waarnemer verschijnt. Deze roodverschuiving is gedefinieerd als (Carroll 1999):
z = λ0− λ1 λ1
= a(t0) a(t1)
− 1 (6)
Als een object een roodverschuiving van z = 5 ondervindt, betekent dit dus dat het object licht heeft uitgezonden ten tijde dat het universum een zesde was van het huidige universum. Omdat de huidige schaalfactor is gedefinieerd als a(t0) = 1, kan het worden
omgeschreven als functie van de schaalfactor:
a = 1 1 + z
3.5
Versneld uitdijend universum
De relatie tussen de afstand van twee sterrenstelsels en de relatieve beweging tussenbeide beschreef Hubble in de Wet van Hubble:
v = Hl met H de Hubble constante: H = ˙a a
(7)
Wat inhoudt dat de snelheid v van sterrenstelsels groter wordt als de afstand l tussenbeiden groter wordt (Peebles 2002). De Hubble constante H geeft hier een uitdrukking voor de snelheid van de expansie van het heelal. Hubble introduceerde hiermee de homogene en
isotrope uitdijing van het universum. Aan het eind van de 20e eeuw in 1998 werden supernova explosies opnieuw onderzocht en kwam Adam G. Riess (1998) door middel van het Doppler effect tot de conclusie dat sterrenstelsels overal om de aarde heen versnellend van de aarde af bewegen, wat een versnelde expansie van het universum betekent.
4
Theorie
Ten eerste zullen de verschillende termen in de Einstein vergelijking (EV) worden geintro-duceerd. De EV zal apart worden ingevuld voor de ruimte en tijd met de juiste metriek om zo op de Friedmann-bewegingsvergelijkingen (FV) uit te komen. Hierna zal de toe-standsvergelijking worden besproken.
4.1
Einstein vergelijking
De Einstein- vergelijking is gegeven als (Carroll 1999):
Rµν−
1
2Rgµν = 8πGTµν (8)
waar Rµν gedefinieerd is als de Ricci tensor en R als de Ricci scalar. De linkerkant van
de vergelijking wordt ook vaak de Einstein tensor genoemd en wordt dan weergegeven als Gµν. De energie impuls tensor Tµν omvat alle kennis over de energie en impuls van
deeltjes in verschillende soorten velden van materie (Carroll 2003). De waarde van de tensor Tµν verschilt per soort veld van materie.
De materie beschreven door de rechterkant van de EV veroorzaken een bepaalde zwaar-tekracht. De linkerkant van de vergelijking beschrijft hoe door deze zwaartekracht de ruimte-tijd wordt gekromd. Op deze manier kan de EV worden opgelost voor verschil-lende soorten velden, waaruit bewegingsvergelijkingen voor het universum kunnen worden gevonden. De Ricci tensor en de Ricci scalar zijn beiden te verkrijgen uit toepassingen op de Ricci krommingstensor, die de kromming van een bepaalde ruimte beschrijft en is gegeven door (Carroll 2003):
Rσµαβ= δαΓσµβ− δβΓσµα+ Γ σ αλΓ λ µβ− Γ σ βλΓ λ µα (9)
Waarbij de indices {σ, µ, α, β} worden ingevuld in de krommingstensor en de indices λ over {0,1,2,3} sommeert. De Ricci tensor en de Ricci scalar kunnen worden verkregen via deze krommingstensor, via:
Rαβ= Rαλβλ en R = g µνR
µν = g00R00+ gijRij (10)
Hier sommeert de Ricci scalar dus over zowel de tijd- als ruimtecomponent. In de Ricci krommingstensor komt het Christoffel symbool Γ voor, deze is gegeven als:
Γσµν=
1 2g
σρ(δ
µgνρ+ δµgρµ− δρgµν) (11)
Het Christoffelsymbool bevat de afgeleide van de metriek, waardoor de EV een tweede graad differentiaal vergelijking wordt van de metriek.
