Plaatbuigen : modellen en analyse : deel 1

(1)

Plaatbuigen : modellen en analyse : deel 1

Citation for published version (APA):

Hoogenboom, S. M. (1988). Plaatbuigen : modellen en analyse : deel 1. (TH Eindhoven. Afd.

Werktuigbouwkunde, Vakgroep Produktietechnologie : WPB; Vol. WPA0639). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1988

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

i

.~ ~laatbUigen:

Modellen en analyse

',::

:\

··1>'1

J

~:~.'~ r~'

teur: Ir.S .M.Hoogenboom

. ( \ ..,~,; ,'"' .'.".

.

~ . . ~~"1J ~ ' " , ~ • 1

~A-rapport

nr. 0639 Sept'SS

~

\ VFccde:

1:>,

WPfUJoBtj

(3)

~Vtt~~

"'-f

!JVl

rx".:

t

~f',o

In

t

~

teL

t

~~

-l.". c.!#t-

~

.elt..~

6 'J..

UA-~

--d-U/l#f.

t,.J(L{;.Atf

~

Jd~I(f,A

i

~

~Uc.:I.IUt ~"4"1':~""--'"

UA ~

l

trpLW.

01

t.

J

"-I,.) .

k. ~ '-'IA. !/~o-t I!I{

va-.

tKt,..)a,41-~ tA. In I1A..

io..,llvt

It

d

t

£... tJ n dt

vk-U

t.'1A ruk~;

~%/2tRdl:

.

'l>e

~L. ~ ~,--~cLe.

fYl-'Oc.J!Y)

ptvl&a.

~

&rL tXA:e..

ala-.

h03

U - J'2

c>.e

-"o/'..Lt.l't-

t:..d ~

ot<.;t-,

~

b

ru

tt:()~L~ ~/4 J ut!t.~'"

R

of£ "",,-()~.c.-.tllit.~

Icrlt~;n_l~/(~~ ..c,....,. .-1 U ~R~l(XA:ht~

• De

t:rVVl.-t'1.e.

(Yto

C£/.)

P 6V2~ ~e..{~ .t~

rilL-

M

~~3

.)

~p-

!;.J \) J

n

J

c)

fo

~ ~ c..1..u~ ~

o..A-..tP-tf

.t

~~

,--oP!.eb.c-~ t.c",--oP!.eb.c-~ ,6,.: tA.

..e..c:..-t-«

~V ~ Ve-V,).(.. J;t.,-.,(, ~

'AJ

-J4.ca<.t.Ut;..-

t.J

In

~

.t,~ ~,-,tX.

..flu

~

ol~

t>te..e

11<

al

d

&

tu

c<-

~~

"-..

c._l;e"IA.~

Yvo..cOlld

/.l~£~,.

i: l1Ad rK.!

f~""""~ R/.-'j.

v

()~

Fe

tJ~t-- «.t:<.«..V~ ~/,:, vo-~ ( GiL

ptt'L~

da/)L');...1d

J

l/~O

tf

if1-J/A.e.~

R//l

~

~d

~

IJ.,t

~;o~"'.f~ J4.&...a~d..

(,.,jhl(e-.

w..-vt.ltrn...tX

M

1A-t:(!)(P{~ c.Jt'dt

k

.u...

~e~li.AcJ?. 8e.~s(

.I!...-

8

t

i

k~cf k~

"""~oU-..

VtJt-.

R/'l

Ii.~...e.- ~

d

a"o

~

J

e Jt..R

utve--f...J1rt.Dt,,-- t.I~ ~ ,£OIJ')

tJl

e-.

M.-o..~

e.c.-

A}

t4IIVL-pR~M~ .~oJ{~~c-.c>old ~~t~tA.

t...J1YtP{~ •

h

~

I:

III ()

d

v,,--

oLt--.

t

I!/te

It. e

~tA

U

e-.. .(/.1 ~ .44!r~

(/~

D'U

~.RQ..l-it.. ~

t.d

.c

~J~

/A.-.-.-.&-I:-.E:..-.

Ii'

~

M

t.lf>l1l./'"iif'

e.O~ VJIl.-..

f:J

~

h

I

~

V~~~e..v-..

.e- riU

p~"A€.

1/"--

~

(4)

bL

""'c.-t.

.J

~~

~ k-o.o~

WhrA.e-,~~~:

':L

f.t~t'"l.-~~d!. ~. (~tJt.<)A~c,£

-

pe~Mc~

n.'~~'1'

'-'tndt

~

~Vrk.~~

.

.t",-"-~,,,-~d

'8d.oc-t~.)

nt.lII.

V~4~~~v..O t()o6Jl/u!~f

¥

rN

~'a.a< ~ ""~"I<e 9l£re--~b'c. ~OD~~

~ eJU

I

~q,;t.,;t:It

h --;:

~ I.J ~(

-t'£-./'v!cLh

~a.-e.-·_~w~; t:iI-~~k~~.

}i.

~

. t/. oU.

peC0{.V:)C~ CO""-,P~t .r~

oU-cU / ILk-.. Q.

t.Le

t.J~

.£?l

"o~e--/'L:e:..& J~

te

V2.

r'~

f)~t~.

p~

1 :II:.

~

t

tVl.. -

P

et:VCJ

~

d.

h-7 •

I. v.

£.e

6-

!3

trY

l--1

~

i~

(YU /No. A

k.

~ <..e.--- t:Vt. ~ ~ et-' l

4;,,;1,,(,

I3f

~

-Cff1}e-...'J~Ut>1.etu

&t.

