Formulering van een plooibaar membraanelement, herziene versie

Formulering van een plooibaar membraanelement, herziene

versie

Citation for published version (APA):

Roddeman, D. G. (1986). Formulering van een plooibaar membraanelement, herziene versie. (DCT rapporten; Vol. 1986.033). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1986

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Project: Biomechanica van de elleboog

Formulering van een plooibaar membraanelement

I herziene versie.

D. Roddeman

Augustus 1986

T.H.- Eindhoven, afd. W.

,

vakgroep W.F.W.

$1 Inleiding

$2 Samenvatting

$3 De evenwichtsvergelijking

$ 4 Transformatie naar de ongedeformeerde situatie

$5 Het iteratieproces

$6 De Methode der Eindige Elementen; discretisatie van de vergelijkingen

$7 Een keuze voor de weegfuncties:

de werkwijze volgens Galerkin

$ 8 Uitwerking van het rechterlid

$9 Bepaling van de stijffieidstensor

Litexatuurlijst

Bijlage A: Formulering van een drie-knoops element

Bijlage B: Uitwerking van

a (

Ja )

Bijlage C: Uitwerking van 64

Bijlage D: Uitwerking van 6 a en 6 8

Bijlage E: Uitwerking vanM( íE') en

Bijlage F: Geometrische lineariteat

Bijlage G: Drukbelasting j pagina -1- -2- - 3 - -4- -7- - 10- -12- -14- -15- -16- -A. 1- -B. 1-

-c.

1- - D . 1 - -E. 1- -F. 1- -G. 1-

f l Inleidins

In het 'Elleboogproject' wordt de krachtdoorleiding in bindweefselstructuren rond de elleboog bestudeerd. De structuren bestaan voornamelijk uit dunne, vliesachtige delen welke gemakkelijk kunnen knikken (plooien).

In het rapport 'Het plooien van membranen' ( Roddeman, 1985) is een

mechanisch model van plooiende membranen gegeven.

Bij de numerieke analyse van de krachtdoorleiding wensen we gebruik te maken van de Methode der Eindige Elementen. In dit rapport wordt een plooibaar membraanelement geformuleerd.

$2 Samenvattinq

Uitgaande van de evenwichtsvergelijking in locale vorm wordt in paragraaf 3

een alternatieve integraalformulering ( een gewogen afwijkingen

formulering) afgeleid. Aangezien we hierbij over een konstant volume en

oppervlak wensen te integreren, vindt in paragraaf 4 'transformatie naar de

ongedeformeerde situatie' plaats. Vervolgens wordt de integraalformulering

gelineariseerd, zodat de niet-lineaire vergelijkingen op iteratieve wijze

kunnen worden opgelost { paragraaf 5

1 .

Discretisatie van de vergelijkingen (paragraaf 6) gebeurt .m.b.v. de Methode

der Eindige Elementen, waarbij de weegfuncties volgens de werkwijze van

Galerkin worden gekozen (zie paragraaf 7 ) .

In paragraaf 8 beperken we ons m . b . t . de voorgeschreven belasting voorlopig

43 De evenwichtsverseli-ikinq

Uitgangspunt van de beschouwingen is dat overal in een lichaam aan de locale evenwichtsvergelijking wordt voldaan:

-b

v

. , = a

waarin (T = (T C Hierin is

B"

de gradientoperator.

In het navolgende zal voor de locale eve~wi~htsve~gelijking volgens

( 1 )

een

alternatieve integraalformulering worden afgeleid.

Wiertoe nemen we het inwendig product van de locale evenwichtsvergelijking

met een willekeurige vectorfunctie

6

en integreren de verkregen vergelijking

over het volume V van het lichaam:

j

( v "

. a ) . $ dV = O

v

Aangezien $ een willekeurige vectorfunctie is, is alleen in alle gevallen

aan (2) voldaan indien

v"

.

CI = overal in V I zodat de

integraal~ormu~ering volgens ( 2 ) volledig equivalent is net de locale

formulering volgens

( 1 ) .

Met de gelijkheid:

en met behulp van het theorema van Gauss kan voor (2) worden geschreven als

evenwichtsvergelijkin~ in integraalformulering:

-D waarin n

het lichaam is. Vergelijking ( 4 ) is de I' zwakke probleem formulering It

waarin lagere e k e n aan

dan in vergelijking (2).

de naar buiten gerichte eenheidsnormaal op het oppervlak A van A

34 Transformatie naar de onqedeformeerde situatie

Aangezien het volume V en het oppervlak A in de evenwichtsvergelijking ( 4 1 ,

a priori onbekend zijn wensen we over te gaan naar een toestand van het

lichaam waarin deze termen wel bekend zijn, te weten de referentietoestand van het lichaam.

Hiertoe wordt vergelijking (4) 'getransformeerd naar de ongedeformeerde

situatie' :

waarin :

en :

J = dY / dYo

Ja = dA / &Ro

en

ZA

de eenheidsbuitennormaa1 op het gedeformeerde oppervlak A is.