4.2
Friedmann vergelijkingen
De RW-metriek tensor hangt af van de schaalfactor, die afhangt van de tijd. Hierdoor wordt de EV een tweede graad differentiaal vergelijking die afhangt van de tijd. De oplos-singen van de EV voor een homogeen en isotrope metriek heten de Friedmann vergelijkin-gen. De metriek gµν bestaat uit een tijd-component, µ = ν = 0, en een ruimte-component,
µ = ν = i. De EV zullen worden opgelost voor beide componenten van de metriek. Eerst zal de Ricci tensor worden berekend voor tijd en ruimte, om vervolgens de Ricci scalar te berekenen. Hiermee wordt de Einstein tensor voor ruimte en tijd bepaald, om daarna tot de volledige FV te komen.
4.2.1
Tijd
De Einstein tensor voor de tijd-component wordt:
G00= R00−
1
2Rg00 (12)
Eerst wordt de Ricci tensor berekend per term:
R00= Rλ0λ0= δλΓ00λ − δ0Γλλ0+ ΓλλρΓ ρ 00− Γ λ 0ρΓ ρ λ0 (13)
waarbij λ en ρ beiden sommeren over {0,i} met i={1,2,3}. Een afgeleide δ0 is een
tijds-afgeleide. Per term berekend:
δλΓλ00= 0 δ0Γλλ0= 3δt ˙a a = 3 ¨a a + 3 ˙a a 2 ΓλλρΓρ00= 0 Γλ0ρΓρλ0= 3 ˙a a 2
De factor 3 komt door de sommatie over {1,2,3}. Dit geeft een tijdscomponent van de Ricci tensor: R00= −3 ¨a a (14)
Vervolgens wordt de Ricci scalar berekend:
R = R00g00+ Rijgij = −1 · −3 ¨a a + 3 · ¨a a+ 2 ˙a2 a2 + 2 k a2 R = 6 ¨a a + 6 ˙a a 2 + 6 k a2 (15)
Hierbij is gebruikt gemaakt van de ruimtecomponent Rij waarvan de berekening straks
wordt getoond. Nu de Ricci tensor en scalar bekend zijn, kan de Einstein tensor worden bepaald. Deze wordt vaak geschreven in termen van de Hubble-parameter H:
G00= 3 ˙a a 2 + 3 k a2 = 3H2− 3k a2 (16)
4.2.2
Ruimte
De Einstein tensor voor de tijd-component is gegeven als:
Gij= Rij−
1
2Rgij (17)
Eerst wordt weer de Ricci tensor Rij berekend. Uitgeschreven wordt deze tensor:
Rij= Rii = Rλiλj = δλΓλii− δiΓλλi+ Γ λ λρΓ ρ ii− Γ λ iρΓ ρ λi (18)
Hier geldt i = j, omdat alle combinaties waarbij geldt dat i 6= j wegvallen. Er moet zorgvuldig worden gekeken naar de sommaties van de indices. De indices i sommeert over {1,2,3}, maar de indices λ en ρ sommeren over {0,1,2,3} en sommeren dus ook over de tijdcomponent van de metriek. Per term wordt de Ricci tensor berekend, hier zijn afgeleiden naar {0,1,2,3} respectievelijk afgeleiden naar {t, r, θ, φ} :
R11= δλΓλ11− δ1Γλλ1+ Γ λ λρΓ ρ 11− Γ λ 1ρΓ ρ λ1= (a¨a + 2 ˙a 2 + 2k) 1 1 − kr2 R22= δλΓλ22− δ2Γλλ2+ Γ λ λρΓ ρ 22− Γ λ 2ρΓ ρ λ2= (a¨a + 2 ˙a 2+ 2k) r2 R33= δλΓλ33− δ3Γλλ3+ Γ λ λρΓ ρ 33− Γ λ 3ρΓ ρ λ3= (a¨a + 2 ˙a 2+ 2k) r2sin2θ
De ruimtecomponent van de Ricci tensor wordt hiermee:
Rij= (a¨a + 2 ˙a2+ 2k) 1 1 − kr2 + r 2+ r2sin2(θ) = ¨a a+ 2 ˙a2 a2 + 2 k a2 gii