LJ~f:

Q(R

;otyYiA'e

~

1M

~tA..a..4

u-ta"

~

LI~~'oI/.Jr4A-« I'~

...

tetVlt>{

~ "Vt-c.l~~~ ~ke-o<. .J ~ ~a,-te-... dA-Q/w.)~

k~

Ih)~

t..-..d" o<.e

~~~

...

~~~~

(~:zzr).

Btj·

tX.c-

dV1-8e-itWl~1"A ~

wtn

~

(){L

/va

04-.

t.~

4a..e V~ ~ l'~{t.'l".k ~Qlt?lL.-v€t.e' ~/t:Ot.-../"'~-"

~~

/ftdtll

r"Ja- tJ/L ~

"'if

~ ~

k;

VVL J ~

1

L - A I...J ~

tX,f-ou.

kln..e/~~ 1tA-..~ (~ ~rQ.o-R~ fJl.D~

0/

bt '''-. ~./!..%)A t.-L.~

• ~ ~~

VA.--..

/jfJPIA-~'-"I.r-e-,.J~£,.A'd.t .)

bLl'1-~ }1 c/.l~

.e..-.

~ cJ~"v~tn..t.-J~Ke.. VJ ~~

oU..

0/

~~-

J.t-..-.

~

~~J.4--'<

Ilk c:r-.A-.

t

l>cp

a.de;{.

ft

'U ""

0-1- ...

_1

".e;-

u

o{~

~

i

(p~---l

bl

~~'t.... ) U-..J~ LI~t ~

(5)

, - " ' 2 : ' : 0

-0-'1=0

- {f-:::::

C (

r

+

1'"0)'"

.Jt.:.(/lA'"", ~

r

N. tjlc.~ t~(..

~,

/; -S'

v.

ot(.

p&

t./.:J~

~c~~1: - ~:: ~O ":. ~.

- ole

~ ~. EX"::

#-

0)

e.

me.

t

ry.u,.k.e.

~ (~2

::

0 ..e..- (T"'1::- ()

J

0;

-= \)

G;c.

(.2

J

Yue/l..""".c..t.

wnoll

v,.-n

H

B~

ft

v~

He.e:O

f~·

t.

d'f.

'1 .

--60

(6)

0/

~~~u

Hn -

I,

E

~:

'.;;:le-IJt(I-V~

e

f:fi-

~

"'1

6.--~ ~

A.~-1~

He

8t .•.

:Io1A.~f

40":)

£.Jtn.eU.

'6u~

I"k€-!: C

i>

~o'-- ~"'--

w.t tX...,f

~

(.It

(,1tok

e/A>t-.

~ ~

1:2.(1-

'J:t)

etJ(

R-t ..

to.j"l.·~

tl) '( '"'

U~

/;0

I:tAo-f-

I.d.

v.-~

t

~'r;,.

d

i~

t ,

&. &.

t

I./l~) ~ wt.f

JJ

_ /.J 7"VI q- "::

cr.., "::;.

L c:." y;,.~ (~) ~

cr '::

V

\)~-

\) ..,.

I I

I

o-"J( /

IG;c. /

=

11k

~ o-~ 1Ik.A.'?tA.'-..~""

'1::::

1:.

~::-

• VDI?l tXt..

~~ole ~

e

(e

v)

IJIUVl.-l>

'i

J

fAA/Jt

v

e.o~

~but.LtP(~ J Win olf lJ...o~.t--(J;I.£ ~

(itJ

Qe.rJ~tX.&-ert

If)

{,oj

(7)

WeA

,~.~f..&n.t"..,...« ~CA...:J2--rX t-..~""--e-I:

H;v

~

fkt-i:

l,

'j

( e

rX (

e~)

~

DtX

~V&A,'~i

-

~'"

&f

d'rb.-?t.

1L.t...et?!.

u

tnol{ ~ .;'l..e

d

l. ~ olf. 4p~c,....;."'-'r

(...).(.

d"

~-1Lk~

b.£.

J-1.~

t

t-tM.£-. oU dP-A

tV':Jc.L -

P

e

1iA~

cL.e

.e....-LM

-l..f'CVJ

h/;j

e.&..

J

eA.~o{

(.J trz..6Ilt

~

e

i

~

"-L

t

'tv .

J)""

-4.1:

dMt"V'J~ (~L.,{. JdoU.-... o(.t.. ~G-L~

(t,J

..t-. (II).

Von 'tv

wtn-q{(; rKt'A-..

qe..J ...

~

'Iv ':

C. ED'" (

1_\)2.)

e

E

V\J:l.._\Jo+l'

J..,

-&.t

df2/.:lMvL -

p~'1/.)r1.t. J~L.,(

k,61t-. c/[)tn.

r>U

toUJ!L

~~~

t£-ddiLv£..-

W~

• • e. • p

€.

W-::.

2.l,J'

+ E.

'J

1..) . . fVl..Wt

£.

e o'.L

dQ..Ot.-v.;dL -

~ ~ p ~ r'bv:Jh~~

eO~JO~1:-

• W

hflll

..u-.

/IL

d.U.

-1!f

A-..~""-

'P

Wt.,. ~Je.",-C>"--c--.

atC1..-

k.~ /4..d Vt~'

4.6:

f'.et24t,.A,;;>d.t..

~

( Lt.J'1 -

v~ M(/J~) 5~;:.~te~rA. tJ~.