Isw staat voor de werkelijke deformatietensor van het lichaam.

Gebruik makende van enige tensorgelijkheden kan vergelijking (5) ook

geschreven worden als:

We- def inieren:

-+

z i n A . B als belasting op dA

zodat :

zo

= Ja $ "geinterpreteerd" kan worden als belasting

OP dAo

- i Be term Fw

Kirchhoáf spanningstensor,welke genoteerd wordt als:

.

J o in vergelijking ( 8 ) is gedefinieerd als de eerste Biola-

- 2

_.

-5-

We werken de uitdrukking voor de eerste Piola-Mirchhoff spanningstensor nog enigszins verder uit voor de situatie waarin het membraan plooit.

In deze situatie zijn de werkelijke deformaties te interpreteren als een deformatie van het ongedeformeerde membraan naar een denkbeeldig vlak

membraan met bijbehorende deformatietensor

IF

,

gevolgd door het plooien van

dit membraan met bijbehorende deformatietensor ff zodat:

9

Fw = IFg

.

P

P

L

waarbij we voor E de volgende vorm nemen:

cl (13) 4 - + + - + a n. n

-

ij 1 j Fg

-

n2 n2 -F I: i=l en 3 j=i en 3 -0

Be vectoren ni vormen het orthonormale hoofdspann8ngsstels~l van de Cauchy

spanningstensor. In de richting n, is het mem~raan geknikt en is de Cauchy

hoofd~panning gefijk aan nul.

-P

De termen onder het sommatieteken zorgen alleen voor deformaties in het vlak opgespannen door n,'

een niet-plooiend membraan zou tensor iF

Boor gebruik te maken van de twee voorgaande vergelijkingen kan aangetoond

worden dat bij een geplooid me~braanelement voor de eerste P i o l a - K i r ~ ~ ~ ~ o f f

spanningstensor ook geschreven kan worden: - b - +

oftewel het uitknikken van het membnaandeel (voor

" 3

gelijk zijn aan de eenheidstensor). g

-1

-1

_{. ( J a )}

-1

i)

Aangezien er alleen spanning in n2 richting aanwezig i s :

is aan te tonen dat:

lT = IF-’

.

(

i$

i2

+

E

i=? en 3

j=l en 3

We doen nog een ge~achtenex~eriment.

De deform~tie van het vlak me~braan beschouwen we nu als eerst een

deformatie waarbij de dikte van het membraan constant blijft, aangegeven

door een ~efor~~atieten~or IFs I gevolgd door een nadeformatie waarbij de

dikte van het ~e~ibraan zijn werkelijke waarde krijgt:

- b - b + + 4 - b

IF = (nlnl

+

n2n2+ DIDO n3 n3)

.

Es

waarin D de werkelijke dikte in vervormde toestand aanduidt, en Dg de dikte

in referentietoestand

.

Gebruik makende van vergelijking ( 1 7 ) kan als verdere vereenv~udiging voor

de eerste Piola-Kirchhoff s~annin¶s~ensor worden gekregen:

-1

w = I F

.

( J o 1 = Ps

-1

.

( +n n 4

+

n2n2 4 4

+

D/DO 4 _{n3 n3} i) ₁

-1

1 1

dus :

Ook voor niet-plooiende membranen kan uitdrukking ( 1 8 ) worden afgeleid,

zodat deze vergelijking geldt voor willekeurige membranen.

De evenwichtsvergelijking in integraalformulering wordt nu geschreven als:

waarbij voor de Pinla-Kirchhoff

zo

.

$ dAo (19)

$ 5 Het iteratieproces

Voor een meer uitvoerige beschouwing verwijzen we naar

Brekelmans, 1985

.

Stel dat tijdens het iteratieve proces een geschatte toestand is bereikt

welke we aanduiden met een superfix

*

_.

Indien deze toestand nog niet

nauwkeurig genoeg aan de evenwichtsvergelijking ( 1 9 ) voldoet zullen we

uitgaande van deze geschatte toestand een betere schatting van de evenwichtstoestand trachten te bepalen.

Het verschil tussen grootheden uit de geschatte situatie en de situatie die

voldoet aan de evenwichtsvergelijking geven we aan met een 6 zodat b.v. :

Hiervan gebruik makende kan de evenwishtsvergelijking ( 1 9 ) geschreven worden

aks :

*

*

* 4 c -+ J ( I T i- B W ) : ( D o h ) d V O =

Zo

+

a”k,

1

.

h d A O of tewel :

*

Het verplaatsingsveld in de toestand die voldoet aan evenwicht wordt als primaire onbekende van vergelijking (20) beschouwd.

Merk op d a t tot nu toe nog geen en ader in gen zijn ingevoerd. Vergelijking

(20) geldt nog exact. In het navolgende nemen we aan dat de geschatte toestand een goede benadering is van de werkelijke evenwichtstoestand.

