De Jordan normaalvorm : een didactische benadering

De Jordan normaalvorm : een didactische benadering

Citation for published version (APA):

Bosch, A. J. (1987). De Jordan normaalvorm : een didactische benadering. (Memorandum COSOR; Vol. 8715). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1987

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Eindhoven University of Technology

Department of Mathematics and Computing Science

CaSaR-memorandum 87-15

De Jordan Normaalvorm.

Een didactische benadering

AJ.

Bosch

Eindhoven University of Technology

Department of Mathematics and Computing Science

P.O. Box 513

5600 MB Eindhoven

The Netherlands

Eindhoven, June 1987

The Netherlands

De Jordan Normaalvorm. Een didactische benadering

AJ. Bosch

O.

Inleiding

Stelling van Jordan <±

1870):

Elke complexe of reele

n

x

n

matrix A is gelijkvormig met een Jordanmatrix die eenduidig bepaald is

op

een permutatie van de Jordankasten na, d.w.z. er is een reguiiere matrix X en een Jordanmatrix J zodat X-1A X = J.

Een Jordanmatrix is een matrix

J

:= diag(Jk1(/..1), ...

,lk,O"s)]

waarbij

JkCA):=

fA.· :.

'~l

een k x k

lo .

A.

matrix is, een zogenaamde Jordankast van de orde k.

Het bewijs van deze stelling wordt als vrij gecompliceerd ervaren en sommige auteurs van leerhoeken over linearie algebra beschouwen dit bewijs als "de kroon op hun werk". De zin in het hoek van Bell-man [1] "Introduction to Analysis" pag.

198,

spreekt voor zich: ... Since its proof is quite detailed and readily available in a number of texts, and furthermore since its use can always be avoided by one means or another, we shall merely state the result without proof'.

In dit artikel wordt een constructief bewijs gegeven aan de hand van een concreet voorbeeld. Het bewijs voor een willekeurige matrix A Iaat zich hieruit direct afleiden. Tevens ziet men door deze constructie goed het verband tussen de Jordankasten , Jordanstrings en Jordanruimten. Ik heb gekozen voor een meetkundige aanpak. Men zou ook een a1gebraisch bewijs kunnen geven.

Een bewijs waarbij men geinteresseerd is in de numerieke aspecten van deze decompositie vergt eeo geheel andere aanpak.

Het ariktel biedt wiskuodig niets nieuws, doch is bedoeld als een didactische benadering van het klas-sieke bewijs van de stelling van Jordan en een poging om de "geheimzinnige sluier" weg te nemen. Alhoewel dit artikel 7 pagina's beslaat, vergt het eigenlijke bewijs (stap 1 algemeen en stap 2) nog geen pagina en is niet langer dan het korte bewijs van Filippov [2].

2 -Tabell (A I I I _\

~

1 I I 1 II ... 1 1 1 I-. 11

101

_{10 NJ ~a a,} I I 1 I-. I I 1 i I

I

2 3

"@"

A

---1---1---1---

4 IA 1 1 I

=H:

1 I I

r-L

10 10 ____

~"

;: J I I-. 1 I I I I I V 2 0

-

-

-1 A I I

_r----

0 1 3 S.

.z.

r---1---1---1---

o

p 2 0 '" .I~ I II-. 11

I

I

A

I

X(A.) 1.1

I

2 3.3

---1---1---1-,.-

"

I I IA I I

.--+-" \ I I I IA

fig. 1 fig.2 fig.3

lordankasten Segre-karakteristiek x(A) lordanstrings

(3,3,2,1,1) (3,3,2,1,1) (3,3,2,1,1)

J CA)

=

diag (J 3,J 3,] 2,] I,] 1) rekenschema N3= W3 E9 W'3 E9 W2 E9 WI

e

W'l

2 kasten van orde 1 _PI strings ter lengte 1

1

..

..

2 _1'2

..

..

2

2

It

..

3

1'3 fI

..

3

0

It

..

4 _1'4

..

fI 4

5

subkasten v. orde 1 _VI

=

_PI

_+1'2+1'3+1'4 dimV1= substr.lengte 1

3

..

..

2 V2

=

pz + P3 + 1'4 dim V2=

..

..

2

2

fI It

3

_*

V3

=

1'3+1'4 dim V3 =

..

If

3

0

It

..

4 V4= P4 dim V4

=

..

..