Waarbij gii gedefinieerd is als in (3). Dit resultaat van de ruimtecomponent van de Ricci
tensor is gebruikt voor berekening (15). De ruimtecomponent van de Einstein tensor wordt nu: Gij = " ¨a a + 2 ˙a a 2 + 2 k a2 # gij− 1 2· 6 " ¨a a + ˙a a 2 + k a2 # gij Gij = − " 2 ¨a a + ˙a a 2 + k a2 # gij (19)
4.3
Energie Impuls Tensor
Om de EV nu op te lossen moet er een goede benadering worden gevonden voor materie in het universum, waar dan de juiste energie impuls tensor bij moet worden gevonden. Een benadering die erg in de buurt komt is de benadering dat materie in het universum zich gedraagt als een perfecte vloeistof. Hier hoort een energie impuls tensor bij, gelijk aan (Carroll 2003): Tν µ = −ρ 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p
waar ρ staat voor de dichtheid en p staat voor de druk van de materie. De tijdcomponent van de tensor is T00= −ρ en de ruimte-component is Tij = p. Het enige wat nu nog rest om de EV op te lossen is om de Einstein tensor in dezelfde vorm te zetten als de energie impuls tensor; met 1 indices onder en 1 indices boven. Dit kan makkelijk worden gedaan door te vermenigvuldigen met de metriek volgens de regel:
Gνµ= Gµλ gλν (20)
Dit geeft een Einstein tensor voor tijd en ruimte:
G00= G0λgλ0= −1 " ˙a a 2 + 3k a2 # Gji = Giλ gλj δij= − " 2 ¨a a + ˙a a 2 + k a2 # δij= Gii
De EV voor respectievelijk tijd en ruimte wordt nu: ˙a a 2 = H2=8πG 3 ρ − k a2 (21) 2 ¨a a + ˙a a 2 + k a2 = −8πGp (22)
Deze twee vergelijkingen zijn praktisch al de Friedmann vergelijking, maar door invullen van (21) in (22), worden de Friedmann vergelijkingen in bekende vorm verkregen:
¨ a a = − 4πG 3 (ρ + 3p) (23) H2=8πG 3 ρ − k a2 (24)
4.4
Eisen op toestandsvergelijking voor versnelde expansie
De FV kunnen worden opgelost om te kijken hoe de schaalfactor zich verhoudt tot de tijd. Om de FV op te lossen is het wel nodig een bepaalde verhouding te achterhalen tussen de druk en de dichtheid. Deze verhouding is de toestandsvergelijking:
w = p
ρ (25)
Uit bepaalde waarden voor w volgen bewegingsvergelijkingen voor de schaalfactor wat lijdt tot versnelde expansies van het universum, waar donkere energie mogelijk de oorzaak van is. Eerst wordt het vertraagde universum beschreven en vervolgens het versnelde universum. Formule (25) wordt ingevuld in (23) en omgeschreven tot een uitdrukking van de schaalfactorversnelling als functie van de toestandsvergelijking:
¨ a a = −
4πG
3 ρ(1 + 3w) (26)
Er is slechts sprake van versnelde uitdijing wanneer geldt dat ¨a > 0. Bij een waarde van w < −1 versnelt het universum te snel, wat zou leiden tot een universum wat zichzelf uiteen scheurt. Nu is uit (26) af te leiden dat ¨a > 0 plaatsvindt bij een waarde van w < −1
