Euclides, jaargang 92 // 2016-2017, nummer 1

ORGAAN VAN DE NEDERLANDSE VERENIGING

NR.1

EUCLIDES

VAKBLAD VOOR DE WISKUNDELERAAR

Besprekingen van een aantal examens door docenten

Hoe komt een examenopgave tot stand?

Wiskundig modelleren in schoolboeken Jaarvergadering en studiedag

40

2

EUCLIDES 92 | 1

28

14

IN DIT NUMMER

IN DIT NUMMER

INHOUDSOPGAVE

EUCLIDES JAARGANG 92 NR 1

VWO WISKUNDE B-EXAMEN

25

ROB VAN OORD

EINDEXAMEN

WISKUNDE C

THEO-JAN VAN DE POL

EEN KIJKJE IN DE KEUKEN BIJ

31

DE EXAMENCONSTRUCTIE

SJOERD CRANS JOS REMIJN

DOOR DE OGEN VAN EEN CONSTRUCTEUR

37

N.N.

KWALITEIT VAN HET

MODELLEERONDERWIJS

IN NEDERLANDSE

SCHOOLBOEKEN

BERT ZWANEVELD JACOB PERRENET

SCHRIFTELIJK EXAMEN VMBO-KB 2016

4

RUUD JONGELING

EXAMEN VMBO-TL

8

WIS EN WAARACHTIG

HAVO B-EXAMEN

16

PILOTEXAMEN WISKUNDE A

18

ERIK VAN BARNEVELD

VWO WISKUNDE B-PILOTEXAMEN

21

Kort vooraf

Foto: Tom Goris

ORGAAN VAN DE NEDERLANDSE VERENIGING VAN WISKUNDELERAREN

48

VERENIGINGSNIEUWS

JAARVERGADERING/STUDIEDAG 2016

HET FIZIER GERICHT OP...

43

MONICA WIJERS

VASTGEROEST

45

AB VAN DER ROEST

PUZZEL

46

SERVICEPAGINA

50

Op dit moment bent u alweer druk aan de slag. …Maar met deze Euclides zult u zich ongetwijfeld de dagen herinneren van vlak vóór de vakantie: de examentijd. Dit examennummer is iets anders van opzet dan u gewend bent. Geen lange objectieve analyse van álle examens door de medewerkers van het Cito, daarvoor verwijzen we naar de website van het Cito. Wél twee bijdragen over het construeren van de examens. En een zevental recensies van docenten wiens leerlingen deze examens gemaakt hebben. Mooie, persoonlijke, verre van objectieve bespiegelingen. Door al deze auteurs geschreven in een zeer korte tijd, want de deadline was slechts vier weken na de dag van het examen. Geel en aqua zijn de steunkleuren van deze 92e jaargang. Het lijkt ons een aardig idee om voor de derde keer, na Rinus Roelofs en Santiago Calatrava, een thema te kiezen voor de omslag-foto’s: natuurlijke patronen. Met

wederom het verzoek aan u om foto’s met dat thema op te sturen. Dus als u zo’n pareltje heeft en die foto op de omslag van uw lijfblad wilt zien: stuur hem naar de redactie.

De redactie zoekt versterking overigens. We zijn met name op zoek naar iemand die het vmbo van binnen en van buiten kent om ervoor te zorgen dat onze grootste tak van sport binnen het onder-wijs meer aandacht gaat krijgen in dit blad. Interesse? Laat het weten… Ten slotte wil ik Liesbeth Coff eng, de nieuwe eindredacteur van Euclides, van harte welkom heten. We gaan er een frisse en inspirerende 92e jaargang van maken!

4

EUCLIDES 92 | 1

In deze examenbespreking geeft Ruud Jongeling eerst een algemene beschouwing

van het examen en daarna gaat hij in op de verschillende contexten. Een aantal keer

betrekt hij de antwoorden van zijn eindexamenleerlingen uit de sector zorg & welzijn bij

de bespreking van de vragen.

SCHRIFTELIJK EXAMEN VMBO-KB 2016

Algemeen

Het schriftelijke examen wiskunde voor de kaderberoeps-gerichte leerweg is afgenomen op donderdagmiddag 19 mei. De leerlingen maakten een examen dat bestond uit 27 vragen waarvoor ze maximaal 75 punten konden halen. De 27 vragen waren verdeeld over zeven contexten. De onderstaande tabel laat de puntenverdeling per context zien:

Schriftelijk examen

vmbo-KB 2016 – contexten Puntentotaal % Eindscore

Grootste stroopwafel 12 16% E-scooter 11 15% IJsberg 12 16% Skispringen 10 13% Schoolbanken 10 13% Schoenenrek 11 15% Spaarrekening 9 12%

De punten zijn in dit examen min of meer gelijk verdeeld over de contexten. Een context kan de ene leerling meer aanspreken dan de andere leerling. Een ongelijke verde-ling van de punten over de contexten zou in het voor- of nadeel van de leerling kunnen werken. Dat is in dit examen dus niet het geval.

De examenstof van het centraal examen betreft de domeinen: algebraïsche vaardigheden, meetkunde en rekenen, meten en schatten. Verdelen we de vragen over deze domeinen dan ontstaat het volgende overzicht van de puntenverdeling:

Schriftelijk examen vmbo-kb 2016 –

examendomeinen Puntentotaal % Eindscore

Algebraïsche vaardigheden 21 28%

Rekenen, meten en schatten 25 33%

Meetkunde 29 39%

Je mag verwachten dat de drie domeinen in het examen ongeveer in gelijke mate aan bod komen. In dit examen kwamen de meetkundige vaardigheden iets meer aan bod dan de algebraïsche vaardigheden. Het verschil valt naar mijn mening binnen de marges die een vaststel-lingscommissie nodig heeft om een examen met contexten te kunnen samenstellen. De N-term voor dit examen is vastgesteld op 0,5. De N-term kan worden gezien als een indicatie voor de moeilijkheid van het examen. Dit examen is, ten opzichte van de examens van voorgaande jaren, relatief goed gemaakt.

Jaar N-term N-term

1e _{tijdvak 2}e_tijdvak 2016 0,5 0,5 2015 1,0 1,0 2014 0,9 0,9 2013 1,2 1,3 2012 1,1 1,1 2011 1,3 1,8

Ruud Jongeling

tabel 1 Puntenverdeling over de contexten

tabel 2 Puntenverdeling over de examendomeinen

tabel 3 N-termen van de afgelopen jaren

Grootste stroopwafel

De eerste context betrof de bakkers uit Gouda die in 2013 het wereldrecord ‘grootste stroopwafel bakken’ verbraken. Het examen startte met twee vragen die over het algemeen bij mijn leerlingen weinig problemen opleverden. De eerste vraag was er een waarbij de leerlingen verhoudingen moesten omrekenen naar ingre-diënten voor de recordstroopwafel. Bij de tweede vraag moesten de leerlingen de omtrek van de recordstroopwafel berekenen. De derde vraag betrof het uitrekenen van de oppervlakte van de vierkante bakplaat die niet voor de recordstroopwafel werd gebruikt. Mij viel op dat veel van mijn leerlingen de vraag of helemaal goed maakten of er weinig of niets van bakten. Voor deze laatste groep was mogelijk de context van de bakplaat met daarop de recordstroopwafel niet duidelijk. Er was geen afbeelding voorhanden die de tekst toelichtte. Bij de vierde vraag moesten de leerlingen berekenen hoeveel keer groter de

oppervlakte van de recordstroopwafel was ten opzichte van de oppervlakte van een gewone stroopwafel. Zowel bij vraag 3 als bij vraag 4 moesten de leerlingen de opper-vlakte van de recordstroopwafel uitrekenen. Kon je dat bij vraag 3 niet, dan kon je vraag 4 ook niet maken.

E-scooter

Van de tweede context, Farzad die overweegt een elektri-sche scooter te kopen, leverden de eerste drie vragen met rechttoe rechtaan rekenwerk bij mijn leerlingen weinig problemen op. Voor de laatste vraag (vraag 8 van het examen) konden de leerlingen 4 punten krijgen. Zelf heb ik de vraag een aantal keren moeten lezen voordat ik goed doorhad wat er nu eigenlijk gevraagd werd. Omdat het om een vergelijking van een benzinescooter en een elektrische scooter ging zocht ik de prijs van de benzinescooter om te zien hoeveel duurder de elektri-sche scooter was. Die is niet gegeven omdat de hele e-scooter moet worden terugverdiend en niet alleen het prijsverschil tussen beide. De tweede hobbel in de vraag is dat de gegevens voor de leerling per jaar zijn en de vraag is na hoeveel maanden Farzad de kostprijs van de e-scooter heeft terugverdiend. Nogal wat van mijn leerlingen deelden het bedrag van de scooter (€2100,00) door €45,00 (kosten elektriciteit per jaar) of 850 (kosten benzine per jaar) en raakten daarna het spoor bijster, zie figuur 1.

IJsberg

In de context IJsberg gingen de leerlingen met een tabel en een formule met tweede en derde machten aan de slag. De leerlingen moesten aan de hand van de tabel het percentage uitrekenen dat de ijsberg in de eerste twee maanden was afgenomen en op de uitwerkbijlage moesten de leerlingen een grafiek tekenen die bij de formule hoort. Een aanvulling op het correctiemodel gaf aan dat de leerlingen in deze tabel ook op duizendtallen mochten afronden. Op de eerste drie vragen van deze context zag ik bij mijn leerlingen veel goede antwoorden. De vierde vraag (vraag 12 van het examen) was een vraag die kon worden opgelost door inklemmen. Dat lukte veel leerlingen wel maar daarna werd de beoordeling van hun eindantwoorden voor mij lastig. Het correctiemodel schreef voor: ‘in de (loop van) de 42e maand’ maar wat doe je dan met een antwoord als 41,2 of met het antwoord in figuur 2 waarin de leerling naar mijn mening laat zien dat zij het wel begrepen heeft? Op het forum van de NVvW is hier al het nodige over gezegd, maar voor mij blijft toch de vraag

of het kunnen omzetten van een uitkomst als 41,2 naar de 42e _{maand nu wel of niet bedoeld was als een te toetsen}

vaardigheid.