4

5

_iii

₌

_VI dimN₁=

..

inNl

8

*

cumulatief liZ=VI+Vl dimNz=

..

N z

10 _{li3 = VI +Vl+V3} dim N3 =

..

N3

10 J..I.4

=

VI +Vl+V3+ V4 dimN4

=

..

N4

3 orde grootste kast grootste getaJ in lengte langste string

Segre-karakteristiek

=

index van

A

5

aantal kasten iiI

=

meetk.multipl. van

A

dim N I

=

aantal strings 10 aantal subkasten

=

li3

=

algebr.multipl. van

A

dim N 3

=

aantal substr.

3 -1. Toelicbting bij tabel 1

ad.fig.I:

ad.fig.2:

ad.fig.3:

Stet A beeft een eigenwaarde

AA;

met algebra!sche multipliciteit mA; ::::: 10 en de bij

AA;

behorende Jordanmatrix als gegeven in fig. 1:

J

(A.J ::::::

diag (J 3.1 3.1 2.1 1,J 1)' Dit betekent: er zijn twee Jordankasten van de orde

3,

een van de orde 2, en twee van de orde 1.

Elke Jordankast van de orde

i

heeft een subkast van de orde j S i.

Dus het aantal ~kasten van de orde i, zeg Vi, is S aantal subkasten van de orde i - 1.

Het aantal kasten van de orde i is dan

Pi

:= Vi - Vi+l ~

O.

i

Definieer Ili :=

L

Vj' dan is dus Vi ::::: Ili - Ili-l en dus ook Ili ~ JI.i-l' j .. l

Nu is

Pi

= Vi - Vi+l

=

(Jli - Jli-l) - (Jlj+1 -Ili) ~ 0, hetgeen betekent dat de rij

o

= flo. JI.l> 112, . .. concaafis.

Het aantal kasten

=

aantal subkasten van de orde 1 ::;: Vi

=

III

=

5. Het aantal subkasten

=

orde J (Ak) 113

=

10.

De orde van de iTootste kast

=

3 (in het algemeen h).

In de onderste rij van het vierkant zijn de orden van de Jordankasten gegeven m.b.v. de Segre-karakteristiek: X(Al)

=

(3,3,2,1,1). Hieruit voIgt de rij

Pi ::;:

aantal kasten van de orde i.

i

De overige rijen volgen m.b.v. de regels: Vi :::::

L

Pj

en Jli

=

L

Vj'

j=i j=4

Is van het vierkant een rij gegeven, dan ligt de rest vast.

Dus

nit

de Ie rij

Ilfl:::::

O,JI.ltIl2," ,JI.h = JI.II+l voIgt X(Ak) en daarmee J(AI;}'

Noodzakelijk en voldoende opdat de rij

Pi

~ 0 (nl.

dat

zijn aantallen). is dat de rij JI.i

concaaf is. Daar 113

=

VI

+

V2

+

V3::::: orde van J(At)

=

alg. multip1. van Ab moet dus in het algemeen Illt ::;: mil'

De rij IlIt 112, . . . .Illt heet de multipliciteitenrij van de eigenwaarde

At,

h de index van

At·

Illt

=

ill&.

multipliciteit van

At.

III

blijkt de meetk. multipl. te zijn (zie vervolg). Is fig. 1 gegeven, dan is fig. 2 te maken en omgekeerd.

Bij elke concave rij

Ilfl ::;:

0, JI.l,1l2, . . . ,Illt

=

JI.1s+!::::: . •. behoort slecht 1 Jordanmatrix (op permutatie der kasten na).

Noteer B := A - Atl en de nulruimte van B met N (B); Nj := N (B i).

Als A :::::XJX-l, dan is dus dim N(B)

=

dimN(J -Atl)=dimN[J(At)-AA;I]:::::5. Analoog is dim N(B2)

=

dim N[J(At) - AAl]2

=

8 en dim N(Bl)

=

10.

Blijkbaar is Jli = dimN(Bi) i

=

0,1,2' . .

r

o

1 0]

Dit is begrijpelijk. Beschouw

nt.

de matrix D

=

lot

::~

.

Bij elke machtverheffing verdwijnt er een I, d.w.z. neemt de dim. van de nulruimte met 1 toe.

In fig. 1 zien we 5 enen. Na 1 "slag" (= machtsverheffing) verdwijnen er 3 enen, dus neemt de dim. van de nulruimte met 3 toe. Daama, bij de volgende slag, verdwijnen er 2 enen. Na 3 slagen (3

=

orde grPOtste kast) is de matrix

=

0 en verandert de dim. van de nulruimte niet meer m.a.w. Illt

=

JI.1t+l

= ...