~s)

(8)

~

1dr;lf;

~

l'Hc-l \HDPk.e. <-.

4v~- V~H~~

E.

_x

=

*

=: -L

{fl;c -

\I

(j~)

-+

E

(0;: -

oz.)

e.

E ( T ; ? .

O/~... '-~

£ o(.e.

.LitLe

f.:e-..Jt.

'1.I..k

l.J'

l/.

cU-p.!

fv.)

l'i/l

cLe.

J't.e

t..

c:."",,,-f'~'--

t .

1/

fA r;( Vl.

J

d

(J/.

t

f

==

~ {(~

)'/n - -go)

On<

~~'I",,-b'4!-

vA.- ('';

~

(:La)

~

(1',)

~

(te)

rio",

1'11>'1",

2.o«o~ J!..!-

L-w..u.

ta...e

-t.:t.-..pt.:.c-..:c..L,

~/~ ~ ____ tX.e-..-. t ~ ()'~.e... 0-'2 (.J 6LtVL VI,.,..U.. Ci"'x

h(A~~€.lt ~(.I'''~~ k.~ t..)1!M.~ •

VOn

r;;U

JLf'~'-d ~

LL~ d~~d.. -p~l.-v:Jd..

i1;t.o~,,--1: HI3~ WlKC en>~ .t.e- Wl t.:~J ,e.I"l.·e~

?

~

i:

t;... tl~ 0( (.Jtn of.£.- .J . " .

.f.

_'I

'Iv

~o/~

N

~

p

~

e

j ;

'X'

If

ol

'1

+ ,

fIT;

If

f)l

'1 ....

6 f

IT'){

'I

¢.

'7

(2-/)

- -j_1

(9)

bc:,-~.b.>~ (~d4we-..

'-

e.-t

e

~

-t

~~

~ ~~)

'W ~~

i

0-':

~

IIp

~ ~ h,..tK,

6 w

tn.. q{£...-.. Yk Q.

6 (~ (tT) I:/~

(2.0))

0/"""

(2-~) !~f,At

Gb.u-.

~~

I'll)

'Iv

rd

~

>

£0

~

(I -

\)~)

'::

~

~Ot-I:

(2.6)

(10)

(11)

(12)

:r

~~bi

f1tiJIItJ

A""-- Qa/

tJ~

&

it-

!&t

?.£Jd

~

O, •

.:,tLt,.)t/4-...iX-'r

;:>&0..

t

oU

""-~

t-~ fJk/7t:J~e ~

Vj;

~.

H_ 4Ke..

~r:? ~

&.l

~~

v&.t.

( i : ..

J

~

i-J~

tt~&iJr;{.

/).e

~ £I~(j p/l;OCb':)'--D(/ tJtn."'~

~.6

₇

{t).(y

jP4VJt

(~"c

r-;

t) :

1<" .--- -- - --I I I

t"

1:

---I--jA~

~---~ - f/

tal

fa ~I d7.1.4J<

Ae

'-~ ~

~-

/k·dl··, .... ;

(t-:I(:=

0

J

-

J~ ~1Jc.l~""J

(i?ty=

0)

\ '"

"

R

~//

P

tA ott. ;2htftd

~

&f::

~~

~

ti(:it

'.""'t."A:<..e..{

/

r;p

~

£a.Iv.c

,-t'o..a

t

()'.,,:~

tl.

V,j

8~.Jt.-...

J

-4

t

&",olh--()(,A -a. it.-..A

~J

(13)

~

WlhoU.LL...

~~

~~J~ ~

i

~/~trv:>f.

e

~

oU.

~.t ~

4-t

t1..t..~~ ~

U.tak.

.I

~

tJlLli-~jl:.e·JdPlt oiA.aA-l/~ ~

(at.e)=o.

~

wendt

~

a.e

~

u~/~

.{,.enAke..-:--'J

ert...~eL~

CL~D.tl: ~

~

~J,;,acL ~t~rt>lA.A.;

.e-..

ex/~6:..uL ~I..L.~~ ~4.~·A""'Q"~j"

:II:

'J(){,e

e;,.d

_,

p..!~ivad. ~ieM.G<..t

~67 /.u1t-

1

fJ1-..~C

ove-t.d

~/~ v-eO.R_:~A-..-"·'-1

~t.) ~-4.

t

tiA-..

~ U-~~

~e

~

~tX.4-...

~IAI-It..~ol ~

4ftke.~!

t..e

L~

~

alL

'ji?A/o/joUL

of.J2-!tn,

~&l-~,

.

B1

~

i£iL..Je... c:c

Wtfl~

III

~~"""'4hG.-~t-...eJe-Pyn

-t.e/,(i(A.RO<

£-.

t./bt.V~.£--'3 LJ~

tX£

vAj

~~jJA~

e

6fi/U1u:-q/.

~

c(~d

()

=

0

I-H

t.c

jP~.

1/9-tn

ou.

