H3: Functies bewerken

Hoofdstuk 3:

Functies bewerken

V-1. linker grafiek:_{k x( )} 2_{log( )x ; middelste grafiek:q x( )x}3_{; rechter grafiek:m x( )} 1 x  V-2. a. _{f x( )x}5_{: domein ¡ en bereik ¡} 2 ( ) f x x : domein , 0  0 , bereik 0 , b. 1 8 (2) f  3 3 1 1 8 2 2 2 3 n n      

c. Alle grafieken gaan door (1, 1).

d. Als n een even getal is, zien de grafieken van _{f x}( )_xn _{er uit als de grafiek van}

2

y  x en liggen nergens onder de x-as.

e. Als n een negatief getal is en even dan ligt de grafiek ervan geheel boven de x-as.

V-3.

a.

b. De grafieken voor g 3 worden gespiegeld in de lijn y  x.

c. Als het grondtal g groter is dan 1, dan hebben de grafieken dezelfde kenmerken als de

standaardfuncties met g 2: de grafieken zijn dan stijgend.

Als 0 g 1 dan zijn de grafieken van f en h dalend.

d. De grafieken van f en h zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y x.

V-4.

a. Je mag niet delen door 0

1 2 2 3 0 2 3 1 x x x    

b. Voor grote waarden van x wordt de noemer heel erg groot. De breuk is dan heel erg klein (maar nooit gelijk aan 0). Er wordt bij 7 een heel klein getal (positief of

negatief) opgeteld. De functiewaarde 7 komt niet voor.

V-5. a. 20 5 x 0 b. ₃x1_{0 c. 2x12 0 d. 5 x 0} 5 20 4 : , 4 : f f x x D B      ¡ 1 2 3 2 : : 2 , x g g D B     ¡





2 12 6 : 6 , : , 14 h h x x D B     5 : , 5 5 , : ,10 10 , k k x D B        x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 n=5 n= -2 x y 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4

log( )

g

_x

V-6.

a.

hor. asymptoot: y 0 randpunt: (2, 1) vert. asymptoot: x3 b. 2 naar links 2 naar rechts en 1 omhoog 3 naar rechts en 1 omhoog

1.

a. 3 naar rechts en 5 omhoog verschoven. b. _{g x( )x}3_{  2 5 x}3_3

c. 2 naar links en 2 omlaag

d. _{h x( ) (( x4) 3)} 3_{ 5 (x1)}3 _5 2. a./b. c. g(7)f(7 3) f(4) d. Voor x17 3 14  . e. Voor a3. 3.

a. f is ontstaan uit y cos( )x en g uit y  x.

x y 2 4 -2 -4 -6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -2 -4 -6 x y 2 4 6 8 10 1 2 3 4 -1 x y 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 x y 2 4 6 8 10 12 1 2 3 4 -1

b. f: 1 omhoog verschoven.

g: 1 naar rechts en 4 omlaag verschoven. c. 1 1

d. 1 naar rechts: x2 en 4 omlaag: y  3: g(2)  4 2 1  3 klopt. e. Het beeldpunt van (0, 1) is (0, 2): f(0) 1 cos(0) 2  

4.

a. f: _{y 3}x3 _{g: y } 3_{log(x3) h: y cos(x3)}

b. f: _{y 3}x2 _{2 g: y } 3_{log(x2 ) 2  h: y cos(x2 ) 2} _

c. Van de grafiek van h. h(x) is een periodieke functie met periode 2 . Als je de grafiek dus 2 gaat verschuiven in horizontale richting komt die op zichzelf terecht.

5.

a. s x( ) 1 x 

b. De asymptoten van s(x) zijn x0 (verticaal) en y 0 (horizontaal). De asymptoten van f(x) zijn x 3 (verticaal) en y 5 (horizontaal). c. De grafiek van s is dus 3 naar links en 5 omhoog verschoven.