Daarom heet h de index van Ab n1.: Een matrix B waarvoor geldt BIt_-1

:f:: 0 en Bit

=

0 heet nilpotent van de index h.

In ons voorbeeld is (J<At) -- AkJ)3 0, dus dim N(B3)

=

10 en index h

=

3.

-

4-Daar N 1 C N 2 C N 3

=

N 4. hebben we de Nj als cirkels weergegeven met straal Ill. 1l2. 1l3· Noteren we Nj

=

Ni-1 E9 Vi met dim Vi

=

Vi' dan is inderdaad Vi

=

J.1; - Ili-l 2:

O.

De lineaire deelruimten Vi zijn de cirkelringen en Vi n Vi -1

=

{O}.De breedte der ringen (= Vi) neemt naar buiten toe, af.

Bij elke Jordank.J!.St van de orde

i,

behoort een Jordanruimte van de dim i (dus opgespannen door i

onderling onafh. vectoren!), en die bovendien invariant is onder A (en dus ook onder B

=

A -

At!!)

Er zijn

5

Jordankasten , dus moeten er ook

5

Jordanruimten zijn.

De vectoren Xl>X2,X3 zijn onafh. (liggen in verschillende ringen!) en spannen een Jordanruimte W 3 op

van de dim

3.

Bovendien is BX3

=

X2,Bx2::::: XhBx1

=

0

oftewel W 3 is invariant onder B (en dus onder

A). De rij (XltX2,X3) beet een Jordanstring van de lengte 3; (XloX:z) en (Xl) zijn £Yhstrings.

Een oplossing x van BiX

=

0

en

B

i-1x :#

0

heet gegeneraliseerde eigenvector van de orde i, behorende bij

Ak'

Een string is dus een rij gegeneraliseerde eigenvectoren.

Vi heet gegeneraliseerde eigenruimte van de orde i.

Analoog spant de Jordanstring (X4,X5,X~ een lordanruimte W'3 op van dim 3.

(X7,Xg) geeft W 2 en X9 en XIO elk een lordanruimte van de dim 1.

De vectoren x I, . • • • X 10 zijn aIle onderling onafhankeUjk zoals we nog zullen zien.

Van de ruimte N3 bebben we nu een decompositie verkregen:

N3= W3 E9 W'3

e

W 2

e

WI E9 W ' I•

De indices geven juist weer de Segre-karakteristiek:

Is fig. 3 gegeven (d.w.z. de h == 3 cirkels met bun stralen oftewel de 3 nulruimten met dimensies), dan

liggen fig. 1 en fig. 2 vast Ook voigt fig. 3 eenduidig uit fig. 1 of fig. 2.

2. Bewijs van de stelling van

Jordan

Stap 1: Bij een gegeven eigenwaarde Ai; van A met algebrafsche multipliciteit mi; is er een n x mAo

matrix Xi; van rang mAo en een mAo x mi; Jordanmatrix 1 (At) wOOt AXt

=

X.J (At)· Bewijs:

Zij Xi;

=

[Xl> ••• ,Xj • • • •

,x

_{mt ].} Dan moet Axj

=

AA:Xj

+ 5

j Xj_l met 5j

=

°

of l.

Is B := A -

A,J

dan wordt dit BXj

=

OiXi-l , i

=

1, ... ,mk..

*

Bij gegeven A en At ligt B vast en hiermee de rij

°

=

tJ.o.J.Lh •.•• J.Lh waarbij

J.Li

=

dim Nj

=

dim N(B!).

Noodzakelijk en voldoende voor het bestaan van de rij Ph

Pl, . . . ,

Ph

(rie tabel 1) is OOt de rij ~,J.Ll' . •. ,J.Lh == J.Lh+1 monotoon stijgt en concaaf is.

Tevens moet J.Lh

=

mAo. In OOt gevalligt dus X(At) en hiermee l(A.k.) vast. Kunnen we nu mk onafhankelijke vectoren vinden die aan

*

voldoen?

Hiertoe beschouwen we het gegeven voorbeeld waarbij (J.Ll, J.L2, J.L3)

=

(5,8, 10), hetgeen een 0

geeft van 5

=

(0,1,1,0,1,1,0,1,0,0).

