Experimentele 2-dimensionale mesh-generator voor elementverdelingen van 3-hoekige elementen met 3 knooppunten, bestaande uit een of meer subnetten

(1)

elementverdelingen van 3-hoekige elementen met 3

knooppunten, bestaande uit een of meer subnetten

Citation for published version (APA):

Schoofs, A. J. G. (1971). Experimentele 2-dimensionale mesh-generator voor elementverdelingen van 3-hoekige elementen met 3 knooppunten, bestaande uit een of meer subnetten. (DCT rapporten; Vol. 1971.001).

Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1971 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

EXPERINENTELE 2-D IITENS IONALE ME SH-GENE-

RATOR

VOOR JZLEEENTVERDELINGEN

VAN

3-I-IOE- KIGE ELEMENTEN MET 3 KNOOPPUNTEN, BE- STA4NDE UIT EEN OF MEZR SUBNETTEN.

PRGL-SYST.

R71-2

FE

71-1

(3)

Inhoudsopgave 1 . T i t e l 2. S a m e n v a t t i n g

3 .

Het p r i n c i p e v a n de mesh-generator

4,

T o e l i c h t i n g op h e t programma; u i t v o e r ; benod.igde i n v o e r g e g e v e n s

4.1.

De u i t v o e r

4.2.

4.2.1. 4,2,2.

4-2.3.

4.2,4.

4.2.9,

4,2,6.

4.2,7.

De i n v o e r g e g e v e n s

11

Ponsen, p l o t t e n

11

12

1-3

XMAX,

XWIN,

YMAX,

YMIN a s n , kn, knmax, e n , enmax h e t t e s t e n v a n d e elementhoeken k n p l o t e n p l o t a l , a l s n , a l o g l , a c l A u t o m a t i s c h g e g e n e r e e r d e v e r h o u d i n g s g e t a l l e n ; h e t v e r d e l e n i$ v a n l i j n e n i n i n t e r v a l l e n

4.2,8.

Het v e r b i n d e n v a n knooppunten v a n twee o p e e n v o l g e n d e l i j n e n

16

4.2.9.

Een r e k e n p r o c e s om de

vorm

v a n de elementen t e v e r b e t e r e n

18 4,2,10,

A a n t a l i n t e r v a l l e n ; l i j n e n met s p r o n g ; v e r h o u d i n g s g e t a l l e n ; 2 0 t u s s e n p u n t v o o r c i r k e l v o r m i g e l i j n e n

4.2.11.

B e s c h r i j v i n g v a n de g e o m e t r i e v a n d e r a n d e n

5 -

Een a a n t a l met d e mesh-generator g e c r e ë e r d e e l e m e n t v e r d e l i g g z ~.

6 *

C o n c l u s i e s en s u g g e s t i e s

2 0

2 2

(4)

- 2 -

1.

T i t e l

E x p e r i m e n t e l e 2-dimensionale mesh-generator

voor

e l e m e n t v e r d e l i n g e n

v a n 3 - h o e k i g e e l e m e n t e n met

3

knooppunten, b e s t a a n d e u i t e e n

of

meer

subne t t e n . A. S c h o o f $ , j a n u a r i

1971.

2.

S a m e n v a t t i n g B e s p r o k e n w o r d t :

-

h e t p r i n c i p e v a n d e mesh-generator

-

de u i t v o e r m o g e l i j k h e d e n

-

de b e n o d i g d e i n v o e r g e g e v e n s , met a a n de hand d a a r v a n e e n g l o b a l e t o e l i c h t i n g op h e t programma

-

e e n a a n t a l met de mesh-generator g e c r e ë e r d e e l e m e n t v e r d e l i n g e n

-

c o n c l u s i e s e n e n k e l e s E g g e s t i e s v o o r e e n d e Î i n i t i e v e mesh-generator e L i t e r a t u u r ’I.

-

G e n e r e r e n v a n e e n d r i e h o e k i g 5 l e m e n t e n E t e e m v o o r de e i n d i g e e l e - ment e 2- me t, ho de

2.

A u t o m a t i c mesh-generation i n two and t h r e e d i m e n s i o n a l i n t e r - c o n - n e c t e d domains.

(5)

We z u l l e n h e t p r i n c i p e v a n de mesh-generator b e s p r e k e n a a n de hand v a n e e n v o o r b e e l d ; v o o r h e t

i n

f i g .

3.1e

w e e r g e g e v e n g e b i e d wensen w i j e e n e l e m e n t v e r d e l i n g t e g e n e r e r e n .

f i g .

3.1.

Zo'n g e b i e d noemen w e e e n n e t . vde k i e z e n twee o v e r s t a a n d e d e l e n v a n de c o n t o u r en b e t i t e l e n d e z e a l s r a n d

1

r e s p . r a n d

2,

z i e f i g .

3.2.:

-

r a n d

2

rand

1

fig,

3.2,

B e i d e r a n d e n worden i n e v e n v e e l , z e g n s t u k k e n v e r d e e l d . ; o p e l k e r a n d l i g g e n dan 13

+

1

punten, welke we randknooppunten z u l l e n noemen, z i e f i g .

3.3e

:

n = 9

1

O knooppunt e n o p e l k e r a n d , i f i g .

3.3.

(6)

4

'-

V e r v o l g e n s v e r b i n d e n we de knooppunten op r a n d I met d i e o p r a n d

2

d o o r n

+

1

l i j n e n . Het programma b i e d t de m o g e l i j k h e i d

voor

d e z e lij-

nen n a a r wens r e c h t e n o Î s t u k k e n c i r k e l b o o g t e nemen. B i n n e n de con- t o u r mogen de l i j n e n e l k a a r n i e t s n i j d e n . Zie f i g .

3.4.:

3

4

5

6

f i g .

3 . 4 .