6.

a. w x( ) x

b. Het randpunt van w(x) is (0, 0). Bovendien gaat w(x) door (1, 1). Het randpunt van f is (1, 4) en gaat door (2, 5).

c. De standaardfunctie is 1 naar rechts en 4 omhoog verschoven. d. f x( ) x 1 4 7. a./b. c. g x( ) 3 x 8. a. b. met factor -1. c. y   1 x  2 x2 9. a./b. c. y 3 x   d. met 1 3: 13 3 3 1 3 y x x x     10.

a./b. zie de grafiek bij opgave 7

c. 12 3 (12) ( ) (4) h f f d. voor 34 1 3 113 x   e. voor 1 3 a . 11. a. b. _{y } 2_log(x) x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2 4 6 8 10 12 -2 f h g

12. a./b. 1 1 1 4 4 2 ( ) g x  x   x   x 1 2 a

c. als je de grafiek van f vermenigvuldigd ten opzichte van de x-as met factor 1

2 krijg je ook de grafiek van g.

13.

a. Op de grafiek van f ligt het punt (-1, 35). Het beeldpunt op de grafiek van g is (-3, 35). De vermenigvuldigingsfactor is b3.

b. De y-waarden van de punten op de grafiek van f worden gehalveerd.

c. De grafiek van f wordt eerst vermenigvuldigd ten opzichte van de y-as met factor 1 2 en vervolgens vermenigvuldigd ten opzichte van de x-as met factor 1

2 .

14.

a. y sin( )x wordt vermenigvuldigd t.o.v. de y-as met factor 1 . b. _{y } 2_{log( )x wordt vermenigvuldigd t.o.v. de y-as met factor 4.} c. y  x wordt vermenigvuldigd t.o.v. de y-as met factor 1

3 en vermenigvuldigd t.o.v. de x-as met factor 3.

d. y cos( )x wordt vermenigvuldigd t.o.v. de y-as met factor 1 2

 en vermenigvuldigd t.o.v. de x-as met factor 1

4.

15.

a. De x wordt vervangen door x4: _{g x( ) 2} x4 b. ₂x4 _{2 2}x _ 4 _{16 2} x_{, dus a16}

c. vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met factor 16.

16. a. _{f(4) 3} 4_{ 2 79 en g(79)} 3_{log(79 2) } 3_{log(81) 4} b. 2 8 9 ( 2) 3 2 1 f       en 8 3 8 3 1 9 9 9 ( 1 ) log( 1 2) log( ) 2 g        c. _g(7) 3_{log(7 2) } 3_{log(9) 2 en f(2) 3} 2_{   2 9 2 7} 17. _{x  }2 _{x 2} 3log(...)_3_log(x2) 18. a. _{1 2}... _{1 3 1} 1 2x 2x 3 x_{  } x  _  _ b. +1 2_{log(...) -3} c. ₃ 2_{log(...) 2 1 2} 3 log( 3) ( ) log( 3) 1 x_{  } x _ x_{ } g x _ x_{ } 19. a. 1 4 (4) f  b. 1 4 1 1 4 ( ) 4 f   c. 1 5 (5) 0,2 f   en 1 0,2 (0,2) 5 f  

d. Er komt elke keer weer de beginwaarde uit. Met andere woorden: de inverse functie van f x( ) 1

x

 is weer f x( ) 1 x  .

20. 4 4 ...1 1 4 x x x      en dus 1 ... 1 4 ( ) 1 4 x g x x x      21. a. _x3 _3x5 _3x5 5 13 1 2 3 3 5 1 x_{   } x  y x_ b. _x..._{ x }2 _{x 2 x   }2 _{x 2} ...2 _{y (x2)}2 c. ₂... ₃ 2x 2x 3 x_{ } _{ x  }3 _{x 3} 2log(...)_{ y} 2_log(x3) d. _{x}3log(...)_3_{log( )x }4 3_{log( ) 4x  4 3}... ₄

4 3x x    x y  e. _{x  }1 _x 12_{  x 12 x}12_{ x 12   }1 _{y x 12} f. x ...1 1 3 3 x x    13 1 ...1 3 ₁ 3 1 3 x x y x x      22. a. ₃ 2_{log(...) 2} 3 ( ) log( 3) x_{  } x _f x _ x_ ... 2 ₂x 3 _{( ) 2}x ₃ x_{ } g x _{ } b.

c. De grafieken zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y x.