.i.£-1

u

~

..t..£--

~e~

7·~~ht

I.t

,~

artlA-t:i

'1

Jdet.-i :

(14)

~~~:

i=

C:Cfl<-f

7 )+ot(,R-fiJ

(.2.2 )

(/{)tu.~~ ,)Q/l.(,'~

h

L

~3LI't:V)1

¥

~

t

J,,&.~~ ~ ' ... t~~te...

tJlTldt

41l

#-rl.

R

-I-

'!

~

e

...&.vtA-1: (

Vh

(!;t

~

(<<'

e

J

== 0 ) :

• -

~

{

e.~+

(R+':t.2:t

IZ-ttj

-2rX(R+'1)

~~

tA

.

,

(R+'1-

€-R.

e

=

ex.

j

2-R+'1

•

4 '::: -

i.,::-

L

.f

}

tlf)~ ~

t

GU/IrLtt-.t:L

b:~ ~LA... ~Dj~

J

dot.t

d--.... :

t

-.I(

12.3)

(.z.

6)

/0

e.=

cv

f

idV~

L

lTy-O<

[II -

(-e-

)~/{Il+'J)

d'J

t.~·t;

v.3'

IR+

'f

a-I<

(15)

o,t{~

tA

L

d.t

f/taata.I'--1l.6·~; et;()~di ~

ou

.l~FAq.

o/fd

btk..t:-

~

ott.

fuz-

~~

~ ~~~W~

v~~i

.t

7 1

=:

e -

12 •

tuft

~~~.

le~Vab'1

A

J/laA.;

U, I1A-L

k

of..e.

p.&-<~~ ~¥t:

~

/Wv.cr..:t-

~

oU

6fAA.;~~k

tX;

,...1'1.

~

&.t

t/vz

t.c-o

r

~

If

~

1

c.4.

V~~;kJr:vt.I.:~h·~ b-tr-1'~6

7'

&1-

t/D~-.L ~£-..

I<.

e-..

e

~~ ~

(.1_,)

/«"'f

2.~1<

eli$..

+

ab -

0

do(.

at. (

b?

-R

'I)

==

~

(

,:e 7-

~.t)::::-

t;

to

k ()-,.

oU.

i.rvL;...

a..

6 (,.) In

~

d

u·~

'-'--

~

~",(

·

;f:

Vt~~ ~{~

tJtJ-L~ ~hr-Li----

/'1-t..1'. v.

u.-.

o/~fa-..A-£..p.e

)

~ clLda.at 11

&

,,'tJ>~

H

(16)

:;. to (AUnPU; «~

R2.

Y-

~

tX IZ

tJe

+

1I)e't -

(eo!o)~

, '::

0

"'IX.

-..

~

4l..h

1(.

V.

J,./.

v

~ c<...,. 0

L-1

IX

I?...,.

~

c:Vu'Vt.~ ~t!

t :

tisCh (2.Jl)

wtnolf

~

(.z.~) ~

(2.14)

e.-. (2../

S-)

~€-t!~

I

.----e.-m-'::::--..L..--to-~-cr.-t/-.

-L-.

0(-. ----.

(2.,

I.)

_

){ v.3'

.e-...

V f) t?z

-&

f

e'lA..i

1.1!.-..

tPI..

c.-.. 91 c-

I:

M

=-

- L

1:..;.0;,.

L

(17)

]I[

~.ep~hLd. ~t.e..v-t~«

",.t!d.vU:ad

o/tivtt'j

k __

~ ~ta.-t..

e

~

~~

~

w~

"-¥a.J

0{

~t. ~

ttj.fot-3

t

£Afol- OU #U

In

"""-A

tt:t.

-J~d

v~

tXe

~c

hJL.-

JO~/.

fA....

~

v~~

t l

k

tA--1.A-tz....,..

.t.eA.e

fa- .t,.. r

~

" " " ' -6-e

u-

t..)hlX.t-. MA.

?.£l

~

~h.,

I·w

€?'·

oI.L

tM.Jtrz.-~A/L.e. ~

Ck.

rt-

V:1

V.eA.eo~; ~ ~

...

c..;p-e-

Jc.~ ~C

W'holL.-..

~~

~

dlL

t/~~~i Ih-.tdc~

/lA--C

k

R=

Ie

(tat::.) •

A/~Lj'h

VA-.

~

I~~

k",---

ou

~7·.u.

tej7c-aLCIU

.e...:",-01

.t/A;,..'i

-t.~it ~-e- 6~

M-ah-dLr~(:.vt~

h{"wtnde-

'~d.

(/-f/t

V

1.e-...1

~t i-J~~ 4~;~

t/g.-rn

w~

If

=

IR

(<xJ pte

Wm

~~ k...-1A.~p ,;t;.

Ch-

~t /l,6k~w~k ~ c/~V~f:X,...j..t:.-- ~

aUe

ru'trl

hoU.-

Wlnolt.- t-:

(;Ld/i.-k.!.

~

't".£

a-J:dj

k

~p{

c.J~

CIlR

~ue'h £.lH1l~k~~

t

'Ie

12>

(18)

V#in

£.

idoll

(~2..6

J

ot,

£'

'=

f

i

di

=

i;

11:'/

Q{..t

o

~'-Vt-

6..e/t

oU I

-6et"2.JIkutA.-;

o-r

rxf!u ... A:a.A·c

~

;

0( t. LA

ott.

~8L~

~~

k .

tJtHhd.a-t

(3.lt)

ka-.