V o o r d e l i j n e n 1 ,

2,

6,

9

en 10 z i j n r e c h t e n , v o o r d e l i j n e n

3 ,

4,

5,

7

e n

8

z i j n s t u k k e n c i r k e l b o o g genomen. E l k v a n d e l i j n e n worden op hun b e u r t i n e e n g e s c h i k t a a n t a l s t u k k e n v e r d e e l d . D e z o o n t s t a n e punten vormen, samen met d e r a n d p u n t e n , de

knooppunten v a n d e e l e m e n t v e r d . e l i n g . De knooppunten op twee o p e e n v o l - gende l i j n e n worden d o o r

één

z i g z a g - l i j n verbonden. D i t h o u d t i n d a t

d e a a n t a l l e n Knooppunten op

2

o p e e n v o l g e n d e l i j n e n ter, h o o g s t e

1

v a n e l k a a r mogen v e r s c h i l l e n ; de z i g z a g - l i j n b e g i n t en e i n d i g t dan op de l i j n m e t h e t g r o o t s t e aantal knooppunten; z i e f i g . 3.5. % t u s s e n de'

l i j n e n

1

e n

2,

A l s de a a n t a l l e n knooppunten op

2

o p e e n v o l g e n d e l i j n e n g e l i j k z i j n , z i j n e r i n p r i n c i p e twee m o g e l i j k h e d e n

voor

d e z i g z a g - l i j n ; i n h e t algemeen w o r d t dan d i e m o g e l i j k h e i d gekozen d i e de k o r t - s t e v e r b i n d i n g s l i j n e n ( o f w e l de g r o o t s t e elementhoeken) o p l e v e r t , z i e

b . v . de elementen t u s s e n de l i j n e n

9

e n 10.

(7)

P e r l i j n kunnen d e l e n g t e n v a n de s t u k k e n g e l i j k , dan n e l o n g e l i j k z i j n ; de l e n g t e n v a n d.e o n g e l i j k e s t u k k e n worden bepaald. m.b,v. i n - g e l e z e n o f a n d e r s z i n s v e r k r e g e n v e r h o u d i n g s g e t a l l e n .

B i j e e n meer i n g e w i k k e l d e c o n t o u r z a l h e t n i e t s t e e d s m o g e l i j k z i j n om de a a n t a l l e n knooppunten op

2

o p e e n v o l g e n d e l i j n e n , n i e t meer dan I t e l a t e n v e r s c h i l l e n . I n d a t g e v a l wordt de elementen v e r d e l i n g i n twee o f meer s u b n e t t e n g e s p l i t s t , z i e f i g .

3 . 6 . :

lijn

1

2

3

subne

t

1

l i j n

1

2

3

4

5

6

7 8

9

10 f i g .

3.6. Voor

h e t e v e n m i s e h o p l o s s e n v a n h e t mechanicaprobleem m.b.v. de e i n d i - ge elementenmethode, is h e t n o d i g d a t e l k knooppuntoummer z o w e i n i g mo- g e l i j k v a n z i j n n a a s t e buren v e r s c h i l t . De b a n d b r e e d t e v a n de t o t a l e s t i j f h e i d s m a t r i x is dan minimaal. I n h e t algemeen i s d a t h e t g e v a l a l s de knooppuntnummering p l a a t s v i n d t o v e r k o r t e a f s t a n d e n v a n rarid t o t r a n d , z i e f i g .

3.7*

+ 2

t t

I 4 k l e i n e b a n d b r e e d t e

5 - - -

- -

- - - -

- t

g r o t e b a n d b r e e d t e f i g .

3.7.

i

(8)

- 6 -

De h i e r behand-elde mesh-generator b i e d t e e n goede m o g e l i j k h e i d om een k l e i n e b a n d b r e e d t e t e v e r w e z e n l i j k e n .

B i j u i t meer dan e e n s u b n e t b e s t a a n d e e l e m e n t e n v e r d e l i n g e n z a l de num- mering v a n de knooppunten i n de s u b n e t t e n z o moeten z i j n , d a t e e n z o g e r i n g m o g e l i j k e b a n d b r e e d t e gehandhaafd b l i j f t , z i e b . v . f i g .

3.6.

Merk op d a t b i j de l i j n e n

3 , 4

e n 5 v a n s u b n e t

1 ,

e n de l i j n e n

2

e n

3

v a n s u b n e t

2,

de knooppuntnummering b i j de o v e r g a n g v a n e e n l i j n n a a r de v o l g e n d e , e e n s p r o n g maakt; b . v . subnet I;

-

h e t l a a t s t e knooppunt v a n l i j n

2

is

11 -

h e t e e r s t e knooppunt v a n l i j n

3

i s

IS.

Waar n o d i g w o r d t daarom a l s i n v o e r a a n h e t programma meegegeven: h e t ïijnnummer e n h e t l e knooppuntnummer v a n d i e l i j n ,

(9)

T o e l i c h t i n g op h e t programma; u i t v o e r ; benodigde i n v o e r g e g e v e n s Y/e z u l l e n een e n a n d e r b e s p r e k e n a a n de hand v a n de programma-kop, d i e op de v o l g e n d e b l a d z i j d . e n s t a a t a f g e d r u k t . De mesh-generator is

i n

d i e z i n e x p e r i m e n t e e l d a t : 1 . Een a a n t a l v o o r z i e n i n g e n ( i t e r e r e n v a n k n o o p p u n t s k o ö r d i n a t e n , t e s t e n v a n elementhoeken, a u t o m a t i s c h v e r d e l e n v a n l i j n e n

i n

o n g e l i j k e s t u k k e n ) z i j n a a n g e b r a c h t ,

om

met e e n minimum

a a n

i n v o e r g e g e v e n s , e e n z o g o e d m o g e l i j k e e l e m e n t e n v e r d e l i n g t e v e r k r i j g e n . 9e v e r w a c h t i n g i s d a t h e t i n e e n a a n t a l s i t u a t i e s g e b r u i k e n v a n de m e s h - g e n e r a t o r , de m o g e l i j k h e d e n en m o e i l i j k h e d e n v a n d i e v o o r z i e - n i n g e n nad-er a a n h e t l i c h t z a l brengen.

2.

Deze mesh-generator i s een op z i c h z e l f s t a a n d programma.

Voor

de

t o e k o m s t w o r d t g e d a c h t aan e e n g e n e r a t o r i n procedure-vorm, z o d a t u i t b r e i d i n g t o t meer e l e m e n t t y p e n e n i n p a s s i n g i n a n d e r e programma's ( s y s t e m e n ) g e m a k k e l i j k e r t e v e r w e z e n l i j k e n is.

4.1.