Skispringen

De context Skispringen, zie figuur 3, startte met een rekenopgave, het omrekenen van een snelheid in km/u naar m/s. Altijd lastig voor de leerlingen. De tweede en de derde opgave betrof het toepassen van de stelling van Pythagoras om de lengte ST te berekenen en het berekenen van hoek T met de cosinus. De antwoorden van de leerlingen op de vierde en laatste vraag van de context hebben me verbaasd. Op de skischans werd het startpunt S verplaatst naar een lager punt op de schans. Aan de leerlingen werd gevraagd wat er dan verandert. Heel vaak meenden mijn leerlingen dat daarmee ook de grootte van de hellingshoek T veranderde. Zouden de antwoorden anders zijn geweest wanneer in plaats van ‘lager op de schans’ gesproken zou zijn over ‘lager op de aanloophel-ling’? Overigens ben ik van mening dat bij de gegeven antwoordmogelijkheden bij de hellingshoek de letter T en bij de aanloophelling de letters ST hadden moeten staan.

Schoolbanken

De context Schoolbanken laat een leerling in Kenia in zijn schoolbank zien, zie figuur 4. De zithoogte van de schoolbank is 34 cm en de eerste vraag is te ‘berekenen door te meten’ hoeveel cm de hoogte van het tafelblad is. Bedoeld wordt de werkelijke hoogte van het tafel-blad te berekenen en daarbij de hoogte van het tafeltafel-blad en zithoogte uit de foto te gebruiken. Gelukkig hebben mijn leerlingen dit ook zo opgevat. Ze vonden dit overi-figuur 1 Antwoordvoorbeeld van opgave 8

figuur 2 Antwoordvoorbeeld van opgave 12

6

EUCLIDES 92 | 1

gens een lastige vraag. De tweede vraag van de context, het verlengen van een gegeven tabel met maten van de schoolbank en bijbehorende lengten van leerlingen tot ook een leerling met een lengte van 1,90 meter er in past, leverde weinig moeilijkheden op. Bij de derde vraag moesten de leerlingen aan de hand van een gegeven tabel een lineaire formule opstellen. Het hellingsgetal wisten de leerlingen wel te vinden maar omdat de tabel niet bij 0 maar bij 1 begon ging een aantal leerlingen met het startgetal de mist in. Voor mij een signaal dat ik hier in de lessen meer aandacht aan moet besteden.

De laatste opgave van de context (vraag 20 in het examen) vraagt waarom er geen schoolbanken met maat 30 gemaakt zullen worden. Deze vraag laat afhankelijk-heid zien met de vorige vraag. De leerlingen die bij de voorgaande vraag geen formule hadden gevonden, konden deze vraag ook niet maken. Eén leerling heeft nog iets geprobeerd met de tabel, zie tabel figuur 5, maar vergat bij de verdubbeling van de maten van 15 naar 30 dat ze daarmee ook het startgetal verdubbelde.

ze van de restjes nieuwe staanders maakten. Hoewel ik aan het afronden in contexten bij de oefenexamens nog speciaal aandacht had besteed, hebben veel leerlingen hier toch overheen gekeken. De tweede en vierde vraag van de context betroffen het toepassen van de stelling van Pythagoras en goniometrie. Bij de derde vraag (vraag 23 van het examen) moesten de leerlingen beredeneren dat de lijnstukken AB en CD van het schoenenrek niet evenwijdig waren, zie figuur 6. Een mooie opgave die door de leerlingen verschillend werd opgelost, zie figuren 7 en 8. figuur 4 Een leerling in

Kenia in zijn schoolbank

figuur 5 Antwoordvoorbeeld van opgave 20

figuur 8 Antwoordvoorbeeld van opgave 23 figuur 7 Antwoordvoorbeeld van opgave 23

figuur 6 Zijaanzicht van het schoenenrek uit de uitwerkbijlage

Schoenenrek en spaarrekening

De context Schoenenrek, waarbij van bezemstelen een schoenenrek gemaakt wordt, leek me typisch een techniek context en bij het nakijken was ik dan ook benieuwd hoe de leerlingen van zorg & welzijn de opgaven gemaakt hadden. Dat viel mee, alleen de eerste opgave waarin berekend moest worden hoeveel bezemstelen er nodig zijn, is maar matig gemaakt. Veel leerlingen telden de lengten op en deelden het totaal door de lengte van één bezemsteel. Ze kwamen dan op drie bezemstelen, omdat

Het examen sloot af met de context Spaarrekening waarbij de opa van Sven een spaarrekening voor het ventje opent, er €700 op zet en maar liefst 2,2% rente per jaar krijgt. Kom daar maar eens om in deze tijd! De exponentiële formule waarmee het bedrag op de spaarrekening kan worden uitgerekend, werd gegeven. Bij de eerste vraag moesten de leerlingen de formule toepassen en bij de tweede vraag moesten de leerlingen een grafi ek tekenen waarbij ze de tabel op de uitwerkbijlage moesten gebruiken. Deze vragen bevatten geen verrassingen en konden mijn leerlingen over het algemeen goed maken. In de laatste vraag (vraag 27 van het examen) wordt gevraagd na hoeveel hele jaren er voor het eerst meer dan 1000 euro op de rekening staat. Een niet al te moeilijke inklemopgave waarbij een enkeling over het hoofd zag dat hier naar hele jaren gevraagd werd.

Tot besluit

Het schriftelijk examen vmbo-kb van 2016 laat een evenwichtige verdeling van de punten zien over zowel de contexten als de drie domeinen van het eindexamenpro-gramma. Het bevatte geen grote verrassingen en de N-term laat dan ook zien dat het examen over het algemeen goed gemaakt is. Waar de stelling van Pythagoras en gonio-metrie voor de tweede keer in het examen voorkwamen, betrof het verschillende toepassingen. Tegelijkertijd laat het examen ook een aantal slordigheden zien. Zo zit er in dit examen twee keer afhankelijkheid. Kon je iets niet bij de ene opgave, dan kon je dat ook niet bij de andere. Het betreft de contexten Grootste stroopwafel en Schoolbanken. Ook de vraagstellingen vond ik niet altijd even duidelijk. Ik denk dan aan de derde vraag bij Grootste stroopwafel, de laatste vraag in de context van de E-scooter, de multi-plechoicevraag bij het Skispringen en de eerste vraag bij de context Schoolbanken. Met betrekking tot het correc-tiemodel blijft voor mij nog altijd de vraag of het nu wel of niet de bedoeling was van de samenstellers van het examen dat de leerlingen het antwoord 41,2 maanden konden inter-preteren als de 42e maand. Het zag er even naar uit dat het schriftelijk examen 2016 voor de kaderberoepsgerichte leerweg het laatste schriftelijk examen zou zijn. Als het aan de CvTE lag zouden volgend schooljaar ook voor de kaderberoepsgerichte leerweg de digitale examens verplicht worden. Bij de bespreking van de Examenmonitor 2015 door de vaste Kamercommissie van OC&W op 15 juni jl. is door de staatssecretaris aangegeven dat pas tot verplich-ting van de digitale examens wordt overgegaan na een grondige evaluatie in 2018. Volgend jaar dus nog gewoon een schriftelijk kb-examen!

Over de auteur

Ruud Jongeling is wiskundeleraar op het Da Vinci College in Roosendaal, een school voor de beroepsgerichte leerwegen in het vmbo en het praktijkonderwijs. Sinds februari van dit jaar is hij voorzitter van de werkgroep vmbo van de NVvW. E-mailadres: rj.jongeling@kpnmail.nl

MEDEDELING

FINALE NEDERLANDSE

WISKUNDE OLYMPIADE

Op vrijdag 16 september vindt op de Technische Universiteit Eindhoven de fi nale van de Nederlandse Wiskunde Olympiade plaats. Hiervoor zijn 153 leerlingen uitgenodigd uit de categorieën zesde klas, vijfde klas en vierde klas of lager. Zij krijgen in drie uur tijd vijf pittige opgaven voor hun kiezen. Voor docenten die meegaan naar de fi nale is er tijdens de wedstrijd een onderhou-dende lezing van Jan van de Craats.

Vanaf maandag 19 september vindt u de opgaven (en uitwerkingen) van de fi nale op www.wiskundeolympiade.nl. De vijftien prijswinnaars (vijf uit elk van de drie catego-rieën) worden 11 november bekendgemaakt tijdens de prijsuitreiking.

8

EUCLIDES 92 | 1

Op donderdagmiddag 19 mei 2016 deden de leerlingen van vbmo-tl examen wiskunde.

Ebrina Smallegange had hoge verwachtingen van het merendeel van haar groep van

28 leerlingen. Hieronder leest u hoe het hen is vergaan.

EXAMEN VMBO-TL

Ik geniet altijd van de drukte en de spanning in de examentijd. Het examen zou om half twee beginnen, maar al om één uur stond er een groepje leerlingen om me heen met de vraag of hun rekenmachines wel goed waren ingesteld. De meesten van mijn leerlingen hebben een Casio fx82MS. U weet het waarschijnlijk wel: als deze rekenmachine gereset wordt, wordt bijvoorbeeld het getal 1 000 weergegeven als 1,000. Er zijn leerlingen die dan op helen gaan afronden…

Het is ook lang niet altijd zeker of de rekenmachine werkt met graden, radialen of grades. Vlak voor een wiskunde-examen willen de leerlingen toch wel zeker weten of de instelling van hun rekenmachine is zoals ze het gewend zijn. Van de dertien Casio’s stonden er twee op radialen ingesteld. Goed dat die leerlingen even waren langs-gekomen!