3. De theoretische beperking op de toestandsvergelijking is dus gegeven als:
−1 < w < −1
3 (27)
Bij een waarde groter dan dat is er geen sprake meer van versnelde uitdijing. Voor een universum overheerst door materie of door straling bijvoorbeeld hoort een waarde van respectievelijk w = 0 en w = 1/3 (Carroll 2003). Vergelijking (26) geeft voor beiden gevallen ¨a < 0, wat een vertraagd uitdijend universum beschrijft. Nu wordt gekeken naar de situatie w = −1. Ingevuld in formule (26) wordt dit:
¨ a a= − 8πG 3 ρ = H 2 ¨ a a− H 2= 0 =⇒ H = 0˙
Maar de linkerkant van deze vergelijking is gelijk aan dH/dt door de kettingregel. De afgeleide van de Hubble parameter is dus gelijk aan nul, wat betekent dat de Hubble parameter gelijk is aan een constante. Deze constante stellen we gelijk aan de Hubble-constante op dit tijdstip (Mukhanov 2005):
˙a a = H0 1
ada = H0dt
Integreren aan beide kanten geeft een uitdrukking voor de schaalfactor:
a(t) = eH0t (28)
Na twee keer afleiden van (28) is te zien dat er inderdaad sprake is van een versnelde expansie:
¨
a(t) = H02 e
5
Modellen voor Donkere Energie
Er wordt nu onderzocht wat voor waarden w de verschillende modellen voor donkere energie hebben, om zo te verifi¨eren dat de modellen inderdaad leiden tot versnelde expansie van het universum. Eerst wordt de invoering van een kosmologische constante uitgewerkt en vervolgens wordt quintessence onderzocht.
5.1
Kosmologische constante
De EV hoopte volgens Einstein uit te komen op een statisch universum waar geldt dat ¨
a = 0. Dit was echter niet geval en daarom paste Einstein zijn vergelijking aan met de invoering van een kosmologische constante (Carroll 1999):
Rµν−
1
2Rgµν+ Λgµν = 8πGTµν (30) Deze aanpassing geeft mogelijkheid tot een statisch universum. Echter is daarna bewezen dat het universum versneld uitdijt, dus leek de constante nutteloos. Maar de kosmolo-gische constante bleek toch wel bruikbaar, het is wiskundig gezien namelijk hetzelfde als een bepaalde energie aan het vacum toe te kennen. De energie impuls tensor zou dan worden (Carroll 2003):
Tµνvac= − Λ
8πGgµν = −ρΛgµν (31)
en met een indices omhoog gebracht:
Tν µ = 8πG1 Λ 0 0 0 0 −Λ 0 0 0 0 −Λ 0 0 0 0 −Λ
Als dit vergeleken wordt met de tensor voor een perfecte vloeistof, dan is te zien dat deze precies overeenkomt wanneer geldt dat:
ρΛ= −pΛ=
Λ 8πG wat leidt tot een toestandsvergelijking van:
w =p ρ = −1
Een invoering van een kosmologische constante zou dus leiden tot een versnelde expansie van het universum.