De u i t v o e r

De

d c ~ r

de mesh-geCerator bepaald-e k n o o p p u n t s k o ö r d i n a t e n e n element- l o c a t i e v e c t o r worden v i a de r e g e l d r u k k e r en, i n d i e n g e w e n s t , v i a de p o n s e r ( s ) e d o f de p l o t t e r u i t g e v o e r d . V i a d e r e g e l d r u k k e r worden t e r c o n t r o l e t e v e n s h e t g r o o t s t e d e e l v a n de i n v o e r g e g e v e n s en een aantal t u s s e n r e s u l t a t e n ( i n h o u d v a n h e t array knnr, waarden v a n de v a r i a b e l e b a s i s ,

g r o o t t e v a n "te scherpe" of "te stompe elementhoeken) u i t g e v o e r d . De knooppuntsnummers met de b i j b e h o r e n d e

x

-en

i n d i e n g e w e n s t , door ponser

1

op ponsband g e z e t ; b i j meer dan

één

sub- n e t worden de s t u k k e n u i t v c e r d o o r t a p e f e e d gescheid-en.

(10)

- 8 -

i

2

_O o a, rn c k tu rn G O pt h cd *rf

a"

i

tu

m

_h

B

w

L?

E

P a, r?

-

d C P

t:

** rn d Fc

I

ho O k f4

(11)

..

a r t m cd P k o O II m .A rn cd P d m Cu n 8-4 E d

3

(12)

-

70

-

(13)

De elementnummers met de b i j b e h o r e n d e knooppuntnummers worden, i n d i e n g e w e n s t , door p o n s e r

2

op ponsband g e z e t ; b i j meerdere s u b n e t t e n ook h i e r d o o r t a p e f e e d g e s c h e i d e n ,

I n d i e n gewenst kan v a n d.e e l e m e n t v e r d e l i n g e e n p l o t f i g u u r gemaakt word.en. D a a r b i j h e e f t men

per

s u b n e t de k e u z e , o f men a l o f n i e t

knooppuntnummers e d o f elementnummers v e r m e l d v i l z i e n . H e t i s d u s

m o g e l i j k om b . v , :

-

s u b n e t

1

zond.er knooppunten elementnummers

-

s u b n e t

2

met knooppuntnummers

-

s u b n e t

3

met elementnummers

-

s u b n e t

4

met knooppunten elementnummers u i t t e p l o t t e n .

De p l o t f i g u u r w o r d t , b i n n e n e e n k a d e r v a n

385 x

250

mm ( o n g e v e e r

A3-

f o r m a a t ) , s t e e d s z o g r o o t m o g e l i j k gemaakt. V e r k l e i n e n t o t

A4-

formaat is dan meb.v. e e n kopieermachine m o g e l i j k ,

Het programma moet I n h e t THE-systeem v e r w e r k t worden omdat:

-

i n h e t MCA-systeem s l e c h t s

&én

ponser b e s c h i k b a a r

is

-

n i e t a l l e p a r a m e t e r s i n e n k e l e p l o t p r o c e c u r e s i n MCA en THE e e n d u i d i g z i j n .

4-,2. De i n v o e r g e g e v e n s

Aan de hand v a n de programma-kop z u l l e n we de i n v o e r g e g e v e n s , e e n aai- t a l g e b r u i k t e v a r i a b e l e n en de w e r k i n g van h e t programma, n a d e r t o e - l i c h t e n e

k 2 . 1 . Ponsen, p l o t t e n

B i j "ponsen = O" wordt g e e n , b i j "ponsen = 1" wordt wel u i t v o e r op ponsband g e l e v e r d .

B i j " p l o t t e n

=

0" wordt e r n i e t g e p l o t .

R i j " p l o t t e n = 1" wordt de k l e m e n t e n v e r d e l i n g g e p l o t ; >'plottenv' i s a l l e e n v a n b e l a n g v o o r h e t t e k e n e n v a n de d r i e h o e k e n , n i e t

voor

de element-

(14)

-

12 -

4.2.2.

XMAX, XMIIJ, YMX, YMIN.

De maximum e n minimum x- en y- k o ö r d i n a t e n z i j n n o d i g v o o r h e t s c h a l e n v a n d e p l o t f i g u u r . S i j “ p l o t t e n = O” zou deze i n v o e r i n p r i n c i p e a c h t e r - wege kunnen b l i j v e n ; e r kan dan v o l s t a a n worden met

4

w i l l e k e u r i g e ge- t a l l e n op de g e t a l l e n b a n d .

4.2.3. a s n ,

kn, knmax, en,enmax a s n : kn knmax : en h e t a a n t a l s u b n e t t e n w a a r u i t de e l e m e n t e n v e r d e l i n g w o r d t samen- g e s t e l d . Het v e r d e l e n i n s u b n e t t e n is soms n o d i g om:

-

v r i j e r t e z i j n i n h e t k i e z e n v a n de f i j n h e i d v a n de v e r d e l i n g

-

h e t m o g e l i j k t e maken d a t de a a n t a l l e n knooppunten op twee

opeenvolgende l i j n e n meer dan é é n v a n e l k a a r kunnen v e r s c h i l - l e n .

g e e f t h e t laatste knooppuntnummer a a n d a t , a n d e r s dan door de M.G. (mesh-generator), w o r d t v e r z o r g d . Het e e r s t e d o o r de M.G. g e g e n e r e e r d e knooppunt z a l m e e s t a l h e t nummer

1

d r a g e n ; dan moet kn = O worden genomen.

h e t ( e v e n t u e e l g e s c h a t t e ) h o o g s t e knooppuntnummer

van

de ver- d e l i n g i s n o d i g v o o r de d e c l a r a t i e v a n de arrayss w a a r i n de

knooppuntnummeEs en de k o ö r d i n a t e n worden opgeborgen.

g e e f t h e t l a a t s t e

elementaummer

a a n d a t , a n d e r s dan d o o r de O O G ,

kvordt v e r s o r d . O I n d i e n ‘saet e e r s t e door de Ze,Û g e g e n e r s s r d e e l e - ment h e t nummer

1

d r a a g t , moet en =

O

worden genomen.

enmax : h e t ( e v e n t u e e l g e s c h a t t e ) h o o g s t e elementnummer v a n de v e r d e l i n g i s n o d i g v o o r de d e c l a r a t i e v a n de e l e m e n t l o c a t i e v e c t o r

l e z ;

: B i j t e l a g e s c h a t t i n g e n v a n knmax e r d o f enmax v o l g t de foutmel-

OPM

I 1

d i n g : r r o v e r s c h r i j d i n g v a n a r r a y - g r e n s .