De evenwichtsver~elijking (20) kan dan lineair benaderd worden in het

verschil tussen het verplaatsingsveld in evenwichtssituatie en geschatte situatie.

We werken eerst de term in het linkerlid uit. Aangezien we aannemen dat de schatting goed is geldt bij benadering:

zodat bij benadering ook te schrijven is :

Het linkerlid in deze laatste vergelijking schrijven we enigszins anders

Voor de uitwerking van de eerste term hierin maken we gebruik van :

zodat voor de eerste term in het linkerlid geschreven kan worden:

( 2 5 )

Nu enkele termen zijn herschreven luidt vergelijking (22):

-1

*

*

-1

*

-

í F s . ( J e )

. ( ? o g ) c l : í I F s

.

6Fsl ] dVo 9

*

*

J 6Zo

.

$ dAo

-

J TI : (

?,

h”

)‘ dVo

+

vO

Zoals reeds vermeld lineariseren we de evenwichtsvergeli~king in het

verschil tussen het verplaatsingsveld in de geschatte toestand en de

e v e ~ w i ~ h t s t o e s ~ ~ n d . In principe is hiervoor uit de laatste vergelijking een

s e t gekoppel~e partiele d i ~ f e r e ~ ~ i a a l - v e r g e ~ ~ j k i n g e n af te leiden door te

eisen dat deze vergelijking moet gelden voor alle weegfuncties $. Hiervoor

zijn in het algemeen geen analytische oplossingsmethoden bekend zodat we

gebruik wensen te maken van een benade~ing~met~od~. ~ i ~ wordt gekozen r b ~ ~

voor de Eindige Elementen Methode. Met behulp van deze methode wordt het v e ~ p l a a ~ ~ i n ~ s v ~ l d gediseretiseerd. Voor de d ~ ~ ~ r e ~ i s a t i e van de weeg functie^

wordt de werkwijze volgens Galerkin gekozen

-

Voor de onbekende knooppuntsverplaatsin~en ~ u n ~ e n tijdens een

iteratief proces m.b.v. de gelineariseerde evenwichtsvergel~jking steeds

j 6 De Methode der Eindise Elementen : discretisatie van de verseliikinsen Omdat in het algemeen geen analytische oplossingen van de vergelijkingen bekend zijn voor een specifiek probleem, zullen we een benaderingsmethode toepassen. Het lichaam onder beschouwing wordt verdeeld in een eindig aantal elementen. Per element worden positie vectoren van materiele deeltjes

afhankelijk gesteld van de positie vectoren van een aantal discrete punten in dat element, de knooppunten.

We werken in het navolgende een driehoekig, plooibaar membraanelement uit, zie ook Bijlage A.

In de hieronderstaande figuur is het element met de bijbehorende materiele coordinaten getekend:

Voor de positie van een punt van het vlak ( fictief ongeplsoid ) element

wordt g e ~ Q ~ e n :

-0 -+ -+

x = $,

xk+

E,

D n3 ( sommatieconventie waarbij k loopt van

1 tot en met 3 ) ( 2 7 )

-9

waarin D de dikte van het membraan is $k vormfuncties zijn en xk

positievectoren van de knooppunten

.

De vormfuncties $ zijn functies van de materiele coordinaten

E,

en

E 2

,

De eenheidsvector

B,

geeft de richting loodrecht op het element aan.

We merken hier nog op dat in formule (27) sommatieconventie wordt; gebruikt.

Dit gebeurt elders in het rapport ook.

Met beinulp van deze discretisaties wordt de gelineariseerde

De term ö ( Jo

1

uit vergelijking (26) i s afhankelijk van variaties in de

knooppuntsverplaatsingen en mag volgens bijlage B geschreven worden als:

4

(281

3 *

ö ( Ju ) = uk

.

&uk

-b

waarin u knooppuntsverplaatsingen zijn.

k

*

De tensor 3ctk is afhankelijk van de momentaan geschatte

knooppunsverplaatsingen.

De verandering in de deformatietensor IFs luidt ( zie Bijlage A ) :

( k loopt van 1 tot en met 3, i van 1 tot en met 2) (29)

-+

waarin € . materiele coordinaten zijn en y reciproken van basisvectoren in

de onvervormde situatie

.

Be term 6g3 hierin is nog a~hankelijk van variaties in de

~noo~punsverplaatsingen. Volgens bijlage C is te schrijven:

1 Oi

*

waarin de tensor &?3k afhankelijk is van de momentaan geschatte waarde van de

knooppuntsver~laatsingen. Voor de verandering in de defosmatietensor fF

volgt:

S

Voor vergelijking (261 volgt met ( 2 8 ) t/m (30) :

c

(31

1

*

$ 7 Een keuze voor de weeafuncties: de werkwijze volaens Galerkin

Voor de vectorf unctie

2

worden dezelf de interpolatiefuncties gekozen als

voor de verplaatsingsvectoren:

4 -3

h = $ h

1 1

waarin

Vergelijking (31 1 is nu ook te schrijven als:

de waarde van de vectorfunctie

"k

in knooppunt 1 is.

