Verslag van een literatuuronderzoek naar (in)stationaire stromingen in starre en elastische configuraties

I N T E R F A C U L T E I T S P R O J E C T A T H E R O S C L E R O S E

Verslag van een literatuuronderzoek

naar (hlstationaire stromingen in starre en elastische configuraties.

F.C.M. van den Brand, mei 1987

Rapport WFW 87.027

Afstudeerdocenten: prof.dr.ir. J.D. Janssen prof.dr.ir. G. Vossers Begeleiders: ir. C.C.M. Rindt

dr.ir. A.A. van Steenhoven

Samenvatting.

Dit literatuuronderzoek geeft een overzicht van reeds verrichte onderzoeken betreffende de belangrijkste stationaire en instationaire

stromingsverschijnselen in de rechte buis, de bocht en de vertakking met zowel starre als elastische wanden. Verder wordt er nog aandacht besteed aan de gebruikte meetmethoden, waarbij voornamelijk gelet is op het realiseren van een instationaire stroming.

Bij de inventarisatie van de diverse onderzoeken blijkt, dat er zeer beperkt is gemeten aan een instationaire stroming in een starre bocht mek een

volledig ontwikkeld inloopprofiel. Gegevens over het secundaire snelheidsveld van deze stroming zijn niet voorhanden. Er zijn geen

onderzoeken voorhanden over een instationaire stroming in een elastische bocht, waarbij de snelheden zijn gemeten met LDA (Laser Doppler Anemometry). Betreffende de halsslagadervertakking blijkt, dat voor een instationaire stroming in een star model het secundaire snelheidsveld nog niet uitgebreid is onderzocht. Ku (1983) heeft de secundaire snelheden slechts op de

symmetrie-as gemeten (evenals de axiale snelheden). Metingen met LDA in een elastische vertakking zijn er alleen van Liepsch ( 1 9 8 1 ) . Hij heeft slechts op enkele punten de axiale snelheden gemeten.

Aangaande de meetmethoden blijkt dat er vaak weinig aandacht besteed wordt aan golfreflecties bij de overgangen van een starre naar een elastische wand. Soms accepteert men gewoon dat er golfreflecties zijn die een storende invloed op de meting kunnen hebben.

INHOUDSOPGAVE:

Hoofdstuk 1. Inleidinq 1.1.Inleiding

4.2.Gebruikte dimensieloze getallen

Hoofdstuk 2. De rechte b u i s

2.1 .Stationaire volledig ontwikkelde stroming

2 2. Instationaire stroming, s t a r r e wand 2.3.1nstationaire stroming, elastische wand

I 2 4 i 3 Hoofdstuk J . De b o c h t

3.i.Volledig ontwikkelde stationaire stroming 6

3.2.Staticnaire inloopstroming in een starre bocht 3.2. 'i I !flaifarm inloopprofiel

3.2.2.ParaSolisch inloopprofiel

11

in een staïre bocht 77

elzstische bocht 23

9

9

3.2.3.Grenslaagdikte en inlooplengte 1 6

3.3.Volledig ontwikkelde instationaire stroming

4 7

3.4, Lnst.ationaire inloopstroming in een staisle b o c h t i t

3.5.Volledig ontwikkelde, instationaire stroming in een

3.6.ïnstationaire inloopstroming in een elastische b o c h t 24

Hoofdstuk 4. De halsslaqadervertakkinq

4.1.Ctationaire stroming in een st.aïïe vertakking

4.2.Instationaire stroming in een starre vertakking

2 6 32 3 7 4.3.Jnstationaire stroming in een e l a s t i s c h e vertakking

? Q

Hoofdstuk 5 Experimentele methoden d i

Hoofdstuk 6. Conclusies en voortsans onderzoek 6 = i .Conclusies

6.2.Voortgang ondeïzcsek

45 45

1.

1.l.Inleidinq

Het interfaculteitsproject "Atherosclerose" van de Technische Universiteit Eindhoven heeft tot doel inzichten te verwerven omtrent het onstaan en detecteren van vaatvernauwingen (

<

(vaatvernauwingen) is onder andere het stromingsgedrag van het bloed in de vaten van belang. Binnen het project worden meetmethodes ontwikkeld om het stromingsgedrag te kwalificeren en te kwantificeren. Daarnaast worden numerieke modellen voor simulaties opgesteld. De aandacht gaat daarbij vooral uit naar het stromingsgedrag in de carotis (halsslagadervertakking). Het stromingsgedrag van het bloed in de carotis is echter uitermate complex. Om meer fundamentele inzichten te verkrijgen betreffende de

stromingsverschijnselen in de carotis, zijn eerst de stromingsverschijnselen in eenvoudigere configuraties onderzocht, zoals een rechte buis en een

bocht.

Dit literatuuronderzoek heeft tot doel een overzicht te geven van reeds verrichte onderzoeken op dit gebied. Daartoe worden in de volgende

hoofdstukken de voornaamste eigenschappen besproken van de stromingen in verscheidene configuraties. Achtereenvolgens worden de stromings-

verschijnselen in de rechte buis, de bocht en de vertakking besproken, met zowel starre als elastische wanden. Betreffende de stroming wordt er

onderscheid gemaakt in een stationaire en een instationaire stroming. Verder wordt er nog aandacht besteed aan de gebruikte meetmethoden, waarbij

voornamelijk gelet is op het realiseren van een instationaire stroming. Uit rapport vertoont overeenkomsten met eerdere literatuuronderzoeken van Bovendeerd (1985) en Versteylen (1985). Echter het naast elkaar behandelen van stationaire en instationaire studies, de uitbreiding met recente

literatuurgegevens en met gegevens over de stroming door elastische conEiguraties, geeft een overzicht van de literatuur dat noodzakelijk is voor de gewenste experimentele analyse van de instationaire stroming door een bocht en een vertakking.

2.

1.2.Gebruikte dimensieloze cfetallen:

Kromming

Configuratie

Reynolds-getal

Dean-getal

Womersley-getal

R = krointestraal van de bocht (24 min) a = buistraal ( 4 mm) W = lokale axiale snelheid(ma~.0,5m/s)

v = kinematische viscositeit (4. 20-6

1

-

Reynoldsgetal secundaire stroming: 2 I K a oscillerende stroming: Rs=

- -

3.

2.De rechte buis.

Over de stroming in een rechte buis is veel bekend. In dit hoofdstuk wordt kort ingegaan op de volledig ontwikkelde, stationaire stroming in een starre buis. Daarna gaat de aandacht uit naar een volledig ontwikkelde,

instationaire stroming in een rechte buis met een starre en een elastische wand, om zodoende inzicht te verkrijgen in het effekt van een elastische wand op de stroming.

Daarbij gorden de volgende aannames gemaakt: -NewtonSe vloeistof

-incompressibele vloeistof -volledig ontwikkelde stroming -elastisch wandmateriaal

-lineaire theorie

De stromingsverschijnseien worden dan beschreven door de volgende vergelijkingen: continuïteitsvergelijking: V.Q? =

o

In figuur 2.1 is een elastische buis weergegeven met de an de boven

staande vergelijkingen gebruikte coördinaten.

Met zal duidelijk zijn dat in geval van een stationaire stroming de termen met de tijdafgeleides verval- len in alle vergelijkingen.Bij een stroming in een starre rechte buis vervallen natuurlijk de wandverge- vergelijkingen.

Figuur 2.1: Elastische buis met elasticiteitsmodulus E, dwarscontractie p , dichtheid straal R, dikte h, waarin een vloeistof met kinematische viscositeit v , en dichtheid p

4.

2.1.Stationaire volledicr ontwikkelde strominq.

Voor een stroming in een starre rechte buisj, die volledig ontwikkeld is, geldt voor de axiale snelheid:

Dit is de bekende Poiseuille-stroming waarbij de vorm van het axiale snelheidsveld parabolisch is.

2.2.Instationaire stromins, starre wand.

In deze en in de volgende paragraaf worden de stromingen in een starre buis en in een elastische buis volgens V.d.Vosse 1981 besproken.

De opgelegde drukvariatie is sinusvormig en voldoet aan:

Combinatie van de continïteits-vergelijking en de N.S.-vergelijking leiden tot de volgende oplossing voor de axiale snelheid:

met y=- ( 6 )

R

Eet anelheidsprofiel berekend volgens (6) is weergegeven in figuur 2.2. De figuur laat zien dat er een faseverschil is tussen de stroming aan de wand en de stroming in de kern (de wandstroming ijlt voor]. De dikte van deze laag hangt van de Womersley-parameter af volgens GV= = Jy W

.

i'

..

-

I

Figuur 2.2: Snelheidsprofiel in een starre buis berekend volgens (6) met intervallen van ;i20 T bij eeìì sinusvoïmige druk

5.

2.3.Instationaire stromins, elastische wand.