4.2.4.

Het t e s t e n v a n de elementhoeken

B i j e e n e l e m e n t v e r d e l i n g wordt z o v e e l m o g e l i j k n a a r g e l i j k z i j d i g e d r i e - hoeken g e s t r e e f d ; daarom is h e t n u t t i g de g r o o t t e v a n de elementhoeken t e t e s t e n .

f i t e s t : de hoek i n g r a d e n waarop de elementhoeken worden g e t e s t .

Het t e s t e n g e s c h i e d t door de p r o c e d u r e HOEKTEST. A l s v a n e e n element een hoek k l e i n e r is dan f i t e s t wordt v i a d e r e g e l d r u k k e r u i t g e v o e r d :

- .- __

(15)

1 . wat h e t knoopsuntnummer

van

h e t hoekpunt is

2.

h e t nummer v a n h e t e l e m e n t

3 .

e e n mededeling d a t d e hoek t e s c h e r p is

4.

de g r o o t t e v a n d e b e t r e f f e n d e hoek i n graden.

Als

e e n hoek g r o t e r is dan (180'-

2 .

f i t e s t ) , wordt h e t b e t r e f f e n d e knooppunt- e n elementnummer v e r m e l d ; v e r d e r wordt vermeld d a t de hoek

t e

stomp is en d e g r o o t t e v a n d e hoek i n g r a d e n .

M e e s t a l z a l de g r o o t t e v a n f i t e s t

20 à

3

0 '

genomen worden.

Tot

h i e r i s d e L n v ö e r algemeen v o o r a l l e s u b n e t t e n ; de v e r d e r e i n v o e r - g e g e v e n s g e l d e n p e r s u b n e t .

4.2,5.

k n p l o t , e n p l o t

A l s '(knplot = 1" worden de knooppuntnummers i n de b e t r e f f e n d e s u b n e t - f i g u u r g e p l o t

Als

" e n p l o t = 1 9 * worden de elementnummers

i n

d e g e p l o t

b e t r e f f e n d e s u b n e t f i g u u r E i j k n p l o t = 7 YE e n p l o t = I worden zowel knooppunt- als elementnummers g e p l o t

Een e n a n d e r e c h t e r a l l e e n a l s " p l o t t e n = 1" ( z i e 4.2.4.).

4.2.5. al,

a i s n , a l o g i , acl

a l : h e t t o t a l e a a n t a l ( v a n r a n d t o t r a n d ) l i j n e n v a n h e t b e t r e f f e n d e s u b n e t .

Wet l i j n e n worden zowel r e c h t e l i j n s t u k k e n als s t u k k e n c i r k e l b o o g b e d o e l d :

(16)

- 14

-

a l s n 2 h e t a a n t a l l i j n e n met e e n !'sprong"

i n

de knooppuntnummering ( b v .

de l i j n e n

3 ,

4

e n

5

v a n s u b n e t

1

v a n f i g .

3 . 6 . ;

h i e r i s d.us a l s n =

3 ) .

a l o g i : h e t a a n t a l l i j n e n d a t , m.b.v. i n t e l e z e n v e r h o u d i n g s g e t a l l e n i n o n g e l i j k e i n t e r v a l l e n

wordt

v e r d e e l d . V e r d e r o p z a l b l i j k e n d a t b i j " a u t v e r h = 1'' e r ook l i j n e n i n o n g e l i j k e s t u k k e n ver-

d e e l d worden. Voor " a l o g i " worden d e z e l i j n e n e c h t e r n i e t g e t e l d . a c l 2 h e t a a n t a l v a n - r a n d - t o t - r a n d - l i j n e n d i e moeten b e s t a a n u i t een

s t u k c i r k e l b o o g .

Voor

de n i e t t o t a c l behorende l i j n e n worden r e c h t e n genomen e

4.2.7.

A u t o m a t i s c h e v e r h o u d i n g s g e t a l l e n ; h e t v e r d e l e n v a n l i j n e n i n i n t e r v a l l e n a u t v e r h = O a l s men de 1ijnen.waarvoor g e e n v e r h o u d i n g s g e t a l l e n i n g e l e z e n worden, ( d e l i j n e n d i e n i e t t o t " a l o g i " P e h o r e n ) , i n g e l i j k e s t u k k e n wenst t e v e r d e l e n . =

1

a l s men b o v e n b e d o e l d e l i j n e n i n o n g e l i j k e s t u k k e n w e n s t

t e

v e r d e l e n ; d i t m.b,v. v e r h o u d i n g s g e t a l l e n d i e door h e t

pro-

gramma worden b e p a a l d aan de hand v a n d e a f s t a n d e n v a n de knooppunten op de r a n d v a n twee opeenvolgende l i j n e n .

r a n d

2

l i n e a i r v e r l o p e n d e v e r h o u d i n g s g e t a l l e n

(17)

De a i s t a n d v a n d e knooppunten op r a n d

1

wordt h e t v e r h o u d i n g s g e t a l van h e t e e r s t e i n t e r v a l ; de a f s t a n d v a n d e knooppunten op r a n d

2

wordt h e t v e r h o u d i n g s g e t a l v a n h e t laatste i n t e r v a l .

Voor

d e t u s s e n -

l i g g e n d e i n t e r v a l l e n word-en l i n e a i r v e r l o p e n d e v e r h o u d i n g s g e t a l l e n berekend.

Door d i t mechanisme o n t s t a a n elementen met a f m e t i n g e n i n d e o r d e g r o o t - t e v a n d e a f s t a n d e n v a n d e randpunten, zonder d a t r e e k s e n v e r h o u d i n g s - g e t a l l e n i n g e v o e r d behoeven t e worden.

Voor goed gevormde elementen moet d a a r t o e g e ë i s t worden d a t de a f s t a n - à e n v a n de o p e e n v o l g e n d e randpunten n i e t t e s t w k v a r i ë r e n .