In tabel 2 is de oplossing gegeven: XA:

=

[Xl> ••• ,XlO]' In §3 is een algemeen bewijs voor stap 1 gegeven.

Tabe12

5 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 oplossing

Bx, =0 BX2 x, Bx) '" X2 Bx.=O BX5

=

X. BX6'" X5 BX7 =0 OXs = X, BX9= 0 8x,0=0 X. '" (X,,' .. ,x,o>

8 2x2

=

0 B2)(.3 '" Xl B2xs'" 0 82X6 X, B2xs = 0 8)X3

=

0 83X6

=

0 dim V; rumN; 8x =0

~

""

1"'7

Ix.'

~'O.

x .. 0 1111 W, 5 5 B2X 0

~

~

"'2

Bx .. 0 _{3 8} B3X =0

~

~

..

8 2x .. 0 _{2 10} III 1113 lengte strings _{3 3 2 1 1 = Segre·karakteristiek .}

laantaJ

strings _{2 1 2}

₌

_Pl.P:!·p,

Stap 2: Stel A heeft p verschillende eigenwaarden

Ah ...

,Ap

met alg. multipl. resp. ml> ..•

,mp-Bij elke Ak is er voIgens stap 1 een n

x

Tnt, matrix Xi; van de rang mAo zodat AXl

=

Xl l(A.i;).

Definieer X := [X 1> ••• ,Xp ]' Oit is een n x n matrix en is regulier claar rang X =

=

I: rang Xl Dni;:::= n. Namelijk, (gegeneraliseerde) eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden zijn onderling onafhankelijk.

AX=A[Xlt .. · ,Xp]=[AX1, ' " ,Axp J=[X1l(Al), '''Xpl(Ap)]=

-

6-3. Stap 1: Algemeen bewijs

Zij B := A - At} ,Aot eigenwaarde van A met alg.multipl. mot.

J.li _{:=dimNi :=dimN(Bi);Vi} :=J.li -lli-1;Pi :=Vi -Vi+l Er geldt:

a) 0

=

J.1o <

III

< .,. < Illo

=

Illo+l

=

b) Vi+l ::;; Vi dus Pi 2! 0 ;

c) llio = mot

Bewijs:

a) Evident is Ni C Ni+_1• Daar lli ::;;

n,

is er een j zodat Nj

=

Nj+1•

Beschouw Nj+l C Nj+2. Neem x E Nj+2• dus Bx E Nj+1

=

Nj oftewel x E Nj+1• Dus Nj+2

=

Nj+1• Er is dus een h, zodat 0

=

J.1o < III < ... < Illo = lllo+l = ...

b) Er is dus een Vio zodat Nh

=

_NIo-1 e Vio '

Neem x¢.O E Vio C Nio • Dan is Bx E NIo-l- Stel Bx E N"-2 dus x E NIo -1 strijdig! Dus is BVIo

n

NIo-2 = (O). Definieer nu VIo -1 zo dat BVIo C V"_l en NIo -I = NIo -2 e V"-l'

Zo gaan we door en ontstaat Nh

=

VIe ... e V_{io '}

Is dim Vi =vj.danisVj =J.li -J.li-l'

Stel X l . ' ••

,x,

zijn onafhankelijke vectoren E Vi(i > 1) en beschouw

ClIBx 1

+ ... +

Cl,Bx, = 0 = B (Ia_{i Xi)'} Dus moet

Ia;

Xi e N l' Strijdig. Dus de Bx; zijn ook onafhankelijk. Gevolg: dim _{BVi =} dim Vi' Daar BV.

c

Vi -I is Vi::;; Vi-I'

Vectoren

wt

verschillende strings zijn dus onafhankelijk.

Daar vectoren uit dezelfde string ook onafhankelijk zijn. vormen alle vectoren samen een onaf-hankeliJKe basis voor Nh .

c) Zij Rio := R (B Io ) de beeldruimte van B". Er geldl Cit =NIo e Rio nl.:

Neemx e Nh

n

R" dusBlox =Oen3y zodatx =B"y ;B2Ity =Odusy E _{N2It =NIo .}

Dus Blo y = X

=

0 dus N"

n

Rio = {O}. Tevens is dim Nh

+

dim Rio =

n.

Nh is invariant onder B en B is nilpotent op Nio .