Door koppeling van de bewegingsvergelijkingen van äe vloeistof en de wand, wordt, voor kleine uitwijkingen (lineaire theorie), de axiale snelheid bepaald, met als oplossing:

Voor een starre buis geldt fi+-1.

9

elasticiteitsmodulus E van de wand, zodat dus een veranderende E geen invloed heeft op de vorm van het stromingsprofiel.

4

afhankelijk van de buisstraal (V.d.vosSe 1 9 8 1 ) . De voortplantingssnelheid

1

van een drukgolf, in het lineaire geval, bedraagt ongeveer 6: = J---

(distensibiliteit)

.

zichtbaar in het imaginaire deel van de voortplantingssnelheid ( c= cr+icijS treedt op ten gevolge van de viskeuze termen in de vergelijking. Indien de wand visco-elastisch is, wordt de imaginaire term groter en treedt er dus een extra dempingseffekt op van de golven.

Berekening van het snelheidsprofiel volgens ( 7 ) ìeidt tot de

snelheidsprofielen in figuur 2.3. In figuur 2.3 is de wand opgerekt tot Riaomentaan. 0 @Do

'

A *

:i

1

lheidsprofiel in een elastische buis berekend met ( 7 )

mei; interLallen van 2/20 T bij een sinusvormige druk (V.d.Vose 1 9 8 1 ) .

Vergelijking van figuur 2.2 (starre wand) en figuur 2.3 (elastische wand) laat zien dat de vorm van de profielen naast enige oprekking niet veel is veranderd. De maximale axiale snelheid bij een starre wand is ongeveer 10% groter dan die bij een elastische wand. De faseverschuiving tussen de kernstroming en de wandstroming is bij een elastische wand kleiner dan die bij een starre wand,

3.De bochtstrominq:

De onderstaande figuur geeft het voor bochten gebruikelijke toroidale

coördinatenstelsel weer. Voor vergelijking van de diverse onderzoeken wordt de axiale coördinaat R8 geschaald met een faktor JaR en de radiële afstand r dimensieloos gemaakt.

O

De omzetting van de continuïteitsvergelijking en de Navier-Stokes-

vergelijking in toroidale coördinaten wordt beschreven door Corver (1984). Bij het dimensieloos maken van deze vergelijkingen onstaat het getal van Dean K , dat samen met de Womersley-parameter a de bochtstroming

karakteriseert.

3.l.Volledis ontwikkelde stationaire bochtsstrominq (hoge Dean-getallen). Vloeistof die door een bocht stroomt ondervindt een centrifugale kracht tern gevolge van de kromming. Daar waar de snelheid het grootst is, in het

centrum van de buis, is ook de centrifugale kracht het grootst. Als reactie op de centrifugale kracht ontstaat er een drukgradiënt, die gericht is van de binnenbocht naar de buitenbocht. Aan de wand is de centifugale kracht

out

klein door de lage axiale snelheden ter plaatse, waardoor de drukgradient

overheerst. Er gaat vloeistof langs de boven- en onderwand stromen van de buitenbocht naar de binnenbocht. In het

ceritmm is de situatie omgekeerd (de centrifugale kracht overheerst daar) en er gaat vloeistof stromen van het centrum naar de buitenbocht. Er ontstaat zo een secundaire stroming van twee wervels loodrecht r~p de axiale richting (in het vlak r’,cp); de zogenaamde Dean-wervels

(1927). Het punt van maximale axiale snelheid verschuift daardoor naar de buitenbocht ( zie figuur 3 . 1 ) .

Figuur 3 . 1 : ïsotachenpatroon en het secundaire snelheidsveld in een bocht met ~ = 4 4 (RcConalogue 1 9 6 8 ) .

7.

Bij toenemend Dean-getal verplaatst het punt van maximale axiale snelheid zich verder naar de buitenbocht (zie figuur 3.2).

De sterke secundaire stroming tranporteert vloeistof met hoge axiale

snelheid tangentieel naar de binnenbocht. De hoge axiale snelheid wordt in de grenslaag door viskeuze effekten afgebroken. Vanuit de binnenbocht stroomt vloeistof met een lage axiale snelheid door de kern naar de buitenbocht. Hierdoor onstaat het C-vormige uiterlijk van het

isotachenpatroan (lijnen van constante axiale snelheid). De centra van de Dean-wervels verplaatsen zich bij toenemend Dean-getal verder naar de binnenbocht, K = 66 L i I K = 415 ldl

Figuur 3.2: Volledig ontwikkelde bochtstroming volgens Collins Sr Dennis (1975); isotachenpatroon en secundaire snelheidsveld bij

8.

Figuur 3.3 toont de snelheidsprofielen van een experiinent en een berekening bij ~ ~ 3 7 0 . De overeenlroinst is goed. Ook is te zien dat over een groot deel van de doorsnede de axiale snelheid lineair verloopt met be-trekking tot de straal.

Figuiar 3 . 3 : Veryelijking van de numerieke resultaten van Collins &

Dennis (1975, ~ = 3 6 9 , 5 ) en metingen van Adler ( 1 9 3 4 , o ~ = 3 7 2 )

9.

3.2.Stationaire inlooPstromins in een starre bocht.

De ontwikkeling van de stroming in een bocht is onderzocht voor drie instroomvoorwaarden:

a).constante totale druk : u = v = 0 w = I/(lt6rcosa)

b).uniform inloopprofiel : u = v = o w = l

c).parabolisch inloopprofiel : u =

v

w

2

p =-1/(2(1+6rcosa)

2

Voorwaarde a) levert een theoretisch profiel met voordelen voor de analytische oplossing van de Navier-Stokes-vergelijking. Het praktische profiel voor a) lijkt qua vorm op met het profiel behorende bij b). Analyses behorende bij a) en b) kunnen daarom kwalitatief met elkaar

vergeleken worden. De instroomvoorwaarden bepalen sterk het verloop van de ontwikkeling van de inloopstroming. De min of meer vlakke instroming

(voorwaarde a) en b)) ontwikkelt zich naar een parabolische stroming (zoals

ook bij een rechte buis gebeurt) door het opbouwen van een axiale grenslaag. Het essentïele verschil met voorwaarde c ) is dan ook dat bij c ) reeds een axiale grenslaag aanwezig is. In de axiale snelheidsprofielen voor een vlakke instroming komt dit tot uiting doordat het punt van maximale axiale snelheid zich eerst ilaar de binnenbocht verplaatst en daarna naar de

buitenbocht, terwijl bij een parabolisch inloopprofiel dit punt zich vanaf het begin van de bocht naar de buitenbocht verplaatst.

In de literatuur staan voornamelijk analyses en experimenten met voorwaarde a) en b). Olsen (1971) heeft de axiale profielen behorende bij b) en c }

bestudeerd. Betreffende de axiale en secundaire snelheden bij een

parabolisch inloopprofiel is onderzoek gedaan door Bovendeerd ( 1 9 8 5 ) en V.d.Vosse ( 2 9 8 7 ) , Laatstyenoemde heeft ook numerieke simulaties verricht. Bij de experimenten in onze opstelling wordt gebruik gemaakt van een

volledig ontwikkeld (parabolisch) instroomprofiel. Met het oog op de axiale snelheidsprofielen bij een instationaire stroming (zie paragraaf 2.2) is het raadzaam om ook de verschijnselen bij een vlakke instroming te bestuderen.

3.2.1.Uniform inloopprofiel.

De hierbij gebruikte axiale coordinaat is z met z=RQ/JaR. Het

omrekeningsfaktoren zijn de diverse coördinaatdefinities, gebruikt bij diverse analyses, u i t t e drukken in z {Eovendeerd ?985!.