1 4 ") 3 *

*

-1 -3 +

f

i

ep

.

/

a~~

Si

yOj

.

1~~

.

ok . ö u k } . e P

-

vO 4 e P f 62,

.

(32)

*

?Í dAo

-

f B : (

3,

$ )'dVO -i-

vO -3 d 1 e2 waarin e in uitdrukking -3

,

e3 een orthonormaal stelsel is welk is ingevoerd om de

(31) voorkomende dubbel inwendige producten uit te werken.

Ook kan geschreven worden ( omdat alle ternien onder de v o l ~ m e ~ n ~ e g ~ a a l over

( 3 3 )

waarbij gebruik is gemaakt van

rechtsgeconjugeerde van een derde orde tensor:

de definitie-vergelijking voor de

-B

3 4 -D 3 r c -b

( I ; a , . v ) . w = ( d . w ) . v voor alle vectoren v en 4 3 w

3 8 Uitwerkinq van het rechterlid

In het navolgende wordt de formulering uitgewerkt voor een membraanelement vrijgemaakt van zijn omgeving. Als belasting laten we voorlopig alleen bekende constante knooppuntsbelastingen toe.

De eerste term uit het rechterlid van vergelijking ( 3 3 ) is dan gelijk aan

nul :

J

do

.

dAo = O

AO

Be tweede term wordt als volgt geschreven:

hetgeen g e ~ o ~ ~ e ~ ~ ~ kan wonden als:

(34)

Aangezien we voorlopig alleen een constante uitwendige belasting meenemen

geldt voor de laatste term uit het rechterlid van (34):

de uitwendige belasting op knooppunt 1 van het element is.

39 Bepalins van de stiifheidstensor

Samenvattend kan de gelineariseerde evenwichtsvergelijking (33) geschreven

worden als:

4

*

ga

.

IKlk

.

Buk =

.

[

2,

-

5,

1

waarin de tensoriHlkstaat voor de term [ Vo

vergelijking (33).

Aan (37) wordt voldaan voor alle

Sb

door te stellen:

.

.

.

. .

d 4 *

IKlk

.

6Uk ..,

-

Zl

-

f l

1

= 1 , 2 , 3

(37)

hetgeen ook te schrijven valt als:

11

9 2

9

21 IK22 IK2 2

31 '32 3'

oftewel :

De matrixrepresentatie van?

-

t.o.v. een basis wordt de s t i j f h e ~ d ~ m a t r i ~ van

Literatuurliist Brekelmans, 1985

Dictaat 'Niet-lineaire mechanica

-

numerieke aspecten'

Roddeman, 1985

Biilase A Formulerina van een drieknoopselement

In deze bijlage wordt een drieknoops membraan element geformuleerd. Beschouw een driedimensionaal membraanelement:

- -

-

7,

= '4 2 3

-

- -

_I,:

-

'/t

k=

'

7 4 s

- -

\ \ a

A

\

1,-

y

\I,=o

ft=

*

Voor de positievector van een punt van het element in de vervormde situatie geldt :

waarin $k vormfuncties zijn

,

de dikte van het. menibraan in de vervormde situatie is.

De weegfuncties

ak

z i j n functies van de materiele coordinaten:

PIk

positievectoren van knooppunten zijn en D

\Li, =

E l

i dJ2 = E2 ; 4J3 =

1

-

E l

-

€ 2 ( A . 2 1

Raakvectoren aan de krommen

Ei=

constant worden in de onvervormde situatie

gegeven door:

-3 -B

'03 = 'On03 *

waarin XOk positievectoren van de knooppunten in de onvervormde situatie

en de reciproken van deze naakvectoren luiden:

-b 4 4

Yo, = l / c co2

*

co3

y02

co

1 Y03 = l/c CO? c02 4 4 = l/c co3

*

i ,

* +

4 4

* +

-e 4 co3 * =o2 waarin c =

Voor de gradientopexator geldt:

-$

i;o -

-

Y o j

a

/ aEj

en voor de deformatietensor ìF :

( j loopt van 1 tot en met 3

1

( i loopt van 1 tot en met 2)

Be ~ ~ ~ o ~ ~ ~ a t i e t e ~ s o r IF kl Toepassing van g5=

a$,/

vergelijking (17) en ( A . 6 ) levert: (A.41 ( 8 . 5 1 I i

Biilaqe 3 Uitwerkincl van ti( J 0 I.

In het rapport 'Het plooien van membranen' i s aangetoond dat voor de

berekening van de spanningen in een plooiend membraan gebruik kan worden gemaakt van een fictieve deformatietensor:

( J u ) = P'

.

iH(E')

.

iF'

(3.2)

9 +

met: E ' = ( lI

+

$ n,nl )

.