Het volgende probleem diende zich aan: moeten we haast maken tijdens het examen? Hebben we tijd genoeg? Is het een lang examen?

Ik probeerde hen gerust te stellen: ‘Doe rustig aan, lees de tekst en de vragen goed door. Het zal vast goed gaan, jullie zijn goed in wiskunde, laat gewoon zien wat je kunt!’ De meeste van de 28 leerlingen die ik dit jaar in 4 vmbo-tl heb, zijn inderdaad goed in wiskunde, het gemiddelde schoolexamencijfer van de klas is een 6,7. Om kwart over één ging iedereen gerustgesteld, maar natuurlijk ook gespannen, de gymzaal in voor het examen dat twee uur zou duren. Maar twee uur later zat driekwart van de leerlingen nog in de gymzaal. Was het zo lang? Was het zo moeilijk?

Daniëlle, die om kwart voor drie al klaar was, had gezegd dat het ‘een eitje’ was, maar wel veel werk. Vooral het eerste onderdeel was veel werk: de lange formules moest je goed intypen, maar dat was dan ook alles. Nee, zij had er alle vertrouwen in dat het goed was gegaan.

Om half vier kwam bijna iedereen de gymzaal uit, ook de dyslectische leerlingen. De enige die haar toetstijdverlen-ging werkelijk gebruikte was Karin. Karin heeft dyscal-culie.

De leerlingen waren moe, maar niet in paniek. Ze klaagden over de lange formules bij de eerste vragen en de vreemde meerkeuzevraag op het eind. Dat antwoord was toch gewoon D? Waarom stellen ze zo’n makkelijke vraag? Ze hadden bijna allemaal alles nog eens overge-keken, her en der een afronding verbeterd, maar voor het grootste gedeelte ging het prima, zeiden ze.

Toen kwam voor mij het werk. Ik heb eerst zelf het examen gemaakt. Niet foutloos, helaas. Ik haalde 76 van de 77 punten. De fout die ik maakte bij vraag 8 bleek ook door veel van mijn leerlingen gemaakt te zijn. In figuur 1 ziet u de vraag en een kopie van het werk van Rik. Ziet u de fout?

Ebrina Smallegange

figuur 1

Mijn leerlingen hadden weinig geoefend met 3D-tekenen. Bovendien was bij alle geoefende examenopdrachten het 3D-tekenen aftelbaar: een dobbelsteen van 2 cm hoog bovenop een andere dobbelsteen bijvoorbeeld. Als Rik (en ik!) een hulplijn MT getekend zou hebben (met M het midden van het boven- of ondervlak), dan zouden we zonder veel denkwerk de hoogte van de top op deze hulplijn hebben afgeteld.

Er waren slechts drie leerlingen die voor deze vraag alle punten kregen!

IJsberg

Maar laat ik bij het begin beginnen. De eerste vier vragen van het examen gingen over een smeltende ijsberg. Na een introductie in de context en een eenvoudige percen-tageberekening werd een formule gegeven met G: het gewicht van de ijsberg in ton en t: de tijd in maanden na het afbreken van de ijsberg. U ziet de formule en de bijbehorende vraag in figuur 2.

Slechts vier leerlingen in mijn klas van 28 leerlingen wisten dat ze hiervoor t = 19 en t = 20 moesten gebruiken. Een paar leerlingen gebruikten t = 20 en t = 21. Zij kwamen op 1528 ton gesmolten ijs. U ziet in figuur 3 het werk van Mick, die brutaalweg noteert:

volgens het correctievoorschrift, één punt minder: de tabel was één punt waard. Of moest ik hen twee punten minder geven?

In het correctievoorschrift stond namelijk nog een opmer-king, zie figuur 4:

Het merendeel van mijn leerlingen heeft alleen t = 20 ingevuld. Misschien dachten zij dat naar het gewicht van de ijsberg in de twintigste maand werd gevraagd? Helaas, als t = 20, dan geldt G = 19 200.

Doordat dit een ‘laat zien’-vraag was, wisten deze leerlingen nu al dat het antwoord dat zij op deze vraag gaven, fout was. Zo’n lastige ‘laat zien’-vraag aan het begin van het examen zou eigenlijk vermeden moeten worden.

Na het mislukken van vraag 2 bij velen, kwam vraag 3: Teken een grafiek bij de formule. Voor het eerst sinds lange tijd moesten leerlingen op een examen zelf een juiste verdeling bij de verticale as maken. Ik had mijn leerlingen in klas 4 tijdens de examentraining niet voorbereid op het indelen van de as bij het tekenen van een grafiek. Dat was al zo lang niet meer aan de orde geweest op een examen! Maar gelukkig beheersten de meesten die vaardigheid nog vanuit klas 1, 2 en 3. Op het forum bleek onwennigheid van collega’s om een asindeling bij een examen na te kijken. Er waren meerdere topics over vraag 3 aangemaakt, die heel vaak bekeken zijn en waarbij vragen gesteld werden als: wat doe je als de nul niet bij de verticale as is geschreven? En als er geen stappen van 10 000 genomen zijn maar van 8 000? En als de 90 000 en 100 000 niet bij de as staat? Het is goed dat er in zulke gevallen een forum is om collegiaal te overleggen! Ik vraag me af hoe dat bij de digitale examens van de beroepsgerichte leerwegen gaat. Omdat die examens geheim zijn, mogen er over deze examens geen vragen op het forum worden gesteld. Bijzonder was in vraag 3 de opdracht om de tabel te gebruiken. In vorige examens stond in zulke gevallen: je mag de tabel op de uitwerkbijlage gebruiken. Drie van mijn leerlingen hebben de tabel leeg gelaten. Zij kregen,

Bij vraag 4 werd gevraagd te berekenen in de hoeveelste maand het laatste stukje van de ijsberg gesmolten moet zijn. Veel van mijn leerlingen klemden correct in, maar hadden moeite om een juiste conclusie te formuleren. Er waren antwoorden als: tussen de 41e _{en 42}e _{maand, na de}

42e _{maand, bij 41,2 maanden. Dit alles, volgens de centrale}

examenbespreking, min 1 punt. Dezelfde leerlingen die bij vraag 2 niet wisten wat er met ‘de twintigste maand’ werd bedoeld, konden nu niet het antwoord ‘in de 42e _maand’

formuleren. Jammer dat tweemaal dezelfde vaardigheid in dit examen werd gevraagd, vooral omdat deze vaardigheid eigenlijk meer op het gebied van taal dan op het gebied van wiskunde ligt.

Balk

Het tweede onderdeel van het examen betrof een balk, getekend in een xyz-assenstelsel. De maten in centi-meter waren gegeven. Leerlingen moesten de coördinaten van één van de hoekpunten geven en de lengte van een lichaamsdiagonaal berekenen. Dat kwam de meeste leerlingen van mijn klas bekend voor en dat ging dan ook goed.

Een grotere uitdaging was vraag 7 (zie figuur 5). figuur 3

figuur 4

figuur 5 figuur 2

Allereerst moesten de leerlingen het bovenaanzicht verge-lijken met de 3D-tekening om de maten van de rechthoek te weten te komen. Dat ging goed. Daarna moesten ze veel denk- en rekenstappen maken: hoe groot is de straal

10

EUCLIDES 92 | 1

van een bol? Hoe groot is dan de inhoud? Hoeveel bollen passen in de balk? Hoe groot is de inhoud van de balk? Hoeveel cm3 _{blijft er dan over?}

En ik had het nog zó gezegd: ‘goed lezen!!’ Vier

leerlingen hebben de balk niet met bollen, maar met cilin-ders gevuld. Als de rest van het antwoord wel correct was, kostte hen dat 2 punten.

Even tussendoor:

Ik heb soms een beetje moeite met het correctievoorschrift. Dat is onder andere bij vraag 7 het geval. U ziet het voorgestelde antwoord in figuur 6.

de beantwoording van de vraag 9. Een gemiste kans om gecijferdheid te belonen, een gelukje voor Marieke! Als een examenonderwerp over auto’s gaat, dan gaat het ook over snelheid. Vraag 12 was een pittige vraag over de tijdwinst die je hebt als je 130 km per uur rijdt in plaats van 120 km per uur, over een afstand van 14,7 km. Ook hier moest een leerling weer aardig wat denk- en reken-stappen maken voor hij op het juiste antwoord kwam. Een goed antwoord leverde evenveel punten op als een goed antwoord op vraag 24, waar alleen maar een snelheid in kilometer per uur moest worden omgerekend in meter per seconde. Jammer dat het rekenen met tijd tweemaal in dit examen zat. En vreemd dat het zo verschillend beloond werd!

Schoolbanken

Het vierde onderdeel, schoolbanken, begon met een foto van een jongen in Kenia in een houten schoolbank. De zithoogte en de hoogte van het tafelblad waren in de foto met pijltjes aangegeven.

In vraag 13 moesten leerlingen de zithoogte en de hoogte van het tafelblad meten en, uitgaande van de gegeven werkelijke zithoogte, de hoogte van het tafelblad berekenen.

Je kunt je afvragen of meten in deze foto correct is vanwege de vertekening door het perspectief. Misschien zegt het correctievoorschrift daarom dat de meetmarge 2 mm mag zijn?