-Axiale snelheidsveld:

0 < 2 < 3 :Daar voor een niet-viskeuze vloeistof volgens Bernouilli p -1- I /20V2= constant is over een stroomlijn en de druk aan de buitenbocht groter is dan de druk aan de binnenbocht ten gevolge van de centrifugale kracht, verplaatst het punt van maximale axiale snelheid zich eerst naar de binnenbocht. Daarna verplaatst het punt zich naar de

buitenbocht, Bij toenemende

z

Figuur 3.4: Lijnen van constante axiale snelheid volgens Singh (1574) Een radiele secundaire stroming onstaat doordat e r vloeistof aan de rand wordt "weggeduwd" bij het opbouwen van de grenslaag. Het

oppervlak van de niet viskeuze kern neemt dan af. De secundaire stroming door de kern (Dean-wervels) houdt de grenslaag bij de buitenbocht dun. De axiale snefheidsgradiënt neemt toe bij de

buitenbocht terwijl deze bij de binnenbocht afneemt (zie figuur 3.51. In het gebied If5<z(2 onstaat door de zich ontwikkelende secundaire stroming een gebied met lage axiale snelheid in de binnenbocht. De dikte van de grenslaag met lage axiale snelheid in de binnenbocht neemt toe bij toenemende z .

a ) binnenbocht

figuur 3 . 5 : Axiale snelheidsprofielen in de inloopstroming in een bocht bij een vlak inloopprofiel bij 6=1/4,66 en ~ = 2 5 0 (Olsen 1971)

2 > 3 : De stroming ontwikkelt zich nu volledig. De "deuk" in het profiel (zie

ook paragraaf 3.2.2) bij @=80° verdwijnt dan en e r onstaat een profiel met een lineaire afname van de snelheid van huiten- naar binnenbocht. Volgens Olsen is de stroming volledig ontwikkeld bij za12 (Oa320"). -Het secundaire snelheidsveld:

O<z<l:Bij de opbouw van de grenslaag ontstaat een radiële stroming (van de rand naar de kern). Bij toenemende

z

f z > û , 2 ) van de buitenbocht via de boven- en onderwand naar de

binnenbocht en vervolgens door de kern weer naar de buitenbocht (Dean- wervels). Van de binnenbocht naar de kern hebben de tangentiele en de radiele stroming ongeveer dezelfde richting. De radiële stroming wordt dan versterkt. Van de kern naar de buitenbocht werkt de tangentiële stroming echter de radiele stroming tegen, waardoor er een

stagnatiepunt P onstaat (zie figuur3.6). Het stagnatiepunt verplaatst zich naar de buitenbocht. De buitenbocht wordt bereikt bij 2=0,3

d u z y ç 1 r S S l n y i i , I J I I

11.

Inner

side Outer si&

(4

Outer

Inncr side

x

Figuur 3 . 6 : Secundaire stroomlijnenpatroon volgens Singh ( 1 9 7 4 ) a ) z = 0 , 0 3 b) = 0 , 2 C) i: = O f 4 d) z = O , ?

OP= 0 , 0 4 4 OP=8,227

Figuur 3.7: Secundaire stroomlijnenpatroon volgens

z = O , 2 ( @ = S o ) , z = û,6 ([3=15 o 1 , z = 1 Liu

_{fa= 25')}

het tangentiële snelhei5smaximum bij @=+-9O' er. p=-90* ( i n

overeenstemming met anderen), maar na z z t , 5 neemt de tangentïele

snelheid bij ( ~ - 1 5 0 ~ tot ~ = 1 8 0 ' sterk af. Ze schrijven dit toe aan een loslaatgebied dat zich vormt in de binnenbocht ( @=I 80')

z>3:Volgens Yao & Berger neemt de tangentïele snelheid toe tot 229, behalve dan in het loslaatgebied. Het loslaatgebied breidt zich uit tot

5O0<ip<2

:oo.

Naast de axiale snelheden heeft ülsen (1971) ook de secundaire snelheden uitgebreid gemeten. Deze zijn weergegeven in figuur 3 . 8 (zie volgende bladzijde).

12.

.

-

- - _ _ _ - -

- - _ _

.

--

-

e

Figuur 3.8: Cartesische snelheidscomponenten in het secundaire snelheidsveld bij een vlakke instroming voor diverse z waarden volgens 61sen

11971) bij a) Re = 1031, I> = 1 / 4 , 6 6 en K = 476 en

3.2.2.Parabolisch inloopprofiel.

Qlsen (1971) heeft de axiale snelheden in een bocht met een hittedraad

anemometer gemeten voor 6=1/4,66 en ~ = 2 5 0 en K-476 (zie figuur 3.9 en 3.10). Bovendeerd (1985) heeEt naast de axiale profielen ook het secundaire

snelheidsveld gemeten voor 8 = 1 / 6 en ~ = 2 8 6 . Van de Vosse (1987) heeft de numerieke resultaten van een bochtstroming vergeleken met door hem

uitgevoerde experimenten voor 6=1/6 en ~ = 1 2 2 . Voor ~ = 4 1 en ~ = 2 0 4 heeft Van

de Vosse alleen numerieke resultaten.

Qlsen (1971) heeft de ontwikkeling van het axiale snelheidsveld vergeleken met die bij een vlak inloopprofiel (zie figuur 3.9 en 3 . 2 0 ) .

- -buitenbocht

_ - - -

Figuur 3.9: Axiale snelheidsprofielen in de inloopstromimg een bocht met 6=1/4,66 en ~ = 2 5 0 bij a) een uniform en b) een parabolisch inloopprofiel (Qlsen 1971). Verder geldt z=Q/S6,5.

buitenbocht - . - - 10% DIC.,O.. (I.0.I. - - o r -? -Figuur 3 al binnenbocht buitenbocht

;

;

j

10: Axiale snelheidsprofielen in de inloopstromimg een bocht met 8=1/4,66 en ~ = 4 7 6 bij a) een uniform en b) een parabolisch inloopprofiel (Olsen 1971). Verder geldt z=r3/26,5.

14,

Het kenmerkende verschil tussen beide inlooprofielen is, dat bij het

parabolische profiel het punt van maximale axiale snelheid meteen vanaf het begin van de bocht naar de buitenbocht verschuift. Dit komt omdat bij het parabolisch profiel reeds een grenslaag aanwezig is. Vooral voor z<l (opbouw grenslaag bij een vlak inloopprofiel) zullen beide stromingen verschillen vertonen. Bij 2=2,4 (8=60°) krijgt in het geval van een parabolisch

inloopprofiel het axiale snelheidsprofiel een tweetoppig uiterlijk. Dit wordt veroorzaakt door de sterke secundaire stroming. Vloeistof met hoge axiale snelheid wordt via de boven- of onderwand getransporteerd van de buiten- naar de binnenbocht. In de grenslaag van de secundaire

stroming(Dean-wervels) neemt de axiale snelheid af maar wordt niet volledig afgebroken. In de binnenbocht is de grenslaag met lage axiale snelheid ten gevolge van de secundaire stroming nog in ontwikkeling (neemt toe in dikte), Be secundaire stroming transporteert vloeistof met lage axiale snelheid vanuit de binnenbocht door de kern naar de buitenbocht. Hierdoor ontstaat het tweetoppig uiterlijk (overshoot). Naarmate de grenslaag in de

binnenbocht zich ontwikkelt neemt het overshoot effekt af. Er ontstaat een redelijk lineair verloop van de axiale snelheid over een groot gedeelte van de doorsnede in het symmetrievlak. De stroming is dan volledig ontwikkeld. Uit figuur 3.9 en 3.10 blijkt verder dat bij een groter Dean-getal het overshoot effekt groter is en dat de stroming zich minder snel ontwikkelt. Bovendeerd (1985) heeft gemeten met LDW bij 6=1/6 en K=286. Figuur 3.11

geeft de axiale snelheidsprofielen in het symmetrievlak. Ook hier is er weer een overshooteffekt op 2=3 i 5.

*

-

t

o

-1

Figuur 3 . 1 1 : Ontwikkeling van het axiale snelheidsveld in het symmetrievlak van de bocht als funktie van

z

1985

1

Figuur 3 . 1 2 geeft het isotachenpatroon over een halve doorsnede voor diverse waarden van z . Hierbij as weer te zien dat het snelheidsmaximum naar de buitenbocht verschiìift. Opvallend is het C-vosmige uiterlijk van de

Figuur 3.13 toont het secundaire snelheidsveld in een halfvlak. Bij z=O is e r een secundaire stroming van de buiten- naar de binnenbocht over de gehele doorsnede. Dit wordt mogelijk veroorzaakt door een stroomopwaarts effekt van de bocht. Tot z=l neemt de secundaire stromingssterkte toe. Daarna

verplaatst het centrum van de wervel zich naar de binnenbocht. Hiervoor is nog geen afdoende verklaring. Bij z=3,5 ontstaat er een “staart” in de wervel. Bovendeerd geeft hiervoor geen verklaring.

m$

(isatachenpatroon) in een halfvlak als funktie van z met ó = ? / Q en ic-286 (Bovendeerd 7985). + 1 O z = 1 . 0 -1 + l o -1 z = 2 , s + 1 o -1 z = 1 , 7 + 1 0 -1 2 = 3,5 Figuur 3.13: De secundaire van z , weeryegevrn a l s een. 6-116 en ~ = 2 8 6 (Bovendeerd

stroming als funktie

veutvrield nzet

16.

1

Re=100, ~ = 4 1

numerical Van Vosse (1937) heeft inet LDA

metingen verricht voor B = 1 / 6 en

K=122. Numerieke resultaten heeft hij voor 6=1/6 en

Re=300, K=122 numerical (-) experimental (O) ~ = 4 1 , 1 2 2 en 204. De axiale snelheidsprofielen staan weergegeven in figuur 3 . 1 4 .