IF

Be parameter $ en de richting van het hoofdspanningsstelsel liggen vast met

de twee eisen dat de s c ~ ~ u i ~ s p a n n i n ~ in het hoofdspannangsstebsel nul i s

,

en de h o o ~ ~ s ~ a n n i n ~ in

i+íl

richting nul is

hoofdspanningsstelsel zullen aangeven met de hoek O L , zie bijlage C ) .

We v e r ~ e n v o ~ d i ~ e n in het n ~ v o ~ ~ e ~ d e eerst nog een aantal termen de ~ i ~ h ~ i n g van liet

De Green-Lasranse rektensor Voor deze rektensor geldt:

IE' = 0.5 [ IFF''

.

tF' -

E

3 _{( 3 . 3 )}

We werken eerst de volgende uitd~ukkin~ verder uit:

2 - p ")

De laatste twee termen in deze uitdrukking zijn beide gelijk aan nul.

Dit laten we zien aan de hand van de derde term voor het geval i=1:

4 + -e

omdat (x,

-

x 3 ) altijd loodrecht staat op n3.

Noteren we:

waarin de tensor IF wordt ~ e ~ e f i ~ i e e r d ,

dan geldt dus voor de Green-Eagrange rektensor de volgende v e ~ e e n ~ Q u d ~ ~ d e u ~ t d r u ~ k i n ~ :

<n

C 2 - 9 -P

!E' = 0.5 [ IF'

.

IF'

+

D

yo3y03 - H ]

VI <n (B.6)

Merk op dat de a ~ s c h u ~ f ~ e k ~ e n loodrecht op het vlak (vanwege de aanname voor

4 + - *

het ver~laatsingsvel~) allemaal nul zijn, b . v . ( met w1,w2,w3 als

orthonor~aal stelsel in de o~ge~efor~eerde situatie waarbij

Zl

en

W

in ìiet

~ ~ ~ b ~ a a n v l a ~ liggen

1

: 2

-

-9 -4 w ₁

.

"'c

.

IF'

.

w3

-

VI De tensorfunctie M

We nemen dan ook aan dat de tensorfunctie iiI (afhankelijk van de Green-

Lagrange rekken) nog slechts van de volgende vorm is:

i W = H ; ; + I 3 w w + H ;$ + H

G G

+ H

G G

1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3 3 3 3 (B.7)

i *

De Cauchy spanninqstensor

De eis van vlakspanning levert:

- -> -e n3

.

(Ja)

.

n3

-

- t 4 * { % wlwl

-

4 -t n3

.

P '

.

IH

.

IF"

I

.

n3

-

wu

1

t 4 *

....

+

Bs2 w2w2

+

- a +

Vanwege de a a n ~ e ~ i g h ~ i d van de termen

a$k/aF;i

xk. n3 zijn de laatste drie

termen in de voorgaande vergelijking gelijk aan nul, zodat vlaks~annin~

levert :

=

o

íl3.81

waaxmee de rek E33 ( in het stelsel ;i) I en dus ook de dikte D van het

~ e m ~ r a a n vastliggen.

Voor de tensorfunctie iH volgt na eliminatie van H33 en E33:

+ - t 4 4

+ HZ w2w2

i H = H w w

+

. . .

11 4 1 (B.9)

hetgeen een vlakspanningsrelatie is waarbij de tensorfunctie M alleen nog

Gebruik makende van

(Ja) =

$ (

x

i.

fG,nll

dit resultaat volgt:

(3.10)

-b -9

2'

omctat yo3 loodrecht staat op

W,

en w

De ~ ~ a n ~ ~ n ~ e n in een geplooid element kunnen dus berekend worden

m . b . v . :

Linearisatie van (B.11) levert:

6 ( J a

1

= 6P'

.

M[

.

P C t IF' VI

.

6iH

.

E ' C t iF' VI

.

iH

.

6 F S C VI

VI VI

(B. 1 2 )

Aangezien:

(B. 13)

CE. 14)

Voor 6H kan men schrijven:

6W= $4 : t 0.5 öF"

.

Q '

+

0 . 5 IF"

.

6 F ' VI f

VI VI VI

4

waarin @i

( = a ~ / a

1 afhankelijk is van materiaaleigenschappen en rekken.

V ~ ~ g ~ l i j k i n ~ (B.12) is ook te schrijven als:

6 ( J o ) = ( ( 6 0

9,

t @ 6ii, ;l t $

z1

63,)

.

9

Voor de vasiatie van de deformatietensor in uitdrukking (B.16) geldt: (B. 1 7 )

en voox de variatie in de fictieve deformatietensor geldt verg. (B.14). -9

Verder zijn de in vergelijking (B.16) voorkomende variaties in nl en @

afhankelijk van de variaties in de knooppuntsverplaatsing~n, zie Bijlage C

en D: IB. 18) -# -9 6 n q = : W i k

.