In de volgende vragen werden verschillende maten school-banken geïntroduceerd, zie figuur 8.

figuur 6

figuur 7

figuur 8 Net als alle wiskundedocenten probeer ik mijn leerlingen

aan te leren om altijd berekeningen op te schrijven. Het is mij niet duidelijk waarom het correctievoorschrift soms berekeningen wel verplicht stelt en soms niet. Waarom staat hier ‘8 × 3 =’ tussen haakjes?

Het veroorzaakt vreemde discussies met de tweede corrector als een leerling 8 × 3 wel heeft opgeschreven, maar 2 × 4 × 3 niet. Dat is vooral lastig als een leerling een totaal andere aanpak heeft gekozen dan het correc-tievoorschrift en daar dan af en toe een berekening heeft weggelaten.

Ik hoop dat in de toekomst de correctievoorschriften hierover nog wat consequenter worden.

Auto’s

Het derde onderdeel ging over auto’s. Vraag 9 leek een fijne binnenkomer. Er werd een exponentiële formule gegeven voor het aantal auto’s in de jaren tussen 1900 en 1938. Leerlingen moesten aangeven of deze formule klopte voor het aantal auto’s in 2014. Toch viel voor sommige leerlingen deze vraag behoorlijk tegen. In de tekst van vraag 9 stond niet vermeld hoeveel auto’s er in Nederland waren in 2014. Als de formule wordt gebruikt, komt daar een aantal auto’s uit dat veel te groot is voor Nederland. De gecijferde leerlingen zagen: zoveel auto’s kunnen er helemaal niet zijn in Nederland. Mick schreef: dan zouden er 700 auto’s zijn per Nederlander.

Hier werd van de leerlingen gevraagd om te vertrouwen op hun eigen kennis over het aantal auto’s in Nederland. Marieke had (correct) berekend dat er 11 863 647 510 auto’s zouden zijn in 2014. U ziet haar werk in figuur 7. Kunt u nog lezen wat ze heeft doorgestreept? ‘Ja, dat kan kloppen’! Volgens de aanvulling op het correctievoorschrift mocht de informatie van vraag 10 ook gebruikt worden bij

Hadden de examenmakers voorzien dat het begrip ‘woord-formule’ zoveel problemen zou veroorzaken? Veel van mijn leerlingen wisten niet meer wat een woordformule was. Ook op het forum meldden collega’s dat hun leerlingen in verwarring waren door de formulering van vraag 15. Een collega meldde dat een leerling als antwoord gaf:

‘Lineaire formule’, en bij de berekening van vraag 16 deze formule gewoon opschreef! Nul punten voor deze leerling bij vraag 15. Of misschien hebben de eerste en tweede corrector de suggestie van een collega op het forum overgenomen: ‘Met een beetje (veel) goede wil kun je het als notatiefout zien: vergeten het getal 15 op de juiste plaats voor de kantlijn te zetten. ’

Toen ik mijn leerlingen na afloop van het examen vertelde dat een woordformule een formule is met woorden in plaats van letters, gaven ze allemaal aan dat ze wél een formule met letters hadden kunnen geven. Maar een woordformule? Gelukkig hoefde ik hen niet uit te leggen dat in het correctievoorschrift stond dat voor een formule met letters geen scorepunten in mindering gebracht hoefden te worden. Hadden ze dat geweten…! En ik had toch zó gezegd: ‘Laat zien wat je kunt!’

Het berekenen in vraag 16, waarom er geen schoolbanken met maat 30 gemaakt zullen worden, was voor veel leerlingen niet al te moeilijk; het goed formuleren van het antwoord wél. Mijn leerlingen weten heus wel dat ‘dan komt er 146 uit en dat is niet goed’ geen goed antwoord op deze vraag is. Waarom geven ze zulke antwoorden dan toch?!

Gatenzaag

En dan de gatenzaag, het vijfde onderwerp van het examen. Met een gatenzaag worden gaten in een plank geboord om een dienblad voor glazen limonade (!) te maken. Figuur 9 is de afbeelding die erbij hoort.

verder. Weer andere leerlingen namen aan dat hier de afstand tussen de toppen van de tanden werd bedoeld. Deze laatste leerlingen hebben hierbij het correctievoor-schrift en de Toets- en Examenlijn aan hun zijde. Als antwoord op mijn klacht over deze vraag antwoordde de Toets- en Examenlijn: ‘[…] Bij deze vraag wordt van GL/TL leerlingen verwacht dat zij het inzicht hebben dat de afstand waarnaar gevraagd wordt, de afstand tussen de toppen van de tanden is. […]’ Gelukkig kunnen andere correcte antwoorden (afstand is nul mm, een waarde aannemen voor de breedte van een tand) volgens regel 3.3 van de algemene regels van het correctievoorschrift ook goed gerekend worden. In mijn ogen is dit weer een verwarrende vraag, terwijl ook hier deze verwarring waarschijnlijk niet bedoeld is.

In vraag 19 moest de oppervlakte in cm2 _{van een gat}

berekend worden. Een eenvoudige vraag die bijna al mijn leerlingen de volle drie punten opleverde. Vraag 20 is in mijn ogen een pareltje. U ziet hem in figuur 11.

figuur 10

figuur 11

figuur 9

figuur 12 De diameter van de gatenzaag was in inches en in mm

gegeven. In vraag 17 moesten leerlingen berekenen hoeveel mm 1 inch is. Een verhoudingstabel bleek voor veel van mijn leerlingen een handig hulpmiddel om te bepalen of ze 67 : 25₈ moesten berekenen of 25₈ : 67. Ze kwamen er uit, gelukkig! Vraag 18 ziet u in figuur 10. Bent u nu ook op zoek naar de breedte van een tand? Die breedte is niet gegeven! Er zijn leerlingen die hebben geantwoord: ‘De afstand is 0 mm, want de tanden staan tegen elkaar aan.’ Andere leerlingen namen aan dat de breedte van een tand 1 mm is en rekenden daarmee

Dit is een vraag waar de sterkere leerling mee uit de voeten kan, maar ook een zwakkere leerling met voldoende doorzettingsvermogen kan hiervoor een oplos-sing bedenken. U ziet een uitwerking van een echte doorzetter in figuur 12. Let niet op het ‘breiwerk’, dat

12

EUCLIDES 92 | 1

hoeft de corrector volgens de vakspecifieke regels van het correctievoorschrift ook niet te doen.

Kettingmail

Het zesde onderwerp ging over Kettingmail. Volgens mij kwam in dit onderdeel de moeilijkste vraag van het examen voor. U ziet de introductie in figuur 13.

Skispringen

En dan het laatste onderdeel: Skispringen (zie figuur 16).

figuur 13

figuur 14

figuur 15

figuur 16

figuur 17 Na deze lange introductie moesten leerlingen in vraag 21

laten zien dat in ronde 3 al meer dan 50 e-mails worden verstuurd. In vraag 22 werd gevraagd te berekenen in welke ronde er 1024 e-mails verstuurd worden. Mijn leerlingen maakten hier bijna geen fouten.

Maar dan vraag 23 (zie figuur 14):

De te maken berekening wordt hier bijna voorgedaan! Maar uit de antwoorden van mijn leerlingen kon ik opmaken dat ze moeite hadden om dit te begrijpen. Er waren slechts drie leerlingen die deze vraag helemaal goed hadden, velen hadden hun antwoord zo ongeveer geformuleerd als de leerling in figuur 15.

Na een introductie waarin de woorden helling (schans) en aanloophelling werden uitgelegd, moesten leerlingen in vraag 24 een gegeven snelheid in kilometer per uur omrekenen naar meter per seconde. Dat zouden ze goed moeten kunnen doen en dat deden ze dan ook. Snel drie punten verdiend.

In vraag 25 werd gevraagd om zonder te meten RS te berekenen. Al mijn leerlingen herkenden dit als ‘een vraag naar Pythagoras’, niveau klas 2 vmbo-tl. De vraag naar hellingshoek T was ook al zo herkenbaar. Goniometrie is wel eens moeilijker geweest op een examen! Voor velen een opluchting.

En dan vraag 27, de laatste vraag van het examen en de eerste meerkeuzevraag in een wiskunde-examen vmbo-tl. U ziet de vraag en de keuzemogelijkheden in figuur 17.

Mijn leerlingen hadden gemiddeld ruim 52 van de 77 punten voor dit examen. Het is een best een sterke klas. Kunt u verklaren waarom 16 van mijn leerlingen deze vraag niet goed hebben beantwoord? Ik niet!

Tot slot

Een aantal vragen uit dit examen zou door leerlingen in klas 2 vmbo-tl zonder problemen beantwoord kunnen worden. Er zaten aan de andere kant ook een paar vragen tussen die wel erg veel denk- en rekenstappen vroegen. Ik geef mijn leerlingen, die zeiden dat het best te doen was, gelijk: het was best te doen.

Het is jammer dat er een moeilijke ‘laat zien’-vraag aan het begin van het examen stond. Ook het tweemaal naar ‘de hoeveelste maand’ vragen en tweemaal een vraag over

snelheid stellen verdient niet helemaal de schoonheids-prijs.

Veel contexten van dit examen (auto’s, schoolbanken, gatenzaag) hebben waarschijnlijk de technisch aangelegde leerlingen meer aangesproken dan de minder technische leerlingen. Is het erg rolbevestigend om te stellen dat dit meer een jongens- dan een meisjesexamen was?

Mijn leerlingen ondervonden bij sommige vragen meer moeilijkheden met de taal en de context dan met de wiskunde bij die context. Een reden te meer om in mijn lessen nog meer nadruk te leggen op taal bij wiskunde! Of het nu gaat om het lezen, om het analyseren van de

context of om het formuleren van het antwoord, taal is belangrijk!