Voor ~ = 1 2 2 komen d e numerieke en experimentele waarden goed overeen (zie figuur 3 . 1 4 ) . De resultaten komen ook goed overeen met de bevindingen van Olsen( 1971 ) en Bovendeerd

O ( 1 9 8 5 ) . Ook betreffende het

~ e = 5 0 0 , K=204 secundaire snelheidsveld werden

numerical zowel kwalitatief als

kwantitatief dezelfde resultaten gevonden als Bovendeerd ( 1 9 8 5 ) .

o n/4 n / 2

Figuur 3.14: Axiale snelheidsprodielen in het symmetrievlak met 15=1/6; berekend voor ~ = 4 1 , 122 en 2 0 4 (getrokken lijnen) en gemeten voor ~ = 1 2 2 (open cirkeltjes) (Van de Vosse 1 9 8 7 ) .

3 . 2 . 3 . Grenslaasdikte en inlooplenste.

Figuur 3.15 toont het verloop van de grenslaagdikte volgens Yao & Berger

( 1 9 7 5 ) bij een vlak inloopprofiel. De dikte van de grenslaag ter plaatse van de buitenbocht, rp=O, blijft beperkt door de secundaire stroming. Na het loslaatpunt (rp>130°) neemt de dikte van de grenslaag sterk toe (zie paragraaf 3 . 2 . 1 1 .

De inlooplengte is de axiale afstand waarbij de stroming volledig ontwikkeld is. Yao & Berger geven voor de inlooplengte in een bocht (curvature) op:

1

C 1 e,

Met het oog op toekomstige experimenten (halsslagadervertakking) is de inlooplengte niet van belang, omdat de hoeken daar relatief klein zijn, dus kleine B en grote 1,. De stroming ontwikkelt zich dan niet volledig.

met e.,= f(6) en el# f(Re)

ic 112

Figuur 3 . 1 5 : De dimensieloze

grenslagdikte 6, als funktie van Z bij diverse tangentlele hoeken rp (Yao 6:

Eezger 3975).

1

7.

3.3. Volledis ontwikkelde instationaire stroinins in een starre bocht

De instationaire stroming door een bocht wordt bepaald door de kromming van de bocht

( a ) ,

*

1 K L

eventueel het Xeynoldsyetal voor de secundaire stroming (R =

-

Volledig ontwikkelde instationaire stromingen worden onderscheiden naar: -hoog frequent %>>'I

-laag frequent a<<l

Voor a > l l treedt vulqens Mullin (19803 een Lyne-type strominy op. Hierbij ontstaan twee tegengestelde wervels (zie figuur

3 . 1 6 ) . Voor de dikte van de viskeuze grenslaag 1 5 ~ geldt in het geval van een pulserende stroming 6 %a.Re -112. Be

S

omloopszin van de secundaire stroming in het binnengebied is tegengesteld aan die in het stationaire geval.

Figuur ? . 1 6 : Secundaire stroomlijnen voor

a > ) l en K=O (Lin 1980).

In het laag frequente geval ontstaan de wervels van Dean met een gelijke omloopszin als in het stationaire geval (zie paragraaf 3.1). Voor 6 < < i , @;<(I en K < < I ontstaat bij benadering een Poiseuiile-stroming in een rechte buis. Om analytisch te bepalen hoe de secundaire stroming er bij grotere

Deangetallen (onze situatie) uitziet, wordt voor de grerislaag en de kern een ontwikkeling van de Navier-Stokes-vergelijking in K opgesteld, waarna

aansluitvoorwaarden in rekening worden gebracht (Pedley 1 9 8 0 ) . Dit leverde op dat volgens Lin (1980) voor ~ < 3 1 5 , a < I O en 6 = 1 / 1 5 of b = 1 / 2 0 er een Bean- type secundaire stroming ontstaat.

3.4. instationaire inlooPstromins in een starre bocht.

Gelet op de configuratie van de halsslagadervertakking is het de vraag of de instationaire stroming zich voilediy Kan ontwikkelen. Volgens Augustin ( 197 1 ) is de stroming volledig ontwikkeld VOOK Od=49 f 6 ~ ) Voor onze

situatie geldt dan 0~t120".

Bij de analyse van instationaire stromingen in bochten worden, net zoals in het stationaire geval, drie situaties onderscheiden:

a ) constante dynamische druk bij instroming b) uniform inloopprofiel

c ) volledig ontwikkeld inloopprofiel

Het inloopprofiel behorende bij de voorwaarde van constante dynamische druk

w o w

b i j het beyin de bocht is: 12=0; v=0: w= --- ( 8 )

l+Sjrcosip waarin wo(t) de pulserende component is.

18.

Singh ( 1 9 7 8 ) gebruikt in zijn theoretische analyse wo(t)=l+sinwt,

Re=0(1000), 6=0(0,1) en ~ = 0 ( 0 , 1 1 . De stroming wordt daarbij verdeeld in een viskeuze grenslaag en een niet viskeuze kernstroming. De Navier-Stokes- vergelijking wordt vervolgens opgelost door storingsrekening toe te passen met E, en 6 als ontwikkelingsparameters. Ket blijkt dat de axiale snelheid in de kern in eerste orde gescnreven kan worden als ( 8 ) . In de grenslaag blijkt de de axiale snelheid geschreven te kunnen worden als de som van de Blasius- oplossing ( o r < < l ) voor een rechte buis, een krammingseffekt en een term voor de drukfluctuatie bij intree evenredig met E . Naarmate de stroming zich ontwikkelt neemt het krommingseffekt toe. Het bijbehorende snelheidsprofiel is weergegeven in figuur 3 . 1 7 . In het begin van de bocht (s=8,4) ligt het

punt van maximale axiale snelheid hij de binnenbocht. Naarmate de stroming zich ontwikkelt verschuift dit punt naar de stationaire stroming, vlak inloopprofiel). üit het onderzoek van Singh blijkt verder dat tijdens de fase van ahemend debiet, in het begin van de bocht fs=l,S) alleen bij de buitenbocht ( q ~ n ) er een korte periode van terugstroming is. Verderop ( s = 2 4 ) is er terugstroming, wäarbij de terugstroming in de binnenbocht het grootst is. Volgens Singh komt dit omdat de vloeistof met lage axiale snelheid beter op äe drukvariaties reageert dan de vloeistof met hoge axiale snelheid.

1 8 buitenbocht (vergelijk paragraaf 3 . 2 . 1 :

1 6

1 4

1 2 zowel in de binnen- als in de buitenbocht

= 0 8

0 6

Figuur 3 . 1 7 : De axiale snelheid w in de grenslaag in de binnenbocht ( i p = i i ) en de buitenbocht (ip=û) voor diverse s ( s = 3 i i 6z )

en t, onder de aanname woit)='!+sinwt. De hoek M in deze figuur is de hoek íg in het

door ons gedefinieerde toroïdale

O

-0ZL

aasensteiiei.

Xullir, (19%) h e e f t met LEA gemeten aan een instatik=naire strming vaarbij het. debiet sinusvormig pulserend was en het inloopprofiel volledig onwikkeid voor 6=1!7, ;c=64,2 en rx=0,99 en ar=4,36. Daarnaast heeft hij ook ds: invloed van het Dean-getal op de axiale snelheidsprofielen onderzocht (zie de figuren 3.18, 3 . 1 9 en 3.20

1 .

Voor lage frequenties ( ~ = 0 , 9 9 ) treedt er geen stroomopwaarts effekt op en

het punt van maximale axiale snelheid verschuift naar de buitenbocht (figuur 3 . 1 8 ) . Voor hogere frequenties ( ~ = 4 , 3 6 ) treedt wel een stroomopwaarts effekt op (figuur 3.20a, @=Oo) : op tijdstip t=Q is de vorm van het profiel bij inloop niet gelijk aan de vorm van het profiel behorende bij een volledig ontwikkelde stroming. Het stroomopwaarts effekt neemt af bij toenemende uit. Bij wt=5x/6 is het profiel nagenoeg weer volledig ontwikkeld. Figuur 3 . 1 9 iaat de invloed zien van het Dean-cjetcrl op de veïschiüivincj vim het piint van maximale axiale snelheid. Voor ~ > 2 5 verschuift dit punt reeds aan het begin van de bocht naar de buitenbocht.

1

9.

O $sin@

- 1

F i g u u r 3.18: Axiale snelheidspro- fiefen in het symmetrievlak tijdens

de f a s e van toenemend debiet voor in het syinmetrievlak V Q O ~ diverse divexse EI waarden en vooz a=0,99,

~ = 6 4 , 2 en 6 = 1 / 7 .

1

(Mullin 1980) (Nullin 1980)

Figuur 3 . 1 9 : Axiale snelheidsprofie- len op het moment van maximaal debiet waarden van het Deangetal voor a=4,36 6=1/7 en

o=w".

a _- b

- c

Figuur 3.20: Axiale snelheidsprofielen in het symmetrievlak voor verschil- iende waarden van

e i

tijdstippen: a ) wt=0 b ) wt=ir/S c) wt=5s/4 (Mullin 1 9 8 0 ) . Zizû op divelSe

o IS -

9 - 1 9

situatie "essentieel quasi-stationair, zodat

sf.:* e-30' e = # e - i i o ' ~~ > . . . . . . . . < . I . :' ! _. . _{> i '}

20.