23.

a. Ze zijn niet elkaars spiegelbeeld in y x.

b. ₅ 3_{log(...) 3 1 3} 5 log( 5) ( ) 1 log( 5) x_{  } x _ x_{ } f x _{ } x_ ... 1 ₁ 3 ₃x 1 5 _{( ) 3}x 1 ₅ x_{  } x  _ h x _  _ 24. a. b. D x_f : 2 en D_finv :x 0 c. _{x  }2 _{x 2} ..._{f x( ) x2} 2 ... 2 2 _{( )} 2 ₂ xx  g x x  25. a. 1 1 2 3 3 3 ( ) ( 5) 1 inv f x  x   x en 3 ( ) log( 5) inv g x  x b. y 3x5 c. _{y }3x _5 1 2 3 3 3 5 1 x y x y     3 3 5 log( 5) x _y x y    

d. De inverse functie van een formule waarbij y uitgedrukt is in x is de formule waarbij x uitgedrukt is in y. 26. 3p12q 3p _{ }4 _{q 3} 5 q p  3p q 12 1 3 4 p  q _p 3_log(4q) 2 2 2 5 25 25 3 ( ) 3 q q q p p      1 3 4 p q A en H B en F C en I D en G x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1

3 4 log( ) 4 3q p q p   

 , dus ook E en J zijn gelijkwaardig.

27. a. _{P 0,084V}3_D2 3 2 1 0,084 2 1 0,084 3 1 0,084 3 V D P P D V P D V       b. 1 0,084 ₅3 _10,5 P P D   28. a. 1 2 2mv 50 b. 2 1 2 E  mv 1 2 2 E  mv 2 2 100 100 100 m m mv v v    2 2 2 2 mv E E m v   2 2 2 E v m E v m   29. a. 1 1 1 15120 v 8 1 1 1 1 7 15 120 120 120 120 120 1 7 177 17,1 v v cm         b. 1 1 1 50 f  v 1 1 1 50 50 50 50 50 50 f f v f f f f       , en dus 50 50 f v f   c. 1 1 1 10 10 10 10 10 10 v v b v v v v       , dus 10 10 v b v   d. b 1,5 v  ofwel b1,5v 2 2 3 10 1,5 10 1,5 ( 10) 10 1,5 25 0,5 (3 50) 0 0 16 v v v v v v v v v v v v            2 3 16 v  en b25 30. a. y      ( 2t 1) 6 2t  1 6 2t7 b. 1 2 2(2 ) 1 4 1 1 4 2 y  t   t   t  t c. 2_{log(2 )} 3 2 t 3 2 6 y     t  t

d. 3_{log( ) y} 3 t _4 _e. 3_{log( )} 3 t y _4 _{f. log(2(3} _{t) y) 2} 3_{log( )} 4 3 4 3 3 4 3 log( ) t y y t t y     3_{log( )} (3 ) 4 log(4) t y y t t y    2 log(6 2 ) 2 6 2 10 100 94 2 t y t y y t          2 (94 2 ) y   t 31. a. y   1 4 x b. 3y _{ }1 _x 2 2 2 2 1 2 1 (4 ) 1 16 8 2 16 8 8 4 y x y x x t x x t x x              3 3 3 3 3 3 3 1 1 9 9 1 1 9 9 log(1 ) log( ) log(1 ) 2

log( ) log(1 ) log(9) log( )

y x t x t x x t x             32. a. f x( ) 2 x3 en f x( ) 2 x1

b. Dit zijn allemaal evenwijdige rechte lijnen.

c. f( 3)  8 d. f(1) 10 2 3 6 8 2 b b b           2 1 2 10 8 b b b       33.

a. Alle grafieken gaan door (0, -3): g(0)      a 0 3 0 3 3 b. g( 2)  8 1 2 2 3 8 2 5 2 a a a      

c. De helling moet dan 2 zijn; dus a2

34.

a. Alle grafieken van fa gaan door (0, 0): fa(0) a 02   a 0 0

b. Nee.

c. g_b'( ) 2x  x g_b'(15) 30 voor alle waarden van b. d. f_a'( ) 2x  ax f_a'(15) 30 a is afhankelijk van a. e. f_a(1)   a 12 a 9 _{(1) 1}2 _{1 9} b g     b b 8 b f. _{( 2) ( 2)}2 _{4 12} a f    a  a _{( 2) ( 2)}2 _{4 12} b g       b b 3 a b8 g. 2 , 4 2 2 4( ) 4 4( 4) 4 16 x as V g x x    y x   x 