5.2
Quintessence
Bij het model quintessence wordt de versnelde expansie van het universum veroorzaakt door potenti¨ele energie V (φ) van scalaire velden (Carroll 1998). Om de waarde van w te
vinden voor scalaire velden moet een uitdrukking voor de druk en de dichtheid gevonden zien te worden. Bij berekeningen met scalaire velden zijn lagrangianen handiger om mee te rekenen, dus wordt de energie impuls tensor in vorm van de lagrangiaan gebruikt (Kopp 2013):
Tµν = −gµνL − 2
δL
δgµν (32)
Voor een vrij scalaire veld geldt de lagrangiaan:
L = 1 2(δ
µφδνφ) g
µν+ V (φ) (33)
waar in de lagrangiaan gesommeerd wordt over {0,1,2,3}, dus over tijd en ruimte com-ponent van de metriek. Verder wordt er bij afleiden naar de metriek de volgende regel gebruikt:
δgµν
δgµν = −gµαgνβ (34)
De ruimte-tijdcomponenten van Tµν worden nu:
T00= −g00 1 2δ 0φδ0φ g 00+ δiφδiφ gii+ V (φ) − 2 1 2δ 0φδ0φ · −g 00g00 Tii = −gii 1 2δ 0φδ0φ g 00+ δiφδiφ gii+ V (φ) − 2 1 2δ iφδiφ · −g iigii
Omdat er uit wordt gegaan van een homogeen en isotroop universum, waar geen onder-scheid te maken is tussen de ruimte, vallen alle ruimtelijke afgeleiden weg. De componen-ten versimpelen nu tot:
T00= 1 2 ˙ φ2+ V (φ) (35) Tii= 1 2 ˙ φ2− V (φ) gii (36)
We vergelijken nu deze energie impuls componenten met die van de aanname van een perfecte vloeistof uit tensor (4.3), waar geldde dat T0
0 = −ρ en Tii= p. Als formule (35)
en (36) worden omgeschreven naar deze vorm en worden vergeleken met de componenten van de andere tensor is te zien dat:
T00= − 1 2 ˙ φ2+ V (φ) = −ρ Tii= 1 2 ˙ φ2− V (φ) giigii= p
Dit geeft een waarde van w voor scalaire velden van:
w = 1 2φ˙ 2− V (φ) 1 2φ˙2+ V (φ) (37)
Hier geeft ˙φ aan in hoeverre het veld verandert in de tijd en geeft V (φ) de potentiaal weer.
5.2.1
Tijdsafhankelijkheid quintessence
Een belangrijk aspect van quintessence is de tijdsafhankelijkheid van de scalaire velden, zoals getoond in (37). De toestandsvergelijking van quintessence kan dus veranderen in de tijd. Voor scalaire velden die nauwelijks veranderen in de tijd en waar dus geldt ˙φ2≈ 0,
versimpelt de toestandsvergelijking tot w = −1 en heeft deze dezelfde waarde als voor de kosmologische constante. Het nut van scalaire velden is dat het verschillende waarden aan kan nemen voor de toestandsvergelijking. Maar de toestandsvergelijking beschrijft alleen versnelde expansie bij een waarde tussen −1 < w < −13.
Figuur 2: Voorbeeld model van potentiaal
In figuur 2 is een voorbeeld weergegeven van hoe de potentiaal van een tijdsafhankelijk scalar veld kan afhangen. Hier is in te zien dat het veld in de tijd kan veranderen en hierbij ook een andere waarde van de potentiaal bij hoort. Zo wordt duidelijk gemaakt dat het model van quintessence dus een waarde voor de toestandsvergelijking kan aannemen die varieert in de tijd.
5.3
Conclusie toestandsvergelijking
Het nut van de berekening van de toestandsvergelijking is dat nu kan worden gespeci-ficeerd welk model de juiste achterliggende theorie van donkere energie beschrijft. Als namelijk uit experimenten de toestandsvergelijking wordt bepaald op een waarde van w 6= −1, kan in ieder geval met zekerheid worden gesteld dat donkere energie niet te wijten is aan een kosmologische constante, maar dat scalaire velden de oorzaak zijn van de versnelde expansie. Of als blijkt dat de toestandsvergelijking verandert in de tijd, zal de kosmologische constante geen goede beschrijving zijn. In dit geval kan quintessence de versnelde expansie wel beschrijven, zoals gezien in figuur 2. Bij een observationeel bepaalde waarde van w = −1 is nog niet zeker welke theorie achter donkere energie zich verschuilt, aangezien beide modellen deze waarde (kunnen) aannemen.
6
Toestandsvergelijking observationeel bepalen
Het observationeel bepalen van de toestandsvergelijking is erg lastig. De methode waar tot nu toe de meest nauwkeurige waarde mee is bepaald, is uit observaties van supernovae. Er worden verschillende methodes besproken om w te beperken. De verschillen berusten zich voornamelijk op welke meetbare kosmologische parameters de toestandsvergelijking w in wordt uitgedrukt. Zo kan w als constante functie w = w0 worden beschreven, als
functie van de roodverschuiving z, of als meerdere kosmologische parameters.