De r e c h t e e n de c i r k e l v o r m i g e l i j n e n worden i n a l dan n i e t g e l i j k e i n t e r v a l l e n v e r d e e l d d o o r de p r o c e d u r e

VERDEELRECHTE

r e s p . de p r o c e - dure v e r de e l c i r k e

1

o

A l s p a r a m e t e r s s p e l e n i n deze p r o c e d u r e s een

rol:

-

de k o ö r d i n a t e n v a n h e t begin- en e i n d p u n t (knooppunt o p r a n d

1

r e s p . r a n d 2 ) v a n de l i j n .

Voor c i r k e l v o r m i g e l i j n e n moeten ook v a n e e n punt v a n de l i j n t u s s e n b e g i n - en e i n d p u n t d e k o o r d i n a t e n bekend z i j n ,

-

h e t a a n t a l i n t e r v a l l e n w a a r i n d e l i j n v e r d e e l d moet worden,

-

e e n k e u z e g e t a l (b) d a t a a n g e e f t o f de l i j n i n g e l i j k e ( b = o ) dan wel o n g e l i j k e

stukken

! b = l ) wordt v e r d e e l d .

-

e e n array v h d a t , a l s de l i j n i n o n g e l i j k e i n t e r v a l l e n w o r d t v e r d e e l d ,

met

de g e w e n s t e v e r h o u d i n g s g e t a l l e n g e v u l d moet z i j n .

-

e e n array k n r , d a t g e v u l d w o r d t q e t de nummers v a n de knooppunten op cie l i j n .

-

array’s x en y * d.ie v o o r de i n k n r opgeborgen knooppuntnummers, met de k o o r d i n a a t w a a r d e n g e v u l d worden.

(18)

-

i6

-

4.2.8,

Het verbind.en v a n knooppunten v a n twee o p e e n v o l g e n d e l i j n e n :

h e t vormen v a n element e n

I n h e t programma wordt e e n array " b a s i s

Ijlr'

gevuld. met d e v o l g e n d e e i g e n s c h a p , z i e f i g .

4.2.:

1

r a n d 1 r a n d

1

f i g .

4.2,

De a a n t a l l e n i n t e r v a l l e n w a a r i n de l i j n e n v e r d e e l d word.erîs worden op- g e b o r g e n i n h e t array " a i n t (j]''.

Wanneer a i n t {ja = a i n t [ j + l ] i s de e l e m e n t v e r d e l i n g i n p r i n c i p e n i e t eenduid.ig, z i e f i g .

4,3.:

(19)

!Je gaan a l s v o l g t t e werk:

I n h e t programma i s de r e a l p r o c e d u r e A f s t a n d ( n ,

rn)

opgenonen. De waarde v a n A f s t a n d

(n,

m) i s h e t k::adra.at v a n d.e a f s t a n d v a n de

d o o r de i n t e g e r s n en

rn

g e k a r a k t e r i s e e r d e knooppunten, B e r e k e n d w o r d t dan, z i e f i g .

4.3.:

a f s b e g i n = A f s t a n d ( j l , j 2 + 1 ) / A f s t a n d

( j 2 ,

j l + l ) a f s e i n d = A f s t a n d

(j3,

j4-1)/Afstand

( j 4 ,

j3-1)

A l s a f s b e g i n c Immers:

als

a f s b e g i n > 7 a f s e i n d dan b a s i s ( j > =

1 ,

and-ers b a s i s ( j ) = O ; o f a f s e i n d <

1

i s i n e e r s t e i n s t a n t i e b a s i s (j) = O

M.

b . v , h e t keuzege

t a l

f t d i a g i f kan h e t b o v e n s t a a n d e e n i g s z i n s g e m o d i f i - c e e r d worden t o e g e p a s t , d i a g = O

als

b i j o n g e v e e r g e l i j k e d i a g o n a l e n a f w i s s e l e n d . b a s i s =I en basis = O wordt genomen, z i e f i g .

4.4.

basis =

0

1

b a s i s = O

of

1

basis =

3 I

f i g .

4.4.

d i a g =

1

a l s b i j o n g e v e e r g e l i j k e d - i a g o n a l e n s t e e d s b a s i s =

1

of b a s i s = O wordt genomen, z i e f i g .

4.5. I

b a s i s = 0

I

b a s i s =

4 I

f i g .

4.5.

(20)

-

18 -

d.iag =

2

a l s s t r i k t h e t k r i t e r i u m : a f s b e g i n < of > a f s e i n d wordt t o e g e p a s t , z i e f i g .

4.6.

b a s i s = O

I

basis =

1 I

f i g .

4.6.

B i j d i a g = O e n d i a g = I v m d t basis a f w i s s e l e n d O e n

1

genomen, r e s p , s t e e d s O of 'i genomen i n s i e n g e l d t :

(1-v>

.

a f s e i n d < a f s b e g i n < ( l + v > a f s e i n d .

I n

h e t programma i s v = 0.5 genomen,

Het nut v a n b o v e n s t a a n d e k e u z e m o g e l i j k h e d e n z a l i n h e t v o l g e n d e punt b l i j k e n ,

4,2,9.

Een r e k e n p r o c e s om d e vorm v a n d e elementen t e v e r b e t e r e n

Algemeen w o r d t aangenomen d a t h e t v o o ~ de numerieke o p l o s s i r - g van

het

elementenmethodeprobleem g u n s t i g i s d a t de d r i e h o e k i g e e l e m e n t e n zo- v e e l m o g e l i j k g e l i j k z i j d i g z i j n ; e l k n i e t op d e c o n t o u r g e l e g e n knooppunt xr0rd.t daa d o o r

6

n a a s t e buurpunten omringd.

De w e r k w i j z e v a n de mesh-generator h e e f t t o t g e v o l g d a t ook h i e r e l k '?inwendig" punt

door

6 n a a s t e b u r e n i s omringd.

De vorm v a n de e l e m e n t e n b e h o e f t e c h t e r nog g e e n s z i n s g e l i j k z i j d i g t e z i j n .

Om de vorm v a n de elementen t e v e r b e t e r e n i s i n h e t progrzmma een r e - k e n p r o c e s voorhanden, w a a r b i j de i n e e r s t e i n s t a n t i e g e g e n e r e e r d e koör- d-inaten v a n de inwendige knooppunten, op e e n g e s c h i k t e manier morden g e w i j z i g d ,

D a a r b i : worden, beginnend met h e t Ze knooppunt op d e 2 e l i j n , a c h t e r - e e n v o l g e n s a l l e i n w e n d i g e punten z o goed. m o g e l i j k c e n t r a a l t u s s e n hun

(21)

6

n a a s t e bu-ren g e l e g d , z i e f i g ,

4,7.:

f i g .