6u.

x

(3.19) -B 6$ =

.

ouk

zodat met (B.17) t/m (B.19) voor (B.161 volgt:

- e )

.

6uk = ( e

.

Buk) e (waarin

= 1

.

6uk - (e,

en door te schrijven auk e l f e2 f e3

P P

+ + -b

een orthonormaal stelsel is

1 ,

vinden we:

-c.

1-

In deze bijlage geven we aan hoe de positie van een orthonormaal

hoofdspanningsstelsel in het element kan worden vastgelegd.

3 4 t

We voeren allereerst in een orthogonaal stelsel v,

,

v2

,

v3 in

opzichte waarvan later de positie van ket hoofdspanningsstelsel worden.

i

6

3

Voor de vectoren van dit stelsel geldt:

I ten bepaald zal d

1

= (x2 -4 - xl) t -4 t 3 + -4 -4 + 4 -4 4 -s 4 - P v = (x3 - x , ) - i(x3

-

x1).Ix2 - xl) / ( X 2 - x p x 2 - X l H ( X 2 - X 1 ) 2 -b -+ -D -9 3 v3 = (x2 - xl)

*

(x,

-

xl)

Voor de variaties in deze vectoren i s a f te leiden:

-+ -4 3

6 V l = (6u - O U l ) = [ - 1 ] O U 1 i- [ 1 ]

OU,

6Y2 = (?ju3-

63

1

1

- ( x 3 - x1).(6u2 - OU,)/(X,

-

X+X2 - X I ) ( x 2

-

xl) 2 i) + - D 3 -+ -9 -D d t -4 4 - 9 t + -3 -4 + -# t -4 -9 -(x2- x1).(6u3- 6Ul)/(X2

-

x1).(x2

-

x,) (x,

-

x,) (x2-x1 (X2-X1 1. (6u2-6u1

1 1

-2 4 t 4 . 9 t t

+

2 ( X

-2

)

.

(;I

-x

) f

(;I2-;,

1 .

(X2-X,

1 1

-

(x3

-

xl)

.

(x2 -xl) I (x2 -xl) .

‘X,

- XI) @U2

-

6u1)

-1

i- (x3

-

x1).(x2 - x,)/(x2

-

x1)’(x2 - x,,]

n

.

Ou1+

3 1 2 1

-D -4 - D 4 - 4 d -P 4 d

-9 -s -+ -s 4 3 -s t 4

-4 + - 4 -4 -3 -4 + -4 4 - 3 + -9 3- [ (x2 - x,) (x3 - x1)/(x2 - x,).(x2- x,) + (x2

-

X1)lX2-X,)/ ( ; , -; , )

.

(x -x )

-

2 ( X

-x

1 .

(x2-x1

1

(x, - xll (x2 - XI 1 I('

-2

1.G

-2

H-21.6:l -t - 3 - 4 - + + -+ - 3 4 -3 2 1 3 1 2 1 2 1 -4

Deze variaties in de vectoren v . schrijven we a l s :

3 -9

6v.

= v j k

.

6Gk

1

j = 1,2,3 ( C . 3 )

De positie van een orthonormaal hoofdspanningsstelsel in het element wordt

- c .

3-

-4 -t i , t d

n, = cosa v1 / ii v,ii

-

sina v2 /

11

v2 11

d 4 -4 d +

n2 = _{sina v /}

1

11 v 1 li + cosa v2 / it v2 11

( C . 4 )

-4 d -4

n3 = v3 /i1 v3 11

zodat voor de variat.ie5 i n deze vectoren geldt:

-4 -4 4 t -4 d 3 + -+

6 n l = -sina v

1

/ 11 vlllöa

-+

cosa 6vl / 11 vlii- cosa v1 / jr V l l i (vl

.

GV,)

- 4 - 6 vlvl

4 3 - 9 - 9

+

i( coca /li

-

cosa / vl li vlvl

.

\vlk

-4

= Nla G a

.

6Uk (C.5)

4 -+ -4 79 4 4 3 - 4 i ,

öFi = cosa v 1 / vlilóa

+

sina ö v l / v i

11-

sina v1 /

11

v1 ji (vl

.

6v1 I 2

d d -4 4 - + 3 + -b

-sina

v

/ i(

5

iI6a

+

cosa 6v2 /[I v2u- cosa v / li v2 II (vz

.

öv2)=

De v a r i a t i e i n d e hoek u k n o o p p u n t s v e r p l a a t s i n g e n 4 6a = Nuk

.

6Uk i s a E h a n k e l i j k van d e ( z i e B i j l a g e D I r en zodat VOOK 6;. g e l d t : I d v a r i a t i e i n d e wordt geschreven a l s : met : 4 - 9

PJjk = N j a Nak

+

iMjk ( geen sommatie o v e r a

1

( C . 8 )

Biilase D Uitwerkincr van Öa en 6$

De waarden van a ( de hoek die de richting van het hoofdspanningsstelsel

aangeeft, zie bijl. C 1 en (de parameter uit de fictieve rektensor, zie

bijl. B } zijn via de eisen

i,

.

o

.

n = O en n1

.

o

.

n2 = O

van de knooppuntsvesplaatsin~en.