Whol.t!.--

~~l!-tJeA~t h-~t ~

t€

k.t--

c.4t-

~

I t-Jlhdl2-,..

~~~d.

I'hd

{:at'

9

J

~:

t' -

KR (K,:()'

-+ foro

V (

0(

I< )

~

+

:l

t.,

'1"

tX. I

D.t

(k-t-"w"-fL

c~d-..·

...

«.4

I:

(yon)

I/O..-

~

t

v&&.

wJk

,~

tN.

~k.oL&u.;3~

«e,.

~

~/I.a.~

vea.k

0 wb'td

t

--6e;'p.

J.e,l t:Jl ~ :

.t.

I ( p( ::-

«e )

r",::-

"1'-;1'1

J

~

0

(.3.s-)

(19)

15 4?:J

~i..ekth.-

...

Wlhott

tJla.{

&&

he-Va....&.

veak

2,,;e.£

~j' hlUt.~

ol

w.~f:)tD~

c:...

(J(.t.

J,t'i"'~

r-/W.J.Ao,

tJU,4d4!

(kJ,okke-.d

~7'O-=O))

p(~

k

u14k&..-.. .u.,.,...

~

!£k4IU-

tJh«.e.-

~~~

(~fl'

J

~tl.Jn.~

III

I

:

-lo/~

<

'1"

<

'1011

~'k ~'I. ?e~ ~

-&t

~~

€A... eM.. :K-

~A"""1

41:L.t..(Ib,

d

€At

c.-J<

t .

I:>d:.

td.c

Iut-

t

Pla

t.

e

'<0 • //

t:J

lh

~

~/llC t~.e

/lLk

Jdde

kA.t

t:

(Sit)

~ (3.3)

&lC.e.

~

_-

-~

_f

0(<<"

o

(20)

'?

e -6.-z;ad

7l::::"

'tfJl7

<

10 <

0

It-~d'l£-..-j 6~ t~;~CI!../.J w~

.&...

;""A~ ~ak

,i....