21.

Figuur 3 . 2 2 : Axiale snebkeids-isotachen en de snelheidsprofielen voor de component van de secundaire snelheid in een vlak, loodrecht op de buisas voor een pulserende stroming op diverse

tijdstippen:a) wt = a/6 b) wt = a/S c ) wt = 51r/6

Ct) wt = 711/6 e) wt = 9a/6 f ) w t = I l a / 6

behorende bij experiment twee met paraineters 6= I / ? , Kpiek=372 e n a='42,5. Verder i s ï=binnenbocht en û=buitenbocht. In de figuur zijn de gebieden met negatieve axiale snelheid gearceerd

22.

7" 40

2 3 0 -

o

-

In oveïeenstenriming met Rullin 11980) verschuift het snelheidsmaximum voor alle fasen van de cyclus reeds vanaf het begin van de bocht naar de

buitenbocht, immers K > > 2 5 . In de fase van afnemend debiet vonden zij een sterke terugstroming in de binnenbocht. Dit begint bij u i t = ~ r / 2 en 8>30°. Eet

gebied van terugstroming breidi zich uit tot het debiet minimaal i s

(wt=7/6n) en O=llOo en bedraagt ongeveer 50 % van het lumen. Bij toenemend debiet (wt>77r/O) keert vooral aan het begin van de bocht in het

terugstroomgebied de axiale snelheid van richting om. Daardoor laat verderop in de bocht de vloeistof met de (nog) negatieve axiale snelheid los en

beweegt onder invloed van de secundaire stroming naar de buitenbocht. Bij maximaal debiet (wt=a/ 6) ontstaat van 8=30* een Deantype secundaire stroming. Daarna concentreren de secundaire stromingen zich in de

b i n n e n ~ ~ c ~ t ~ bestaande uit een jetachtige stroming bij het symmetrievlak en daaronder en daarboven een helixachtige stroming. Bij toenemend debiet tredea voor 8 = ? 5' en 8=30' voornamelijk helixstructuren op en voor

0=60"-110' een jetachtige stroming. Voor w t = l I n / 6 en 8=60°-1 13' ontstaan vier gebieden: twee met naar buiten gericht en twee niet naar binnen gerichte secundaire stromingen. Volgens Talbot hebben de helixstructuren dezelfde oorsprong als de eerder behandelde Dean-wervels (zie paragraaf 3 . 1 ) en hangen dan ook sterk van het Dean-getal af.

Chandran (1981) heeft met LBA de stroming in een bocht onderzocht, maar nu bij een fysiologisch pulserend debiet met bijbehorende parameters 6=1/10,

~ = 3 2 2 en ix=20,7 (R,=6Q). €lij constateerde een stezrke terugstroming bij de binnenbocht bi3 het hegin van de diastole en die breidde zich stroomafwaarts uit. In het begin van de bocht (8=20") bleek het punt van maximale axiale snelheid bij de buitenbocht te liggen. Verderop (8=60°) verschuift dit punt naar de binnenbocht I waardoor het profiel vlakker wordt. Bij @=97'

verschuift het weer naar de buitenbocht (zie figuur 3 . 2 3 ) .

-

Figuur 3 . 2 3 : Axiale snelheidsprofielen

~ = 3 2 2 en ur=20,7 (As=60) tijdens

in het symmetrievlak bij 6=2/10 a) piekcystole en b) diastole,

3.5. Volledis ontwikkelde instationaire strominu in een elastische bocht. Er is weinig literatuur beschikbaar over instationaire stromingen in een elastische bocht. Chandran & Swanson ( 1 9 7 4 ) en Chandran & Hosey ( 1 9 7 9 )

hebben theoretisch onderzoek verricht aan een volledig ontwikkelde stroining. Kieu ( 1 9 8 5 ) heeft metingen verricht in de aortaboog.

Chandran & Swanson (11474) hebben de volledig ontwikkelde stroming in een bocht vergeleken met de instationaire stroming in een rechte buis onder gelijke fysiologische voorwaarden en bij een sinusvorinig pulserend debiet.

'

verscheidene tijdstippen gedurende de ' cyclus. De dichte lijn correspondeert

met het profiel in een elastische

O C I+ bocht. De streepjeslijn met de

profielen in een elastische buis. C is hier de binnenbochtzijde. Be parameters zijn: 8=1/10, ~ = 3 8 S , a=9,14 en bij 8=180". De

distensibiliteit bedraagt ü=l I 4. I Ö 5

I 2

1 m /M.(Chandran & Swanson 1974)

De axiale snelheidsprofielen voor de volledig ontwikkelde stroming zijn weergegeven in figuur 3.24. Bet punt vapI maximale axiale snelheid is

verschoven naar de binnenbocht. Chandran ( 1 9 7 9 ) heeft bij metingen aan een star model van de aortaboog met een vlak inloopprofiel een verschuiving van het maximum naar de binnenbocht waargenomen (fysiologisch pulserend debiet,

6 = 1 / i O f ~ = 3 2 0 en 0 1 = 2 1 , 9 ) .

Naast de axiale snelheden hebben Chandran & Swanson ook het secundaire snelheidsveld berekend. De resultaten daarvan zijn weergegeven in

figuur 3.25 (zie volgende bladzijde). Kenmerkend hierbij 9s dat er sprake is

van zowel een Lyne-type ( r u t = O, ~ / 4 , ir en 5u/4) secundaire stroming als van

een Dean-type stroming (wt= ~ / 3n/4, 3x/2 en 7ir/4). Bij een starre bocht 2 ~ was er pas sprake van eer, Lyne-type stroming VOW ol>ll. Hier is a=9,14. Ten

gevolge van een Lyne-type secundaire stroming verschuift het punt van maximale axiale snelheid naar de binnenbocht [Lyne 1 9 7 1 ) . Dit kan een

verklaring zijn voor de waargenomen axiale snelheidsprofielen. Verder heeft Chandran soortgelijke berekeningen verricht voor a=6.36 en rx=5,09 met

respectievelijk een buisdiameter van 5 en 4 mm. De resultaten hiervan waren kwalitatief gelijk aan het voorafgaande.

24.

Chandran 61 Hosey ( 1 9 7 9 ) hebben tenslotte ook nog het effekt van de kromming 6 onderzocht op de volledig ontwikkelde axiale snelheidsprofielen. Zij geven

daarbij niet het secundaire snelheidsveld op.

Be berekende profielen bij een gegeven

vergeleken met de profielen behorende bij een stationaire stroming met vlak inloopprofiel

(zie figuur 3 . 2 7 ) . Ook hier verschuift het axiale snelheidsmaximum naar de binnenbocht. Naarmate ti toeneemt neeint ook de grootte van dit maximum toe.

,%Y- -I. pulserend debiet (zie figuur 3.26) zijn

. . i : : :

a ! c > o * 1 . 0 %

..

~.

.-.

Figuur 3.26: Het door Chandran 61 Hosey gebruikte pulserende debiet voor hun berekeningen.

3 . 6 . Instationaire inloopstromins in een elastische bocht.

Experimentele gegevens over instationaire inloopstromingen in een elastische bocht zijn er van Yearwood e.a.(1984) en Rieu ( 1 9 6 5 ) . Beiden hebben de

stroming onderzocht in de aorta bij een fysiologisch pulserend debiet met een vlakke instroming. Beiden vonden dat het punt van maximale axiale snelheid naar de binnenbocht verschuift, hetgeen overeenstemt met de

bevindingen van Chandran ( 1 9 7 9 ) . Yearwood stelt vast dat de stroming in de aortaboog zich niet volledig ontwikkelt en constateert terugstroming tijdens diastole. Vanwege de verschillende geometrieën is het moeilijk de

onderzoeken onderling te vergelijken. Yearwood en Xieu geven geen karakteristieke parameters op voor de door hen onderzochte stroming.

2

5.

/:::

í b )

Figuur 3 . 2 7 : De axiale snelheidsprofielen voos a) de instationaire stroming en bl de stationaire stroming. Buisdiameter a=6 mm,

distensibiliteit 0=1 I 5 .

voor d e linker figuur geldt : 8=0,025 en ~ = 1 4 7 en voor de rechter figuur geldt: 6=0,2 eri ~ = 4 1 5 .

2

6.

4. De halsslasadervertakkinq.

4.1. Stationaire stromincr in een starre vertakkinq.

De stroming in een vertakking wordt gekarakteriseerd door het Reynoldsgetal, de Womersley-parameter en de geometrie van de vertakking. De gebruikte

geometrieen z i j n weergeye'ven in de figuren 4.1 en 4.2.