Als je deze beeldgrafiek 16 omlaag verschuift, krijg je de grafiek van 2 4( ) 4

35. a. f_a(4) 1 3 4 4 2 1 4 2 1 4 3 a a a a       b. u x( )ax2 en f u( ) u '( ) 1 2 2 2 a f x a u ax     c. 3 4 3 4 3 8 '(4) 2 3 2 f    d. f_a(6) 6a 2 4 3 3 3'(6) 2 18 2 8 f  _  6 2 16 6 18 3 a a a     3 1 8 4 3 3 8 4 4 6 2 1 8 3 14 b b y x y x          36. a. _{(0) 0}3 _{0 0} a f    a klopt.

b. f x1( )x3x gaat door (1, 0); grafiek 4.

c. Grafiek 1 gaat door (2, 0): _{(2) 2}3 _{2 8 2 0}

a f   a  a 2 8 4 a a   d. f x2( )x32x e. 2 2'( ) 3 2 25 f x  x   2 2 2 '( ) 3 2 '(3) 25 f x x f    2 2 3 27 9 x x   3 3 x    x  : in (-3, -21) is de helling ook 25. f. _{'( ) 3} 2 a f x  x a 2 3 0 0 0 a a a       37.

a. Het punt (2, 0) ligt op de rode grafiek: 1 2 1 2 (2) 2 0 2 4 p f p p p     

Bij de rode grafiek hoort p4 en bij de groene grafiek p 4. b. c. f x_p( ) x p x2 p x2 p x x x x       d. f xp( ) 0 2 2 0 x p x p  

 Deze vergelijking heeft alleen twee oplossingen als p0.

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

e./f. f_p'( ) 1x p₂ 0 x    2 2 1 p x x p x p x p          

g. Deze punten bestaat alleen als p0. De uiterste waarden zijn:

( ) p p p 2 p _{p p} f  p    p _{ }    p    _{ }   p en ( ) p p p 2 p _{p p} f p   p _   p    _  p 38. a. randpunt: (2, -2)

b. Bij een vermenigvuldiging verandert het randpunt niet. c. De grafiek loopt steiler

d. vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met factor 3. verschuiving van 2 naar rechts en 2 omlaag.

39.

a. Een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 0,8465 en een horizontale verschuiving van 75 naar rechts.

b. Een soort van kwalificatie. Iedereen moet minstens 75 cm hoog springen. Anders zijn er geen punten te verdienen. c. Een kleine verbetering levert steeds meer punten op. d. Om punten te krijgen op de 1500 m hardlopen moet je dat

sneller doen dan 480 s (dat is 8 minuten).

e. Een kleine verbetering van de tijd (dus als t kleiner wordt) levert steeds meer punten op.

40. a. _{5x x} 4 _{0 b. cx x} 4 _{0 c.} 1 3 4 c  1 3 4 3 3 5 (5 ) 0 0 5 0 5 x x x x x x x x          



1 3 1 3 3 ( ) 0 0 : 0 , c f x c x x x c D c        3 4 64 c   d. 4 31 8 4x x  x e. _{cx x} 4 _{ x} 4 31 8 4 1 3 1 8 8 3 1 8 1 2 4 ( ) 0 0 0 x x x x x x x x x x x             1 3 4 4 4 3 3 ( 1) ( ( 1)) 0 0 1 0 (1 ) cx x x x cx x x c x x x c x x c x x c                    41. a.

b. Nee; bij de gespiegelde grafiek zijn er waarden van x met twee y-waarden. Bij een functie hoort bij elke waarde van x hoogstens één waarde van y.

h P 50 100 150 200 250 300 350 500 1000 1500 2000 2500 t (in sec) P 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -50 500 1000 1500 2000 2500 hoog 1500 m

c. Nu heb je alleen de rechtertak van de parabool. De inverse functie is alleen het bovenste deel van de liggende parabool.

d. g_inv( )x   2 x 42.

a. factor 16

b. t.o.v. de y-as met factor 1 4.

