Oplossing van een vraagstuk van G.R. Veldkamp

Oplossing van een vraagstuk van G.R. Veldkamp

Citation for published version (APA):

Meiden, van der, W. (1975). Oplossing van een vraagstuk van G.R. Veldkamp. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 7507). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1975 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

\

Memorandum 1975-°1

juni 1975

Oplossing van een vraagstuk van G.R. Veldkamp

Technische Hogeschool Onderafdeling der Wiskunda PO Box 513, Eindhoven Nederland

door

- 1

-Op een ellips (middelpunt 0 t halve assen a en b) liggen de puntenA en B_t

zodanig dat L AOB == a (0 < a < 'IT) en OA x OB = ab. Bewij s datde. oppervlakte van de ellipssector AOB gelijk is aan ~(1T - u)ab of !aab al naar gelang de

middellijnen door A en B al dan niet door de synnnetrieassen worden gescheiden.·

§ I. Oplossing. Veronderstel dat a > b; dit is geen wezenlijke beperking. Beschouw de vlagconstructie voor een punt A van de ellips dat afkomstig is van een punt A* van de omcirkel S(O,a) van de ellips, en van een punt A* van de

in-cirkel S(O,b) van de ellipse De omin-cirkel

r

A van ~AA*A* heeft als middelpunt

*

.

. ~ (A + A*) en als middellijn a - be

Zij t de poolhoek van A*, ~(t) die van A. Zij A het andere snijpunt van OA

'IT '"

met

r

A (in de tekening is t + ~ (t) <

'2'

zodat A tussen 0 en A valt).

OA

*

OA

=

OA*

*

OA*

=

abo Aangezien a

A =LAA*A

=

I -

t - QJ(t) verkrijgt men in het eerste kwadrant een punt A' van de ellips met OA'

*

OA = ab door de

'IT

figuur om 0 te draaien over een hoek a_A

=

2 -

t - ~(t). Voor de daarbij behorende parameters t' en QJ(t') geldt

t' = t + a

A

=f -

<pet)

1T

QJ(t') = QJ(t) + a

A ==

2 -

t

zodat in het bijzonder CX

Voor de voerstraal r en (in dit kwadrant) voor de hoek ~ geldt

zodat

2 2 2 2 . 2 b

r ... a cos t + b S1n t, ~ ... arctan(- tan t)

a t ' <jl (t')

o ...

opp sectorA'OA ...

!

I

r 2 (T)d<jl(T) tp (t) =

!

I

ab dT ... lab (t' - t) =0; t :: !abCl A • Zo lang men A en AI in het eerste kwadrant kiest is de tekenenderwijs aan-gebrachte beperking t + <jl (t) <

i

niet wezenlijk: t' + tp (t t) "" 1T - (t + <p (t»

en men kan de rol van A en A' verwisselen.

In het tweede kwadlJ:'ant ligt een A" met OA"

*

OA ... abo OAn is het spiegel-beeld van OAt ten opzichte van de verticaal. Dus

en

1T

til ... 1T - tt ... - + q>(t) 2

(p (til) ... 'IT - <pet') ...

2

'IT + t

f3 A = qJ (til) - <p (t)

=

i

+ t - (til - ;) = 'IT - (til - t) •

In dit geval vindt men 0 = hb ('IT - f3 A)' De overige gevallen, A"' in het der-de, A"" in het vierde kwadrant, herleidt men nu met behulp van de oppervlakte 'ITab van de ellips, tot een der voorgaande.

§ 2. Toepassing van het voorgaande

Beschouw in]R2 de rechten .Q, en m door 0, met als richtingsvectoren respectie-velijk ~l + k~2 en ~l - k~2 (0 < k < 00).

Op .Q, beweegt een punt L, op m beweegt een punt M

zo

dat II L - Mil ... 1; op 1M ligt een punt P ZQ dat P - M'" u(L - M) (U:f 0,1). ,"

De baan van P is een ellips (zoals bekend) en we vragen naar de oppervlakte van de sector die door .Q, en m uit deze ellips wordt gesneden.