4.7.

Wanneer a l l e inwendige punten eenmaal z i j n b e w e r k t , k a n men w e e r

voor-

a a n b e g i n n e n , en h e t p r o c e s nog e e n s h e r h a l e n .

De v a r i a b e l e

"amh"

g e e f t a a n hoe v a a k men b o v e n s t a a n d r e k e n p r o c e s op

h e t b e t r e f f e n d e s u b n e t wenst t o e t e p a s s e n ,

Na e l k e s t a p worden de hoeken v a n de elementen g e t e s t , z o d a t men een g o e d e i n d r u k van h e t e f f e c t v a n h e t r e k e n p r o c e s k r i j g t . B i j de e l e m e n t v e r d e l i n g van f i g .

4.8.

l i g g e n de knooppunten r e e d s c e n t r a a l t u s s e n de omringende punten e n h e e f t h e t r e k e n p r o c e s w e i n i g of g e e n e f f e c t : f i g .

4.8.

Wanneer i n zo'n g e v a l m.b.v. d i a g = O a f w i s s e l e n d b a s i s = O e n b a s i s = 'i w o r d t genomen, o n t s t a a n v r i j w e l g e l i j k z i j d i g e d r i e h o e k e n , z i e f i g .

4.9.:

(22)

-

20 -

f i g .

4.9.

4.2,lO. A a n t a l i n t e r v a l l e n ; l i j n e n met sprong i n de knooppuntnummering; v e r h o u d i n g s g e t a l l e n ; t u s s e n p u n t v o o r c i r k e l v o r m i f f e l i j n e n a i n t

Cjl

: een i; t e l e z e n array d a t de a a n t a l l e n i n t e r v a l l e n

v a n de l i j n e n b e v a t .

We merken nogmaals op d a t v o o r a l l e j moet g e l d e n :

i n r , n r ( j >

a i n t [ j + l I

-I<

a i n t l j l

<

a i n t E j + 1 4 +I,

: lijnnummer e n l e knooppuntnummer v o o r d i e l i j n e n , waarvoor d.at l e knooppuntnummer n i e t d i r e k t v o l g t op h e t l a a t s t e knooppuntnummer v a n de v o o r g a a n d e li j n e

D.m.v. d.eze i n f o r m a t i e i s h e t m o g e l i j k om s u b n e t - t e 2 c? e e E scYar,ige ~ a n i o r t e k o p p e l e n , d a t oeer

h e t elementen methode-probleem e e n minimale band- b r e e d t e o n t s t a a t ,

l n r s v e r h k j n j : lijnnummer en v e r h o u d i n g s g e t a l l e n voor d i e l i j n e n , d i e men m.b,v, i n g e l e z e n v e r h o u d i n g s g e t a l l e n , i n o n g e l i j k e i n t e r v a l l e n wenst t e v e r d e l e n .

l n r ,

X(

j) Y[j] : lijnnummer en de k o ö r d i n a t e n v a n e e n t u s s e n begin- en eindpunt g e l e g e n punt v a n c i r k e l v o r m i g e l i j n e n . D i t t u s s e n p u n t b e p a a l t , samen met h e t b e g i n - e n eindpunt de c i r k e l , w a a r v a n de

lijn

e e n d e e l i s ,

4.2.11.

B e s c h r i j v i n g v a n de g e o m e t r i e

van

d e rand-en

E e r s t d i e n t d.e i n v o e r v o o r rand 1 t e worden v e r z o r g d , d a a r n a d i e v o o r r a n d 2 -

(23)

B i j h e t b e s c h r i j v e n van de l i g g i n g v a n de randpunten k a n , n a a s t h e t punt v o o r punt i n l e z e n , g e b r u i k worden gemaakt v a n d e p r o c e d u r e s om r e c h t e l i j n s t u k k e n en c i r k e l b o g e n

i n

e e n aantal s t u k k e n t e v e r d e l e n . De i n v o e r v o o r r a n d

1

b e s t a a t u i t :

a l s e e r s t e s t e e d s :

keuze =

1

en x- e n y - k o ö r d i n a a t van h e t l e randpunt,

ge r e s t v a n d e randpunten worden i n v o l g o r d e g e g e n e r e e r d d o o r n a a r b e l i e v e n e e n a a n t a l malen g e b r u i k vans

keuze =

1

en x- en y - k o o r d i n a a t

keuze =

2

voor e e n r e e k s randgunten op een r e c h t l i j n s t u k

x2, y2:

k o ö r d i n a t e n vRn h e t eindpunt v a n h e t l i j n s t u k

AINT

: a a n t a l s t u k k e n w a a r i n h e t l i j n s t u k v e r d e e l d wordt. b : O v o o r v e r d e l i n g i n g e l i j k e s t u k k e n

1

v o o r v e r d e l i n g

i n

o n g e l i j k e s t u k k e n v h k q :

AINS

v e r h o u d i n g s g e t a l l e n wanneer b = 1 . keuze = j v o o r e e n r e e k s randpunten op e e n c i r k e l b o o g

x2,

y2:

k o ö r d i n a t e n van e e n t u s s e n begin- e n e i n d p u n t ge- l e g e n punt van de c i r k e l b o o g

x 3 $

y3::

k o ö r d i n a t e n v a n h e t e i n d p u n t van d e c i r k e l b o o g

AIMT, b e n vh[k]

zoals

b i j keuze =

2,

Daarna v o l g t

voor

rand

2

een a n a l o g e i n v o e r

Met h e t b o v e n s t a a n d e i s het v a a k m o g e l i j k , d e l i g g i n g v a n de randpun- t e n met e e n minimaal a a n t a l k o ö r d i n a a t waarden, vast t e l e g g e n .

(24)

-

22 -

5.

Een a a n t a l met de mesh-generator g e c r e ë e r d e e l e n e n t v e r d e l i n g e n . I n h e t n a v o l g e n d e z u l l r n we, a a n de hand van v o o r b e e l d e n , d e n o g e l i j k - heden e n b e p e r k i n g e n v a n de mesh-generator b e s p r e k e n . T e n e i n d e de

t e k e n i n g e n n i e t t e "druk" t e n a k e n , z i j n d e element- e n lrnooppunt- nunmer

s

wegge l a t e n .