We schrijven deze eisen als :

+ -t + afhankelijk

1

-+ -t n 1

.

( J ii 1

.

n, = O 4 -9 n

1 '

( J a ) . n s = O _{( D . 2 )}

Linearisatie van de eisen (D.1) en ( D . 2 ) geeft:

9 -+ 9 9 -t

ön3,

.

( J ca

.

n,

+

n, ö ( J a 1

.

nl

+

n

_{1 '}

( J a )

.

önl = O

Voor de variatie in de vectoren

Z.

geldt (zie bijlage C ) :

3

-a 9

6n. = N ba + I N jk

.

,

:

a

+

_SF3

-

5% h W Ç _x \ W In _w- 44 O w- M GJ

=-

0 !=4

+

w Y1 A 34 is v

+

c1 w

+

w 34 3.b is -.A v h W o W M w- ol Gb SF' 44 o w- v v Y n

_-.-

Y _sk n

+

-in 54 z4 2 is Q ol Fz

+

w 34 A

z

i.1 x ol C4 x U Sh h Y

+

_-a 5.1 34 iii -I v 0 W Ç _X \ W M _w- ol CI _x 4+

_?.

v Y 5: _sq

-

n M A ri Q u II h c. ol 13 3+ 34

+

w A A 21 I.. Q 3Q i.1 ol Q

+

w 1 i.1 x M C1 _x 3.b 4

3 -b = A B @ + A a Oa i- Ak

.

óuk 6 S u ~ ~van (D.5) t ~ ~en (D.6) ~ ~ ~in (D.3) e en (D.41 geeft: + -b 4 ( N l a Ba t Mlk

.

Buk 1

+

n,,

.

( A 6 8 + A a 6a

+

/Ak

.

Buk )

.

n1 -t- nl

.

( J 0 ( J B

1

.

n, + 3 3 -b

B

-8 -b

.

(

dla

Ba t Nlk

.

Ouk ) = O íD.6) (D.7)

4 4 6 a + i M l k

.

6uk 1

.

( J a

1

.

n2 -B 3 4 + ( 'la + nl B

.

( A 68 t Aa Ba

+

/Ak

.

5uk

1

.

n2 3 4 * 4- n l

.

( J a )

.

( N2a 6 a -t

.

6uk ) =

o

(D.8)

we vereenvoudigen d e n o t a t i e door voor (11.71 en (D.8) t e s c h r i j v e n :

4 +

a @

i- b l a 6ai

+

Blk

.

6 U k =

o

6 @ -t- bsa 6a -t 2k

.

&Uk =

o

( D . 9 ) (D. 10) -3 b28 met : 4 -? b l p = n,

.

-

-

'lol

.

nl 4 -9 3 + -b 4 . ( J a ) . n l + n l . A a . n, + n ,

.

( J a 1 . M i a 4 4 3 -? 3 * + 4 -B

i!

,,

= I M ~ ~

.

e I . ( ~a n , e p + n l . ( A . e ) . n , ep + n l . ( J@

Iaalk

P k P -3 -3 b2@ = n1

.

fA@

.

n2 -3 -3 4 4 + -9 b2a

-

-

Nla . ( J o ) . n 2 + n l . / A u . n s + n l . ( J a f . M s a 3 3 4 3 .$ 3 4 3 4 -b B~~ = ( i b l l k

.

e ) . ( JO 1

.

n2ep

+

n , . ( A . e ) . n 2 ep + n l - ( Ja P k P

Met behulp van d e v e r g e l i j k h g e n ( D . 9 ) e n (B.10) z i j n op eenvoudige w i j z e

SB en 6 a a l s f u n c t i e s van d e v a r i a t i e s i n d e k~ooppuntsverplaatsingen t e b e p a l e n , h e t g e e n we n o t e r e n a l s : (B.11) 3 6$ =

N,,

.

6 U k (D. 12) 4 4 6a = Nak

.

6uk

4

Biilase E Uitwerkina van iH( E ' ) en

in(

E ' l

+ -4 -4

Stel IK( E ' ) is t.o.v. een orthonormaal stelsel w1

,

w2 I w3 bekend.

Indien de Green Lagrange rektensor hierin gegeven is t.o.v. het stelsel

e - a - 4

IE' = Eij ei e i

-4 + -4

geldt voor deze tensor t.o.v. het stelsel w1

,

w2 _w3:

w - 4 7

E' = Ekl wk

w1

met:

e - ? 7 4 +

Ekl w -- Eij wk.ei wl.ej

4 -4 -?