Figuur 4. I : Symmetrische vertakking gebruikt door Olsen

( 2 9 7 1 ) met a=l9,l mm, b=25,4 mm en a/K=b=l/l

(Dimensionless values) Truc mcan

-

Standard v:iiuc Fig. 1 samples Mean deviation (mm)

I 40 I .o4 0.2 1 8.3 2 25 1.1 1 0.14 8.9 Internal 3 I I 0.9 1 0.31 7.3 carotid 4 25 0.72 0.1 2 5.1 5 13 2.14 045 9 7.1 6 5 3 0.69 0.10 5.6 I Externzit 7 36 0.69 0.1 7 5.6 carotid x 13 0.69 0.13 5 5 I 9 40 0.5X 0.10 4.6 Angics 10 23 25.1" 11.0" 25.1" I I 23 '25.4" 10.4 ' 25.4" 12 11 1.86 * 0.81 14.9 Other 13 I 5 0.23 0.04 I .9 14 51 - 0.3 1.19 - 0.2 I 5 - 1 .o0 0.00 8.0 Location in Numhcr or

F i g u u r 4.2 : Geometrie van de halsslagadervertakking zoals gebruikt door

27.

Er worden twee inloopprofielen onderscheiden:

-vlak inloopprofiel (Olsen 1971)

-parabolisch inloopprofiel (Bharadvaj 1982, Rindt 2 9 8 4 )

Vlak inloopprofiel (Olsen 1 9 7 1 ) :

Olsen ( 1 9 7 1 ) heeit de snelheidspsofielen geineten in een symmetrische vertakking met 6 = 1 / 7 . Er is gemeten inet een hittedraad anemometer. De gemeten profielen staan in figuur 4.3.

_ _ -

Figuur 4 . 3 : Het axiale snelheidsveld in het vlak van de vertakking bij:

hoofdtak: Re=795, ~ ~ 2 4 4 zijtak: Re=468, ~ ~ 1 4 3 . De getallen tussen haakjes geven de axiale afstand in buisdiameters 2a aan t . o . v I de apex f0lsen 1971)

Zoals bij de bocht (paragraaf 3.2) verschuift het punt van maximale axiale

snelheid eerst naar de binnenbocht (tot ~ 0 ~ 5 ) waarna het naar de

buitenbocht verschuift ten gevolge van de secundaire stroming. Bij 2220 is de stroming volledig o ~ ~ w i ~ ~ e ~ d . Bij de apex komen hoge snelheidsgradiënten voos bij de buitenbocht, die stxoomafwaarts minder worclen. Bij de

~ ~ n ~ e n ~ o c ~ t oakstsat een gebied van lage axiale snelheden *

Eet secundaire snelheidsveld is weergegeven in figuur 4.4 (zie ook par.3.2.1: fig.3.8).

L,,, Figuur 4 4 : Secundaire

snelheidsveld in de vertakking

,

2

8.

%ij z=-ûf34 (vlak voor de apex) is de stroming hoofdzakelijk parallel aan de as van de hoofdtak gericht. De as van de hoofdtak maakt echter een hoek van 18" met het meetvlak, waardoor een vrij grote secundaire

snelheidscomponent parallel aan het symmetrievlak in de richting van de buitenbocht gemeten wordt. Doordat de buisvorm en de positie van het meetvlak ten opzichte van de buisas verandert, wordt er echter op

z=O ook een secundaire stroming naar de buitenbocht gemeten. Bij de apex ontwikkelt zich een tangentiële grenslaagstroming, gebruikelijk voos een inloopstroming met een vlak profiel in een bocht. De snelheidscomponent loodrecht op het symmetrievlak (bij z=-O,34 en z=O) is overal naar het symmetrievlak gericht. Waarschijnlijk wordt dit veroorzaakt door de opbouw van de grenslaag met bijbehorende vlneistofverdringing. Vczor z=O,21 is het secundaire snelheidsveld geheel vergelijkbaar met dat in een bocht (zie figuur 3 . 8 ) . Voor z=1,23 treedt er een verstoring bij de buitenbocht op ten gevolge van de grenslaagopbouw vlak na de apex. Xn de dan volgende rechte

Suis (z=5) ontstaat een stroming naar de binnenbocht, zodat; de stroming zich

ontwikkelt tot een Poiseuilie-strcming (parabolisch profiel). Parabolisch inloowrofiel (Bharadvaj 19521:

Bij zijn experimenter, gebruikte Bharadvaj de geometrie afgebeeld in figuur 4.2. Deze geometrie i s gelijk aan die gebruikt door Kindt, Van de Vosse ea Versteylen. De plaatsen waar Bharadvaj gemeten heeft zijn weergegeven in figuur 4.5.

F i g u u r 4.5: Plaatsen in het model van de

halsslagader waar de s ~ e l ~ i ~ i ~ s m ~ ~ ~ n g e n zijn verricht; de x-afstanden worden

uitgedrukt an communisdiameters (Bharadvaj 1 9 8 2 ) .

De snelheidsmetingen zijn verricht met LDB bij een Reynoldsgetal van #e=400 en bij een flowverhouding van 70 % door de interna en 30 00 door de externa. Het gemeten axiale snelheidsvetd in de communis is weergegeven in figuur 4.6

(in het vlak van de vertakking). De verwijding van de communis op O f 3 a na CC2 befnvloed het Poiseuille-profiel op CCS

niet. Op CC3 resulteert dit in een groter snelheidsmaximum. Op CC4 blijkt de

verdere verwijdilag van de communis een lager snelheidsmaximum tot gevolg te hebben en een afname van de

snelheidsgradiënt aan de internazijde en een kleinere afname aan de externazijde.

i + C c l Aan de internazijde ontstaat er zelfs een

kleine terugstroming. Figuur 4.7 geeft de axiale snelheid in de interna in het vlak van de vertaklring. De diameter is hierbij tiguur 4.6: tiet anialt: snelheids- Uimensieloos gemaakt met de Lokale dia- veld in het symmetrievlak in de ineter. De terugstroming zet in bij SS1 en communis bij Ke=4û0 (Bharadvaj groeit tot 553. Er is een grote sfielheids

1 9 8 2 ) .

-

2

9.

Doordat na S S 3 de diameter van de sinus weer afneemt en door de ontwikkeling van de secundaire stroming, verdwijnt het terugstroomgebied weer snel. Het snelhekdsrnaximum neemt toe van SC4 tot, SS6 en ook de axiale snelheid bij de binnenbocht van de sinus neemt toe. Vanaf SS4 vindt herstel plaats naar een Poiseuille-stroming. Op SS6 is aan de binnenbochtzijde een bijna uniform verloop van de snelheid aanwezig.

Figuur 4.7: Het axiale snelheidsveld in het symmetrievlak in de interna bij

Xe=400 (Bhaaradvaj 1982).

Figuur 4.8: Het axiale snelheidsveld in de interna in een vlak loodrecht op het symmetrievlak bij Re=400 (Bharadvaj 1 9 8 2 ) .

Figuur 4.9: Secundaire snelheidscomponent evenwijdig aan het symmetrievlak langs Zijnen loodrecht op dat vlak in de interna (Bharadvaj 1 9 8 2 ) .

Be axiale snelheidsprofielen in de interna langs lijnen loodrecht op het symmetrievlak zijn weergegeven in fiysur 4.8. ûp SSÎ is h e t profiel nog parabolisch. Door de groei van het terugstroomgebied neemt de axiale snelheid in hei-, centrum van de buis a f [zie ook paragraaf 3 . 2 . 2 ) . Aan de

31.

paragraaf 3 . 2 . 2 ) . Rindt heeft het secundaire snelheidsveld in de externa en de interna veel uitvoeriger gemeten dan Bharadvaj. In figuur 4 . 1 3 is het snelheidsveld ervan weergegeven. In figuur 4 . 1 3 is duidelijk de

wervelstruktuur te zien van de secundaire stromingen. Het, bochteffekt is hier voornamelijk de oorzaak van. Op CC1 is de secundaire stroming naar de externa gericht a l s gevolg van het stroomopwaarts effekt van de vertakking. De flow door de externa wordt dan groter dan op grond van de geometrie alleen verwacht mag worden.

In de externa onstaat op EE1 een stagnatiepunt P. Waarschijnlijk wordt dit veroorzaakt door de opbouw van de grenslaag direkt na de apex.

Net secundaire snelheidsveld in de interna is gericht van de binnenbocht naar de apex (op SSII. D i t wordt meer veroorzaakt door de axiale

snelheidsco~p~nent evenwijdig aan de as van de communis, dan h e t

bochteffekt. Bet bochteffekt neemt snel toe en op SC3 is er een Dean-wervel. Bij SC5 is de sinusdiameter kleiner dab bij S S 3 , met a l s gevolg een radiele stroming gesuperponeerd op de Dean-wervels ten gevobye van het bochteffekt.