Be

f i g u r e n w a a r n a a r w o r d t v e r w e z e n , z i j n l o s b i j d i t r a p p o r t gevoegd. F i g .

5.1

t o o n t e e n v e r d e l i n g w a a r b i j a l l e e n v o o r d e e e r s t e e n d e l a a t s t e l i j n v e r h o u d i n g s g e t a l l e n z i j n i n g e l e z e n ; a l l e t u s s e n l i g g e n d e l i j n e n z i j n i n g e l i j k e i n t e r v a l l e n v e r d e e l d . Lie v e r d e l i n g v a n f i g .

5.2

i s u i t d i e v a n f i g .

5.1

o n t s t a a n , n a d a t

4

i t e r a t i e s t a > p e n , z o a l s be- s c h r e v e n i n

4 . 2 . 9 ,

v o o r h e t v e r l e g g e n van d e inwendige knooppunten z i j n u i t g e v o e r d . A l l e e n aan de k o r t e r a n d r e s t e r e n e n i g e h o e k e n d i e v r i j s c h e r s z i j n .

I n f i g .

5.3

i s e e n v e r d e l i n g w e e r g e g e v e n v o o r e e n hoge druk r e a c t o r - vat v o o r de chemische i n d u s t r i e (inw.

d

460,

u i t w .

a

915,

flens

d

1030,

inwendige druk

2500

b s r )

.

Ook h i e r z i j n a l l e l i j n e n b e h a l v e de e e r s t e ( e a n de b u i t e n k a n t v a n de

f l e n s ) , i n g e l i j k e i n t e r v a l l e n v e r d e e l d .

De b e d o e l i n g v a n d e z e v e r d e l i n g was on, na e e n aar-tal i t e r a t i e s t a p p e n ,

t e

komen t o t een v e r d e l i n g met goed gevormde elementen, net z i j d e n i n

d e o r d e g r o o t t e v a n de a f s t a n d v a n d e meest n a b i j g e l e g e n randpunten. E e t v o o r e e n g r o o t a a n t a l l i j n e n opgeven v a n v e r ' r i o u d i n g s g e t a l l e n , zou dan a c h t e r w e g e kunnen b l i j v e n . Fig.

5 . 4 ,

d e v e r d e l i n g v a n f i g .

5.3

na

5

i k e r a i i e s t a p p e n , laat z i e n d a t h e t b o v e n s t a a n d e g e e n s z i n s h e t g e v a l b e h o e f t t e z i j n ; b l i j k b a a r i s ook de u i t g a n g s t o e s t a n d v a n be-

l a n g e

Lìaarna i s h e t i d e e u i t g e w e r k t om de l i j n e n a u t o m a t i s c h i n o n g e l i j k e i n t e r v a l l e n t e v e r d e l e n , aan de hand v a n de a f s t a n d e n v a n d e rand- p u n t e n ? z o a l s b e s c h r e v e n i n

~ 1 ~ 2 . 7 .

Fig.

5.5

t o o n t h e t r e s u l t a a t v o o r h e t d r u k v a t ; na

5

i t e r a t i e s t a p p e n o n t s t a a t h i e r u i t de v e r d e l i n g v o l g e n s f i g .

5 . 6 .

(25)

In fig.

5.7 en 5.8

is

geornetrie van het drukvat

t . p . v .

de afrondings-

straal gewijzigd. Fig.

5.7 geeft

de

oorspronkelijke verdeling,

waar-

uit na

5 iteratiestappen

de

verdeling volgens rig.

5.8

ontstaat.

Fig.

5.9 toont een verdeling waarbij, in het linkerdeel van de oor-

spronkeli

jke verdeling m.b.v. diag=O, de diagonalen "om en

om"

zijn

genomen, waarna

5 iteratiestappen zijn toegepast

e

Vergelijk het resul-

taat met fig.

5.8.

Ter

vergelijking toont fig. 5.10 een op conventionele manier verkregen

verdeling

v o o r h e t

drukvat. Fig. 5.11 is een test van het

programnia

op

het juist verdelen van cirkelvormige lijnen.

De

rechte en de cir-

kelvormige lijnen zijn d.m.v. autverh

=

1 in ongelijke stukken verdeeld.

Uit 8eze verdeling ontstaat na een aantal iteratiestappen die volgens

fig. 5.12, waaruit nogmaals

de

kracht van het iteratieproces blijkt.

Het volgende voorbeeld laat nog eens zien, dat voor het verkrijgen

van grotere elementhoeken

m.b.v. het iteratieproces, een goede uit-

gangstoestand vereist is.

De

originele verdeling volgens fig.

5.13 krijgt door het itereren klei-

11el-e

.^

- --

elementhoeken i

.P.T.

grotere zie fig.

5-14.

3 e

ervaring leert

dat

~ ~ = o r z . l i n de b12u-t ygn

esn

cS~c8?'8

Tandj

pen

goede u-jtgzngcsituatie

vereist is.

In iig.

5.15 en

f i g .

5.16 zijn de oorspronkelijke en

de

daaruit door

itereren ontstane verdelingen weergegeven van de rotor va3 een hydrau-

lische schottenpomp.

Voor

de hele elementverdeling

is diag

= 2

genomen.

V o o r

het effect van diag

=

O

en diag

=

1,

zie fig.

5.17.

, IJe

willen hier

de

nogelijkheden voor het koppelen van

subnetten nog nader toelichten. Subnetten kunnen gekoppeld worden

doos ofwel

2

randen

t e laten samenvallen, ofwel door

de

laatste lijn

van het

e_n,e

subnet te laten samenvallen met

de

eerste lijn vzn het

andere subnet, zie onderstaande figuur:

(26)

-

24 -

e

D.m.v. h e t i n l e z e n v a n h e t

1

knooppuntnr. v a n e e n a a n t a l l i j n e n , k a n dan de knooppuntnummering z o d a n i g worden gemaakt, d a t e e n g e r i n g e b a n d b r e e d t e v a n de s t i j f h e i d s m a t r i x o n t s t a a t .