Zij L ... A(~l + k~2)' M

=

~(~1 - k~2) dan is

Zij ) - u

]l.

-k(l -

u) u 1 - u 3

--/), =

== -2ku(1 - u) • ku -k(l - u) De matrix

heeft een inverse

zodat

_) [-k(l -

u) Uk == -6

-ku

- (1

Uit de voorwaarde ilL - M" == 1 voigt

(A -

~)2

+ k2(A +

~)2

=

1

-) r(

1 - u) "" b. ku of (k 2 + I) A 2 + 2 (k 2 - 1) All + (k 2 + 1) 112 == 1 , 1 -

~

-u

J

en indien we schrijven + 1

K ...

- 1

gaat dit over in

T T

.! UkKU_k! =

-1 2 T 2 -2 -2 -2

det Uk :: -6 ,det K

=

4k en det(UkKU

k) ... 4k 6 - u (1 - u) > O. Dus doorloopt Peen ellips .•

Voor de halve aslengten a en b van deze ellips geldt 2b Z

a ::

zodat

!

ab =

I

u (1 - u)

I .

Blijft nog de vraag of de lijnen t en m door de hoofdassen p en q van de el-lips worden gescheiden

of

niet. Zij

B

:=

arctan k

=

~

L

LOM en zij a de ~ kleinste van

zij voorts p scheiden als

'IT

de hoeken tussen de xl-as en de hoofdassen,

zo

dat 0 ~ a <

'2

die bij a horende hoofdas. Dan worden t en m door p en q

ge-(t,m,p,q) < 0; nu is d :- (t,m,p,q) = sin(t,p) sin(.Q,~q) sin (m,p) :: sin (m,q) Uit voIgt sinCe - a) =-~--~-sinCe -a + ;) tan(a - B) = tan (a + B) • A := [a ..

J

~J sine-a - B) sinC2!.-a-B) 2

=.

sinCa - B) cos (8 - a) sin(a + B) cos (a + B)

=

5

-2k(1 - 2u)

-~--~= k2 - 1

(I - 2t.i)tan 213 •

Met y := tan a en k

=

tan 13 elimineren we dusy uit d Y + k "" y - k

1 - yk 1 + yk en

2y 2

=

(1 - 2u) 2f 2 )

- Y 1 - k

die we eerst herleiden tot

2 Y + 1 y en k2 - 1 k (I - 2u) • Voor het gemak stellen we nog

c := 1 - d 1 + d en v := (1 - 2t.i) -1 zodat 1 I Y + Y

=

e(k +

'k)

1 1 y - -

=

v(k - -) y k

waaruit door optellen en aftrekken 2y

=

k(e + v) +

~(e

- v)

!

=

k (e - v) +

2.(

e + v) y k en door vermenigvuldigen of 2 I -2 2 I 2 e

=

(k + k) (4 + v (k -

'k) ) •

Nu is d < 0 dan en sleehts dan als lei> 1 of

4 + v 2(k· -

'k

1)2 > (k + k) J 2 ,

equivalent met

Voor k

1

1 is dit weer equivalent met

2

v > 1 , 2

(2u - I) < 1 , u( 1 - u) > 0 •

Voor k

=

va11en de hoofdassen voor aIle u samen met ~ en m (zoals men aan de formule voor tan 2~ kan zien); voor k

1

I is in het kinematische geval juist 0 <u < en u(l - u) > O. Dus worden dan ~ en m altijd gescheiden door

de hoofdassen en geldt voor de oppervlakte (met II) :=26)

o

= ~u(l - u) (1f - 00)

Gevolg: Als L en M de zijden van een convexe n-hoek doorlopen (waarv~ iede-re zijde ~ 1 is) dan is

E.O.

=

~u(1 - u)E.(1f - 11).)

=

!u(1 - u)(n1f - (n - 2)1f)

=

1fu(l - u).