Examen VWO
2016
tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30 – 16.30 uurwiskunde B
Formules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool. Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek. Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant. Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn,
koordenvierhoek.
Goniometrie
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin 2sin cos sin sin 2sin cos cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin
t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u 2 lees verder ►►►
Parabolen met gemeenschappelijke raaklijn
Voor elke waarde van p is de functie fp gegeven door:
2
( ) ( ) 2
p
f x x p p
De grafieken van deze functies zijn parabolen. Twee van deze parabolen gaan door de oorsprong.
4p 1. Bereken exact de coördinaten van de toppen van deze twee parabolen.
Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y 2x1.
Voor elke waarde van p raakt de lijn k aan de grafiek van fp in het punt met
coördinaten (p1; 2p1).
2p 2. Bewijs dat het punt (p1; 2p1) inderdaad raakpunt is.
. We bekijken de functies f0 en fp (met p0).
De lijn k raakt de grafiek van f0 in Q en de grafiek van fp in Rp. De grafieken van f0 en
fp snijden elkaar in Sp. Zie figuur 1.
figuur 1 figuur 2
Er geldt: de x-coördinaat van Sp is het gemiddelde van de x-coördinaten van Q en Rp.
5p 3. Bewijs dit.
De grafieken van f0 en f4 en de gemeenschappelijke raaklijn k sluiten een gebied V in.
Zie figuur 2, waarin gebied V met grijs is aangegeven.
Spots
Veel industriële en medische processen worden gestuurd figuur 1 door een digitale camera die gekoppeld is aan een computer.
Hierbij is een gelijkmatige verlichting van het werkoppervlak van groot belang. Voor de belichting gebruikt men vaak een of meer kleine spots. Zie figuur 1.
Om de belichting goed te kunnen instellen is de hoogte van de spots boven het werkoppervlak variabel.
We bekijken eerst de situatie met één spot S. Zie figuur 2. De waargenomen verlichtingssterkte E (in lux)
in een punt P van een horizontaal oppervlak kan figuur 2 berekend worden met de formule:
2 cos( ) 4 spot I E r Hierin is:
Ispoteen constante: de door de spot uitgezonden
lichtstroom (in microlumen); r de afstand (in mm) tot de spot;
de hoek (in radialen) tussen de lichtstraal en de loodlijn in P op het werkoppervlak.
In figuur 2 is d de horizontale afstand in mm van de spot tot P en x de verticale afstand in mm van de spot tot P. Er geldt:
3 2 2 2 4 ( ) spot I x E x d 4p 5. Bewijs dit.
We kiezen d 10. Er is een waarde van x waarvoor E maximaal is.
7p 6. Bereken algebraïsch deze waarde van x. Rond je antwoord af op één decimaal.
In de rest van deze opgave bekijken we de situatie met twee identieke spots. Voor elke spot geldt: Ispot 500. De spots hebben horizontaal een onderlinge afstand van
40 mm en schijnen recht naar beneden. figuur 3 De verticale afstand van de spots tot het
werkoppervlak is 25 mm. Zie figuur 3. Hierin is ook d aangegeven, de horizontale afstand in mm van de linker spot tot P. De horizontale afstand in mm van de rechter spot tot P is dan 40 d .
De totale verlichtingssterkte Etotaal in een punt op
het werkoppervlak is de som van de
waargenomen verlichtingssterktes in dat punt van beide spots.
Het deel van het werkoppervlak tussen de spots wordt voldoende gelijkmatig belicht als de laagste waarde van Etotaal in dat deel minstens 80% van de hoogste waarde van
Etotaal bedraagt.
5p 7. Onderzoek of bij de ingestelde verticale afstand van 25 mm het deel van het
werkoppervlak tussen de spots voldoende gelijkmatig belicht wordt.
Buiten en binnen de cirkel
Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en straal 1.
Buiten de cirkel liggen punten P en Q zo dat M niet op de lijn door P en Q ligt. Op lijnstuk MP ligt binnen de cirkel het punt P’ zo dat MP MP' 1 .
Op lijnstuk MQ ligt binnen de cirkel het punt Q’ zo dat MQ MQ' 1. In figuur 1 zijn de punten
P en Q met de bijbehorende figuur 1
punten P’ en Q’ getekend. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
De driehoeken MP’Q’ en MQP zijn gelijkvormig.
4p 8. Bewijs dit.
In figuur 2 zie je opnieuw de cirkel c met figuur 2 middelpunt M en straal 1. Verder is een
lijn l buiten de cirkel getekend.
Op l ligt het punt A zo dat lijnstuk MA loodrecht Op l staat. Op lijnstuk MA ligt het punt A’ zo dat
' 1
MA MA .
Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage. In figuur 2 is ook een punt B op l getekend.
Op lijnstuk MB ligt het punt B’ zo dat MB MB' 1.