of.,..:l

gL-t"fi11l

~t ~t"""""'kt t-k ole ? ( - ~h'lAl

.)

~~~

V:l

&t.u.-.

~I:

IU!A-~ ~k

.c-.

~~Lk.

£Jtn.d.f

,,(d-

~

~e.

tJ

trz tXt

ixe.

~

t.J~r

.ee...

u.ta.1c

'1'

r~ (/~ ~

J

v-t'ak

t.4

h'tU

/1

1IUIl-?

Je-..I

e--. )

cia-

~ddt

:

.e

I

<.

0

Vd-1'7-e'

> (;)

v~

ev..

k-Le

l:

(.3.

3)

(21)

IT

$tl-hQd

7lL

0

<

'1(:)

<

~

fXA:t

!~ed

(.Jhr;&{;

~t ~~J

c..~

cXL

'X-~e..Rh·7

(J1. ~ ~VLe if

I:

J. <A

J

dtrU :

o<a-

~p;

tl.a-

(3.1)

Je.../~

I

~"::" ~

Jf ([;..,..

£()

)1'1+'_

r

ok₊l₎ ₀₍

Vo

Y7 +1

(22)

~~

Vol

l

ole.

~,-e

It· ... ;

~o~dt- ~..t.c. ~'-1~d6''-d ~

18 1J.f-

v

t

t"..1, "'-..

..J~ ~k

R-::::

,e(~) ~

tJ

~"'_:"'--IR..J.

• ~

-6Lrt...A.~ ~""'! t/~

«-'/.

~~t-.

ka...

w~

v~i~ CJl~

VJHrl-

I<..

fYW.t~~J:.e,.,., ~

/A' .c. ...

~

.u...1

~

r/~'oU-.j i h-~t i/~ ~

t',.;..£

tJ'lL-

~

1"&..J..:ad.

~~

(,,",,)

(~.'3)

afh

CP~

9.LU~ k~

t.-)~.

4t?

pt?~~!~A-i:., 0 r~

If("

-!z-

{I

+

t<,

k~.2.

y.t

(3.15-)

tJ~V\.

ct,.£... Ift,il

tw.u.-

v~~ ~fJV'UfJt...~~

-e..-.

k

...eL-()&1.f.P'k.~'

'-"-

r

t-d .)

h • ./'.

k

=

4.z

4>

VOO1..

Q.,:. I .(.,.... A.t:: ~ ~- tJhoit .2.13 t/~d~"

(/£AWbz.~d

vfa.-....

(3./~) ~

(3.16)

~

(J.I")

~

6x/,~"",;

tI~

oI..L

~

v~~ oti~lk~ J'Url4~

:

*

(23)

-(3.,2. I )

(24)

::tIL:'

/?VJvrLttd.e-...

eM

e~u

f).f.--

t/ot:n. ~

jI)la/,;>Mt:L

I-'h-c< ~ ~ ~"",,,/d /,)

!c ....

1c

:zr-qetl~

-'2.e/.JJttfltte-.

J h1·h.

(.2-q)

e-.

otadh.~t

1!!14.e.e",;o<

(~.I.3)

t/".,

(3d,)

..>

k~

trV~ HA~ ~

'#1.

t.

L/. -11oa.-.~'k~.ev~tJtdt !,~",)~oU.- ..t.«~te

~~""j'

g

T.

dl.

v.

oLe /l..e.,,()u,li.ate.-.. va.-

~/~:m::- k'~ ~

t

LI~~~ Ulh~ '7l.~lct: ~tJd

-Let

~()~e!7'k

~ (j ~ (J • .2e::» #t. ~(lI:. (A, ~ a₄ ~i:l

te

~~d:/:ieA...e--)

L-1

n,.... oU

tM.

""t't>~d

va-

G<tA.R. fJtVla~ele-v3

b

~

.)

/&dor.:u.- vfrtn,. ole. t~,tAA..-"7 cit::/.-- ~ veLQ/.. tl~

V~,

.e...

cSt:/.

t.J~

(!?...:e.

(1

~7.' 'b;.~

z:)..

.

..,.. ev~ ~ 1 e-.-

be. klA-'t..cH.

e-.... ~/l.

.e.,'

k.e..-

~e

t

oC..e-~h

~~"'-~:> c-~ p~t£.,,"'~~

( n::

0

e :::.

"v

I) ~~e (.A.i?~ ~ .

UeaotC?/t )

t4

~R1~..e-:

tile ::::

I;

o~

/lAP{

('Z

-1;F)

~

It:::

0jl£"

Bide

~!tt 'a.

i.e-..

(/~ t7U t:-. ~ 7~(). je

r

(,J~e~ev.ll.--...

tJ aCM. ot..e"... I/~

w'

At

K""--

~

t

V~j~ de t J ;

t&.-

"'P].R""'"

eA..

Ie { .

~.o.L kv..U~ ,:""

I?l<..

~e-~:x. vi-.&Ji'-rL ~7- (/~4.

L+1.

~

i-

(.e.,.:

I:-

ol aJ; t.I b-tn.. c;U..

.ttdu

/I.J2A....

0«. &.. / - 4i..2.

~.I-r:-ha

CCM

~ h.e fPo

fu

f

,ela-e

t;-t;..~

..u...-

~

-

&ztJVi...ltA.:--d

0/

u...

.ee-..

~c.Ri~

(,IeJ

el/r'd

wn.dt

?vbz4.~I:.

6

1111.

6.

1/. Z,. I

6 kti---

(,.J~

5

£.-VB--.

~

dP..1:-

{rrv':::: (' ) :

Dit'

VI

=

-1-.

k.

C1l

e.

(j'

k

-e...

o<.e

~

4f!.4tA...?1t.:. tULt:/LtX

uuf1:

~& ~

04..

/'0 ~ ~~

AA£

Q t);I~q }';"lZt

de..

WI ..

t.

tJ.

C3.

£

0)

1e.i/~ou..-

£.JCR.dl/l.o(.e ( '

tJaaA-ti

q,

=

I

.e.-.l(~::: ~s

J )

lI1.f. :

LJ

*

-== tJ)

~<:fp

5.33 S'

6.3 fh

.1.

t/. dJ;,

/l.Q.,6~~

u:i

1.-0,

!o{;1!M..

~

7L

(W

ti~~(l.::a:-)

fa-

w~

ig..J----cU.- ;

*'

(25)

2/

tV

7/)'1::- ~

31

S

ot,..:L k

o~

t

thJ~ ~ ~

C

hI.( t/. 3.2. /

91th.)

en....ol.I-..

~ta.a..t.

V

f:.

1J.e.

/,.J~~ ~ t:JI!lL ~ ~

fa

te.-.

~ ola l tI ~

.£L.,... ~ta-£

(/(

I - ti:t. ~

1.rL ...

Q.

t,:

Il..d .) 6t--~ fi1lo.-..

a

I :: (

e...

&{.2

~ ~ ~-

)

eaa

€/l.£ W a.a..A

~

t/tIHf"t

W

'*

L.)~ ~.e../~~. - (/

be

taarvte

c--.Jt:<PA.0i2. ~ tI~ #'to Yl. :

~.

tA.

~

f

t/.)

(26)

(27)

i :

tt!

I

q:zt

0)0

I

b

i

P

i

()

!

~

I

b I

(()

I

1 I

I

i i i

I

i I I I I I

,2

\

oj~f

..

()k'.t

~2.it

c>:t\

.f

b

Ii

P

i

I:J .

b

!

b

!

<0

!

I L L j I I I I [

I

i

I

i I

!~9

~:lg~&, J,:li~

66 4;~JP3o

()

I i-

h

I

I:)

. . . J - ' - - " I I I I '

, I I ' _ , . . J

o)~.

:zj

6'"

1 ~

J J.

().

I

P

I

~

I

I I __

~

I I I :

I

i ..l

o,f

Ill

p

t

1 t41/4

2 ;31'/

~;~~!I t~rtIUi~lrlbl~r-lri

II

F

I

~J-

0

1

---··.1~2fl 11IoJ~~~3Iq~il)~31 ~.t~/31 ~3~)31

lo!