APEX

Figuur 4.13 ïsotachenpatroon van de axiale snelheid en Ret secundaire snelheidsveld op Giverse plaatsen in de vertakking bij

Re=640 {Rindt 11487).

Figuur 4.12: Axiale snelheids- profielen in het symmetrievlak

32.

4.2. Instationaire stroínins in een starre vertakkinq.

Numerieke analyses van een instationaire stroming in een 3D-vertakking zijn niet voorhanden. 2D-analyses zijn er onder andere van Fernandez ( 1 9 7 6 1 ,

O’Brien ( 1 9 7 6 ) en Van de Vosse (1987). Bij de 2D-analyses komen interessante stromingsfenomenen aan de orde die bijdragen kot een beter begrip van de stroming in het 3D-model. Volgens Van de Vosse heeft het ontbreken van een secunäaire stroming in het 2D-model toot gevolg dat de axiale snelheden in het terugstroomgebied groter zijn en de grootte van het oppervlak van het terugstroomgebied kleiner zijn dan in het 3D-model.

In. het onderstaande wordt de instationaire stroming In de halsslagader- vertakking volgens Mu ( 7983,1984) behandeld en aansluitend daarop metingen van Versteyìen ( 1 9 8 5 ) .

Ku gebruikte LDA voor zijn metingen met de volgende voorwaarden:

Figuur 4.14 geeft de gebruikte configuratie weer met de meetplaatsen. Figuur 4.15 toont de vier gebieden met de te verwachten verschillende stromingen. Figuur 4 . 1 6 geeft het door Ku gebruikte debiet als funktie van fie tijd. Rema,= 800, Regen’ 300, rx = 4, dcommunis= 31 inm.

l o o d r e c h t

vlnk

Figuur 4 , 1 4 : De plaatsen in het model Figuur 4.15: Schematische weergave

waar LDA metingen zijn verricht en de van de vier gebieden met duidelijk

daarbij behorende nomenclatuur ( D is de verschillende stromingsverschijn-

diameter van de cominunis: 3’!ibn, Ku 1983) selen zoals die te verwachten zijn

& S,.tOl. L in de vertakking (Mu 1983).

.

Phase angle (dapreeS)

Figuur 4.16: Het debiet a i s funktie van de tijd in de communis, interna en externa zoals gebruikt door Ku (1983).

33.

Het axiale snelheidsveld in de communis als funktie van de tijd is

weergegeven in figuur 4.17. Vergelijking van figuur 4.16 en 4.17 laat zien dat de snelheden goed de opgelegde drukgolf volgen.

Figuur 4.17: Axiale snelheid in de communis als funktie van de tijd en van de radiële positie in het vlak van de vertakking op X,= - 1 , û D (Ku 1983).

Het axiale snelheidsveld in de bnterna in het vlak van de vertakking wordt gegeven in figuur 4.18 a, b en c , gemeten op respectievelijk Xi=0,9D, 1,8D

en 3,SD. Uit de Ziguren blijkt dat het axiale snelhe~dsmaxi~um voor elke fase van de cyclus reeds vanaf het

o s begin van de bocht naar de apexzijde

verschuift. Op Xb=O,PD ontstaat in de late systole een terugstrooingebied

( 2 2 5 % van het lumen) bij de binnen-

bocht. Dit gebied groeit tot 50 % van het lumnen op xi=Ii86). Bij Xi=3,2D is het terugsstroomgebied verdwenen door de afnemende diameter van de siris en de invloed van de secundaire stro- ming. Door de af nemende diameter ontstaat sen vlakker snelheids- vormige strukturen op, die bij de apexwand beginnen en via de zijwanden naar de bbnnenbocht gaan.

psofiel. In de sintis trsden sgiraal-

Figuur 4.18: Axiale snelheid in de interna als funktie van de tijd en van de radiele positie in het vlak van de vertakking

a) Xi= 0,9D

c )

xi=

34.

Ze veroorzaken grote snelheidsgradienten en stroomafwaarts strornings- instabiliteiten. In de sinus op Xi=3,2D zijn er stromingsinstabiliteiten tijdens late systole gedurende een halve periode aanwezig.

Figuur 4.19: axiale in de interaa als Figuur 4.20: Tangentiële snel-

funktie van de tijd en de radiële positie heid in de interna als funktie

i n het vlak loodrecht op de vertakking van de tijd en radiële positie

voor Xi=0,95 (Ku 1 9 8 3 ) . in het v1a.k loodrecht op de ver-

takking voor Xi= 0,c)D. Positieve snelheden zijn naar de apex toe gericht a

e

En de externa zijn grote snelheidsvariaties ten yevolge van het taps

toelopen van de extearna (met als gevolg een afplatting van het profiel) en

liei; verschil in de debiet verhouding tijdens diastole en systole (systole:

Qi/Qe= 55/45, diastole Qi/Qe= 90/10). Door de splitsin9 bij de apex ligt het axiale s n e l ~ e ~ ~ s m a x i m u m vlak na de splitsing bij de apexzijde,

Mu benadrukt verder dat de stromingspatronen sterk bepaald worden door de gekozen golfvorm van het debiet.

VersteyZen (1985) heeft visualisatiestudies verricht en met LDA

snelheidsmetingen gedaan. Het Reynoldsgetal verliep daarbij in d.e tijd

volgens figuur 4.21. De Womersley-parameter bedroeg a=5,7. De gemeten axiale snelheidsprofielen staan weergegeven in figuur 4.23.

3

5.

' 3 " 6 "9 ' ' i 2

' 15' ' i 8 ' 2 1 ' ' 2 4 27' ' 3 8 ' 3 3 36 '39

T i j d i*

Figuur 4.21: Bet Reynobdsgetal in de Figuur 4.22: De vorm van het gebied

communis als funktie van de tijd. met negatieve axiale snelheden in de

(Versteylen 1 9 8 5 ) . interna op diverse tijdstippen. De

cijfers 1 t/m 6 corresponderen mei;

t=1/8.T tiin t=6/8.T (Versteylen 3985) De bevindingen van Versteylen komen, op &&n markant verschil na, goed

overeen met de bevindingen van Ku. Bij Xu begint het terugstroomgebied in de

laat s y s t o l e f a s e . Bij Versteylen ontstaat h e t t ~ ~ u ~ s t ~ o o ~ n ~ e b ~ e d reeds in de vroeg systole fase, namelijk tijdens toenemend debiet. Volgens Verateylen is hier een andere gebruikte golfvorm voor het debiet de oorzaak van.

Vergelijking van zijn metingen met de 25-analyse van R i n d t (19851, waarbij dezelfde golfvorm werd gebruikt, levert dezelfde bevindingen op: bij R i n d t ontstaat ook het terugstroomgebied tijdens toenemend debiet. De g r o o t t e en de vorm van het t ~ r u ~ s ~ r o ~ ~ n y e b i ~ d als resultast van de viscalisatiestudie i s weergegeven in figuur 4,22. De onregelmatige vorm (vooral op t=3/4.T) van het gebied duidt op coinplexe drie dimensionale stromingen, vooral tijdens afnemend debiet.

Zowel Versteylen als Xu hebben door iniddel van visualisatiestudies

vastgesteld d a t er geen sprake is van een recirculatiegebied. De deeltjes verblijven er slechts i d 2 cycli in het terugstroomgebied.

3

6.

c4

I

-

-

Figuur 4.23: De axiale snelfaeidsprofielen in het symmetrievlak. Ket

Xeynoldsgetal is daarbij sinusvormig pulserend tussen 200 en 800 en ~ = 5 , 7 . De afstand tussen twee opeenvolgende profielen bedraagt O , î 5 mis en de daaropvolgende tijdsmomenten liggec

3

7.

4.3. Instationaire stroinins in een elastische vertakkins:

Numerieke analyses voor dit geval zijn niet voorhanden. Veel metingen zijn verricht met gepulst ultrasoon geluid. Ku 11954) heeft zijn metingen met LDA in een starre vertakking (zie paragraaf 4.2) vergeleken met zijn in vivo metingen met ultrasoon geluid. Hij concludeerde dat in beide metingen de stromingen kwalitatief goed overeenkwamen. De snelheidsmetingen met ultrasoon geluid zijn ongeveer een faktor 10 onnauwkeuriger dan

snelheidsmetingen met LDA. Xu doet dan ook geen uitspraken over de gevonden verschillen tussen beide metingen zoals die ten ûanzien van de grootte van het terugstroomgebied en de maximale axiale snelheden.

Liepsch ( 1 9 8 1 1 heeft met LDA metingen verricht aan een model van de

beenarterie (zie figuur 4 . 2 4 ) voor zowel een star aïs een elastisch model.In beide modellen en metingen waren de omstandigheden gelijk. Aet is niet

duidelijk welk pulserend debiet Liepsch gebruikt heeft. Afgaande op eerdere soortgelijke publicaties (Liepsch 1 9 7 9 ) is het vermoedelijk een sinusvormig oscillerend debiet. Zet gemiddelde Reynoldsyetal hedroeg Re gem = S O O S De gebruikte W o ~ e ~ s l e y - p a ~ a ~ ~ e t e ~ geeft Liepsch niet op maar i s vermoedelijk cx=8,1 wederom op g ~ o n d van eerdere publicaties.