Daniëlle, die om kwart voor drie al klaar was, had trouwens 59 van de 77 punten. Met een N-term van 0,7 leverde haar dat een 7,6 op.

Over de auteur

Ebrina Smallegange is docent wiskunde en rekenen op de locatie Kesteren van de Regionale Scholengemeenschap Pantarijn. De uitwerkingen zijn van haar leerlingen. E-mail: esmallegange@gmail.com

MEDEDELING

COMPETITITES EN COMPETENTIES

22ste symposium WGRWO, 17 september 2016

Examens en wedstrijden hebben altijd een rol gespeeld in het wiskundeonderwijs, bijvoorbeeld voor het testen van toegangseisen, kwaliteitscontrole van het onder-wijs, stimuleren van competitie, of gewoon voor de lol. In het programma voor dit jaar komen een viertal van deze examens en wedstrijden aan bod. We maken er geen wedstrijd van, maar hopen velen van u op het 22ste WGRWO symposium te zien.

9.30 - 10.15 Inloop en koffi e

10.15 - 10.30 Welkom en mededelingen 10.30 – 11.15 De Wiskunde Olympiade

In Nederland werd de eerste Wiskunde Olympiade georganiseerd in 1962, in 1969 nam voor het eerst een Nederlands team deel aan de Internationale Olympiade. In de loop van de jaren zeventig werd er serieus werk gemaakt van de voorbereiding op deze Olympiades. De spreker van vandaag was daar nauw bij betrokken. Spreker: Jan van de Craats.

11.15 – 12.00 Examens voor wijnroeiers in zestiende-

eeuws Antwerpen

In de handelsmetropool Antwerpen was om diverse redenen het snel en betrouw-baar kunnen bepalen van de inhoud van de verhandelde vaten van groot belang. Dat was de taak van de wijnroeiers, een functie die je alleen mocht uitoefenen na een stevig examen. Spreker: Ad Meskens. 12.00 – 13.30 Lunch

13.30 – 14.15 Examens voor lbo, mavo en vmbo De examens voor vmbo, vroeger lbo en mavo werden en worden door meer leerlingen afgelegd dan die voor havo/ vwo. Toch staan die laatste examens meestal meer in de belangstelling. Vandaag nu eens niet. In deze voordracht staat de geschiedenis van die andere examens centraal. Spreker: Truus Dekker 14.15 – 14.45 Th ee-, koffi e- en frispauze

14.45 – 15.30 De Wiskunde A-lympiade Deze competitie voor teams van

leerlingen die een dag lang werken aan een open opdracht waarbij een beroep wordt gedaan op ‘higher order thinking skills’ is ontstaan als een typisch Nederlands fenomeen, passend bij het vak Wiskunde A - maar in de loop der jaren zijn er heel wat andere landen aangehaakt die deze vaardigheden ook belangrijk vinden. De A-lympiade is van recenter datum dan de gewone olympiades, maar bestaat toch al weer zo’n dertig jaar. Tijd voor een terugblik! Spreker: Dédé de Haan.

Het symposium vindt plaats in cursus- en vergader-centrum Domstad, Koningsbergerstraat 9, 3531 AJ te Utrecht. Kosten voor NVvW en NVORWO leden € 27,50, overigen € 32,50.

Inschrijven kan via de site van NVvW, klik bij ‘Laatste Nieuws’ of bij de Agenda op het kopje ‘Competities en Competenties’.

14

EUCLIDES 92 | 1

En weer een nieuw bewijs van de stelling van

Pythagoras...

Nog steeds vindt men nieuwe bewijzen voor de stelling van Pythagoras. De Amerikaan Elisha Loomis verzamelde er in 1940 maar liefst 370. In 2002 verwerkte Bruno Ernst er 29 in zijn De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras (verschenen bij Epsilon) en in de vorige jaargang van Euclides gaf Simon Biesheuvel een mooi bewijs (jaargang 90, nr. 2). Een Amerikaanse econoom, Kaushik Basu van de Cornell University en de Wereldbank, gaf een bewijs gebaseerd op een interes-sante eigenschap van gelijkbenige driehoeken. Het bewijs in vier stappen:

Booleaanse pythagoreïsche drietallenprobleem

opgelost

Is het mogelijk de gehele getallen zó rood of blauw te kleuren dat de getallen van elk Pythagoreïsch drietal (a,b,c) niet alle drie dezelfde kleur krijgen? Deze vraag werd in de jaren tachtig van de vorige eeuw gesteld door de wiskundige Ronald Graham. Hij loofde 100 dollar uit voor degene die het probleem zou oplossen. Onlangs werd de prijs verdiend door de Nederlandse informaticus Marijn Heule, Oliver Kullmann en Victor Marek van de univer-siteit van Texas. Zij bewezen dat het mogelijk was om de getallen 1 t/m 7824 op deze manier te kleuren, maar dat het vanaf 7825 niet meer mogelijk is. Het computerbewijs omvat 200 terabyte, past op tweehonderd laptops en is ongeveer even groot als de hele inhoud van de Koninklijke Bibliotheek. Als u beschikt over voldoende rekentijd, dan kunt u het desgewenst checken: het bewijs is in gecom-primeerde vorm (68 gigabyte) te downloaden van Heules website. Volgens Heule is het monsterbewijs leuk voor de media, maar wiskundig gezien niet eens een echt hoogstandje: ‘Ik wil laten zien dat je de mededeling dat je voor een gecompliceerde stelling geen tegenbewijs hebt kunnen vinden, ook helemaal voor anderen controleerbaar maakt. Door het te doen en ondanks de enorme omvang gewoon toegankelijk te maken.’

Bronnen: De Volkskrant, 6 juni 2016,

www.kennislink.nl/publicaties/de-tweedeling-stopt-bij-7824

Nederlands team WiskundeOlympiade (Hong Kong)

Begin juni werd het team geselecteerd dat Nederland deze zomer verte-genwoordigde bij de Internationale Wiskunde Olympiade in Hong Kong (9 t/m 16 juli). Alle teamleden hebben al wedstrijdervaring op zak en hoopten nu hoge ogen te gooien op de meest prestigieuze internationale wedstrijd. In Valkenswaard vond eind mei de laatste trainings- en selectieweek plaats. Deelnemers aan deze selectie-week waren de winnaars van de Nederlandse Wiskunde Olympiade, die in vier eerdere rondes ruim 10.000 deelnemers achter zich lieten. De volgende zes leerlingen hebben zich na drie selectietoetsen geplaatst voor het Nederlandse team: Erik van Cappellen (17 jaar, Putten, 5 vwo, Johannes Fontanus College Barneveld), Wietze Koops (15 jaar, Meppel, 5 vwo, RSG Stad & Esch Lyceum Meppel), Levi van de Pol (14 jaar, Veenendaal,

Deze rubriek is een impressie van zaken die van belang zijn voor docenten wiskunde. Wilt u een wetenswaardigheid geplaatst zien, uw collega’s op de hoogte brengen van een belangwekkend nieuwsfeit dat u elders heeft gelezen of verslag doen van een wiskundige activiteit? Stuur ons uw tekst, eventueel met illustratie. De redactie behoudt zich het recht voor bijdragen in te korten of niet te plaatsen. Bijdragen naar wisenwaarachtig@nvvw.nl

WIS EN WAARACHTIG

1 Gegeven een gelijkbenige driehoek met loodlijnen (rood). De gele driehoek en de blauw/groene driehoek zijn gelijkvormig, dus ½c:n = a:c, ofwel c2 _{= 2an.}

2 Gegeven een rechthoekige driehoek. De rode lijn is zó getekend, dat de gele driehoek gelijkbenig is. De oranje lijn is evenwijdig met de rode lijn. De groene lijn is een loodlijn en verdeelt de verticale zijde van de driehoek in twee delen met lengtes x en y. De oorspronkelijke driehoek en de blauwe driehoek zijn gelijkvormig, dus n:m = y:x. Deze twee vergelijkingen zijn te combineren tot b2 _{= an + am.}

3 Gegeven is een rechthoekige driehoek. Verleng de zijde met lengte a (rood) zó, dat de gele driehoek gelijkbenig is. Dezelfde hulplijnen als in (1) zijn grijs weergegeven. Op grond van (1) geldt: c2 _{= 2an = an + an = an + a(m}

+ a) = an + am + a2_.

4 Zelfde plaatje als in (3), maar nu met de hulplijnen als in (2). Wegens (2) geldt b2 _{= an + am. De gelijkheid in}

(3) wordt hiermee herleid tot c2 _{= b}2 _{+ a}2_{, waarmee de}

stelling van Pythagoras is bewezen. Bron: NRC 23 mei 2016

figuur 1 Stap 1 Stap 2

voor Nederlands en Engels, verder achten en negens.’ Hij wil door in de bètarichting, technische natuurkunde in Eindhoven.