Getransformeerde grafiek
De functies f en g worden gegeven door: 2 ( ) ln( 1) f x x en 2 2 ( ) ln 1 e g x x figuur 1 De grafieken van f en g staan in figuur 1.
Ze snijden elkaar in de punten S en T. Lijn l met vergelijking x p snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B. Het punt op lijn l met y-coördinaat 1 noemen we P. In figuur 1 is de situatie weergegeven waarbij l rechts van T ligt.
3p 10. Bewijs dat in deze situatie AP BP .
Ook voor waarden van p waarvoor l niet rechts van T ligt, geldt dat AP BP. Hieruit volgt dat
de grafieken van f en g elkaars gespiegelde figuur 2 zijn in de lijn met vergelijking y 1. Deze lijn
is getekend in figuur 2.
In figuur 2 is het gebied rechts van de y-as dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g en de y-as, grijsgemaakt.
Dit gebied wordt gewenteld om de y-as.
5p 11. Bereken exact de inhoud van het
omwentelingslichaam.
De grafiek van f wordt 2 naar rechts verschoven. figuur 3 In figuur 3 staan de grafiek van f en de
verschoven grafiek.
Het lijkt of deze grafieken elkaar loodrecht snijden. Dit is zo als in het snijpunt van de
grafieken het product van de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan deze grafieken gelijk is aan –1.
8p 12. Bewijs dat ze elkaar loodrecht snijden.
Droogligtijd
In de Waddenzee varieert de waterhoogte in de loop van de tijd. Eb en vloed wisselen elkaar voortdurend af in een getijdencyclus met een periode van ongeveer 745
minuten. De waterhoogte in het oostelijke deel van de Waddenzee kan worden benaderd met de formule:
2 745
125cos( ) h t
Hierbij is h de waterhoogte in cm ten opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil) en is t de tijd in minuten. Tijdstip t 0 komt overeen met een moment waarop
125 h .
In het oostelijk deel van de Waddenzee liggen verschillende zandbanken die
gedurende een deel van een getijdencyclus droog komen te liggen. De droogligtijd
D is het aantal minuten per getijdencyclus dat een zandbank niet geheel onder water
ligt. De droogligtijd hangt af van de hoogte van de zandbank: de hoogte van het hoogste punt van de zandbank ten opzichte van NAP.
In het oostelijk deel van de Waddenzee bevindt zich een zandbank met een hoogte van 40 cm boven NAP.
In figuur 1 is de grafiek van de waterhoogte h getekend. Tevens is de hoogte van deze zandbank weergegeven. Gedurende één periode zijn er twee tijdstippen waarop de waterhoogte h gelijk is aan de hoogte van de zandbank. We noemen deze
tijdstippen t1 en t2. Het verschil tussen t2 en t1 is de droogligtijd D.
figuur 1
4p 13. Bereken de droogligtijd D van deze zandbank. Rond je antwoord af op een geheel
aantal minuten.
Op drooggevallen zandbanken kunnen waddenvogels voedsel vinden. Daarom willen natuuronderzoekers het verband weten tussen de hoogte van de zandbanken en de tijd dat ze droog liggen.
Met z duiden we de hoogte in cm van de zandbank aan, ten opzichte van NAP. Er geldt dan:
745
125cos( )
z D
In figuur 2 is de grafiek van z getekend voor waarden van D tussen 0 en 745.
Ook kan een grafiek van het verband tussen D en z worden getekend waarbij z op de horizontale as en D op de verticale as wordt gekozen. Zie figuur 3.
figuur 2 figuur 3 figuur 4
In onderzoeksrapporten wordt, in plaats van de formule die bij figuur 3 hoort, ook wel de volgende derdegraads formule gebruikt:
5 3
8 10 1,7 372,5 D z z
De bijbehorende grafiek staat in figuur 4.
De grafieken in figuren 3 en 4 lijken op elkaar. Zo verschillen de hellingen van beide grafieken in het punt (0; 372,5) niet veel.
De helling in een punt op de grafiek van figuur 3 kan worden berekend met behulp van de helling in het overeenkomstige punt in figuur 2: er geldt dat het product van deze twee hellingen gelijk is aan 1.
5p 15. Bereken op algebraïsche wijze bij elk van de figuren 3 en 4 de helling van de grafiek
in het punt (0; 372,5). Rond je antwoorden af op één decimaal.
Driehoek, cirkel en koordenvierhoek
Gegeven is driehoek ABC. figuur Verder is gegeven een cirkel, zo dat
de cirkel zijde AB in punt D raakt; de cirkel zijde BC in twee punten E
en F snijdt;
zijde DE evenwijdig aan zijde AC is. Zie de figuur, die ook op de
uitwerkbijlage staat.
4p 16. Bewijs dat vierhoek ADFC een koordenvierhoek is.