Q

Figuur 4.24: Nodel van de beenarterlevertakking met meetpunten I t/m V I (Liepsch

1981 1

-

starre? Modell elastisches Modell

Figuur 4 . 2 5 : Axiale snelheids- profielen in een star en een elas- tisch model van de beenarteriever- takking op meetpunt I ï I (Liepsch

3

a.

De axiale snelheden in meetpunt

I11

Globaal komt de vorm van de snelheidsprofielen in beide modellen overeen. In het elastische model zijn de snelheden ongeveer 25 % lager dan in het

starre model. In meetpunt IV (30 m m na de vertakking) vonä Liepsch

soortgelijke resultaten. Verder toonde Liepsch aan dat naarmate de elastici- teit van de wand toeneemt, de grootte van het terugstroomgebied afneemt; met andere woorden, het faseverschil tussen hoofdstroom en terugstroom neemt af bij toenemende elasticiteit (vergelijk hfdst.1:Van de Vosse 1 9 8 1 ) . _{Bij zeer}

flexibele wanden werd geen terugstroming gevonden. Liepsch geeft echter geen waarden op voor de diverse dkstensibiliteiten van de wanden.

Metingen met LDA in een model van de halsslagadervertakking zijn niet voorhanden.

Metingen met ultrasoon geluid in vivo (Reneinan 1985, Ku 1 9 8 4 ) wijzen echter wel in de richting van soortgelijke s t r o ~ i n g s ~ e n o ~ e n ~ n als in het starre model (Olsen 1982, Mu '1983, Versteyfen 1 9 8 5 ) .

3 9.

5. Experimentele methoden.

In het navolgende worden de diverse opstellingen kort besproken, waarbij de nadruk ligt op het maken van een instationaire stroming.

-Van de Vosse 1979.

Figuur 5.1 en 5.2 geven een overzicht van de opstelling en de gerealiseerde flow in een lange elastische rechte buis. De steun verdeelt de slang in een inloopsectie en een meetsect.ie. Met materiaal van de slang is latex (Fenrose Drain Rubber bv.,Hilversum). In de vloeistof is mabzena opgelost voor

snelheidsmetingen met ultrasoon geluid.

Figuur 5 . 1 : Schematische weergave vain de opstelling (Van de Vosse 1 9 7 9 ) .

Figuur 5.2: De druk p en de flow Q als funktie van de tija z o a l s gemeten in het model (Van de Vosse 1 9 7 9 ) .

-Chandran ( 1 9 7 9

1

.

Figuur 5 . 3 en 5.4 geven het door Chandran gebruikte systeem en gerealiseerde flow in een starre bocht. De gebruikte configuratie is naar aanleiding van een eerder onderzoek naar intreesecties van Wietiilg f 1 9 6 6 ) . De intreesectie na de mitraalklep dient om de verstoring van de stationaire flow ten gevolge van die klep op te heffen. Voos de aortaklep wordt een zogenaamde Gott-klep gebruikt, die zorgt voor een vlak inloogprofiel in de starre bocht. De

pneumatische pulser zorgt voor de instationaire component. Hoe het pulseren wordt gerealiseerd vermeld Chandrari niet.

Figuur 5 . 3 : Schematische weergave Van dia opstelling gebruikt door Chandran (1’379).

Figuur 5.4: Karakteristiek verloop van de flow neticche flowmeter ver na de bocht

41.

-Chandran 1981.

Figuur 5 . 5 en 5.6 geven de opstelling en de gerealiseerde flow in een star model van de bocht. De gebruikte methode is nauw verwant a.an een eerdere door Chandran ( 1 9 7 9 ) gebruikte methode (zie figuur 5.3). Als aortaklep is weer een Gott-klep gebruikt. De instationaire component wordt nu echter verkregen door de druk op een stuk elastische slang na de bochtsectie te variëren.

Colora constant

Flexible atrial bag Mitral valve chamber Ventricular chamber

Filter

-

Aortic valve chamber

Curved tube flow chamber

3-0 hot-film velocity probe '

Pressure taps Temperature-com pensa ting

probes Electromagnetic flow probe

Figuur 5.5: Schema-tische weergave van 6te opstelling gebruikt door Chandran ('1981) r h

-

-

-

Figuur 5 . 6 : De flow als funktie van Be tijd, gemeten na de starre bocht met een electromagnetische flowmeter.

42.

@i

1

Figuur 5.7 toont de door Talbot (1933) gebruikte opstelling voor het realiseren van eeil instationaire stroming met een vlak inloopprofiel in een starre bocht. Het buffervat dient om wervels ten gevolge van de aanstroining op te heffen. Het vlakke profiel wordt verkregen door het gebruik v8n een trechtervormige intreesectie. De pulserende flaw 'wordt gemaakt door na de bocht de

doortocht door een klep te varieren met behulp van een sta-ppenmotor. De gegenereerde flow was sinusvormig en gedurende de gehele cyclus positief, Bij snel sluiten van de klep bleek enige terugstroming op te treden ten gevolge van de compliantie van het systeem. Met de door de computer gestuurde stappenmotor voor de klepbediening is het volgens Talbot mogelijk om iedere gewenste f lowvorm te maken. S i t l i n g CII.~~IIIWI 1 C\I \ t i iictiirc ( horitoii1.d) Filter - L i w d v-li'i.

_-

Figuur 5 . 7 : Schematische weergave van de opstelling gebruikt door Talbot (19331.

-LieDsch 2983.

Voor rnetingen aan een elastische rechte buis gebruikte Liepsch een

opstelling zoals weergegeven in figuur 5 . 8 . De stationaire component wordt bepaald door de hoogte van het vat 9. De instationaire component wordt verkregen door met een sinuspomp ( 1 6 en 1 7 ) drukvariaties over het membraan

( 1 8 ) t i maken. Reflecties van de drukgolven worden van een windketel ( 8 ) .

r

_p'

vermeden door het gebruik

q 15 16 17 18 19 20

13 EccenK W W

5s ylon

i6 pisim

17 Cylhder 20 stattonary inflaw ,

i8 Rubber m e m b r a

19 comectmg tube

Figuur 5 . 8 : Schematische weergave van de opstelling gebruikt door Liepsch

619835 voor het meten van stationaire e:: yulserrnde stromingen

in een elastische rechte buis, alsmede een detail van de sinuspomp en een grafiek van de gerealiseerde flow.

4 3 .

Liepsch is P,èn van de weinigen die met LBA in een elastische configuratie heeft gemeten. De elastische buis van 200 mm lengte is gemaakt van

concentrische cilinders (diameters resp. 8 en 10 mm) gebracht en daarna verhit tot lûO°C voor uitharding. ge buis is geplaatst in een plexiglas bak gevuld met een calciumchloride-oplossing (CaCl2: H20 = 1 , 3 : I ) , dat een brekingsindex heeft gelijk aan die van plexiglas, namelijk n=1,415. De rondgepompte vloeistof is ook een CaCIZ-oplossing. Liepsch vermeld niet de brekingsindex van de elastische buis (deze is vermoedelijk n=1,413 sp grond van een eerdere publicatie). Verder verwaarloost Liepsch de invloed van de vloeistof in de bak op de golfvoortplanting, omdat de verplaatsing van de wand relatief klein is. Liepsch ( 1 9 8 4 ) heeft ook gemeten aan een model van de vertakking van een beenarterie. Daartoe is een afgietsel gemaakt van een menselijke beenarterievertakking, waarmee een siliconen rubber model is vervaardigd. Het model werd weer geplaatst in een CaC12-oplossing met een gelijke brekingsindex als het model. Verder maakt hij gebruik van de

opstelling beschreven in figuur 5 . 8 . De rondgepompte vloeistof was nu echter niet een CaC12-oplossing maar een glycol-water oplossing met nagenoeg

dezelfde viscositeit als bloed. Ook gebruikte hij een visceuze oplossing met

f 4 % isopropanol (stabilisator). Voor de lichtverstrooiing voegde hij

polystyreen balletjes toe met een diameter van 3,5 pm 1050 kg/m 1 .

Liepsch gaat echter niet in op de invloed van de verschillen in

brekingsindices tussen wand en vloeistof en geeft ook niet de brekingsindex van de vloeistof op.

-Rieu 1985

2

N/m }

.

sasnenstelling: water i 0 , s % Ceparan AF30 C 0,4 % Cparan Ag45 f O i O i % MgC? 2 3

Figuur 5.9: Schematische weeryave van de opstelling zeals gebaikt door Rieu ( 1 9 8 5 ) .