6.1
Supernovae
De kosmologie zoekt in de uiterste gevallen naar een waarde van w voor donkere energie te bepalen, omdat donkere energie zeer moeilijk waar te nemen is. Een van deze gevallen bleek de implosie van een bepaald type witte dwerg, die zou leiden tot een type Ia Super-nova (SN). Deze type superSuper-novae exploderen allemaal met een bekende absolute lichtin-tensiteit. Hierdoor kan de expansiegeschiedenis worden achterhaald a(z), welke afhangt van w (Genovese 2009). Zo kan uit observaties bepaalde parameters worden achterhaald, waarna de toestandsvergelijking kan worden beperkt door deze parametrisaties.
6.2
Dichtheid en druk
w kan ook worden verkregen door pDE en ρDE in te vullen in de originele
toestands-vergelijking. In deze parametrisatie wordt aangenomen dat het universum plat (k = 0), homogeen en isotroop is. Voor een plat homogeen isotroop universum beschreven door de RW metriek zijn de druk en dichtheid van de donkere energie gegeven als (Genovese 2009): pDE(z) = −ρkrit 1 H0r’(z) 2 1 + (1 + z)2r ”(z) 3r’(z) (38) ρDE(z) = ρkrit " 1 H0r’(z) 2 − Ωm(1 + z)3 # (39)
waar r(z) staat voor een co¨ordinaat die ’meebeweegt’ met de roodverschuiving, en de afgeleiden van r(z) genomen zijn ten opzichte van z. Dit geeft de volgende toestandsver-gelijking: w(z) = H 2 0Ωm(1 + z)3+ (2/3)(1 + z)r”(z)/(r’(z))3 H2 0Ωm(1 + z)3− 1/(r’(z))2 − 1 (40)
Hieruit kunnen alle modellen verkregen worden. Als de eerste term wegvalt is de kosmo-logische constante w = −1 te herkennen. De dichtheid parameter en de Hubble constante zijn observationeel bepaald op respectievelijk Ωm = 0.268 ± 0.028 en H0 = 65, 6 ± 0.9.
6.3
w als constante
M. Betoule (2014) heeft alle metingen en observaties aan type Ia Supernovae samenge-voegd en maakt onderscheid tussen de parameterisatie van de toestandsvergelijking w. Eerst wordt w behandeld als een constante die niet afhangt van de tijd.
w = w0 (41)
Deze waarden van w zijn vervolgens uitgezet tegen Ωm. Een parametrisatie waarbij w als
constante wordt gehouden komt overeen met het kosmologische constante model, waarin de toestandsvergelijking constant is in de tijd.
Figuur 3: Toestandsvergelijking uitgezet tegen fractie van materie in de dichtheid parameter
Ω
m(M. Betoule 2014)
Uit figuur 3 is af te lezen dat voor een waarde tussen 0.26 < Ωm< 0.34 de
toestandsver-gelijking wordt beperkt tot een waarde tussen −1.1 < w < −0.9. De gemiddelde waarde van Ωmgeeft een waarde voor de toestandsvergelijking van w = −1.018 ± 0.057.
6.4
w als functie van schaalfactor
Als alternatief wordt w geschreven als functie van de schaalfactor en dus als functie van de tijd. Deze parametrisatie bevat geen aanname voor de ruimtelijkheid van het universum, dus k hoeft niet 0 te zijn.
w(a) = w0+ wa(1 − a) = w0+ wa 1 − 1 1 + z (42)
Nu worden wa en w0 tegen elkaar uitgezet om de verhouding te achterhalen:
Figuur 4: w
auitgezet tegen w
0(M. Betoule 2014)
Uit figuur 4 is af te lezen dat w0beperkt wordt tot een waarde tussen −1.1 < w0< −0.9,
maar wa heel los wordt beperkt tot een waarde tussen −1 < wa < 0.25. Hieruit is te
beredeneren dat als de toestandsvergelijking zou afhangen van de tijd, dus als wa 6= 0,
de waarde dichterbij bij w = 0.8 zou liggen. Als wa = 0 dan is de waarde voor w
weer te herkennen als de kosmologische constante. De bepaalde waarde komt bij deze parametrisatie uit op w = −0.957 ± 0.069.