Bron: De Gelderlander 18 juni 2016

SMART-finale Kangoeroewedstrijd

Dit jaar werd voor de derde keer de SMART-finale georga-niseerd. De twintig beste deelnemers van groep 7 & 8 en van het vmbo-smart (deze laatste groep is nieuw dit jaar!) werden uitgenodigd om op donderdag 21 juni deel te nemen aan deze finale. In science-center Nemo streden uiteindelijk 59 leerlingen (20 uit groep 7, 21 uit groep 8 en 18 van het vmbo) voor een plaatsje bij de eerste drie van hun categorie. De finale werd gespeeld over twee rondes (één met 16 meerkeuze-vragen en één met 8 open vragen). Dit zijn de prijswinnaars, alle deelnemers kregen dezelfde opgaven en de maximale score was 56 punten:

Groep 7:

1. Raven Staal uit Amsterdam met 45 punten 2. Hylke Hoogeveen uit Odijk met 42 punten 3. Emma van Klink uit Voorhout met 36 punten Groep 8:

1. Andy Zhang uit Eindhoven met 49 punten 2. Keanu Metz uit Krommenie met 49 punten 3. Wietske de Vos uit Assendelft met 48 punten Nora Christine Baljè uit Groningen met 48 punten Vmbo:

1. Marijn Borrenbergs uit Luyksgestel met 38 punten 2. Roy Pullen uit Hardenberg met 35 punten

3. Bjorn Klinkenberg uit Voerendaal met 34 punten Joost Oosterom uit Nieuwegein met 34 punten Het gemiddelde in groep 7 was 30 punten, in groep 8 was dat 40 punten en 26 punten bij het vmbo. Volgend jaar wordt de finale hoogstwaarschijnlijk weer in museum Boerhaave in Leiden georganiseerd (als de verbouwing volgens planning verloopt).

Voor een foto-impressie (en de opgaven) kunt u terecht op website: http://www.w4kangoeroe.nl/

Bron: Martin Winkel, Stichting Wiskunde Kangoeroe, Nijmegen

3 vwo, Ichthus College Veenendaal), Reinier Schmiermann (14 jaar, Drunen, 5 vwo, Stedelijk Gymnasium ’s-Herto-genbosch), Pim Spelier (16 jaar, Den Haag, 6 vwo, Christelijk Gymnasium Sorghvliet Den Haag), Gabriel Visser (18 jaar, Spijkenisse, 5 vwo, Stedelijk Gymnasium Schiedam)

Als winnaar van de aanmoedigingsprijs ging mee: Matthijs van der Poel (15 jaar, IJsselstein, 3 vwo, Christelijk Gymnasium Utrecht). Deze prijs is bestemd voor een jong aanstormend talent en wordt beschikbaar gesteld door het Freudenthal Instituut van de Universiteit Utrecht.

Bij de Benelux Wiskunde Olympiade eerder dit jaar hebben deze wiskundetalenten al laten zien wat ze in huis hebben. Levi, Reinier en Pim behaalden daar een zilveren medaille, terwijl Wietze, Gabriel en Matthijs een bronzen medaille wonnen.

Op de internationale olympiade viel het team weer in de prijzen:

Levi van de Pol: brons (21 punten) Pim Spelier: brons (20 punten) Gabriel Visser: brons (16 punten)

Wietze Koops: eervolle vermelding (15 punten) Reinier Schmiermann: eervolle vermelding (15 punten) Erik van Cappellen: eervolle vermelding (11 punten) Bron: www.wiskundeolympiade.nl

Roy scoort ‘onmogelijk’ cijfer 12 op examen wiskunde

Een 12 als cijfer? Het klinkt niet logisch, zeker niet als het om het vak wiskunde B gaat. Toch is dat het cijfer dat Roy Clevis wellicht had moeten krijgen voor zijn examen wiskunde. De NSG-leerling uit Nijmegen vond de opgaven ‘best wel te doen’, hij scoorde een 10. Andere examenleerlingen hadden meer moeite met het examen. Daarom werd de norm landelijk met twee punten verhoogd. Resultaat voor Roy: een 12. De 12 komt niet in de boeken, want hoger dan een 10 scoren kan nou eenmaal niet. NSG-directeur onderwijs Martinette Selten: ‘Zo’n ophoging van 2.0 is de hoogst mogelijke. Dat wil zeggen dat het eindexamen extreem moeilijk was. Roy haalt zelfs dan nul fouten. Dit maak je zelden mee.’ Roy was verbaasd. Nul onjuistheden in zijn wiskunde B-examen? ‘Ik dacht dat ik een paar rekenfoutjes had gemaakt.’ Of het uniek is in Nederland, is nog onbekend. Roy blijft nuchter. ‘Ach, ik heb altijd al een goed gevoel gehad voor cijfers.’ En wel iets meer dan dat: ‘In het examen moesten we bewijzen dat de ene hoek gelijk was aan de andere. Dat doe je aan de hand van stellingen. Dat kan lastig zijn. Waarom het gebeurt, weet ik niet, maar op een gegeven moment “zie” ik gewoon het antwoord.’ Verder had Roy een prachtige lijst. ‘Zevens

16

EUCLIDES 92 | 1

16

EUCLIDES 92 | 1

Het examen kreeg een N-waarde van 1,5 en op het examenforum voor leerlingen vond

28% het zeer moeilijk. In dit artikel leest u hoe het de leerlingen van Gerrie Stuurman is

vergaan en wat zij zelf van de opgaven vindt.

HAVO B-EXAMEN

‘U heeft ons goed voorbereid, maar ik weet niet of ik alles goed heb.’ Dat was een uitspraak van één van mijn havo Wiskunde B-leerlingen. En zo heb ik dit examen ook ervaren. Na het uitdelen van de examens in de gymzaal, keek ik uiteraard direct het examen in. Bij de meeste opgaven dacht ik: ‘Dat hebben we geoefend. Fijn!’ Ik was blij dat de hoeveelheid tekst bij de opgaven beperkt was. Een goed teken. Zo zie ik het graag bij een wiskunde B-examen. Exact en algebraïsch oplossen zat er ook voldoende in.

Een betere indicatie van de moeilijkheidsgraad en de lengte krijg ik, als ik het examen zelf ga maken en met het correctiemodel vergelijk. Dan zie je de eerste ‘haken en ogen’ van het examen pas. En dan kan het nakijkwerk beginnen. En ook daarbij vallen weer zaken op waarvan ik denk: ‘Mmmm. Moet ik dit nu echt fout rekenen? Is dit waar het om gaat bij een examen?’ Ik kom daar later nog op terug. Gelukkig waren er ook genoeg opdrachten waarbij ik vlot het werk van mijn leerlingen kon nakijken, omdat ze het netjes hadden opgeschreven en het correc-tiemodel ook prettig te gebruiken was.

Meetkunde

bij voorkeur niet tussendoor moet afronden, maar ze willen toch graag weten met hoeveel decimalen ze minimaal door moeten rekenen. Bij deze opgave bleek dat leerlingen die met twee decimalen hadden gewerkt fout uitkwamen. Hun antwoord was 232 cm2_{. Als je niet afrondde of met}

minimaal drie decimalen doorwerkte, dan kwam je uit op 231 cm2_{. Helaas mochten we het antwoord ‘232 cm}2_{’ niet}

goed rekenen. En dat terwijl bij opgave 1 leerlingen de waarde ‘250π’ (= 785,398….) tussentijds mochten afronden op 785. Dat leverde bij deze opgave ‘toevallig’ hetzelfde antwoord op als in het correctievoorschrift staat. Voor mijn gevoel is dit niet consequent.

Algebra en grafische rekenmachine

De tweede context heette Een wortelfunctie. Een context met een mooie afwisseling tussen algebraïsch werk en oplossen met behulp van de grafische rekenmachine. Bij opgave 5 moest het tweede snijpunt van de grafieken van de wortelfunctie met een lineaire functie worden bepaald. Dit mocht met de grafische rekenmachine. Het viel mij op dat ik blijkbaar zoveel geoefend heb met het exact oplossen van allerlei vergelijkingen, dat een flink deel van mijn leerlingen deze opgave algebraïsch heeft opgelost en dat ging nog goed ook! Bij opgave 6, het laatste onderdeel van deze context, moest er een functie-voorschrift worden opgesteld voor de afstand tussen twee grafieken. Van deze functie moest vervolgens met behulp van differentiëren het maximum worden gevonden. Ook een herkenbaar type opgave.

Periodieke functies

De context Schijngestalten van de maan is een mooie toepassing van een ander periodiek verschijnsel uit de natuur. Nu eens geen eb en vloed of daglengte, maar het ‘maan’delijkse verloop van de vorm van het zichtbare gedeelte van de maan. Het type vragen was herkenbaar. Het ‘addertje onder het gras’ was hier het feit dat door het in de examenstand zetten van de rekenmachine, de instelling standaard naar ‘degree’ wordt gezet. In ieder geval had ik een paar leerlingen die dit niet rechtgezet hadden. Jammer! Op het examenforum van de NVvW is te zien dat opgave 9 de gemoederen het meest heeft beziggehouden. Zowel het aantal reacties als het aantal weergaven is bij deze opgave het hoogst. Het was inder-daad een opgave waarbij veel van mijn leerlingen niet precies alle stappen uit het correctiemodel opgeschreven

Gerrie Stuurman

De eerste context, Blokkendoos, was een leuke meetkun-dige toepassing (figuur 1). Bij deze opgave moesten de leerlingen de inhouds- en oppervlakteformules beheersen van onder andere balken en cilinders. En verder moesten ze een bovenaanzicht van een bouwsel tekenen. Op zich een context met prettige opgaven om mee te starten. Bij opgave 3 heb ik een kanttekening. De leerlingen moesten de totale oppervlakte uitrekenen van een figuur die eruitzag als een brug. Dit moest beantwoord worden ‘in cm2 _{nauwkeurig’. Uiteraard leer ik mijn leerlingen dat je}

‘EXAMEN WAS GOED TE MAKEN VOOR

LEER-LINGEN, MAAR HET WAS IETS TE LANG.’

dan wel kon geven.