2 2

( ) (4 ) 16

h x  x  x

c. vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 1

4 en een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 1

4. 43. a. T 2 l g   2 2 1 2 2 2 1 1 2 4 2 1 4 ( ) l T g l T T g l T g              b. 2 2 1 4 1 9,8 0,248 l  _    meter

c. Dan moet je de lengte 4 keer zo groot maken.

44. a. _{f x( )x}3_2x2 2 1 3 5 1 3 27 '( ) 3 4 (3 4) 0 0 1 (0, 0) en ( 1 , 1 ) f x x x x x x x          

b. gaat door (-1, -1): _{p ( 1)}3_{  q ( 1)}2 _{    p q 1 ofwel p q 1}

horizontale raaklijn: fp q, '( 1) 0 : 3  p ( 1)2 2q  1 0 ofwel 3p2q0 c. p q 1 3( 1) 2 3 0 3 en 2 q q q q p          x y 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 2 4 6 -2 -4 -6 -8

T-1.

a. _{(0, 0)}4naar links_{ ( 4, 0) }2omhoog _{( 4, 2)}

b. Dan moet je het beeldpunt 4 naar rechts en 2 omlaag verschuiven: (3, -27) c. _{f x( ) x}3_{}4naar links_{   y (x 4)}3_{}2omhoog _{g x( )  (x 4)}3 _2

d. g x( ) 6 3 3 ( 4) 2 6 ( 4) 8 4 2 2 x x x x           

beeldpunt is (-2, -6). Het punt op f is dan (2, -8).

T-2. a. 1 1 4 1 4 4 2 2 16 ( ) ( ) 100 ( ) 100 6,25 g x f x   x   x  x b. _{g x( )f x(3 ) 100 (3 )  x} 4 _{100 81 x}4 _8100x4 T-3.

a. _{f x( ) x}2_{ 7} gespiegeld in x as _{ y x}2_{  7} 4naar rechts _{y (x4)}2_7

b. _{f x( ) x}2_{    7} 4naar rechts _{y (x 4)}2_{ 7} gespiegeld in y as _{    y ( x 4)}2_7

T-4. a. _{9 27} 3_{... 3} 9 9 27 ( ) 9 27 x_ x_ _ x_{ }f x _ x_ 1 3 9 ... 3 27 3 1 3 9 27 ( ) 3 x_x _ _x _{ } g x _ x _

b. Als twee functies elkaars inverse zijn, dan zijn hun grafieken elkaars spiegelbeeld in de lijn y x.

c. f x( )x

Voer in: 3

1 9 27

y  x en y2 x intersect: x  3,97 Het snijpunt van f en g is: (-3.97, -3.97)

T-5. _{1 27} 3_{log(...) 3} 1 27( 1) ( ) log(27( 1)) x   x   x f x  x 1 ... 27 3 1 1 1 3 3 27 27 3x 3x ( ) 3x 1 3 3x 1 3x 1 x_{  } _ g x _{   }  _{  }  _ T-6. a. _{3x   1} 3_{log( )y} 3 3 1 3 1 3 log( ) 3 x 1 3 x 3 x 3 3 (3 )x 3 27x y y           b. y  3 27x (3 ) 273 31 x 27 2731 x 27x31 T-7. _x32t _{ 1 (3 )}t 2_{ 1 y}2_1 T-8. a. 2x 8 2(x p ) 2 x2p 2 8 4 p p     b. Nee: 10 0( ) 2 2( 10) 2 20 naar links f x  x  y x  x

c. h x( ) 2x10  2(x5): de grafiek van fo moet dan 5 naar rechts verschoven

worden.

T-9.

a. Elke lijn die loodrecht staat op de lijn y x. b. Dus elk lijn van de vorm: y   x b

T-10. a. 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 f x x x x x      3 2 3 3 3 4 '( ) 2 4 2 0 2 2 f x x x x x         b. 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 '( ) 2 2 2 p p x p x p f x px x x x x          c. fp'( ) 0x  3 3 3 2x 2p 0 x p x p    

De top ligt links van de y-as als _x 3 _p _{0. En dat is als} p0_. d. (3 ) 2 3 ₍3 ₎2 2 3 3 3 3

p p

f p   p   p p   p