PI

I

:0

~

i I I I 1 I 1 I 1 1 I I I i l I

I

Iq~

I

o)~~6."112j~h rp)143~1.d

..

12~isl..d:<

...

2.Vlz

I

ujJ<.tsl-61

J,3i;]'lf

f

I

r

1

I

;

I I I 1 I i

:.r

~

-1- i i i 1 I I I

OA

I I

~

b5"1

• ) I I

~ :l~/~ ~.tr"2.

0

l3lf .f(

1~fl~~ 4.t3~!~ ~2~~

I

0) 2ft,

~

2S".to

O;24S-J

q

2.,37 6

p;

2:1.1/0

1~13e.

I

, 1/

it;-

I·

1>:

i }

6i

l

~.t

:

1

IL~.

I _ I

I

i I

I

1 I j I ;

I

'

I i ! I I

tt,

I , I I . . ! ~ I j I I i I I I

I

1

I

I I

.

i

, ' j

i _, I I I

':I}I

_l

_~

_.'

f

I~:

I

II.

I I

H

!

I

l.

..

I • I I

I

!~

•

~

, '-" 1 I ~ Vo . I

(28)

~

d

vI£(A. lA-\.~t/~ t/.J ,.

f~

,/01'1

=

~

(

1(2. -

e.t )

J1;..e-i-

G2':J))

~

.13)

e..-.

(2.11t)

0 rX~

~

7&7H

=- ()(.

Ltr)Z-'1

\t' -

k'

- J 01-'7 - •

(29)

""-Star-ideaal plastisch a.b.v. evenwicht

'!!:

Er geldt Ot_z = 0 ... 6A(0 -_z dus ₊ 0 aq> _r Oz

...

₂

-Dan is met a

=

_{0 v} 2 3 2 20 _v

= -

₂ (0 - 0 ) _, _r of

10 -

!j) o r

I

-Vf

3

a v Evenwicht geeft do r - = dr ocp+o r) 2 Modellering

- £

_z

=

0 - r.z en

If

boofdrichtingen - ideaal plstisch materiaal Berekening van

a Spanningen, neutrale vlak b Plaatgeometrie

c

Buigend moment

d

Deformatieenergie

e

E-verdeling

1 e

in bet neutrale vlak

-(1) (2) (3)

(4)

(5)

(6)

Twee vergel ijkingen (5) en (6) met 2 onbekenden (0 en 0).

r t p

De vraag is nu wat het teken is van 0 - 0 ?

iii r We weten al dat op r = a (0

=

0 en 0 < 0) r iii r

=

b 0 - 0 > 0 cp r (or - 0 en 0lil > 0)

Het teken van (alii-or) hangt dus waarschijnliJk samen met het

stuik-respektievelijk rek-gebied m.b.t. Otcp. Gaan we dit nat dan is:

(30)

Met (2)

Definieren we de neutrale laag op r=p als het vlak waar momentaan

6t~=0. dan is met

(9)

en met het gegeven uit de figuur dat 6£~ > 0

voor r > P en 6£~ < 0 voor r < P.

I. r > P _alP

-

_or> 0 en _a,- 0 _r ==

'If

₃ 0 _v II. r < P ₀₁₁ - a < 0 en _or

- 0

·Vi

°

r ql 3 v

Met

(6)

wordt zodoende voor de beide gebieden gevonden

I. of en do r .\

f!'

°v dr

'V3

r

\If

dr do .. - 0 -r 3 Y r

Voor r-b is 0r=O zodat

C

=

-~

0y In b Dit geeft or

=~

0v In

f

met (10) II. of en do ....\

I!!:

°

~

r

-V3

v r In 1:.) b a

_·\I!'o

lnr+C r

V3

v

Voor r-a is 0r-O zodat

C _{=\If" °v}_In _a Hiermee is

-Vf

°v a 0 In -r r en met ( 11) 0

-Vf

°

(1n

.!. -

1)

,

3 v r (10) ( 11 ) (12) (14) ( 15) ( 16) ( 17) ( 18) (19 ) (20) (2l) (2i) (23)

(31)

M.b.v. de spanningen kan, zoals in het nu volgende zal blijken,worden nagegaan hoe de ligging is van het neutrale vlak.

(16), (17), (22) en (23) in grafiek gebracht, geeft kwalitatief het hieronder geschetste verloop voor de spanningen.

,

b 0,

):r

0" I

I

I neutrale vlak

Vanwege evenwicht moet gelden dat het verloop van or continu is;

o~ en 0z mogen discontinu zijn (zie onderstaande figuur).

lOr

eoz

---

_.0,

-

OJ _

neutrale vlak Or

M.a.w. de grens tussen beide gebieden. of we 1 het neutrale vlak.

1 igt waar geldt

I " (1 a 0 r r voor r=p is dan

'if

°v In

~

..

'If

0v In

~

(21t) (25)

(32)

b) Homentaan wordt het vlak op rap niet gerekt.

Wordt a als deformatieparameter gebruikt dan moet zodoende gelden

of (r + a __ ddr) • 0 a rap Nu is vanwege volume-invariantle a (2 2)

2

r • a .. 10 h

Hierbij is h de initiele coordinaat van een materieel vlak.

(28) omgeschreven geeft 2 2

~O ~

2 r .. + a a Gedifferentieerd naar a dr -2 10 h d 2r __ .. _da ₂ ₊ 2 _a

_da

a a 2 2

!!!:. .. J..

(.!..:!... + 2a da) da 2r a da of Dan is met (27) of 2 2 p + a

J..

{!.-::..L

+ 2a ~} .. 0 2p a da a2_p2 aa da

P+"2P+pda-

O

Met p ..

lib

wordt dit da a + b + 2a

da -

0 (26) (27) (28)

(29)

(29a)

(30) (31) (32)

(33)

Tenslotte geldt er nog volume-invariantie voor de gehele plaat

a (2 2)

2

b - a - 10 to

(34)

Hiermee ziJn twee vergelijklngen gevonden

«33)

en

(34»

met 20nbekenden (a en b). Voor het oplossen van deze vergelljkingen

is he\ handig om op de plaatdikte over te gaan

b - a .. t

Elimineren we hiermee b uit

(33)

en

(34)

dan wordt gevonden da

(33)

en

at

Differentieren van (36) geeft

10 to _dt _dt 2 2 (t + a - ) - da a t do. -2 2da dc:.i ;::