Differentiëren

Bij opgave 10 van de context Gebroken functie en raaklijn moest een gebroken functie worden gedifferenti-eerd. Toevallig leek deze functie heel veel op de functie waarmee ik in de laatste les voor het examen het diffe-rentiëren nog eens geoefend had. Bij opgave 11 moest de verhouding tussen de oppervlakten van het driehoekige deel en het trapeziumvormige deel van een rechthoek exact worden berekend. Voor het berekenen van beide oppervlakten was er een x-waarde van een punt op de grafiek van de gebroken functie en een raaklijn in de oorsprong gegeven. Het type opgave deed mij erg denken aan een vwo wiskunde B-examen. Het was een opgave die prima te doen was voor een havoleerling. Een mooie opgave!

Logaritmes

(92%) en opgave 15 de laagste (16%). En dat binnen één context! Het omschrijven van formules met een logaritme er in, blijft lastig voor havoleerlingen. Als het iets minder abstract is, zoals een logaritmische vergelijking exact oplossen dan lukt dat best aardig. Maar het omschrijven van formules van de ene vorm in de andere met de log-rekenregels, dat is blijkbaar toch een ‘abstractie’-stapje te hoog.

Ruimtemeetkunde

De één na laatste context had de prozaïsche titel: Lichaam PSC.QRF. Deze titel valt wat mij betreft in dezelfde categorie als de context f boven g uit het havo wiskunde B-examen van 2014, tijdvak 1. Het valt ook niet altijd mee om een goede titel voor een context te verzinnen. Wat mij betreft had de titel hier ook kunnen zijn: ‘Nou vooruit, nog één keertje dan’ of ‘Ruimtemeetkunde! De ontknoping’. Goed, weer serieus. Bij de eerste opgave uit deze context moest de inhoud van een ruimtelijk figuur worden berekend. Eén van de manieren was om eerst de inhoud van een prisma uit te rekenen en daar dan de inhoud van twee dezelfde piramides af te trekken. Ook dit jaar geen afgeknotte kegel of afgeknotte piramide. En daar hadden we nog zo mee geoefend! Bij opgave 17 moest er een doorsnede worden getekend. En voordat de doorsnede getekend kon worden, moest er gerekend worden. Het viel de leerlingen niet mee om de doorsnedes te kiezen waarmee zij de juiste lengtes konden uitrekenen. Er werd volop ge’Pyhthagoras’t, maar dat leidde regelmatig tot lengtes van foutieve zijden.

Bij de laatste context kwamen exponentiële functies en transformaties aan bod. Bij opgave 18 moest er exact worden opgelost. Bij de laatste twee opgaven ging het om transformaties. Ook bij deze laatste context hebben mijn leerlingen nog heel behoorlijk gescoord. Bij opgave 20 was het duidelijk dat de tijd om was. Er is nog snel het nodige op papier gezet, maar niet compleet en zeker niet foutloos. Mijn conclusie is dat het examen goed te maken was voor leerlingen, maar dat het iets te lang was.

Conclusies

Hieronder nog een aantal punten uit mijn analyse van dit examen:

- Een goede verde-ling over de verschillende type functies: een lineaire functie, een machtsfunctie, een gebroken functie, een exponentiële functie en een periodieke functie kwamen in dit examen voor.

- Er moest twee keer gedifferentieerd worden. In beide gevallen was de kettingregel nodig. De productregel was dit jaar niet nodig. Ik vermoed dat dit te maken heeft met het feit dat de productregel niet in het nieuwe examenprogramma zit.

figuur 2 Grafiek bij de context Karpers

Bij de context Karpers kregen de leerlingen te maken met een grafiek waarbij beide assen logaritmisch waren (figuur 2). Een log-log-schaal dus. Het is een flink aantal jaren geleden dat er zo’n grafiek in het examen voorkwam. De

varia-belen, waartussen een machtsverband bestond, waren de lengte en het gewicht van karperlarven. Er moest met behulp van

een gegeven een parameter worden berekend (opgave 13) en een verhouding tussen het gewicht van twee karperlarven van verschillend gewicht (opgave 14). Het antwoord op deze vraag moest in honderdtallen gegeven worden. Een aantal leerlingen heeft daarbij het onafge-ronde antwoord 1110,59… afgerond naar 11,10 ⋅ 102_{. Het}

lijkt er op dat ze de aanwijzing hebben verward met iets uit de natuurkunde-examens. Tot slot moest de formule worden omgeschreven naar een log-vorm (opgave 15). Opgave 14 had in mijn klas de hoogste percentielscore

18

EUCLIDES 92 | 1

18

EUCLIDES 92 | 1

- Er hoefde geen uitslag te worden getekend van een meetkundig figuur.

- Het aantal keren dat er exact of algebraïsch gewerkt moet worden in het examen is redelijk constant de laatste jaren. In 2014 tijdvak I was er een uitschieter waarbij er acht keer exact berekend moest worden. De laatste jaren is dit ongeveer drie keer per examen. Verder zijn er twee of drie opgaven waarbij algebraïsch gerekend moet worden. Zo’n tien keer per examen mag een antwoord met de rekenmachine worden berekend. Van die tien keer wordt er ongeveer zes keer een afrondinstructie gegeven.

Op het examenforum voor leerlingen op scholieren.com/ eindexamens2016 was ook te lezen dat het examen goed te doen was voor de meeste leerlingen. Op deze site kunnen leerlingen hun stem uitbrengen wat ze van de moeilijkheidsgraad van het examen vonden. Dit jaar was de stemming als volgt: Erg makkelijk – 10%, gemakkelijk – 13%, gemiddeld – 24%, moeilijk – 25% en erg moeilijk – 28%. Laten dit nu exact dezelfde percentages zijn als vorig jaar! Een opvallend feit dat ook hier genoemd werd, was de verkeerde eindtijd op het examen en het feit dat dit pas na de start van het examen via een mailing van Examenblad.nl gecommuniceerd werd. Van paniek was bij mijn leerlingen echter geen sprake. Ze waren tenslotte ‘goed voorbereid’.

Over de auteur

Gerrie Stuurman is docente wiskunde op SG Huizermaat te Huizen. E-mailadres: gstuurman@gsf.nl

PILOTEXAMEN WISKUNDE A

Toetsvragen kunnen op veel verschillende manieren

geanalyseerd worden. Achteraf door naar cijfermatige

resultaten te kijken, vooraf vooral op basis van intuïtie

en ervaring. Erik van Barneveld beschrijft de manier van

analyseren die in zijn sectie wordt gebruikt en vergelijkt

de pilotexamens van dit jaar en vorig jaar.

Achtergrond

Toen het examen werd afgenomen, was ik als surveil-lant aanwezig in de examenzaal. Dat gaf mij de kans om het examen even globaal door te nemen. Mijn eerste indruk was dat het examen goed maakbaar is. Tijdens de examenbespreking kwam naar voren dat een aantal pilotdocenten dezelfde indruk had, maar dat er ook pilot-docenten waren die het examen – zeker in vergelijking met het reguliere vwo wiskunde A-examen – tamelijk complex vonden. Dat roept de vraag op welke onder-delen van het examen als makkelijk of moeilijk bestem-peld zouden kunnen worden. Deze vraag is relevant voor docenten die dit schooljaar zijn gestart met het nieuwe examenprogramma. Enig inzicht in de moeilijkheids-graad van verschillende examenonderdelen kan natuur-lijk achteraf worden verkregen door te kijken naar de behaalde p-waarden op de verschillende onderdelen (zie hiervoor de toets en itemanalyses op www.cito.nl). In dit artikel beschrijf ik hoe er – los van behaalde p-waarden - binnen de vakgroep op mijn school gekeken wordt naar de moeilijkheidsgraad van schriftelijke toetsen. Deze methode kan niet alleen achteraf worden gebruikt, maar juist ook vooraf bij het opstellen van deze toetsen.

Hoe moeilijk is een schriftelijke toets?

Sinds enige tijd wordt er bij ons op school gewerkt met RTTI (zie www.rtti.nl). Dit is een middel om per leerling per vak verschillende cognitieve niveaus van leren in kaart te brengen. Idealiter gaat RTTI binnen de school werken als een motor voor onderwijsontwikkeling. De vier letters van de afkorting RTTI staan voor vier cognitieve niveaus. De R staat voor reproductie, T1 voor trainingsgerichte toepassing, T2 voor transfergerichte toepassing en I voor inzicht. Binnen de vakgroep wiskunde hebben wij vastge-steld dat voor ons vak het onderscheiden van vier cogni-tieve niveaus niet noodzakelijk is. Wij voegen doorgaans de eerste twee categorieën (R en T1) samen en ook de laatste twee categorieën (T2 en I). Zodoende werken wij met twee cognitieve niveaus: T1 en T2, die wij kortweg aanduiden met standaardopgaven (T1) en

‘HET IS EEN BEGRIJPELIJK MISVERSTAND

DAT T1-VRAGEN MAKKELIJKER ZOUDEN

ZIJN DAN T2-VRAGEN.’

standaard-opgave betreft of niet, baseren we ons enerzijds op de syllabus vwo wiskunde A 2018 waarin een onderscheid wordt gemaakt tussen parate vaardigheden en productieve vaardigheden (zie www.examenblad.nl) en anderzijds op het gegeven onderwijs.

In de les proberen we over te brengen welke opgaven standaardvragen zijn en welke opgaven wij als niet-standaard beschouwen. Wij kiezen daarbij voor een beperkte set standaardopgaven en proberen expliciet aandacht te besteden aan de vraag hoe leerlingen niet-standaardopgaven zouden kunnen aanpakken.

Het is een begrijpelijk misverstand dat T1-vragen makkelijker zouden zijn dan T2-vragen. Het RTTI-verhaal straalt iets uit van een hiërarchie in de vier cognitieve niveaus.