De rai;d v a n h e t ene s u b n e t kan b i j deze n e s h - g e n e r a t o r n i e t g e k o p p e l d worden a a n de e e r s t e o f l a a t s t e l i j n v a n h e t a n d e r e s u b n e t ; d e knooppuntnummering k a n d a n n i e t kloppend worden gernaakt

,

z i e o n d e r s t a a n d e f i g u u r :

Om d i t %e k-nnen v e r w e z e n l i j k e n n o e t e n p r o c e d u r e s ingebouwd worden

Om:

-

s a m e n v a l l e n d e knooppunten h e t z e l f d e nummer z e g e v e n ( i d e n t i f i c a t i e - p r o c e d u r e ) .

-

de v e r d e l i n g z o d a n i g t e hernummeren, d a t e e n minimale b a n d b r e e d t e o n t s t a a t a I n f i g .

5 . 1 8

i s d e v e r d e l i n g v a n e e n segment v m de s p i e g e l s c h i j f v a n e e n h y d r a u l i s c h e a x i a l e plunjerpomp weergegeven. De o n d e r s c h e i d e n sub- n e t t e n z i j n a l l e l;-ags randen g e k o p p e l d .

EeYk op d a t de e e r s t e " l i j n " v a n subnet

3

e n de l a a t s t e v a n subnet

4

s l e c h t s b e s t a a n u i t é é n e n k e l knooppunt; t e v e n s z i j n i n de s u b n e t t e n

3

en

4

, c i r k e l v o r m i g e l i j n e n g e b r u i h .

Op de si1bnet;iSen

2 t/m

6 z i j p

5

i t e r a t i e s t a p p c : n t o e g e p a s t . 3 e s u b n e t t e n

1

en

7

z i j n n i e t g e i t e r e e r d , om a a n de S i m e n en de b u i t e n k a n t de c i r - k e l v o r m i g e e l e c e n t e n s c h i l l e n t e handhave::.

Door

v a n z o r n s c h i l cie

(27)

v a n de binnen-

of

b u i t e n k a n t g e w i j z i g d worden. Y e t

is

e c h t e r de vraag

o f e e n d e r g e l i j k e werkvrijze, b i j h e t b e s c h i k b a a r z i j n v a n e e n goede m e s h - g e n e r a t o r , i n de toekomst n o g z i n v o l z a l b l i j v e n . V e r g e l i j k i n

d i t v e r b a n d ook de f i g u r e n

5.6

e n 5.8 met f i g .

5.10. Als

v o o r b e e l d i s o p de v o l g e n d e b l a d z i j d e n de v o o r

fig.

5.18

benodigde

(28)

-

26 -

ponsen

g l o t t e n

asn

kn

"iuunôrz

en

enmax

f

i t e s t

knplot,

enplot,

al9

alm,

alogi,

acl,

au-tverh, dia& amh

a i n t (ai

maal)

lnr,-w

( alsn

maal )

invoer

voor

rand 1

invoer

voor

rand

2

XJ~,WïN,YL.IAX,YlJíII\S

(29)

10,210

i?,23?

12,252

13,275

1

45.37329.42

I

46.~8~28

3 48,98,28,44 51.4,26,6

2 O

I

53,22,22.66

3 ~;5~46,16~67

~7.3~~,,9.47

4

0

6

92

I

3,281

5,106

12 o

(30)

-

28 -

6.

C o n c l u s i e s ei1 s u g g e s t i e s .

6.1

C o n c l u s i e s .

Het i n h o o f d s t u k

3

b e s c h r e v e n p r i n c i p e v e r s c h i l t

i n

h e t o n d e r s t a a n d e vac d a t v a n

GEIJISYS

( L i t . 1 ) :

-

B i j GENISYS z i j n ook 3-hoekige elementen met

6

knooppunten m o g e l i j k .

-

Deze IVI.*G. h e e f t t . o . v . GEBISYS d e m o g e l i j k h e i d v a n c i r k e l v o r m i g e

l i j n e n .

Voor

h e t ene e l e m e n t t y p e

(

3-hoekigLmet

3

knooppunten) z i j n e e n aan- t a l i n v o e r b e p e r k e n d e mogelijkheden v e r w e z e n l i j k t , n a m e l i j k :

-

h e t i n v o e r e n v a n r e e k s e n randpunten, w e l k e op r e c h t e n o f c i r k e l b o g e n g e l e g e n z i j n

-

h e t a u t o m a t i s c h i n o n g e l i j k e i n t e r v a l l e n v e r d e l e n v a n l i j n e n

-

h e t t o e p a s s e n v a n h e t i t e r a t i e p r o c e s maakt h e t m o g e l i j k om e e n

n i e t a l t e f r a a i e u i t g a n g s t o e s x a n d

(

vaak o n d a t men de i n v o e r een- v o u d i g w i l houden

) ,

t e v e r b e t e r e n .

De k o m b i n a t l e v a n de twee l a a t s t e m o g e l i j k h e d e n , b l i j k t e e n k r a c h t i g g e r e e l l s c k a p t e z i j n . 'et

testen

van deelementhoeken l e v e r t e e n g o e d

inz,lcy1t 1- :iet, - I affee'; v a n h e t i t e i e T e n - -9 2 ?

3

i i t e r - t i - s t a n a e n

v e r a n d e r t de v e r d e l i n g m e e s t a l n i e t v e e l meer. Cif men de d i a g o n a i e n i n g e b i e d e n n e t o n g e v e e r g e l i j k e d i a g o n a a l l e n g t e n a f w i s s e l e n d o f ge- l i j k g e r i c h t k i e s t ( ó i a g = O r e s p . d i a g = l ) , i s meer een k w e s t i e van

smaak dan v a n n o o d z a a k ;

i n

h e t e e r s t e geval o n t s t a a n n a h e t i t e r e r e n o n g e v e e r g e l i j k z i j d i g e d r i e h o e k e n , i n liet tweede o n g e v e e r r e c h t h o e k i g e d r i e h o e k e n .

Soms worden elementhoeken t.g.v. h e t i t e r e r e n j u i s t s c h e r p e r ; z e t d i a g =

1

w o r d t d a t i n een a a n t a l g e v a l l e n voorkomen.

6 . 2 .

S i w n e s t i e s

voor

een d e f i n i + i e v e mesh-generator.

-

Nagegaan moet worden met w e l k e e l e m e n t t y g e n de N.G.zinvo1 kan worden