Ria is eveneens invariant onder B en B is regulier op Ria nl.:

Neem x E R" d.w.z. Bhy = x dus Bx = BIa{By) E Rio,

Stel Bx

=

0 voor x e R". BB"y =BIo+Iy = 0, dus Y E NIo+1 :::: Nh dusB"y :::: x :::: O.

o

is eigenwaarde van B met alg.multipl.

mot.

B

=

diag (B 1. B

2l

waarbij B 1 nilpotent is op Nh (dim ll,,) en B 2 regulier op R".

7

-4. Enkele nabeschouwingen en toepassingen

1. Stel A heeft

p

verschillende eigenwaarden, dan is XA

=

<XO"1), . .. , X(l..p

».

Er geldt

M

=

Xc

~ lA -

Ie

~ A -

C (-

betekent A is gelijkvonnig met

C)

Uit de constructie is duidelijk dat uit

XA

=

Xc

voIgt dat

IA - Ie

en dus

A - C.

2.

We zien dat ['J..."I -

I

(l..A;)

Y

=

0

voor s ~ hk waarbij hA; = index

I..A;-Dus i.h.b. is [I..A;I -

I

(I..A;) ]"'1

=

0

met

mAo

=

a1g.multipl. van I..A;.

De matrix I..k 1 - I (I..A;) heet nilpotent met index hA;. Er geldl 01. dat [I..A; I - I (l..A;) ]"1

=

0, terwijl

[I..kl 1(1..A;)]"1-1 ¢

O.

3. A heet diagonaliseerbaar als I = A (diagonaal). Dus moet de index hI; (= orde grootste kast) voor elke I..A; juist 1 zijn. Oftewel voor elke eigenwaarde 1..1; is meetk.multipl.

=

algebr.multipL d.w.z.

J.ll = J.lz·

4. Is A - C en A is (niet)diagonaliseerbaar, dan voIgt uit punt I dat ook C (niet)diagonaliseerbaar is. Nietdiagonaliseerbaar heet ook defectief.

Enkele toepassingen

1. sp A

=

LmtI..I; n1. sp A

=

sp(XJX-1)

=

sp(JXX-1)

=

sp I

=

Lml;l..k'

2.

Caley-Hamilton: Is het karakteristiek polynoom q,(1..)

=

n(1.. - I..d"j; dan is ¢leA)

=

O.

¢I(A)

=

nCA - I..k/)flt1

=

n(XJX-1 - I..k/)flt1 ::::: x n[1 - 1..1'.1 tl:x-1

=

0

daar

(I - 1..1'./)'"" = diag [(1(1..1) - 'J..."lt1, ... ,(I(/..p) - I..I;/)flt1] en (Iel..k) - I..kI)'""

=

0 3. Een nonnale matrix is diagonaliseerbaar (i.h.b. een r~I symmetrische matrix).

Zij A nonnaal. Neem

x

E N (A 2) dus AAx

=

0

en dus ook xII< A II< A'" AAx

=

0 ::::: x'" A II< AA '" Ax

=

I A'" Ax 12.

Dit geeft A"'Ax ::::: 0 en x"'AII<Ax = I Ax 12::::: 0 oftewel x E N(A). Met A is ook A - 'J..."I

nor-maal.

V oor A geldl dus dat voor elke 1..1 J.ll::::: J.l2'

Pas op: een complexe symmetrische matrix is niet noodzakelijk diagonaliseeroaar.

4. Projectoren zijn diagonaliseerbaar:

p2

= P en 'J..." ::::: 0 of 1 dus dim N (P - I..kI)2

=

dim N (p - I..k/)'

5. De rij rj := rang (A j)

i :::::

1,2,3, . .. is een convexe rij: dim N (A i)

=

J.li (01. bij I.. = 0) en deze rij is concaaf.

Daar rj =

n -

dim N (A j) is dus de rij rj convex.

Heeft A geen eigenwaarde nul met J.l1 ¢ J.l2, dan is ri constant

6. Het minimaalpolynoom van A is ¢lo(I..):::::

fI

(I.. - 1..A;)hl: met hA; = index I..A;.

1

Is A diagonaliseerbaar. dus is hI'. = 1 voor aile k en wordt ¢loCI..) =

fI

(I.. - I..A;).

1

References

1. Bellman, R., Introduction to Matrix Analysis, McGraw-Hill, 1970.

2. Filippov, A.F., A short proof of the theorem on the reduction of a matrix to Jordan Fonn, Vestnik Moscow University, vol. 26, no. 2, pp. 18-19, 1971.