Reproductie lijkt te staan voor het laagste niveau en inzicht voor het hoogste niveau. Als collega’s binnen de vakgroep wiskunde waren wij het er snel over eens dat bij ons vak standaardvragen ook moeilijk kunnen zijn en dat niet-standaard-vragen ook makkelijk kunnen zijn. Om een goede indruk te krijgen van de moeilijkheidsgraad van een toets is het volgens ons daarom ontoereikend om uitsluitend te kijken naar de verhouding T1/T2-vragen en de bijbehorende punten. Volgens ons dient er een tweede dimensie toegevoegd te worden; deze dimensie noemen wij de ‘complexiteit’. Bij de beoordeling van de complexiteit

van een vraag spelen vooral de volgende factoren een rol: - het aantal denkstappen dat nodig is;

- hoe vaak de betreffende denkstappen door leerlingen gebruikt worden;

- hoe herkenbaar de probleemsituatie is;

- welke reken- en/of algebraïsche vaardigheden nodig zijn.

We scoren de complexiteit op een vijfpuntsschaal. Score 1 staat voor zeer makkelijk; 2 voor makkelijk; 3 voor gemiddeld; 4 voor moeilijk; 5 zeer moeilijk. In de praktijk worden scores 1 en 5 niet veel gebruikt en dan resteert een driepuntsschaal: makkelijk, gemiddeld en moeilijk.

In dit artikel zal ik deze driepuntsschaal hanteren.

Het mag duidelijk zijn dat het scoren van beide dimensies (T1 of T2 én de mate van complexi-teit) van een vraag geen exacte wetenschap betreft. Desalniettemin constateren wij dat binnen onze vakgroep, die bestaat uit een tiental zeer verschillende docenten, met hierboven beschreven aanpak vaak snel consensus bestaat over de moeilijkheidsgraad van de afzonderlijke onderdelen van een schriftelijke toets en daarmee ook over de toets in zijn geheel.

Examen 2016

Als ik met de hierboven beschreven aanpak het examen van 2016 bekijk, dan kom ik tot de volgende tabellen.

Aalscholvers en vis Fietsen en energie Elvis

Onderdeel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Max. punten 3 4 3 4 4 4 4 5 4 3 5 4

T1 / T2 T1 T1 T1 T1 T1 T1 T2 T2 T2 T1 T1 T2

Complexiteit 2 3 3 4 2 3 3 3 3 2 4 4

Geocachen Golvende muur Zwart-wit

Onderdeel 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Max. punten 3 4 2 4 2 5 3 4 7

T1 / T2 T1 T1 T2 T1 T1 T1 T1 T2 T2

Complexiteit 2 4 2 3 2 3 3 3 4

Makkelijk Gemiddeld Moeilijk Totaal

T1 19 28 16 63

T2 2 21 14 37

20

EUCLIDES 92 | 1

De tabel laat zien dat bijna 40% van de te behalen punten verdiend moest worden met niet-standaardvragen (T2). Ongeveer 30% van de te behalen punten moest met moeilijke vragen worden gehaald. Ongeveer 15% van de te behalen punten betrof moeilijke niet-standaardvragen. Het is lastig om uitsluitend op basis van deze percentages iets te zeggen over de moeilijkheidsgraad van het examen. Het wordt gemakkelijker als we de moeilijkheidsgraad van twee examens vergelijken door voor beide examens zo’n tabel op te stellen.

Vergelijking met 2015 en eerdere jaren

Voor het examen van 2015 kom ik tot de volgende tabellen.

Piramiden Kosten van betalingsverkeer Station Amersfoort

Onderdeel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Max. punten 3 4 3 4 4 4 3 4 3 3 4 3

T1 / T2 T1 T1 T2 T2 T1 T2 T1 T2 T1 T2 T2 T2

Complexiteit 2 3 2 4 2 3 3 4 2 3 4 3

Bevingen in Japan Snoeken Number Rumba

Onderdeel 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Max. punten 5 3 4 4 4 3 3 4 7

T1 / T2 T1 T1 T1 T2 T1 T1 T1 T2 T2

Complexiteit 3 3 4 4 4 3 4 3 4

Makkelijk Gemiddeld Moeilijk Totaal

T1 13 23 14 50

T2 4 18 29 51

Totaal 17 41 43 101

figuur 1 De opgave Zwart Wit gaat over een patroon uit de serie Tide van Wim Crouwel

Het examen van 2015 laat in beide dimensies een ander beeld zien dan het examen van 2016. In 2015 moest ongeveer de helft van het aantal te behalen punten behaald worden met niet-standaardvragen. Ongeveer 40% van de te behalen punten betrof moeilijke vragen. Bijna 30% van de punten moest behaald worden met moeilijke niet-standaardvragen.

Conclusie en aanbevelingen

Volgens mijn inschatting was het examen 2016 makke-lijker dan het examen in 2015. Dit wordt voor een deel verklaard doordat in het examen van 2016 relatief meer punten konden worden behaald met standaardvragen. Een ander deel van de verklaring is dat de vragen in het examen 2016 (en de punten die ermee verdiend konden worden) minder complex waren dan in 2015. Daarnaast valt op dat het examen van 2016 drie onderdelen bevat waar speci-fieke algebraïsche vaardigheden worden getoetst (maximaal 12 punten), wat beduidend minder is dan in 2015.

Voor docenten die voor het eerst het nieuwe programma doceren is het raadzaam kennis te nemen van de behaalde p-waarden op de verschillende onderdelen van de oude examens en deze informatie te gebruiken bij het opstellen van hun schoolexamens. Tevens verdient het aanbeveling om bij het opstellen van schoolexamens niet uitsluitend te kijken naar het onderscheid standaardvragen en niet-standaard-vragen, maar ook rekening te houden met de complexiteit van de verschillende vragen. In de voorbereiding van school-examens en het centrale examen is het raadzaam om expli-ciet aandacht te besteden aan het herkennen van standaard-vragen en het trainen om deze standaard-vragen snel te kunnen maken. Daarnaast is het van belang dat leerlingen leren hoe zij niet-standaardvragen aan kunnen pakken.

Over de auteur

Erik van Barneveld is werkzaam als docent op de Goudse Scholengemeenschap Leo Vroman in Gouda. E-mailadres:

VWO WISKUNDE B-PILOTEXAMEN

Het wiskunde B-pilotexamen kreeg de hoogste N-term (2,4) van álle vwo-examens van

het eerste tijdvak. Is het daarmee dan niet zo’n goed examen? Ilone Dekkers vindt van

niet. In dit artikel leest u waarom, nadat zij de vernieuwende opgaven in het examen

heeft geanalyseerd.

Ilone Dekkers

De eerste vernieuwing kwam terug in vraag 6: vector-meetkunde met loodrechte toepassing hiervan. De tweede alinea is voor niemand misleidend geweest, want het is logisch om met OSte gaan rekenen: OP OS SP  = + , waarbij SP OS= R

 

en dus de kop-staart-methode. Toch blijkt uit de p-waarde van 0,38 in mijn klas, dat leerlingen dit moeilijk vinden. Er wordt veel op geoefend, want het komt (bijna) elk jaar terug, maar waarschijnlijk is de parameter een ‘afschrikgegeven’ geweest. Daar moet je immers ook nog mee overweg kunnen om de vraag tot een goed einde te brengen.

Inleiding

De vernieuwde wiskunde is dit jaar landelijk van start gegaan. Iedereen moet dit al hebben gemerkt aan nieuwe hoofdstukken in de nieuwe edities van de boeken. Het eerste jaar waarin bij de veelgebruikte methodes, lijnen (uitgebreider dan voorheen) en vectormeetkunde (Moderne Wiskunde) en inverse functies, limieten en verschillende meetkundeonderdelen (Getal & Ruimte) al aan bod zijn gekomen. Daarnaast moest op alle GR’s de examenstand worden gebruikt, dan wel een ‘reset’ van de apparaten worden toegepast. Bijna terug naar vóór de invoering van deze toestellen, want de toegevoegde waarde voor met name wiskunde B is erg minimaal. Dit jaar werd alweer voor de vijfde keer het pilotexamen gemaakt voor de zogenoemde doorloopscholen die mee hebben gedraaid binnen deze pilot met vernieuwingen. Het examen bestond uit zestien vragen, verdeeld over acht opgaven. Drie opgaven hiervan bestonden zelfs maar uit één vraag. In totaal waren er maximaal 79 punten te behalen, tegenover zeventien vragen en 77 te behalen punten bij het reguliere examen. Acht vragen hiervan waren gelijk in beide examens, soms met net iets andere informatie of vraagstelling.

Vectormeetkunde

De eerste twee opgaven Kettinglijn en Automotor waren identiek aan het reguliere examen, behalve dat vraag 2 (de loshangende kabel die de grond al dan niet raakt) niet in het pilotexamen stond. De derde opgave Een driehoek draaiend over een cirkel was een pilotopgave,

zie figuur 1. Vraag 7, zie figuur 2, bleek veruit de moeilijkste te zijn

van het examen, getuige de p-waarde van 0,19. De helft van de leerlingen had geen flauw idee waar ze moesten beginnen en haalde dus geen punten voor deze vraag; niemand scoorde 5 punten volledig.

Er zijn verschillende aanpakken mogelijk. In het CV wordt een aanpak uitgewerkt door de coördinaten van P op de x-as en de y-as te berekenen. Samen met O zijn dit drie punten die op de cirkel liggen en met behulp van het snijpunt van de middelloodlijnen kan de vergelijking van de cirkel verder worden opgesteld. In het nieuwe programma komt deze aanpak echter maar summier aan bod. Geen van mijn leerlingen gebruikte dan ook deze manier. Deze zelfde drie berekende punten kunnen ook met Thales in verband worden gebracht, want er zit een rechte hoek bij S. Daarmee ligt de cirkel ook vast. figuur 1