7
Conclusie
Er is geprobeerd het achterliggende model van donkere energie te beperken. Bekend is dat slechts een toestandsvergelijking tussen −1 < w < −13 leidt tot versnelde expansie. Het eerst model wat is besproken, is het bestaan van energie in het vacu¨um, equivalent aan de toevoeging van een kosmologische constante aan de Einstein vergelijking. Bij een waarde van w = −1 spreekt men van de kosmologische constante.
Het tweede besproken model quintessence bestaat uit de aanname dat het universum versneld uitdijt door de potenti¨ele energie van scalaire velden die veranderen in de tijd. De toestandsvergelijking van scalaire velden is gelijk aan w = 12φ˙
2−V (φ) 1 2φ˙2+V (φ)
en kan alle waarden aannemen voor w.
De toestandsvergelijking kan op verschillende manieren worden geparameteriseerd in bepaalde kosmologische parameters die observationeel te meten zijn. Deze parameters zijn de roodverschuiving z, de Hubble constante H0 en de dichtheid parameter Ωm, de
fractie van materie die bijdraagt aan de totale dichtheid parameter.
Bij de aanname dat de toestandsvergelijking geparametriseerd kan worden als con-stante heeft w een waarde van w = −1.018 ± 0.057. Bij parameterisatie van w als functie van alleen de roodverschuiving heeft w een waarde van w = −0.957 ± 0.069. Bij para-meterisatie van w in vorm van Ωm, H0 en de roodverschuiving heeft w een waarde van
w = −1.013 ± 0.124, hierbij wordt wel aangenomen dat het universum ruimtelijk plat, homogeen en isotroop is.
Deze waarden liggen allemaal zeer dichtbij het punt w = −1, wat zou betekenen dat zowel een kosmologische constante als quintessence een passende beschrijving kunnen geven voor donkere energie.
8
Discussie
Er zijn verschillende modellen die de waargenomen versnelde expansie van het universum te kunnen verklaren. De kosmologische constante geeft een zeer goede beschrijving. Zowel in theorie als met data is dit model compatibel. Het belangrijkste aspect van de kosmolo-gische constante is dat het onduidelijk is of de toestandsvergelijking exact gelijk moet zijn aan w = −1, of slechts erg dicht in de buurt. De huidige data geeft namelijk aan dat de toestandsvergelijking erg dicht bij de -1 verkeert, maar uit toekomstige data zal moeten blijken of deze benadering inderdaad de kosmologische constante is, of dat quintessence toch de best passende theorie is. Verder zal de toestandsvergelijking vergeleken moeten worden met data in de toekomst om te kijken of deze verandert in de tijd. Bij een veran-dering in de tijd, past quintessence beter bij de theorie van versnelde expansie. Daarom heeft het geen zin om strengere eisen te stellen aan w, maar moet er worden gewacht op toekomstige data.
Referenties
Adam G. Riess, Alexei V. Filippenko, P. C. 1998, The Astronomical Journal, 116
Carroll, S. M. 1998, 12
Carroll, S. M. 1999, Living Reviews in Relativity
Carroll, S. M. 2003, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity
Genovese, C. R. 2009, The Annals of Applies Statistics, 3, 144
Kopp, J. 2013, 4
M. Betoule, R. Kessler, J. G. 2014
Mukhanov, V. 2005, Introduction to Quantum Fields in Classical Backgrounds (Ludwig-Maximilians University)