Wiskunde B
2016-II
Uitwerkbijlage.
NAAM: . . . . . . . . . . . .
opgave 8.
opgave 16.
Wiskunde B
2016-II
Uitwerkingen.
(N=2,0)
Parabolen met gemeenschappelijke raaklijn
1. maximumscore 4 f(0) ( p)22pp22p0 1 p p( 2) 0 1 p0 p 2 1 (0, 0) en (-2, -4) 1 2. maximumscore 4 fp'( ) 2(x x p ) 2 1 x p 1 geeft x p 1 1 ( 1) ( 1 )2 2 1 2 p f p p p p p 1 y 2 (p 1) 1 2p1 1 3. maximumscore 5
de x-coördinaten van Q en R zijn resp 1 en p1 1 het gemiddelde daarvan is 1 1
2 (1 1) 2 1 x p p 1 (x p )22p x 2 1 2px p 2 2p0 geeft 2 2 1 2 2 1 p p p x p 1 4. maximumscore 6 3 5 0 4 1 3 ( (0) (2 1)) ( ( ) (2 1)) V Opp
f x dx
f x x dx 3 3 3 2 1 3 2 2 3 1 3 1 (x (2x1))dx x x x 2
1 5 5 2 2 3 3 ((x4) 8 (2x1))dx (x 10x25)dx
1 1 3 2 5 2 3 3 3 ... x 5x 25x 2 1 3 5 V Opp 1Spots
5. maximumscore 4 r2 x2d2 1 cos( ) xr 2x 2 x d 2 3 2 2 cos( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 ( ) 4 ( )spot spot spot
I I x I x E r x d x d x d 1 6. maximumscore 7
3 1 2 2 2 3 2 2 2 3 ( 100) 1 ( 100) 2 ' 4 ( 100) spot I x x x x E x 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 100) 3 2 100 ... 0 4 ( 100) 4 ( 100) spot spot I x x I x x x 2 2x2100 0 geeft x 50 7,1 mm 3 7. maximumscore 5 500 500 4 2 1,5 4 2 1,5 25 25 (625 ) (625 (40 ) ) totaal E d d 2
beschrijven hoe het maximum en minimum van deze formule
gevonden kan worden: maximum 0,074 en minimum 0,061 2 en 80% van maximum is 0,059 en het minimum zit daarboven, dus
voldoende gelijkmatig belicht 1
Buiten en binnen de cirkel
8. maximumscore 4 Uit MP MP' MQ MQ' volgt ' ' MP MQ MQ MP 2 P MQ' ' QMP 1 VP MQ' : VQMP (zhz) 1 9. maximumscore 4
VMA B' ': VMBA (zie vraag 8), dus MB A' ' MAB90 2 B’ ligt op de cirkel met middellijn A’M (Thales) 1
Getransformeerde grafiek
10. maximumscore 3 2 2 2 2 2 1 ln 1 (ln( ) ln( 1)) 1 2 ln( 1) 1 e BP e x x x 2 ln(x2 1) 1 AP 1 11. maximumscore 5 xln(y21) geeft y2 ex 1 1 1 0 2 ( x 1) I
e dx 2 1 0 ... 2 ex x 2 (e 2) 2 12. maximumscore 8 h x( ) ln(( x2)2 1) ln(x24x5) 1 voor het snijpunt geldt: x2 1 x24x5 1 geeft x 1 1 '( ) 22 1 x f x x 1 de helling van f in is f'(1) 1 1 2 lees verder ►►►
de helling van h in x 1 is f'( 1) 1 2 het product van de hellingen is -1, dus snijden ze elkaar loodrecht 1
Droogligtijd
13. maximumscore 4 2 745 125cos( t) 40 1 voer in: 2 1 125cos(745 ) y x en 2 40 y 1 intersect: x 148 x 597 1 de droogligtijd is 450 minuten 1 14. maximumscore 5 2 1 745 125cos( ) z t 1 t2 745t1 en D t 2 t1 1 hieruit volgt t1745 t2 745 ( D t 1) 745 D t1 met andere woorden: 745 11 2 2 t D 1 2 745 1 745 2 2 745 125cos( ( )) 125cos( ) z D D 2 15. maximumscore 5 125 745 745 745 745 ' 125 sin( ) sin( ) z D D 1 z'(372,5) 0,527 1
de helling van de grafiek in figuur 3 in (0; 372,5) is 1
0,527 1,9 1
D' 24 10 5z21,7 1
D'(0) 1,7 2
Driehoek, cirkel en koordenvierhoek
16. maximumscore 4 1. BED BCA (F-hoeken omdat DE // AC) 1 2. BED DEC 180 (gestrekte hoek) 1 3. DEC ADF (hoek tussen koorde en raaklijn) 1 4. FCA ADF 180 (volgt uit 1, 2 en 3)