Elimineren we met

(36)

en

(37)

a u it (35) dan

of

De vorm tussen haakjes is ongelijk nul, dus dt 0

Ta-of t

=

t

_o

D.w.z. met

(36)

en b - a - t is c) 10 to a

= - - -

_a ₂ 10 to b=-;;-+T b M

=

f

0 dr L(r-p) a tp is p II

=

J

0 dr.L(r-p) a ' b I +

f

CJ dr.L. (r-p)

e ,

(37)

(38)

(40) (42)

L

is de lengte van de plaat loodrecht op de buigrichting. Seide termen hebben een positieve bijdrag aan het moment. Het moment is genomen om het punt rep . Substitutie van (17) en (23) geeft

;:: L

J

(r-p)

~

CJ

v

(In

~

-

1) dr

+

a

L)

(r-P)

iff

CJ

v

(1

+ In

i>

dr Uitwerking hiervan geeft met P ;::

lab .)

of 1 2 M

= ---

(a-b) • CJ_v • L

2"'"

1 2 M .... - t • CJ v • L

213

.) Standaardintegralen

J

In L dr c r In L - r + C a a

f

r Ina-dr=Tln-;-.,.+C r r 2 r r 2 (44) (45)

(46)

(34)

Dit is hetzelfde als hetgeen bij opgave

6.3

werd gevonden. Dit betekent dat het in rekening brengen van de verschuiving van het neutrale vlak, in het geval van ideaal plastisch materiaal, geen

invloed heeft op het buigend moment.

d)

w ...

f

M d a

=--

1

213

2

t • a

v . l • a (48)

e) De hoofdrichtingen draaien niet t.o.v. het materiaal, tevens is de verhouding tussen de incrementele hoofdrekken constant. Toch mogen niet zonder meer de eindige rekken worden gebruikt voor de berekening van de effektieve rek. De oorzaak hiervan is dat de vlakken die tijdens de deformatie neutraal vlak zijn geweest m.b.t. de tangentiele rek eerste worden gestuikt en vervolgens worden gerekt (zie figuur).

t+

De plaat kan nu voor een bepaalde a in drie gebieden worden verdeeld .

I .

II.

a£

< 0 en vervolgens

a£

> 0

~ ~

I I I.

a

£ < 0 (49) ~

De vraag is nu hoe de grenzen van gebied I I liggen; m.n. hoe groot is r 1 (r

2

=

pl.

Er geldt

(35)

dr

( ) a da ca + rca

Ct = 15 ar = _ _ _ _ _ _

(j) ar ar

met (29a) is dan -2 1 h

a ( 0 + 2a da) Ot

=

2r 92 da (j) a r Met (29) en (40) is 2 2 ' 0 h r == + a '0 to 2 ( - - - ) a 2 + r • OCt

Elimineren van r en a met (52) en (40) geeft voor (51) 'oto

t~

(50) (51) (52) '0 h -

--r-

+ Lj""l CE "" loa 2 oa (53) q> 21 0ha + (10-2)

Dit is de incrementele tangentiele rek als funktie van de deformatie-parameter a en afhankelijk van de initiele coordinaat h.

De begrenzing van gebied II is dan uitgedrukt in h (CE(j)

=

0) h1 to (a

=

0)

""T

to 2 h2 atO

=T -

Fa

(55)

In de straal r uitgedrukt vinden we m.b.v. (52)

(56)

(57) is uiteraard ook te vinden met r = c

=

/.ab.

Voor gebied I en III gelden de formuleringen voor de rechte rekweg, dus met E _r

= -

E q> is

(58)

en E == II' In

...L ""

10 In

~

10 (59)

Uitgedrukt in de initiele coordinaat h wordt dit met (52)

1 [a2 _{( 2 10 h _ 10} to

2)J

₍₆₀₎ ( =: - In - + ( - - - ) (j) 2 ,2 a a 2 of 0 _{atO 2} 1 2 10 ha+ (10

-

- ) 2 ₍₆₁₎ E _""

-

_'n ₂

'"

2 '0 31

(36)

Voor gebied , is dan

E > 0

!p -, 1

E , " ,

-dus

£ -

~

E!p zodat

atO 2 2 10 ha + _{(1 0 - --2--)} In -...;;...-_-....;....-....;;....-12

o

I j

en voor gebied "~I

" ' E _Ip <0 dus

-II'

E

=

-vr-

₃

£ _Ip zodat 12 0 ato 2 2 10 ha + (1 0

-

- ) 2 -, , , 1 E = - In I j

Voor gebied " geldt het volgende

, I

Bij beide integralen is er sprake van een recht rekweg, dus:

Op de grens tussen de beide integralen geldt dat OEIp

=

O. We noemen de a waarbij dit optreedt al. Dan is met

(53)

(62)

(63)

(64)

(65) 2 10 al

=

_{- 2 -} _{(to -} _2h) ₍₆₆₎ to

D.i. de hoek waarbij een vlak op h juist neutraal vlak is. De straal waarop het betreffende vlak ligt noemen we r', dan is

met (52) 2 10 h r,2 = + al 10 to 2 ( - - - ) al 2 en met Met (65) geldt -II of E -II E nu

_t~

(_

ln~+

V"j'

10

Vf

ar 10 ... - 1 n ---..;;--::-3 (a' r I) 2 ar ) In-,-, a r

(67)

(68)

(69) (70)

(37)

Met (52). (66) en (68) is dan

Elimineren van h m.b.v. (52) geeft de effektieve rek als funktie van de lopende ~oordinaat r.

(71)

f) De effektieve rek van het neutrale vlak kan zowel met

(63)

als met (71) worden berekend.

Substitutie van h ~ h2

(55)

geeft in beide geval1en 2t2 -1 a 0 £

= -

1 n (t - - ) (n)

13

412

o

33

Plaatbuigen : modellen en analyse : deel 1