Nu de r~kko~~on"nten in het stelsel w1

tensorfunctie EI( E ' ) bepaald worden:

w2 w3 bekend zijn kan de

(E.2)

(E.3)

-? -9 -4

Voor deze tensor geldt t.o.v. het ort-honormaal stelsel el e2

,

e3 :

e - ? + iH( IE') = Hkl ek el met : -? -? w + 7 - 4 + el

.

w - e j

Hkl = ek

.

iH( IE')

.

el - Hij ek

.

w _i

(E.5)

4 -9 -4

4

Voor de vierde orde tensor IM geldt t . o . v . het- stelsel w1 I w2

,

w3 :

4 + + +

w w w w

met: en t . a . v . het stelsel er " s et e U + + - 4 3 - b + + - P

-

e .w e . w et.wk eU.wl

-

Mijkl r i s j (E. 10) (E.11)

Biilase F Geometrische lineariteit

We bestuderen welke invloed geometrische lineariteit op de vergelijkingen heeft. De deformatietensor + - 4 c l F = I + ( v o u l De fictieve deformatietensor + - * c - * - b IF' - 3

+

( Qo u

1

4- B "1 nl Be Green-Lasranae rektensor * - * e E ' = 0.5[ (

vo

u )

+

(

Go

)

+

2 fi

GI

z1

] De Cauchy spanninsstensor Ja = E( IE')

De eerste Piola Kischof spanninsstensor

TI = Ja De Jacobiaan J =I Vereenvoudisinsen in Bijlacre B -b -* - * 9 - 4 - b a ( ~ a ) = ~ ? M : ~ o . s { N ~ ~ . ~ ~ nlnl

+

6 i ~ ~ ~ . e ~ n1 -b 9 + - 4

+

$ n,iNlk.ep

+

8ikk/8Ei e Y . 3 P 01

W fl =>c K n (Dk Q3 U

o

o ll a (D N (D _ba (D I-' a rP

..

B- _x h O W E 0) m t-'. m.6 _rrg 44 O r- v i- O VI c.< P* v n u La ?N II

..

h 4 U. x II _O XI -A I _Xk h) (D rr n

Drukbelastinq

De in het voorgaande gepresenteerde modellering voor plooien geldt in principe alleen voor de situatie zonder drukbelasting. In deze bijlage bekijken we de invloed van drukbelasting bij niet-plooibare elementen. We bepalen de equivalente knooppuntsbelastingen horende bij een

drukbelasting p.

1

3

Noteer voor de lengte van de zijden van het element:

3 -9 a =Ixl

-

x3n I + + b =IixS

-

x l l ; -a 3 c =yx3

-

X 2 "

Voor het oppervlak van het element A geldt dan:

A=f(a+b+c)(a+b-c>(a-b+c)(-a+b+c)/lG1XXO.5

,

Net een drukbelasting p wordt voor de equivalente knooppuntsbelastingen

gevonden : + - + -9

sn,.

[ o . < ] d A = J z 3 . [ p n 3 n 3 , h ] d A = A A Voor 1=1 volgt: 3 p

IT1

.

n3 1/3 A =

=

g1

.

[ 1/3 A p

G3]

waarin 1/3 A p

n3

een equivalente knoopuntsbelasting op knooppunt 1 t.g.v.

de drukbelasting is.

Gelijksoortige uitdrukkingen vindt men voor 1 is 2 en 3

.

Vervolgens bestuderen we variaties in deze equivalente knooppuntsbelastingen

t.g.v. variaties in de knooppuntsverplaatsingen.

Voor de variatie in het oppervlak van het element geldt: 6A = 0.5/A [I(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16

+[a+b+c)(a-b+c)(-a+b+c~/lS +(a+b+c)fa+b-~)(-a+b+c)/16 -(a+btc)(a+b-c)(a-b+c)/161 6a

+

i f a+b-c) (a-b+c) ( -a+b+c 1 / 16

+(atb+c)(a-b+c)(-a+btc~/16 -(a+b+c)(a+b-~)f-atbtc)/l6

+(a+b+c) (a+$-c) (a-b+c)/lS) ób

t {(a+b-c)(a-btc)(-a+b+c)/?6 -fatbtc)(a-b+c)(-a+b+c)/l6 +(a+bic)(a+b-~)(-a+b+c)/l6 +(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)/l6} óc = Na 6a

+

Nb 6b f Nc 6c 3 4 + -9 +

3 4 -4 3 4 4 +[ -Nb/b ( X2

-

XI) i- Nc/C ( X3

-

X2

1

]

.

6G2 3 - b 4 3 - b -+ 4

+C

+ N a b ( XI

-

X3)

-

Nc/c (

x3 -

x2

1

]

.

6u3 -P

-

- NAk .

6Uk

Hiermee volgt voor de variaties in de equivalente knooppuntsbelasting op

de knooppunten:

4 i- 1/3 p O64 $,

-

n3 -4

+

1/3 p 6A

g3

e

n3

f =

1

i / ~ p a A

SI

.

n3